Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο

1.1. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο Ένα από τα βασικά πρακτικά προβλήματα της επιστήμης των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι η σχεδίαση ενός συστήματος τέτοιου ώστε η έξοδος του να "ακολουθεί" την είσοδο του, όσο γίνεται πιο πιστά. Τα ασταθή συστήματα δεν μπορούν να μας εξασφαλίσουν μία τέτοια συμπεριφορά και επομένως δεν είναι χρήσιμα. Γι αυτό, κατά τη σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, επιδιώκεται πρώτα και πάνω απ' όλα η εξασφάλιση της ευστάθειας του συστήματος. Μετά την εξασφάλιση της ευστάθειας επιδιώκεται η ικανοποίηση άλλων απαιτήσεων σχεδίασης, όπως η ταχύτητα και η ακρίβεια απόκρισης, το εύρος ζώνης, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, κ.λ.π. Ένα σύστημα είναι ευσταθές, αν για φραγμένη είσοδο, η έξοδος του είναι φραγμένη. Η έξοδος ενός ευσταθούς συστήματος βρίσκεται μέσα σε επιτρεπτά όρια (σχήμα 108) ενώ η έξοδος ενός ασταθούς συστήματος αυξάνει θεωρητικά προς το άπειρο. Σχήμα 108: Η έξοδος ενός ευσταθούς συστήματος βρίσκεται μέσα σε επιτρεπτά όρια. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. Ευστάθεια είναι η ικανότητα του συστήματος να παρακολουθεί τις εντολές εισόδου. Από θεωρητικής πλευράς, η έννοια της ευστάθειας έχει μελετηθεί σε βάθος και έχουν προταθεί διάφοροι ορισμοί και κριτήρια ευστάθειας. Π.χ. για την κατηγορία των γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων, ισχύει το πολύ γνωστό γεγονός, ότι η ευστάθεια συνδέεται με τη θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, ένα σύστημα είναι ευσταθές αν όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Αν έστω και μια ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκεται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το σύστημα είναι ασταθές. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 1

Τα ασταθή συστήματα δεν μας ενδιαφέρουν στην τεχνολογία των Σ.Α.Ε., γιατί οδηγούν τον μηχανικό εξοπλισμό σε καταστροφή. Τα περισσότερα συστήματα καθίστανται ευσταθή αν οι παράμετροι του συστήματος δηλαδή οι διάφορες σταθερές χρόνου και οι συντελεστές ενίσχυσης, λαμβάνουν κατάλληλες τιμές. Σχήμα 109: Ευστάθεια συστημάτων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. Υπάρχουν κριτήρια ευστάθειας που μας βοηθούν να διαπιστώσουμε για ποιες τιμές των παραμέτρων έχουμε ευστάθεια. Τα γνωστότερα κριτήρια είναι: Routh, γεωμετρικού τόπου ριζών, Bode, Nyquist, κ.λ.π.. 1.1.1. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ Γ.Τ.Ριζών Ο (Γ.Τ.Ρ) είναι μια γραφική απεικόνιση των θέσεων των πόλων του κλειστού συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο-s για όλες τις τιμές της παραμέτρου Κ (κέρδος) του συστήματος. Είναι γνωστό ότι οι θέσεις των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς στο μιγαδικό επίπεδο επηρεάζουν τη μεταβατική απόκριση του συστήματος καθώς και την ευστάθειά του. Για το σύστημα κλειστού βρόγχου όπως αυτό εικονίζεται στο σχήμα 110 που ακολουθεί ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: Σχήμα 110: Σύστημα κλειστού βρόγχου. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 2

Εξισώσεις συστήματος κλειστού βρόγχου. (4.59) από την σχέση 4.59 παρατηρούμε ότι η μεταβολή των τιμών της παραμέτρου Κ επηρεάζει τις τιμές των ριζών της Χ.Ε του συστήματος με αποτέλεσμα τη μετατόπισή τους πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα διάγραμμα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο που θα είναι το σύνολο των σημείων που θα είναι ρίζες της Χ.Ε. του συστήματος αν η παράμετρος Κ πάρει όλες τις τιμές από το 0 μέχρι το +. Το διάγραμμα που προκύπτει όταν το Κ πάρει τιμές μεταξύ του - και του μηδενός ονομάζεται συμπληρωματικός Γ.Τ.Ρ. Από την Χ.Ε προκύπτουν τα παρακάτω: Υπολογισμός τιμής του Κ πάνω στο διάγραμμα. (4.60) (4.61) Η σχέση 4.61 μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του Κ πάνω στο διάγραμμα. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 3

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του Γ.Τ.Ρ 1. Σ ένα σύστημα κλειστού βρόχου γραφούμε την Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου σε μορφή: K Q() s G( s) H( s) = (4.62) Ps () οπού Q(S),P(S) πολυώνυμες εξισώσεις σε μορφή γινομένου ριζών τους, K ( s+ 1) π.χ Q(s)=s+1 και P(s)=s(s+2), G( s) H( s) =, ss ( + 2) 2. Οι ρίζες της συνάρτησης Q(s) του αριθμητή χαρακτηρίζονται ως Μηδενικά του συστήματος γιατί μηδενίζουν το κλάσμα, K ( s+ 1) G( s) H( s) =, s+1=0=>s=-1 τότε η G( s) H( s) = 0 ss ( + 2) 3. Οι ρίζες της συνάρτησης P(s) του παρονομαστή χαρακτηρίζονται ως Πόλοι του συστήματος γιατί απειρίζουν το κλάσμα K ( s+ 1) G( s) H( s) =, s=0, s+2=0=>s=-2 τότε η G( s) H( s) ss ( + 2) 4. Οι ρίζες της Χ.Ε. ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου θα πρέπει να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις συνθήκες του μέτρου και της φάσης. -180 o 1+G(s) H(s)=0=>GH(s)=-1=> GH(S) =1-180 Συνθήκη Μέτρου: G( s) H ( s) = 1 (4.63) (4.64) Συνθήκη Φάσης: G s H s G s H s a 0 ( ) ( ) = 180 ( ) ( ) = (2 + 1) Κ 0 G( s) H ( s) = (2 ) Κ0 Σχεδιασμός γ.τ.ριζών 1. Βρίσκουμε την συνάρτηση μεταφοράς (Σ.Μ.) ανοιχτού βρόχου των πολυωνυμικών K Q() s εξισώσεων σε μορφή γινομένου ριζών τους, G( s) H( s) = Ps () 2. Οι πόλοι στο μιγαδικό επίπεδο s συμβολίζονται με p1,p2,p3 (στο σχέδιο με x), ενώ τα μηδενικά με z1,z2,z3 (στο σχέδιο με ο). 3. Με m συμβολίζεται το πλήθος των μηδενικών και με n το πλήθος των πόλων. 4. Ο γ.τ.ρίζων είναι συμμετρικός ως προς τον πραγματικό άξονα. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 4

5. Όταν ο αριθμός των πόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μηδενικών n>m, χαράζουμε τις ασύμπτωτες. 5 α ) Υπολογισμός αριθμός ασύμπτωτων = n-m. 5 β ) Σημείο αναχώρησης ασύμπτωτων ή κέντρο ασύμπτωτων S a n p i - i= 1 = 1 (4.65) = = n m n m 5 γ )Ο προσδιορισμός της γωνίας Θα των ασύμπτωτων ως προς τον πραγματικό άξονα (Re) (2 + 1) 0 (4.66) a = 180 α=0,1,2,...,n-m-1 n m ΠΙΝΑΚΑΣ 7: Σχεδιασμός Ασύμπτωτών - m z 6. Ο γ.τ.ριζών αποτελείται από κλάδους,που είναι οι τόποι των ριζών της Χ.Ε.. Κάθε κλάδος ξεκινά από ένα πόλο και καταλήγει σ ένα μηδενικό. Ο αριθμός των κλάδων είναι ίσος με των αριθμό των πόλων n. p 1 ο z 1 Οι κλάδοι του γ.τ.ρ. πάνω στον Re, υπάρχουν μόνο αριστερά, οποιουδήποτε περιττού αριθμού πόλων και μηδενικών. 7. Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι τμήμα του Γ.Τ.Ρ. αν το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του τμήματος είναι περιττό. Εναλλακτικά υπολογισμός πεδίου ορισμού Γ.Τ.Ριζών στους R (για K>=0). 8. Σημείο θλάσης (Sb)του γ.τ.ριζών καλείται το σημείο στο οποίο διέρχονται δυο ή περισσότεροι κλάδοι. Υπάρχει όταν έχουμε κλάδο ανάμεσα σε δυο πόλους, σε δυο μηδενικά ή μεταξύ μηδενικού και απείρου. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 5

1.p 1 s b z 1 2.z 1 ο s b ο z 1 3.p 1 s b ο z 1 7 α )Υπολογισμός σημείου θλάσης (Sb)γίνεται από την λύση της εξίσωσης: n m 1 1 = z (4.67) i= 1 sb pi = 1 sb z K ( s+ 1) 2 2 1 1 π.χ G( s) H ( s) = 2 2 + + = s ( s + 2) ( s + 3) sb sb + 2 sb + 3 sb + 1 9. Όταν έχει η GF(s)μιγαδικούς πόλους, τότε υπολογίζουμε τις γωνίες αναχώρησης (θd)του γ.τ.ριζών από τους μιγαδικούς πόλους. n m 0 d 180 p pi + p zi i= 1 = 1 (4.68) = 10. Όταν έχει η GF(s)μιγαδικά μηδενικά, τότε υπολογίζουμε τις γωνίες άφιξης (θr)του γ.τ.ριζών από τα μιγαδικά μηδενικά. n m 0 d 180 z pi - z zi i= 1 = 1 (4.69) = + 11. Μελέτη ευστάθειας με την μέθοδο του γ.τ.ριζών. Τα σημεία τομής του γ.τ.ριζών με τον φανταστικό άξονα ικανοποιούν την συνθήκη φάσης για (s=±ωκρ). GH ( s = ) = 180 12. Για να υπολογίσουμε το ΚΚΡ παίρνουμε την συνθήκη του μέτρου GH ( s = ) = 1 0 1.1.2. Κριτήριο ROUTH Το κριτήριο ευστάθειας Routh, προσδιορίζει τον αριθμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο-s και δίνει απάντηση στο ερώτημα «είναι το σύστημα ευσταθές;», χωρίς να προσδιορίζει τη σχετική ευστάθεια του συστήματος όπως συμβαίνει με άλλα κριτήρια όπως του Γ.Τ.Ρ. που είδαμε προηγουμένως. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 6

Ας θεωρήσουμε ότι η Χ.Ε 1+ G(s)H(s) της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος έχει τη παρακάτω γενική μορφή: n a s + a s +... + a s + a s = 0 n n 1 1 0 n 1 1 0 Όπου ολοι οι συντελεστες αn, αn-1,.., α1, α0 ꞓ R και είναι 0. Εφ' όσον όλοι οι συντελεστές είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ, σχηματίζουμε τον πίνακα του Routh. Πίνακας του Routh. όπου οι οροί, bn, bn-1,. cn, cn-1,. en.κ.λ.π. υπολογίζονται ως εξής: Σύμφωνα με το ΚΡΙΤΗΡΙΟ του Routh για να είναι ευσταθές ένα σύστημα πρέπει οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh να είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ. Ο αριθμός των ριζών της Χ.Ε που βρίσκονται στο δεξιό ημιεπίπεδο s ισούται με τον αριθμό αλλαγών του πρόσημου των συντελεστών της πρώτης στήλης του πίνακα Routh. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 7

Ειδικές περιπτώσεις για την συμπλήρωση του πίνακα. 1. Όταν ένας όρος της πρώτης στήλης είναι μηδέν, ενώ οι υπόλοιποι όροι της σειράς είναι διάφοροι του μηδενός ή δεν υπάρχουν, τότε, αντικαθίσταται ο μηδενικός όρος, από ένα πολύ μικρό αριθμό ομόσημο με τους προηγούμενους της πρώτης στήλης, και συνεχίζεται η ανάπτυξη του πίνακα. 2. Όταν όλοι οι όροι μίας σειράς του πίνακα Routh είναι μηδενικοί, ο πίνακας συμπληρώνεται με την τοποθέτηση, αντί των μηδενικών όρων με τους όρους της παραγωγισμένης βοηθητικής εξίσωσης της αμέσως προηγούμενης σειράς. 3. Όταν τουλάχιστον δύο σειρές έχουν μηδενικούς όρους, τότε το σύστημα είναι ασταθές και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με πολλαπλότητα 2. 4. Για την εύρεση της κρίσιμης (οριακής) τιμής του Κ για ευστάθεια αρκεί να μηδενιστεί ο όρος της σειράς s 1 και να λυθεί η εξίσωση ως προς Κ=Κcr. 5. Για την εύρεση της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων του συστήματος αρκεί να λυθεί η βοηθητική εξίσωση της σειράς s 2 ως προς ω=ωcr. Αυτή θα έχει τη μορφή: λns 2 +λn-1=0 όπου λn, λn-1 οι συντελεστές της σειράς s2 και όπου k θα τεθεί η τιμή Κcr που βρέθηκε. Παράδειγμα 1 ο Να σχεδιασθεί ο Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου συστήματος ελέγχου του σχήματος 111 για Κ > 0 και να γίνει μελέτη ευστάθειας του συστήματος. Μονάδα ελέγχου Μονάδα Διεργασίας X(s) E(s) Y(s) Σ H(s)= K (S+4) G(s)= (s+2) s(s+8) Σχήμα 111: Χονδρικό Διάγραμμα συστήματος κλειστού ελέγχου. Λύση 1 ο Βήμα: Υπολογισμός Σ.Μ κλειστού βρόχου, Σ.Μ * ανοιχτού βρόχου και Χ.Ε **. Η Σ.Μ κλειστού βρόχου είναι: Y( s) GH ( s) K( s + 2) / s( S + 4)( s + 8) Y( s) K( s + 2) = = = = 3 2 X ( s) 1 + GH ( s) 1 + K( s + 2) / s( S + 4)( s + 8) X ( s) s + 12 s + (32 + K) S + 2K, Ks ( + 2) Η Σ.Μ* ανοιχτού βρόχου είναι GH () s = s( S + 4)( s + 8) 1+GH(s)=0=> 3 2 s 12 s (32 K) S 2K + + + + =0 και η Χ.Ε είναι: MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 8

2 ο Βήμα: Υπολογισμός πόλων και μηδενικών ανοιχτού συστήματος Μηδενικά: z1=-2, m=1(m=πλήθος μηδενικών), Πόλοι: p1=0, p2=-4, p3=-8, n=3(n=πλήθος πόλων) 3 ο Βήμα: Υπολογισμός ασύμπτωτών. 3 α )Υπολογισμός αριθμός ασύμπτωτων = n-m=3-1=2 ασύμπτωτες. 3 β )Σημείο αναχώρησης ασύμπτωτων ή κέντρο ασύμπτωτων S a - 0 4 8 + 2 10 = = = = Sa = 5 n m n m = 2 2 3 γ )Ο προσδιορισμός της γωνίας Θα των ασύμπτωτων ως προς τον πραγματικό άξονα (Re). Σύμφωνα με τον πίνακα 7 οι γωνίες των ασύμπτωτων είναι : Θ0=-90 ο και Θ1=-270 ο Βήμα 4 ο :Ο αριθμός των κλάδων είναι ίσος με των αριθμό των πόλων n=3. Βήμα 5 ο :Πεδίο ορισμού Γ.Τ.Ριζών στους πραγματικούς R. x 0 x. x.. ώ 0, 2 [ 4, 8] Σύμφωνα με το Π.Ο του Γ.Τ. ριζών έχουμε σημείο θλάσης Sb μεταξύ των πόλων -4 και -8. 5 α )Υπολογισμός σημείου θλάσης Sb : n m 1 1 1 1 1 1 = z = + + = = + 4 + 8 + 2 i= 1 sb pi = 1 sb z sb sb sb sb ( sb + 4) ( sb + 8) + sb ( sb + 8) + sb ( sb + 4) 1 = = s ( s + 4) ( s + 8) ( s + 2) 2 3sb + 24sb + 32 1 3 2 b b b b 3 2 3 2 = = 3sb + 30sb + 80sb + 64 = sb + 12sb + 32sb = s + 12s + 32 s ( s + 2) 3 2 2sb + 18sb + 48sb + 64 b b b b = 0 = sb = 5.82 και sb = 1.5 1.72 Οι μιγαδικές ρίζες απορρίπτονται, γιατί ο Sb ꞓ R. Συνεπώς δεκτή η ριζά Sb=-5.82 ꞓR και στο διάστημα [-4,-8]. Βήμα 5 ο :Μελέτη ευστάθειας συστήματος. Υπολογισμός κρίσιμης τιμής κέρδους Κcr και κρίσιμης συχνότητας ωcr με την μέθοδο ROUTH. S 3 1 (32+K) 0 S 2 12 2K 0 S 1 12(32+K) 2K 12 ΠΙΝΑΚΑΣ ROUTH = 384+10K 12 0 0 S 0 2K>0 0 0 *Σ.Μ=Συνάρτηση Μεταφοράς, **Χ.Ε=Χαρακτηριστική Εξίσωση MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 9

Διαπιστώνουμε ότι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικοί Ɐ Κ>0. Άρα το σύστημα είναι ευσταθές για οποιαδήποτε Κ>0 και ο Γ.Τ.Ρ δεν τέμνει τον φανταστικό άξονα. Βήμα 6 ο : Σχεδιασμός Γ.Τ.Ριζών σε μιλιμετρέ χαρτί. Im S b=-5.82 Sa x x o x -10-8 -6-5 -4-2 0 Re Διάγραμμα - Σχήμα 112: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) Παρατηρώντας το διάγραμμα-σχήμα 112 του Γ.Τ.Ριζών διαπιστώνουμε ότι οι ρίζες του συστήματος που κινούνται πάνω στο γ. Τόπο είναι προς το αριστερό ημιεπίπεδο-s, και δεξιότερα του φανταστικού άξονα. Συνεπώς το σύστημα είναι ευσταθές Ɐ Κ>0. Στο ίδιο συμπέρασμα είχαμε καταλήξει και με το κριτήριο Routh. Θα επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία με το πρόγραμμα MATLAB ή την online εφαρμογή Octave Online,(αναλυτικές οδηγίες στο παράρτημα Β). Χάραξη Διαγράμματος Τόπου Ριζών Χάραξη του τόπου των ριζών για ένα σύστημα γίνεται με την εντολή rlocus. Θα χαράξουμε το αντίστοιχο διάγραμμα για το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς. Για να γράψουμε τον κώδικα στην MATLAB φέρνουμε την συνάρτηση στην μορφή: 1 0 ( s + 2) ( K = 1) ( s + 2) 1s + 2s GH () s = = = s( s + 4)( s + 8) s + 12s + 32s s + 12s + 32s + 0s 3 2 3 2 1 0, MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 10

oπότε ο κώδικας είναι: clear all num=[1 2]; den=[1 12 32 0]; sys_c=tf(num,den) figure(1), rlocus(sys_c) Καθάρισε τη μνήμη Όρισε αριθμητή και παρονομαστή συστήματος Όρισε συνάρτηση μεταφοράς Άνοιξε τη θέση γραφ. παράστασης 1 και χάραξε τον τόπο των ριζών του sys_c Διάγραμμα - Σχήμα 113: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) με MATLAB Για όποια ρίζα που ανήκει στον Γ.Τ.Ριζών μπορούμε να υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή του Κ(Κ>0), με απλή αντικατάσταση της τιμής της ρίζας στο (s) στην συνθήκη μέτρου από την σχέση 4.63 G( s) H ( s) = 1.Με την βοήθεια του MATLAB μπορούμε να κινούμαστε πάνω στον Γ.Τ.Ριζών, όπως φαίνεται στο σχήμα 114, και να μας δείχνει την τιμή του Κ(Gain=26.7) της αντίστοιχης τιμής της ρίζας(pole=-5.42+4.1i), την συχνότητα Διάγραμμα - Σχήμα 114: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) με MATLAB ταλάντωσης ωn(frequency=6.8rad/s) και την υπερύψωση του συστήματος h=1.56%. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 11

Παράδειγμα 2 ο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο Να σχεδιασθεί ο Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου συστήματος ελέγχου του σχήματος 115, και να γίνει μελέτη ευστάθειας του συστήματος Ɐ K>0. Μονάδα ελέγχου Μονάδα Διεργασίας X(s) E(s) Y(s) Σ H(s)= K (S+4) G(s)= 1 s(s+8) Σχήμα 115: Χονδρικό Διάγραμμα συστήματος κλειστού ελέγχου. Λύση 1 ο Βήμα: Υπολογισμός Σ.Μ κλειστού βρόχου, Σ.Μ * ανοιχτού βρόχου και Χ.Ε **. Η Σ.Μ κλειστού βρόχου είναι: Y( s) GH ( s) K / s( S + 4)( s + 8) Y( s) K = = = = 3 2 X ( s) 1 + GH ( s) 1 + K / s( S + 4)( s + 8) X ( s) s + 12s + 32S + K, K Η Σ.Μ* ανοιχτού βρόχου είναι GH () s = s( S + 4)( s + 8) 1+GH(s)=0=> 3 2 s 12s 32S K + + + =0 και η Χ.Ε είναι: 2 ο Βήμα: Υπολογισμός πόλων και μηδενικών ανοιχτού συστήματος Μηδενικά: m=0(m=πλήθος μηδενικών), Πόλοι: p1=0, p2=-4, p3=-8, n=3(n=πλήθος πόλων) 3 ο Βήμα: Υπολογισμός ασύμπτωτών. 3 α )Υπολογισμός αριθμός ασύμπτωτων = n-m=3-0=3 ασύμπτωτες. 3 β )Σημείο αναχώρησης ασύμπτωτων ή κέντρο ασύμπτωτων S a - 0 4 8 12 = = = = Sa = 4 n m n m = 3 3 3 γ )Ο προσδιορισμός της γωνίας Θα των ασύμπτωτων ως προς τον πραγματικό άξονα (Re). Σύμφωνα με τον πίνακα 7 οι γωνίες των ασύμπτωτων είναι : Θ0=-60 ο, Θ1=-180 ο και Θ2=300 0 Βήμα 4 ο :Ο αριθμός των κλάδων είναι ίσος με των αριθμό των πόλων n=3. Βήμα 5 ο :Πεδίο ορισμού Γ.Τ.Ριζών στους πραγματικούς R. x. x x -.. ώ 0, 4 [ 8, ] MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 12

Σύμφωνα με το Π.Ο του Γ.Τ. ριζών έχουμε σημείο θλάσης Sb μεταξύ των πόλων 0 και -4. 5 α )Υπολογισμός σημείου θλάσης Sb : n m 1 1 1 1 1 = z = + + = 0 = + 4 + 8 i= 1 sb pi = 1 sb z sb sb sb ( sb + 4) ( sb + 8) + sb ( sb + 8) + sb ( sb + 4) = 0 = s ( s + 4) ( s + 8) 2 3sb + 24sb + 32 3 2 b + 12 b + 32 b s s s b b b = 0 = 3s + 24s + 32 = 0 = s = 1.69 και s = 6.30 2 b b b1 b2 Η ριζά Sb2=-6.30 απορρίπτεται, γιατί ο Sb2 [0, -4], με δεκτή τη ριζά Sb1=-1.69 ꞓ [0,-8]. Βήμα 5 ο :Μελέτη ευστάθειας συστήματος. Υπολογισμός κρίσιμης τιμής κέρδους Κcr και της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων ωcr με την μέθοδο ROUTH. Ελέγχουμε τους όρους της πρώτης στήλης του πίνακα Routh αν υπάρχουν εναλλαγές προσήμου. Διαπιστώνουμε ότι για τον όρο S 1 πρέπει να εξετάσουμε για ποιες θετικές τιμές του Κ το σύστημα είναι ευσταθές. Άρα για 384 0 = 384 0 = 0 384. 12 Το σύστημα είναι ευσταθές για τις θετικές τιμές του Κ: 0 < Κ < 384. Για 384 = 0 = 384 = 0 = cr = 384, όταν το σύστημα λαμβάνει την τιμή 12 Κ=Κcr =384 ο όρος του S 1 μηδενίζει και το σύστημα βρίσκεται σε κρίσιμη ευστάθεια. Για την εύρεση της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων του συστήματος αρκεί να λυθεί η βοηθητική εξίσωση της σειράς s 2 ως προς ω=ωcr, δηλαδή 2 2 (): s 12S + K = 0 = 12 S = K, θέτουμε όπου Κ=Κcr =384 και S=ωcr Άρα προκύπτει, 2 2 2 384 2 384 2 = 12S = K = cr = = cr = = cr = 32 = 12 12 = 32 = = 5.65 cr cr ΠΙΝΑΚΑΣ ROUTH S 3 1 32 0 S 2 12 K 0 S 1 12 32 384 = 12 12 0 0 S 0 K>0 0 0 MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 13

Βήμα 6 ο : Χάραξη Διαγράμματος Τόπου Ριζών Για να γράψουμε τον κώδικα στην MATLAB φέρνουμε την συνάρτηση στην μορφή: ( K = 1) 1 GH () s = = = s( s + 4)( s + 8) s + 12s + 32s s + 12s + 32s + 0s oπότε ο κώδικας είναι: clear all num=[1 ]; den=[1 12 32 0]; sys_c=tf(num,den) figure(1), rlocus(sys_c) [Gm,Pm,Wgm,Wpm] = margin(sys_c) 3 2 3 2 1 0 Καθάρισε τη μνήμη Όρισε αριθμητή και παρονομαστή συστήματος Όρισε συνάρτηση μεταφοράς Άνοιξε τη θέση γραφ. παράστασης 1 και χάραξε τον τόπο των ριζών του sys_c υπολογισμός Κcr(Gm) και ωcr(wgm),δφ(pm).., Στο παρακάτω παράθυρο της Matlab βλέπουμε τον κώδικα και την έξοδο του προγράμματος που μας δίνει την Σ.Μ, το Κcr(Gm) και ωcr (Wgm). Καθώς και τον Γ.Τ.Ριζών(σχήμα 116), στον οποίο μπορούμε να επαληθεύσουμε στην τομή του Γ. Τόπου με τον φανταστικό άξονα τα Κcr(Gm 384) και ωcr (5.65i). Σχήμα 116: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) με MATLAB MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 14

1.1.3. Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ)- Μελέτη ευστάθειας με την μέθοδο του Γ.Τ.Ριζών Θεματική ταξινομία: Εξάμηνο: 8 Περιόδου: Εαρινού Εξαμήνου -Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στην Βιοϊατρική Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Το παρόν σενάριο αποτελεί μια επαφή των φοιτητών με την μελέτη ευστάθειας με την μέθοδο του Γ.Τ.Ριζών, σχεδιάζοντας τόσο θεωρητικά όσο και με ψηφιακό προγραμματισμό(με χρήση MATLAB). Οι ασκήσεις έχουν δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να παροτρύνουν τους φοιτητές, να πειραματιστούν και μέσω της διερεύνησης, να ανακαλύψουν έννοιες και σχέσεις που δεν γνώριζαν μέχρι τη στιγμή αυτή ή έννοιες που έχουν αναφερθεί σε θεωρητικό επίπεδο στα ΣΑΕ. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανακάλυψη της γνώσης και όχι στην αβασάνιστη προσφορά της από τον εκπαιδευτικό. Οι μαθητές εμπλέκονται στην κατασκευή κυκλωμάτων, στην λήψη μετρήσεων και στη διεξαγωγή συμπερασμάτων. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Το σενάριο είναι δομημένο για δυο ώρες εργαστηρίου. Αρχικά θα γίνει αναφορά στην μελέτη ευστάθειας με την μέθοδο του Γ.Τ.Ριζών και του κριτηρίου Routh. Σχεδιασμός του Γ.Τ.Ριζών με τον κλασικό τρόπο σε μιλιμετρε χαρτί και σχεδιασμός με την βοήθεια του προγράμματος MATLAB(ή με το Octave Online). Διδακτικοί Στόχοι: Να σχεδιάζουν το Γ.Τ.Ριζών της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου. Να συμπεραίνουν από τον Γ.Τ.Ριζών την ευστάθεια του συστήματος Να υπολογίζουν τις οριακές τιμές κέρδους (Κcr) και συχνότητας ταλαντώσεων (ωcr) του συστήματος MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 15

Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Χαρακτηριστική εξίσωση Ευστάθεια Οριακό - Κρίσιμο Κέρδος Οριακή συχνότητα ταλάντωσης Υλικοτεχνική υποδομή Ψηφιακό υλικό: Αίθουσα Εργαστηρίου Η/Υ ή ΣΑΕ εφόσον διαθέτει Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για όλες τις ομάδες μαθητών Βιντεοπροβολέας και Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για τον διδάσκοντα Όργανα σχεδίασης Πρόγραμμα MATLAB Octave Online Εκτιμώμενη Διάρκεια Ο εκτιμώμενος χρόνος που απαιτείται από τον φοιτητή σπουδαστή για την ολοκλήρωση της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι 2 διδακτικές ώρες. Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: 1. (ΓΕΩΡΓΙΟΥ & ΞΕΝΟΦΩΝΤΟΣ, 2007) (ΠΑΝΤΑΖΗΣ, 1999) 2. MATLAB & Octave Online Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Υψηλή δυσκολία Τύπος διαδραστικότητας : Συνδυασμός παθητικής και ενεργητικής μάθησης Επίπεδο διαδραστικότητας : Υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: Άνω τον 18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Τριτοβάθμια Εκπαίδευση - Σχολές Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας Παράδοση Φύλλο έργου Το φύλλο έργου πρέπει να το ανεβάσετε στο free open e-class ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ, σύμφωνα με την ημερομηνία παράδοσης! MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 16

1.1.4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Το θεωρητικό μέρος της εργαστηριακής άσκησης έχει καλυφθεί στην ενότητα 4.7 και στο παράρτημα Β (εισαγωγή στo MATLAB). 1.1.5. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 1.1.5.1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 8 A. ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ Γ.Τ.Ριζών Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής (εφαρμογή MATLAB ή Octave Online) 2. Χάρακας 3. Διαβήτης 4. Μιλιμετρε χαρτί 5. Calculator fx-570 Πορεία Εργασίας ΒΑΘΜΟΣ 1. Να σχεδιασθεί ο Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου συστήματος ελέγχου του σχήματος 117 για Κ > 0 και να γίνει μελέτη ευστάθειας του συστήματος. Μονάδα ελέγχου Μονάδα Διεργασίας X(s) E(s) Y(s) Σ H(s)= K (S+5) G(s)= 1 s(s+10) Σχήμα 117: Χονδρικό Διάγραμμα συστήματος κλειστού ελέγχου. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 17

2. Υπολογισμός Σ.Μ κλειστού βρόχου, Σ.Μ * ανοιχτού βρόχου και Χ.Ε **. Η Σ.Μ κλειστού βρόχου είναι: Η Σ.Μ* ανοιχτού βρόχου είναι και η Χ.Ε είναι: 3. Υπολογισμός πόλων και μηδενικών ανοιχτού συστήματος Μηδενικά:., m= (m=πλήθος μηδενικών), Πόλοι:.., n= (n=πλήθος πόλων) Υπολογισμός ασύμπτωτών. 3 α )Υπολογισμός αριθμός ασύμπτωτων = n-m=..= ασύμπτωτες. 3 β )Σημείο αναχώρησης ασύμπτωτων ή κέντρο ασύμπτωτων S a -... = = = Sa =... n m n m =... 3 γ )Ο προσδιορισμός της γωνίας Θα των ασύμπτωτων ως προς τον πραγματικό άξονα (Re). Σύμφωνα με τον πίνακα 7 οι γωνίες των ασύμπτωτων είναι : Θ0=.., Θ1=, Θ2= 4. Ο αριθμός των κλάδων είναι ίσος με των αριθμό των πόλων n=.. 5. Πεδίο ορισμού Γ.Τ.Ριζών στους πραγματικούς R... ώ... 6. Σύμφωνα με το Π.Ο του Γ.Τ. ριζών υπάρχει ή υπάρχουν σημεία θλάσης Sb;.., γιατί... 5 α )Αν υπάρχουν σημεία θλάσης Sb να υπολογιστούν: n m 1 1 = z =... =... = i= 1 sb pi = 1 sb z... =... =... = s =... και s =... b1 b2 *Σ.Μ=Συνάρτηση Μεταφοράς, **Χ.Ε=Χαρακτηριστική Εξίσωση MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 18

7. Μελέτη ευστάθειας συστήματος. Υπολογισμός κρίσιμης τιμής κέρδους Κcr και κρίσιμης συχνότητας ταλάντωσης ωcr με την μέθοδο ROUTH. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο 8. Να Σχεδιασετε τον Γ.Τ.Ριζών στο μιλιμετρέ χαρτί. S 3 S 2 S 1 S 0 Im Re Παρατηρήσεις Σχόλια Διάγραμμα - Σχήμα 118: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) 9. Να σχεδιάσετε τον Γ.Τ.Ριζών και την μελέτη ευστάθειας του συστήματος, με το πρόγραμμα MATLAB ή την online εφαρμογή Octave Online (αναλυτικές οδηγίες στο παράρτημα Β). MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 19

9 α )Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς στην μορφή χρήσης του Matalab :...... GH () s = =,...... 9 β ) Να συμπληρώσετε τον κώδικα υπολογισμού Σ.Μ και σχεδιασμού Γ.Τ.Ριζών: Κώδικας Matlab.. num=[.]; den=[..]; sys_c=tf(,...) figure(1),.(sys_c) Σχόλια 10. Να τρέξετε τον κώδικα στο Matlab ή στο Octave Online και αντιγράψτε(copy) την έξοδο στο σχήμα 119. Διάγραμμα - Σχήμα 119: Γ.Τ.Ριζών της GH(s) με MATLAB 11. Να επαναλάβετε το βήμα 9 α συμπληρώνοντας τις εντολές που χρειάζονται για τον υπολογισμό του Κcr και ωcr., εκτελέστε τον κώδικα στο MATLAB. 12. Κώδικας Matlab Σχόλια.. num=[.]; den=[..]; sys_c=tf(,...) figure(1),.(sys_c) [..] =.....(sys_c) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 20

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8: ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ Γ.Τ.Ριζών ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΣ 1.1.1.1. ΦΥΛΛΟ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ν ο...) ΟΔΗΓΙΕΣ: Να πραγματοποιήσετε τις παρακάτω ασκήσεις και να τις ανεβάσετε στο Free open e-class: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ /Εργασίες. Για τον σχεδιασμό των Γ.Τ.Ριζών να χρησιμοποιήσετε το MATLAB(ή με το Octave OnLine). Άσκηση 1 η α)να σχεδιάσετε τον Γ.Τ.Ριζών της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου G(s) = K s(+10)(s+50). β)να μελετήσετε την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου για Κ(Κ>0), με το κριτήριο ευστάθειας Routh και με την μέθοδο του Γ.Τ.Ριζών. Άσκηση 2 η Δίνεται το παρακάτω χονδρικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου. α)να υπολογίσετε τις Σ.Μ. κλειστού, ανοιχτού βρόχου και την Χ.Ε. του συστήματος. β)να μελετήσετε την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου για Κ(Κ>0), με το κριτήριο Routh. γ)να σχεδιάσετε τον Γ.Τ.Ριζών της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου και μελετήσετε την ευστάθεια με την μέθοδο του Γ.Τ.Ριζών. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 21