ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από ένα Πληθυσµό 5 Νικκυριών για δύ από τις ασικότερες Μακρ-Οικνµικές µεταλητές: την Κατανάλωση και τ ιαθέσιµ Ιδιωτικό Εισόδηµα. Επιπλέν στν Πίνακα δίδεται ένα δείγµα 5 Νικκυριών από αυτόν τν Πληθυσµό. ΠΙΝΑΚΑΣ. Στιχεία για την κατανάλωση και τ εισόδηµα ενός πληθυσµύ. j 9 5 8 3 6 4 8 5 5 7 6 7 7 8 8 9 6 9 9 4 6 8 9 3 7 4 7 3 5 6 Πηγή: Στιχεία Εξµιωµένα σε Η/Υ. ΠΙΝΑΚΑΣ. ΕΙΓΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΙΣΟ ΗΜΑ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ. j Έτς 995 9 6 996 6 3 997 8 5 4 998 9 5 999 8 Πηγή: Στιχεία τυ Πίνακα. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

Να σχηµατπιήσετε τ σχήµα αλληλεξαρτήσεων µεταξύ αυτών των µεταλητών στ πλαίσι της ριακής ρπής πρς κατανάλωση. Απάντηση. Στ Σχεδιάγραµµα παρυσιάζυµε γραφικά την εξέλιξη της Κατανάλωσης (Υ) και τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς (Χ). 4 8 6 4 995 996 997 998 999 X Y Σχεδιάγραµµα. ιαχρνική παρυσίαση της Κατανάλωσης(Υ) και τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς(Χ). 3 Y 9 8 7 6 5 3 4 5 6 7 8 9 Σχεδιάγραµµα. Γραφική παρυσίαση της Κατανάλωσης(Υ) και τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς(Χ). X ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3

Με άση τα Σχεδιαγράµµατα και, αλλά και την γνώση µας από την ικνµική θεωρία ι δυνατές εξειδικεύσεις της σχέσης αλληλεξάρτησης µεταξύ των µεταλητών C και ( Έχυµε αντικαταστήσει τ Υ µε τ C και τ Χ µε τ ) θα µπρύσαν να είναι: C () () Σχεδιάγραµµα (3). υνατές (στατικές) αλληλεξαρτήσεις µεταξύ της Κατανάλωσης και τυ ιαθεσίµυ Ιδιωτικύ Εισδήµατς. όπυ C : Ιδιωτική Κατανάλωση : ιαθέσιµ Εισόδηµα Ειδικότερα η επίδραση C κατανάλωση θα µπρύσε να είναι: πυ εκφράζει την ριακή ρπή πρς. Σταθερή επίδραση (Σταθερή Οριακή Ρπή πρς Κατανάλωση), σε σχέση µε τν χρόν. C f ( ) (Συνάρτηση τυ χρόνυ) C Σχεδιάγραµµα 4. Σταθερή επίδραση τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς στην διαµόρφωση των τιµών της Ιδιωτικής Κατανάλωσης. Για την έννια της ριακής ρπής πρς κατανάλωση λέπε πιδήπτε εισαγωγικό εγχειρίδι ΜακρΟικνµικής ή εισαγωγικής Οικνµικής. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4

Η παραπάνω υπόθεση, υφίσταται έντνες κριτικές, δεδµένυ ότι η ριακή ρπή πρς κατανάλωση διαφρπιείται διαχρνικά. Συνήθως µεταάλλεται µε την πάρδ τυ χρόν ( ).. Σταθερή Επίδραση ανεξάρτητα τυ ύψυς τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς. C, 45 (ύψς τυ εισδήµατς) C ( ιαθέσιµ Εισόδηµα) Σχεδιάγραµµα 5. Σταθερή Επίδραση τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς στην διαµόρφωση των τιµών της Ιδιωτικής Κατανάλωσης. Μη Σταθερή Επίδραση. Και η παραπάνω υπόθεση είναι υπό ικνµικό έλεγχ, δεδµένυ ότι είναι γνωστό ότι τ ύψς της κατανάλωσης εξαρτάται και από τ επίπεδ τυ διαθέσιµυ εισδήµατς µας ( ). Εν πρκειµένυ θα µπρύσε η ριακή ρπή πρς κατανάλωση να είναι ανάλγη τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς. ηλαδή, θα µπρύσε η ριακή ρπή πρς κατανάλωση να ακλυθύσε ένα σχήµα όπως αυτό πυ παρυσιάζεται στ Σχεδιάγραµµα (3.6). C Οριακή Ρπή πρς Κατανάλωση. ιαθέσιµ Εισόδηµα Σχεδιάγραµµα 6. Γραφική παρυσίαση της σχέσης της ριακής ρπής πρς Κατανάλωση σε σχέση µε τ ύψς τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5

Αλγερικά αυτό σηµαίνει ότι: C dc ϕ( ) d Με άση τ Σχεδιάγραµµα (6) η ριακή ρπή πρς κατανάλωση εξαρτάται από τ ύψς τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς. Θα µπρύσαµε επίσης να συµπληρώσυµε ότι όσ αυξάνει τ ιαθέσιµ Εισόδηµα, µειώνεται η ριακή ρπή πρς κατανάλωση, η πία τείνει να σταθερπιηθεί σε κάπι επίπεδ. Επιπλέν θα µπρύσαµε να δεχθύµε ότι η µεταλή πυ επέρχεται στην Κατανάλωση από µία µεταλή ( ) τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς, δεν είναι ανεξάρτητη από τ ύψς της Κατανάλωσης. Τέλς θα µπρύσαµε να δεχθύµε ότι η µεταλή στην Κατανάλωση ( C ) από µία µεταλή ( ) τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς, θα µπρύσε να είναι συνάρτηση και τυ επιπέδυ της Κατανάλωσης και τυ Εισδήµατς τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς. Γενικά. Η εξειδίκευση της σχέσης αλληλεξάρτησης της Κατανάλωσης µε τ ιαθέσιµ Εισόδηµα θα µπρύσε να γίνει µε άση τις εξής δυνατές εξειδικεύσεις:. (Σταθερή Επίδραση) C f (,, C ). (Επίδραση ως συνάρτηση τυ χρόνυ) C, f ( ) 3. (Επίδραση ως Συνάρτηση τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς) C f ( 4. (Επίδραση ως Συνάρτηση τυ ύψυς της Κατανάλωσης) C f ( C ) ) 5. (Επίδραση ως Συνάρτηση τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς, και τυ ύψυς της Κατανάλωσης). C f ( C, ) ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 6

6. (Επίδραση ως Συνάρτηση τυ ιαθέσιµυ Εισδήµατς, τυ ύψυς της Κατανάλωσης και της τεχνλγικής πρόδυ ). C f ( C,, ) Τέλς στ Σχεδιάγραµµα 7 παρυσιάζυµε γραφικά την σχέση της ριακής πρς κατανάλωση σε σχέση µε τ ύψς τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς και τυ Χρόνυ. Είναι εµφανής η διαφρπίηση της ριακής ρπής πρς κατανάλωσης σε σχέση µε τ ύψς τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς. Επιπλέν είναι ακόµη εµφανέστατη η σύγκλιση της ριακής ρπής πρς κατανάλωση σε κάπι επίπεδ σε σχέση µε τν χρόν. Εισόδηµα Χρόνς Σχεδιάγραµµα 7. Γραφική παρυσίαση της εξέλιξης της σχέσης Κατανάλωσης και ιαθεσίµυ Εισδήµατς σε σχέση µε τ επίπεδ τυ εισδήµατς και σε σχέση µε τν χρόν. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 7

Να γίνει Μαθηµατική Εξειδίκευση τυ Σχήµατς πυ θα επιλέξετε.. Γραµµικότητα ή µη Γραµµικότητα (Lineari, on Lineari). Πρσθετικότητα... (Addiivi) 3. Οµιγένια (Homogenei ) Εφόσν έχυµε υπθέσει ότι ι επιδράσεις της µεταλητής είναι γραµµική (σταθερή), µπρύµε να πρσεγγίσυµε αλγερικά την µρφή την σχέση (.) ως εξής: * ( ;, ) f (.) o Χρησιµπιύµε τα ανάπτυγµα µιας σειράς Talor, και γύρω από µια τιµή της * µεταλητής, έστω πότε η (.) γράφεται ως εξής: f f o, (.) o o ( ;, ) f ( ; ) + ( ) o Επειδή έχυµε υπθέσει σταθερές επιδράσεις της µρφής: f (.3) αν τις αντικαταστήσυµε στην (.) λαµάνυµε, o ( ) L f + (.4) o o ( ) + L f o (.5) 443 (Σταθερός Όρς) (.6) + Εάν f ( ), µία µη γραµµική συνάρτηση δύ µεταλητών και, µπρεί τότε να πρσεγγισθεί µε µία ανάπτυγµα µιας σειράς Talor γύρω από δύ τιµές. και. ως εξής: f, f, f, f,,, +, +, +, + ( ) ( ) ( ) ( ) + f,,, ( ) + ( )( ) + L,,,, f,,, ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 8

Να γίνει η Στατιστική Εξειδίκευση τυ Σχήµατς πυ θα επιλέξετε. 4. Παλινδρόµηση στν Πληθυσµό. 5. Παλινδρόµηση στ είγµα. Βλέπε Σηµειώσεις Μαθήµατς. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 9

Να εκτιµηθύν µε κάπια µέθδ εκτίµησης και να ερµηνευθύν ι παράµετρι τυ υπδείγµατς τελικά εξειδικεύσατε: Η Επαναληπτική (Γραφική) Μέθδς των Ελαχίστων Τετραγώνων στ Γραµµικό Υπόδειγµα. + + ε () Οι εκτιµήσεις των και των παραµέτρων και τυ υπδείγµατς () µε την επαναληπτική µέθδ των ελαχίστων τετραγώνων θα πρέλθυν από την διαδικασία ελαχιστπίησης: Min j j Min j j Min e j Min j, j,, j, ηλαδή για διαφρετικές τιµές των παραµέτρων () θα υπλγίζυµε τ : ϕ, () και τυ υπδείγµατς Min j j Min j j (3), j, j και θα επιλέξυµε εκείν τν συνδυασµό των παραµέτρων και πυ ελαχιστπιεί τ άθρισµα (3). Στ Σχεδιάγραµµα παρυσιάζυµε γραφικά αυτή την επαναληπτική διαδικασία ενώ στν Πίνακα παρυσιάζυµε περιληπτικά τυς αριθµητικύς υπλγισµύς. Min, j j j Σχεδιάγραµµα. Γραφική παρυσίαση της εξέλιξης τυ διαφρετικές τιµές των παραµέτρων Min, j και τυ υπδείγµατς j j για ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ. Απτελέσµατα Επαναληπτικής ιαδικασίας Min, j j j 45,6,4 7,6 3,9 3,5,7,7 85,5,7 4,,9,7 6 8,3,8 89,8 3,4 4,8 3,9,5,8 4,8 4,,85,8 4,,8,8 4,3,85,8 4,4,8 4,5,5,9,6 46,,9 3,,35 4, 8,5, 4,5 5,55, 5, 6,5,,5 35,55 3,4 795,8 3,, 74,4 5,,5 339,5 5,8 5,5 5649,5 6,,4 548,5 6,8 6 85 Πηγή : Εκτιµήσεις µας. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

Αλγερική Πρσέγγιση της Μεθόδυ των Ελαχίστων Τετραγώνων στ Γραµµικό Υπόδειγµα. Αν και + + ε είναι ι ( γραµµικών ) ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές παραµέτρων και αντιστίχως, τότε ι θεωρητικές τιµές της πρκύψυν από την σχέση j + ; j ( 3.8) j, θα ενώ ι ανάλγες εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ ε θα είναι e ˆ όπυ: ( 3.9) Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις των και µε την µέθδ των ελαχίστων τετραγώνων θα πρέλθυν από την διαδικασία ελαχιστπίησης. Min Min j j Min e j j, j, Min j j, j,, ϕ Ικανή συνθήκη για την ελαχιστπίηση της συνάρτησης είναι µηδενισµός των πρώτων παραγώγων : ϕ, ως πρς και dϕ, d dϕ, d ( 3.) (Καννικές Εξισώσεις) ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3 Πρώτη Καννική Εξίσωση :, d d d d ϕ ( ) d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f nf f n n ` ` ` ` ` + + () + + ( ) Ν + + + K Ν + ( ). 3 εύτερη Καννική Εξίσωση ( ), d d d d ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f nf f n n ` ` ` ` ` + + ( ) db d d d + ( ).3 3 Τ σύστηµα των εξισώσεων (3.) και (3.3) είναι τ σύστηµα των καννικών εξισώσεων, από την λύση τυ πίυ θα πρκύψυν ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµήτριες συναρτήσεις.

ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ( ).4 3 Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις των και θα πρκύψυν ως εξής ( ).5 3 Στ Παραρτηµα παρυσιάζυµε αναλυτικά τν υπλγισµό τυ αντίστρφυ της µήτρας της σχέσης (3.5). ( ).6 3 Αντικαθιστώντας την (3.6) στην (3.5) λαµάνυµε ( ) ( ) ( ).7 3 Απδεικνύεται ότι ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές είναι, ) ( ( ).8 3 µ µ

Υπλγισµός των παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. µ µ ( ) Με άση τα στιχεία τυ Πίνακα ι ανάλγες εκτιµήσεις των παραµέτρων θα είναι: ˆ ()( 5. 94) ( 3 )(. 45) 47 35,8 5. 3 5 9 5 ( ) ˆ 9- (,8) 6 9 4,8 4, ( ) ( ) µ 45 9 5 µ χ 3 6 5 Άρα η γραµµή παλινδρόµησης στ δείγµα θα είναι: 4, +, 8 j j Σχεδιάγραµµα. Τυπικό απτέλεσµα απλής παλινδρόµησης από τ λγισµικό EVIEWS. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5

Οι Θεωρητικές τιµές θα είναι: ˆ ( 6) 4, + 4,8 9 ( ) 4, +,6 5, 8 () 5 4, + 4 8, () 9 4, + 7,, 4 4, +,8 4, +,8 ˆ 4, +,8 4, +,8 4, +,8 4, +,8 ˆ3 3 ˆ 4 4, +,8 4 4, +,8 ˆ 5 4, +,8 5 4, +,8 8 4, + 6,4 (), 6 Οι εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ είναι u ˆ ˆ u ˆ ˆ u ˆ 9 9 6 5,8, 8 8,, ˆ3 3 3 u ˆ ˆ 4 4 4,4 u ˆ ˆ 5 5 5,6,6,6 uˆ ˆ,,3 5. Σχεδιάγραµµα. Αριθµητική παρυσίαση θεωρητικών και πραγµατικών τιµών της Κατανάλωσης. Στ Σχεδιάγραµµα παρυσιάζυµε τις Πραγµατικές, τις Θεωρητικές τιµές και τις ανάλγες εκτιµήσεις των τιµών τυ ιαταρακτικύ Όρυ. Θεωρητικές και Πραγµατικές Τιµές 4 8 6 4 3 4 5 9 6 8 ^ 9 5,8 8,,4,6 ^ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 6

Σχεδιάγραµµα. Γραφική παρυσίαση θεωρητικών και πραγµατικών τιµών της Κατανάλωσης. Σχεδιάγραµµα. Γραφική παρυσίαση θεωρητικών και πραγµατικών τιµών της Κατανάλωσης µε άση τ λγισµικό EVIEWS. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 7

Να απδειχθύν αλγερικά και αριθµητικά ι Ιδιότητες της Γραµµής Παλινδρόµησης. Απάντηση. Οι απδείξεις αλγερικά δίδνται στις σηµειώσεις τυ µαθήµατς και την ιλιγραφία πυ έχει δθεί. Οι αριθµητικές απδείξεις δίδνται στν Πίνακα. ˆ 6 Με άσει επίσης τις άλλες τρεις ιδιότητες απδεικνύεται ότι : Απδεικνύεται u +, + (,) + (, )+ (,6 ) ˆ (λεπε 7 στήλη) ˆ u ˆ ˆ u ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 8

Τ ΠΙΝΑΚΑΣ () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Χ ŷ û - ( - ) 9 6 36 54 8 9 6 4 36 5,8, -3 9 3 8 5 5 4 64 8, -, - 4 9 8 8 44,4,6 3 9 5 8 64 8,6 -,6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 45 3 94 45 ŷ 4 û ΤΑ 5 Τ ŷ () () û u u u u 8 - - 33.64,4,,4,4 3 67.4,4 -,,4,,6 4 9.96,36,6,36 -,,64 5.36.36 -,6,36,6,44 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΑ 44. u.8 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 9

ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΘΕΊ Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ R Απάντηση. Γνωρίζυµε ότι συντελεστή πρσδιρισµύ δίδεται από την σχέση: R u ( ) Γνωρίζυµε ότι σ ( µ ) µ T 45 45 µ 9 5 σ T T µ 45 5 άρα ( ) 4 5 Άρα ( ) 4,5 Επιπλέν (,) + (,) + (,6) + (, ) u ˆ + 6 () 9 85 8 4 +,4+,4+,36+,36,8,8 Άρα Συντελεστής Πρσδιρισµύ R,4, 96 R, 96 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΝΑ ΓΙΝΕΙ Η ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΤΟΥ ΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟΥ ΟΡΟΥ. Γνωρίζυµε ότι µια αµερόληπτς εκτίµηση της ιακύµανσης τυ ιαταρακτικύ όρυ δίδεται από την σχέση: s u,8 T T,8 5,8,6 3 Άρα η τυπική της απόκλιση θα είναι : s s,6,563 Λαµάνντας τις εκτιµήσεις της διακυµάνσεις τυ αˆ και ˆ s s s. α T ( ) s. ( ) Για να υπλγίσυµε τις παραπάνω σχέσεις χρειαζόµεθα: ( ) γνωρίζυµε ότι σ ( ) µ άρα. ( 6) 4 36 6 T T 5 µ T 3 5 Άρα ( ) 6 ( ) T *6 5*6 3 T Άρα ( ) 3 6 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

Και επειδή συνήθως χρειαζόµαστε την τπική απόκλιση των εκτιµήσεων και s s T. ( ),56. 5.3,56 5,56,8 ( ), 65 s,65 s s T. ( ),56 3,56.,33 (,56 )(.,8), 948 s,948 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ

Να δηµιυργήσετε τα διαστήµατα εµπιστσύνης για τις παραµέτρυς και Γνωρίζυµε ότι τα διαστήµατα εµπιστσύνης για τις παραµέτρυς τα και ασίζνται στις σχέσεις:. s. s ω + ω ω. s + ω. s Συνήθως χρησιµπιύµε ω5%,5 και πρσπαθύµε να εκτπίσυµε ένα διάστηµα εµπιστσύνης µέσα στ πί θα ευρίσκνται ι παράµετρι και σε ένα διάστηµα εµπιστσύνης -ω-,5,95 ή 95% Επειδή 4,,8 s s,65.948 ω µε Τ-5-3 αθµύς ελευθερίας ( )( ) 3, 8 3.,5 Άρα τ διαστήµατα εµπιστσύνης για την παράµετρ θα είναι:. s +. s ω ω ή 4.-3,8.(,65) 4, + 3,8(,65) ή 4,,95 4, +,95,5 6,5 Και τ αντίστιχ διάστηµα εµπιστσύνης για τ θα είναι: ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3

ω. s + ω. s ( 3,8 )(.,95),8 ( 3,8)(,95),8 +,8,99,8 +,99,5,99 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4

Να γίνει ό έλεγχς υπθέσεων για τις παραµέτρυς και µε την -Saisic Ο έλεγχς της υπόθεσης χ µέσω της + χ + u µπρεί να γίνει ελέγχντας: H : H : έναντι της εναλλακτικής H : H : Υπλγίζυµε τις : S 4..65 6.8.8.948 S 8.48 Απρρίπτυµε την υπόθεση Η Ο αν ω ΤΝ, 3,.5 ω 3,.5 ΤΝ, Και επειδή ι παραπάνω εκτιµήσεις είναι µεγαλύτερες από την ανάλγη τιµή της -saisic (η τιµή αυτή είναι 3,8) απρρίπτυµε την υπόθεση Η Ο. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5

Να γίνει ό έλεγχς υπθέσεων για τις παραµέτρυς και µε την F-Saisic(Κατανµή F). O έλεγχς των υπθέσεων: H H : : έναντι της εναλλακτικής H H : : µπρεί να γίνει µε την στατιστική F υπλγίζντας την σχέση: F u /( K ) F, K Με άση τα στιχεία τυ Πίνακα, πρκύπτει ότι: F 44. 44..8/(5).666 594,7 Επειδή η τιµή F είναι πλύ µεγαλύτερη από την τιµή της F-κατανµής σε επίπεδ σηµαντικότητας ω.5 και µε,3 αθµύς ελευθερίας ( F F 6),απρρίπτυµε την υπόθεση Η.,5,3 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 6

Να δηµιυργηθύν τα διαστήµατα εµπιστσύνης για τις Πρσδκώµενες Μεταλητές. Τά διαστήµατα εµπιστσύνης δίδνται από τις σχέσεις: ( ). s E +. s s ω, ΤΝ s T, ΤΝ + _ _ ω _ Επειδή: 3 χ 6 T 5 s.564 ω,3.5,3 3.8 κατά τα διαστήµατα εµπιστσύνης για των πρσδιρισµένη τιµή της είναι: 6 6 για s,564. +,564*,447, 394 5 3 πότε τ ανάλγ διάστηµα εµπιστσύνης για Άρα ( ). s E +. s ω, ΤΝ 9 E + ή 8,6 E ( ) 9 9, 73 επιπλέν για 5,37 E 5,8 6, ω, ΤΝ,73485 ( ) 9, 73485 ( ) 3 7,5 E ( 3 ) 8, 8, 87 E 4 4,5 ( ),5, 9 5 9,75 E ( 5 ),6, 44 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 7

πρκύπτυν ι πρσδκώµενες τιµές της µεταλητής Κατανάλωση ι πίες είναι ι εξής: Όρια Τιµών Της Κατανάλωσης (Ανω) Τιµές Της Κατανάλωσης Όρια Τιµών Της Κατανάλωσης (Κάτω) 9.734389544 9. 8.65645759 6.4 5.8 5.376 3 8.87486396 8. 7.59597364 4.994398567.4.5567433 5.448.6 9.75 Η γραφική παρυσίαση των πρσδκώµενων τιµών της Κατανάλωσης δίδνται στ Σχεδιάγραµµα. Σχεδιάγραµµα. Πρσδκώµενες τιµές της Κατανάλωσης ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 8

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Σηµειακές Πρλέψεις. Αν υπθέσυµε ότι ι τιµές τυ ιαθεσίµυ Εισδήµατς τ και τ είναι 6 7 9 τότε ι σηµειακές πρλέψεις της Κατανάλωσης θα είναι : 4. +.8* 4. +.8* 4. +.8* 3.8 4. +.8*9.4 ιαστήµατα εµπιστσύνης για πρλέψεις. H ιακύµανση τυ Σφάλµατς Πρόλεψης δίδεται από την σχέση: s + + T f su ( χ f χ ) χ ( χ ) ενώ τ (-ω)% διάστηµα εµπιστσύνης για την Κατανάλωση δίδεται από την σχέση: f f ( f ) + ω s f. s. ω, ΤΝ f, ΤΝ Εκτιµάµε την διακύµανση τυ Σφάλµατς Πρόλεψης: Για f 6 6 ( χ χ ) 3 f s su + + T,64 f ( χ f χ ) χ ( χ ) 36,6 + +,6*( +, +,) 5 3 S f S f,789936 3,8 3,8*,789936 3,8 + 3,8*,789936,8 6,3 ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 9

ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3