ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1
Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που εξετάζει την ισορροπία (κίνηση με μηδενική ταχύτητα) και την κίνηση των σωμάτων, κάτω από την επίδραση φορτίων (δυνάμεων). Μηχανική του απαραμόρφωτου σώματος Μηχανική του παραμορφωμένου σώματος Στατική Δυναμική Αντοχή Υλικών Θεωρία Ελαστικότητας Κινηματική 2
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία Π.Α. Βουθούνης, Τεχνική Μηχανική, Εκδ. 2011. ISBN: 978-960-85431-7-1 F.P. Beer, E.R. Johnston Jr, John T. DeWolf, D.F. Mazurek, Εκδ. Τζιόλα, 2012. ISBN: 978-960-418-381-4 3
Σκοποί ενότητας Να αντιληφθούν τις βασικές αρχές της Αντοχής των Υλικών. Να εξοικειωθούν οι φοιτητές με τις έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Να είναι σε θέση να διατυπώσουν τις εξισώσεις ισορροπίας μιας κατασκευής και να σχεδιάζουν το Δ.Ε.Σ. Να εξοικειωθούν με τα διαφορετικά είδη φόρτισης 4
Περιεχόμενα ενότητας Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις ισορροπίας Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.) Η έννοια της τάσης Είδη καταπόνησης 5
Βασικές έννοιες Πάνω σε αυτές θεμελιώνεται η ανάπτυξη της μηχανικής! Υλικό σημείο: κομμάτι ύλης με μηδενικές διαστάσεις, αλλά μη μηδενική μάζα. Μάζα: η ποσότητα της ύλης Απαραμόρφωτο σώμα: με την επίδραση εξωτερικών φορτίων διατηρεί το αρχικό σχήμα και διαστάσεις του. Γεγονός: συμβαίνει στιγμιαία και έχει μηδενική χρονική διάρκεια, π.χ. η δημιουργία του κόσμου. Σύστημα αναφοράς: αναγκαίο για τον ακριβή προσδιορισμό γεγονότος, π.χ. γνώση τόπου-χρόνου. Οποιοδήποτε αμετάβλητο σώμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύστημα αναφοράς (συντεταγμένες x, y, z). Χρόνος: η διάρκεια ενός γεγονότος. Ηρεμία-κίνηση: μεταβολή ή μη της θέσης ενός σώματος ανάλογα με το σύστημα αναφοράς. Δύναμη: χαρακτηριστικό της είναι ότι επηρεάζει την κατάσταση ηρεμίας ή κίνησης των υλικών σωμάτων. Ορισμός δύναμης: σημείο εφαρμογής, διεύθυνση και φορά, μέγεθος. 6
Στατική υλικού σημείου Η στατική μελέτη των συνθηκών κάτω από τις οποίες τα υλικά σώματα ισορροπούν από την επενέργεια δυνάμεων. Το διάνυσμα μπορεί να αποτελέσει το μαθηματικό πρότυπο για την φυσική οντότητα που είναι η δύναμη. Μεθοδολογία διανυσματικής άλγεβρας 7
Αξιωματικές αρχές Η Νευτώνεια Μηχανική, πάνω στην οποία βασίζεται η τεχνολογία μας, στηρίζεται στις παρακάτω αξιωματικές αρχές: Ο νόμος του παραλληλόγραμμου Δυο δυνάμεις που ενεργούν πάνω σε ένα υλικό σημείο, μπορούν να αντικατασταθούν από μια τρίτη, την συνισταμένη (R) τους, που αντιστοιχεί διανυσματικά στην διαγώνιο ενός παραλληλόγραμμου που σχηματίζεται από τις αρχικές δυνάμεις (εφαρμοστό διάνυσμα). x P 1 β φ α R R = P 1 2 + P 2 2 + 2P 1 P 2 cosφ (μέτρο συνισταμένης) y P 2 sin α = P 1 R sin β = P 2 R sin φ sin φ καθορισμένης διεύθυνσης λόγω του ότι είναι άνυσμα 8
Αξιωματικές αρχές Αρχή αξονικής μετατόπισης (επαλληλίας) Όταν ένα σύστημα δυνάμεων επενεργεί σε ένα σώμα τότε το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο εάν προσθέσουμε στο σώμα αυτό ένα άλλο σύστημα δυνάμεων το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία. Το θεώρημα αυτό λέγεται και θεώρημα της μεταφοράς (ή ολίσθησης) μιας δύναμης πάνω στο φορέα της. A P B -P A P B P A B P Η δύναμη με άλλο λόγια θεωρείται ολισθαίνον διάνυσμα. 9
Νόμοι του Νέυτωνα 1 ος Νόμος Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε ένα υλικό σώμα είναι μηδενική, τότε αυτό ηρεμεί ή κινείται, δηλαδή παραμένει στην αρχική κατάσταση. 2 ος Νόμος Αν η συνισταμένη δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε ένα υλικό σημείο δεν είναι μηδενική τότε αυτό επιταχύνεται ανάλογα με το μέγεθός της και κατά τη διεύθυνση και φορά της. F = m a F=συνισταμένη δύναμη, m=μάζα, a=επιτάχυνση 3 ος Νόμος Οι δυνάμεις δράσης και αντίδρασης ανάμεσα σε δύο σώματα έχουν ίδιο μέγεθος και αντίθετη φορά. Νόμος της βαρύτητας Οι δυνάμεις, ελκτικές ή απωστικές μεταξύ δυο υλικών σωμάτων δίνεται από τη σχέση F = g m 1 m 2 r 2 10
Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (1/2) Προκειμένου ένα σώμα να ισορροπεί, πρέπει να στηρίζεται! Την στήριξη πραγματοποιούν οι συνδέσεις. Οι συνδέσεις περιορίζουν τις ελεύθερες κινήσεις των σωμάτων. Ασκούν δηλαδή δυνάμεις στα σώματα που αποτρέπουν την κίνηση τους. Οι δυνάμεις αυτές λέγονται αντιδράσεις. Έχουν φορέα την ευθεία στην οποία τείνει να κινηθεί το σώμα και διέρχονται από το σημείο του συνδέσμου. Οι αντιδράσεις δεν είναι εσωτερικές δυνάμεις. 11
Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (2/2) Ο σχεδιασμός ενός σώματος χωρίς τους συνδέσμους αλλά με τις αντιδράσεις που ασκούν οι σύνδεσμοι (πάνω στο σώμα) καθώς και τα εξωτερικά φορτία λέγεται Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (ΔΕΣ). Το ΔΕΣ διευκολύνει την επίλυση της Στατικής και της Αντοχής Υλικών, δηλαδή της Μηχανικής των Υλικών (δηλαδή επιτρέπει τον υπολογισμό των αγνώστων δυνάμεων μέσα από ένα διάγραμμα που όλες δυνάμεις φαίνονται ως εξωτερικές δυνάμεις). ΔΕΣ Fs ΔΕΣ Β Β Κ Η Κ Β Β Η Α 12
Ισορροπία στερεού σώματος (απαραμόρφωτου) Συνισταμένη δυνάμεων Συνισταμένη ροπών R = i F i =0 M o = i M i = i r i F i = 0 Οι Οι ως άνω εξισώσεις εκφράζουν την απόλυτη ισορροπία του συστήματος και σε μετατόπιση και περιστροφή. 13
Η μέθοδος των τομών Εσωτερικές τάσεις Οι εξωτερικές δυνάμεις παραμορφώνουν το σώμα, οι εσωτερικές προσπαθούν να διατηρήσουν το αρχικό σχήμα και όγκο. Η επίλυση των προβλημάτων Αντοχής απαιτεί τον καθορισμό των εσωτερικών δυνάμεων και παραμορφώσεων. P 1 (α) P 3 P 1 (α) Το σχήμα είναι σε ισορροπία κάτω από την επίδραση των P 1, P 2, P 3 και P 4. P 2 (β) P 4 P 2 (β) 14
Υπολογισμός εσωτερικών φορτίων Για τον υπολογισμό των εσωτερικών φορτίων στο επίπεδο (α β) αφαιρείται το δεξί τμήμα. Για να παραμείνει η ισορροπία αναπτύσσονται εσωτερικά φορτία. Αυτά ουσιαστικά αντισταθμίζουν την επενέργεια των εξωτερικών φορτίων P 3 και P 4. Τα φορτία αυτά (τα εσωτερικά) για το όλο σώμα, παίζουν τον ρόλο των εξωτερικών φορτίων για το αριστερό τμήμα. Το σύνολο των δυνάμεων αυτών μπορεί να αναχθεί σε μια συνολική δύναμη ή σε ένα ζεύγος δυνάμεων ή πιο γενικά σε δυναμικά ζεύγη. 15
Διάφορα είδη απλών καταπονήσεων 16
ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ Ελεύθερη ράβδος Πακτωμένη ράβδος Η πακτωμένη ράβδος είναι στατικά ισοδύναμη με την ελεύθερη ράβδο (δεξιά) που εφελκύεται από την δύναμη P 17
Η έννοια της τάσης (1/2) Η τάση γενικά είναι η δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας και η οποία επενεργεί πάνω στο σώμα και μεταβάλλει το σχήμα ή τον όγκο του. Η τάση είναι διάνυσμα και έχει γενικά τα χαρακτηριστικά της δύναμης. μ Δ Γ Β P S Γ Β P S=σΑ Γ Β P ν Ανάπτυξη ορθών τάσεων σ κάθετα στην διατομή A A σ=s/a 18
Η έννοια της τάσης (2/2) Ανάπτυξη διατμητικών τάσεων τ πάνω στο επίπεδο της διατομής A 19
Τριαξονική ή χωρική εντατική κατάσταση τ 20
Η έννοια της ροπής (1/2) Ροπή δύναμης Ρ ως πρός το σημείο Ο Καθορισμός πρόσημου των ροπών 21
Η έννοια της ροπής (2/2) Όταν πρόκειται για ένα σύστημα δυνάμεων που δημιουργεί ροπές ως προς ένα σημείο τότε το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων είναι ισοδύναμο με τη ροπή της συνισταμένης των δύναμης ως προς το ίδιο σημείο Ο καλύτερος τρόπος ορισμού της ροπής είναι ως το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων P και r. Το μέτρο της ροπής είναι: M P Pr sin 22
Η έννοια της περιστροφής Δύο δυνάμεις οι οποίες ενεργούν σε παράλληλες ευθείες και έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά, αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων Μολονότι η συνισταμένη του ζεύγους είναι μηδέν, εν τούτοις οι δυνάμεις δεν ισορροπούν αλλά τείνουν να περιστρέψουν το σώμα 23
Συνθήκη Ισορροπίας ΔΕΣ Εάν έχουμε ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων P 1, P 2, P i το οποίο βρίσκεται πάνω σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy τότε μεταφέρουμε όλες τις δυνάμεις ώστε η αρχή τους να είναι στο Ο και προσθέτουμε τις ροπές όλων των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο. Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος μη συντρεχουσών δυνάμεων στο επίπεδο είναι P 0, P 0, M 0 x y O 24
Διάφορα είδη φορέων 25
Δομικά στοιχεία Ράβδος Δοκός Τόξο Δίσκος Χαρακτηρίζεται ένα σώμα που το μήκος του είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από τις άλλες διαστάσεις και που καταπονείται σε εφελκυσμό ή θλίψη. Χαρακτηρίζεται ένα σώμα που το μήκος του είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από τις άλλες διαστάσεις και που καταπονείται με εγκάρσιες δυνάμεις. Χαρακτηρίζεται μια δοκός με καμπύλο άξονα. Χαρακτηρίζεται ένα επίπεδο λεπτό σε σύγκριση με τις άλλες διαστάσεις του ελαστικό σώμα, που καταπονείται με δυνάμεις στο επίπεδό του. Πλάκα Χαρακτηρίζεται ένα λεπτό σε σύγκριση με τις άλλες διαστάσεις του ελαστικό σώμα που μεταβιβάζει και εγκάρσια προς το επίπεδό του φορτία. Κέλυφος Χαρακτηρίζεται ένα λεπτό σε σύγκριση με τις διαστάσεις του ελαστικό σώμα, που η μέση επιφάνειά του δεν είναι επίπεδη αλλά κυρτή. 26
Στήριξη δοκών και αντιδράσεις 27
Τέλος Ενότητας 28