Κεφάλαιο 7 Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 7. Εισαγωγή Σε αυό ο κεφάλαιο, θα συζηήσουμε για ο πως μπορούμε να μελεάμε συσήμαα σο πεδίο ου χρόνου. Τι είναι όμως α συσήμαα και γιαί α χρησιμοποιούμε; Ισως ήδη φανάζεσε όι α συσήμαα χρησιμοποιούναι για να επεξεργασούν ή να εξάγουν πληροφορία από σήμαα. Ενα σύσημα χαρακηρίζεαι από ρία σοιχεία: ην είσοδό ου, ην έξοδό ου, και ις αρχές από ις οποίες διέπεαι η λειουργία ου. Οι αρχές λειουργίας ου δεν είναι ίποε άλλο από ο μαθημαικό μονέλο που μπορεί κανείς να αναπύξει για να περιγράψει η σχέση που συνδέει ην είσοδο με ην έξοδό ου. Για παράδειγμα, ένα ηλεκρικό κύκλωμα διέπεαι από ους γνωσούς από η Φυσική νόμους ου Kirchhoff, και από ις μαθημαικές σχέσεις που διέπουν ην άση και ην έναση ου ρεύμαος σα άκρα ων σοιχείων ου (ανισάσεις, πυκνωές, κλπ.. Το σύνολο αυών ων εξισώσεων αποελεί ο μαθημαικό μονέλο ου ηλεκρικού κυκλώμαος. Παρ όλο που α ηλεκρικά κυκλώμαα είναι χαρακηρισικό παράδειγμα συσήμαος σις Επισήμες Μηχανικού Η/Υ, ο να συνδέσουμε ην έννοια ου συσήμαος με ένα συγκεκριμένο είδος υλοποίησης θα ήαν αρκεά περιορισικό. Θα προιμήσουμε λοιπόν μια πιο αφαιρεική έννοια για α συσήμαα που θα συζηήσουμε. Θα μπορούσε κανείς να α δει ως μαύρα κουιά, ων οποίων οι εσωερικές λεπομέρειες υλοποίησης δεν μας ενδιαφέρουν, παρά μόνο η επίδρασή ους σις εισόδους που δέχοναι και ο αποέλεσμα (έξοδοι που παράγουν. Επίσης, α συσήμαα μπορεί να είναι πολλαπλών εισόδων και πολλαπλών εξόδων ή μιας εισόδου και μιας εξόδου, όπως σο Σχήμα 7.. (α S S...... (β Σχήμα 7.: (α Σύσημα MIMO, (β Σύσημα SISO. Σο παρόν σύγγραμμα, θα μας απασχολήσουν σχεδόν αποκλεισικά συσήμαα μιας εισόδου και μιας εξόδου. Τέοια συσήμαα αποκαλούναι Single Input - Single Output (SISO συσήμαα. Ενα SISO σύσημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ελεσής T [ ] ο οποίος εφαρμόζεαι σην είσοδο x(t ου συσήμαος, και παράγει μια έξοδο y(t. Η σχέση αυή μπορεί να γραφεί ως y(t = T [x(t] (7.
96 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα Τα φυσικά συσήμαα περιγράφοναι σο πεδίο ου χρόνου από μια γραμμική διαφορική εξίσωση ης μορφής N k= d k dt k a ky(t = M l= d l dt l b lx(t (7.2 με a k, b l σαθερούς συνελεσές. Σε επόμενο κεφάλαιο θα δούμε πως μπορούμε εύκολα να λύνουμε έοια συσήμαα. Θα θεωρούμε σα πλαίσια ου μαθήμαος όι ένα έοιο σύσημα (και εν γένει όσα συσήμαα μελεήσουμε είναι γραμμικό και χρονικά αμεάβληο (ΓΧΑ. Θα δούμε συνοπικά ι σημαίνουν αυές οι δυο έννοιες, αφού πρώα παρουσιάσουμε γιαί είναι ενδιαφέρουσα η μελέη συσημάων. 7.. Μια μικρή εφαρμογή-κίνηρο Πολλά φυσικά συσήμαα περιγράφοναι από διαφορικές εξισώσεις, εξ ου και ο ενδιαφέρον μας να μπορούμε να λύνουμε έοιες. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης ης μορφής (7.2 συνίσααι σην εύρεση ης εξόδου y(t δεδομένης μιας εισόδου x(t. Ας δούμε δυο χαρακηρισικά παραδείγμαα ης Μηχανικής α οποία (πρέπει να είναι γνωσά σον αναγνώση. Πολλά πραγμαικά, μηχανικά συσήμαα εμπλέκουν ελαήρια και σώμαα. Το πιο σύνηθες έοιο παράδειγμα είναι ο Απλός Αρμονικός Ταλανωής, που δεν είναι ίποε άλλο από ένα σώμα μάζας m συνδεδεμένο σε ιδανικό ελαήριο σαθεράς k. Δείε ο Σχήμα 7.2. Το σύσημα ελαήριο-σώμα βρίσκεαι σε ισορροπία σο Σχήμα 7.2(α. Εκείνουμε ο ελαήριο ραβώνας ο σώμα προς α δεξιά, μέχρι η μέγιση έκασή ου από η θέση ισορροπίας. Εσω όι η έκαση αυή βρίσκεαι A μέρα από ο σημείο ισορροπίας, όπως σο Σχήμα 7.2(β. Τη χρονική σιγμή t = αφήνουμε ελεύθερο ο σώμα, ο οποίο εκελεί Απλή Αρμονική Ταλάνωση. Ολη η κίνηση αυή περιγράφεαι από η διαφορική εξίσωση d 2 dt 2 x(t = ω2 x(t d2 dt 2 x(t + ω2 x(t = (7.3 Η παραπάνω διαφορική εξίσωση ονομάζεαι ομογενής. Πιθανόαα γνωρίζεε όι η εξίσωση θέσης ου σώμαος (που είναι και η λύση ης διαφορικής εξίσωσης οποιαδήποε χρονική σιγμή t > δίνεαι από η σχέση (α (β (γ -A A (t= x( = A m u( = m/s x(t = A cos(ω t + φ, t > (7.4 Σχήμα 7.2: Απλός Αρμονικός Ταλανωής. με ην ιμή ω να εξαράαι από ο υλικό ου ελαηρίου, και φ ην αρχική φάση ου αλανωή, που εν γένει μας είναι άγνωση και εξαράαι από ις αρχικές συνθήκες ου προβλήμαος. Παραηρήσε όι η διαφορική εξίσωση (7.3 παρουσιάζει μόνο έξοδο x(t, καθώς η είσοδός ου είναι μηδενική. Επίσης, η πλειονόηα ων ηλεκρικών συσημάων που υπάρχουν γύρω μας περιγράφοναι από διαφορικές εξισώσεις με σαθερούς συνελεσές. Ενα πολύ απλό παράδειγμα έοιου συσήμαος είναι ο κύκλωμα πυκνωήανισάη, ή αλλιώς ο κύκλωμα RC. Δείε ο Σχήμα 7.3. Η ανίσαση ου ανισάση συμβολίζεαι με R ενώ R DC x(t C y(t Σχήμα 7.3: Κύκλωμα RC. η χωρηικόηα ου πυκνωή συμβολίζεαι με C. Είσοδος σε αυό ο σύσημα είναι η άση ης πηγής, ενώ η έξοδος είναι η άση σα άκρα ου πυκνωή. Μπορεί κανείς να δείξει όι η διαφορική εξίσωση που περιγράφει ο
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 97 κύκλωμα αυό δίνεαι ως d dt y(t + RC y(t = x(t (7.5 RC Αρχικά η άση σα άκρα ου πυκνωή είναι μηδενική. Αν εφαρμόσουμε σο κύκλωμα μια ιδανική πηγή σαθερής άσης η χρονική σιγμή t =, δηλ. x(t = V u(t, όε μπορεί κανείς να δείξει όι η άση σα άκρα ου πυκνωή δίνεαι ως y(t = V ( e t/rc, t > (7.6 Πώς προκύπει αυή η σχέση από η διαφορική εξίσωση; Το κεφάλαιο αυό αναλαμβάνει να απανήσει σα ερωήμαα ων παραπάνω παραδειγμάων. Η μελέη μας θα περιορισεί σα γραμμικά και χρονικά αμεάβληα συσήμαα. Ας δούμε συνοπικά αυούς ους ορισμούς. 7.2 Γραμμικά και μη-γραμμικά συσήμαα Τα γραμμικά συσήμαα είναι αυά για α οποία ικανοποιούναι δυο συγκεκριμένες ιδιόηες: η ιδιόηα ης προσθεικόηας και η ιδιόηα ης ομογένειας. Η ιδιόηα ης προσθεικόηας αναφέρει όι αν σε ένα σύσημα εφαρμόσουμε δυο διαφορεικές εισόδους x i (t, με i =, 2, και πάρουμε δυο διαφορεικές εξόδους y i (t, με i =, 2, όε αν εφαρμόσουμε ως είσοδο ο άθροισμα όλων ων δυο εισόδων x(t = x (t + x 2 (t (7.7 θα λάβουμε ως έξοδο ο άθροισμα ων επιμέρους εξόδων y(t = y (t + y 2 (t (7.8 Το παραπάνω αποέλεσμα μπορεί να γενικευεί για N εισόδους. Επιπλέον, η ιδιόηα ης ομογένειας σχείζεαι με ην κλιμάκωση ης εισόδου καά παράγονα a. Η ιδιόηα ης ομογένειας ικανοποιείαι αν για ο ζεύγος εισόδου-εξόδου x(t y(t (7.9 ισχύει ο ζεύγος για κάθε πραγμαικό ή φανασικό αριθμό a. ax(t ay(t (7. Οι δυο παραπάνω ιδιόηες από κοινού μας δίνουν ην ιδιόηα ης γραμμικόηας, η οποία μπορεί να εκφρασεί ως εξής: αν x (t y (t (7. x 2 (t y 2 (t (7.2 είναι ζεύγη εισόδου-εξόδου για ένα σύσημα, όε για οποιεσδήποε μιγαδικές ή πραγμαικές σαθερές a, b, ο ax (t + bx 2 (t ay (t + by 2 (t (7.3 είναι ζεύγος εισόδου-εξόδου για ο ίδιο σύσημα. Αν θέλαμε να εκφράσουμε η γραμμικόηα περιγραφικά, γραμμικά είναι α συσήμαα σα οποία αν εφαρμόσουμε ως είσοδο ένα άθροισμα σημάων, θα πάρουμε ως έξοδο ο άθροισμα ων εξόδων που θα παίρναμε αν είχαμε δώσει ως είσοδο ένα-ένα α σήμαα, κι όχι όλα μαζί ως άθροισμα. Για παράδειγμα, ο σύσημα είναι γραμμικό, ενώ ο σύσημα δεν είναι γραμμικό, όπως επίσης και ο y(t = 2x(t + 3x(t 4 (7.4 y(t = x(t (7.5 y(t = x 2 (t (7.6 δεν είναι γραμμικό. Μια καλή σχημαική αναπαράσαση ης έννοιας ης γραμμικόηας φαίνεαι ο Σχήμα 7.4. Αν η έξοδος σο Σχήμα 7.4(α είναι η ίδια με αυή ου Σχήμαος 7.4(β, όε ο σύσημα είναι γραμμικό.
98 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα x (t T y (t α x (t α x 2 (t x N (t... T T y 2 (t... y N (t α 2 α N... Σ y(t x 2 (t x N (t... α 2 α N... Σ T y(t (α (β Σχήμα 7.4: Η ιδιόηα ης γραμμικόηας συσημάων. Η ιδιόηα ης γραμμικόηας είναι πολύ σημανική, οπόε ας δούμε μερικά χαρακηρισικά παραδείγμαα. Παράδειγμα 7.: Ελέγξε αν ο σύσημα y(t = x(2 t + x(t (7.7 3 είναι γραμμικό. Λύση: Για είσοδο ax (t η έξοδος είναι ενώ για είσοδο bx 2 (t, η έξοδος είναι y (t = 3 ax (2 t + ax (t = a( 3 x (2 t + x (t y 2 (t = 3 bx 2(2 t + bx 2 (t = b( 3 x 2(2 t + x 2 (t (7.8 (7.9 Για είσοδο ax (t + bx 2 (t, η έξοδος είναι y(t = 3 (ax (2 t + bx 2 (2 t + ax (t + bx 2 (t (7.2 = 3 ax (2 t + 3 bx 2(2 t + ax (t + bx 2 (t (7.2 = a( 3 x (2 t + x (t + b( 3 x 2(2 t + x 2 (t (7.22 = y (t + y 2 (t (7.23 Άρα ο σύσημα είναι γραμμικό. Παράδειγμα 7.2: Ελέγξε αν ο σύσημα είναι γραμμικό. y(t = x(t + (7.24 Λύση: Για είσοδο ax (t, η έξοδος είναι y (t = ax (t + (7.25
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 99 ενώ για είσοδο bx 2 (t, η έξοδος είναι Για είσοδο ax (t + bx 2 (t, η έξοδος είναι y 2 (t = bx 2 (t + (7.26 y(t = ax (t + + bx 2 (t + y (t + y 2 (t (7.27 άρα ο σύσημα δεν είναι γραμμικό. Εδώ μπορούμε να παραηρήσουμε όι ο σύσημα δεν ικανοποιεί ην ιδιόηα ης ομογένειας, απλά παραηρώνας όι ax(t ay(t (7.28 Οπόε θα μπορούσαμε να αποφανθούμε εξ αρχής όι ο σύσημα δεν είναι γραμμικό, παρ όλα αυά προχωρήσαμε ο παράδειγμα ως ο έλος για λόγους πληρόηας. Τα παραπάνω συσήμαα ήαν ανιπροσωπευικά για ο πως μπορούμε να ελέγξουμε αν ένα σύσημα είναι γραμμικό ή όχι. Σην πράξη, α περισσόερα φυσικά συσήμαα περιγράφοναι από διαφορικές εξισώσεις. Ας δούμε δυο έοια παραδείγμαα. Παράδειγμα 7.3: Δείξε όι ο σύσημα είναι γραμμικό. d y(t + 2y(t = x(t (7.29 dt Λύση: Για είσοδο x (t, η έξοδος είναι d dt y (t + 2y (t = x (t (7.3 ενώ για είσοδο x 2 (t, η έξοδος είναι d dt y 2(t + 2y 2 (t = x 2 (t (7.3 Πολλαπλασιάζονας ις παραπάνω σχέσεις με a και b ανίσοιχα, έχουμε Το άθροισμά ους δίνει d dt ay (t + 2ay (t = ax (t (7.32 d dt by 2(t + 2by 2 (t = bx 2 (t (7.33 d dt ay (t + 2ay (t + d dt by 2(t + 2by 2 (t = ax (t + bx 2 (t (7.34 Ομως η παραπάνω σχέση δεν είναι άλλη από η Σχέση (7.29 με k= x(t = ax (t + bx 2 (t (7.35 y(t = ay (t + by 2 (t (7.36 Άρα ο σύσημα είναι γραμμικό. Εύκολα μπορεί να γενικεύσει κανείς ο παραπάνω αποέλεσμα για μια διαφορική εξίσωση N-οσού βαθμού: η διαφορική εξίσωση N d k N dt k a d k ky(t = dt k b kx(t (7.37 αναπαρισά ένα γραμμικό σύσημα. Οι συνελεσές a k, b k ης διαφορικής εξίσωσης μπορούν να είναι σαθεροί ή συναρήσεις ου χρόνου. Ση συνέχεια, θα μας απασχολήσουν αποκλεισικά συσήμαα που περιγράφοναι από k=
2 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα διαφορικές εξισώσεις με σαθερούς συνελεσές. Η ιδιόηα ης γραμμικόηας είναι πάρα πολύ σημανική καθώς απλοποιεί αρκεά ην ανάλυση ων συσημάων. Σην πράξη, σχεδόν όλα α συσήμαα είναι μη γραμμικά για μεγάλες ιμές εισόδου. Ομως για μικρές ιμές εισόδου, η λειουργία ους μπορεί να θεωρηθεί γραμμική. Παρ όλο που α μη γραμμικά συσήμαα έχουν συγκεκριμένα πλεονεκήμαα, είναι περισσόερο δύσκολα σην ανάλυσή ους και αποελούν μια καηγορία από μόνα ους. 7.3 Χρονικά Αμεάβληα και Χρονικά Μεαβληά συσήμαα Τα συσήμαα που είναι χρονικά αμεάβληα είναι αυά για α οποία οι παράμεροί ους δεν αλλάζουν με ην πάροδο ου χρόνου, δηλ. η έξοδός ους δεν εξαράαι ρηά από ο χρόνο t ως παράγονα. Σε έοια συσήμαα, αν ο x(t y(t (7.38 είναι ένα ζεύγος εισόδου-εξόδου, όε x(t t y(t t (7.39 δηλ. αν η είσοδος καθυσερήσει καά t, όε η έξοδος θα είναι ίδια με πριν, μόνο που θα είναι κι αυή καθυσερημένη καά t. Για παράδειγμα, ο σύσημα είναι χρονικά αμεάβληο, ενώ ο σύσημα είναι χρονικά μεαβληό. Ας ο αποδείξουμε. Παράδειγμα 7.4: y(t = 3x(t + 2 2 cos(x(t 2 (7.4 y(t = tx(t (7.4 Ελέγξε αν ο σύσημα είναι χρονικά αμεάβληο. y(t = 3x(t + 2 2 cos(x(t 2 (7.42 Λύση: Για είσοδο x(t t, η έξοδος ου συσήμαος είναι Αν καθυσερήσουμε ην έξοδο καά t = t, θα έχουμε y(t = 3x(t t + 2 2 cos(x(t t 2 (7.43 y(t t = 3x(t t + 2 2 cos(x(t t 2 (7.44 Οι δυο παραπάνω σχέσεις είναι ίδιες, άρα ο σύσημα είναι χρονικά αμεάβληο. Παράδειγμα 7.5: Ελέγξε αν ο σύσημα είναι χρονικά αμεάβληο. y(t = tx(t (7.45 Λύση: Για είσοδο x(t t, η έξοδος ου συσήμαος είναι Αν καθυσερήσουμε ην έξοδο καά t = t, θα έχουμε y(t = tx(t t (7.46 y(t t = (t t x(t t (7.47
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 2 Οι δυο παραπάνω σχέσεις δεν είναι ίδιες, άρα ο σύσημα είναι χρονικά μεαβληό. Παράδειγμα 7.6: Ελέγξε αν ο σύσημα είναι χρονικά αμεάβληο. d 2 y(t = 4x(t (7.48 dt2 Λύση: Για είσοδο x(t t, η έξοδος ου συσήμαος είναι d 2 dt 2 z(t = 4x(t t (7.49 με z(t ην έξοδο όαν η είσοδος είναι x(t t. Αν καθυσερήσουμε ην έξοδο καά t = t, θα έχουμε d 2 Άρα ο σύσημα είναι χρονικά αμεαβληό. dt 2 y(t t = 4x(t t = d2 z(t (7.5 dt2 7.4 Η κρουσική απόκριση h(t Θα θέλαμε να γνωρίζουμε ην έξοδο ενός ΓΧΑ συσήμαος όαν παρουσιάζουμε ως είσοδο ένα σήμα ακαριαίας μορφής, ένα σήμα που υπάρχει σε απειροσά μικρό χρονικό διάσημα. Η είσοδος αυή θα διεγείρει ο σύσημα, και θα ο αναγκάσει να παράξει κάποια έξοδο. Η έξοδος αυή πρέπει να μοιάζει με ην απόκριση μηδενικής εισόδου, αφού η ύπαρξή ης οφείλεαι σε μια είσοδο που υπάρχει μόνο μια συγκεκριμένη χρονική σιγμή, και μεά χάνεαι. Θα μπορούσε κανείς να πει όι η διέγερση αυή δημιουργεί νέες αρχικές συνθήκες σο σύσημα, και η λύση ης ομογενούς εξίσωσης για αυές ις αρχικές συνθήκες θα μας δώσει μια έξοδο, μια απόκριση σε ένα κρουσικό σήμα - δε θα ήαν λοιπόν παράλογο να ονομάσουμε αυήν ην έξοδο ως κρουσική απόκριση 2! Με βάση α παραπάνω, ένα έοιο σήμα ακαριαίας εισόδου μπορεί να μονελοποιηθεί εξαιρεικά από η γνωσή μας συνάρηση Δέλα! Θυμηθείε όι η συνάρηση Δέλα είναι ένα σήμα που υπάρχει μόνο για t = και είναι μηδέν για t. Ας ορίσουμε λοιπόν ην κρουσική απόκριση - impulse response h(t ενός συσήμαος ως ην έξοδο ου ΓΧΑ συσήμαος όαν σην είσοδο ου παρουσιάζεαι η συνάρηση Δέλα δ(t. Αν χρησιμοποιήσουμε ο συμβολισμό ου ελεσή T [ ] για ο ΓΧΑ σύσημα, θα είναι ή εναλλακικά h(t = T [δ(t] (7.5 δ(t h(t (7.52 Η γνώση ης κρουσικής απόκρισης ενός συσήμαος μπορεί να μας δώσει ην έξοδο y(t για οποιαδήποε είσοδο x(t! Η έξοδος y(t αναπαρίσααι ως η συνέλιξη - convolution ης εισόδου x(t με ην κρουσική απόκριση ου συσήμαος h(t! Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε όι με ο να συμβολίζει ην πράξη ης συνέλιξης, που θα δούμε ευθύς αμέσως! y(t = x(t h(t (7.53 Σκεφείε όι χυπάε ένα καμπανάκι (σύσημα με ένα σφυρί (είσοδος πολύ γρήγορα, όσο ακαριαία γίνεαι. Θα μπορούσαε να ισχυρισείε όι ο ήχος που θα παραχθεί, δηλ. η έξοδος ου συσήμαος, χαρακηρίζει ο καμπανάκι (ο υλικό ου, ο πάχος ου, ην επιφάνειά ου, κλπ. 2 Σκεφείε ο: η απόκριση (έξοδος σε μια κρούση (ακαριαία διέγερση.
22 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα 7.5 Συνέλιξη Η πράξη ης συνέλιξης είναι θεμελιώδους σημασίας, λόγω ου όι εμφανίζεαι συχνά σις φυσικές επισήμες, ση μηχανική, και σα μαθημαικά, οπόε ης αξίζει ξεχωρισή και εκενής αναφορά. Αμέσως παρακάω, θα ην εξεάσουμε ως γενικόερη πράξη, χωρίς να η συνδέουμε απαραίηα με ην είσοδο και ην έξοδο ενός συσήμαος. Προού μελεήσουμε αναλυικά ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης, ας δούμε μερικές ενδιαφέρουσες ιδιόηες με βάση ον ορισμό ης. 7.5. Ιδιόηες Συνέλιξης Η πράξη ης συνέλιξης απλοποιείαι σημανικά από ιδιόηες, όπως αυές σον Πίνακα 7.. Ιδιόηες συνέλιξης Ομογένεια Ανιμεαθεικόηα Προσεαιρισικόηα Επιμερισικόηα Γραμμικόηα Εύρος Ουδέερο σοιχείο ax(t y(t = x(t ay(t = a(x(t y(t, a R x(t y(t = y(t x(t (x(t y(t z(t = x(t (y(t z(t x(t (y(t + z(t = x(t y(t + x(t z(t z (t = x (t y(t z 2 (t = x 2 (t y(t αν x(t = ax (t + bx 2 (t όε z(t = x(t y(t = az (t + bz 2 (t x(t : [t, t 2 ] R y(t : [t 3, t 4 ] R x(t y(t : [t + t 3, t 2 + t 4 ] R x(t δ(t = δ(t x(t = x(t Πίνακας 7.: Ιδιόηες συνέλιξης Ακολουθούν οι αποδείξεις αυών ων ιδιοήων, με αποκλεισική χρήση ου ορισμού. 7.5.. Ομογένεια Εχουμε και (ax(t y(t = x(t (ay(t = ax(y(t d = x(ay(t d = a x(ay(t d = x(t (ay(t (7.54 x(y(t d = a(x(t y(t (7.55 7.5..2 Ανιμεαθεικόηα Θέονας u = t σον ορισμό ης συνέλιξης, έχουμε x(t y(t = x(y(t d = 7.5..3 Προσεαιρισικόηα Είναι (x(t y(t z(t = = + (x( y(z(t d = x(t uy(udu = ( x(u y( uz(t d ( du = x(t uy(udu = y(t x(t (7.56 x(uy( udu z(t d (7.57 ( x(u y(mz(t m udm du (7.58
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 23 = x(u(y(t u z(t udu (7.59 = x(t (y(t z(t (7.6 όπου ση Σχέση (7.58 θέσαμε m = u. 7.5..4 Επιμερισικόηα Είναι x(t (y(t + z(t = = x((y(t + z(t d = x(y(t d + ( x(y(t + x(z(t d (7.6 x(z(t d (7.62 = x(t y(t + x(t z(t (7.63 7.5..5 Γραμμικόηα Είναι με z(t = x(t y(t = (ax (t + bx 2 (t y(t (7.64 = ax (t y(t + bx 2 (t y(t (7.65 = a(x (t y(t + b(x 2 (t y(t (7.66 = az (t + bz 2 (t (7.67 x( z (t = x (t y(t (7.68 z 2 (t = x 2 (t y(t (7.69 λόγω ων ιδιοήων ης ομογένειας και ης επιμερισικόηας. t-t 4 t-t 3 t t 2 7.5..6 Εύρος Η απόδειξη ης ιδιόηας ου εύρους φαίνεαι σχήμαικά σο Σχήμα 7.5. Σο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης, ο σήμα y(t χρησιμοποιείαι ως y(t, με μεαβληή ο. Άρα υπόκειαι σε πράξεις ανισροφής χρόνου και μεαόπισης. Ως εκ ούου, ο σήμα θα είναι μη μηδενικό σο [t t 4, t t 3 ]. Ση διαδικασία ης συνέλιξης, ο γινόμενο x(y(t είναι μη μηδενικό για t t 3 t και t t 4 t 2, δηλ. σο διάσημα [t + t 3, t 2 + t 4 ]. 7.5..7 Ουδέερο σοιχείο Είναι x(t δ(t = από ιδιόηες ης συνάρησης Δέλα. x(δ(t d = x( = x(t (7.7 =t t-t 4 t t-t 4 = t 2 t-t 3 = t t 2 t-t 3 x(t*y(t t +t 3 t 2 +t 4 Σχήμα 7.5: Γραφική απόδειξη ης ιδιόηας ου εύρους. t Η συνέλιξη φημίζεαι ως μια πράξη αρκεά περίπλοκη και δύσκολη, και σε πρώη επαφή αποθαρρύνει ον αναγνώση. Η δυσκολία έγκειαι σο όι σην πράξη ης ολοκλήρωσης εμπεριέχεαι ο γινόμενο δυο σημάων, εκ ων οποίων ο ένα έχει υποσεί ανάκλαση και μεαόπιση.
24 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα 7.5.2 Η συνέλιξη αναλυικά Ας αναλύσουμε διεξοδικά ον ρόπο με ον οποίο υπολογίζουμε ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης. Ας δούμε ον ορισμό: c xy (t = x(t y(t = x(y(t d (7.7 Η πρώη παραήρηση είναι όι ο ολοκλήρωμα έχει ως μεαβληή ο και όχι ο t. Το t ο θεωρούμε σαθερό μέσα σο ολοκλήρωμα. Επεια, ο ολοκλήρωμα αυό εμπλέκει δυο σήμαα: ο x( και ο y(t. Το πρώο είναι αυούσιο ο σήμα x(t, δεν έχει υποσεί κάποια μεαβολή. Το δεύερο όμως, βλέπεε όι έχει υποσεί δυο είδη πράξεων σην ανεξάρηη μεαβληή: ανάκλαση και μεαόπιση. Μια ακολουθία μεαροπής είναι η εξής: y(t y( y( y( + t = y(t (7.72 Οπόε ο σήμα που χρησιμοποιείαι σο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης έχει υποσεί μια ανάκλαση ως προς ον καακόρυφο άξονα και ακολούθως μια μεαόπιση καά t. Το σήμα που προκύπει πολλαπλασιάζεαι με ο x( και ολοκληρώνεαι ως προς. Το αποέλεσμα ης συνέλιξης μπορεί να βρεθεί με δυο ρόπους: αλγεβρικά και γραφικά. Συνήθως προιμάαι η γραφική λύση ης συνέλιξης, και ένα έοιο παράδειγμα φαίνεαι σο Σχήμα 7.6. ˆ Παραηρήσε όι έχουμε δυο σήμαα, ο x(t και ο y(t σην πρώη γραμμή ου σχήμαος. Επιλέγουμε να μεαβάλλουμε ο y(t, δηλ. αυό θα μεαοπίσουμε και θα ανακλάσουμε σύμφωνα με ον ορισμό. ˆ Ση δεύερη γραμμή, έχουμε ξανά α δυο σήμαα, μόνο που ώρα είναι συναρήσει ου και όχι ου t, όπως ακριβώς επιάσσει ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης, και ο y( έχει ανακλασεί ως προς ον καακόρυφο άξονα, και έχει μεαοπισεί καά t. Θυμίζουμε όι αυό ο t ο χειριζόμασε ως σαθερά σο ολοκλήρωμα. Δείε ην αλλαγή σα άκρα ου y(, και πώς αυά προσαρμόσηκαν μεά ην ανάκλαση και η μεαόπιση. ˆ Σην ρίη γραμμή, παίρνουμε ο y(t που μόλις φιάξαμε και ξεκινάμε να ο ολισθαίνουμε πάνω σον ίδιο άξονα με ο x(, ξεκινώνας από ο και προς ο +. ˆ Σην πορεία (έαρη γραμμή, βλέπεε όι ο y( συνανά κάποια σιγμή ο x(. Οαν συμβεί αυό, έχουμε γινόμενο μεαξύ ων δυο σημάων και άρα έχουμε μια μη μηδενική ιμή για ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης. Αυές οι χρονικές σιγμές είναι όαν ο δεξί άκρο ου y(t συνανά ο αρισερό άκρο ου x( και πέρα, και όαν ο αρισερό άκρο ου y(t δεν έχει περάσει ο t =, δηλ. όαν t t και t 4 t 4 (7.73 οπόε όε η συνέλιξη υπολογίζεαι σο διάσημα από ως t, εκεί δηλαδή που ο γινόμενο μεαξύ ων δυο σημάων είναι μη μηδενικό, ως c xy (t = t x(y(t d (7.74 όπου και ανικαθισούμε ις μαθημαικες μορφές ων σημάων, και υπολογίζουμε ο ολοκλήρωμα. ˆ Σην πέμπη γραμμή, ο y(t έχει μπει ολόκληρο μέσα σο x(, πράγμα που δεν είχε συμβεί παραπάνω, άρα είναι διαφορεική περίπωση. Εδώ, η συνέλιξη είναι μη μηδενική όαν ο αρισερό άκρο ης y(t περάσει ο t =, δηλ. όαν t 4 > t > 4 (7.75 και η συνέλιξη υπολογίζεαι ως c xy (t = t t 4 x(y(t d (7.76 όπου και ανικαθισούμε ις μαθημαικες μορφές ων σημάων, και υπολογίζουμε ο ολοκλήρωμα. ˆ Άλλη περίπωση δεν υπάρχει, οπόε για κάθε άλλο t εκός από α παραπάνω, ο αποέλεσμα ης συνέλιξης είναι μηδέν, άρα c xy (t =, t < (7.77 Τώρα που η διαδικασία είναι περισσόερο ξεκάθαρη, ας θεωρήσουμε όι α παραπάνω σήμαα είναι α x(t = e at u(t (7.78
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 25 t 4 t -4 - t-4 t- t-4 t- t-4 t- Σχήμα 7.6: Γραφική απεικόνιση ης συνέλιξης. Οπόε θα έχουμε ˆ Οαν t t, όε c xy (t =. ˆ Οαν t > και t 4, δηλ. οαν < t 4, όε c xy (t = y(t = e bt, t [, 4] (7.79 t e a e b(t d (7.8 t = e bt e (b a d (7.8
26 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα ˆ Τέλος, όαν t 4 >, δηλ. t > 4, όε c xy (t = = e bt t b a e(b a (7.82 = e bt b a (e(b a(t (7.83 = ( e (b a(t bt e bt (7.84 b a t t 4 e a e b(t d (7.85 = e bt t b a e(b a (7.86 t 4 = e bt b a (e(b a(t 4 e (b a(t (7.87 = ( e (b a(t 4 bt e (b a(t bt (7.88 b a Μπορούμε λοιπόν να συνοψίσουμε ην παραπάνω γραφική λύση ης συνέλιξης ως ακολούθως: Γραφική Λύση Συνέλιξης Σημάων x(t και y(t. Επιλέγουμε ένα εκ ων δυο σημάων, έσω ο x(t, ο οποίο και μεαρέπουμε σε x(. 2. Εφαρμόζουμε επάνω ου ην πράξη ης χρονικής ανισροφής και ης χρονικής μεαόπισης, λαμβάνονας έσι ο σήμα x(t. 3. Φέρουμε α δυο σήμαα σε κοινό άξονα ως προς, και σύρουμε ο x(t από ο προς ο +. 4. Καθορίζουμε προσεκικά ις περιοχές ου χρόνου όπου α δυο σήμαα συνυπάρχουν, δηλ. όπου ο γινόμενο x(t y( είναι μη μηδενικό. 5. Σις παραπάνω περιοχές, υπολογίζουμε ο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης. 7.5.3 Χαρακηρισικά Παραδείγμαα Πολύ χρήσιμα είναι α ακόλουθα παραδείγμαα, α οποία θα σας βοηθήσουμε να καανοήσεε ακόμα περισσόερο ην πράξη ης συνέλιξης. Παράδειγμα 7.7: Εσω α σήμαα ου Σχήμαος 7.7. y(t x(t T 2T t T t Σχήμα 7.7: Σήμαα Παραδείγμαος 7.7. Να υπολογίσεε η συνέλιξη y(t = x(t y(t.
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 27 Λύση: Επιλέγουμε να κάνουμε πράξεις σην ανεξάρηη μεαβληή ου x(t, καθ όι ευκολόερο. Η ανάκλαση και η μεαόπιση ου σήμαος φαίνεαι σο Σχήμα 7.8. και άρα θα έχουμε ις παρακάω περιπώσεις, όπως αυές x( x(- x(t- ανάκλαση μεαόπιση T -T -T+t t Σχήμα 7.8: Μεαόπιση και ανάκλαση σήμαος x(t. απεικονίζοναι σο Σχήμα 7.9. ˆ Για ην πρώη περίπωση είναι y(t =, t. ˆ Για η δεύερη περίπωση είναι για t > και t T < t T. ˆ Για ην ρίη περίπωση είναι y(t = t t T για t T T και t > T T < t 2T. ˆ Για ην έαρη περίπωση είναι y(t = 2T t T y(t = T d + t t T T d = 2 ] t = t2 2T 2T ( 2 d = t2 T T + 3t 3T 2 ( 2 d = (2 2 ] 2T = t2 T 2T t T 2T 3t + 9T 2 (7.89 (7.9 (7.9 για t 3T και t > 2T 2T < t 3T. ˆ Για ην πέμπη περίπωση είναι y(t =, t > 3T. Άρα ελικά θα είναι:, t και t > 3T y(t = t 2 2T, < t T (7.92 t2 T + 3t 3T 2, T < t 2T t 2 2T 3t + 9T 2, 2T < t 3T
28 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα t-t t T 2T t-t t T 2T t-t T t 2T T t-t 2T t T 2T t-t t Σχήμα 7.9: Περιπώσεις Συνέλιξης Παραδείγμαος 7.7. Παράδειγμα 7.8: Να υπολογισεί η συνέλιξη ων σημάων x(t = u(t (7.93 y(t = e 2t u(t (7.94 Λύση: Τα δυο σήμαα φαίνοναι σο Σχήμα 7.. Το x(t είναι πιο καάλληλο για να υποσεί ις μεαβολές που είναι απαραίηες σο ολοκλήρωμα ης συνέλιξης. Διακρίνουμε δυο περιπώσεις, οι οποίες φαίνοναι σο Σχήμα 7.. ˆ Για ην πρώη περίπωση είναι c xy (t = για t.
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 29 y(t x(t u(t t t Σχήμα 7.: Σήμαα Παραδείγμαος 7.8. ˆ Για η δεύερη περίπωση είναι c xy (t = e 2 u(u(t d = t e 2 d = e 2t 2 (7.95 για t >. u(t- t u(t- t Άρα ελικά θα είναι Σχήμα 7.: Περιπώσεις Παραδείγμαος 7.8. e 2t 2, t > c xy (t =, t (7.96 Το παράδειγμα αυό είναι εξαιρεικό για να δείξουμε ην αλγεβρική μέθοδο υπολογισμού ης συνέλιξης. Θα είναι Ο όρος c xy (t = e 2 u(u(t d (7.97, < < t u(u(t =, αλλού (7.98
2 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα αφού και Η Σχέση (7.97 γράφεαι ως, > u( =, αλλού, < t u(t =, αλλού (7.99 (7. c xy (t = e 2 u(u(t d = t e 2 d = ] t 2 e 2 = 2 ( e 2t, για t > (7. Οπόε c xy (t = 2 ( e 2t u(t (7.2 Παράδειγμα 7.9: Να υπολογισεί η συνέλιξη ων σημάων x(t = 3u(t (7.3 y(t = u(t + (7.4 Λύση: Διακρίνουμε δυο περιπώσεις, οι οποίες φαίνοναι σο Σχήμα 7.2. Θα είναι x(t- 3 y( t- - x(t- 3 y( - t- Σχήμα 7.2: Περιπώσεις Παραδείγμαος 7.9. ˆ Για ην πρώη περίπωση είναι για t t. c xy (t = (7.5
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 2 ˆ Για η δεύερη περίπωση είναι c xy (t = = t x(y(t d = 3u(t u(t + d (7.6 ] t 3d = 3t = 3(t + 3 = 3t (7.7 για t > t >, αφού, < < t 3u(t u(t + =, αλλού (7.8 Άρα συνολικά Παράδειγμα 7.: Να υπολογισεί η συνέλιξη ων σημάων, t c xy = 3t, t > (7.9 x(t = 2e 3t u(t (7. ( t + 2 y(t = rect (7. 2 Λύση: Διακρίνουμε ρεις περιπώσεις, οι οποίες φαίνοναι σο Σχήμα 7.3. Θα είναι ˆ Για ην πρώη περίπωση είναι c xy (t = (7.2 για t + 3 t 2. ˆ Για η δεύερη περίπωση είναι c xy (t = για t + και t + 3 >, άρα 2 < t. ˆ Για ην ρίη περίπωση είναι για t + > t >. c xy (t = x(y(t d = t+3 2e 3 d (7.3 = 2 ] t+3 3 e 3 = 2 3 (e 3(t+3 e 3 (7.4 = 2 3 e 3(t+3 + 2 3 e 3 (7.5 x(y(t d = t+3 t+ 2e 3 d (7.6 = 2 ] t+3 3 e 3 = 2 3 (e 3(t+3 e 3(t+ (7.7 t+ = 2 3 e 3(t+3 + 2 3 e 3(t+ (7.8
22 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα y(t- t+ t+3 y(t- t+ t+3 y(t- t+ t+3 Σχήμα 7.3: Περιπώσεις Παραδείγμαος 7.. Άρα συνολικά c xy =, t 2 2 3 e 3(t+3 + 2 3 e 3, 2 < t (7.9 2 3 e 3(t+3 + 2 3 e 3(t+, t > Παράδειγμα 7.: Να υπολογισεί η συνέλιξη ων σημάων x(t = e 2 t (7.2 ( t y(t = rect (7.2 2 Λύση: Αρχικά, θα ήαν βολικό να γράψουμε ο σήμα x(t = e 2 t ως e 2t, t < x(t = e 2t, t (7.22
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 23 Διακρίνουμε ρεις περιπώσεις, οι οποίες φαίνοναι σο Σχήμα 7.4. Θα είναι t- t+ y(t- t- t+ y(t- t- t+ y(t- Σχήμα 7.4: Περιπώσεις Παραδείγμαος 7.. ˆ Για ην πρώη περίπωση είναι για t + t. ˆ Για η δεύερη περίπωση είναι c xy (t = = t c xy (t = = 2 e2 ] t+ x(y(t d = e 2 d t+ x(y(t d = t+ t e 2 d (7.23 t = 2 (e2(t e 2(t+ (7.24 t+ t e 2 d (7.25 e 2 d = 2 e2 ] t + 2 e 2 ] t+ (7.26 = 2 ( e2(t + 2 (e 2(t+ = 2 + 2 e2(t + 2 e 2(t+ 2 (7.27 = 2 e2(t + 2 e 2(t+ (7.28
24 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα για t < και t + >, δηλ. < t <. ˆ Για ην ρίη περίπωση είναι c xy (t = = t+ t x(y(t d = t+ t e 2 d (7.29 e 2 d = 2 e 2 ] t+ t (7.3 = 2 (e 2(t+ e 2(t (7.3 για t, δηλ. t. Άρα συνολικά c xy (t = 2 (e2( e 2(t+, t 2 e2(t + 2 e 2(t+, t < 2 (e 2(t+ e 2(t, t (7.32 7.5.4 Συνέλιξη και Συναρήσεις Δέλα Η ιδιόηα x(t δ(t ± t = x(t ± t (7.33 όπου δηλώνει ην πράξη ης συνέλιξης είναι πολύ χρήσιμη ση μελέη συσημάων. Η Σχέση (7.33 δηλώνει όι όαν κάνουμε συνέλιξη ενός σήμαος με μια Συνάρηση Δέλα η οποία βρίσκεαι ση χρονική σιγμή t = ±t, όε ο αποέλεσμα είναι απλά ο ίδιο ο σήμα x(t μεαοπισμένο ση θέση t = ±t! Θα δούμε πιο κάω όι αυή η ιδιόηα μας διευκολύνει πάρα πολύ, όαν έχουμε να κάνουμε με συσήμαα. Σχημαικά, δείε ο Σχήμα (7.5. Μπορούμε προς ο παρόν να δούμε ένα παράδειγμα που θα μας βοηθήσει να δούμε πως δουλεύει αυή η πράξη και x(t δ(t-t * = x(t-t t t t t t Σχήμα 7.5: Συνέλιξη σήμαος με συνάρησης Δέλα. πως διαφέρει η συνέλιξη ενός σήμαος με μια Συνάρηση Δέλα με ον πολλαπλασιασμό ου με ην ίδια συνάρηση.
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 25 Παράδειγμα 7.2: Εσω ο σήμα, t = 4 x(t =, t =, t = 4, αλλού (7.34 (αʹ Σχεδιάσε ο σήμα σο χρόνο. (βʹ Γράψε ο σήμα ως άθροισμα Συναρήσεων Δέλα δ(t. ( t (γʹ Πολλαπλασιάζουμε ο x(t με ο σήμα y(t = 2rect. Σχεδιάσε ο αποέλεσμα. 6 ( t (δʹ Κάνουμε συνέλιξη ο x(t με ο σήμα y(t = 2rect. Σχεδιάσε πρώα α σήμαα που προκύπουν 6 και μεά γράψε μια βολική μαθημαική σχέση που περιγράφει ο αποέλεσμα. (εʹ Ποιός είναι ο γενικός κανόνας που προκύπει από α δυο παραπάνω ερωήμαα; Δηλ. ι συμβαίνει σε ένα σήμα όαν πολλαπλασιάζεαι με μια συνάρηση Δέλα, και ι συμβαίνει όαν γίνεαι συνέλιξη με μια Συνάρηση Δέλα; Λύση: (αʹ Το σήμα σο χρόνο φαίνεαι σο Σχήμα 7.6. x(t -4 4 t - Σχήμα 7.6: Παράδειγμα συνέλιξης σήμαος με Συνάρηση Δέλα: σήμα σο χρόνο. (βʹ Είναι x(t = δ(t + 4 + δ(t δ(t 4 (7.35 (γʹ Το γινόμενο ων δυο σημάων είναι ( t ( t ( x(t y(t = x(t 2rect = 2rect δ(t + 4 + δ(t δ(t 4 = 2δ(t = 6 6 2, t =, αλλού (7.36 και φαίνεαι σο Σχήμα 7.7. (δʹ Η συνέλιξη ων σημάων είναι ( t ( t + 4 ( t ( t 4 x(t y(t = x(t 2rect = 2rect + 2rect 2rect 6 6 6 6 (7.37
26 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα x(ty(t 2 x(ty(t 2-4 4 t t Σχήμα 7.7: Παράδειγμα συνέλιξης σήμαος με Συνάρηση Δέλα: γινόμενο σημάων. 2 x(t*y(t 2 x(t*y(t -7 - -3 3 7 t -7-3 3 7 - t -2-2 Σχήμα 7.8: Παράδειγμα συνέλιξης σήμαος με Συνάρηση Δέλα: συνέλιξη σημάων. και φαίνεαι σο Σχήμα 7.8 αρισερά. Παραηρώνας ο, μπορούμε να γράψουμε όι και φαίνεαι σο Σχήμα 7.8 δεξιά. ( t + 5 ( t ( t 5 x(t y(t = 2rect + 2rect 2rect 4 2 4 (7.38 (εʹ Ο γενικός κανόνας είναι όι ο γινόμενο σήμαος με Συνάρηση Δέλα δίνει μια Συνάρηση Δέλα με πλάος ο πλάος ου σήμαος ση θέση ης Συνάρησης Δέλα. Η συνέλιξη σήμαος με Συνάρηση Δέλα μεαοπίζει η θέση αναφοράς ου σήμαος από ο μηδέν ση θέση t, αν δ(t t είναι η Συνάρηση Δέλα η οποία εμπλέκεαι ση συνέλιξη. 7.5.5 Πίνακας Συνέλιξης Η διαδικασια ης συνέλιξης απλοποιείαι σημανικά από έοιμους πίνακες συνέλιξης, όπως ο Πίνακας 7.2. Αυός ο πίνακας, που αναφέρει διάφορα ζεύγη σημάων και ο αποέλεσμα ης συνέλιξής ους, μπορεί να σας βοηθήσει σον έλεγχο ων αποελεσμάων σας. Ας δούμε μερικές παραηρήσεις με βάση όσα έχουμε συζηήσει ως ώρα. Παραηρήσεις (αʹ Οπως βλέπεε, είναι πολύ σημανικό να μπορείε να υπολογίσεε σωσά ο μεαοπισμένο σήμα και να βλέπεε σωσά ις περιπώσεις και α άκρα ου ολοκληρώμαος. Οι πράξεις σο ολοκλήρωμα είναι συνήθως αρκεά απλές. (βʹ Οπως είδαμε, η συνέλιξη είναι ανιμεαθεική πράξη, ισχύει δηλ. όι c fg (t = f(t g(t = g(t f(t = c gf (t (7.39
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 27 Χρήσιμα ζεύγη συνέλιξης x(t y(t x(t y(t x(t δ(t T x(t T e at u(t u(t e at a u(t u(t u(t tu(t e at u(t e bt u(t e at e bt a b u(t, a b e at u(t e at u(t te at u(t te at u(t e at u(t 2 t2 e at u(t t n u(t e at n!e at u(t a n+ u(t n!t n j a j+ (n j! u(t t m u(t te at u(t t m e at u(t t m e at u(t e at cos(bt + θu(t t n u(t e bt u(t t n e at u(t t n e bt u(t e λt u(t j= m!n! (n + m +! tm+n+ u(t e bt e at + (a bte at (a b 2 u(t m!n! (n + m +! tm+n+ e at u(t m ( j m!(n + j!t m j e at u(t j!(m j!(a b! n+j+ j= n ( k n!(m + k!t n k e bt + u(t, a b k!(n k!(b a m+k+ k= cos(θ φe λt e at cos(bt + θ φ u(t, (a + λ2 + b 2 e at u(t e at u( t e bt u( t e bt u( t b a+λ φ = tan e at u(t + e bt u( t, R{b} > R{a} b a e at e bt b a u( t Πίνακας 7.2: Πίνακας ζευγών συνελίξεων
28 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα Αυό σημαίνει όι αν κάναμε πράξεις σην ανεξάρηη μεαβληή ου f (t ανί για ου g(t, θα είχαμε πάλι ο ίδιο αποέλεσμα. (γʹ Προιμούμε να ανακλάσουμε και μεαοπίσουμε ο μικρόερο σε διάρκεια σήμα, γιαί συνήθως είναι πιο εύκολη η διαδικασία υπολογισμού ης συνέλιξης. Αν και α δυο σήμαα είναι άπειρης διάρκειας, προιμούμε όποιο θέλουμε. (δʹ Χρήσιμη ιδιόηα, η οποία αναφέρεαι σον Πίνακα 7., για πεπερασμένης διάρκειας σήμαα είναι η εξής: αν ο ένα εκ ων δυο είναι μη μηδενικό σο διάσημα [a, b] και ο άλλο είναι μη μηδενικό σο διάσημα [c, d], όε η συνέλιξή ους είναι μη μηδενική σο διάσημα [a + c, b + d]. Γνωρίζονας αυό, μπορούμε να ελέγχουμε α αποελέσμαά μας. Για παράδειγμα, αν σο Σχήμα 7.6, είχαμε συνέλιξη ης y(t με ον εαυό ης, δηλ. cyy (t = y(t y(t, όε ο αποέλεσμα θα ήαν μη μηδενικό σο διάσημα [2, 8]. (εʹ Ση βιβλιογραφία, θα βρείε ον ορισμό ης συνέλιξης με διαφορεικές μεαβληές. Π.χ. Z x( y(t d cxy (t = Z cxy ( = x(ty( tdt (7.4 (7.4 Και οι δυο παραπάνω σχέσεις είναι σωσές. Απλά αλλάξαμε ις μεαβληές t, μεαξύ ους. Διαλέξε όποια σας βολεύει, αρκεί να είσε συνεπείς και προσεκικοί. Σα παραδείγμαα αλλά και γενικόερα, προιμούμε ην πρώη σχέση. (ϛʹ Η γραφική επίλυση που συζηήσαμε εδώ φαίνεαι εκ πρώης όψεως περίπλοκη. Πράγμαι, κάποιοι ισχυρίζοναι όι η συνέλιξη έχει οδηγήσει πολλούς προπυχιακούς σε μήμαα Μηχανικών Η/Υ να ενσερνισούν η Θεολογία, είε για σωηρία ψυχής είε ως εναλλακική καριέρα!! (δείε ο περιοδικό IEEE Spectrum, Μάριος 99, σελ. 6. Σχήμα 7.9: Πολύς κόσμος έχει αλαιπωρηθεί από η συνέλιξη... 7.6 Ευσάθεια Συσήμαος Ας αναφερθούμε ώρα αναλυικόερα σε μια έννοια η οποία είναι πολύ σημανική, αυή ης ευσάθειας ενός συσήμαος. Ενα σύσημα λέγεαι ευσαθές αν x(t < Mx = y(t < My, Mx, My < (7.42
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 29 και ονομάζουμε αυού ου είδους ην ευσάθεια ως Bounded-Input-Bounded-Output (BIBO-ευσάθεια. Αν η είσοδος είναι μη μηδενική και απολύως φραγμένη x(t < M x < + (7.43 η ευσάθεια συνεπάγεαι αν y(t = x(t h(t = = x(h(t d (7.44 x(h(t d (7.45 x( h(t d (7.46 M x h(t d + (7.47 Η ελευαία σχέση ικανοποιείαι μόνον όαν ή ισοδύναμα h(t d < + (7.48 h(t dt < + (7.49 Άρα, ένα σύσημα που περιγράφεαι από ην κρουσική απόκριση h(t είναι ευσαθές αν η ελευαία είναι απολύως ολοκληρώσιμη. Σε κάθε άλλη περίπωση, ο σύσημα είναι ασαθές. Εν καακλείδει: Ευσάθεια ΓΧΑ Συσήμαος Η ευσάθεια ενός ΓΧΑ συσήμαος δεδομένης μιας οποιασδήποε απολύως φραγμένης εισόδου εξαράαι αποκλεισικά και μόνο από ην κρουσική ου απόκριση h(t, η οποία πρέπει να είναι απολύως ολοκληρώσιμη. Ας συζηήσουμε ορισμένες ενδιαφέρουσες παραηρήσεις επάνω σο ζήημα ης ευσάθειας. Παραηρήσεις (αʹ Σε ένα ευσαθές σύσημα, μια απολύως φραγμένη είσοδος παράγει πάνα μια απολύως φραγμένη έξοδο. Ομως, μπορεί κανείς να δείξει όι σε ένα ασαθές ή οριακά ευσαθές σύσημα, η έξοδός ου μπορεί να είναι μη απολύως φραγμένη, ακόμα κι αν η είσοδος είναι απολύως φραγμένη! Σκεφείε για παράδειγμα ο ΓΧΑ σύσημα με κρουσική απόκριση h(t = u(t. Για είσοδο x(t = u(t, η οποία είναι απολύως φραγμένη από η μονάδα, έχουμε έξοδο y(t = tu(t, η οποία δεν είναι απολύως φραγμένη. (βʹ Οπως μπορείε να κααλάβεε, ένα ασαθές σύσημα δεν έχει και όση χρησιμόηα σην πράξη - κάθε σύσημα που υλοποιούμε σε υλικό ή λογισμικό πρέπει να είναι ευσαθές. Σκεφείε για παράδειγμα ένα απλό, κακοφιαγμένο ηχείο, ο οποίο δέχεαι είσοδο από ένα μικρόφωνο. Αν ο σύσημα ήαν ασαθές, όε οποιαδήποε και οσοδήποε μικρή είσοδος από ο μικρόφωνο, θα παρήγαγε σύνομα μια έξοδο (ήχο υπερβολικά μεγάλης ιμής με πολύ δυσάρεσα - ο λιγόερο! - αποελέσμαα. (γʹ Τα παραπάνω όμως δε σημαίνουν όι δεν μπορούν να προκύψουν ασαθή συσήμαα σην πράξη. Για παράδειγμα, η θεωρία ου Αυομάου Ελέγχου προσπαθεί να ελέγξει η συμπεριφορά πραγμαικών συσημάων διορθώνονας υχούσες ασάθειες που φυσιολογικά προκύπουν καά η λειουργία ους. Για παράδειγμα, αν θέλουμε ένα αεροσκάφος να ακολουθήσει μια συγκεκριμένη πορεία, με συγκεκριμένο υψόμερο και αχύηα, ανεξάρηα από ις πιθανές ροές ανέμων ου περιβάλλονος που προκαλούν ασάθειες ση συμπεριφορά ου, θα πρεπει να έχουμε ένα μηχανισμό ελέγχου ης ευσάθειας ου συσήμαος.
22 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα 7.7 Αιιαόηα Συσήμαος Τα αιιαά συσήμαα είναι αυά για α οποία ο υπολογισμός ης εξόδου δεν απαιεί μελλονικές ιμές ης εισόδου. Για παράδειγμα, ο σύσημα y(t = 2x(t + sin(x(t (7.5 είναι αιιαό, ενώ ο σύσημα y(t = x(t 2 2 + 4x(t + 4 (7.5 είναι μη αιιαό, επειδή για ον υπολογισμό ου y(t απαιείαι μελλονική ιμή ης εισόδου, η x(t + 4. Πιο περιγραφικά, ένα αιιαό σύσημα είναι ένα σύσημα ο οποίο δεν παράγει κάποια έξοδο προού εφαρμοσεί σε αυό μια είσοδος. Αν ο σύσημα παράγει έξοδο πριν ην είσοδο, σημαίνει όι ο σύσημα γνωρίζει η μελλονική είσοδο και παράγει έξοδο βάσει αυής ης γνώσης, και άρα είναι μη αιιαό. Προφανώς, κάθε σύσημα υλοποιήσιμο σε πραγμαικό χρόνο πρέπει να είναι αιιαό. Οπόε κάποιος θα μπορούσε να θέσει ο ερώημα γιαί να μελεήσει κανείς όε ένα μη αιιαό σύσημα; Η απάνηση σε αυό ο ερώημα έχει - ουλάχισον - ρεις συνισώσες:. Ενα μη αιιαό σύσημα απαιεί μελλονικές ιμές ης εισόδου για να παράξει έξοδο. Αν όμως η είσοδος είναι διαθέσιμη σε κάποιον αποθηκευικό χώρο (μνήμη, όε ο σύσημα μπορεί να υλοποιηθεί, αφού οι μελλονικές ιμές ης εισόδου είναι διαθέσιμες. Αυό σημαίνει όι α μη αιιαά συσήμαα είναι μεν πραγμαοποιήσιμα, αλλά όχι σε πραγμαικό χρόνο. Παρ όλα αυά, η χρησιμόηά ους είναι μεγάλη, καθώς υπάρχουν πολλές εφαρμογές (επεξεργασία φωνής, ήχου, εικόνας, γεωφυσική, μεεωρολογία, ανάλυση βιοσημάων όπου η είσοδος υπάρχει ολόκληρη διαθέσιμη σε μια π.χ. βάση δεδομένων. 2. Ενα μη αιιαό σύσημα μπορεί να κάνει πράγμαα που ένα αιιαό σύσημα δεν μπορεί. Για παράδειγμα, σα πρόυπα συμπίεσης εικόνας και ήχου (MP3, JPEG, MPEG κλπ, η υψηλή συμπίεση επιυγχάνεαι επειδή ο αλγόριθμος συμπίεσης (ο οποίος αποελεί ο σύσημα γνωρίζει μελλονική πληροφορία ης εισόδου (ήχος, εικόνα, βίνεο, ην οποία χρησιμοποιεί για να αυξήσει ην επίδοσή ου (συμπιεσμένη έξοδος. 3. Τα μη αιιαά συσήμαα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ο άνω όριο ων επιδόσεων αιιαών συσημάων. Οπως θα δούμε αρκεά αργόερα, ένα αιιαό φίλρο (δηλ. ένα σύσημα που επιλέγει ην ποσόηα ου σήμαος εισόδου που θα περάσει σην έξοδο εισάγει πάνα παραμόρφωση σο σήμα εισόδου ου, μεαβάλλονάς ο με ανεπιθύμηο (αλλά ελεγχόμενο ρόπο. Ομως, ένα μη αιιαό φίλρο μπορεί να σχεδιασεί έσι ώσε να εισάγει μηδενική ανεπιθύμηη παραμόρφωση σο σήμα εξόδου ου. Η αιιαόηα είναι μια πολύ σημανική ιδιόηα ενός συσήμαος, ειδικά αν ο σύσημα προορίζεαι να υλοποιηθεί σε πραγμαικό χρόνο. Ασφαλώς, όλα α φυσικά συσήμαα είναι αιιαά εξ ορισμού, διόι αποκρίνοναι μόνον αν διεγερθούν : οι ζωνανοί οργανισμοί, ο καιρός, α μουσικά όργανα, κλπ 3. Ενα αιιαό σύσημα λοιπόν δεν πρέπει να αποκρίνεαι αν δε διεγείρεαι, ή με άλλα λόγια, δεν πρέπει να παράγει έξοδο αν δεν ου παρασχεθεί μια είσοδος. Καθαρά μαθημαικά, αν ένα σύσημα για δυο εισόδους x (t και x 2 (t παράγει δυο εξόδους y (t και y 2 (t, όε αυό είναι αιιαό αν και μόνο αν x (t = x 2 (t t < t y (t = y 2 (t t < t (7.52 Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε ις συνθήκες αιιαόηας για ένα σύσημα ως εξής: Αιιαόηα Συσήμαος Ενα σύσημα είναι αιιαό αν βρίσκεαι σε αρχική ηρεμία, δηλ. αν x(t =, t < t όε y(t =, t < t (7.53 που μπορεί να ειπωθεί χαρακηρισικά ως no input, no output. Ομως μπορούμε άραγε για ένα ΓΧΑ σύσημα να βρούμε μια σχέση αιιαόηας και κρουσικής απόκρισης, όπως κάναμε για ην ευσάθεια; Η απάνηση είναι ναι! Σκεφείε όι αν ένα σύσημα είναι ΓΧΑ και εμφανισεί 3 Φανασείε να είχαε ένα σύσημα που η έξοδός ου ήαν οι ιμές ων μεοχών ης αυριανής μέρας! Προφανώς θα ήαν μη αιιαό...
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ου Χρόνου 22 σην είσοδό ου η συνάρηση Δέλα, όε γνωρίζουμε όι η έξοδος θα είναι η κρουσική απόκριση h(t ου συσήμαος. Η είσοδος όμως εμφανίζεαι η χρονική σιγμή t =, και δεν υπήρξε πιο πριν. Άρα ένα ΓΧΑ σύσημα είναι αιιαό αν και μόνο αν h(t =, t <. Οπόε: Αιιαόηα ΓΧΑ Συσήμαος και Κρουσική Απόκριση Ενα ΓΧΑ σύσημα είναι αιιαό αν και μόνο αν h(t =, t < (7.54
222 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα
Κεφάλαιο 8 Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ης Συχνόηας 8. Εισαγωγή Ως ώρα συζηήσαμε για σήμαα σο χώρο ης συχνόηας. Σε αυό ο κεφάλαιο, θα γνωρίσουμε ην οπική ων συσημάων σο χώρο ης συχνόηας. Θα δούμε ι παραπάνω μπορεί να μας προσφέρει αυή η οπική σε σχέση με όσα γνωρίζουμε από ο χώρο ου χρόνου και πώς μπορούμε να ην εκμεαλλευούμε σε πραγμαικα προβλήμαα, ενώ θα συσηθούμε με πραγμαικές (ή κονά σις πραγμαικές και πολύ γνωσές σας εφαρμογές που κααδεικνύουν η χρησιμόηα ου πεδίου ης συχνόηας. 8.2 Μια μικρή εφαρμογή-κίνηρο Ας υποθέσουμε όι δυο αναγωνισικοί ραδιοφωνικοί σαθμοί θέλουν να εκπέμψουν ο πρόγραμμά ους. Γνωρίζουμε όι ο ανθρώπινο αυί μπορεί να ακούσει συχνόηες από 2 ως 2. Hz. Παρ όι η ανθρώπινη φωνή παράγει σημανικές συχνόηες από 7 ως περίπου 4. Hz, κάποια μουσικά όργανα παράγουν αρμονικές συχνόηες εκός αυού ου διασήμαος, οπόε ας υποθέσουμε όι ο φάσμα ου σήμαος πληροφορίας (δηλ. ης εκπομπής που μεαδίδεαι είναι μη μηδενικό σο διάσημα [2, 2.] Hz, ο οποίο και αποελεί ο ακουσικό φάσμα ου ανθρώπινου αυιού. Ενα πρώο πρόβλημα που ανιμεωπίζουν οι σαθμοί είναι η πρακική υλοποίηση ης κεραίας εκπομπής. Η Θεωρία Κεραίων μας πληροφορεί όι ο μήκος μιας κεραίας εκπομπής πρέπει να είναι ανάλογο ου μήκους κύμαος ης πληροφορίας λ που μεαδίδεαι. Γνωρίζουμε όι λ = c f (8. με c ην αχύηα ου ηλεκρομαγνηικού κύμαος (σαθερή και ίση με 3 8 m/s και f η συχνόηα ου σήμαος πληροφορίας. Σην περίπωση ης μεάδοσης ραδιοφωνικού προγράμμαος, η συχνόηα f δεν είναι ούε μοναδική ούε σαθερή με ην πάροδο ου χρόνου. Ας πάρουμε όμως ις δυο ακραίες συχνόηες που μεαδίδουν οι σαθμοί, δηλ. f min = 2 Hz και f max = 2. Hz. Το μήκος κύμαός ους είναι λ min = c = 3 8 f max 2 3 =.5 4 m (8.2 λ max = c = 3 8 =.5 7 m f min 2 (8.3 Παραηρήσε πόσο μη πρακικά είναι αυά α μεγέθη! Αν υποθέσουμε όι ο μέγεθος ης κεραίας πρέπει να είναι περίπου ο / ου μήκους κύμαος που εκπέμπεαι, όε η κεραία πρέπει να έχει μέγεθος ίσο με.5 6 m, δηλ. 5 χιλιόμερα, για να μεαδώσει ένα απλό ημίονο σα 2 Hz! Ακόμα κι αν αυό ο πρόβλημα δεν ήαν - που είναι! - σημανικό, υπάρχει ένα δεύερο πρόβλημα! - οι σαθμοί εκπέμπουν σην ίδια περιοχή συχνοήων, αφού αμφόεροι εκπέμπουν φωνή και μουσική και άρα κααλαμβάνουν και οι δυο ο εύρος φάσμαος μεαξύ 2 Hz και 2. Hz. Μπορούμε να λύσουμε και α δυο αυά προβλήμαα χρησιμοποιώνας ην ιδιόηα ης μεαόπισης ση συχνόηα ου μεασχ. Fourier, σέλνονας ο σήμα πληροφορίας σε συχνόηες αρκεά μεγάλες ώσε η καασκευή ης κεραίας να καθίσααι πρακική, αλλά και ο
224 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα φασμαικό περιεχόμενο ων δυο εκπομπών να μην κααλαμβάνει ο ίδιο εύρος συχνοήων. Μια έοια διαδικασία ονομάζεαι Διαμόρφωση - Modulation. Ασφαλώς όμως θα θέλαμε κάποια συσήμαα α οποία να μπορούν να απομονώνουν ο επιθυμηό σήμα πληροφορίας και να ο μεαφέρουν ση φυσική ου ζώνη συχνοήων ώσε αυό να είναι ανιληπό από ον ακροαή. Η ανίσροφη αυή διαδικασία ονομάζεαι Αποδιαμόρφωση - Demodulation. Μια απλουσευμένη απεικόνιση ων δυο αυών διαδικασιών φαίνεαι σο Σχήμα 8.. Τέοια (α -2 2 f (khz -f 2 -f f f 2 f (khz -2 2 f (khz (β -f 2 -f f f 2 f (khz f (khz Σχήμα 8.: (α Διαμόρφωση και (β Αποδιαμόρφωση σήμαος. συσήμαα - κι ακόμη περισσόερα - θα συζηήσουμε σε αυό ο κεφάλαιο. 8.3 Συσήμαα σο χώρο ης συχνόηας Ως ώρα περιγράφαμε α συσήμαα είε ως μια σχέση εισόδου-εξόδου y(t = T {x(t}, είε μέσω ης κρουσικής ους απόκριση h(t, η οποία είχε θεμελιώδη ρόλο. Πλέον έχουμε ένα ισχυρό εργαλείο ανάλυσης σημάων σο χώρο ης συχνόηας, ον μεασχ. Fourier, ο οποίος είδαμε όι αναλύει ένα σήμα σε ένα άπειρο άθροισμα μιγαδικών εκθεικών σημάων ης μορφής e j2πft. Ας δούμε ι συμβαίνει σα συσήμαα, όαν αυά εξεάζοναι από ην οπική ης συχνόηας. Θα εξεάσουμε γραμμικά και χρονικά αμεάβληα συσήμαα (ΓΧΑ αποκλεισικά. 8.3. Ιδιοσυνάρηση και Ιδιοιμή ΓΧΑ Συσήμαος Αν υποθέσουμε όι σην είσοδο ενός ΓΧΑ συσήμαος που περιγράφεαι από ην κρουσική απόκριση h(t, εφαρμόζουμε ένα εκθεικό μιγαδικό σήμα e j2πft, όε η έξοδος ου συσήμαος δίδεαι από ην πράξη ης συνέλιξης, και είναι y(t = h(e j2πf(t d = e j2πft h(e j2πf d = H(f e j2πft (8.4 με ο H(f να είναι η ιμή ου μεασχ. Fourier ης κρουσικής απόκρισης h(t για f = f. Πώς ερμηνεύεαι αυή η σχέση; Παραηρήσε όι όαν φέρουμε ως είσοδο ένα οποιοδήποε μιγαδικό εκθεικό σήμα συχνόηας f σε ένα ΓΧΑ σύσημα, ο αποέλεσμα που θα πάρουμε σην έξοδό μας θα είναι ο ίδιο σήμα ης εισόδου, πολλαπλασιασμένο με ο μεασχ. Fourier ου συσήμαος, ση συχνόηα f. Σε μαθημαική ορολογία, η μιγαδική εκθεική συνάρηση συχνόηας f αποελεί ιδιοσυνάρηση ου ΓΧΑ συσήμαος. Υπενθυμίζεαι όι η μαθημαική περιγραφή h(t ου συσήμαος λέγεαι κρουσική απόκριση, και αποελεί ην έξοδο ου συσήμαος, όαν σην είσοδό ου εμφανίζεαι μια συνάρηση Δέλα.
Κεφάλαιο 8. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ης Συχνόηας 225 8.3.2 Απόκριση σε Συχνόηα Ο μεασχ. Fourier ης, H(f, όνας όσο σημανικός σην ανάλυση ων συσημάων, δε θα μπορούσε να μην έχει δικό ου όνομα: λέγεαι απόκριση σε συχνόηα ή συχνοική απόκριση, ενώ η ανάλυσή ης σε πολική μορφή H(f = H(f e jφ H(f (8.5 μας ονομάζει ο φάσμα πλάους ης, H(f, ως απόκριση πλάους και ο φάσμα φάσης ης, φ H (f, ως απόκριση φάσης. Ομως ένα από α σημανικόερα πορίσμαα ης Ανάλυσης Fourier είναι όι η συνέλιξη σο χρόνο γίνεαι πολλαπλασιασμός ση συχνόηα, και ο ανίσροφο (Πίνακας 6.. Άρα η σχέση ης συνέλιξης που περιγράφει ην έξοδο ενός συσήμαος σο πεδίο ου χρόνου μπορεί να γραφεί σο πεδίο ης συχνόηας ως: y(t = x(t h(t (8.6 Y (f = X(fH(f (8.7 Τι σημαίνει η σχέση αυή για ο φάσμα πλάους και ο φάσμα φάσης ης εισόδου X(f; Αν χρησιμοποιήσουμε ην πολική μορφή, θα έχουμε Y (f e jφ Y (f = X(f e jφ X (f H(f e jφ H(f (8.8 που οδηγεί σις σχέσεις Y (f = X(f H(f (8.9 φ Y (f = φ X (f + φ H (f (8. Οι σχέσεις αυές είναι πολύ σημανικές διόι μας πληροφορούν όι ˆ Το φάσμα πλάους ης εξόδου ενός ΓΧΑ συσήμαος δεν είναι άλλο από ο γινόμενο ων επιμέρους φασμάων πλάους, ης εισόδου και ου συσήμαος. Άρα, η απόκριση πλάους ου συσήμαος δρα πολλαπλασιασικά σο φάσμα πλάους ης εισόδου. ˆ Το φάσμα φάσης ης εξόδου ενός ΓΧΑ συσήμαος δεν είναι άλλο από ο άθροισμα ων επιμέρους φασμάων φάσης, ης εισόδου και ου συσήμαος. Άρα, η απόκριση φάσης ου συσήμαος δρα αθροισικά σο φάσμα φάσης ης εισόδου. Τα παραπάνω δυο σημεία ισχούν ανεξαρήως ης φύσης ου σήμαος εισόδου (περιοδικό ή μη, ενέργειας ή ισχύος. Μια πολύ σημανική ιδιόηα ης απόκρισης σε συχνόηα ων ΓΧΑ συσημάων είναι όι αν ο h(t είναι πραγμαικό, η απόκριση σε συχνόηα ειναι συζυγής συμμερική συνάρηση ης συχνόηας: H(f = H ( f (8. που συνεπάγεαι όι ο πραγμαικό ης μέρος είναι άρια συνάρηση ου f, και ο φανασικό ειναι περιή συνάρηση ου f, δηλ. H R (f = H R ( f (8.2 H I (f = H I ( f (8.3 Ομοια, ο πλάος ης απόκρισης σε συχνόηα είναι άρια συνάρηση ου f και η φάση είναι περιη συνάρηση ου f, δηλ. H(f = H( f (8.4 φ(f = φ( f (8.5 Τα παραπάνω δεν πρέπει να σας εκπλήσσουν καθώς είναι γνωσές ιδιόηες πραγμαικών σημάων σο χώρο ης συχνόηας.
226 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα 8.3.3 ΓΧΑ Συσήμαα με Είσοδο Περιοδικά Σήμαα Ας αρχίσουμε η μελέη ΓΧΑ συσημάων με περιοδική είσοδο. Το αποέλεσμα ης Σχέσης (8.4 είναι σημανικό, γιαί αν φέρουμε ως είσοδο σε ένα ΓΧΑ σύσημα ένα περιοδικό με περίοδο T σήμα x(t, με ανάπυγμα σε Σειρά Fourier ως x(t = + k= η έξοδος y(t ου συσήμαος είναι επίσης περιοδική με ην ίδια περίοδο: y(t = + k= X k e j2πkft (8.6 H(kf X k e j2πkft (8.7 Βλέπεε όι ο μόνο που αλλάζει είναι οι μιγαδικοί συνελεσές Fourier: από X k γίνοναι H(kf X k, όπου, επαναλαμβάνουμε, ο H(kf είναι η ιμή ης απόκρισης σε συχνόηα H(f ου συσήμαος για f = kf. Αυομάως, η παραπάνω σχέση μας λέει όι ένα άθροισμα ημιόνων που θα εμφανισεί σην είσοδο ενός ΓΧΑ συσήμαος, θα παραμείνει άθροισμα ημιόνων σην έξοδο, ίδιων συχνοήων αλλά με διαφορεικά πλάη και φάσεις! Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 8.: Εσω ένα ΓΧΑ σύσημα με κρουσική απόκριση και σην είσοδό ου εμφανίζεαι ο σήμα Βρείε ην έξοδο y(t. Τι παραηρείε; h(t = 2e t u(t (8.8 x(t = 4 cos(t + π/2 (8.9 Λύση: Θα είναι, από ον Πίνακα 6.2 Το σύσημα γράφεαι ως Άρα ο πλάος θα είναι ενώ για η φάση θα έχουμε h(t = 2e t u(t H(f = 2 + j2πf (8.2 I{H(f} j tan H(f = H(f e R{H(f} (8.2 H(f = 2 + j2πf = 2 + (2πf 2 (8.22 δηλαδή H(f = 2 + j2πf = 2( j2πf 2( j2πf = ( + j2πf( j2πf + j2πf 2 = 2 + (2πf 2 j 4πf + (2πf 2 (8.23 I{H(f} φ(f = tan R{H(f} = tan ( 4πf +(2πf 2 2 +(2πf 2 = R{H(f} + ji{h(f} (8.24 ( = tan 2πf = tan (2πf (8.25 λόγω ου όι η ανίσροφη εφαπομένη είναι περιή συνάρηση. Ομως η είσοδος είναι ης μορφής x(t = 4 cos(t + π/2 = 2e jt e jπ/2 + 2e jt e jπ/2 (8.26 δηλ. έχει συχνόηες ± /2π. Γνωριζουμε όι οι μιγαδικές εκθεικές συναρήσεις αποελούν ιδιοσυναρήσεις ου ΓΧΑ συσήμαος, και έσι, δεδομένου όι ο σύσημα είναι πραγμαικό (περιγράφεαι από μια κρουσική απόκριση
Κεφάλαιο 8. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ης Συχνόηας 227 που αποελεί πραγμαικό σήμα, η έξοδος y(t δίνεαι από η σχέση: ( ( y(t = 2H e jt e jπ/2 + 2H e jt e jπ/2 (8.27 2π 2π ( = 2H e jt e jπ/2 + 2H ( e jt e jπ/2 (8.28 2π 2π ( ( e = jφ( 2π H e jt e jπ/2 e + jφ( 2π H e jt e jπ/2 (8.29 2π ( ( 2π ( ( ( e ( j t+π/2+φ 2π e j t+π/2+φ 2π = 2 H + 2 H (8.3 2π 2π ( ( = 4 H cos t + π 2π 2 π 4 (8.3 = 4 ( 2 cos t + π (8.32 4 Παραηρούμε όι η έξοδος ειναι πάλι ημιονοειδής μορφή, οπως η είσοδος, και έχει επηρεασεί από ο σύσημα όσο σο πλάος ης (πλάος εισόδου 4, πλάος εξόδου 4 H ( ( 2π, όσο και ση φάση ης (φάση εισόδου π/2, φάση εξόδου π/2 + φ = π/2 π/4 = π/4. 2π Γενικόερα, μπορούμε να παραηρήσουμε οι: Εύρεση εξόδου σε ΓΧΑ σύσημα με περιοδική είσοδο. Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συσήμαος ειναι ης μορφής x(t = Ae j(2πft+θ, όε η έξοδος θα είναι ης μορφής y(t = AH(f e j(2πft+θ, όπου H(f = H(f e jφ(f η απόκριση σε συχνόηα ου συσήμαος. 2. Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συσήμαος ειναι ης μορφής x(t = A cos(2πf t + θ, όε η έξοδος θα είναι ης μορφής y(t = A H(f cos(2πf t + θ + φ(f, όπου H(f = H(f e jφ(f η απόκριση σε συχνόηα ου συσήμαος. Προφανώς ο παραπάνω μπορει να γενικευεί για αθροισμα ημιόνων ή μιγαδικών εκθεικών ως: 3. Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συσήμαος ειναι ης μορφής x(t = είναι ης μορφής y(t = N A k H(f k e j(2πf kt+θ k, όπου H(f = H(f e jφ(f η απόκριση σε συχνόηα ου συσήμαος. N A k e j(2πf kt+θ k, όε η έξοδος θα k= k= 4. Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συσήμαος ειναι ης μορφής x(t = N A k cos(2πf k t + θ k, όε η έξοδος θα είναι ης μορφής y(t = k= N A k H(f k cos(2πf k t + θ k + φ(f k, όπου H(f = H(f e jφ(f η k= απόκριση σε συχνόηα ου συσήμαος. 8.3.4 ΓΧΑ Συσήμαα με Είσοδο Μη Περιοδικά Σήμαα Πιο γενικά όμως, και για οποιαδήποε σήμαα (όχι απαραίηα περιοδικά, η σχέση που συνδέει ην είσοδο x(t με ην έξοδο y(t ενός ΓΧΑ συσήμαος h(t εκφράζεαι μέσω ης πράξης ης συνέλιξης: y(t = x(t h(t = η οποία μεαρέπεαι σο χώρο ης συχνόηας ως x(h(t d (8.33 Y (f = X(fH(f (8.34
228 Μια εισαγωγή σα Σήμαα και Συσήμαα Μπορούμε λοιπόν πολύ εύκολα να βρούμε ην έξοδο ενός συσήμαος σο χώρο ης συχνόηας, και να επισρέψουμε σο χώρο ου χρόνου με χρήση ου ανίσροφου μεασχ. Fourier. Επιπλέον, η παραπάνω σχέση επιρέπει σε ένα σύσημα h(t με απόκριση σε συχνόηα H(f να υπολογισεί σο χώρο ων συχνοήων, και μάλισα πολύ πιο εύκολα απ όι σο χώρο ου χρόνου! Πώς; Προφανώς από η σχέση H(f = Y (f (8.35 X(f που έχουμε ήδη δει. Βλέπεε όι, εν γένει, η απόκριση σε συχνόηα είναι μια ρηή συνάρηση ης συχνόηας f. Μπορούμε λοιπόν να πούμε όι H(f = Y (f X(f = N(f (8.36 D(f όπου N(f, D(f ο αριθμηής και ο παρονομασής, ανίσοιχα, ης απόκρισης σε συχνόηα H(f, με όποιες απλοποιήσεις μπορεί να γίνουν σο κλάσμα. Αποδεικνύεαι όι μια έοια ρηή συνάρηση μπορεί να αναλυθεί σε μικρόερα κλάσμαα μέσα από μια απλή διαδικασία που λέγεαι Αναπυγμα σε Μερικά Κλάσμαα. Εν συνομία, ο Ανάπυγμα σε Μερικά Κλάσμαα περιγράφει ον ρόπο με ον οποίο μια έοια ρηή συνάρηση, εν γένει, μπορεί να γραφεί ως H(f = N(f D(f = M k= A k α k + j2πf (8.37 σην απλή περίπωση που οι ρίζες ου παρονομασή D(f είναι απλές. Εχονας ην Ανάλυση σε Μερικά Κλάσμαα και σύμφωνα με ον Πίνακα 6.2 ων ζευγών μεασχ. Fourier, μπορούμε να βρούμε ην κρουσική απόκριση h(t, ως M A M k H(f = α k + j2πf h(t = A k e αkt u(t (8.38 k= Φυσικά η διαδικασία αυή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί και η είσοδος x(t X(f, αφού και ο X(f εκφράζεαι ως ρηή συνάρηση: X(f = Y (f (8.39 H(f Ας δούμε μερικά παραδείγμαα πάνω σε αυά, που είναι πολύ σημανικά. Παράδειγμα 8.2: k= Εσω ο σύσημα Σην είσοδό ου παρουσιάζεαι ο σήμα h(t = e 3t u(t (8.4 Βρείε ην έξοδο ου συσήμαος y(t. x(t = 2e t u(t + e 2t u(t (8.4 Λύση: Αυό που θα μπορούσαμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε η συνέλιξη ης εισόδου με ο σύσημα, με ον γνωσό ρόπο ου ολοκληρώμαος. Ομως, αν μεαφερθούμε σο πεδίο ης συχνόηας, συμβουλευόμενοι ον Πίνακα 6.2, έχουμε όι ( y(t = x(t h(t Y (f = X(fH(f = και σο πεδίο ου χρόνου θα είναι = = 2 + j2πf + 2 + j2πf 2 ( + j2πf(3 + j2πf + 3 + j2πf (2 + j2πf(3 + j2πf A + j2πf + B 3 + j2πf + C 2 + j2πf + D 3 + j2πf (8.42 (8.43 (8.44 y(t = Ae t u(t + (B + De 3t u(t + Ce 2t u(t (8.45 Η οποία περιγράφεαι σην Παράγραφο 2.5 ου Κεφαλαίου Υποβάθρου.
Κεφάλαιο 8. Ανάλυση Συσημάων σο Πεδίο ης Συχνόηας 229 με 2 A = ( + j2πf(3 + j2πf ]j2πf= ( + j2πf 2 ] = (3 + j2πf 2 B = ( + j2πf(3 + j2πf ]j2πf= 3 (3 + j2πf 2 ] = ( + j2πf C = (2 + j2πf(3 + j2πf ]j2πf= 2 (2 + j2πf ] = (3 + j2πf D = (2 + j2πf(3 + j2πf ]j2πf= 3 (3 + j2πf ] = (2 + j2πf j2πf= j2πf= 3 j2πf= 2 j2πf= 3 = (8.46 = (8.47 = (8.48 = (8.49 και άρα y(t = e t u(t 2e 3t u(t + e 2t u(t (8.5 Ας υπολογίσουμε ο ίδιο με εφαρμογή ου ορισμού ης συνέλιξης. Εσι, θα έχουμε: y(t = x(t h(t = = = x(h(t d (8.5 (2e u( + e 2 u(e 3(t u(t d (8.52 2e u(e 3(t u(t d + e 2 u(e 3(t u(t d (8.53 Ισχύει όι Άρα, < < t u(u(t =, αλλού (8.54 y(t = = t t 2e e 3(t d + 2e 2 3t d + t t e 2 e 3(t d = t 2e 3(t d + t e 2 3(t d (8.55 t t e 3t d = 2e 3t e 2 d + e 3t e d (8.56 ] = e 3t e 2 t ] + e 3t e t = e 3t (e 2t + e 3t (e t (8.57 = e t e 3t + e 2t e 3t = e t 2e 3t + e 2t, < t (8.58 = e t u(t 2e 3t u(t + e 2t u(t (8.59 που είναι η ίδια ακριβώς σχέση με η Σχέση (8.49! Διαλέξε ι προιμάε. Επίσης, με παρόμοιο ρόπο μπορούμε να βρούμε ην είσοδο x(t, αν μας δίνεαι ο σύσημα και η έξοδος ου. Δείε: Παράδειγμα 8.3: Εσω ένα σύσημα με απόκριση συχνόηας H(f = 3 + j2πf (8.6 Σην είσοδό ου, βρίσκεαι ένα σήμα x(t, ο οποίο δίνει έξοδο y(t = e t u(t e 2t u(t (8.6 Βρείε ην είσοδο, x(t. Λύση: