ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕΙΡΑ Α: ΣΕΙΡΑ B: ΣΕΙΡΑ Γ: ΣΕΙΡΑ Δ: ΣΕΙΡΑ Ε: Εποπτικός έλεγχος στήριξης (κινηματικής ευστάθειας ή στερεότητας στήριξης) γραμμικών φορέων στο επίπεδο (δίσκων) και στον χώρο (σωμάτων). Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΑΑ: Έλεγχος στερεότητας στήριξης απλών επίπεδων γραμμικών φορέων. Ασκήσεις ΑΑ9: Έλεγχος στερεότητας στήριξης τρισδιάστατου σώματος. Ασκήσεις ΑΑ9: Έλεγχος στερεότητας στήριξης απλών χωρικών γραμμικών φορέων Υπολογιστικός έλεγχος στήριξης (κινηματικής ευστάθειας ή στερεότητας στήριξης) και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης ισοστατικά εδραζόμενων επίπεδων και χωρικών γραμμικών φορέων με την αρχή της αποδέσμευσης και τις συνθήκες ισορροπίας. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις BB7: Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης ισοστατικά εδραζόμενων επίπεδων φορέων και έλεγχος της ορίζουσας det. Ασκήσεις B8B: Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης ισοστατικά εδραζόμενων χωρικών φορέων Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας (στερεότητας) και διαπίστωση του βαθμού υπερστατικότητας σύνθετων γραμμικών φορέων με τις μεθόδους της σταδιακής οικoδόμησης και της σταδιακής αποδόμησης. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΓΓ6: Προσδιορισμός βαθμού στερεότητας επίπεδων γραμμικών φορέων. Ασκήσεις Γ7Γ: Προσδιορισμός βαθμού στερεότητας χωρικών γραμμικών φορέων Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας (στερεότητας) σύνθετων γραμμικών φορέων με τη μέθοδο της εναλλαγής (δεσμικών) ράβδων. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΔΔ9: Έλεγχος στερεότητας με εναλλαγή μιας ράβδου. Ασκήσεις ΔΔ: Έλεγχος στερεότητας με εναλλαγή δύο ράβδων Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας (στερεότητας) σύνθετων επίπεδων φορέων με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής και σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης μονοκινηματικών φορέων. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΕΕ: Έλεγχος στερεότητας με το διάγραμμα πόλων και σχεδίαση της δυνατής μετακίνησης
ΣΕΙΡΑ : ΣΕΙΡΑ : ΣΕΙΡΑ Θ: ΣΕΙΡΑ Ι: ΣΕΙΡΑ Κ: ΣΕΙΡΑ Λ: ΣΕΙΡΑ Μ: Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών (αντιδράσεων στήριξης και φορτίων διατομής). Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις 8: Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας. Ασκήσεις 96: Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών με την αρχή των δυνατών έργων (κινηματική μέθοδος) Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής επίπεδων φορέων. Σύνοψη θεωρίας (Γενικά περί διαγραμμάτων φορτίων διατομής). Ασκήσεις //7: Αμφιέρειστες δοκοί (ευθύγραμμες, πολυγωνικές). Ασκήσεις //: Πρόβολοι (ευθύγραμμοι, πολυγωνικοί, καμπύλοι). Ασκήσεις //: Μονο και αμφιπροέχουσες δοκοί. Ασκήσεις //: Αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber) 6. Ασκήσεις //8: Αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα 7. Ασκήσεις 6/6/9: Τριαρθρωτοί πλαισιακοί και τοξωτοί φορείς 8. Ασκήσεις 7/7/: Ενισχυμένες δοκοί 9. Ασκήσεις 8/8/7: Επίπεδα δικτυώματα. Ασκήσεις 9/9/6: Σύνθετοι επίπεδοι φορείς Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής χωρικών φορέων. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις Θ/Θ/: Χωρικοί πλαισιακοί φορείς (Χωροπλαίσια). Ασκήσεις Θ/Θ/6: Επίπεδοι φορείς με εκτός επιπέδου φόρτιση. Ασκήσεις Θ/Θ/: Χωρικοί δικτυωτοί φορείς (Χωροδικτυώματα) Υπολογισμός μεμονωμένων παραμορφωσιακών μεγεθών. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΙΙ9: Υπολογισμός μεμονωμένων παραμορφωσιακών μεγεθών με την αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (αρχή των δυνατών φορτίων) Υπολογισμός ελαστικών γραμμών. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΚΚ6: Υπολογισμός ελαστικών γραμμών με τη μέθοδο των συναρτήσεων ω Υπολογισμός γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις ΛΛ8: Υπολογισμός γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών με την πρόταση KrohnLand (κινηματική μέθοδος) Υπολογισμός γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών. Σύνοψη θεωρίας. Ασκήσεις 8: Υπολογισμός γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών με την πρόταση axwellohr
Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ (με σύνοψη θεωρίας)
7. Ασκήσεις Η6/ Η6/9: Τριαρθρωτοί πλαισιακοί και τοξωτοί φορείς 7. Σύνοψη θεωρίας Διαδικασία υπολογισμού τριαρθρωτών πλαισίων και τόξων χωρίς ελκυστήρα (βλ. [ΑβρΙ], παράγρ. 7..) Στις δύο στηρίξεις και ενός τριαρθρωτού τόξου αναπτύσσονται οι τέσσερεις αντιδράσεις στήριξης, Α Ζ, Χ, Α Ζ. Οι αντιδράσεις αυτές υπολογίζονται με τη βοήθεια των τριών ανεξάρτητων συνθηκών ισορροπίας που έχουμε στη διάθεσή μας για ολόκληρο τον φορέα και της πρόσθετης συνθήκης ισορροπίας ΣΜ (Α) για το τμήμα του φορέα δεξιά ή αριστερά της άρθρωσης Α. Η διαδικασία υπολογισμού περιγράφεται στον παρακάτω πίνακα 7.. Πίνακας 7. Υπολογισμός τριαρθρωτών πλαισίων/τόξων χωρίς ελκυστήρα δίσκος Ι Με τη συνθήκη ισορροπίας ( ) ( ) που καταστρώνεται για ολόκληρο τον φορέα τον δίσκο Ι ολόκληρο τον φορέα ( ) τον δίσκο ΙΙ ολόκληρο τον φορέα δίσκος ΙΙ προσδιορίζονται οι αντιδράσεις:, Έλεγχος ισορροπίας κατά Ζ Στον παραπάνω πίνακα έχουν χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τεσσάρων αντιδράσεων στήριξης τρεις συνθήκες ισορροπίας ροπών και η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων κατά Χ. Έτσι, η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων κατά Ζ μπορεί να χρησιμοποιηθεί προς έλεγχο των υπολογισθεισών τιμών των αντιδράσεων στήριξης. Η6
Με γνωστές τις αντιδράσεις στηρίξεων μπορούν να υπολογιστούν τα φορτία διατομής σε οποιαδήποτε διατομή του τριαρ κορυφής άρθρωση θρωτού φορέα κατάστρώνοντας τις συνθήκες ισορροπίας σε καταλλήλως αποσπαζόμενα τμήματά του. Αν ο τριαρθρωτός φορέας είναι πλαίσιο αποτελούμενο από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στους κόμβους (ακριβέστερα: στα άκρα κάθε ευθύγραμμου στοιχείου). Η μορφή των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας που διέπουν την κάμψη και τη διάταση. Αν ο τριαρθρωτός φορέας είναι τοξωτός, τότε σε κάθε σημείο του καμπύλου άξονα ο προσανατολισμός των φορτίων διατομής είναι διαφορετικός, αφού ακολουθεί το τοπικό σύστημα αναφοράς xz που καθορίζεται από τη συνάρτηση που περιγράφει τον καμπύλο άξονα του εκάστοτε τοξωτού τμήματος. Ένας πρακτικός τρόπος υπολογισμού της (τοπικής) τέμνουσας k και της (τοπικής) αξονικής δύναμης k σε ένα τυχόν σημείο k συνίσταται στον καταρχάς υπολογισμό της οριζόντιας δύναμης Η k (παράλληλης προς τον καθολικό άξονα Χ) και της κατακόρυφης δύναμης V k (παράλληλης προς τον καθολικό άξονα Ζ) στη διατομή k (Σχ. 7.). Κατόπιν, οι υπολογισθείσες δυνάμεις Η k και V k μετασχηματίζονται κατά τα γνωστά στις k και k. Η ροπή κάμψης Μ k υπολογίζεται άμεσα (χωρίς μετασχηματισμούς) από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών του θεωρούμενου τμήματος του φορέα ως προς το σημείο k. τυχόντα εξωτερικά φορτία i i i i k k V k α k k k k Σχ. 7. Υπολογισμός φορτίων διατομής τόξου z x k k Μετασχηματισμός : V k k cosα k k sinα k k V V k k Η6 i i sinα cosα k k
Διαδικασία υπολογισμού τριαρθρωτών πλαισίων και τόξων με ελκυστήρα (βλ. [ΑβρΙ], παράγρ. 7..) Οι τρεις αντιδράσεις στήριξης τριαρθρωτών πλαισίων και τόξων με ελκυστήρα υπολογίζονται όπως ακριβώς οι αντιδράσεις της αμφιέρειστης δοκού. Προκειμένου στη συνέχεια να υπολογιστούν τα φορτία διατομής, προσδιορίζεται πρώτα με κατάλληλη διαχωριστική τομή η αξονική δύναμη του ελκυστήρα, όπως περιγράφεται στον παρακάτω πίνακα 7.. Εφόσον πρόκειται για (εγκαρσίως) αφόρτιστο ελκυστήρα (π.χ. χαλύβδινο καλώδιο με πρακτικά μηδενική δυσκαμψία), οι ροπές και τέμνουσες δυνάμεις του είναι μηδενικές και η αξονική του δύναμη Ν Ε προκύπτει από τη συνθήκη ΣΜ (Α) για το αριστερό ή το δεξιό τμήμα του φορέα. Στη περίπτωση όμως (εγκαρσίως) φορτιζόμενου ελκυστήρα (π.χ. αμφιαρθρωτή δοκός μη μηδενικής δυσκαμψίας) αναπτύσσονται βεβαίως σ αυτόν τέμνουσες δυνάμεις και ροπές, όπως ακριβώς σε μία αμφιέρειστη δοκό. Πίνακας 7. Υπολογισμός τριαρθρωτών πλαισίων/τόξων με ελκυστήρα δίσκος Ι Με τη συνθήκη ισορροπίας ελκυστήρας E που καταστρώνεται για ολόκληρο τον φορέα ( ) ολόκληρο τον φορέα ( ) ολόκληρο τον φορέα Ζ ( ) τον δίσκο Ι ή τον δίσκο ΙΙ Ν Ε ολόκληρο τον φορέα δίσκος ΙΙ και προσδιορίζονται οι αντιδράσεις και η ένταση του ελκυστήρα: Έλεγχος ισορροπίας κατά Ζ Η6
7. Ασκήσεις Για τους παρακάτω τριαρθρωτούς πλαισιακούς και τοξωτούς φορείς Η6/ έως Η6/9 να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων Μ(x), (x), (x). Με βάση την αποκτηθείσα από τις προηγούμενες ασκήσεις πείρα, να γίνει προσπάθεια περιορισμού του πλήθους των διαχωριστικών τομών που απαιτούνται για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής, κάνοντας μεταξύ άλλων χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας. 6/ 6/ 6/ L Pk x Δ L Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω του ομοιόμορφου φορτίου συναρτήσει των διαστάσεων L,. Τα ίδια φορτία διατομής με χρήση της ομόλογης δοκού για το εγκάρσιο φορτίο. Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω του ομοιόμορφου φορτίου συναρτήσει των διαστάσεων L,. Τα ίδια φορτία διατομής με χρήση της ομόλογης δοκού για το εγκάρσιο φορτίο. ε ί γ μ α. Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω P k με χρήση της ομόλογης δοκού.. Η6
6/ 6/ k/m.. (βλ. Άσκηση Ζ) ελκυστήρας.. (βλ. Άσκηση Ζ) k/m.... Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω k/m. Η θέση και το μέγεθος της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα. Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω k/m. Η θέση και το μέγεθος της μέγιστης ροπής στον στύλο. Η6
6/6 6/7 Ζητούνται: P k P k k P.7.7... (x), (x), (x) ξεχωριστά για κάθε ένα από τα φορτία P, P, P. Συνολικά (x), (x), (x) λόγω ταυτόχρονης δράσης των P, P, P με επαλληλία των αποτελεσμάτων των επιμέρους επιλύσεων. Ζητούνται: 8k/m δοκού G.... (x), (x), (x) λόγω 8k/m δοκού. Η θέση και το μέγεθος της μέγιστης ροπής στο στοιχείο.. Η66
6/8 6/9... Ζητούνται: (x), (x), (x) λόγω, P, P. P Α 8k P Β k ο.. Για το καμπύλο (κυκλικό) τμήμα Β να δοθούν οι συναρτήσεις μεταβολής των φορτίων διατομής. Β Α α Α Η θέση και το μέγεθος της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα.. P k Ζητούνται: Α α 6 Α (x), (x), (x) λόγω, P. ο ο B k/m Για το καμπύλο (κυκλικό) τμήμα να δοθούν οι συναρτήσεις μεταβολής των φορτίων διατομής. α ο.. 6.. Α Η θέση και το μέγεθος της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα. k/m Η67
ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση 6/ L Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης ( ) ( ) ( ) ( ) L L Έλεγχος : L L Έλεγχος : L L L,, δεξ. αριστ. Β. Υπολογισμός των (x), (x), (x) Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων (δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), (x), (x)) προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Ακολούθως διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας από τις οποίες προκύπτουν τα κομβικά φορτία διατομής των δομικών στοιχείων και σχολιάζεται με συντομία η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), (x), (x). Η68
Στύλος : Κόμβος /L Κόμβος /L ( ) ( ) L L Στον στύλο η τέμνουσα μεταβάλλεται γραμμικά (ως ολοκλήρωμα του σταθερού φορτίου, ) από σε, ενώ η ροπή μεταβάλλεται ως παραβολή ου βαθμού (ως πρώτο ολοκλήρωμα της γραμμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας Μ ) από Μ σε Μ /. Στον κόμβο το διάγραμμα ροπών έχει οριζόντια (δηλαδή παράλληλη προς τον τοπικό άξονα x του στύλου ) εφαπτομένη, αφού στο σημείο αυτό η πρώτη παράγωγος της ροπής (δηλαδή η τέμνουσα ) είναι μηδενική, και στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά, δηλαδή ενάντια στο φορτίο (Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει το τελευταίο αυτό συμπέρασμα). Η αξονική δύναμη του στύλου παραμένει καθ όλο το ύψος του σταθερή, αφού στον στύλο δεν υπάρχει εξωτερικό αξονικό φορτίο. Ζύγωμα : Κόμβος ( ) Η69 L ή
Κόμβος (άρθρωση) Έλεγχος : L L ( ) L L Στο εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστο ζύγωμα η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά από Μ / σε Μ, ενώ η τέμνουσα και η αξονική δύναμη είναι σταθερές. Στύλος : Κόμβος (άρθρωση) Κόμβος L L Ο στύλος είναι μία εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστη αμφιαρθρωτή δοκός, η οποία ως εκ τούτου εμφανίζει μηδενική ροπή και τέμνουσα, και σταθερή αξονική δύναμη. L Η6
Έλεγχος ισορροπίας κόμβου : Τα φορτία διατομής Ν και στον πόδα του στύλου υπολογίστηκαν χωρίς να γίνει χρήση των ήδη γνωστών αντιδράσεων στήριξης και. Επομένως, ο έλεγχος ισορροπίας του κόμβου συνιστά έναν έλεγχο για την ορθότητα των παραπάνω υπολογισμών: Κόμβος /L Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (x), (x), (x) / Παρατήρηση: / οριζόντια εφαπτομένη παραβολή ου βαθμού (x) [km] L L Ο ισορροπιακός έλεγχος ικανοποιείται. /L (x) [k] /L /L (x) [k] Τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής του δεδομένου τριαρθρωτού πλαισίου ταυτίζονται απόλυτα με τα αντίστοιχα διαγράμματα του αμφιέρειστου πλαισίου της Άσκησης Η/. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει μία εξήγηση για το γεγονός αυτό. Δ. Επίλυση του φορέα με χρήση της ομόλογης δοκού (α) Το δεδομένο πλαίσιο επισάττεται («σαμαρώνεται») με μία αμφιέρειστη δοκό («ομόλογη δοκό»), η οποία φέρει το φορτίο και εδράζεται επί του πλαισίου στους κόμβους και. Η φόρτιση του πλαισίου συνίσταται τώρα πλέον στις δύο δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού, οι οποίες υπολογίζονται ιδιαίτερα εύκολα, όπως εύκολα υπολογίζονται και τα φορτία διατομής της ομολ (x), ομολ (x), ομολ (x). Η6
ομολ(x) / / ομολ (x) Μ ομολ (x) /8 B / / (β) Το δεδομένο πλαίσιο επιλύεται με φορτία τις δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού και προσδιορίζονται τα φορτία διατομής του σαγμ (x), σαγμ (x), σαγμ (x). Η επίλυση αυτή γίνεται κατά τα γνωστά με τη βοήθεια κατάλληλων διαχωριστικών τομών, όπως ακριβώς στην προηγούμενη υποπαράγραφο Β, και μας δίνει τα εξής διαγράμματα φορτίων διατομής: / / /L / (x) [km] (x) [k] (x) [k] /L σαγμ σαγμ σαγμ L /L Η επίλυση του επισαγματωμένου φορέα είναι γενικώς απλούστερη από την επίλυση του αρχικώς δεδομένου φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση. Βέβαια, για το παράδειγμα μας, που είναι ένα απλό πλαίσιο με απλή φόρτιση, η επιτυγχανόμενη απλούστευση των υπολογισμών δεν είναι ιδιαίτερα σημαντική. Έτσι, π.χ., για τον υπολογισμό της Μ έχουμε: στον αρχικό φορέα: στον επισαγματωμένο φορέα: / ( ) ( ) ( ) ( ) Η6 ( )
Διαπιστώνουμε ότι η διαφορά στο «υπολογιστικό κόστος» είναι πρακτικά ανύπαρκτη. Εντούτοις, σε συνθετότερους φορείς με πολυπλοκότερες φορτίσεις μπορεί να επιτευχθεί σημαντική οικονομία υπολογισμών κάνοντας χρήση της ομόλογης δοκού. (γ) Τα τελικά φορτία διατομής του δεδομένου πλαισίου υπό τη δεδομένη φόρτιση προκύπτουν με επαλληλία (δηλαδή με αλγεβρική άθροιση) των φορτίων διατομής σαγμ (x), σαγμ (x), σαγμ (x) του επισαγματωμένου φορέα και των αντίστοιχων φορτίων διατομής ομολ (x), ομολ (x), ομολ (x) της ομόλογης δοκού: ( x ) ( x ) ( x ) σαγμ ομολ ( x ) ( x ) ( x ) σαγμ ομολ ( x ) ( x ) ( x ) Στην περίπτωση μας η επαλληλία περιορίζεται στον στύλο : Μ σαγμ (x) / / σαγμ(x) σαγμ Μ ομολ (x) /8 / / / ομολ (x) ομολ Μ(x) / οριζόντια εφαπτομένη /8 / /8 (x) Για το αφόρτιστο ζύγωμα και τον αφόρτιστο δεξιό στύλο τα τελικά φορτία διατομής συμπίπτουν με φορτία διατομής του επισαγματωμένου φορέα. Τονίζεται ότι είναι αδιάφορο για τα αποτελέσματα της επίλυσης το αν η σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού ληφθεί στον κόμβο ή στον κόμβο, αφού αυτό δεν μεταβάλλει τις αντιδράσεις στήριξης Α και Β. Επίσης υπενθυμίζεται ότι η θέση της σταθερής έδρασης της ομόλογης δοκού είναι αδιάφορη για τα τελικά αποτελέσματα ακόμη και στην περίπτωση που η ομόλογη δοκός φορτίζεται με αξονικά φορτία (Βλ. Άσκηση Η6/). Η6
Άσκηση 6/ k/m.... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ) Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης, στον κόμβο γίνεται όπως περιγράφηκε στην Άσκηση Ζ: 8.6k, 8.k Για τις αντιδράσεις στον κόμβο παίρνουμε: 8.6k. 69.k Β. Υπολογισμός των (x), (x), (x) Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων (δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), (x), (x)) προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ, και Ν παρουσιάστηκαν αναλυτικά στην Άσκηση Ζ. Με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία (δηλαδή στους κόμβους) του πλαισίου χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Η6
Ακολούθως περιγράφεται μια πρακτικά ενδιαφέρουσα πορεία υπολογισμού των φορτίων διατομής που κάνει χρήση ομόλογων δοκών. Ως πρώτο βήμα επισάττεται το δεδομένο τριαρθρωτό πλαίσιο με δύο ομόλογες δοκούς που φέρουν το ομοιόμορφο φορτίο k/m: k k.. k k k/m. k k. k/m k k.. fl k 7k k Τα φορτία διατομής των αμφιέρειστων ομόλογων δοκών υπολογίζονται ιδιαιτέρως εύκολα και δεν χρειάζεται να μας απασχολήσουν περαιτέρω. Περιοριζόμαστε λοιπόν ακολούθως στον υπολογισμό των φορτίων διατομής του επισαγματωμένου πλαισίου και ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι τα φορτία k στον κόμβο και k στον κόμβο προκαλούν απλά και μόνον αξονικές δυνάμεις Ν k και Ν k αντίστοιχα, ενώ ροπές και τέμνουσες προκαλεί μόνο το φορτίο 7k στον κόμβο. Αδιαφορούμε λοιπόν περαιτέρω για τα δύο πρώτα φορτία και προχωρούμε στον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης λόγω του φορτίου 7k στον κόμβο. Η6
Η επόμενη παρατήρησή μας είναι ότι οι διευθύνσεις των συνισταμένων αντιδράσεων Α στον κόμβο και Α στον κόμβο οφείλουν να συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των ευθειών και αντίστοιχα, διότι μόνον τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας ροπών του αριστερού () και του δεξιού () τμήματος του πλαισίου ως προς την άρθρωση : Δίσκος Ι. 7k ' ' e.m º e.9m. Δίσκος ΙΙ.. ( ), δίσκ.i ( ), δίσκ.ii Με αυτό το δεδομένο οι αντιδράσεις στήριξης Α, Α υπολογίζονται από τις εξής συνθήκες ισορροπίας: ( ) ( ) 7. e 7. e e e Έχοντας σχεδιάσει το πλαίσιό μας υπό κλίμακα προσδιορίζουμε τις τιμές e και e γεωμετρικά, δηλαδή μετρώντας τις αποστάσεις και αντιστοίχως (βλ. προηγούμενο σχήμα). Με e.9m και e º.m παίρνουμε:.6k e.7k e Η66
Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε τις ροπές στους κόμβους και, έχοντας προσδιορίσει προηγουμένως γεωμετρικά τις αποστάσεις e και e :..6k ( ) e e e '.6k. 7k e.6. 7.6km e ' ' e.m º.9m e. ' e...7k ( ).7k e.. e.7.9.78km Από τις παραπάνω ροπές Μ σαγμ (x) του επισαγματωμένου πλαισίου, οι οποίες ελλείψει εγκάρσιου φορτίου μεταξύ των κόμβων μεταβάλλονται γραμμικά, προκύπτουν άμεσα (με βάση τη σχέση ') οι τέμνουσες σαγμ (x): Η67
7.6 σαγμ Παρατήρηση: (x) [km].....78 fl d dx (7.6).9. 7.6. 8.7.78..89 (.78) 8.. σαγμ (x) [k] Στο διάγραμμα τεμνουσών το άλμα στο σημείο δεν ισούται ακριβώς, ως όφειλε, με το μέγεθος του ενεργούντος εκεί συγκεντρωμένου φορτίου των 7k. Παρομοίως, οι τέμνουσες στους δύο στύλους δεν είναι ίσες, ως όφειλαν να είναι για λόγους ισορροπίας κατά Χ. Οι μικρές αυτές αποκλίσεις οφείλονται προφανώς στον προσεγγιστικό γεωμετρικό προσδιορισμό των μοχλοβραχιόνων e και e που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω. Για τους δύο αφόρτιστους στύλους ισχύει προφανώς: (x) σαγμ (x), (x) σαγμ (x). Για το φορτιζόμενο ζύγωμα τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν κατόπιν επαλληλίας κατά τα γνωστά: (x) σαγμ (x) ομολ (x), (x) σαγμ (x) ομολ (x). Ειδικότερα, επειδή η ομολ (x) είναι το γνωστό παραβολικό διάγραμμα ροπών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο, το τελικό διάγραμμα Μ(x) προκύπτει με «κρέμασμα» της παραβολής L /8 στο διάγραμμα Μ σαγμ (x), όπως φαίνεται στο παρακάτω αριστερό σχήμα. Παρομοίως, το τελικό διάγραμμα (x) προκύπτει αθροίζοντας στο διάγραμμα σαγμ (x) το γνωστό γραμμικά μεταβαλλόμενο διάγραμμα τεμνουσών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο (βλ. παρακάτω δεξιό σχήμα). 7.6 (x) 8 /. /.7. 8..7. σαγμ (x) ομολ (x) [km].78. ομολ(x) [k]. Ως μικρή άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει ότι η μέγιστη ροπή στο ζύγωμα είναι max6.7km και εμφανίζεται σε απόσταση x.m από τον κόμβο. Η68
Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (x), (x), (x) 7.6. /8 9.7 9.7 (x) [km].78.9 69.9 8. (x) [k].9. 8.7.89.89.89 8.89 Οι τελικές αξονικές δυνάμεις, οι οποίες ελλείψει αξονικών φορτίων μεταξύ των κόμβων είναι σταθερές σε κάθε δομικό στοιχείο, προκύπτουν από την ισορροπία δυνάμεων στους κόμβους και (Σημ.: Για τις παρατηρούμενες αριθμητικές αποκλίσεις βλ. παρατήρηση στην προηγούμενη σελίδα): 8.7 69.9 8.7k 69.9k 8.k 8.7k 8.89k (x) [k] Η69 8.89
Άσκηση 6/ k/m. ελκυστήρας. Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ) ( ) (.. ). (. ).. ( ) (.. ).. (.. ) Έλεγχος : 9.7k (.. ) Β. Υπολογισμός των (x), (x), (x) 6k ( 9.7 ) 9.7 9.7k Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων (δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), (x), (x)) προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Η αξονική δύναμη στο στοιχείο υπολογίζεται με κατάλληλη κυκλική διαχωριστική τομή όπως παρουσιάστηκε στην Άσκηση Ζ. Παίρνουμε: 8k Στην ίδια Άσκηση Ζ παρουσιάστηκαν επίσης διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ και. Με περαιτέρω κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία (δηλαδή στους κόμβους) του φορέα χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, όπως στις προηγούμενες Ασκήσεις. Η6
Ακολούθως παρατίθενται τα διαγράμματα Μ(x), (x), (x) του φορέα, τα οποία καλείται ο αναγνώστης να ελέγξει με τρεις διαφορετικούς ελέγχους ισορροπίας σε ισάριθμες κυκλικές διαχωριστικές τομές της επιλογής του. Ένας τέτοιος ισορροπιακός έλεγχος διενεργείται στην ακόλουθη υποπαράγραφο Γ. 8. max 99.7 8.. /. εφαπτομένη (x) [km] 8..8 7..6 8. 9. (x) [k].6 7. (x) [k] Μέγιστη ροπή στο στοιχείο (Σημ.: Χρησιμοποιείται το διάγραμμα (x)): max x x.6 x..6 9. max 8. x x.8m (.6 ).8. 99.7km 7..6 Η6
Γ. Έλεγχος Προς μερικό έλεγχο των παραπάνω αποτελεσμάτων αποσπάται το αριστερό τμήμα του δεδομένου φορέα με μία κυκλική διαχωριστική τομή που διέρχεται από την άρθρωση και τέμνει τον ελκυστήρα και καταστρώνονται γι αυτό οι τρεις συνθήκες ισορροπίας. Εφόσον οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται, οι προηγουμένως υπολογισθείσες τιμές των φορτίων διατομής και των αντιδράσεων στήριξης που υπεισέρχονται σ αυτές μπορούν να θεωρηθούν ως ορθές.... k/m 6k 7.k 8k α 9.7k.6k cosα.98 sinα.87 (βλ. Άσκηση Ζ) ( ). Σημείωση:... 6 6.6. (.6 ) sinα ( 9.7 ) ( 7. ) 8.98.6 8 9.7 7. 6.6.7.8 8. cosα.87 Διαπιστώνουμε ότι οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται. Οι παρατηρούμενες μικρές αποκλίσεις από το μηδέν οφείλονται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις που έγιναν κατά την πορεία των υπολογισμών. Οι αποκλίσεις αυτές τείνουν στο μηδέν με αυξανόμενο πλήθος σημαντικών ψηφίων που λαμβάνονται υπόψη στις αριθμητικές πράξεις. Η6
Δε ίγ μα