CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

Transcript

1 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A IX-A Vom spue că umărul atural are proprietatea ( P ) dacă eistă umerele aturale eule a şi astfel îcât: = a + ( a + ) + ( a + ) + + ( a + ) a) Demostraţi că umărul 4 are proprietatea ( P ) b) Demostraţi că umărul 6 u are proprietatea ( P ) c) Care ditre umerele şi are proprietatea ( P )? a) 4 = p 6 = a + a b, b 8 şi aaliăm situaţiile posibile p b) ( ) c) ( ) ( ) ( a + b) ( b a + ) a + a + + a b = p ( a + b) ( b a + ) = şi alegâd b a + = şi a + b = a = 6, a = 7 p ( a + b) ( b a + ) 4 = = ( a + b) ( b a + ), imposibil deoarece ( a + b) ( b a + ) este produs de doi factori cu parităţi diferite p Fie fucţia f : Z R, f ( ) = + 45 Se cere: + a) Determiaţi N cu proprietatea [ ; ] b) Demostraţi că mi f <, ude mi f este cea mai mică valoare ( ) f, cu Z c) Demostraţi că pe graficul fucţiei f eistă u sigur puct cu ambele coordoate umere îtregi a) [ ; + ] ; ( + ) 4 = p b) V = ( ;) p + Z p f descrescătoare pe ( ; V ] Z şi crescătoare pe [ ; V ) f ( ) f ( ) = 5 >, deci f f ( ) c) M ( a b ) G f ( a) = b a a 45 b ; f mi = = 85 < p + = p a = a + 45 b şi cum este iraţioal, sigurul puct de pe grafic care are coordoatele umere îtregi este M ( ; 45 ) p

2 Fie triughiul ABC, puctul M iterior triughiului şi A', B ', C ' simetricele puctului M faţă de mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB a) Demostraţi că petru orice puct O di plaul triughiului au loc relaţiile: (i) OM + OA' = OB + OC (ii) AA' = OA + OB + OC OM AA ', demostraţi că puctele B, T şi B ' sut coliiare b) Dacă T este mijlocul segmetului [ ] c) Demostraţi că dreptele AA ', BB ' şi CC ' sut cocurete a) Coform figurii, [ BMCA '] este paralelogram de cetru D OD = OM + OA' = OB + OC p AA' = AO + OA' = OA + OB + OC OM p OA + OA' OA OB + OC OM b) BT = BO + OT = BO + = p BB ' = OA OB + OC OM p BT = BB ', deci B, T şi B ' sut coliiare p c) AA ', BB ' şi CC ' sut cocurete î T p Notă: La subpuctele b) şi c) se acordă puctaj maim şi î caul preetării soluţiei sitetice, porid de ' ' MAC ' B sut paralelograme, di care reultă că sut la observaţia că [ MBA C ], [ MCB A ], [ ] paralelograme şi [ ABA' B '], [ BCB ' C '], [ CAC ' A '] 4 U OZN se deplaseaă pe o traiectorie plaă parcurgâd secudă după secudă câte u segmet de dreaptă de două ori mai lug decât î secuda precedetă Cosiderâd că î prima secudă OZN-ul a parcurs doar m, se cere: a) Determiaţi după câte secude drumul străbătut de OZN depăşeşte m b) Demostraţi că u este posibil ca după u aumit umăr atural de secude OZN-ul să ajugă eact î puctul de plecare a) Fie A puctul de plecare, respectiv puctele A, A, A,, A î care ajuge OZN-ul după eact,,,, secude, ude N *, atuci lugimea drumului parcurs de OZN după eact N * secude este L = A A + A A + A A + + A A p cu A A = m, A A = m, A A = m,, A A = m p deci L ( ) ( ) = = metri p şi drumul parcurs de OZN depăşeşte m după secude p L = A A p b) Idiferet de forma traiectoriei parcursă de OZN, avem ( ) + OZN-ul parcurge A A = + m, deci A A + > A A, deci petru orice N * are loc A + A p dar î secuda ( )

3 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A X-A Fie α α = +, N *, α = + Se cere: a) Calculaţi şi b) Demostraţi că: α = 4α ; α = 4α ; α = 4α α şi = 4, oricare ar fi c) Demostraţi că este umăr atural eul, oricare ar fi N * α d) Demostraţi că { } umărului real α =, oricare ar fi * N, ude { } a) α α = + = ( + ) + ( ) = 4, α α ( ) ( ) repreită partea fracţioară a = + = + + = 4 p b) Calcul direct (petru primele două egalităţi) p α = α α = α (4α ) = 4α α p p c) = ( + ) + ( ) = 4 ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) ( ) p = C N *, ude = p = p d) { α } = α + α + α = α p N ( ; ) a) Demostraţi iegalităţile: a + b a + b, oricare ar fi a, b R (i) ( ) ( ) (ii) a si b a b + cos +, oricare ar fi,, (iii) ( y) ( y ) a b R + si + cos, oricare ar fi, y R b) Reolvaţi ecuaţia ( y) ( y ) a) (i) ( ) ( ) (ii) a b a b + si + cos =, î ecuoscutele, y R + + ( a b) a si b a b p + cos + ( ) a si bcos a b + + ( a cos bsi ) (iii) Coform cu (i), ( + si y) + ( y cos ) ( + si cos ) p, cu egalitate dacă şi umai dacă + si y = y cos p

4 dar, coform cu (ii), si cos ( y) ( y ) + si + cos p b) Egalitatea are loc dacă şi umai dacă si cos = şi + si y = y cos, π deci = + π, Z p 4 şi y = p U program de calculator simuleaă o traiectorie, curbă îchisă, de lugime 5 cm şi pe care două mobile poresc di acelaşi puct dar î sesuri opuse, respectiv cu legile de deplasare date de fucţiile f g = + log +, ude variabila repreită mometul măsurat î ( ) = + şi ( ) ( ) secude iar f ( ) şi ( ) g repreită distaţa parcursă de cele două mobile de la mometul ero al simulării pâă la mometul, măsurată î cetimetri Se cere: a) Calculaţi f() şi g() b) Determiaţi mometul > al primei îtâliri al celor două mobile c) Determiaţi de câte ori se îtâlesc cele două mobile î primele 7 secude (se cosideră că = u este momet de îtâlire) a) f()=, g()=5 p : ; ;, h f g h = 5, reultă că cele b) Cosiderâd fucţia h [ + ) [ + ) ( ) = ( ) + ( ), cum ( ) două mobile se îtâlesc prima dată după secude de la îceputul mişcării p * c) Cele două mobile se îtâlesc la fiecare momet (, ) î care h( ) = 5, N p ( ) h 7 = f (7) + g(7) = 44 = , p Aşadar î primele 7 secude cele două mobile se îtâlesc de 9 ori p 4 La u cocurs de matematică au participat elevi şi au avut de reolvat u subiect format di patru probleme Aaliâd lista reultatelor, s-a costat că fiecare ditre cele patru probleme a fost reolvată de cel puţi 5 de elevi a) Demostraţi că eistă u elev care a reolvat cel puţi trei ditre cele patru probleme b) Demostraţi că eistă doi elevi, astfel îcât fiecare ditre cele patru probleme a fost reolvată de cel puţi uul ditre ei a) 5 4 = 4 reolvări posibile p Dacă fiecare elev ar fi reolvat cel mult probleme, s-ar fi totaliat cel mult reolvări p Deci cel puţi u elev a reolvat cel puţi trei ditre cele patru probleme p b) Coform puctului aterior, alegem elevul care a reolvat cel puţi trei probleme p Dacă acel elev a reolvat toate problemele alegem orice alt elev şi cei doi verifică ceriţa p Dacă acel elev a reolvat doar trei probleme va eista u elev care a reolvat problema ereolvată de el şi alegâd acei doi elevi ceriţa este verificată p

5 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Fie G mulţimea matricelor A ( a ) M ( ) BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A XI-A = R, ude ij a =, oricare ar fi, { ; ;} Se cere: a) Dacă A G, demostraţi că det A este diviibil pri 4 b) Dacă A G şi d = det A, demostraţi că d = 6d d 4; ; 4 eistă A G cu det A = d c) Demostraţi că oricare ar fi { } ij i j d) Determiaţi umărul elemetelor mulţimii G a) Fie A G şi d = det A, atuci d = det A', ude A ' este matricea obţiută di matricea A pri sumarea celei de a treia coloae la primele două coloae (C +C, respectiv C +C ) p Astfel pe primele două coloae di A ' vor fi elemete, sau, sau, deci det A ' se divide pri 4 det A se divide pri 4 p b) Cum a ij =, calculâd d = det A d 6 şi coform puctului aterior d { 4; ; 4} p c) Spre eemplu, A = det A =, A = det A = 4, A = det A = 4 p 9 d) are = 5 elemete p U automobil se deplaseaă di oraşul Iaşi spre oraşul Roma Spaţiul parcurs de acesta, otat s( t ), t, defieşte o fucţie s [ t ] R care verifică pe parcursul deplasării s ( ) = şi : ; s t s( t) s = t, oricare ar fi t [ ; ts ], t s > fiid mometul î care automobilul a ajus la destiaţie, măsurat î ore Distaţa ditre cele două localităţi se cosideră de 9 m şi se subîţelege că s este fucţie cotiuă t a) Demostraţi că s( t) s 6t =, oricare ar fi t şi N s t a fucţiei b) Determiaţi epresia ( ) c) Determiaţi cu ce viteă medie şi î cât timp este străbătută distaţa Iaşi Roma (Reamitim că ecuaţia viteei este v :[ ; t s ] R, v( t) = s '( t) ) a) Verificare p b) Cum s :[ ; t s ] R este fucţie cotiuă, trecâd la limită petru î

6 t s t s 6t = se obţie ( ) 6 s t = t p v t = s ' t = 6 m / h p egalitatea ( ) c) ( ) ( ) ( ) s t şi ( ) 9 a) Fie f '( ) = m t =,5 h p s a > şi fucţia f : ( a; a) ( ; + ) cotiuă pe ( a; a) =, R Calculaţi ( ) lim f b) Calculaţi lim a) f cotiuă î, N * = cu f ( ) = f ( ), derivabilă î =, cu f ( ) = şi lim = edetermiare p f ( ) ( ) { ( ) } ( ) f f lim L = f = lim + f = e α, î codiţia lim = α R p f ( ) f ( ) f ( def ) Cum lim = lim = f '( ) =, ( ) lim f = e p f =, sutem î codiţiile puctului aterior cu = l(!) şi î b) Cosiderâd ( ) lim = e =! =! p Oy şi l! aceste codiţii ( ) 4 O lăcustă sare di puct î puct pe u pla, raportat la u sistem de ae ortogoale ( ) parcurge astfel u traseu otat M M M, ude ( ; ) M y, * ( ) N, sut puctele săriturilor iar coordoatele acestor pucte verifică =, y =, = + + y, y + = + y, oricare ar fi N * Cosiderâd matricea A =, se cere: + a) Verificaţi egalitatea A y = + y b) Determiaţi coordoatele puctelor M, M şi M 4 c) Demostraţi că A I, oricare ar fi N * d) Determiaţi dacă eistă posibilitatea ca după u umăr de sărituri lăcusta să ajugă di ou î M + y + a) Verifică y = = y y p + + M 4;, M 5;, M 55; 5 p b) Calculeaă şi determiă ( ) ( ) ( ) 4 a b c) Iductiv reultă că matricile A = c d au toate elemetele umere aturale strict poitive, deci eule şi astfel A I, oricare ar fi N * p + d) Lăcusta poate ajuge î M umai dacă este posibilă egalitatea y = p + y dar această egalitate obligă A = I, deci lăcusta u poate ajuge di ou î M p

7 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Calculaţi: a) si d, R b) π si d c) ( ) a) Fie ( ) π si d BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A XII-A I = si d, R Se itegreaă pri părţi u = u ' = I = u v ' d = u v u ' vd = cos + J, v ' = si v = cos J = cos d p u = u ' = J= u v d = u v u vd = + + C v ' = cos v = si I = si + cos + C, C R p ( ) π b) ( ) si ' ' si cos p f =, f : R R f ( ) = f ( ), deci este fucţie impară p c) ( ) π si d = p ( ) ( ) π π π si d ( ) = si d = ( ) si d = p Fie poliomul f [ X ] Z, f = X + ax + bx + c Demostraţi afirmaţiile: a) Dacă f are rădăcia = atuci are şi o rădăciă îtreagă ( ) ( ) f f y b) y Z, oricare ar fi, y Z, y f Z X, = = p a) [ ] b) Cum + =, + + = a Z = a Z p ( ) ( ) ( y ) + a ( y ) + b ( y ) f f y = y y p

8 f f y = + y + y + a + y + b Z p ( ) ( ) ( ) ( ) c) Fie Aalog, y f Z rădăciă ( ) ( ) f ( ) ( 4) f f Z este îtreg par p Z este îtreg impar p 4 Cotradicţie f u are rădăcii îtregi şi cum are coeficietul puterii domiate, f u poate avea rădăcii raţioale eîtregi, deci u are rădăcii raţioale p Fie C mulţimea umerelor complee cu legea de compoiţie y = y + + y şi submulţimea i i G C, G + ; ; = Se cere: a) Demostraţi că G este parte stabilă a mulţimii C î raport cu operaţia " " comutativ b) Demostraţi că fucţia f : G M şi ( ; ) G este grup, f ( ) = + este iomorfism de la ( G; ) la ( ; ) i i M + ; ; = este grupul multiplicativ al rădăciilor de ordi trei ale uităţii c) Calculaţi =, ude + i = factori M, ude + i i a) Dacă =, =, =, se verifică pri calcul direct, efectuâd tabla operaţiei: deci are loc proprietatea de parte stabilă p Comutativitatea, elemetul eutru şi simetriabilitatea se observă di tabla operaţiei p y = y = + y + + p iar asociativitatea di ( ) ( ) ( )( )( ) b) Bijectivitatea este evidetă şi se verifică f ( y) = f ( ) f ( y) c) Folosid morfismul, ( ) eutru al grupului ( ; ) p + i = + = = = dar = este elemetul G şi cum se divide cu, = = = p 4 Figura alăturată repreită schema uui oramet arhitectural, repreetată grafic pe u reper carteia ortogoal pri fucţia f :[ ; ] [ ; ], ( ) f = şi î care uitatea reperului semifică metri Se cere: f d f d a) Justificaţi afirmaţia ( ) = ( ) factori

9 b) Demostraţi că fucţia g :[ ; ] [ ; ], g ( ) f ( ) = este bijectivă şi determiaţi epresia fucţiei iverse, g c) Folosid evetual puctul aterior, determiaţi aria orametului f = f, deci f este fucţie pară p a) ( ) ( ) f d f d p şi implicit ( ) = ( ) = y admite soluţie = ( y ) [ ; ] şi soluţia este uică, p b) Cosiderâd g :[ ; ] [ ; ], g ( ) = f ( ), ecuaţia g ( ) deci fucţia g este bijectivă cu :[ ; ] [ ; ] g, ( ) ( ) c) Aria orametului este A = g ( ) d = = ( m ) g = p 9 p 7