Αριθμοί Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 97 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllkos..gr / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις στους αριθμούς Ασκήσεις για Α Λυκείου Πράξεις και ιδιότητες Να λυθούν οι ασκήσεις : 1 1 1 1. Να αποδείξεις ότι 1 1 14. Αν και να υπολογίσεις το άθροισμα 1 1 1... 1 1 4 910 d b b 0,c d 0 A c 1 c 4 d ; 15. Να βρεις πότε ορίζεται το κλάσμα : 16. Δίνονται οι αριθμοί 017 16, b 4 16 4 Κανένας από τους αριθμούς α,β δεν έχει αντίστροφο Τουλάχιστον ένας από τους α,β έχει αντίστροφο Έχουν αντίστροφο και οι δύο Ιδιότητες Δυνάμεων : 1, να βρεις τις τιμές του χ ώστε : 17. 18. Υπολόγισε τις δυνάμεις : 6 4 A 5 7 64 1 1 1 1 A 16 4 19. 10. 11. A z 7 z 5 1 4 5 1 1 10 4 A z z A 16 15 5 6 14 4 1 b b b b
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1. 1. 15 5 14 A 10 4 6 6 A 1 14. 1 A : 5 1 15. 16. 17. 18. 19. 140. 141. 14. 14. 144. A 4 : 1 1 4 A 4 1 Να μετατρέψεις σε γινόμενο τις παραστάσεις : 8 4 7 1 4 5 5 4 6 Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 4 4 b b 1 145. Να βρεθούν τα αναπτύγματα : Αξιοσημείωτες ταυτότητες : b b b b b b b b b b b b b b Το νου σου : b 0 0ήb 0 b 0 0b 0 b c b c b c bc 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 146. Να βρεις τα αναπτύγματα : 147. Να βρεις τα αναπτύγματα : z z 148. Να γίνουν οι πράξεις : 149. Δίνεται 4 P () 5 1, να υπολογίσεις : P 1, P 1, P 150. Να υπολογίσεις : P() 1 1 1 1 151. Αν, 4, υπολόγισε : 15. Αν, 6, 6 ;, ; 1 1 1 15. Αν, να υπολογίσεις :, 1 1 1 154. Αν, 0, να υπολογίσεις :, 155. Να αποδείξεις ότι : 1 1 1 4 1 8 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 4 156. Να βρεις τα, : 4 4 1 0 6 4 1 4 4 157. Να γίνουν οι πράξεις : & 158. Να γράψεις ως μία δύναμη τις παραστάσεις : 7 7 9 159. Αν 1, 1, να υπολογίσεις : 160. Αν,, να υπολογίσεις : 161. Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες : 16. 16......................... 4....16......... 4 1.......................................... 8............ Να αποδείξεις τις ταυτότητες που ακολουθούν : 1 1, 0 b b b 164. 016 014018,, 165. b b b b 166. Ν.δ.ο. 167. Αν ισχύει 1, να υπολογίσεις :,, 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 4 1 1 1 4 Να βρεις τα αναπτύγματα 168.,,, 169. 5 4, 7,, 5 170. 1 1 1 1 1,,, 4 171.,,, b 17., 4,, 17. 5 4, 5 10,, 4 Το νου σου : (αναλογία) c... m b d n c m... k b d n kb c kd... m kn τότε θέτω 174. 1 1 1 6 1,,, 5 4 175.,,, b 176., 5 4, 5, 1 1 1, 7, 5, 1 4 177. 178., 4,, 1 179.,,, 180. 5 4, 7,, 5 181. 1 1 1 1 1,,, 4 18.,,, b 18., 4,, 184. 1 1 1 6 1 5 4,,,, 5 4 185. 5 10,, 4 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 186.,,, b 187. Να βρεις τα αναπτύγματα : z z z z 188. Να βρεις τα αναπτύγματα : 1 1 1 z 189. Να γίνουν οι πράξεις : 1 1 190. Να υπολογίσεις : z z Να αποδείξεις τις σχέσεις που ακολουθούν : 191. 4 5 19. 8 0 19. 1 4 1 7 194. 1 1 1 195. 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 196. 197. 9 4 7 7 4 1 198. Αν 199. Αν 00. Αν 1 1 1 01. Αν 1 1 6 0. Αν 0. Αν 04. Αν 4 1 1, 0 & 4 z 0 z 1 1 1,, z 0 & z 4 & 0, να αποδείξεις ότι : z z z 0 z 16 05. Αν, 0 & 06. 07. Να αποδείξεις τις ταυτότητες που ακολουθούν : 1 1, 0 b b b 08. 09. b b b b 10. 4 1 11. 8 8 1. 1. Να βρεις πότε ορίζονται και μετά να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 6 9 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 14. 15. 16. 4 5 1 4 4 8 4 9 Να αποδείξεις τις παρακάτω σχέσεις : 17. Αν 0 18. Αν b c b b c c b c c b b c 0 bc 19. Ν.δ.ο. 1 0. Αν ισχύει, να υπολογίσεις : 1 1 4 1 4 1 1 1. Αν ; 7. Αν,, να υπολογίσεις :. Αν 4. Αν 1 1 1 1 4, 9, να υπολογίσεις :, 18, να υπολογίσεις : 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Διάταξη 5. 6. Να αποδείξεις ότι ισχύουν οι παρακάτω ανισώσεις : 1 4 4 7. 4 1 1 b 4b 8. 9. 1 0. * 1 1 1. Για, ν.δ.ο. 4. Αν, 1 4, 4 1. Αν 4. Αν 5. Αν 6. Αν 7. Αν 6 9 & 18 4 7 z z z 1 1 0 b b b 8. Ν.δ.ο. 9. Ν.δ.ο. 6 9 0 40. Αν 1& 41. Ν.δ.ο. 4 9 5 4. Ν.δ.ο. 4. Ν.δ.ο. z 4 z 44. Αν 1,4, 1,, να βρεις που ανήκουν οι παραστάσεις : 5 Διάταξη : b b 0 b b 0 b c b c b, c 0 c bc b, c 0 c bc b, c d c b d b 0, c d 0 c bd 1 1 b, b 0 b 1 1 b, b 0 b 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 4 4 45. Ν.δ.ο. 46. Αν,10 να βρεις που ανήκουν οι παραστάσεις : 1 5 11,,,5, να βρεις που ανήκουν οι παραστάσεις : 47. Αν 5 48. Ν.δ.ο. 0 1 1 49. Αν 50. Αν 5 0 *, 4 51. Αν ομόσημοι αριθμοί, z z 5. Αν ομόσημοι αριθμοί,, z 6 z 5. Αν b b b 9 0 b c 54. Αν b c c b b 55. Αν b 4 56. Αν 1, 0 1 new 10
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 57. Αν b c bb cc 0 58. Αν 59. Αν, 0 & 0 60. Αν 61. Αν 1 1 1 1 1 1 1 1 6. Αν 0 4 4 1 1 1 6. Να αποδείξεις ότι δεν είναι αρνητικές οι παραστάσεις : 4 4 4 5 4 4 4 6 4 4 64. Να αποδείξεις ότι : 4 5 8 5 8 4 65. Να αποδείξεις ότι : 66. Ν.δ.ο. 4 6 1 11
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 b b 67. Ν.δ.ο. 101 10 68. Ν.δ.ο. 69. Ν.δ.ο. 1 1 4 70. Αν, 0 71. Ν.δ.ο. για κάθε ισχύει : 1 1 1 1 4 1 1 z z 7. Ν.δ.ο. 7. Αν ομόσημοι αριθμοί, 74. Αν 1 1 1,, z 0 & z z 1 1 1,, 0 9 z 75. Αν z z 76. Ν.δ.ο. 77. Αν z 14 4 6z z z z 14 4 6,, ; 78. Αν,, 0 & z z z 79. Αν 1 1 80. Αν 81. Αν, 0 & 1 9 8. Να αποδείξεις ότι για κάθε, : 4 4 0 4 4 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 1 1 0 5 7 1 0 1 1 1 8. Να αποδείξεις ότι : z z 84. Να αποδείξεις ότι : 1 z z z 4 4 0 0 85. Να αποδείξεις ότι : 4 5 0 1 0 0 1 0 86. Αν, 0, να αποδείξεις ότι : 87. Αν 1 1 1 1 1 1 0 1 1 88. Να αποδείξεις ότι : z z z z 89. Αν 1, 0 90. Αν 91. Αν 1 9. Αν 0 5 9. Αν,, 6,, ; 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 94. Αν 1 1 0 4 95. Αν 96. Αν, 0, 1 1 1 4 1 1, 0, 1 4 97. Αν z 0 z z 0 98. Να αποδείξεις ότι : 0 1 0 v v 99. Αν v 6 v 4 Να συγκρίνεις αριθμούς 00. Αν, να συγκρίνεις,,, 1 5, 6 01. Αν 0, να συγκρίνεις :, 0. Αν, 1, να συγκρίνεις, 0. Αν, να συγκρίνεις :, 1, 5, 7 1 1 04. Αν 0, να συγκρίνεις :, 05. Αν 0, να διατάξεις σε μία αύξουσα σειρά τους αριθμούς : 8 6 6,, 7 5,, 06. Αν 1, να συγκρίνεις : 1, Άθροισμα τετραγώνων ισούται με μηδέν 07. Να αποδείξεις ότι : 5 4 0 5 5 0 4 4, 0 14
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 08. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 1 0 0 4 0 0 6 4 1 0 5 0 09. Να βρεις τα, : 1 0 1 1 0 4 4 0 10. Να βρεις τα, : 4 0 5 4 1 4 1 0 1 11. Να βρεις τα, : 4 4 10 9 9 6 1 0 1. Να βρεις τα,, z : z 6 z z 4 z 0 4 z 1 4 Ελάχιστη και μέγιστη τιμή παραστάσεων 1. Αν 0 1,, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 15
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 14. Αν 1 1, 1 1, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 6 4 15. Αν 1 1, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 1 1 16. Αν 1, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 1 1 17. Αν, 4 5, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 18. Αν 0, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 19. Αν,5 6, να βρεις μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων : 16
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Απόλυτη τιμή Να υπολογίσεις τις τιμές των παραστάσεων : 0. 6 5 5 1 6 5 1. 5 8. b, b. 8 7 5 1 4. 5 5. b, b 6. 4 5, 7. 1,0 8. A 9. 4 1, 0. 4,0 1. A 4 6. 6,. 8, 7 4. A 5. 6 1, 0 6., 0 7. A 6 8. A 1 9. A 40. A 1 41. A 4. A 1 1 4. A 1 4 4 44. A 1 45. A 1 6 4 8 17 Το νου σου : (απόλυτα), 0, 0 Ιδιότητες 0
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 46. 47. 48. 49. 50. 51. 5. 5. A 9 A 4 4 6 9 A 1 A 4 4 10 5 A 017 1 A 4 4 10 5 1 1 A A 4 4 Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 54. A 55. A 56. A 57. 58. 59. 4 5 A 1, 0 1 A 1 1 A 9 6 9 60. Να βρεις πότε είναι ανεξάρτητο του χ : 61. Να συμπληρώσεις τον πίνακα : 1 1 Απόσταση Απόλυτη τιμή Ανισότητα d,4 4 6 d,0 d, 1 1 18 5 6 6 5 0 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 d, 1 1 1 5 1,, 1 1, A d, d, 1, 1 6. Να υπολογίσεις την παράσταση 6. Ν.δ.ο. d, d, d, 64. Αν 1, & 1 4 Απόσταση Απόλυτη τιμή Ανισότητα d,4 4 6 d, d d 1,, 1 1 1 1 1 1 4 65. Να βρεις πότε ορίζεται και να απλοποιήσεις την παράσταση : 66. Να βρεις πότε ορίζεται και να απλοποιήσεις την παράσταση : 67. Να λυθεί d, 5 68. Να λυθεί : 5 5 69. Να λυθεί : 6 10 1 5 7 5 5 8 7,,, 1 A 1 1 A 70. Να υπολογίσεις και να παραστήσεις γραφικά την ποσότητα A 4 19
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 71. Να βρεις το χ ώστε 1 1 7. Να λυθεί d,5 15 7. Να λυθεί : 74. Να λυθεί : 10 75. Να υπολογίσεις και να παραστήσεις γραφικά την ποσότητα A 4 9 76. Να βρεις το χ ώστε 77. Να υπολογίσεις το χ ώστε : 8 1 Ρίζες Να υπολογίσεις τις ρίζες : 78. 79. 5 4 6 7,, 81, 64 4 1 64, 15, 56, 1 7,, 8, 6 6 6 80. 81. 8. 5 6 15 4 4 7,, 81, 5 6 9 8 1 1 9 4,,, 5 Να γίνουν οι πράξεις : 8. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 48 5 15 8 40 6,,, 5 18 7 5 5, 7 5 7 6 5 6 5 5, 7 7 4 5 11 5 5 11 4 11 5 11 7 5 1 7 7 5 5 8 5 7 6 6 6 5 4 5 5 5 6 8 8 : 8 5 5 5 5 5 1 6 7 0
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 90. 91. 9. 9. 6 6 5 9 5 7 6 5 6, 5 4 6, 6 4 4 1 8 5, 5 7 4 6 6 Να βρεις τις τιμές των παραστάσεων : 94. 95. 96. 97. 98. 99. 1 1 6,7,8,7 5 1 1 6 6 4 4,49 49 5 8 15 9 8 0 4, 9 9 7 5 0 7 9 7 7 8 8 4 10 4 : 4, 18 1 4 4 4 17 6, 9 4 5 4 7 400. 401. Αν 40. Αν 4 11 4 6 : 6, ; 1, 1 ; Να υπολογίσεις τις τιμές των παραστάσεων : 40. 50 18 8 404. 1 7 75 405. 50 98 406. 1 48 7 407. 0 45 80 5 408. 4 81 5 6 64 409. 5 1 9 410. 7 11 5 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 411. 8 4, 7 11 5 41. 75 48 7 41. 18 7 50 414. 8 18 50 7 415. Αν 8 1 50 75, 18 7 48, να υπολογίσεις :, 1 1 Να βρεις τις τιμές του χ ώστε να ορίζονται οι παραστάσεις : 416. 1, 6, 4 417. 418. 017, 6, 4 1 9, 16, 1 419. 40. 1 5 1, 4, 1, 5 5, 6 18 Να μετατρέψεις με ρητό παρονομαστή : 1 1 1,,, 41. 5 1 4. 4. 44. 45. 46. 47. 5 1 1,, 7 1 6 1 7,,, 8 4 4,, 4 5 6 5 1 6,, 6 4 1 1 1 6,,, 5 5 9 5 9 1 0 1,, 5 4 5 6 5 7 5 4 8 7 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 48. 49. 40. 41. 4. Να βρεις τις τιμές των παραστάσεων : 1 1 1 5 5 5 5 5 1 9 1 8 4. 1 1 5 15 44. 4 5 4 5 45. 46. 47. 48. 6 5 5 5 5 4 6 10 5 6 8 18 16 49. 1 15 4 440. 441. 5 5 10 4 5 15 1 81 44. 8 44. 0 11 0 11 444. 4 4 445. 5 5 446. 18 50 7 8 Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 447. 7 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 448. 6 5 449. 11 6 450. 5 6 451. Να υπολογίσεις : 5 45. Να υπολογίσεις : 5 14 6 5 1 5 1 5 1 4 5 1 4 5 45. Να υπολογίσεις : 1 1 5 7 5 7 454. Να υπολογίσεις : 5 1 1 455. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 6 4 6 5 10 6 18 456. Αν 0, να απλοποιήσεις : Το νου σου : (ρίζες), 0, 0 v v, 0, 0 Ιδιότητες 0, b 0 b b b b 16 9 16 4 6 5 4 4 1 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 457. Να γράψεις με τη μορφή μίας ρίζας : 5 458. Αν 0, 0, να απλοποιήσεις : 16 5 6 9 459. Αν 0 1, να απλοποιήσεις : 460. Αν, να απλοποιήσεις : 461. Αν 1, να απλοποιήσεις : 46. Αν 1, να απλοποιήσεις : 46. Αν 1, να απλοποιήσεις : 464. Αν, να απλοποιήσεις : Να αποδείξεις για, 0 : 1 4 4 6 9 1 1 1 6 9 4 4 1 1 4 4 4 4 465. 4 466. 467. 468. 8 8 469. 9 6 470. 471. 47. Να συγκρίνεις : 47. 5, 1 474., 7 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 475. 5, 476. 1, 5 477. 1, 478., 5 479., 5 480. 4 10, 5 481. 5, 6 48. 5, 1 48. 1, Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις : 484. 10 485. 5 5 486. 10 10 487. 4 4 6 9 16 488. 4 6 489. 18 8 1 1 490. 4 54 6 150 96 491. 11 11 49. 49. 494. 495. 496. 4 5 5 1 1 7 7 7 175 8 11 1 6 5 0 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 497. 498. 499. 5 5 7 5 7 16 7 108 5 5 4 4 500. 501. 50. 50. 504. 505. 4 6 8 6 4 4 5 15 5 5 5 506. 16 5 1 5 1 507. 16 54 4 508. 509. 510. 511. 4 5 5 6 5 5 1, 51. 1 5 1 45 18 51. 4 4 4 4 4 5 8 5 8 514. Να απλοποιήσεις την παράσταση 4 4 A, d,1 1 515. Να απλοποιήσεις την παράσταση 516. A, d, 1 1, ; 517.,, z z 1 Ιδιότητες ριζών 0, b 0 v v v v v v m v vk b b b m v v mk v v b mv v m m 518. Υπολόγισε 4 4 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 1 519. Ν.δ.ο. 50. 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 9