Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας -4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : υο ευθείες [ɛ : y = m x + a,ɛ : y = m x + a ], τέµνονται και σχηµατίζουν γωνία θ (ϐλέπε Σχήµα). είξτε ότι ισχύει η σχέση tan(θ) = m m +m m Σχήµα : Οι δύο ευθείες ɛ,ɛ Λύση : Γνωρίζουµε ότι φ +(8 φ )+θ =8άρα θ = φ φ tan(θ) =tan(φ φ )= tan φ tan φ +tanφ tan φ = m m +m m Άσκηση : Να καθοριστεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων y = log (x), y = x + log ( ) x,y = x 6+ 9 x. x x Λύση : (α) Το πεδίο ορισµού της y ορίζεται από τη σχέση log x και είναι <x. (ϐ) Για την συνάρτηση y ϑα πρέπει ταυτόχρονα να επαληθεύονται οι σχέσεις x και ( x)x >. Οι ανισότητες αυτές συναλυθεύουν όταν το <x. (γ) Θα πρέπει να συναλυθεύουν οι σχέσεις x και x ± άρα D [, ) (, ) (, ].
Άσκηση : Να ϐρεθούν οι αντίστροφες συναρτήσεις των y = 5 x,y = + x + x Λύση : (α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y παρουσιάζεται στο Σχ. και έχει..5.5. Σχήµα : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y πεδίο ορισµού ολόκληρο τον άξονα των πραγµατικών αριθµών x R. Ηαντίστροφησυνάρτηση υπολογίζεται εύκολα ότι είναι log 5 (/( x)) και έχει πεδίο ορισµού <x<. (ϐ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το x και στη περιοχή αυτή η συνάρτηση y είναι αµφιµονοσύµαντη (Βλέπε Σχ. )..9.8.7.6.5.4..4.6.8. Σχήµα : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y Ορίζουµε δύο νέες συναρτήσεις A(x) =+ x και B(x) = x και η συνάρτηση y = A / + B /. Επειδή ισχύουν οι σχέσεις A + B =,AB = x έχουµε y = A +A/ B / +A / B / + B y =A/ B / (A / + B / ) y =xy και εύκολα καταλήγουµε στην Ϲητούµενη αντίστροφη συνάρτηση f = x x. Το πεδίο ορισµού της αντίστροφης συναρτησης είναι x [, ] Άσκηση 4: Τα άτοµα κανονικού άνθρακα (άνθρακας- ή C)περιέχουν6πρωτόνια και 6 νετρόνια. Ο άνθρακας-4 ( 4 C)είναιέναϱαδιενεργόισότοπότουπουπεριέχει οκτώ νετρόνια στον ατοµικό του πυρήνα. Τα ποσοστά των επιµέρους ισοτόπων σχετικά µε το συνολικό αριθµό ατόµων άνθρακα είναι (στους Ϲώντες οργανισµούς) C -98.89%, C -.% και 4 C -.%. ηλαδή έχουµε άτοµο άνθρακα-4 για κάθε τρισεκατοµµύριο ατόµων άνθρακα-. Ο άνθρακας-4 σχηµατίζεται στην ανώτερα
στρώµατα της ατµόσφαιρας, όταν νετρόνια της κοσµικής ακτινοβολίας µεταλλάσσουν το άζωτο σε άνθρακα-4 µέσω της : 4 N + n 4 C + p Τα ϕυτά προσλαµβάνουν από την ατµόσφαιρα και τις δύο µορφές άνθρακα, και έτσι οάνθρακας-4εισέρχεταιστηντροφικήαλυσίδα. Οτανέναςοργανισµόςπεθαίνει,παύει να απορροφά άνθρακα. Επειδή, όµως, ο άνθρακας-4 είναι ασταθής, µετασχηµατίζεται αργά και σταθερά σε άζωτο µέσω ϱαδιενεργού διάσπασης : 4 6 C 4 7 N + e + ν e Οχρόνος«χρόνοςηµιζωής»τουϱαδιενεργούισοτόπουείναιt / =5.7 ± 4 χρόνια, γεγονός που αξιοποιούµε για να χρονολογήσουµε οστά, ξύλο και άλλα οργανικά υλικά µε τη µέθοδο του άνθρακα 4. Για να εφαρµοστεί η µέθοδος πρέπει όµως να υπάρχει στο δείγµα µια ορισµένη ελάχιστη ποσότητα 4, και γιά αυτό µπορεί να εφαρµοστεί σε ευρήµατα ηλικίας το πολύ µέχρι 6. ετών περίπου. Η ακρίβειαχρονολόγησης διαφέρει και συναρτάται µε την ηλικία του δείγµατος. Αν το δείγµα έχει ηλικία µικρότερη των. ετών, µπορεί να χρονολογηθεί µε προσέγγιση - ετών.. ιαβάστε προσεκτικά τα εισαγωγικά.. Ποιά συνάρτηση χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση. Βρείτε την τιµή του ϱυθµού διάσπασης,r, του 4 C. 4. Βρείτε την ηλικία µιας Αιγυπτιακής µούµιας της οποίας ο ξύλινος σαρκοφάγος ϐρέ- ϑηκε να έχει άτοµο 4 C ανά.7 άτοµα C. 5. Σε ποια περίοδο του Αιγυπτιακού πολιτισµού έζησε ο µουµιοποιηµένος Αιγύπτιος, ποια η πρωτεύουσα του την περίοδο αυτή Τι το περίεργο έχουν οι πυραµίδες αυτής της περιόδου (προαιρετική όλη η ερώτηση 4). 6. Εστω ότι ανακαλύπτεται µια απρόσµενη ϕυσική διαδικασία εµπλουτισµού των νεκρών ιστών µε 4 C,ηοποίαγίνεταιενεργήαµέσωςµετάτηναποκάλυψη/εκσκαφή της σαρκοφάγου, και η οποία την µολύνει µε 4 C σε ποσοστό 6% επί του αµόλυντου ποσοστού του. Παίρνοντας υπόψιν σας αυτό το γεγονός επανεκτιµήστε την πραγµατική ηλικία της µούµιας. Λύση :. Η συνάρτηση που χαρακτηρίζει την ϱαδιενεργό διάσπαση είναι η συνάρτηση εκθετικής µείωσης : f(t) =f() exp( rt) όπου f(t) οαριθµόςατόµωντου 4 C, r οϱυθµόςδιάσπασηςτου 4 C και t οχρόνος.
. Βρίσκουµε τον ϱυθµό διάσπασης χρησιµοποιώντας το χρόνο ηµιζωής για τον οποίο f(t / )=f()/, εποµένως: f() = f() exp( rt / )= ln(/) = 57r = r =.. Αφού η κανονική περιεκτικότητα ατόµων 4 C σε σχέση µε αυτά του C είναι / ενώ ϐρήκαµε ότι το ξύλο της σαρκοφάγου περιέχει /.7 άτοµα 4 C,έχουµε ότι :.7 = exp(.t) = t =444 years 4. Στο Παλαιό Βασίλειο (686-8 πχ.) που πρωτεύουσα είχε την Μέµφιδα. Είναι ϐαθµιδωτές πυραµίδες µε χαρακτηριστική αυτή του ϐασιλιά Ζοζέρ. 5. 6% µόλυνση σηµαίνει ότι το τελικό ποσοστό 4 C που µετράµε είναι (/.7 ) είναι κατά 6% µεγαλύτερο από το αµόλυντο ποσοστό που αντιστοιχεί στην διαδικασία διάσπασης του 4 C,πουσηµαίνειότιπρέπεινατοδιαιρέσωµε.6γιαναϐρωτο αµόλυντο ποσοστό 4 C µε το οποίο µπορώ τελικά να κάνω την ορθή χρονολόγηση :.7.6 = exp(.t) = t =495 years Άσκηση 5: ίδεται µια δεξαµενή, αρχικά γεµάτη, από την οποία εκρέει νερό έτσι ώστε το ποσό του νερού που παραµένει στη δεξαµενή συναρτήσει του χρόνου δίδεται από την : f e (t) =( t) liters επίσης το ύψος του νερού που παραµένει µέσα στη δεξαµενή σαν συνάρτηση του χρόνου δίδεται από την : f h (t) =( t/) meters Ζητούνται τα εξής :. Πόσο το αρχικό συνολικό ποσό νερού στη δεξαµενή, ποιες είναι οι διαστάσεις της δεξαµενής και ποιος ο συνολικός χρόνος εκροής νερού µέχρι να αδειάσει η δεξαµενή. Πόσο γρήγορα χύνεται το νερό στο τέλος των πρώτων 5 λεπτών και ποιος είναι ο µέσος ϱυθµός εκροής του νερού σε λίτρα κατά το πρώτο 5λεπτο. Ποιος είναι ϱυθµός µείωσης του ύψους του νερού µέσα στη δεξαµενή, ποια η αρχική ταχύτητα µείωσης του ύψους και ποια η ταχύτητα στο τέλος των πρώτων 5 λεπτών 4. Η κλίση της καµπύλης ύψους νερού είναι ϑετική ή αρνητική 4
5. Βρείτε τη σχέση µεταξύ του ϱυθµού µείωσης του ποσού του νερού µέσα στη δεξαµενή και του ϱυθµού µείωσης του ύψους του νερού. Είναι γραµµική ή όχι η σχέση αυτή Λύση :. Το αρχικό συνολικό ποσό νερού στη δεξαµενή δίδεται από την πρώτη εξίσωση για τον αρχικό χρόνο t =,δηλαδήλίτρα,δηλαδήτόνους,δηλαδήκυβικά µέτρα. Το ύψος της δεξαµενής δίδεται από την δεύτερη εξίσωση για τον αρχικό χρόνο t =,δηλαδήµ. Άραοιδιαστάσειςτηςδεξαµενήςείναι.46.46 µ. Ο συνολικός χρόνος εκροής είναι αυτός που αντιστοιχεί σε f e (t) =f h (t) =,δηλαδή t = min.. Χρειάζοµαι την ταχύτητα εκροής, άρα την πρώτη παράγωγο της f e : v e (t) = df e dt = 6( t) liters/min οπότε στο t = 5 min: v e (t =5)= liters/min. Οµέσοςϱυθµόςεκροήςτου νερού σε λίτρα κατά το πρώτο 5λεπτο είναι : f e t = f e(5) f e () 5 = 75 liters/min. Ο ϱυθµός µείωσης του ύψους του νερού δίδεται από την παράγωγο της ης εξίσωσης : v h (t) = df h dt = t m/min Ηαρχικήταχύτηταµείωσηςτουύψουςδίδεταιαπότηνπαραπάνωστοt =,δηλαδή : v h () = m/min και στο τέλος των πρώτων 5 λεπτών είναι : v h (5) =.5 m/min. 4. Αρνητική. 5. Λύνοντας ως προς t την v h (t) και αντικαθιστώντας στην v e (t) ϐρίσκουµε Εποµένως ναι, είναι γραµµική η σχέση. v e (t) =v h (t) Άσκηση 6: Αν η κίνηση ενός σώµατος καθορίζεται από τις παραµετρικές εξισώσεις : x(t) =t, y(t) =t t µε t>. Να ϐρείτε τα σηµεία της τροχιάς στα οποία η εφαπτόµενη είναι παράλληλη µε τον άξονα Ox. 5
Λύση : Πρώτα υπολογίζουµε την εξίσωση της τροχιάς του λύνοντας ως προς την πρώτη και αντικαθιστώντας στην δεύτερη : t = +x = y(t) =(+x) / ( + x) / Η παράλληλη εφαπτόµενη προς τον άξονα των x είναι αυτή για την οποία η κλίση της συνάρτησης έχει τιµή. Εποµένως υπολογίζω τηνκλίσητηςεφαπτόµενηςτηςσυνάρτησης y: m = dy dx = ( + x)/ ( + x) / και την µηδενίζω : m == m = και ϐρίσκω ότι µηδενίζεται για x = /. x + = ( + x) / 6
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας -4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : ίδεται η καµπύλη : y = [ x x +cos(xy) ] g(x) όπου g() = 6 και lim z [(g(z) 6)/z] =4. Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης και η κάθετος επί αυτής στο σηµείο x =. Λύση : Χρησιµοποιούµε την µέθοδο παραγώγισης πεπλεγµένης συνάρτησης και παίρνου- µε : [ dy dx = 6x 6 d ] dx (xy)sin(xy) g(x)+ [ x x +cos(xy) ] dg(x) dx = dy [ dx = 6x (x dy ] + y) sin(xy) g(x)+ [ x x +cos(xy) ] dg(x) dx dx = dy dx x=x = g() + dg(x) dx x=x Παρατηρούµε ότι lim z [(g(z) 6)/z] είναι ο ορισµός της παραγώγου της συνάρτησης g(x) στο x = x,οπότε dg(x) dx x=x =4.Ηκλίσητηςεφαπτοµένηςστοσηµείοx = x είναι : m = dy dx x=x = 8 + 4 = 4 και η εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας είναι (γιατί y(x )=6): y = 4(x ) + 6 = 4x +6 ενώ της καθέτου σε αυτή στο σηµείο x = x είναι : y = 4 x +6 Άσκηση : Υπάρχει τιµή του b για την οποία η συνάρτηση :
{ x + b, αν x< g(x) = cos(x), αν x γίνεται συνεχής στο x =;Ησυνάρτησηείναιπαραγωγίσιµηστοx =;Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Σχεδιάστε την g(x) µεταξύ 5 <x<5 χρησιµοποιώντας όποιο πρόγραµµα γραφικών ϑέλετε (πχ., Mathematica, Matlab, IDL, gnuplot, κα). Λύση : Για να είναι συνεχής αυτή η συνάρτηση στο x =πρέπει το όριο από τα αριστερά και αυτό από τα δεξιά του να συµπίπτουν, πρέπει δηλαδή : lim x όπου g() = cos() =. Εχουµελοιπόνότι: και x g(x) = lim g(x) =g() + lim g(x) = lim + b) =b x x (x lim g(x) =cos()= x + Αρα για b =τα δύο πλευρικά όρια στο x =είναι ίσα µεταξύ τους και επίσης ίσα µε g(), καιεποµένωςησυνάρτησηείναισυνεχήςγιαb =. Για να είναι παραγωγίσιµη στο x =πρέπει οι πλευρικές παράγωγοι να είναι ίσες, δηλαδή πρέπει η παράγωγος : να είναι ίση µε την : d dx (x + b) x= =6x x= = d dx cos(x) x= = sin(x) x= = Βλέπουµε λοιπόν ότι οι δύο πλευρικές παράγωγοι είναι ίσες µε το, οπότε η g(x) είναι παραγωγίσιµη στο. Άσκηση : Αερόστατο ανυψώνεται κατακόρυφα πάνω από έδαφος µε σταθερό ϱυθµό ανύψωσης m/sec. Οτανϐρίσκεταισεύψος8m περνά µοτοσυκλέτα ακριβώς από κάτω από το αερόστατο µε ταχύτητα 7m/sec. Πόσο γρήγορα αυξάνεται η απόσταση, s(t), µεταξύ µοτοσυκλέτας και αερόστατου µετά από 4sec; Λύση : Ηκατακόρυφοςαπόστασηαερόστατουαπόέδαφοςείναιy, ηαπόστασηπουδιανύει η µηχανή επί του εδάφους είναι x, καιεποµένωςηαπόστασηαερόστατου-µοτοσυκλέτας είναι s =(x + y ) /.Χρησιµοποιώνταςτηνµέθοδοπαραγώγισηςπεπλεγµένωνσυναρτήσεων έχουµε : ds dt = [ (x + y ) / x dx ] dy +y dt dt
Ηαπόστασηπουδιανύειηµοτοσυκλέταµετάαπό4sec αφού περάσει ακριβώς από κάτω από το αερόστατο, είναι x = v t =4 7 = 68m ενώ το ύψος του αερόστατου στα 4 αυτά λεπτά γίνεται y =8+4 =88m. Εχουµελοιπόν: Αρα ds/dt =m/sec. ds dt = (68 +88 ) / [ 68 7 + 88 ] m/sec Άσκηση 4: Υλικό σηµείο µάζας m κινείται µε ταχύτητα v υπό την επίδραση δύναµης F κατά µήκος του άξονα Ox. είξτε ότι αν η δύναµη µπορεί να παρασταθεί σαν την παράγωγο µιας άλλης συνάρτησης U(x) F (x) = du(x) dx τότε η ποσότητα (/)mv + U(x) παραµένει σταθερά κατά µήκος της τροχιάς του (x(t)). Συζητήστε δύο ϑέµατα (α) Τι αντιπροσωπεύει αυτή η ποσότητα; (ϐ) Ποια είναι η ϐασική µας παραδοχή που οδήγησε στη σταθερότητα αυτής της ποσότητας; Λύση : Ξεκινάµε από το δεύτερο νόµο τους Νεύτωνα m dv dt = F = du(x) dx. () Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της Εξ. µε την ταχύτητα έχουµε ή mv dv dt = dx dt du(x) dx d dt [(/)mv ]= du(x) dt d dt [(/)mv + U(x)] = άρα η ποσότητα [(/)mv + U] παραµένει σταθερά και είναι ϕυσικά η ολική ενέργεια του υλικού σηµείου. Αναγκαία συνθήκη για να παραµένει η ολική ενέργεια σταθερή είναι ηδύναµηναπροέρχεταιαπότηνπαράγωγοτουδυναµικού(οιδυνάµειςαυτέςλέγονται συντηρητικές δυνάµεις). Άσκηση 5: Αν Q είναι η τοµή του πρώτου τεταρτηµορίου του κύκλου (x ) + y = και του κύκλου x + y = r. Αν R είναι το σηµείο που η ευθεία που περνά από τα σηµεία P (,r) και Q συναντά τον άξονα Ox. Μελετήστε την ϑέση του R όταν r +. Λύση : Αφαιρώντας κατά µέλη της εξισώσεις των δύο κύκλων καταλήγουµε στη σχέση x = r και αντικαθιστώντας το x στην εξίσωση x + y = r υπολογίζουµε τη ϑέση του
Σχήµα : άσκηση 5 Q(r /, r r 4 /4). Αν οι συντεταγµένες του R(a, ) και αν S είναι το σηµείο της τοµής της καθέτου από τον σηµείο Q στον άξονα Ox και επειδή τα τρίγωνα RSQ και ROP είναι όµοια ϑα έχουµε a r /4 r R 4 /4 = a r ή Το όριο του a = r / r r r 4 /4. lim a = lim r / r + r + r r r 4 /4 =4 Άρα το R ϑα πλησιάζει το σηµείο (4, ) όταν η ακτίνα του κύκλου πλησιάζει το µηδέν. Άσκηση 6: (α) Να υπολογισθεί πόσο γρήγορα το µήκος ενός κύβου αλλάζει τη στιγµή που η ακµή του είναι 5cm και ο όγκος του αλλάζει µε ϱυθµό cm /sec (ϐ) Να ϐρεθούν όλες οι ευθείες που είναι εφαπτόµενες στην συνάρτηση y = x και περνούν από το σηµείο (, 4). Λύση : (α) Από τον όγκο V = a ϑα έχουµε dv dt =a da dt. Αν (dv/dt) = cm /sec και a =5τότε (da/dt) = (4/)cm/sec. (ϐ) Οι εφαπτόµενες στην καµπύλη y = x στο τυχαίο σηµείο (x,y ) ϑα έχουν κλίση x και ϑα περιγράφονται από τη σχέση y x =(x )(x x ). Για να περάσουν από το σηµείο (,4) ϑα πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση 4 x =x ( x ). Οι λύσεις τις εξίσωσης αυτής ϑα δώσουν για το x =, ± και οι Ϲητούµενες ευθείες ϑα είναι (ε : y =x ; ε : y = [(+6 )x (+ )]; ε : y = [( 6 )x ( )).) 4
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις) Άσκηση : ύο διάδροµοι συναντώνται και σχηµατίζουν γωνία (ϐλέπε Σχ. ). Ο ένας διάδροµος είναι δύο µέτρα ϕαρδύς και ο άλλος τρία µέτρα. Να υπολογισθεί το µήκος του L του της µεγαλύτερης ϐιβλιοθήκης που µπορεί να περάσει όρθια από τη γωνία. Λύση : Σχήµα : Από τις σχέσεις /x = y/ και L =(x +9) / +(4+y) / ϑα έχουµε L(x) =(x +9) / +(4+(6/x) ) / =(x +9) / ( + x ) Υπολογίζοντας την ακρότατη τιµή του µήκους L ϑα έχουµε και dl dx = x =(8)/ cm L max 7m. Άσκηση : Μία ϱάβδος µήκους 4cm έχει συνδεθεί στο ένα άκρο σε κύκλο ακτίνας 5cm και στο άλλο στον άξονα Ox (ϐλέπε Σχ. ). Υπολογίστε την ταχύτητα του σηµείου που ϐρίσκεται πάνω στο κύκλο όταν το σηµείο που κινείται πάνω στον άξονα Ox ϐρίσκεται στο σηµείο (cm, ) και κινείται µε ταχύτητα cm/sec. Λύση : Το Ϲητούµενο είναι ο ϱυθµός µεταβολής της γωνίας dθ/dt όταν το a =cm. Από τις σχέσεις x + y =5 ()
Σχήµα : παραγωγίζοντας τις Εξ. (,) ϑα έχουµε (x a) + y =4 () x dx dt + y dy = () dt ( dx (x a) dt da ) + y dy = (4) dt dt Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (,,,4) για a =cm και v = da/dt = cm/sec ϐρίσκουµε ότι x = 5/,y = 6/,dx/dt =(46/)v, dy/dt =(65/(4 6))v. Ηγωνίαθ υπολογίζεται από τη σχέση tan θ = y/x και dθ dt = x dy y dx dt dt = 46 6 x + y Άσκηση : Ενα σωµατίδιο κινείται κατάµήκοςτουάξοναoy και η ϑέση του (σε µέτρα) τη χρονική στιγµή t (σε δευτερόλεπτα) υπολογίζεται από τη σχέση y(t) =t t +. Να σχεδιάσετε την καµπύλη της τροχιάς του σωµατιδίου και να υπολογισθεί το µήκος που ϑα διανύσει τα πρώτα τρία δευτερόλεπτα. Λύση : Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το y > για t< και t> και y < για <t< αρα y() =,y() =,y() = και το Ϲητούµενο µήκος ϑα είναι s = ( ) + ( ) = cm. Άσκηση 4: Να αποδειχθεί ότι : lim [( + cos x π/ x)]sec x/α = a e Λύση : Κάνουµε τον εξής µετασχηµατισµό : y =cosx = /y =/ cos x =secx οπότε όταν x π/ τότε y. Οπότεέχουµε: [ ] /α lim [( + cos x π/ x)]sec x/α = lim [( + y)] /αy = lim [( + y)]/y = e /α = a e y y
Άσκηση 5: Εχουµε µια συνάρτηση y = f(x), ηοποίαπαραµετροποιείταιωςεξής:x(t) = sin t και y(t) =ae t be t µε t ( π/,π/). Νααποδείξετεότι: ( x ) d y dx xdy dx =y Λύση : Χρησιµοποιωντας τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης έχουµε : g(t) = dy dx = dy dt dt dx = a e t b e t. cos t Ηδεύτερηπαράγωγοςωςπροςτοx είναι : [ d y dx = dg dx = dg dt dt dx = ae t be t cos t + sin t a e t + b ] e t cos t d y dx = cost(aet be t ) + sin t(a e t + b e t ) = cos t d y y cos t(aet be t )+ dy dx = dx cos t Χρησιµοποιώντας το : cos t =( x ) / παίρνουµε : sin t cos t cos t = ο.ε.δ. d y dx = y( x ) / + x( x ) / dy/dx = ( x ) d y ( x ) / dx xdy dx =y Άσκηση 6: Εχουµε συναρτήσεις : f(x) =x +x και g(x) =x 9/4x +5/4 είξτε ότι οι ευθείες που είναι εφαπτόµενες των f(x),g(x), στο σηµείο που τέµνονται είναι κάθετες µεταξύ τους. Λύση : Καταρχάς ϐρίσκουµε τις κλίσεις των εφαπτοµένων ευθειών των συναρτήσεων f(x),g(x). Οι κλίσεις αντιστοιχούν στη παράγωγο τους, οπότε έχουµε : m f = df dx =x + m g = dg =x 9/4 dx Αφού τέµνονται οι f(x) και g(x), γιαναϐγωτοκοινόσηµείοτοµής: f(x) =g(x) = x = (9/4)x +5/4 = x = Άρα στο x =οι συναρτήσεις τέµονται (και έχω f() = g() = ). Για να είναι κάθετες µεταξύ τους οι εφαπτόµενες πρέπει m f = m g. Αντικαθιστώντας την τιµή του x = πράγµατι ϐρίσκουµε ότι : m f =4και m g = /4.
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις) Άσκηση : Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην απόσταση των σηµείων της έλλειψης από την αρχή των αξόνων αναλυτικά και να επαληθευθεί ότι είναι ίσα µε τους δύο ηµιάξονες της έλλειψης. Λύση : Ηαπόστασητωνσηµείωντηςπεριµέτρουτηςέλλειψηςαπότοκέντροτης(, ) ϑα είναι D = x + y (x) () όπου το y(x) ϑα ορίζεται από τη σχέση Για να υπολογίσουµε τα ακρότατα στην απόσταση ϑα έχουµε ή 9x +5(y(x)) =5 () x +yy (x) = y (x) = x y και από την εξίσωση ϑα έχουµε αν παραγωγίσουµε ως προς x 8x +5yy (x) = ή ( 8x +5y x ) = y 8x 5x = x = και επιστρέφοντας στην ϑα έχουµε y = ±. Αν επαναλάβουµε την άσκηση υποθέτοντας ότι x(y), ϑακαταλήξουµεσταάλλαδύοσηµεία (±5, ). Συµπερασµατικάυπολογίζουµετουςηµιάξονες(a =,b=5).
Άσκηση : Μια κηλίδα λαδιού απλώνεται κυκλικά µέσα στο τηγάνι και η ακτίνα της είναι ανάλογη του t /, όπου t είναι ο χρόνος από τη στιγµή που η κηλίδα έσταξε στο τηγάνι. Να ϐρεθεί ο ϱυθµός µεταβολής του πάχους της κηλίδας. Λύση : Αν υποθέσουµε ότι r = t / και ο όγκος της κηλίδας ϑα είναι V = πr T ϑα έχουµε άρα (r T ) = r dr dt T + r dt dt = dt dt = r r T = T/t Άσκηση : Να µελετηθούν αναλυτικά και στη συνέχεια να σχεδιαστούν οι καµπύλες (α) y =5x / x 5/, (ϐ) y = x e x Λύση : (α) Από τη σχέση y =5x / x 5/ ϑα έχουµε y = x / x/ = x / ( x). Άρα y > για (, ) και y < για τις περιοχές (, ) και (, ) Σχήµα : y = 9 x 4/ 9 x / = 9 x 4/ (x +/). Η δεύτερη παράγωγος y > για (, /) και y < για ( /, ) και (, ). Με ϐάση τα παραπάνω υπολογίζουµε ότι τα σηµαντικά σηµεία ϑα είναι (, ) τοπικό ελάχιστο (, ) τοπικό µέγιστο ( /, ) σηµείο καµπής Στο σηµείο x =ησυνάρτηση lim y x + =
lim y x = άρα στο σηµείο (, ) υπάρχει ασυνέχεια ( ακίδα ) ΗκαµπύλητέµνειτονάξοναOy στα σηµεία x =και x =5/. (ΒλέπεΣχ.) (ϐ). Πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το διάστηµα <x<+.. Συµµετρία και περιοδικότητα δεν έχουµε.. Το µοναδικό σηµείο τοµής µε τους άξονες είναι η αρχή των αξόνων O(, ). 4. Κατακόρυφη ασύµπτωτη δεν υπάρχει. Εξετάζουµε τώρα το f(x) lim x + x = lim x + x e =+ άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύµπτωτη της καµπύλης προς τα δεξιά. f(x) lim x x = lim x x e x =( ) = = lim x x ( ) e = = lim x x lim x 6x ( ) e = = lim x x x ( ) e = = x 6 = e x άρα δεν υπάρχει πλάγια ούτε προς τα αριστερά, αφού a =.Αλλά lim y = x lim x x e x =( ) = lim x x ( ) e = = lim x x x ( ) e = = x 6x ( ) = lim x e = 6 = lim = x x e x η y =είναι οριζόντια ασύµπτωτη προς τα αριστερά και µάλιστα η καµπύλη την πλησιάζει ασυµπτωτικά προς τα αριστερά και από κάτω. Επειδή lim y x + = lim x e x x + =+ δεν υπάρχει οριζόντια ασύµπτωτη προς τα δεξιά. 5. Βρίσκουµε την πρώτη παράγωγο y =x e x + x e x = x ( + x)e x y = x = και x =. Η συνάρτηση είναι ϕθίνουσα στο διάστηµα (, ) και αύξουσα στα διαστήµατα (, ) και (, + ).
Εποµένως για x = έχουµε ελάχιστο και µάλιστα ενώ για x =δεν έχουµε άκρα τιµή. 6. Βρίσκουµε τη δεύτερη παράγωγο y min = 7 e y =(6x +x )e x +(x + x )e x = e x x(x +6x +6) y = x =και x, = ± Άρα η καµπύλη στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (, ) και ( +, ), ενώστρέφειτακοίλαπροςταπάνωσταδιαστήµατα(, + ) και (, + ). Εποµένως τα σηµεία x =,x= + και x =είναι σηµεία καµπής. Σχήµα : Άσκηση 4: Να µετασχηµατίσετε σε Καρτεσιανίες συντεταγµένες τις κάτωθι, και ερµηνεύστε τι αντιπροσωπεύει κάθε µια :. r = cos(θ). r =4r sin(θ). r =csc(θ)e r cos(θ) Λύση :. Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό από πολικές σε Καρτεσιανές συντεταγµένες, δηλαδή x = r cos(θ), y = r sin(θ): x + y = x x + y = x + y x = x + y 4
( x + y ) = x + y x = (x + y x) = x + y = x 4 + y 4 +x y x xy y = ΗκαµπύληαυτήείναιηΚαρδιοειδής.. Εχουµε : r =4r sin(θ) = r =4r sin(θ) = x + y =4y = x + y 4y +4=4= x +(y ) = Άρα είναι κύκλος ακτίνας και κέντρου (,).. Εχουµε : r =csc(θ)e r cos(θ) = Ηεκθετικήσυνάρτηση. r csc(θ) = er cos(θ) = r sin(θ) =e r cos(θ) = y = e x Άσκηση 5: Υπολογίστε τις διαστάσεις (ύψους h και ακτίνας r) κυλινδρικούδοχείουα- λουµινίου χωρητικότητας 5cm ώστε να ελαχιστοποιήσετε το κόστος µιας και τα αποκόµµατα αλουµούνιο δεν ξαναχρησιµοποιούνται. Θεωρήστε ξεχωριστά κοµµάτια για το πλευρικό τοίχωµα και για τις ϐάσεις, ακτίνας r (οι ϐάσεις ϑα κοπούν από τετράγωνα ϕύλλα αλουµινίου). Βρείτε ποια η συνολική ποσότητα (ελαχίστου κόστους) αλουµινίου που ϑα χρειαστεί για την κατασκευή. Λύση : Τα πλευρικά κυλινδρικά τοιχώµατα µπορούν να κοπούν χωρίς απώλειες και ϑα έχουν επιφάνεια πrh, ενώτακυκλικάαπότετράγωναϕύλλαεπιφάνειαςτοκάθεένα:(r) Άρα η συνολική επιφάνεια αλουµινίου που χρειαζόµαστε αρχικά, και που ϑέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε, είναι : A =πrh +8r Χρειαζόµαστε να απαλείψουµε τον άγνωστο h. Τοπρόβληµαµαςδίδειτονόγκο: V =5= πr h =5 οπότε h =5/(πr ).Άρα A = 5 +8r () r Παραγωγίζουµε και µηδενίζουµε για να ϐρούµε κρίσιµα σηµεία : da dr = 5 r +6r == r =.5 = r =6.79. 5
Εποµένως το r =6.79 είναι κρίσιµο σηµείο και αφού η δεύτερη παράγωγος του A είναι ϑετική (d A/dx =6+/r > ) σεόλοτοπεδίοορισµού,σηµαίνειότιστοr =6.79 έχουµε ολικό ελάχιστο και εποµένως η αντίστοιχη ελάχιστη ποσότητα αλουµινίου που ϑα χρειαστούµε ϐρίσκεται από την () και είναι : A 6. Ηάλληδιάστασητουκυλίνδρου(ύψος)γιατηνοποίαέχουµετοελάχιστοκόστοςκατασκευής ϐρίσκεται από την : h =5/(πr )=7.8. Άσκηση 6: Παραγωγίστε τις παρακάτω :. y =(4x ) ln(x)csch(ln(x)). y = ln(x)+ 4x sech (x). y =csch 4 x Λύση :. Εξ ορισµού έχουµε ότι :. Εχουµε ότι : csch(ln(x)) = e ln(x) e ln(x) = x 4x = dy dx = d 4x dx (4x ) ln(x) 4x = d [x ln(x)] = 4( + ln(x)) dx dy dx = d ln(x) +sech (x) d 4x + 4x dx dx dsech (x) dx dy dx = 4x x +sech (x) + 4x 4x x 4x = dy dx = 4sech (x) 4x. =. Εχουµε ότι : dy dx = dcsch 4 x dx = d(4x )/dx ln 4 4 x = +4x +6 x 6
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 5 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να υπολογιστούν τα όρια ( lim ( 4 + n n ) n ) n n + n + ( ) n +( 5) n lim 7 n+ +( ) n Θεωρούµε την ακολουθία (a n ), που ορίζεται από την αναδροµική σχέση a n+ = a n +και την αρχική συνθήκη a =. Να ϐρεθεί το όριό της. Λύση : (i) [ lim 4 + n ( ) ( = lim + lim 4 n ( n n ) n ] = n + n + n + n + n n = + ++ = )( ( lim ) n ) (ii) ιαιρούµε µε αριθµητή και παρονοµαστή µε τη δύναµη µε τη µεγαλύτερη ϐάση. Εχουµε : ( ) (( n +( 5) n ) n ( ) 7 5 5 n ) 7 lim = lim 7 n+ +( ) n 7+ ( ) n 7 ) n = lim ( 7) n lim ( 5 5 7 = 7+lim( /7) n 7+ =
(iii ) Θέτουµε στο n διαδοχικά τις τιµές,,..., n και παίρνουµε τις επόµενες σχέσεις : a = a + a = a +. a n = a n + a n = a n + a n+ = a n + Πολλαπλασιάζουµε την προτελευταία σχέση µε, την αµέσως προηγούµενη µε ( ), την προηγούµενη από αυτήν µε ( ) κτλ, για να καταλήξουµε στη δεύτερη σχέση που ϑα την πολλαπλασιάσουµε µε ( )n και την πρώτη µε ( )n. (Ο κανόνας είναι: ο εκθέτης του συν τον δείκτη του όρου στο δεξί µέλος της αντίστοιχης σχέσης να ισούται µε n). ( n ) a = ( n ) a + ( ) n ( n ) a = ( n ) a + ( ) n Παίρνουµε έτσι τις σχέσεις :. ( ) an = ( ) an + ( ) a n = ( ) a n + ( ) a n+ = a n + Προσθέτοντας κατά µέλη και διαγράφοντας τους κοινούς όρους, παίρνουµε ( a n+ = ) n ( a ++ ) ( + ( +... + ) ) n ( + ) n = ( = n + ( ) ( + ( +... + ) ) n ( + ) ) n ( = ) n + ( n ) ( ) Θέτοντας n αντί n, παίρνουµεa n = ( ) n + ( ) n = ( ) n + ( ) n. Εποµένως, lim a n = lim ( ) n + lim( ) n ( ) = (επειδή lim ( ) n =). Άσκηση : ίνεται η ακολουθία (a n ) ηοποίαορίζεταιαπότιςσχέσεις:a = a, a = b και a n+ = a n + a n+. Να ϐρεθεί το όριο lim a n. Λύση : Εχουµε a n+ = a n + a n+ a n+ a n+ = a n a n+ a n+ = a n a n+.αν ϑέσουµε δ n = a n+ a n,ϑαπάρουµεδ n+ = δ n δ n+ = δ n. Η(δ n ) είναι λοιπόν γεωµετρική πρόοδος µε λόγο και πρώτο όρο δ = β a. Ο γενικός τύπος της είναι δ n = ( ) n (β a). Ακόµη, a n =(a n a n )+(a n a n )+... +(a a )+a = δ n + δ n +... + δ + a =
( = ) n ( (β a)+ ) n ( (β a)+...+ ) (β a)+(β a)+a = [ ( ) n + ( n ( +... + ) ) ] [ + (β a)+a = ( ) ] n (β a)+a. Συνεπώς lim a n = [ lim ( ) ] n (β a)+a = β+a (β a)+a =. Άσκηση : Να υπολογιστεί το άθροισµα της σειράς ( n(n +) + ) n n= Λύση : Ησειρά Επίσης n= Το Ϲητούµενο ϑα είναι n(n +) = n= n n= ( ) n = / / = ( n ) = = = n + n + ( n(n +) + ) = +=4 n n= Άσκηση 4: Να χρησιµοποιήσετε την µέθοδο του Νεύτωνα για να ϐρείτε τον αναδροµικό τύπο της ακολουθίας που ϐασίζεται στην f(x) =x a a >. Χρησιµοποιώντας την τιµή εκκίνησης x = και a =8 υπολογίστε τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας. Σε ποιο αριθµό συγκλίνει η ακολουθία; Μετά από πόσους όρους συγκλίνει στον αριθµό αυτό µε προσέγγιση τρίτου δεκαδικού; Προαιρετικά όποιος επιθυ- µεί ας γράψει ένα πρόγραµµα Fortran ή C ++ που να κάνει τους παραπάνω υπολογισµούς και να δίνει αυτόµατα την λύση για διαφορετικές επιλογές της τιµής a. Λύση : Η µέθοδος του Νεύτωνα µας λέει ότι εάν f(x) παραγωγίσιµη µπορούµε να κατασκευάσουµε µια ακολουθία, παίρνοντας ως σηµείο εκκίνησης κάποιο x,πουµπορείνα συγκλίνει σε κάποιο σηµείο µηδενισµού της f. Ηµέθοδοςαυτήµαςδίνειτοναναδροµικό τύπο της ακολουθίας ως εξής : x n+ = x n f(x n) f (x n )
x n+ = x n x n +8 = x x n+ = ( x n + 8 ) n x n Ξεκινώντας από σηµείο εκκίνησης x =και υπολογίζοντας διαδοχικά τους όρους της ακολουθίας µπορούµε εύκολα να δούµε ότι συγκλίνει στο νούµερο (όπως αναµένεται από την λύση της f(x) =)καιµάλιστασχετικάγρήγορα,µετάαπό5µε6όρους(x 4 -x 5 ). Program Newton implicit none real a(:),da,const integer n print*, Insert value of constant read(*,*) Const a()=. do n=, a(n)=(/)*(*a(n-)+const/a(n-)**) da=a(n)-a(n-)! Difference between n and n- term if(da.eq.) goto write(*,*) n-,a(n-),n,a(n),da enddo continue stop end 4
Άσκηση 5: Βρείτε αν συγκλίνουν ή αποκλίνουν οι εξής σειρές (µην χρησιµοποιήσετε κριτήριο ολοκληρώµατος): (a)!n!4 n (n +)!, (b) sechn, n= n= (c) coshn n= Λύση : Ηλύσηµπορείναδοθείµεδιαφορετικάκριτήρια. κριτήριο λόγου. Χρησιµοποιώπαρακάτωτο (a) lim a n+ a n = lim n n (n + )!(n + )!4 n+ n!(n + 4)!4 n Αφού το όριο αυτό είναι > σηµαίνει ότι η σειρά δεν συγκλίνει. (b) lim a n+ a n = lim n n e n + e n = lim e n+ + e (n+) n e lim n +/e n e +/e n = e/e =/e < 4(n +) +/n = lim = 4 lim n n +4 n +4/n =4 (e n +)/e n (e n +)e (n+) = lim (e (n+) +)/e (n+) n (e (n+) +)e = n Άρα συγκλίνει. (c) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία µε παραπάνω έχουµε ότι Άρα αποκλίνει. lim n a n+ a n = lim n e n+ + e (n+) e n + e n = e> Άσκηση 6: Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο Picard για να λύσετε τις εξισώσεις: x = x and x = x Γιατί στην πρώτη περίπτωση ϐρίσκουµε µόνο µία από τις λύσεις (την x =), και στην δεύτερη περίπτωση ϐρίσκουµε µόνο την λύση x =. Φτιάξτε και µελετήστε τα διαγράµ- µατα των σχετικών συναρτήσεων. Λύση : Στην πρώτη περίπτωση έχουµε ότι η g(x) = x,εποµένωςεάνπάρουµεωςx =.5 και εφαρµόσουµε κατέξακολούθηση την g(x), παίρνουµεx = g(x )=.5, x = g(x )=.5, κλπ.απότογράφηµατηςσυνάρτησηςg(x) αλλά και από την y = x (που είναι η συνάρτηση µέσω της οποίας επιλέγουµε τις διαδοχικές τιµές του x) ϐλέπουµε ότι ηδιαδικασίααυτήµαςοδηγείστητιµήx =(δεν µπορούµε να ϐρούµε δηλαδή την άλλη λύση, την x =). Αντίστοιχα αν πάρουµε την εξίσωση x = x, δηλαδήτηνg(x) =x (παχιά µπλε καµπύλη), τότε ϐλέπουµε ότι η µέθοδος αυτή ϑα µας οδηγήσει στην λύση x =(δεν ϑα ϐρούµε δηλαδή την άλλη λύση, δηλαδή την x =). 5
Σχήµα : 6
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να προσεγγισθεί η τιµή του e µε ακρίβεια.. (ϐ) Να προσεγγισθεί ο ln µε ακρίβεια.. Λύση : Αν ξεκινήσουµε από τη συνάρτηση f(x) =e x και για f() = e για να υπολογίσουµε προσεγγιστικά το e µε ακρίβεια. ϑα πρέπει R n () = f n+ (ξ) (n +)! (n+). όπου <ξ<. Εφόσον το f n+ (ξ) =e ξ και e< ϑα έχουµε e ξ <e <, τότε αν n 6, R n () = (n +)!. e =++! +! + 4! + 5! + 6!.785556. (ϐ) Οµοια από τη συνάρτηση f(x) =ln(+x) ϑα έχουµε για το υπόλοιπο R n () = f n+ (ξ) (n +)! = ( ) n n! ( + ξ) n+ (n +)! = ( ) n ( + ξ) n+ (n +) επειδή το ξ> ϑα έχουµε R n () < n+ και για να είναι το Rn () <. ϑα πρέπει το n>9 f() = + 4 + 5 6 + 7 8 + 9.7456499 Άσκηση : (α) Χρησιµοποιήστε τη σειρά MacLaurin x =+x + x + x +...
όπου x<, για να υπολογίσετε τη ϱητή συνάρτηση f(x) = r(x) που µπορεί να αναλυθεί p(x) στη σειρά kx k+. (ϐ) Υπολογίστε το άθροισµα Λύση : (α) Θα ξεκινήσουµε από τη σειρά ή k= k= k k+. kx k+ = x +x +x 4 +4x 5 +... k= kx k+ = x ( + x +x +4x +...) k= το άθροισµα στη παρένθεση ( ) d = d dx x dx ( + x + x + x + x 4 +...) ( ) d =+x +x +4x +... dx x Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι k= kx k+ = x ( + x +x +4x +...) =x d ( ) = dx x (ϐ) Για x =/ ηπαραπάνωσχέσηϑαδώσει k = k k+ k= k= ( ) k+ = ( ) ( =. ) x ( x) Άσκηση : Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = sin(x ) σε σειρά MacLaurin και µε τη ϐοήθεια της σειράς αυτής υπολογίστε την παράγωγο f (9) (). Λύση : Από το ανάπτυγµα sin x = x x! + x5 5! x7 7! +...
αν αντικαταστήσουµε x x ϑα έχουµε sin(x )=x x 6! + 5 x 5! 7 x 4 7! +... ο συντελεστής του όρου x 9 ϑα είναι f 9 () 9! παρατηρούµε όµως ότι η σειρά περιέχει µόνο άρτιες δυνάµεις του x και ο συντελεστής της x 9 ϑα είναι µηδέν (f 9 () = ). Άσκηση 4: Βρείτε τις σειρές MacLaurin των παρακάτω συναρτήσεων : (α) f(x) =x 5 +x 4 +5x +6x + (ϐ) f(x) =coshx sinh x Λύση : (α) Ξεκινάµε µε το να παραγωγίσουµε κατέξακολούθηση την συνάρτηση µας, και να εκτι- µήσουµε τις παραγώγους στο x =.Εποµένως:f() =, f () = 5x 4 +x +x+6 = 6, f () = x +6x + =, f () = 6x +7x =, f () = x +7 = 7, f () =. ΟγενικόςτύποςτωνσειρώνMacLaurinείναι: k=5 k= Εποµένως f (k) () k! x k = f() + f ()x + f () x + f () x + f () x 4 + f ()!! 4! 5! +6x + x + 7 4 x4 + x5 =+6x +5x +x 4 + x 5 Άρα η σειρά MacLaurin της συνάρτησης f(x) είναι ο εαυτός της. (ϐ) Θα χρησιµοποιήσουµε την εκθετική µορφή των υπερβολικών συναρτήσεων : cosh x = ex + e x and sinh x = ex e x Από το ανάπτυγµα MacLaurin της εκθετικής συνάρτησης έχουµε : x 5 e x =+(x)+ (x)! +... + (x)n n! Άρα e x =+( x)+ ( x)! e x e x =+(x)+ x! +... + ( x)n n! +... + n+ x n+ (n +)! = n= n+ x n+ (n +)!
και τέλος : f(x) =coshx sinh x = ex e x = n= n x n+ (n +)! Άσκηση 5: Βρείτε την σειρά MacLaurin της συνάρτησης : f(x) = ln( + x a ) και το διάστηµα σύγλισης της. Ποια η προσεγγιστική τιµή της εάν χρησιµοποιήσουµε τους πρώτους όρους του αναπτύγµατος MacLaurin για x =. και a =. Η τιµή αυτή τουx είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης; Εκτιµήστε και το σχετικό σφάλµα της προσέγγισης αυτής, δηλαδή το R (x). Λύση : Θα χρησιµοποιήσουµε το γνωστό ανάπτυγµα : ln( + y) =y y + y yn +... +( )n n που έχει διάστηµα σύγλισης το <y. Για την περίπτωση µας ϑέτοντας y =x a παίρνουµε ln( + x a )=x a x a + x a +... +( ) n n xan n που τώρα ϐέβαια το διάστηµα σύγκλισης είναι το x a /. Θέλουµε να δούµε ποιό είναι το σφάλµα της προσέγγισης της συνάρτησης αυτής (για a =)εάνχρησιµοποιησουµεµόνοτουςπρώτουςόρουςτουαναπτύγµατοςστοx =.. Καταρχάς έχουµε ότι <x< / οπότε το σηµείο µας αυτό είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης. Ογενικόςτύποςτηςαπόκλισηςµιαςπροσέγγισης στον νιοστό όρο δίδεται στην άσκηση (µετηνµόνηδιαφοράπουεδώαντίγιαx ηµεταβλητήµαςείναιx). Στην περίπτωση µας έχουµε λοιπόν : R n (x) = f (n+) x n+ (c) (n +)! = ( ) n n+ n! x n+ ( + c) n+ (n +)! Οπότε το σφάλµα της προσέγγισης στο ανάπτυγµα µέχρι και ο όρο δίδεται από την : R (x) = f () (c) x! = 54 x ( + c)! όπου το c παίρνει τιµή µεταξύ του και του x =.. R (.) = 54. ( + c)! 54.! =9..4. Άρα η απόκλιση από την ορθή τιµή της συνάρτησης ϑα είναι κατά µέγιστο.4 µε µια προσέγγιση των πρώτων όρων. Πράγµατι εάνυπολογίσουµετηνσυνάρτησηµαςµε 4
την αριθµοµηχανή έχουµε : ln(.9) =.6485 Με την δε προσέγγιση των πρώτων όρων έχουµε :. (. )/ =.495. Άραηαπόκλισηείναι:.468 <R. Άσκηση 6: Υπολογίστε τα όρια lim x f(x) των κάτωθι συναρτήσεων χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα Taylor. (a) f(x) = arctan(x) sin(x) x cos x (b) f(x) = ln( + x ) x sin x x Λύση : (α) Από τα γνωστά αναπτύγµατα Taylor του ηµιτόνου, συνηµητόνου και τόξο εφαπτοµένης, προσαρµοσµένα στις µεταβλητές των συναρτήσεων που µας δίδονται στο πρόβληµα αυτό, έχουµε ότι : arctan(x) =x (x) + (x)5 5 sin x = x x! + x5 5!... cos x = x! + x4 4!... Οαριθµητήςτηςσυνάρτησηςδίνεταιαπό: arctan(x) sin x =x (x) + (x)5 5...... ) (x x! + x5 5!... = Και τελικά έχουµε : x 5x + 767x5... x 5x lim f(x) = lim + 767x5... x x x x + x5...! 4! = lim x (5x /) +... lim x (x /!) +... = (ϐ) Από τα γνωστά αναπτύγµατα Taylor του λογαρίθµου του +x και του ηµιτόνου, προσαρµοσµένα στις µεταβλητές των συναρτήσεων που µας δίδονται στο πρόβληµα αυτό, έχουµε ότι : ln( + x )=x x6 + x9... sin(x )=x x6! + x... 5! 5
Εποµένως, ln( + x ) x lim f(x) = lim x x sin x x = lim x6 + x9 x x6 + x!...... = 5! lim + x... x + x4... = / + limx (x9 /)... /6 + lim! 5! x (x 4 /5!)... = 6
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 7 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα. sin(ln x) dx. x cos x dx Λύση :. I = sin(ln x) dx = (x) sin(ln x) dx = x sin(ln x) x(sin(ln x)) dx = x sin(ln x) cos(ln x) dx = x sin(ln x) (x) cos(ln x) dx =. x sin(ln x) x cos(ln x) I I = [x sin(ln x) x cos(ln x)] + c. x cos x dx = x(tan x) dx = x tan x tan xdx= x tan x (cos x) x tan x + dx = x tan x + ln cos x + c. cos x sin x cos x dx = Άσκηση : Υπολογίσετε το ολοκλήρωµα. I = sinh x cosh 5 xdx. I = sec xdx Λύση :. I = I = sinh x sinh 5 xdx,
ϑέτουµε t =sinhx, οπότε dt =coshxdx και cosh x =sinh x +=t +συνεπώς I = I = t (t +) dt =(/8) sinh 8 x +(/) sinh 6 x +(/4) sinh 4 x + c. I = sec xdx = sec x sec xdx = sec xd(tan x) I =secx tan x secx tan xdx =secx tan x sec x(sec x )dx I =secx tan x sec xdx + sec xdx I =secx tan x + sec xdx, επειδή το sec xdx = ln sec x +tanx + c (αποδείξτε αυτή τη σχέση) οπότε I =(/)(sec x tan x + ln sec x +tanx )+C Άσκηση : Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα. I = sin x 4cosx dx x +x x. I = dx x(x +) x +x. I = x +x x dx Λύση :. I = αν ανακτήσουµε το t =tan(x/) τότε sin x 4cosx dx και ϑα έχουµε I = sin x = t cos x = t +t +t dt = +t dt (t )(t +) = 5 ln tan(x/) tan(x/) + + c
. x +x x dx x(x ) I = x +x x x(x ) = A x + Bx + C x + + Dx + E (x +) µετά τις πράξεις υπολογίζουµε τις σταθερές A =,B =,C =,D =και E =. άρα x +x x x x + I = dx = ln arctanx x(x ) x + (x +) + c. ( ( ) + x 5 I = x +x x +x x dx = ) ( )) x + ( x x +x x(x )(x +) dx dx = ln x + ln x x + + c Άσκηση 4: Υπολογίστε το ορισµένο ολοκλήρωµα : A = π/6 ( sin t) cos tdt Λύση : Ξεκινάµε µε την αλλαγή µεταβλητής : u = sin t = du =costdt. Εποµένως τα όρια του ολοκληρώµατος γίνονται τώρα : t = u =t = π/6 u =,καιτο ολοκλήρωµα παίρνει την µορφή : A = ( u) du Τώρα κάνουµε την εξής αλλαγή µρταβλητών : k = u = dk = du, καιταόρια γίνονται : u = k =u = k =,καιπαίρνωτοολοκλήρωµαστηµορφή: A = k dk = A = k = 9 k dk = Άσκηση 5: Βρείτε τις παραγώγους των :. y = tan x dt/( + t )
ln x. y = e x sin xdx Λύση :. Θέτω u =tanx = du =sec xdx. Χρησιµοποιώ τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγησης και έχω : dy dx = dy du du dx = d ( ) dt du du u +t dx = dy dx = d ( u ) dt du du +t dx = +u sec x = +tan x sec x = sec x sec x =. Θέτω u = ln x du = dx/x και χρησιµοποιώ τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγησης : dy dx = dy du du dx = d ( u ) du e x sin xdx du dx = (e u sin u) du dx = eln x sin(ln x) x = x sin(ln x) x = sin(ln x) Άσκηση 6: (α) Να ϐρεθεί το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται µεταξύ των καµπύλων y = x 4 και y = x x στο κλειστό διάστηµα [, ]. Φτιάξτε το σχετικό σχήµα πρώτα. Λύση : Βρίσκουµε καταρχάς τα σηµεία τοµής των δύο συναρτήσεων µε το να ϑέσουµε y = y δηλαδή : x 4= x x = x 4 x +== (x )(x +)= Άρα οι ϱίζες της, και εποµένως τα σηµεία τοµής των συναρτήσεων, είναι τα x = και x =(όπως είναι ϕανερό και από το σχετικό σχήµα). Βλέπουµε ότι το ένα σηµείο τοµής (x =) συµπίπτει µε το άνω όριο ολοκλήρωσης, ενώ το άλλο σηµείο τοµής είναι εσωτερικό του διαστήµατος ολοκλήρωσης, γεγονός που σηµαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις αλλάζουν ϕορά µιά ϕορά µέσα στο διάστηµα ολοκλήρωσης. ηλαδή παρατηρούµε ότι y y στο [, ] και y y στο [, ]. Άρα για να υπολογίσω το εµβαδό του χωρίου µεταξύ των δύο καµπύλων χωρίζω το διάστηµα ολοκλήρωσης σε µέρη ([, ] και [, ]), υπολογίζω τα εµβαδά σε κάθε ένα από αυτά και αθροίζω στο τέλος. Εχουµε λοιπόν στο [, ] ότι y y = x 4+x +x =x +x 4, καιάρατο εµβαδό του χωρίου µεταξύ των καµπύλων σε αυτό το διάστηµα είναι : A = (x +x 4)dx =x /+x 4x =/ 4
Σχήµα :.Καιστο[, ] έχουµε ότι y y = x x +4,άρα: A = ( x x +4)dx = x / x +4x =7/ Άρα το συνολικό χωρίο µεταξύ των δύο καµπύλων είναι : A = A + A =/+7/ =8/. 5
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα dx (ax+)(x +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα a f(x) f(x)+f(x+a) dx για κάθε ϑετική και συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [,α]. Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα αναλύεται (ϐ) Το ολοκλήρωµα I = dx (ax+)(x +) ( )( a ) ax I = a + ax+ dx x + dx ( ) ( I = aln(ax+) a ) a + ln(x +)+arctan(x) +C ( ) [ I = lim aln(ax+) a ] c a + c ln(x +)+arctan(x) I = a + (alna+π/) I = a f(x) f(x)+f(x+a) dx
µε την αλλαγή µεταβλητών u = a x,du = dx και των ορίων x = u = a,x = a u = o f(a u) a I = f(u)+f(a u) ( du) = f(a x) f(x)+f(a x) dx I = a a f(x) f(x)+f(a x) dx+ I = a a f(a x) f(x)+f(a x) dx = dx = a I = a/ a f(x)+f(a x) f(x)+f(a x) dx Άσκηση : (α) Βρείτε το εµβαδόν του τόπου εντός της καρδιοειδούς r = + cosθ και εκτός του κύκλου r = sinθ. (ϐ) ϐρείτε το εµβαδόν του κοινού τόπου µεταξύ του κύκλου r = / και του καρδιοειδούς r = +cosθ. Σχήµα : (α) ερώτηµα α, (β) ερώτηµα β Λύση: (α) Το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι διπλάσιο του εµβαδού E (ϐλεπε Σχ. ) π π E = r (θ)dθ = (+cosθ) dθ π = π 4 π = π 4 E = π (ϐ) Από το Σχ. β ϐλέπουµε ότι το Ϲητούµενο εµβαδόν ϑα είναι E = π/ (/) dθ+ π π/ E = E = 7π 4 9 8 (+cosθ) dθ = 7π 8 9 6
Άσκηση : (α) Υπολογίστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα dx +x (ϐ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα lnxdx Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα όµοια και (ϐ) +x dx = +x dx+ +x dx ( t ) +xdx = lim t +x dx = lim [arctan(x)] t t = π +x dx = π +x dx = π [ ] ln(x)dx = lim t + t ln(x)dx = lim t +[ tlnt +t] εφαρµόζοντας τον κανόνα l Hospital καταλήγουµε στο συµπέρασµα ln(x)dx = Άσκηση 4: Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα αφού διερευνήσετε και συζητήσετε την µεθοδολογία στην οποία ϑα στηριχτείτε:.. I = I = x 5 x dx dx 4 x+
. I = arctan x x dx Λύση:. Βλέπουµε ότι στο υπόριζο έχουµε µια από τις µορφές για τις οποίες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αλλαγή µεταβλητών µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Επιπλέον η συνάρτηση µας δεν ορίζεται στο x = ± και εποµένως η τριγωνοµετρική συνάρτηση που ϑα χρησιµοποιήσω για την αλλαγή µεταβλητών (sinθ) ορίζεται στο π/ < θ < π/ (για να εξασφαλίσω ότι υπάρχει η αντίστροφή της). Κάνουµε λοιπόν την εξής αλλαγή µεταβλητών: x = sinθ = x = sin θ = cos θ = x = cosθ = cosθ (αφού το πεδίο ορισµού είναι το π/ < θ < π/). Επίσης έχουµε ότι dx = cos θdθ. Εποµένως I = lim a π/ + a I = lim a π/ + I = lim a π/ + I = lim a + a sinθ( cos θ) cosθ dθ cosθ a x 5 dx b + lim x 5 dx = +x b +x lim b π/ ( cos θ) d(cosθ) lim b π/ [ cosθ cos θ + cos5 θ 5 = I = cos+ cos cos5 5 Άρα το ολοκλήρωµα συγκλίνει στο µηδέν.. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I = ] a dx = lim 4x+ b b b lim b π/ +cos cos b sinθ( cos θ) cosθ dθ cosθ ( cos θ) d(cosθ) = [ cosθ cos θ + cos5 θ 5 dx 4 x+ + cos5 5 κάνουµε την εξής ϐολική αλλαγή µεταβλητών: 4 (x+) = y = dy = 4 (x+) (ln4) dx οπότε τα όρια του ολοκληρώµατος αλλάζουν σε: x = = y = 4 x = b = y = 4 (b+) και έχουµε: 4 (b+) I = lim b /4 4 (x+) dy ln4 4 = 4 (b+) (x+) ln4 lim dy = b /4 ) I = ln4 lim b ( 4 b+ 4 = 4ln4 = ] b = 4
. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I = arctan x x b arctan x dx = lim dx b x που ορίζεται στο [, ), ακολουθούµε την διαδικασία ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, µε u = arctanx και dv = dx/x. Εποµένως έχουµε: [ ( I = lim arctan x ) b ] b dx b x x(x +) Το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέρος απλοποιείται µε την µέθοδο των µερικών κλασµάτων: x(x +) = A x + Bx+C x + και παίρνουµε τελικά: A =, B =, C = I = lim b = Άρα το ολοκλήρωµα µας γίνεται: [ arctan x x(x +) = x x x + ( ) b b dx b + x x ] xdx x + Για να λύσουµε το δεύτερο ολοκλήρωµα στο δεξί µέρος, κάνουµε τον εξής µετασχη- µατισµό µεταβλητών: y = x + = dy = xdx και παίρνουµε: ( ) xdx x + = ln(x +) = ln x + Οπότε το ολοκλήρωµα µας λύνεται και παίρνουµε: [ ( I = lim arctan x ) ( )] b x +ln = b x x + [ ( I = lim arctan b ) ( )] ( ) b +ln +arctan ln b b b + όπου το όριο της λογαριθµικής συνάρτησης δίδεται από: ( ) ( ) lim ln b = lim ln = ln = b b + b +/b και καταλήγουµε τελικά στην λύση: I = π ++ π 4 +ln( ) = π 4 +ln( ) 5
Άσκηση 5: Χρησιµοποιήστε τα κριτήρια σύγκλισης για να διερευνήσετε εάν το κάτωθι ολοκλήρωµα συγκλίνει, αφού ξεκαθαρίσετε την συµπεριφορά του στα άκρα ολοκλήρωσης: I = xsin (/x) ln(+x) dx Λύση: Η συνάρτησηf(x) = xsin (/x) δεν ορίζεται στο κάτω άκρο του διαστήµατος[, ) ln(+x) άρα για να ϐρούµε αν συγκλίνει ή αποκλίνει το γενικευµένο ολοκλήρωµα I πρέπει να ϐρούµε αν συγκλίνουν τα γεκικευµένα ολοκληρώµαταi καιi c (, ) (µεi = I +I ) όπου: c xsin (/x) I = lim dx a + a ln(+x) b xsin (/x) I = lim dx b c ln(+x) Ας ξεκινήσουµε από το I. Εχουµε x (,c] ότι x < f(x) ln(+x). Άρα χρησιµοποιώντας το κριτήριο άµεσης σύγκρισης αρκεί να αποδείξω ότι το c x ln(+x) συγκλίνει (ή ότι η f(x) αποκλίνει). Παρατηρώ ότι η συνάρτηση x g(x) = ln(+x) και η h(x) = / x είναι ϑετικές x (, c] και εποµένως µπορώ να χρησιµοποιήσω το οριακό κριτήριο λόγου, σε µια προσπάθεια να αποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της h(x) συγκλίνει (στο c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. της g(x) ϑα συγκλίνει και εποµένως και το Γ.Ο. της f(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: g(x) lim x + h(x) = lim x x + ln(+x) = = lim x +(+x) = που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, g(x) και h(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της h(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό τηςg(x). Άρα τελικά και το Γ.Ο. τηςf(x) συγκλίνει. 6
Στην περίπτωση του γενικευµένου ολοκληρώµατος I, χρησιµοποιώ απευθείας το οριακό κριτήριο λόγου. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιώ την συνάρτηση x g(x) = και την f(x) που είναι ϑετικές x [c, ) και εποµένως ϑα προσπαθήσω να α- ποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της g(x) συγκλίνει (στο / c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. τηςf(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: f(x) lim x g(x) = lim x xsin (/x) xln(+x)(/x) = lim x x ln(+x) lim x ( ) sin(/x) = = (/x) που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, f(x) και g(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της g(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό της f(x). Αποδείξαµε λοιπόν ότι και τα δύο γενικευµένα ολοκληρώµατα I και I συγκλίνουν και εποµένως και το I(= I +I ) ϑα συγκλίνει. Άσκηση 6: Να υπολογίσετε το εµβαδό των χωρίου που περικλείονται από τα κάτωθι Ϲεύγη καµπύλων (προσέξτε, στη δεύτερη περίπτωση η ολοκλήρωση ϑα γίνει ως προς y):. y = f (x) = x & y = f (x) = x. x = y & x = y Λύση:. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµαβαδό του χωρίου ανάµεσα στις f (x) = x και f (x) = x (δες το σχετικό γράφηµα). Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία των καµπύλων ϑέτοντας f (x) = f (x). Βρίσκουµε δύο κοινά σηµεία, επιπλέον του (,), που είναι τα: (, ) και (, ), όπως ϕαίνεται και στο γράφηµα. Άρα για να ϐρούµε το εµβαδό ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο καµπύλων, όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα και. Εχουµε: A = f (x) f (x) dx = x x dx = x x dx (η τελευταία προκύπτει επειδή η συνάρτηση υπό ολοκλήρωση είναι άρτια) Εχουµε λοιπόν επειδή x( x ) x [, ] ότι: [ ] ] A = xdx x dx = [x x4 = 4 Γενικά ισχύει και εύκολα αποδεικνύεται ότι εάν η f(x) µε πεδίο ορισµού [ a,a] και πεδίο τιµών το R a είναι άρτια ή περιττή, τότε ισχύει a f(x)dx = a f(x)dx ή a af(x)dx =, αντίστοιχα. 7
Σχήµα : Αριστερά το χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f (x) = x και f (x) = x. εξιά το χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f (y) = y και f (y) = y.. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδό του χωρίου ανάµεσα στις καµπύλες: x = f (y) = y και x = f (y) = y. Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία τους ϑέτοντας f (y) = f (y), τα οποία είναι τα: (,) και (, ). Άρα για να ϐρούµε το εµβαδό του Ϲητούµενου χωρίου ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο καµπύλων, όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα y = και y = : A = f (y) f (y) dy = y y dy = ( y )dy = 4 που προκύπτει από το γεγονός ότι y y [,]. Άρα έχουµε: A = 4 ] [y y = 8 ( y )dy = 8
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε ότι το στερεό που δηµιουργείται έχει πεπερασµένο όγκο και άπειρη επιφάνεια (δικαιολογήστε το αποτέλεσµα). Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια επειδή x Για τον όγκο S = π y +(y ) dx = π + για x >,ϑα έχουµε x 4 x V = π S = π x dx y dx = π x dx + x x 4dx που σύµφωνα µε όσα έχουµε ήδη συζητήσει για ολοκληρώµατα της µορφής( (/xp )dx) συγκλίνουν όταν p >. Άσκηση : Αν (a,b) σταθερές και a > b >, να υπολογισθεί η επιφάνεια του στερεού που δηµιουργείτε από την περιστροφή του κύκλου (x b) +y = a γύρω από τον άξονα Oy. Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια ϑα πρέπει να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα S = π a a x +(x ) dy = π a a (b+ a y ) a dy S = πab a a y = 4π ab a a y dy
Άσκηση : (α)υπολογίστε του όγκους των στερεών που σχηµατίζονται από την περιστροφή γύρω από τους άξονες Ox και Oy του τόπου που ορίζεται από την παραβολή y = x και την ευθεία y = x. (ϐ) Υπολογίστε το µήκος της καµπύλης y = ln(secx) για x π/4. (γ) Υπολογίστε το εµβαδόν που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και την καµπύλη µε παραµετρική εξίσωση x = 6(θ sinθ), y = 6( cosθ) (κυκλοειδής) για θ π. Λύση: (α) Ο όγκος από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα V = π και από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Oy (ϐ) L = π 4 (γ)e = 8π π 4 secxdx = π + π 4 ( ) dy dx = dx V = π π 4 secx secx+tanx secx+tanx y(θ) dx(θ) dθ dθ = π (x x 4 )dx = π/5 (y y )dy = π/6 +tan xdx = π 4 4 dx = ln secx+tanx π 6( cosθ) dθ = 6 π sec xdx = π 4 = ln( +). ( cosθ+ cos(θ) secx dx = ) dθ = Άσκηση 4: Το σχήµα µιας δεξαµενής νερού (µορφής µπολ) µπορεί να παραχθεί εάν περιστρέψουµε ως προς τον άξονα Oy το τµήµα της καµπύλης y = x / από y = έως y = 5. (α) Βρείτε την εξίσωση του όγκου της δεξαµενής, (ϐ) ϐρείτε την τιµή του όγκου της σε κυβικές µονάδες, και (γ) ϐρείτε τον ϱυθµό ανόδου της στάθµης του νερού όταν το νερό έχει ϐάθος 4 µονάδες µήκους και γεµίζουµε την δεξαµενή µε σταθερό ϱυθµό κυβικών µονάδων µήκους ανά δευτερόλεπτο (χρησιµοποιήστε συναφές ϱυθµό). Λύση: Ο όγκος της δεξαµενής µπορεί να ϐρεθεί µε την µέθοδο των κυκλικών δίσκων. Στην εικόνα ϕαίνεται η σχετική καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα Oy δίδει τον όγκο της δεξαµενής. Το χωρίο του σχετικού κυκλικού δίσκου (κάθετου στον άξονα περιστροφής) είναι: A(y) = πr (y) µε R(y) την ακτίνα του, που δίδεται από την x = y / και y το ύψος του. Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται από την: V = 5 A(y)dy = 5 πydy = πy 5 = 5π Άρα ο όγκος της δεξαµενής δίνεται σαν συνάρτηση του ύψους, y, ως: V = πy και έχει τιµή: 5π
Σχήµα : Στο διάγραµµα ϕαίνεται η καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα Oy σχηµατίζει την δεξαµενή. Ο ϱυθµός µεταβολής του όγκου συναρτήσει του χρόνου είναι: dv dt = d ( ) πy = πy dy dt dt Εχουµε λοιπόν ότι dv/dt = και dv/dt = πydy/dt και Ϲητάµε να ϐρούµε το dy/dt όταν y = 4. Άρα έχουµε: 8π dy dt = = dy dt = 8π Άσκηση 5: Υπολογίστε τον όγκο του στερεού (τόρος) που παράγεται εάν περιστρέψτε τον κυκλικό δίσκο x + y a ως προς την ευθεία x = b (όπου a < b). Ο όγκος να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας δύο µεθόδους, αυτή της δακτυλιοειδούς διατοµής αλλά και αυτή των κυλινδρικών ϕλοιών. Λύση: (α) Μέθοδος δακτυλιοειδούς διατοµής: Θεωρούµε ότι η διάµετρος του κυκλικού δίσκου που είναι παράλληλη µε τον άξονα περιστροφής χωρίζει τον δίσκο σε δύο ηµικύκλια. Η ακτίνα που ξεκινά από τον άξονα περιστροφής έως την εξωτερική περίµετρο του κυκλικού δίσκου είναι R(y) = b+ a y ενώ αυτή που r(y) = b a y. Ε- ποµένως σύµφωνα µε την µέθοδο της δακτυλιοειδούς διατοµής ο όγκος του τορου δίδεται από την: a [ V = π R(y) r(y) ] a dy = π [(b+ a y ) (b ] a y ) dy = a a
Σχήµα : Το αριστερό διάγραµµα αντιστοιχεί στη χρήση της µεθόδου της δακτυλιοειδούς διατοµής, όπου ϕαίνεται η εξωτερική, R(y), και εσωτερική, r(y), ακτίνα των αντίστοιχων κυκλικών δίσκων. Το δεξί διάγραµµα αντιστοιχεί στη µέθοδο των κυλινδρικών ϕλοιών, όπου ϕαίνονται η ακτίνα και το ύψος του κυλινδρικού ϕλοιού. Στο συγκεκριµένο διάγραµµα, όπως είναι ϕανερό, η τιµές των (a,b) είναι αντίστοιχα (,). Επίσης ϕαίνεται µε µπλε γραµµές το τρίγωνο µέσω του οποίου υπολογίζουµε το ήµισυ του ύψους του ϕλοιού. Και στα διαγράµµατα η κόκκινη ευθεία αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής. a [ V = π b +b a y +(a y ) b dy +b ] a y (a y ) dy = a a ) πa V = 4πb a y dy = 4πb( = π ba a το τελευταίο προκύπτει κάνοντας τον µετασχηµατισµό: a y = a sin θ από τον οποίο προκύπτει: y = acosθ και ydy = a sinθcosθdθ dy = asinθdθ εποµένως έχουµε: a π [ θ a y dy = a sin θdθ = a sin θdθ = a a π sinθ ] π = πa 4 (α) Μέθοδος κυλινδρικών ϕλοιών: Ξεκινάµε µε το να Ϲωγραφίσουµε ευθύγραµµο τµήµα (πάχους ) παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής το οποίο διατρέχει τον κυκλικό δίσκο. Αυτό είναι το ύψος και ισούται (από ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την ακτίνα κυκλικού δίσκου) µε: a x. Η ακτίνα ισούται µε b+x και εποµένως ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής δίδεται από: V = π a a a x (b+x)dx = 4π a a [b a x +x a x ] dx = a a V = 4πb a x dx+4πb x a x dx a a 4
Το πρώτο εκ των ολοκληρωµάτων το γνωρίζουµε από την προηγούµενη µέθοδο, και ισούται µε π ba, και εποµένως το δεύτερο ολοκλήρωµα ϑα πρέπει να ισούται µε µηδέν. Πράγµατι, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών a x = y xdx = dy a ax a x dx = ydy = Άρα και µε αυτή την µέθοδο, όπως ϕυσικά ϑα έπρεπε, ϐρίσκουµε τον όγκο του τόρου να είναι: V = π ba µε b την απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο της κυκλικής διατοµής του, και a την ακτίνα της κυκλικής διατοµής του. Άσκηση 6: Βρείτε το µήκος της καµπύλης f(x) = e x στο x [,]. Λύση: Η καµπύλη αυτή έχει παράγωγο συνεχή στο Ϲητούµενο διάστηµα (df/dx = e x ) και άρα είναι λεία. Το µήκος της δίδεται εποµένως από το: ( ) df L = + dx = +e x dx dx Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό y = +e x e x = y e x dx = ydy, οπότε το µήκος της καµπύλης δίδεται από: L = +e y +e ( y dy = + ) ( dy = +e ) +e + y y dy Το τελευταίο ολοκλήρωµα το λύνουµε, χρησιµοποιώντας την µέθοδο µερικών κλασµάτων, ως εξής: b b a x dx = a (x )(x+) dx = b a x dx b a x+ dx = ln x ln x+ = ln x a x+ = [ ] ln a b a+ ln b b+ = b x dx = ln (a )(b+) (a+)(b ) a Αντικαθιστώντας όπου a = και b = +e και παίρνοντας υπόψιν µας ότι y > έχουµε µετά από αλγεβρικές πράξεις ότι: [ +e e( ] +) dy = ln y +e + 5
Άρα το µήκος της Ϲητούµενης καµπύλης είναι: ( L = +e ) +ln [ e( ] +) +e + 6