Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή

Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή 11 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα αναφορικά µε : (α) τις σχέσεις µερικής διάταξης και των επαγόµενων διαγραµµάτων Hasse ενός µερικώς διατεταγµένου συνόλου, (β) τις σχέσεις ισοδυναµίας και των διαµερίσεων επί ενός συνόλου, (γ) τις διµελείς πράξεις και των επαγόµενων διαγράµµάτων Cayley µιας πράξης Τέλος υπενθυµίζουµε τις ϐασικές έννοιες, ιδιότητες, και αποτελέσµατα µονοειδών και των οµοµορφισµών τους Σύνολα Αριθµών: Από τώρα και στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε τα εξής οικεία σύµβολα : N = { 1,2,,n, }, N 0 = { 0,1,2,,n, }, N n = { 1,2,,n } Z = {, n,, 1,0,1,,n,, } { a }, Q = b a,b Z, b 0 για τα σύνολα : N των ϕυσικών αριθµών, N 0 των ϕυσικών αριθµών µαζί µε το 0, N n των n πρώτων ϕυσικών αριθµών, Z των ακεραίων αριθµών, και Q των ϱητών αριθµών Επιπρόσθετα συµβολίζουµε µε R το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και µε C το σύνολο των µιγαδικών αριθµών, και ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές στοιχειώδεις ιδιότητες των συνόλων αριθµών : N, Z, Q, R, και C 111 Σχέσεις µερικής διάταξης Εστω X και Y δύο µη-κενά σύνολα Μια (διµελής) σχέση R από το σύνολο X στο σύνολο Y είναι ένα υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου X Y, δηλαδή R X Y Μια σχέση R επί του συνόλου X καλείται σχέση επί του X Συµβολισµός : Αν R είναι µια σχέση από το σύνολο X στο σύνολο Y, και (x, y) R X Y, τότε ϑα γράφουµε : x R y ή x R y ή x y(r) Οι σηµαντικότερες ιδιότητες τις οποίες µπορεί να ικανοποιεί ή να µην ικανοποιεί µια σχέση R επί ενός µη-κενού συνόλου X είναι οι ακόλουθες : x X : (x, x) R (ανακλαστική ιδιότητα) x, y X : (x, y) R = (y, x) R (συµµετρική ιδιότητα) x, y X : (x, y) R και (y, x) R = x = y (αντισυµµετρική ιδιότητα) x, y, z X : (x, y) R και (y, z) R = (x, z) R (µεταβατική ιδιότητα) 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 4 Οι κυριότερες κατηγορίες σχέσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός συνόλου είναι οι σχέσεις µερικής διάταξης, οι απεικονίσεις, και οι σχέσεις ισοδυναµίας Ορισµός 111 Μια σχέση R X X επί του συνόλου X καλείται σχέση µερικής διάταξης αν η R ικανοποιεί (α) την ανακλαστική ιδιότητα, (β) την αντισυµµετρική ιδιότητα, και (γ) την µεταβατική ιδιότητα Συνήθως µια σχέση µερικής διάταξης R επί ενός συνόλου X συµβολίζεται µε ένα από τα παρακάτω σύµβολα,,,,,,,, Ετσι ϑα γράφουµε x R y αντί (x, y) R αν η R είναι µια σχέση µερικής διάταξης επί του συνόλου X Αν είναι µάλιστα σαφές για ποια σχέση µερικής διάταξης R πρόκειται, τότε γράφουµε απλώς x y Γενικά, αν x, y X, τότε γράφουµε : x R y, αν x R y και x y Μια σχέση µερικής διάταξης επί του X καλείται σχέση ολικής διάταξης αν επιπλέον ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα : x, y X : είτε x y ή y x Ενα µερικώς διατεταγµένο σύνολο είναι ένα Ϲεύγος (X, ) όπου το X είναι ένα µη-κενό σύνολο και είναι µια σχέση µερικής διάταξης επί του X Ενα ολικώς διατεταγµένο σύνολο είναι ένα Ϲεύγος (X, ) όπου το X είναι ένα µη-κενό σύνολο και είναι µια σχέση ολικής διάταξης επί του X Σηµειώνουµε ότι αν Y X είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του X, τότε το Ϲεύγος (Y, ) είναι ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο, όπου συµβολίζει τον περιορισµό στο Y της σχέσης µερικής διάταξης επί του X Με άλλα λόγια η σχέση ορίζεται, y 1, y 2 Y, ως εξής : y 1 y 2 αν και µόνον αν y 1 y 2 Εστω (X, ) ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο Θεωρούµε ένα µη-κενό υποσύνολο S X του X (α) Ενα άνω ϕράγµα για το S είναι ένα στοιχείο x X έτσι ώστε : s x, s S Ενα ελάχιστο άνω ϕράγµα για το S είναι ένα άνω ϕράγµα z X για το S έτσι ώστε z y για κάθε άλλο άνω ϕράγµα y για το S Προφανώς ένα ελάχιστο άνω ϕράγµα για το S, αν υπάρχει, είναι µοναδικό Το ελάχιστοι άνω ϕράγµα του συνόλου S, συµβολίζεται µε S, και αν S = {a,b}, τότε ϑα γράφουµε : S = a b (β) Ενα κάτω ϕράγµα για το S είναι ένα στοιχείο x X έτσι ώστε : x s, s S Ενα µέγιστο κάτω ϕράγµα για το S είναι ένα κάτω ϕράγµα w X για το S έτσι ώστε y w για κάθε άλλο κάτω ϕράγµα y για το S Προφανώς ένα µέγιστο κάτω ϕράγµα για το S, αν υπάρχει, είναι µοναδικό Το µέγιστο κάτω ϕράγµα του συνόλου S, συµβολίζεται µε S, και αν S = {a,b}, τότε ϑα γράφουµε : S = a b Για µελλοντική χρήση, σηµειώνουµε τον ακόλουθο ορισµό ο οποίος περιγράφει µια σηµαντική κλάση µερικώς διατεταγµένων συνόλων Ορισµός 112 Ενα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (X, ) καλείται σύνδεσµος 1, αν κάθε Ϲεύγος στοιχείων του a,b X, υπάρχει το µέγιστο κάτω ϕράγµα a b στο X, και το ελάχιστο άνω ϕράγµα a b στο X Ενας σύνδεσµος (X, ) καλείται πλήρης σύνδεσµος, αν κάθε µη-κενό υποσύνολο S X, έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα S στο X, και ελάχιστο άνω ϕράγµα S στο X Κλείνουµε την παρούσα ενότητα µε µια ισχυρότατο αποδεικτικό εργαλείο Υπενθυµίζουµε πρώτα ότι ένα στοιχείο m σε ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (X, ) καλείται µεγιστοτικό στοιχείο, αν : x X, m x = m = x Λήµµα 113 (Λήµµα του Zorn) Εστω (X, ) ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο και υποθέτουµε ότι κάθε ολικώς διατεταγµένο υποσύνολο S του X έχει ένα άνω ϕράγµα στο X Τότε το (X, ) έχει µεγιστοτικό στοιχείο 1 Σύνδεσµος : Ελληνική απόδοση του όρου lattice

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 5 112 Το ιάγραµµα Hasse ενός Μερικώς ιατεταγµένου Συνόλου Ενα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (X, ) µπορεί να περιγραφεί από ένα διάγραµµα, το οποίο καλείται διάγραµµα Hasse του (X, ), το οποίο αποτελείται από κορυφές και ακµές, και το οποίο περιέχει όλες τις ουσιώδεις πληροφορίες σχετικά µε το X ως µερικώς διατεταγµένο σύνολο Για τον ορισµό του διαγράµµατος Hasse χρειαζόµαστε την έννοια της κάλυψης στοιχείων του X Εστω x, y δύο στοιχεία του µερικώς διατεταγµένου συνόλου (X, ) Το διάγραµµα Hasse του (X, ) έχει ως κορυφές σηµεία τα οποία είναι σε «1-1» και «επί» αντιστοιχία µε τα στοιχεία του X ύο κορυφές του διαγράµµατος οι οποίες αναπαριστούν τα στοιχεία x, y του X, ενώνονται µε µια ακµή, αν το y είναι κάλυψη του x, δηλαδή x y και δεν υπάρχει στοιχείο z X έτσι ώστε x z y, και τότε τοποθετούµε τη κορυφή y υπεράνω της κορυφής x Γενικά οι κορυφές του διαγράµµατος Hasse οι οποίες αντιστοιχούν στα στοιχεία τού X τοποθετούνται στο διάγραµµα κατά τέτοιον τρόπο, ώστε αν τα x, y είναι στοιχεία του X µε x y, τότε η κορυφή η οποία αντιστοιχεί στο x να κείται χαµηλότερα από την κορυφή που αντιστοιχεί στο y Χάριν ευκολίας από τώρα και στο εξής ταυτίζουµε τις κορυφές του διαγράµµατος Hasse του µερικώς διατεταγµένου συνόλου (X, ) µε τα στοιχεία του X 113 Σχέσεις Ισοδυναµίας και ιαµερίσεις Εστω X ένα µη-κενό σύνολο Ορισµός 114 Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι µια σχέση R X X επί του X, η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες : (α) την ανακλαστική ιδιότητα, (β) τη συµµετρική ιδιότητα, και (γ) τη µεταβατική ιδιότητα : x X : (x, x) R (ανακλαστική ιδιότητα) x, y X : (x, y) R = (y, x) R (συµµετρική ιδιότητα) x, y, z X : (x, y) R και (y, z) R = (x, z) R (µεταβατική ιδιότητα) Οπως και στο εδάφιο τών σχέσεων, αντί (x, y) R, συχνά ϑα χρησιµοποιούµε έναν εκ των παρακάτω συµβολισµών : x R y ή x R y ή x y(r) Εστω R µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X Αν x X, η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς την R ορίζεται να είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] R = { y X y R x } X Επειδή x R x, έπεται ότι x [x] R και άρα η κλάση ισοδυναµίας κάθε στοιχείου x X είναι πάντοτε διάφορη του κενού συνόλου Το σύνολο X /R όλων των κλάσεων ισοδυναµίας των στοιχείων του X X /R = { [x] R X x X } ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R, καλείται το σύνολο-πηλίκο του X ως προς την R Σηµειώνουµε ότι κάθε στοιχείο του X /R είναι ένα υποσύνολο του X, και εποµένως το σύνολο πηλίκο είναι µια συλλογή υποσυνόλων του X Η απεικόνιση κανονικής προβολής του X επί του συνόλου πηλίκο X /R του X ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R ορίζεται να είναι η απεικόνιση π R : X X /R, π R (x) = [x] R η οποία είναι προφανώς απεικόνιση «επί» Σηµειώνουµε ότι αν x, y X, τότε : x R y x [y] R y [x] R [x] R = [y] R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 6 Εποµένως αν y [x] R, τότε [x] R = [y] R και γι αυτό κάθε στοιχείο y [x] R, καλείται αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναµίας [x] R Προφανώς, αφού x R x, το x είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναµίας του [x] R Από την άλλη πλευρά, δύο κλάσεις ισοδυναµίας είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες : Είτε [x] R = [y] R ή [x] R [y] R = Συνοψίζοντας, η συλλογή των κλάσεων ισοδυναµίας των στοιχείων του X ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1 x X : [x] R 2 x, y X : είτε [x] R = [y] R είτε [x] R [y] R = 3 X = x X [x] R Οι παραπάνω ιδιότητες µας οδηγούν ϕυσιολογικά στην έννοια της διαµέρισης ενός συνόλου, µε την έννοια του ακόλουθου ορισµού : Ορισµός 115 Μια διαµέριση του µη-κενού συνόλου X είναι µια συλλογή υποσυνόλων = { A i A i X } i I, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητης : 1 i I : A i 2 i, j I : i j = A i A j = 3 X = i I A i Αν = { A i i I } είναι µια διαµέριση του X, συχνά ϑα γράφουµε : X = i I A i Σηµειώνουµε για µελλοντική χρήση ότι αν = { A i A i X } i I είναι µια διαµέριση του πεπερασµένου συνόλου X, τότε προφανώς το σύνολο δεικτών I και κάθε υποσύνολο A i της διαµέρισης είναι πεπερασµένα σύνολα και εποµένως επειδή το X είναι ξένη ένωση των A i, ϑα έχουµε : X = i I A i = X = A i i I όπου µε X συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου X Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει ότι υπάρχει στενή σχέση µεταξύ των διαµερίσεων επί ενός συνόλου X και των σχέσεων ισοδυναµίας οι οποίες ορίζονται επί του X Θεώρηµα 116 Εστω X ένα µη-κενό σύνολο 1 Αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X, τότε το σύνολο πηλίκο X /R = { [x] R X x X } ϑεωρούµενο ως συλλογή υποσυνόλων του X αποτελεί µια διαµέριση R του X 2 Εστω ότι = { A i A i X } i I είναι µια διαµέριση του X, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών Τότε ορίζοντας R := { } (x, y) X X i I : x, y A i αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας R επί του X Επιπλέον οι απεικονίσεις Φ : D := { ιαµερίσεις του X } S := { Σχέσεις ισοδυναµίας R επί του X }, Φ( ) = R Ψ : S := { Σχέσεις ισοδυναµίας R επί του X } D := { ιαµερίσεις του X }, Ψ(R) = R := X /R ορίζουν µια «1-1» και «επί» αντιστοιχία µεταξύ του συνόλου D των διαµερίσεων του X και του συνόλου S των κλασεων ισοδυναµίας επί του X Με άλλα λόγια : R R = R και R =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 7 Παράδειγµα 117 1 Για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό n, ϑεωρούµε την ακόλουθη σχέση R n επί του συνόλου Z των ακεραίων αριθµών : x, y Z : x Rn y n x y Τότε η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του Z η οποία συµπίπτει µε την σχέση ισοτιµίας mod n, η οποία µας είναι γνωστή από την στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών Επιπλέον για κάθε ακέραιο x, η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς την R n είναι : [x] n = { y Z n x y } = { x + k n Z k Z } = {, x 2n, x n, x, x + n, x + 2n, } δηλαδή είναι η κλάση ισοτιµίας mod n Το σύνολο πηλίκο Z/R n συµβολίζεται µε Z n, και εύκολα ϐλέπουµε ότι : Z/ Rn := Z n = { [x] n Z x Z } = { } [0] n, [1] n,, [n 1] n 2 Εστω f : X Y µια απεικόνιση µεταξύ των µη-κενών συνόλων X,Y Ορίζουµε µια σχέση επί του συνόλου X ως εξής : R f = { (x, y) X X f (x) = f (y) } Τότε η σχέση R f είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X, και επιπλέον x X : [x] R f = f 1{ f (x) } = { x X f (x) = f (x ) } Η απεικόνιση f επάγει µια «1-1» και «επί» απεικόνιση f : X /R f Im(f ), f ([x] R f ) = f (x) Η σχέση ισοδυναµίας R f καλείται η επαγόµενη από την f σχέση ισοδυναµίας επί του X Είναι εύκολο να δούµε ότι η τοµή σχέσεων ισοδυναµίας επί ενός συνόλου X είναι επίσης σχέση ισοδυναµίας επί του X Αντίθετα η ένωση µιας οικογένειας σχέσεων ισοδυναµίας R i, όπου i I, επί του X, ως υποσύνολα του X X, είναι µια σχέση επί του X αλλά γενικά δεν είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X Η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία περιέχει την ένωση R := i I R i είναι η εξής : R := { T X X T : σχέση ισοδυναµίας επί του X και R T } Γενικότερα, για κάθε σχέση R X X επί ενός συνόλου X, η σχέση R είναι η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία περιέχει την σχέση R και καλείται η σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία παράγεται από τη σχέση R Η τελευταία Πρόταση της παρούσης ενότητας δίνει µια περιγραφή των στοιχείων της σχέσης ισοδυναµίας η οποία παράγεται από µια σχέση επί ενός συνόλου Πρόταση 118 Εστω ότι X είναι ένα σύνολο και ότι R είναι µια σχέση επί του X Η σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία παράγεται από τη σχέση R έχει την ακόλουθη περιγραφή : R = { (a,b) X X a = b ή n 0 και x 0,, x n X : x 1 = a, x n = b, και : (x k, x k+1 ) R ή (x k+1, x k ) R, 1 k n } 114 Πράξεις Εστω X ένα µη-κενό σύνολο Μια (διµελής) πράξη επί ενός συνόλου X είναι µια απεικόνιση µ : X X X, (x, y) µ(x, y)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 8 Συµβολισµός : Παραδοσιακά και χάριν απλότητας µια πράξη µ επι ενός συνόλου X παρίσταται, µε ένα εκ των συµβόλων : µ =,,, #,, +,,, Αντίστοιχα, το αποτέλεσµα µ(x, y) της πράξης µ στο Ϲεύγος στοιχείων (x, y) του X, συµβολίζεται ως εξής : µ(x, y) = x y, x y, x y, x#y, x y, x + y, x y, x y, x y, Ακολουθώντας την παραπάνω παράδοση, από τώρα και στο εξής ϑα συµβολίζουµε µια πράξη µ επί του X µε το σύµβολο, και εποµένως το αποτέλεσµα µ(x, y) της πράξης µ επί του Ϲεύγους στοιχείων (x, y) X X, ϑα συµβολίζεται µε x y Αργότερα ϑα απλοποιήσουµε περαιτέρω τον συµβολισµό µας Για τους σκοπούς των σηµειώσεων, ένα Ϲεύγος (X, ) ή µια τριάδα (X,, ) όπου και είναι διµελείς πράξεις επί ενός µη-κενού συνόλου X, ϑα καλείται αλγεβρική δοµή Οι περισσότερο σηµαντικές ιδιότητες τις οποίες µπορεί να ικανοποιεί, ή µπορεί να µην ικανοποιεί, µια διµελής πράξη σε µια αλγεβρική δοµή (X, ) είναι οι ακόλουθες Ορισµός 119 Εστω µια (δοµελής) πράξη επί ενός συνόλου X 1 Η πράξη καλείται προσεταιριστική αν ισχύει : x, y, z X : x (y z) = (x y) z 2 Η πράξη καλείται µεταθετική αν ισχύει : x, y X : x y = y x Η προσεταιριστικότητα κατά κύριο λόγο, αλλά και η µεταθετικότητα µιας πράξης επί ενός συνόλου X, έχει σηµαντικές συνέπειες στην µελέτη ιδιοτήτων του Ϲεύγους (X, ) Το επόµενο αποτέλεσµα µας επιτρέπει να ορίσουµε µονοσήµαντα στοιχεία της µορφής a 1 a 2 a n σε ένα σύνολο X εφοδιασµένο µε µια προσεταιριστική πράξη ηλαδή όλες οι δυνατές οµαδοποιήσεις των στοιχείων a 1, a 2,, a n, µε εισαγωγή παρενθέσεων, οι οποίες είναι απαραίτητες για τον υπολογισµό του στοιχείου a 1 a 2 a n µας δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα Ανάλογα, αν το σύνολο X είναι εφοδιασµένο µε µια προσεταιριστική και µεταθετική πράξη, τότε δυνατοί συνδυασµοί στοιχείων a i1 a i2 a in του X, όπου i 1,i 2,,i n είναι οι αριθµοί 1,2,,n ενδεχοµένως µε διαφορετική σειρά, οι οποίοι µπορούν να ορισθούν µε χρήση της πράξης και των στοιχείων a 1, a 2,, a n, ορίζουν το ίδιο στοιχείο του X Πρόταση 1110 Εστω µια προσεταιριστική πράξη επί του µη κενού συνόλου X, και έστω a 1, a 2,, a n ένα πεπερασµένο πλήθος στοιχείων του X 1 (Ο Γενικός Προσεταιριστικός Νόµος) Το στοιχείο a 1 a 2 a n είναι µονοσήµαντα ορισµένο 2 (Ο Γενικός Μεταθετικός Νόµος) Αν η πράξη είναι µεταθετική, τότε για κάθε µετάθεση σ του συνόλου {1,2,,n}, δηλαδή για κάθε «1-1» και «επί» απεικόνιση σ: {1,2,,n} {1,2,,n}, ισχύει ότι : a σ(1) a σ(2) a σ(n) = a 1 a 2 a n Εστω µια διµελής (προσεταιριστική) πράξη επί του µη-κενού συνόλου X Σε αρκετές περιπτώσεις το σύνολο X διαθέτει διακεκριµένα στοιχεία τα οποία ικανοποιούν σηµαντικές ιδιότητες Οι περισσότερο σηµαντικές ιδιότητες είναι οι ακόλουθες : Ορισµός 1111 Εστω µια προσεταιριστική πράξη επί ενός συνόλου X 1 Ενα στοιχείο e X καλείται ουδέτερο ή ταυτοτικό στοιχείο του X ως προς την πράξη, αν ισχύει : x X : x e = x = e x Το στοιχείο e, αν υπάρχει, είναι µοναδικό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 9 2 Υποθέτουµε ότι υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e X ως προς την πράξη Ενα στοιχείο x X καλείται αντιστρέψιµο ως προς την πράξη, αν υπάρχει στοιχείο x X έτσι ώστε : x x = e = x x εδοµένου του στοιχείου x X, το στοιχείο x, αν υπάρχει, είναι µοναδικό και καλείται αντίστροφο (ή αντίθετο) του x Το σύνολο όλων των αντιστρέψιµων ή αντίθετων στοιχείων για την πράξη επί του X συµβολίζεται µε : U(X, ) = { x X x X : x x = e = x x } Η ακόλουθη Πρόταση περιγράφει κάποιες ϐασικές ιδιότητες αντιστρέψιµων στοιχείων Πρόταση 1112 Εστω ότι είναι µια προσεταιριστική πράξη επί ενός συνόλου X, και υποθέτουµε ότι υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e X ως προς την πράξη 1 Το ουδέτερο στοιχείο e είναι µοναδικό ηλαδή αν ɛ X είναι ένα άλλο στοιχείο του X έτσι ώστε ɛ x = e = x ɛ, τότε e = ɛ 2 Εστω x X ένα στοιχείο για το οποίο υπάρχει αντίστροφο x ως προς την πράξη Τότε το αντίστροφο στοιχείο x του x είναι µοναδικό ηλαδή αν x X είναι ένα άλλο στοιχείο του X έτσι ώστε x x = e = x x, τότε x = x 3 Αν x είναι ένα αντιστρέψιµο στοιχείο του x µε αντίστροφο το στοιχείο x, τότε το στοιχείο x είναι αντιστρέψιµο µε αντίστροφο το στοιχείο x: x U(X, ) = x U(X, ) και (x ) := x = x 4 Αν x, y είναι δύο αντιστρέψιµα στοιχεία του X µε αντίστροφα στοιχεία x και y αντίστοιχα, τότε το στοιχείο x y είναι αντιστρέψιµο και το αντίστροφό του είναι το στοιχείο y x : x, y U(X, ) = x y U(X, ) και (x y) = y x Εχοντας στη διάθεσή µας ένα Ϲεύγος (X, ), όπου είναι µια (προσεταιριστική) πράξη επί του συνόλου X, µπορούµε να ορίσουµε ακέραιες δυνάµεις ή ακέραια πολλαπλάσια στοιχείων του X, ως εξής : Ορισµός 1113 Αν x X, και n 0, τότε ορίζουµε την n-οστή δύναµη n x του στοιχείου x ως προς την πράξη ως εξής : n } x x {{ x }, αν n 1 x := n παράγοντες e, αν n = 0 Αν επιπλέον το στοιχείο x έχει αντίστροφο ως προς την πράξη το στοιχείο x X, και n 1, τότε ορίζουµε : n x := x x x }{{} n παράγοντες Παρατήρηση 1114 (Πολλαπλασιαστικός Συµβολισµός) Αν ο συµβολισµός της διµελούς πράξης είναι «πολλαπλασιαστικός», δηλαδή προσοµοιάζει µε την συνήθη πράξη πολλαπλασιασµού σε ένα σύνολο αριθµών, οπότε χρησιµοποιούµε ως σύµβολο της διµελούς πράξης το σύµβολο, τότε ϑα γράφουµε nx := x n και ο ορισµός 1113 παίρνει την ακόλουθη µορφή : x n } x x {{ x }, αν n 1 := n παράγοντες e, αν n = 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 10 Σηµειώνουµε ότι στον πολλαπλασιαστικό συµβολισµό, συνήθως το ουδέτερο στοιχείο e συµβολίζεται µε 1 Αν επιπλέον το στοιχείο x έχει αντίστροφο ως προς την πράξη, τότε το αντίστροφο στοιχείο του x συµβολίζεται µε x 1 X, και τότε, n 1: x n := x 1 x 1 x 1 }{{} n παράγοντες Το στοιχείο x n καλείται η n-οστή δύναµη (ϕυσική ή ακέραια) του x ως προς την πράξη (Προσθετικός Συµβολισµός) Αν ο συµβολισµός της διµελούς πράξης είναι «προσθετικός», δηλαδή προσο- µοιάζει µε την συνήθη πράξη πρόσθεσης σε ένα σύνολο αριθµών, οπότε χρησιµοποιούµε ως σύµβολο της διµελούς πράξης το σύµβολο «+», τότε ϑα γράφουµε + n x := nx και ο ορισµός 1113 παίρνει την ακόλουθη µορφή : } x + x + {{ + x }, αν n 1 nx := n παράγοντες e, αν n = 0 Σηµειώνουµε ότι στον προσθετικό συµβολισµό, συνήθως το ουδέτερο στοιχείο e συµβολίζεται και µε 0 Αν επιπλέον το στοιχείο x έχει αντίστροφο ως προς την πράξη «+», τότε το αντίστροφο του x καλείται αντίθετο στοιχείο του x και συµβολίζεται µε x X, και τότε, n 1: ( n)x := ( x) + ( x) + + ( x) }{{} n παράγοντες Το στοιχείο nx καλείται η n-οστό πολλαπλάσιο (ϕυσικό ή ακέραιο) του x ως προς την πράξη «+» Σηµειώνουµε ότι παραδοσιακά ο προσθετικός συµβολισµός για µια πράξη χρησιµοποιέιται συνήθως (αλλά όχι πάντα) όταν η πράξη είναι µεταθετική Χάριν απλότητας του συµβολισµού, στην ακόλουθη πρόταση, η οποία περιγράφει τις ϐασικές ιδιότητες δυνάµεων στοιχείων, χρησιµοποιούµε τον πολλαπλασιαστικό συµβολισµό για µια πράξη ορισµένη επί ενός συνόλου Πρόταση 1115 Εστω ότι (X, ) είναι ένα Ϲεύγος αποτελούµενο από ένα µη-κενό σύνολο X και µια προσεταιριστική πράξη επί του X για την οποία υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e X Τότε για κάθε στοιχείο x X ϑα έχουµε : 1 Ισχύει ότι : x n+m = x n x m, n,m N 0 Αν το x είναι αντιστρέψιµο ως προς την πράξη, τότε : n,m Z : x n+m = x n x m 2 Ισχύει ότι : (x n ) m = x nm, n,m N 0 Αν το x είναι αντιστρέψιµο ως προς την πράξη, τότε : n,m Z : (x n ) m = x nm Ιδιαίτερα αν το x είναι αντιστρέψιµο ως προς την πράξη µε αντίστροφο το στοιχείο x 1, τότε : n Z : (x n ) 1 = x n = (x 1 ) n 1141 Ο Πίνακας Cayley µιας ιµελούς Πράξης Θεωρούµε ένα Ϲεύγος (X, ), όπου X = { x 1, x 2,, x n } είναι ένα πεπερασµένο σύνολο και είναι µια πράξη επί του X Ολες οι ϐασικές πληροφορίες οι αποίες αφορούν την πράξη εµπεριέχονται στο πίνακα Cayley της πράξης ο οποίος ορίζεται παρακάτω Υπενθυµίζουµε πρώτα ότι αν A = (a i j ) είναι ένας n n πίνακας µε στοιχεία από ένα σύνολο X, τότε το στοιχείο a i j ϐρίσκεται στην τοµή της i-γραµµής και της j -στήλης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 11 x 1 x 2 x i x j x n x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x i x 1 x j x 1 x n x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x i x 2 x j x 2 x n x i x i x 1 x i x 2 x i x i x i x j x i x n x j x j x 1 x j x 2 x j x i x j x j x j x n x n x n x 1 x n x 2 x n x i x n x j x n x n Σχήµα 11: Ο πίνακας Cayley της αλγεβρικής δοµής (X, ) Ορισµός 1116 Ο τετραγωνικός n n πίνακας C(X, ) = (x i j ) στοιχείων του X, όπου : x i j := x i x j, 1 i, j n καλείται πίνακας Cayley της πράξης ή της αλγεβρικής δοµής (X, ), και παρίσταται όπως στο παραπάνω σχήµα 11: Παρατήρηση 1117 1 Οταν είναι γνωστός ο πίνακας Cayley C(X, ) µιας αλγεβρικής δοµής (X, ), τότε µπορεί να διαπιστωθεί αµέσως αν η πράξη είναι µεταθετική ή όχι Πράγµατι, είναι αρκετό να παρατηρήσει κανείς ότι για κάθε i, j µε 1 i, j, n, τα στοιχεία x i j = x i x j και x j i = x j x i, ϐρίσκονται συµµετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα η οποία αποτελείται από τα στοιχεία x ii = x i x i, 1 i n Συνεπώς η πράξη είναι µεταθετική αν και µόνο αν τα στοιχεία του πίνακα C(X, ) που κείνται συµµετρικά ως προς την κύρια διαγώνιό του είναι ίσα Εποµένως η πράξη επί του X είναι µεταθετική αν και µόνον αν ο πίνακας Cayley C(X, ) της πράξης είναι συµµετρικός 2 : C(X, ) = t C(X, ) 2 Αν X = {x 1, x 2,, x n } είναι ένα σύνολο µε n στοιχεία, τότε κάθε πίνακας µε n γραµµές και n στήλες, ο οποίος αποτελείται από στοιχεία τού X, ορίζει µια πράξη επί τού X ως ακολούθως : : X X X, (x i, x j ) x i x j := το στοιχείο τού X που ϐρίσκεται στην(i, j )-ϑέση τού πίνακα 3 Οταν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e X για την πράξη επί του πεπερασµένου συνόλου X = { } x 1, x 2,, x n, τότε, αναδιατάσσοντας αν είναι ανάγκη τα στοιχεία του X, µπορούµε να υποθέσουµε ότι e = x1 Τότε ϑα έχουµε x 1 x k = x k = x k x 1, 1 k n, και εποµένως η πρώτη γραµµή x 1k = x 1 x k, 1 k n, και η πρώτη στήλη x k1 = x k x 1, 1 k n, του πίνακα Cayley στο Σχήµα 11 αποτελείται από τα στοιχεία x 1, x 2,, x n µε την ίδια σειρά 1142 Επαγόµενες Πράξεις Εστω µια πράξη επί ενός µη-κενού συνόλου X Αν S είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του X, τότε για κάθε δύο στοιχεία s 1, s 2 του υποσυνόλου S, το στοιχείο s 1 s 2 X, δεν είναι απαραίτητα στοιχείο του S 2 Υπενθυµίζουµε ότι ο ανάστροφος πίνακας t A ενός πίνακα A = (a i j ), είναι ο πίνακας t A = (a j i ), δηλαδή στην τοµή της i-γραµµής και της j -στήλης ϐρίσκεται το στοιχείο a j i του πίνακα A Εξ ορισµού ο πίνακας A είναι συµµετρικός αν συµπίπτει µε τον ανάστροφό του : A = t A

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 12 Το υποσύνολο S του X είναι κλειστό στην πράξη επί του X, αν : s 1, s 2 S : s 1 s 2 S Η ακόλουθη Πρόταση περιγράφει τις κυριότερες ιδιότητες υποσυνόλων S X κλειστών σε πράξεις ορισµένων επί υπερκείµενων συνόλων X Ιδιαίτερα έπεται ότι το επαγόµενο Ϲεύγος (S, ) κληρονοµεί αρκετές από τις ιδιότητες τις οποίες διαθέτει το Ϲεύγος (X, ) Πρόταση 1118 Εστω µια πράξη επί ενός µη-κενού συνόλου X, και S ένα µη-κενό υποσύνολο του X, το οποίο είναι κλειστό στην πράξη Τότε η πράξη επάγει µια πράξη «S» επί του συνόλου S ως εξής, s 1, s 2 S: s 1 S s 2 = s 1 s 2 Επιπλέον : 1 Αν η πράξη επί του X είναι προσεταιριστική ή µεταθετική, τότε η πράξη «S» επί του S είναι προσεται- ϱιστική ή µεταθετική αντίστοιχα 2 Εστω e X ένα ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του X Αν e S, τότε το e είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη «S» επί του S 3 Υποθέτουµε ότι η πράξη έχει ένα ουδέτερο στοιχείο e X έτσι ώστε e S, και έστω x ένα στοιχείο του S για το οποίο υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο x X Αν x S, τότε το στοιχείο x είναι ένα αντίστροφο στοιχείο του x για την πράξη «S» επί του S 1143 Πράξεις συµβιβαστές µε σχέσεις ισοδυναµίας Οπως ϑα δούµε αργότερα, σηµαντικό ϱόλο παίζουν πράξεις : X X X επί συνόλων X οι οποίες είναι συµβιβαστές µε µια δοσµένη σχέση ισοδυναµίας R X X επί του συνόλου X, µε την έννοια του ακόλουθου ορισµού Ορισµός 1119 Η σχέση ισοδυναµίας R είναι συµβιβαστή µε την πράξη επί του X αν ισχύει : x, y, z, w X : x R z και y R w = x y R z w Η ακόλουθη Πρόταση εξηγεί γιατί η παραπάνω έννοια είναι σηµαντική Πρόταση 1120 Εστω ότι : X X X είναι µια πράξη επί του συνόλου X, και έστω ότι R X X είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη 1 Ορίζοντας : X /R X /R X /R, ([x] R,[y] R ) := [x] R [y] R = [x y] R αποκτούµε µια πράξη επί του συνόλου-πηλίκο X /R 2 Αν η πράξη επί του X είναι προσεταιριστική ή µεταθετική, τότε η πράξη επί του X /R είναι προσεταιριστική ή µεταθετική αντίστοιχα 3 Εστω e X ένα ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του X Τότε το στοιχείο [e] R X /R είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του X /R 4 Υποθέτουµε ότι η πράξη έχει ένα ουδέτερο στοιχείο e X, και έστω x ένα στοιχείο του X για το οποίο υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο x X ως προς την πράξη Τότε το στοιχείο [x ] R είναι ένα αντίστροφο στοιχείο του [x] R για την πράξη επί του X /R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 13 115 Μονοειδή Σύνολα τα οποία είναι εφοδιασµένα µε µια προσεταιριστική πράξη για την οποία υπάρχει ουδέτερο στοιχείο έχουν ευχάριστες ιδιότητες και επιπλέον πολλά γνωστά µας σύνολα είναι εφοδιασµένα µε τέτοιες πράξεις Ο ακόλουθος ορισµός τυποποιεί αλγεβρικές δοµές αυτής της κατηγορίας Ορισµός 1121 Ενα Ϲεύγος (X, ), όπου είναι µια πράξη επί ενός συνόλου X καλείται µονοειδές, αν : 1 Η πράξη είναι προσεταιριστική 2 Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e για την πράξη επί του X Το µονοειδές (X, ) καλείται µεταθετικό µονοειδές, αν η πράξη είναι µεταθετική Οταν το σύνολο X είναι πεπερασµένο, ο πίνακας Cayley της πράξης καλείται ο πίνακας Cayley του µονοειδούς (X, ) Παρατήρηση 1122 Οπως προκύπτει εύκολα, το ουδέτερο στοιχείο e ενός µονοειδούς (X, ) είναι µοναδικό, και αν x είναι ένα στοιχείο του X για το οποίο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο x = x 1, τότε το αντίστροφο στοιχείο είναι µοναδικό Μια γενικότερη έννοια από την έννοια του µονοειδούς, είναι η έννοια της ηµιοµάδας : µια ηµιοµάδα είναι ένα Ϲεύγος (X, ), όπου X είναι ένα µη-κενό σύνολο και είναι µια προσεταιριστική πράξη επί του X Ενα υποσύνολο S X καλείται υποµονοειδές του X αν το υποσύνολο S είναι κλειστό στην πράξη του X και περιέχει το ουδέτερο στοιχείο e του X Η επόµενη Πρόταση δείχνει τρόπους κατασκευής νέων µονοειδών από παλαιά Πρόταση 1123 Εστω (X, ) ένα (µεταθετικό) µονοειδές µε ουδέτερο στοιχείο e 1 Αν S X είναι ένα υποµονοειδες του X, τότε το Ϲεύγος (S, S ), όπου «S» είναι η επαγόµενη πράξη, είναι ένα (µεταθετικό) µονοειδές µε ουδέτερο στοιχείο e 2 Αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη, τότε το Ϲεύγος (X /R, ), όπου είναι η πράξη : X /R X /R X /R, ([x] R,[y] R ) [x] R [y] R = [x y] R είναι ένα (µεταθετικό) µονοειδές, το οποίο καλείται το µονοειδές πηλίκο του X ως προς του σχέση ισοδυναµίας R Για παράδειγµα, αν (X, ) είναι ένα µονοειδές, τότε το υποσύνολο U(X, ) το οποίο αποτελείται από τα αντιστρέψιµα στοιχεία του X είναι ένα υποµονοειδές του X Στο σύνολο Z των ακεραίων µπορούν να ορισθούν δύο µονοειδή : το µονοειδές (Z,+) και το µονοειδές (Z, ), όπου «+» και είναι οι συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ακεραίων Για κάθε ϑετικό ακέραιο n, η σχέση ισοτιµίας «R n», όπου xr n y αν και µόνον αν n x y, είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο Z η οποία είναι συµβιβαστή και µε τις δύο πράξεις «+» και Ετσι ορίζεται το µονοειδές πηλίκο (Z/R n, ), για το οποίο γνωρίζουµε ότι Z/R n = Z n Επιπλέον αποκτούµε το υποµονοειδές (U(Z n ), ) των αντιστρέψιµων στοιχείων του (Z n, ) Αν (X 1, 1 ), (X 2, 2 ),, (X n, n ) είναι µονοειδή, τότε το καρτεσιανό γινόµενο συνόλων n k=1 X k µπορεί να δοµηθεί σε µονοειδές : Πρόταση 1124 Με τους παραπάνω συµβολισµούς, το Ϲεύγος ( n k=1 X k, ), όπου (x 1, x 2,, x n ) (y 1, y 2,, y n ) = ( x 1 1 y 1, x 2 2 y 2,, x n n y n ) είναι µονοειδές, το ευθύ γινόµενο των µονοειδών (X i, i ) Επιπρόσθετα : n n U( X k, ) = U(X k, k ) k=1 k=1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 14 1151 Οµοµορφισµοί µονοειδών Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι η αλγεβρική δοµή ενός µονοειδούς (X, ) καθορίζεται από την πράξη επί του X και το ουδέτερο στοιχείο της e X X, οδηγούµαστε ϕυσιολογικά στην έννοια του οµοµορφισµού µονοειδών (X, ) και (Y, ) η οποία είναι η κάταλληλη έννοια σύγκρισης ή συσχέτισης µονοειδών Ορισµός 1125 Εστω (X, ) και (Y, ) δύο µονοειδή Μια απεικόνιση f : X Y καλείται οµοµορφισµός µονοειδών αν : x 1, x 2 X : f (x 1 x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) και f (e X ) = e Y όπου e X, αντίστοιχα e Y, είναι το ουδέτερο στοιχείο του µονοειδούς X, αντίστοιχα του µονοειδούς Y Το σύνολο όλων των οµοµορφισµών µονοειδών από το µονοειδές (X, ) στο µονοειδές (Y, ) συµβολίζεται µε : Hom Mon (X,Y ) = { f : X Y f : οµοµορφισµός µονοειδών } Γενικότερα αν τα Ϲεύγη (X, ) και (Y, ) είναι ηµιοµάδες, δηλαδή οι πράξεις και είναι προσεταιριστικές αλλά δεν υπάρχει απαραίτητα ουδέτερο στοιχείο για τις πράξεις και αντίστοιχα, τότε µια απεικόνιση απεικόνιση f : X Y καλείται οµοµορφισµός ηµιοµάδων αν : x 1, x 2 X : f (x 1 x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) Παράδειγµα 1126 Τα ακόλουθα είναι ϐασικά παραδείγµατα οµοµορφισµών µονοειδών 1 Θεωρούµε µονοειδή (X, ) και (Y, ) µε ουδέτερα στοιχεία e X και e Y αντίστοιχα (αʹ) Η ταυτοτική απεικόνιση Id X : X X είναι οµοµορφισµός µονοειδών (ϐʹ) Η απεικόνιση e: X Y, e(x) = e Y, x X, είναι οµοµορφισµός µονοειδών, ο οποίος καλείται ο τετριµµένος οµοµορφισµός µονοειδών 2 Αν (S, ) είναι υποµονοειδές του µονοειδούς (X, ), δηλαδή το υποσύνολο S X είναι κλειστό στην πράξη του X και e X S και άρα το Ϲεύγος (S, ) είναι µονοειδές µε την επαγόµενη πράξη, τότε η απεικόνιση έγκλεισης ι S : S X, ι S (x) = x, είναι προφανώς ένας οµοµορφισµός µονοειδών 3 Εστω ότι (X, ) είναι ένα µονοειδές και έστω ότι R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη Θεωρούµε το µονοειδές πηλίκο (X /R, ) Τότε η απεικόνιση κανονικής προβολής π R : X X /R, π R (x) = [x] R είναι ένας οµοµορφισµός µονοειδών ο οποίος καλείται κανονική προβολή του µονοειδούς X στο µονοειδές πηλίκο X /R 4 Θεωρούµε µονοειδή (X 1, 1 ), (X 2, 2 ),, (X n, n ) µε ουδέτερο στοιχείο e i αντίστοιχα, όπου 1 i n, και έστω (X = n k=1 X k, ) το µονοειδές ευθύ γινόµενο, ϐλέπε την Πρόταση 1124 Τότε για κάθε δείκτη k = 1,2,,n, η απεικόνιση προβολής π k : n X k X k, π k (x 1, x 2,, x n ) = x k k=1 είναι ένας οµοµορφισµός µονοειδών Οι οµοµορφισµοί µονοειδών π k, 1 k n, καλούνται οµοµορ- ϕισµοί κανονικής προβολής από το µονοειδές ευθύ γινόµενο ( n k=1 X k, ) στα µονοειδή παράγοντες (X k, k ) Η επόµενη πρόταση περιγράφει κάποιες ϐασικές ιδιότητες οµοµορφισµών µονοειδών Πρόταση 1127 Ισχύουν τα ακόλουθα : 1 Σύνθεση οµοµορφισµών µονοειδών, όταν ορίζεται, είναι οµοµορφισµός µονοειδών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 15 2 Αν f : (X, ) (Y, ) είναι ένας οµοµορφισµός µονοειδών και η απεικόνιση f είναι «1-1» και «επί», τότε η αντίστροφη απεικόνιση f 1 : X Y είναι ένας οµοµορφισµός µονοειδών Κάθε οµοµορφισµός µονοειδών f : (X, ) (Y, ) διατηρεί αντιστρέψιµα στοιχεία και εποµένως επάγει έναν οµοµορφισµό µονοειδών U(f ) : U(X, ) U(Y, ), U(f )(x) = f (x) Παράδειγµα 1128 Αν f : (X, ) (Y, ) είναι ένας οµοµορφισµός µονοειδών, τότε ο f ορίζει δύο υπο- µονοειδή τα οποία διαδραµατίζουν σηµαντικό ϱόλο στην µελέτη του f : ένα υποµονοειδές του (X, ) και ένα υποµονοειδές του (Y, ): 1 Το υποσύνολο Ker(f ) = { x X f (x) = e Y } είναι ένα υποµονοειδές του X, το οποίο καλείται πυρήνας του f 2 Το υποσύνολο Im(f ) = { f (x) Y x X } είναι ένα υποµονοειδές του Y, το οποίο καλείται εικόνα του f Η κατάλληλη έννοια µε τη ϐοήθεια της οποίας µπορούµε να ταυτίσουµε δύο µονοειδή µε ϐάση ιδιότητες οι οποίες απορρέουν από τα αξιώµατα, είναι η έννοια του ισοµορφισµού µονοειδών Ορισµός 1129 Ενας οµοµορφισµός µονοειδών f : (X, ) (Y, ) καλείται ισοµορφισµός µονοειδών αν η απεικόνιση f είναι απεικόνιση «1-1» και «επί», και τότε ϑα συµβολίζουµε : f : (X, ) = (Y, ) Ενας ισοµορφισµός µονοειδών f : (X, ) (X, ) καλείται αυτοµορφισµός του (X, ) Γενικότερα ο οµοµορφισµός µονοειδών f : (X, ) (Y, ) καλείται : 1 µονοµορφισµός µονοειδών αν η f είναι απεικόνιση «1-1» Για παράδειγµα, αν S ένα υποµονοειδές του µονοειδούς (X, ), τότε η απεικόνιση έγκλεισης ι: S X είναι ένας µονοµορφισµός µονοειδών 2 επιµορφισµός µονοειδών αν η f είναι απεικόνιση «επί» Για παράδειγµα, έστω ότι (X, ) είναι ένα µονοειδές και έστω ότι R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη Τότε η απεικόνιση κανονικής προβολής, όπως στο Παράδειγµα 1126: π R : X X /R, π R (x) = [x] R από το µονοειδές X στο µονοειδές πηλίκο X /R f είναι προφανώς επιµορφισµός µονοειδών Η σχέση ισοµορφίας «=» η οποία ορίζεται στην κλάση Mon όλων των µονοειδών ως εξής : αν (X, ), (Y, ) Mon τότε : (X, ) = (Y, ) υπάρχει ισοµορφισµός µονοειδών f : (X, ) = (Y, ) είναι µια σχέση ισοδυναµίας και διαµερίζει την κλάση Mon σε κλάσεις ισοδυναµίας, τις κλάσεις ισοµορφίας µονοειδών Οπως µπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, ισόµορφα µονοειδή, δηλαδή µονοειδή στην ίδια κλάση ισοµορφίας, έχουν κοινό πίνακα Cayley, καθώς και κοινές δοµικές ιδιότητες, δηλαδή ιδιότητες οι οποίες απορρέουν από τα αξιώµατα µονοειδούς Αν τα µονοειδή (X, ) και (Y, ) δεν είναι ισόµορφα, τότε ϑα γράφουµε : (X, ) (Y, ) Η επόµενη Πρόταση δίνει έναν χρήσιµο χαρακτηρισµό ισοµορφισµού µονοειδών Πρόταση 1130 Για µια απεικόνιση f : (X, ) (Y, ) µεταξύ µονοειδών, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 16 1 Η απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός µονοειδών 2 Η f είναι οµοµορφισµός µονοειδών και υπάρχει οµοµορφισµός µονοειδών g : Y X έτσι ώστε : f g = Id Y και g f = Id X Αν ισχύει µια από τις ισοδύναµες συνθήκες 1 και 2, τότε η απεικόνιση g στη συνθήκη 2 είναι µοναδική και g = f 1 Το ακόλουθο σηµαντικό ϑεµελιώδες ϑεώρηµα πιστοποιεί ότι κάθε οµοµορφισµός µονοειδών µπορεί να αναλυθεί ως σύνθεση ενός µονονοµορφισµού, ενός ισοµορφισµού και ενός επιµορφισµού µονοειδών µε ϕυσικό τρόπο Υπενθυµίζουµε ότι η σχέση ισοδυναµιας την οποία επάγει επί του X µια απεικόνιση f : X Y, ορίζεται ως εξής : x 1, x 2 X : x 1 R f x 2 αν και µόνον αν f (x 1 ) = f (x 2 ) Θεώρηµα 1131 (Θεώρηµα Ισοµορφισµών για Μονοειδή) Εστω f : (X, ) (Y, ) ένας οµοµορφισµός µονοειδών 1 Η σχέση ισοδυναµίας R f την οποία επάγει η απεικόνιση f επί του X είναι συµβιβαστή µε την πράξη του µονοειδούς (X, ) και εποµένως ορίζεται το µονοειδές πηλίκο (X /R f, ) 2 Ο οµοµορφισµός f επάγει έναν ισοµορφισµό µονοειδών f : (X /R f, ) = (Im(f ), ), f ([x] R f ) = f (x) 3 Ο οµοµορφισµός f είναι σύνθεση του επιµορφισµού π R f : X X /R f, του ισοµορφισµού f : X /R f Im(f ) και του µονοµορφισµού i f : Im(f ) Y, σχηµατικά το ακόλουθο διάγραµµα είναι µεταθετικό : π R f X X /R f f f Y δηλαδή : f = i f f π R f i Im(f ) Για κάθε µη-κενό σύνολο X, ϑεωρούµε το Ϲεύγος (Map(X ), ), όπου Map(X ) = { f : X X f : απεικόνιση } είναι το σύνολο των απεικονίσεων επί του X, και είναι η πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων Εύκολα ϐλέπουµε ότι το Ϲεύγος (Map(X ), ) είναι ένα µονοειδές, ϐλέπε και το Παράδειγµα 12, το οποίο διαδραµατίζει σηµαντικό ϱόλο στη ϑεωρία µονοειδών όπως δείχνει η ανάλυση που ακολουθεί Το υποµονοειδές των α- ντιστρέψιµων στοιχείων του µονοειδούς (Map(X ), ) συµβολίζεται µε (S(X ), ) και αποτελείται από όλες τις αντιστρέψιµες, δηλαδή από όλες τις «1-1» και «επί», απεικονίσεις f : X X Εστω ότι (X, ) είναι ένα µονοειδές Θεωρούµε την αριστερή κανονική αναπαράσταση του (X, ): L : X Map(X ), x L(x) := L x : X X, y L x (y) = x y και την δεξιά κανονική αναπαράσταση του (X, ): R : X Map(X ), x R(x) := R x : X X, y R x (y) = y x Θεωρούµε τα υποσύνολα Im(L) Map(X ) Im(R), δηλαδή : Im(L) = { L x : X X, L x (y) = x y x X } και Im(R) = { R x : X X, R x (y) = y x x X } Κλείνουµε την παρούσα ενότητα µε το ακόλουθο αποτέλεσµα, γνωστό ως Θεώρηµα του Cayley για µονοειδή, το οποίο, µε χρήση κανονικών αναπαραστάσεων µονοειδών, µας επιτρέπει να ϑεωρήσουµε κάθε µονοειδές ως υποµονοειδές του µονοειδούς των απεικονίσεων επί ενός κατάλληλου συνόλου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 17 Πρόταση 1132 (Θεώρηµα του Cayley για µονοειδή) Εστω (X, ) ένα µονοειδές 1 Η αριστερή κανονική αναπαράσταση L: (X, ) (Map(X ), ) είναι «1-1», το υποσύνολο Im(L) είναι ένα υποµονοειδές του (Map(X ), ) και η L επάγει έναν ισοµορφισµό µονοειδών (X, ) = Im(L) Map(X ) Επιπλέον η απεικόνιση L επάγει έναν µονοµορφισµό µονοειδών L: U(X, ) S(X ) 2 Η δεξιά κανονική αναπαράσταση R: (X, op ) (Map(X ), ) είναι «1-1», το υποσύνολο Im(R) είναι ένα υποµονοειδές του (Map(X ), ) και η R επάγει έναν ισοµορφισµό µονοειδών (X, op ) = Im(R) Map(X ) Επιπλέον η απεικόνιση R επάγει έναν µονοµορφισµό µονοειδών R: U(X, op ) S(X ) Συχνά αναφερόµαστε στο υποµονοειδές Im(L) Map(X ), αντίστοιχα Im(R) Map(X ), ως η αριστερή, αντίστοιχα δεξιά, κανονική αναπαράσταση του µονοειδούς (X, ) 12 Παραδείγµατα Στην παρούσα παράγραφο συνοψίζουµε και περιγράφουµε για µελλοντική χρήση, ενδεικτικά παραδείγµατα τα οποία αφορούν έννοιες οι οποίες εισήχθηκαν στις προηγούµενες παραγράφους, και ϑα είναι εν χρήσει στη συνέχεια των σηµειώσεων 1 Θεωρούµε το Ϲεύγος (X,+), όπου X είναι ένα εκ των συνόλων αριθµών N, N 0, Z, Q, R, C, και «+» είναι η συνήθης πράξη πρόσθεσης αριθµών Τότε η πράξη «+» είναι προσεταιριστική και µεταθετική Αν X = N, τότε για την πράξη «+» δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (αν υπήρχε ένα τέτοιο στοιχείο e N, ϑα έπρεπε να ίσχυε e + x = x, x N, απ όπου έπεται ότι e = 0, το οποίο είναι άτοπο διότι 0 N) Αντίθετα αν το σύνολο X είναι ένα εκ των N 0, Z, Q, R, και C, τότε υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, ο αριθµός 0, για την πράξη «+» Για τα σύνολα των αντίθετων (ή αντιστρέψιµων) στοιχείων του X ως προς την πράξη «+», τα οποία γνωρίζουµε ότι είναι κλειστά στην πράξη του µονοειδούς, έχουµε : U(N 0,+) = { 0 }, U(Z,+) = Z, U(Q,+) = Q, U(R,+) = R, U(C,+) = C Ιδιαίτερα ϐλέπουµε ότι το Ϲεύγος (N,+)) δεν είναι µονοειδές Αντίθετα τα Ϲεύγη U(N 0,+) = { 0 }, (Z,+), (Q, +), (R, +), και (C, +) είναι µεταθετικά µονοειδή και ικανοποιούν την επιπρόσθετη ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία τους είναι αντιστρέψιµα 2 Θεωρούµε το Ϲεύγος (X, ), όπου X είναι ένα εκ των συνόλων αριθµών N, Z, Q, R, C, και είναι η συνήθης πράξη πολαπλασιασµού αριθµών Τότε η πράξη είναι προσεταιριστική και µεταθετική, και υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, ο αριθµός 1 Για τα σύνολα των αντιστρέψιµων στοιχείων ως προς την πράξη, τα οποία γνωρίζουµε ότι είναι κλειστά στην πράξη του µονοειδούς, έχουµε : U(N, ) = { 1 }, U(Z, ) = { 1, 1 }, U(Q, ) = Q, U(R, ) = R, U(C, ) = C, Ιδιαίτερα ϐλέπουµε ότι τα Ϲεύγη (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ), και (C, ) είναι µονοειδή Επιπρόσθετα τα Ϲεύγη ({1}, ), ({1, 1}, ), (Q, ), (R, ), και (C, ) είναι µεταθετικά µονοειδή και ικανοποιούν την επιπρόσθετη ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία τους είναι αντιστρέψιµα 3 Για κάθε ϑετικό ακέραιο n, ϑεωρούµε το σύνολο πηλίκο Z n = { [0] n,[1] n,,[n 1] n } του συνόλου των ακεραίων Z ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R n η οποία ορίζεται ως εξής : x, y Z: x Rn y αν και µόνον αν n x y Βλέπουµε εύκολα ότι η συνήθης πράξη της πρόσθεσης «+» και η συνήθης πράξη του πολλαπλασιασµού επί του συνόλου Z είναι συµβιβαστή µε τη σχέση ισοδυναµίας R n Εποµένως από τα µεταθετικά µονοειδή (Z,+) και (Z, ), προκύπτουν τα µεταθετικά µονοειδή (Z n,+) και (Z n, ) 4 Θεωρούµε το Ϲεύγος (Map(X ), ), όπου Map(X ) = { f : X X f : απεικόνιση } είναι το σύνολο των απεικονίσεων επί ενός µη-κενού συνόλου X, και είναι η πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων : : Map(X ) Map(X ) Map(X ), (f, g ) f g

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 18 Η πράξη της σύνθεσης είναι προσεταιριστική, αλλά γενικά δεν είναι µεταθετική Η ταυτοτική απεικόνιση Id X αποτελεί ουδέτερο στοιχείο για την πράξη, και για το σύνολο των αντιστρέψιµων στοιχείων, έχουµε : U(Map(X ), ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } = S(X ) Ιδιαίτερα ϐλέπουµε ότι το Ϲεύγος (Map(X ), ) είναι ένα, γενικά µη-µεταθετικό, µονοειδές Επειδή το σύνολο S(X ) είναι κλειστό στην πράξη της σύνθεσης, έπεται ότι το Ϲεύγος (S(X ), ) είναι µονοειδές το οποίο ικανοποιεί την επιπρόσθετη ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία του είναι αντιστρέψιµα Το µονοειδές (S(X ), ) καλείται το µονοειδές των µεταθέσεων επί του συνόλου X (ϑα δούµε αργότερα ότι το µονοειδές αυτό έχει πλουσιότερη δοµή) 5 Εστω M m n (R) το σύνολο όλων των m n πινάκων A µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς : a 11 a 12 a 1n M m n (R) = { A = (a i j ) a i j R, 1 i m, 1 j n } a 21 a 22 a 2n, όπου A = (a i j ) = a m1 a m2 a mn Συνήθως ένας m n πίνακας A ϑα παρίσταται σε συντοµευµένη µορφή ως A = (A i j ) ή A = (a i j ), υπονοώντας ότι το στοιχείο στην (i, j )-ϑέση του πίνακα A, δηλαδή στην τοµή της i-γραµµής µε την j -στήλη, είναι ο αριθµός A i j ή a i j αντίστοιχα Στο σύνολο M m n (R) ϑεωρούµε την συνήθη πράξη πρόσθεσης πινάκων : αν A = (a i j ) και B = (b i j ), τότε A + B = (c i j ), όπου c i j = a i j + b i j, 1 i m, 1 j n Η πράξη «+» επί του συνόλου M m n (R) είναι προσεταιριστική, µεταθετική, ο µηδενικός πίνακας O = (x i j ), όπου x i j = 0, 1 i m, 1 j n, είναι το ουδέτερο στοιχείο, και για το σύνολο των αντιθέτων στοιχείων ως προς την πράξη «+» έχουµε προφανώς U(M m n (R),+) = M m n (R), διότι για κάθε πίνακα A = (a i j ), υπάρχει ο πίνακας A := ( a i j ) έτσι ώστε A + ( A) = O = ( A) + A Ετσι το Ϲεύγος (M m n (R),+) είναι ένα µεταθετικό µονοειδές, κάθε στοιχείο του οποίου είναι αντιστρέψιµο Οταν m = n, µπορούµε να ορίσουµε στο σύνολο M n (R) := M n n (R) µια νέα πράξη, την πράξη του πολλαπλασιασµού πινάκων : Αν A = (a i j ) και B = (b i j ), τότε : A B = (c i j ), όπου c i j = n a ik b k j, k=1 1 i, j n Οπως µπορούµε να δούµε εύκολα, η πράξη πολλαπλασιασµού πινάκων είναι προσεταιριστική 3 Οµως, όταν n > 1, η πράξη δεν είναι µεταθετική διότι για παράδειγµα : 1 1 1 1 0 0 n 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 = = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Προφανώς ο µοναδιαίος πίνακας 1 0 0 0 1 0 I n = 0 0 1 3 Εστω A = (Ai j ), B = (B i j ), και C = (C i j ) τρείς n n πίνακες µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς Τότε, για κάθε 1 i, j n, ϑα έχουµε ότι το στοιχείο στην (i, j -ϑέση του πίνακα A (B C) είναι : n n n n n n n n [A (B C)] i j = A ik (B C) k j = A ik ( B km C m j ) = A ik (B km C m j ) = (A ik B km )C m j = (A B) im C m j = [(A B) C] i j k=1 k=1 m=1 k=1 m=1 m=1 k=1 m=1 δηλαδή είναι ίσο µε το στοιχείο στην (i, j )-ϑέση του πίνακα (A B) C Εποµένως οι πίνακες A (B C) και (A B) C έχουν ίσα στοιχεία στις αντίστοιχες ϑέσεις και άρα : A (B C) = (A B) C

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 19 αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη, και το σύνολο U(M n (R), ) των αντιστρέψιµων στοιχείων του M n (R) ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελείται από το σύνολο 4 GL(n,R) των αντιστρέψιµων n n πινάκων πραγµατικών αριθµών : U(M n (R), ) := GL(n,R) = { A M n (R) A : αντιστρέψιµος } Σηµειώνουµε ότι, όπως γνωρίζουµε από την Γραµµική Άλγεβρα, ισχύει ότι GL(n,R) = { A M n (R) Det(A) 0 } Παρόµοιες παρατηρήσεις ισχύουν αν αντικαταστήσουµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R µε ένα εκ των συνόλων Q και C 6 Θεωρούµε τα Ϲεύγη (N,(,)) και (N,[,]), όπου «(,)» και «[,]» είναι οι ακόλουθες πράξεις επί του N: (,) : N N N, (n,m) = µέγιστος κοινός διαιρέτης των n,m [,] : N N N, [n,m] = ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των n,m Οι πράξεις «(,)» και «[,]» επί του N είναι προσεταιριστικές και µεταθετικές, αλλά δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο για τις πράξεις αυτές 7 Εστω A ένα µη-κενό σύνολο, και έστω P (X ) το δυναµοσύνολο του X Θεωρούµε τα Ϲεύγη (P (A), ) και (P (A), ), όπου X,Y P (X ): X Y είναι η τοµή και X Y είναι η ένωση των υποσυνόλων X και Y του A Τότε οι πράξεις και είναι προσεταιριστικές και µεταθετικές Το σύνολο A αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του P (A), και το κενό σύνολο αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη επί του P (A) Τέλος για τα σύνολα των αντιστρέψιµων στοιχείων, έχουµε : U ( P (A), ) = { A } και U ( P (A), ) = { } Επί του συνόλου P (A) µπορούµε να ορίσουµε και µια τρίτη ενδιαφέρουσα πράξη, την «συµµετρική διαφορά» υποσυνόλων του X : : P (A) P (A) P (A), X Y = (X Y ) \ (X Y ) Η πράξη είναι προσεταιριστική και µεταθετική Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, το κενό σύνολο, για την πράξη, και για το σύνολο U ( P (A), ) των αντιστρέψιµων στοιχείων του P (A) ως προς την πράξη έχουµε : U ( P (A), ) = P (A), διότι για κάθε X P (A) έχουµε : X X =, δηλαδή το αντίστροφο ως προς την πράξη του X υπάρχει και συµπίπτει µε το X 8 Εστω F (X,R) = { f : X R f : απεικόνιση } το σύνολο όλων των πραγµατικών απεικονίσεων οι ο- ποίες είναι ορισµένες επί ενός υποσυνόλου X της πραγµατικής ευθείας Το σύνολο F (X ), R) είναι εφοδιασµένο µε τις εξής πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού συναρτήσεων : f, g : X R, f + g, f g : X R, όπου (f + g )(x) = f (x) + g (x), (f g )(x) = f (x) g (x) Επειδή οι πράξεις «+» και επί του συνόλου F (X,R) µε χρήση των αντίστοιχων πράξεων «+» και επί του R οι οποίες είναι προσεταιριστικές και µεταθετικές, έπειται ότι οι πράξεις «+» και επί του συνόλου F (X, R) είναι προσεταιριστικές και µεταθετικές Οι απεικονίσεις 0: X R, 0(x) = 0 και 1: X R, 1(x) = 1 αποτελούν ουδέτερο στοιχείο για τις πράξεις «+» και επί του συνόλου F (X,R) αντίστοιχα 4 Το σύνολο GL(n,R) των αντιστρέψιµων n n πινάκων συµβολίζεται και µε GLn (R)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 20 9 Εστω ότι K είναι ένα εκ των συνόλων Z, Q, R, C, καθένα εκ των οποίο ϑεωρείται εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού Υπενθυµίζουµε ότι µια ακολουθία στοιχείων του K ορίζεται να είναι µια απεικόνιση a : N 0 K, a(n) := a n Συνήθως µια ακολουθία a την συµβολίζουµε µε a = (a n ) n 0 Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο των ακολουθιών µε στοιχεία από το K: A(K) = { a = (a n ) n 0 a n K, n 0 } επί του οποίου ορίζουµε πράξη πρόσθεσης «+» και πράξη πολλαπλασιασµού, ως εξής Αν a = (a n ) n 0 και b = (b n ) n 0 είναι στοιχεία του A(K), τότε : + : A(K) A(K) A(K), a +b = c = (c n ) n 0, όπου c n = a n + b n, n 0 : A(K) A(K) A(K), a b = d = (d n ) n 0, όπου d n = n a k b n k, n 0 Ετσι αποκτούµε τα Ϲεύγη (A(K), +) και (A(K), ), και όπως προκύπτει εύκολα, ϐλέπε την Άσκηση 1431, οι πράξεις «+» και είναι προσεταιριστικές και µεταθετικές Η ακολουθία 0 = (a n ) n 0, όπου a n = 0, n 0, είναι προφανώς ουδέτερο στοιχείο για της πράξη της πρόσθεσης ακολουθιών και ισχύει ότι : U(A(K),+) = A(K) Από την άλλη πλευρά η ακολουθία 1 = (a n ) n 0, όπου a 0 = 1 και a n = 0, n 1, είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη του πολλαπλασιασµού ακολουθιών, και ισχύει ότι, ϐλέπε Άσκηση 1431: U(A(K), ) = { a = (a n ) n 0 a 0 U(K, ) και a n = 0, n 1 } Ετσι τα Ϲεύγη (A(K), +) και (A(K), ) είναι µεταθετικά µονοειδή 10 Θεωρούµε το σύνολο A των αριθµητικών συναρτήσεων δηλαδή το σύνολο A = { f : N C f : συνάρτηση } Για παράδειγµα : (α) αν k N, η συνάρτηση f : N C, f (n) = n k, είναι αριθµητική, (β) η συνάρτηση f : N C, f (n) = e in, είναι αριθµητική, και (γ) η συνάρτηση f : N C, f (n) = n!, είναι αριθµητική Στο σύνολο A ορίζουµε τις ακόλουθες πράξεις «+» και Για κάθε f, g A : + : A A A, (f, g ) f + g : N C, (f + g )(n) = f (n) + g (n) Εύκολα ϐλέπουµε ότι η πράξη «+» είναι µεταθετική και προσεταιριστική, και η αριθµητική συνάρτηση 0: N C, 0(n) = 0, n N, είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη «+» στο σύνολο A k=0 : A A A, (f, g ) f g : N C, (f g )(n) = f (d)g ( n d n d ) ηλαδή η τιµή (f g)(n) προκύπτει αθροίζοντας όλα τα δυνατά γινόµενα f (d)g ( n d ) όταν το d διατρέχει όλους του ϑετικούς διαιρέτες του n Για παράδειγµα αν n = 12, τότε επειδή οι ϑετικοί διαιρέτες του 12 είναι οι 1,2,3,4,6,12, ϑα έχουµε : (f g )(12) = f (1)g (12) + f (2)g (6) + f (3)g (4) + f (4)g (3) + f (6)g (12) + f (12)g (1) Η πράξη επί του A καλείται ενελικτικό γινόµενο ή γινόµενο Dirichlet και διαδραµατίζει σηµαντικό ϱόλο στην Θεωρία Αριθµών, όπου και αποδεικνύεται ότι είναι µεταθετική και προσεταιριστική πράξη µε ουδέτερο στοιχείο την αριθµητική συνάρτηση ε: N C, ε(n) = { 1, αν n = 1 0, αν n 2 Ετσι αποκτούµε το µεταθετικό µονοειδές (A, ) των αριθµητικών συναρτήσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 21 13 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 131 Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R ορίζουµε µια σχέση R R R ως εξής : x R y x y Q Να δειχθεί ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R, και να περιγραφεί το σύνολο πηλίκο R/R Λύση Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κλπ Για κάθε x, y, z R έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα: δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Q έπεται ότι x x Συµµετρική ιδιότητα: δηλαδή x y = y x : Αν x y τότε x y Q = y x Q = y x Μεταβατική ιδιότητα: δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z, έχουµε x y Q y z Q = x z Q = x z Άρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R Εστω x R Τότε η κλάση ισοδυναµίας [x] του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] = { y R x y } = { y R x y Q } = { y R x y = r Q } = { x r R r Q } = { x + r R r Q } := x + Q και άρα το σύνολο πηλίκο του R ως προς την R είναι 5 R/R = { [x] R x R } = { x + Q x R } Ασκηση 132 Στο σύνολο των ϱητών αριθµών Q ορίζουµε µια σχέση R Q Q ως εξής : x R y x y Z Να δειχθεί ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q, και υπάρχει µια «1-1» και «επί» επεικόνιση f : Q/R Q [0,1) Λύση Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κλπ Για κάθε x, y, z Q έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα: δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Z έπεται ότι x x 5 Το σύνολο πηλίκο R/R συµβολίζεται µε R/Q

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙ Η 22 Συµµετρική ιδιότητα: δηλαδή x y = y x : Αν x y τότε x y Z = y x Z = y x Μεταβατική ιδιότητα: δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z έχουµε x y Z y z Z = x z Z = x z Άρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q Εστω x Q Τότε η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] R = { y Q x y } = { y Q x y Z } = { y Q x y = m Z } = { x m Q m Z } = { x + m Q m Z } := x + Z και άρα το σύνολο πηλίκο του Q ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R είναι 6 Q/R = { [x] R x Q } = { x + Z x Q } Για να περιγράψουµε αναλυτικότερα το σύνολο-πηλίκο Q/R, σταθεροποιούµε έναν ϱητό αριθµό x = p q, όπου προφανώς µπορούµε να υποθέσουµε ότι q > 0 Από την Ευκλείδεια ιαίρεση 7 έπεται ότι : υπάρχουν α,β Z έτσι ώστε : p = α q + β, όπου 0 β < q Εποµένως ϑα έχουµε 0 β q < 1, και τότε x = p q = a q + β q = a + β q = x β q = a Z = x R β q Εποµένως [x] = [ β q ], όπου β q Q [0,1) Η παραπάνω ανάλυση µας επιτρέπει να ορίσουµε µια αντιστοιχία f : Q/R Q [0,1), [ p ] ([ p ]) β f = q q q όπου p = α q + β και 0 β q < 1 Θα δείξουµε ότι η f είναι µια καλά ορισµένη απεικόνιση : Η f είναι καλά ορισµένη: Εστω [x],[y] Q/R, όπου x = p q [ p q ] = [ p q ] Επειδή όπως παραπάνω µπορούµε να γράψουµε [ p ] [ β ] = q q και [ p q ] = [ β q ] και y = p q, και έστω ότι [x] = [y], δηλαδή 6 Το σύνολο πηλίκο Q/R συµβολίζεται µε Q/Z 7 Υπενθυµίζουµε ότι σύµφωνα µε την Ευκλείδεια ιαίρεση, αν a,b Z, όπου b 0, τότε υπάρχει µοναδικό Ϲεύγος ακεραίων q,r έτσι ώστε : a = bq + r, όπου : είτε r = 0 είτε r < b