Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Επίκουρος Καθηγητής Πέτρος Γαλανόπουλος Καθηγητής Δημήτριος Μπετσάκος (επιβλέπων) Λέκτορας Ανέστης Φωτιάδης iii

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σύμμορφα αναλλοίωτες ποσότητες στο μιγαδικό επίπεδο και σχέσεις μεταξύ τους Διπλωματική Εργασία Χριστίνα Καραφυλλιά Θεσσαλονίκη 9//27

Περιεχόμενα. Πρόλογος................................. Το πρόβλημα Dirichlet 3. Άνω ημι-συνεχείς συναρτήσεις...................... 3.2 Υφαρμονικές συναρτήσεις......................... 4.3 Πολικά σύνολα και η Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου........... 5.4 Λύση του προβλήματος Dirichlet..................... 7.5 Η Γενικευμένη Λαπλασιανή........................ 9 2 Αρμονικό μέτρο 7 2. Ορισμός και ιδιότητες........................... 7 2.2 Η Μαρκοβιανή ιδιότητα του αρμονικού μέτρου............. 25 2.3 Παραδείγματα υπολογισμού αρμονικού μέτρου σε συνήθεις τόπους.. 28 3 Η συνάρτηση του Green 35 3. Ορισμός και ιδιότητες........................... 35 3.2 Παραδείγματα υπολογισμού συνάρτησης του Green σε συνήθεις τόπους 43 3.3 Ο τύπος Poisson-Jensen......................... 45 3.4 Σχέση αρμονικού μέτρου και συνάρτησης του Green.......... 5 3.5 Οι ταυτότητες του Baernstein...................... 55 4 Υπερβολική απόσταση 63 4. Υπερβολική απόσταση στο μοναδιαίο δίσκο............... 63 4.2 Υπερβολική απόσταση σε απλά συνεκτικό τόπο............. 68 4.3 Παραδείγματα υπολογισμού της υπερβολικής μετρικής σε συνήθεις τόπους 7 4.4 Παράδειγμα υπολογισμού αρμονικού μέτρου, συνάρτησης του Green και υπερβολικής απόστασης σε ταινία.................. 75 5 Μεγιστικό μήκος 79 5. Ορισμός και στοιχειώδεις ιδιότητες.................... 79 5.2 Module διπλά συνεκτικού τόπου..................... 86 5.3 Σχέση αρμονικού μέτρου και μεγιστικού μήκους............ 88 Βιβλιογραφία 99 v

.. ΠΡ ΟΛΟΓΟΣ. Πρόλογος Θεωρώντας γνωστή τη βασική θεωρία της μιγαδικής ανάλυσης, των ολόμορφων και αρμονικών συναρτήσεων, στόχος της παρούσης εργασίας είναι η εισαγωγή και η μελέτη των ιδιοτήτων των κυριότερων σύμμορφα αναλλοίωτων ποσοτήτων συμπεριλαμβανομένου του αρμονικού μέτρου, της συνάρτησης του Green, της υπερβολικής απόστασης και του μεγιστικού μήκους. Στο Κεφάλαιο παραθέτουμε συνοπτικά τους ορισμούς των εννοιών καθώς και θεωρήματα που χρησιμοποιούμε στη συνέχεια. Για αναλυτικότερη προσέγγιση και ακριβείς α- ποδείξεις παραπέμπουμε στο [9, κεφ. 2, 3, 4]. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται εκτενής αναφορά στην έννοια του αρμονικού μέτρου, τον υπολογισμό του καθώς και στις βασικότερες ιδιότητές του. Κατόπιν, στο Κεφάλαιο 3 ορίζεται ανάλογα η συνάρτηση του Green και παρουσιάζονται οι θεμελιώδεις ιδιότητες καθώς και παραδείγματα υπολογισμού της. Στο Κεφάλαιο 4 εισάγουμε την υπερβολική απόσταση, επισημαίνοντας μόνο τις ιδιότητες που μας ενδιαφέρουν. Επιπλέον ιδιότητες, θεωρήματα καθώς και αποδείξεις τους αναφέρονται εκτενώς στο άρθρο [2] και στο [6, κεφ. ]. Τέλος ολοκληρώνουμε την εργασία με τον ορισμό και την αναλυτική μελέτη του μεγιστικού μήκους ακολουθώντας κυρίως το [5, κεφ. 7]. Η μελέτη μας επικεντρώνεται στον ορισμό των παραπάνω ποσοτήτων, την πλήρη κατανόησή τους μέσω ποικίλλων παραδειγμάτων καθώς και στα θεωρήματα που απαιτούνται για την αναλυτική και σαφή απόδειξη των σχέσεων που τις συνδέουν και πρωτίστως στο γεγονός ότι είναι σύμμορφα αναλλοίωτες.

Κεφάλαιο Το πρόβλημα Dirichlet. Άνω ημι-συνεχείς συναρτήσεις Για να ορίσουμε τις υφαρμονικές συναρτήσεις, απαραίτητη προϋπόθεση είναι ο ορισμός της ευρύτερης κλάσης των ημι-συνεχών συναρτήσεων. Ορισμός.. Εστω X ένας τοπολογικός χώρος. Η συνάρτηση u : X [, ) ονομάζεται άνω ημι-συνεχής αν το σύνολο {x X : u(x) < a} είναι ανοιχτό a R. Ανάλογα, η συνάρτηση v : X (, ] ονομάζεται κάτω ημι-συνεχής αν η v είναι άνω ημι-συνεχής ή ισοδύναμα αν το σύνολο {x X : v(x) > a} είναι ανοιχτό a R. Άμεση συνέπεια του ορισμού αποτελεί το ακόλουθο κριτήριο των άνω ημισυνεχών συναρτήσεων, σύμφωνα με το οποίο η u είναι άνω ημι-συνεχής αν και μόνο αν lim sup u(y) u(x), x X. y x Αντίστοιχα, η v είναι κάτω ημι-συνεχής αν και μόνο αν lim inf v(y) v(x), x X. y x Ενα από τα πιο χρήσιμα θεωρήματα που αφορούν τις άνω ημι-συνεχείς συναρτήσεις είναι το εξής: Θεώρημα..2 Αν u είναι μία άνω ημι-συνεχής συνάρτηση στο μετρικό χώρο (X, d) και η u είναι φραγμένη από πάνω στο X, τότε υπάρχει φθίνουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ϕ n : X R τέτοια ώστε lim ϕ n = u. n 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET.2 Υφαρμονικές συναρτήσεις Μπορούμε πλέον να ορίσουμε τις υφαρμονικές συναρτήσεις και να αναφερθούμε επιγραμματικά σε ορισμένες βασικές ιδιότητές τους που θα χρειαστούμε στα επόμενα κεφάλαια. Για αποδείξεις και επιπλέον ιδιότητες παραπέμπουμε στο [9, κεφ. 2]. Ορισμός.2. Εστω U ένα ανοιχτό υποσύνολο του C. Η συνάρτηση u : U [, ) ονομάζεται υφαρμονική αν είναι άνω ημι-συνεχής και ικανοποιεί τοπικά την ιδιότητα της Μέσης Τιμής, δηλαδή αν w U υπάρχει ρ > τέτοιο ώστε u(w) 2π u(w + re it )dt, r < ρ. 2π Βάσει του ορισμού αποδεικνύεται άμεσα ότι αν η f είναι ολόμορφη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο U του C, τότε η συνάρτηση log f είναι υφαρμονική στο U. Επιπλέον, το άθροισμα, η διαφορά καθώς και κάθε άλλος γραμμικός συνδυασμός υφαρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης υφαρμονική συνάρτηση. Οσον αφορά τη σύνθεση, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα.2.2 Εστω f : U U 2 μία ολόμορφη συνάρτηση μεταξύ των ανοιχτών υποσυνόλων U, U 2 του C. Αν η u είναι υφαρμονική στο U 2 τότε η σύνθεση u f είναι υφαρμονική στο U. Οπως στην περίπτωση των αρμονικών συναρτήσεων, έτσι και στις υφαρμονικές ισχύει η Αρχή Μεγίστου με κάποιες διαφοροποιήσεις στις συνθήκες. Θεώρημα.2.3 (Αρχή Μεγίστου) Εστω u μία υφαρμονική συνάρτηση στον τόπο D του C.. Αν η u έχει τοπικό μέγιστο στο D, τότε η u είναι σταθερή στο D. 2. Αν lim z ζ sup u(z) ζ D, τότε u στο D. Για τις συναρτήσεις της κλάσης C 2, αρκετά εύχρηστο είναι και το παρακάτω συμπέρασμα. Θεώρημα.2.4 Αν U είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο του C και u C 2 (U), τότε η u είναι υφαρμονική στο U αν και μόνο αν u στο U. Τέλος αναφέρουμε τρία ακόμη θεωρήματα που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια.

.3. ΠΟΛΙΚ Α Σ ΥΝΟΛΑ ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΑΡΧ Η ΜΕΓ ΙΣΤΟΥ 5 Θεώρημα.2.5 Αν {u n } n είναι μία φθίνουσα ακολουθία υφαρμονικών συναρτήσεων σε ένα ανοιχτό σύνολο U του C, τότε η συνάρτηση u = lim n u n είναι υφαρμονική στο U. Θεώρημα.2.6 Εστω (Ω, µ) ένας χώρος μέτρου με µ(ω) <, U ένα ανοιχτό υποσύνολο του C και v : U Ω [, ) μία συνάρτηση τέτοια ώστε. Η συνάρτηση v είναι μετρήσιμη στο U Ω, 2. Η συνάρτηση z v(z, w) είναι υφαρμονική στο U για κάθε w Ω, 3. Η συνάρτηση z sup v(z, w) είναι τοπικά φραγμένη από πάνω στο U. w Ω Τότε η συνάρτηση u(z) = Ω v(z, w)dµ(w) είναι υφαρμονική στο U. Θεώρημα.2.7 Εστω u υφαρμονική συνάρτηση στον τόπο D του C με u. Αν χ : C R είναι μία συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες: χ C, χ, χ (z) = χ ( z ), suppχ D(, ), χda =, τότε για r > και z C ορίζουμε χ r (z) = r 2 χ ( z r Η συνέλιξη u χ r είναι μία C υφαρμονική συνάρτηση στο D r για κάθε r > και lim r (u χ r ) = u. Υπενθυμίζουμε ότι η συνέλιξη δύο συναρτήσεων ορίζεται ως f g (z) = f (w) g (z w) da(w), όπου da είναι το διδιάστατο μέτρο Lebesgue..3 Πολικά σύνολα και η Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου Σ αυτή την παράγραφο παραθέτουμε τους ορισμούς που απαιτούνται για την κατανόηση των εννοιών που θα ακολουθήσουν. Περισσότερα στοιχεία της θεωρίας δυναμικού αναφέρονται αναλυτικά στο [9, κεφ. 3]. ). C

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET Ορισμός.3. Εστω μ ένα πεπερασμένο μέτρο Borel στο C με συμπαγή φορέα suppµ. Δηλαδή το μέτρο µ είναι ορισμένο στη σ-άλεβρα Borel B, µ(c) < και ο φορέας του µ, δηλαδή το σύνολο των z C για τα οποία ισχύει ότι µ(u) > για κάθε U ανοιχτή περιοχή του z, είναι συμπαγής. Η συνάρτηση p µ : C [, ) που ορίζεται ως p µ (z) = log z w dµ(w), z C ονομάζεται δυναμικό του µ. Το δυναμικό p µ C\suppµ. είναι υφαρμονική συνάρτηση στο C και αρμονική στο Ορισμός.3.2 Εστω μ ένα πεπερασμένο μέτρο Borel στο C με συμπαγή φορέα. Η ενέργεια του µ συμβολίζεται με I(µ) και ορίζεται ως I(µ) = p µ (z)dµ(z) = log z w dµ(z)dµ(w). Ορισμός.3.3. Ενα υποσύνολο E του C ονομάζεται πολικό αν I(µ) = για κάθε πεπερασμένο μέτρο Borel µ του οποίου ο φορέας suppµ είναι συμπαγές υποσύνολο του E. Αν το υποσύνολο E του C δεν είναι πολικό, τότε ονομάζεται μη πολικό. 2. Λέμε ότι μία ιδιότητα ισχύει σχεδόν παντού (σ.π.) σ ένα υποσύνολο S του C αν ισχύει στο S\E για κάποιο Borel πολικό σύνολο E. Παραδείγματος χάριν, τα μονοσύνολα, τα υποσύνολα πολικών συνόλων, η αριθμήσιμη ένωση Borel πολικών συνόλων καθώς και κάθε αριθμήσιμο υποσύνολο του C είναι πολικά σύνολα. Ουσιαστικά, ο ρόλος των πολικών συνόλων στη θεωρία δυναμικού είναι ανάλογος με τον ρόλο των συνόλων μηδενικού μέτρου στη θεωρία μέτρου. Στο σημείο αυτό αναφέρουμε τη Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου βάσει της οποίας θα προκύψουν πολλά από τα συμπεράσματα των επόμενων κεφαλαίων. Θεώρημα.3.4 (Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου) Εστω ότι D είναι ένας τόπος στο C και u είναι μία υφαρμονική συνάρτηση στο D η οποία είναι φραγμένη από πάνω.. Αν το D είναι πολικό, τότε η u είναι σταθερή στο D. 2. Αν το D είναι μη πολικό και lim z ζ sup u(z) σ.π. στο D, τότε u στο D.

.4. Λ ΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛ ΗΜΑΤΟΣ DIRICHLET 7.4 Λύση του προβλήματος Dirichlet Δεδομένου ενός τόπου D στο C και μιας συνεχούς συνάρτησης ϕ : D R, το πρόβλημα Dirichlet είναι να βρούμε μία αρμονική συνάρτηση u στο D τέτοια ώστε lim z ζ u(z) = ϕ(ζ) ζ D. Αν υπάρχει λύση, τότε είναι μοναδική. Οπως γνωρίζουμε, στην περίπτωση του δίσκου D = D(w, r) η λύση του προβλήματος Dirichlet είναι το ολοκλήρωμα Poisson το οποίο ορίζεται ως P D ϕ(z) = 2π 2π = 2π 2π ( z w P, e )ϕ(w iθ + re iθ )dθ r r 2 z w 2 z w re iθ 2 ϕ(w + reiθ )dθ για z D(w, r). Στην πιο γενική περίπτωση, απάντηση στο πρόβλημα Dirichlet δίνει η μέθοδος του Perron μέσω της λεγόμενης συνάρτησης του Perron [9, κεφ. 4]. Ορισμός.4. Εστω D τόπος, γνήσιο υποσύνολο του C = C { } και ϕ : D R μία φραγμένη συνάρτηση. Η συνάρτηση H D ϕ : D R που ορίζεται ως H D ϕ = sup u, u U όπου U είναι η οικογένεια όλων των υφαρμονικών συναρτήσεων u στο D για τις οποίες lim z ζ sup u(z) ϕ(ζ) ζ D, ονομάζεται συνάρτηση του Perron. Αποδεικνύεται ότι η H D ϕ είναι φραγμένη και αρμονική στο D και ικανοποιεί την εξής ιδιότητα: Θεώρημα.4.2 Αν D C είναι ένας τόπος και ϕ : D R μία φραγμένη συνάρτηση, τότε H D ϕ H D ( ϕ) στο D. Ωστόσο η ισότητα lim H D ϕ(z) = ϕ(ζ) δεν ισχύει πάντα για κάθε ζ D. z ζ Πράγματι, αν παραδείγματος χάριν θεωρήσουμε τον τόπο D = D\ {} και τη συνάρτηση {, ζ = ϕ(ζ) =, ζ =,

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET τότε για μία τυχαία συνάρτηση u U, βάσει του Ορισμού.4., προκύπτει ότι lim sup u(z) z ζ σ.π. στο D. Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα.3.4 (2), u στο D. Επειδή όμως η επιλογή της u U ήταν τυχαία, από τον Ορισμό.4. έχουμε ότι H D ϕ. Τέλος παρατηρούμε ότι U κι επομένως H D ϕ στο D. Άρα lim H Dϕ(z) = ϕ() =. z Για να ξεπεράσουμε λοιπόν το πρόβλημα που δημιουργούν ορισμένα συνοριακά σημεία ενός τόπου, εισάγουμε την έννοια της φραγής και του κανονικού τόπου. Ορισμός.4.3 Εστω D C τόπος και ζ D. Φραγή στο ζ ονομάζεται μια υφαρμονική συνάρτηση b που ορίζεται στο D N, όπου N είναι μια ανοιχτή περιοχή του ζ, τέτοια ώστε b < στο D N και lim b(z) =. Ενα z ζ σημείο του συνόρου στο οποίο υπάρχει φραγή, ονομάζεται κανονικό. Αν δεν είναι κανονικό το χαρακτηρίζουμε ως μη κανονικό. Τέλος, αν κάθε σημείο του συνόρου D είναι κανονικό, τότε ο τόπος D ονομάζεται κανονικός τόπος για το πρόβλημα Dirichlet ή απλούστερα, κανονικός. Ο χαρακτηρισμός ενός κανονικού τόπου D ως κανονικός για το πρόβλημα Dirichlet οφείλεται στο εξής γεγονός: Αν D είναι ένας κανονικός τόπος τότε για κάθε συνεχή συνάρτηση ϕ : D R το πρόβλημα Dirichlet έχει λύση στο D. Ενα από τα κυριότερα κριτήρια κανονικότητας για απλά συνεκτικούς τόπους είναι το εξής: Θεώρημα.4.4 Αν D είναι ένας απλά συνεκτικός τόπος έτσι ώστε C \D να περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία, τότε D είναι κανονικός τόπος. Με τον ορισμό λοιπόν των κανονικών σημείων, επιτυγχάνουμε την ζητούμενη ισότητα, βάσει του επόμενου θεωρήματος. Θεώρημα.4.5 Εστω D C τόπος και ζ ένα κανονικό σημείο του D. Αν ϕ : D R είναι μία φραγμένη συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής στο ζ, τότε lim z ζ H D ϕ(z) = ϕ(ζ ). Ετσι, με βάση τα παραπάνω, καταλήγουμε στη λύση μιας πιο γενικής μορφής του προβλήματος Dirichlet.

.5. Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝ Η 9 Θεώρημα.4.6 Εστω D ένας κανονικός τόπος και ϕ : D R μία συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχει μοναδική αρμονική συνάρτηση u στο D τέτοια ώστε lim z ζ u(z) = ϕ(ζ) ζ D. Η συνάρτηση αυτή είναι η H D ϕ. Σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα, υπάρχει σχέση εγκλεισμού μεταξύ του συνόλου των κανονικών τόπων και του συνόλου των τόπων με μη πολικό σύνορο και συγκεκριμένα, το σύνολο των κανονικών τόπων περιέχεται στο σύνολο των τόπων με μη πολικό σύνορο. Θεώρημα.4.7 Αν D είναι κανονικός τόπος στο C, τότε ο D είναι τόπος στο C με μη πολικό σύνορο. Στο σημείο αυτό προκύπτει το εξής ερώτημα: Υπάρχει λύση του προβλήματος Dirichlet στην περίπτωση που ο τόπος D δεν είναι κανονικός ή η συνάρτηση ϕ : D R δεν είναι συνεχής; Εν μέρει, την απάντηση στο παραπάνω ερώτημα δίνει το ακόλουθο: Θεώρημα.4.8 (Λύση του Γενικευμένου Προβλήματος Dirichlet) Εστω D τόπος στο C με D μη πολικό και ϕ : D R μία φραγμένη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σ.π. στο D. Τότε υπάρχει μοναδική φραγμένη αρμονική συνάρτηση u στο D τέτοια ώστε lim u(z) = ϕ(ζ) σ.π. στο z ζ D..5 Η Γενικευμένη Λαπλασιανή Στο σημείο αυτό θα ορίσουμε τη Γενικευμένη Λαπλασιανή μιας υφαρμονικής συνάρτησης και θα αποδείξουμε ορισμένες από τις ιδιότητές της που θα χρειαστούν στα επόμενα κεφάλαια. Ορισμός.5. Ενα Borel μέτρο µ σε ένα τοπολογικό χώρο X ονομάζεται μέτρο Radon αν µ(k) < για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του X. Ορισμός.5.2 Εστω D τόπος στο C και u υφαρμονική συνάρτηση στο D με u. Η Γενικευμένη Λαπλασιανή της u ορίζεται ως το μέτρο Radon u στο D τέτοιο ώστε ϕ u = u ϕda D για κάθε ϕ C c (D), όπου C c (D) είναι ο χώρος των C συναρτήσεων ϕ : D R με συμπαγή φορέα στο D. D

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET Σημειώνουμε ότι η υπόθεση u οφείλεται στο γεγονός ότι αν u τότε η u είναι τοπικά ολοκληρώσιμη κι έτσι το ολοκλήρωμα D u ϕda υπάρχει. Στη συνέχεια, το ερώτημα που ανακύπτει αφορά την ύπαρξη της u και η απάντηση δίνεται στο ακόλουθο θεώρημα που αποδεικνύεται αναλυτικά στο [9, κεφ. 3]. Θεώρημα.5.3 Αν D τόπος στο C και u υφαρμονική συνάρτηση στο D με u, τότε η Λαπλασιανή u υπάρχει και είναι μοναδική στο D. Για την καλύτερη κατανόηση του Ορισμού.5.2, ακολουθούν υπολογισμοί της Γενικευμένης Λαπλασιανής γνωστών συναρτήσεων. Θεώρημα.5.4 Αν µ είναι ένα πεπερασμένο μέτρο Borel στο C με συμπαγή φορέα, τότε p µ = 2πdµ. Εστω ϕ Cc (C). Βάσει του Ορισμού.3. και του Θεωρήματος Fubini, καθώς ϕ είναι φραγμένη με συμπαγή φορέα και log z είναι τοπικά ολοκληρώσιμη ως προς το μέτρο Lebesgue στο C, προκύπτει ότι ( ) p µ ϕda = log z w dµ(w) ϕ(z)da(z) C C C ( ) (.) = log z w ϕ(z)da(z) dµ(w). C C Αν τώρα w C, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Green, έχουμε ότι C log z w ϕ(z)da(z) = lim ε z w >ε log z w ϕ(z)da(z) 2π ( = lim ϕ(w + re it ) r log r ϕ )) ε r r=ε (w + reit dt = 2πϕ(w). Επομένως, συνδυάζοντας την παραπάνω ισότητα με τη σχέση (.), καταλήγουμε ότι p µ ϕda = 2πϕ(w)dµ(w) ϕ p µ = 2πϕdµ C C C C

.5. Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝ Η για κάθε ϕ C c (C) κι έτσι p µ = 2πdµ. Θεώρημα.5.5 Εστω f ολόμορφη συνάρτηση στον τόπο D με f. Τότε το μέτρο (log f ) αποτελείται από (2π) μάζες στις ρίζες της f, μετρούμενης της πολλαπλότητας. Εστω U ανοιχτό υποσύνολο του D με συμπαγές περίβλημα. Επειδή η f είναι ολόμορφη συνάρτηση στο U, μπορεί να γραφτεί ως f(z) = (z w )...(z w n )g(z), όπου w,..., w n είναι οι ρίζες της f στο U μετρούμενης της πολλαπλότητας και g είναι μια ολόμορφη συνάρτηση που δεν μηδενίζεται στο U. Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό.3., προκύπτει ότι log f(z) = = n log z w i + log g(z) i= U log z w dµ(w) + log g(z) = p µ (z) + h(z), όπου h είναι αρμονική στο U, άρα h = στο U. Τελικά, βάσει του Θεωρήματος.5.4, συμπεραίνουμε ότι (log f ) = p µ = 2πdµ στο U. Επειδή όμως αυτό ισχύει για κάθε τέτοιο σύνολο U, καταλήγουμε ότι το μέτρο (log f ) αποτελείται από (2π) μάζες στις ρίζες της f, μετρούμενης της πολλαπλότητας. Λήμμα.5.6 Εστω a C. Ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:. 2π log ae iθ dθ =, για a και 2. 2π log ae iθ dθ = 2π log a, για a >.. Εστω a. Αντικαθιστώντας με a = a e iϕ, όπου ϕ = arg a και

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET θ = t ϕ, λόγω περιοδικότητας προκύπτει ότι 2π 2π log ae iθ dθ = log a e i(θ+ϕ) dθ = = 2π+ϕ ϕ 2π log a e it dt log a e it dt. Επομένως, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι a >. Με βάση το γεγονός ότι η σχέση log ( z) = z n n για z <, ικανοποιείται στο D\{} και η σειρά στο δεξί μέλος της ισότητας είναι ομοιόμορφα συγκλίνουσα σε κάθε τομέα του δίσκου D του οποίου το σύνορο δεν περιέχει το (βλ. [, κεφ. 3]), έχουμε ότι n= (.2) log ae iθ = Re log ( ae iθ) a n e niθ = Re n για < θ < 2π. Αν ε >, η σειρά που εμφανίζεται στο δεξί μέλος της ισότητας είναι ομοιόμορφα συγκλίνουσα σε κάθε διάστημα [ε, 2π ε] της μεταβλητής θ. Ολοκληρώνοντας τη σχέση (.2) ως προς θ, προκύπτει ότι Επειδή όμως 2π ε ε log ae iθ dθ = Re = Re = Re n= n= n= a n n n= 2π ε ε e niθ dθ a n eni(2π ε) e niε in 2 ia n e niε e niε n 2. ian e niε e niε e niε n 2 + e niε n 2 2 n 2, λόγω Κριτηρίου Σύγκρισης, η σειρά n= ia n e niε e niε n 2 είναι ομοιόμορφα συγκλίνουσα στο [, 2π]. Τέλος, παίρνοντας όρια καθώς ε, συμπεραίνουμε

.5. Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝ Η 3 ότι δηλαδή για a. 2π ε lim ε ε log ae iθ dθ = lim 2π 2. Εστω a >. Παρατηρούμε ότι 2π ε Re n= log ae iθ dθ =, ia n e niε e niε n 2 2π log ae iθ dθ = log a a aeiθ dθ 2π 2π = log a dθ + log a eiθ dθ 2π ( ) = 2π log a + log a eiθ e iθ dθ 2π = 2π log a + log a e iθ dθ. Λόγω της αλλαγής μεταβλητής θ = ϕ και περιοδικότητας προκύπτει ότι 2π κι επειδή α > καταλήγουμε ότι 2π log a e iθ dθ = α 2π log a eiϕ dϕ, <, με χρήση του προηγούμενου συμπεράσματος 2π log ae iθ dθ = 2π log a log a eiϕ dϕ = 2π log a. Άρα για a >, 2π log ae iθ dθ = 2π log a. Με τη βοήθεια του παραπάνω λήμματος, αποδεικνύεται το εξής θεώρημα: Θεώρημα.5.7 Η Γενικευμένη Λαπλασιανή ( log + z ) είναι το μέτρο Lebesgue στο μοναδιαίο κύκλο C(, ).

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET Εστω z C και r >. Αν r z, τότε σύμφωνα με το Λήμμα.5.6 (), προκύπτει ότι 2π 2π log re it z dt = 2π 2π 2π = 2π = log z. ( log z r z eit) dt log z dt + 2π log r 2π z eit dt Αν όμως r > z, τότε βάσει του Λήμματος.5.6 (2), έχουμε ότι 2π 2π log re it z dt = 2π Επομένως συνολικά ισχύει ότι 2π 2π κι έτσι για z C και r =, (.3) 2π = 2π 2π 2π = log z + log r z = log r. ( log z r z eit) dt log z dt + 2π log r 2π z eit dt log re it z { log z, r z dt = log r, r > z 2π log e it z dt = log + z. Αν m είναι το μέτρο Lebesgue στο μοναδιαίο κύκλο C(, ), τότε έχουμε ότι 2π log z w dm(w) = log e it z dt. C Επομένως, με χρήση του Ορισμού.3. και της σχέσης (.3), συμπεραίνουμε ότι 2π p m (z) = log z w dm(w) = log e it z dt = 2πlog + z. C Ετσι σύμφωνα με το Θεώρημα.5.4, 2π ( log + z ) = p m (z) = 2πdm(z).

.5. Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΛΑΠΛΑΣΙΑΝ Η 5 Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ( log + z ) = dm(z), δηλαδή η Γενικευμένη Λαπλασιανή ( log + z ) είναι το μέτρο Lebesgue στο μοναδιαίο κύκλο C(, ). Παρατηρούμε ότι στην απόδειξη του Θεωρήματος.5.5 η υφαρμονική συνάρτηση log f μπορεί να εκφραστεί τοπικά ως το άθροισμα ενός δυναμικού και μιας αρμονικής συνάρτησης. Ουσιαστικά, το γεγονός αυτό αποτελεί μία ειδική περίπτωση ενός ισχυρότερου Θεωρήματος του Riesz, για την απόδειξη του οποίου θα χρειαστούμε το παρακάτω λήμμα. Λήμμα.5.8 Εστω ότι u, v είναι υφαρμονικές συναρτήσεις στον τόπο D του C με u, v. Αν u = v, τότε η u μπορεί να γραφτεί ως u = v + h όπου h είναι μία αρμονική συνάρτηση στο D. Θεωρούμε τις συναρτήσεις {χ r } r> όπως στο Θεώρημα.2.7 και για r > το σύνολο D r = {z D : dist (z, D) > r}. Σύμφωνα με το Θεώρημα.2.7 προκύπτει ότι u χ r C (D r ) και βάσει του ορισμού της συνέλιξης και του Θεωρήματος Green, έχουμε (u χ r ) (z) = u (w) χ r (z w)da (w) = χ r (z w) u (w) da (w) = ϕ u, όπου ϕ (w) = χ r (z w) Cc (D). Ανάλογα προκύπτει ότι (v χ r ) (z) = ϕ v κι επειδή, λόγω υπόθεσης, u = v συμπεραίνουμε ότι (u χ r ) = (v χ r ) στο D r. Επομένως υπάρχει αρμονική συνάρτηση h r στο D r τέτοια ώστε u χ r = v χ r + h r (u v) χ r = h r στο D r. Επειτα, εφαρμόζοντας το Θεώρημα.2.7 στις αρμονικές συναρτήσεις ±h r, έχουμε ότι για κάθε s >, h r χ s = h r στο D r+s κι έτσι h r = h r χ s = (u v) χ r χ s = (u v) χ s χ r = h s χ r = h s

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ DIRICHLET στο D r+s. Άρα υπάρχει μοναδική αρμονική συνάρτηση h στο D τέτοια ώστε για κάθε r >, u χ r = v χ r + h στο D r. Τέλος, παίρνοντας όρια καθώς r, με χρήση του Θεωρήματος.2.7, προκύπτει ότι lim (u χ r) = lim (v χ r ) + h u = v + h r r στο D. Θεώρημα.5.9 Εστω u υφαρμονική συνάρτηση στον τόπο D του C με u. Αν U ανοιχτό υποσύνολο του D με συμπαγές περίβλημα, τότε η u μπορεί να εκφραστεί στο U ως άθροισμα της μορφής όπου dµ = 2π u U u = p µ + h, και h αρμονική συνάρτηση στο U. Εστω dµ = 2π u U. Σύμφωνα με το Θεώρημα.5.4, έχουμε ότι p µ = 2πdµ = u p µ = u στο U. Εφαρμόζοντας λοιπόν το Λήμμα.5.8 συμπεραίνουμε ότι u = p µ + h, όπου h είναι μία αρμονική συνάρτηση στο U.

Κεφάλαιο 2 Αρμονικό μέτρο Οπως, έχουμε ήδη αναφέρει στην Παράγραφο.4, η λύση του προβλήματος Dirichlet είναι μοναδική. Επομένως στην περίπτωση του δίσκου D = D(w, r), αν θεωρήσουμε συνεχή συνάρτηση ϕ : D R, τότε η συνάρτηση του Perron και το ολοκλήρωμα Poisson της ϕ ταυτίζονται, δηλαδή H D ϕ = P D ϕ στο D. Θα θέλαμε όμως να επεκτείνουμε αυτό το αποτέλεσμα σε πιο γενικούς τόπους. Κι ενώ η συνάρτηση του Perron ορίζεται, δεν έχουμε ανάλογο ορισμό για το ολοκλήρωμα Poisson. Η λύση σε αυτό το ζήτημα δίνεται μέσω του ορισμού μίας σημαντικής σύμμορφα αναλλοίωτης συνάρτησης, του αρμονικού μέτρου. 2. Ορισμός και ιδιότητες Ορισμός 2.. Εστω D C τόπος και B( D) η σ-άλγεβρα των υποσυνόλων Borel του D. Η συνάρτηση ω D : D B( D) [, ] για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:. Για κάθε z D, η απεικόνιση B ω D (z, B) είναι μέτρο πιθανότητας Borel στο D, δηλαδή ω D (z, D) =. 2. Αν ϕ : D R είναι μία συνεχής συνάρτηση, τότε H D ϕ = P D ϕ στο D, όπου P D ϕ είναι το γενικευμένο ολοκλήρωμα Poisson της ϕ στον τόπο D και δίνεται από τη σχέση P D ϕ(z) = ϕ(ζ)dω D (z, ζ), z D, D 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ ονομάζεται αρμονικό μέτρο. Συχνά αντί για ω D (z, B) χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό ω(z, B, D) χωρίς καμία διαφορά στο νόημα. Μία πιθανοθεωρητική ερμηνεία του αρμονικού μέτρου είναι ότι για σταθερά z D και B B( D), το ω D (z, B) μας δίνει την πιθανότητα, κάνοντας μία τυχαία κίνηση με αφετηρία το σημείο z να βγούμε από τον τόπο D μέσω του B (βλ. [8]). Θεώρημα 2..2 Αν D είναι τόπος στο C με D μη πολικό, τότε υπάρχει μοναδικό αρμονικό μέτρο ω D στο D. Εστω C( D) ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων ϕ : D R. Αν ϕ, ϕ 2 C( D) και α, α 2 C τότε η συνάρτηση α H D ϕ + α 2 H D ϕ 2 είναι λύση του Γενικευμένου Προβλήματος Dirichlet με συνοριακές τιμές α ϕ + α 2 ϕ 2. Επομένως, λόγω μοναδικότητας της λύσης, προκύπτει ότι H D (α ϕ + α 2 ϕ 2 ) = α H D ϕ + α 2 H D ϕ 2 στο D, δηλαδή η απεικόνιση C( D) ϕ H D ϕ είναι γραμμική. Αν ϕ στο D τότε u = U, επειδή η συνάρτηση u = είναι υφαρμονική και lim sup u(z) = ϕ(ζ) ζ D. Άρα H Dϕ = sup u στο D. Αν ϕ = z ζ u U στο D, τότε lim sup u(z) lim sup(u(z) ) z ζ z ζ ζ D και u U. Άρα, σύμφωνα με τη Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου, προκύπτει ότι u u στο D για κάθε u U κι έτσι H D ϕ = sup u στο D. Επειδή όμως u = U, συμπεραίνουμε ότι H D ϕ =. u U Επομένως έχουμε συνολικά ότι ϕ H D ϕ ϕ = H D ϕ =. Ετσι z D η απεικόνιση ϕ H D ϕ(z) είναι ένα θετικό γραμμικό συναρτησιακό στο C( D) που στέλνει τη σταθερή συνάρτηση στο. Βάσει, λοιπόν, του Θεωρήματος Αναπαράστασης του Riesz [9, σελ. 2], υπάρχει μοναδικό μέτρο πιθανότητας Borel µ z στο D τέτοιο ώστε H D ϕ(z) = ϕdµ z, ϕ C( D). D

2.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 9 Θέτοντας µ z (B) = ω D (z, B) όπου z D, B B( D) παρατηρούμε ότι οι υποθέσεις () και (2) του ορισμού ικανοποιούνται κι έτσι αποδεικνύεται η ύπαρξη μοναδικού αρμονικού μέτρου ω D στο D. Αξίζει να σημειωθεί ότι παρά το γεγονός ότι στον ορισμό του αρμονικού μέτρου θεωρήσαμε συνεχή συνάρτηση ϕ, η σχέση H D ϕ = P D ϕ ισχύει και για την ευρύτερη κλάση των φραγμένων Borel συναρτήσεων ϕ, βάσει του παρακάτω θεωρήματος. Θεώρημα 2..3 Αν D είναι τόπος στο C με D μη πολικό, τότε H D ϕ = P D ϕ στο D για κάθε φραγμένη Borel συνάρτηση ϕ : D R. Αρχικά υποθέτουμε ότι η ϕ είναι φραγμένη και άνω ημι-συνεχής συνάρτηση στο D. Σύμφωνα με το Θεώρημα..2, υπάρχει φθίνουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ϕ n : D R τέτοια ώστε lim ϕ n = ϕ. Τότε P D ϕ n = H D ϕ n, n άρα P D ϕ n είναι αρμονική στο D. Επειδή ϕ ϕ 2... ϕ ϕ ϕ 2... ϕ ϕ ϕ 2... ϕ ϕ η ακολουθία {ϕ ϕ n } n είναι μία αύξουσα ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων με lim (ϕ ϕ n ) = ϕ ϕ. Άρα, εφαρμόζοντας το Θεώρημα n Μονότονης Σύγκλισης, προκύπτει ότι lim P D(ϕ ϕ n )(z) = lim (ϕ ϕ n )(ζ)dω D (z, ζ) n n D = (ϕ ϕ)(ζ)dω D (z, ζ) Επομένως D = P D (ϕ ϕ)(z). P D ϕ (z) lim n P Dϕ n (z) = P D ϕ (z) P D ϕ(z) lim n P Dϕ n (z) = P D ϕ(z) z D. Ετσι lim P Dϕ n = P D ϕ με P D ϕ n P D ϕ, n N και σύμφωνα n με το Θεώρημα Harnack η P D ϕ είναι αρμονική στο D. Εστω w D και ε >. Με χρήση του ορισμού του H D ϕ n και του supremum, για κάθε n N μπορούμε να θεωρήσουμε υφαρμονική συνάρτηση u n στο D τέτοια ώστε και lim sup u n(z) ϕ n (ζ), ζ D z ζ u n (w) > H D ϕ n (w) ε 2 n.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ Επίσης, ορίζουμε την συνάρτηση u στο D ως u = P D ϕ + n (u n H D ϕ n ). Επειδή η P D ϕ είναι αρμονική και η (u n H D ϕ n ) είναι αρνητική υφαρμονική συνάρτηση n N, η u είναι υφαρμονική στο D. Ακόμη, αν ζ D τότε n N, lim sup u(z) = lim z ζ z ζ sup P D ϕ + (u n H D ϕ n ) (z) n lim sup(p D ϕ + u n H D ϕ n )(z) z ζ lim sup(p D ϕ n + u n H D ϕ n )(z) z ζ = lim sup u n (z) z ζ ϕ n (ζ). Επομένως παίρνοντας όρια για n στην παραπάνω ανισότητα καταλήγουμε στη σχέση lim sup u(z) ϕ(ζ). z ζ Ετσι H D ϕ u στο D και H D ϕ(w) u(w) = P D ϕ(w) + n (u n H D ϕ n )(w) P D ϕ(w) n = P D ϕ(w) ε. ( ε 2 n = P Dϕ(w) ε 2 ) Επειδή όμως η επιλογή των w και ε ήταν τυχαία, καταλήγουμε ότι H D ϕ P D ϕ στο D. Τώρα υποθέτουμε ότι η ϕ είναι φραγμένη και κάτω ημι-συνεχής συνάρτηση στο D. Επειδή η ϕ είναι άνω ημι-συνεχής, εφαρμόζοντας την παραπάνω διαδικασία, έχουμε ότι H D ( ϕ) P D ( ϕ) στο D. Σύμφωνα με το Θεώρημα.4.2, H D ϕ H D ( ϕ) P D ( ϕ) = P D ϕ H D ϕ P D ϕ

2.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 2 στο D. Άρα H D ϕ = P D ϕ στο D. Τέλος υποθέτουμε ότι η ϕ είναι τυχαία φραγμένη Borel συνάρτηση στο D. Εστω w D και ε >. Επειδή το ω D (w, ) είναι κανονικό, Borel μέτρο, εφαρμόζοντας το Θεώρημα Vitali-Caratheodory [9, σελ. 2] υπάρχει μία άνω ημι-συνεχής συνάρτηση ψ u και μία κάτω ημισυνεχής συνάρτηση ψ l τέτοιες ώστε ψ u ϕ ψ l και (ψ l ψ u )(ζ)dω D (w, ζ) < ε. D Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση ψ u με την max {ψ u, ϕ } και την ψ l με τη συνάρτηση max {ψ l, ϕ }, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι ψ u, ψ l είναι φραγμένες στο D. Επομένως με βάση τα παραπάνω, στο D κι έτσι και H D ψ u P D ψ u, H D ψ l P D ψ l H D ϕ(w) H D ψ l (w) P D ψ l (w) P D ψ u (w) + ε P D ϕ(w) + ε H D ϕ(w) H D ψ u (w) P D ψ u (w) P D ψ l (w) ε P D ϕ(w) ε. Επειδή η επιλογή των w και ε ήταν τυχαία, προκύπτει ότι H D ϕ = P D ϕ στο D. Με βάση το παραπάνω θεώρημα παρατηρούμε ότι αν θεωρήσουμε τη φραγμένη συνάρτηση {, ζ B ϕ(ζ) = B (ζ) =, ζ / B, τότε P D B (z) = B dω D (z, ζ) = ω D (z, B) ω D (z, B) = P D B (z), z D. Θεώρημα 2..4 Αν D είναι τόπος στο C με D μη πολικό και B Borel υποσύνολο του D, τότε. Η συνάρτηση z ω D (z, B) είναι αρμονική και φραγμένη στο D. 2. Αν ζ είναι κανονικό σημείο του D που δεν ανήκει στο B στη σχετική τοπολογία του D, τότε {, ζ B lim ω D(z, B) = B (ζ) = z ζ, ζ / B.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ Επιπλέον, αν B είναι πολικό, τότε η συνάρτηση ω D (, B) είναι μοναδική.. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2..3 και τον ορισμό του γενικευμένου ολοκληρώματος Poisson της φραγμένης συνάρτησης B έχουμε ότι H D B (z) = P D B (z) = B dω D (z, ζ) = ω D (z, B). Άρα ω D (z, B) = H D B (z), z D. Ετσι προκύπτει ότι η συνάρτηση z ω D (z, B) είναι αρμονική στο D και φραγμένη. 2. Αν το ζ ικανοποιεί τις υποθέσεις, τότε η συνάρτηση B είναι συνεχής στο ζ και σύμφωνα με το Θεώρημα.4.5, lim ω D(z, B) = lim H D B (z) = B (ζ). z ζ z ζ Η μοναδικότητα της ω D (, B) προκύπτει από το γεγονός ότι η λύση του Γενικευμένου Προβλήματος Dirichlet είναι μοναδική. Σχετικά με το Θεώρημα 2..4 (2), παρατηρούμε ότι στη γενική περίπτωση που το ζ D δεν ικανοποιεί απαραίτητα τις παραπάνω υποθέσεις, η ισότητα ισχύει σ.π στο D. lim ω D(z, B) = B (ζ) z ζ Το ακόλουθο βασικό θεώρημα αποδεικνύει ότι το αρμονικό μέτρο είναι σύμμορφα αναλλοίωτη συνάρτηση. Θεώρημα 2..5 Εστω D και D 2 τόποι στο C με μη πολικά σύνορα και B, B 2 Borel υποσύνολα των D και D 2 αντίστοιχα. Αν η f : D B D 2 B 2 είναι μία συνεχής συνάρτηση, μερόμορφη στο D και f(d ) D 2, f(b ) B 2, τότε ω D2 (f(z), B 2 ) ω D (z, B ), z D. Η ισότητα ισχύει όταν η f είναι ομοιομορφιρμός του D B επί του D 2 B 2.

2.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 23 Θεωρούμε τις συναρτήσεις ϕ = B στο D και ϕ 2 = B2 στο D 2. Αν η u είναι υφαρμονική συνάρτηση στο D 2 τέτοια ώστε lim z ζ sup u(z) ϕ 2(ζ), ζ D 2 τότε η συνάρτηση u f είναι υφαρμονική στο D και lim sup u(f(z)) ϕ 2(f(ζ)) = ϕ 2 f(ζ) z ζ {, f(ζ) B2 = B2 (f(ζ)) =, f(ζ) / B 2 {, ζ B, ζ / B = B (ζ) = ϕ (ζ), όπου η τελευταία ανισότητα οφείλεται στην υπόθεση f(b ) B 2. Άρα έχουμε τελικά ότι lim z ζ sup u(f(z)) ϕ (ζ), ζ D κι έτσι u f H D ϕ στο D. Επειδή όμως αυτό ισχύει για κάθε τέτοια u, αληθεύει και για την H D2 ϕ 2, δηλαδή (H D2 ϕ 2 ) f H D ϕ στο D. Με χρήση της παραπάνω ανισότητας και του Θεωρήματος 2..3 προκύπτει ότι Άρα (P D2 B2 ) f = (P D2 ( ϕ 2 )) f = ( P D2 ϕ 2 ) f = (P D2 ϕ 2 ) f = (H D2 ϕ 2 ) f H D ϕ = P D ϕ = P D ( ϕ ) = P D B. (P D2 B2 ) f P D B στο D κι επειδή P Di Bi = ω Di (z, B i ), i =, 2 καταλήγουμε ότι ω D2 (f(z), B 2 ) ω D (z, B ), z D. Εστω ότι η f είναι ομοιομορφιρμός του D B επί του D 2 B 2. Με όμοιο τρόπο, αν θεωρήσουμε u υφαρμονική συνάρτηση στο D τέτοια ώστε lim z ζ sup u(z) ϕ (ζ), ζ D

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ τότε η συνάρτηση u f είναι υφαρμονική στο D 2 και lim sup u(f (z)) ϕ 2 (ζ), ζ D 2. z ζ Επομένως u f H D2 ϕ 2 στο D 2. Επειδή όμως αυτό ισχύει για κάθε τέτοια u, αληθεύει και για την H D ϕ, δηλαδή (H D ϕ ) f H D2 ϕ 2 στο D 2. Με ανάλογους υπολογισμούς προκύπτει ότι στο D 2, δηλαδή (P D B ) f P D2 B2 ω D (f (z), B ) ω D2 (z, B 2 ), z D 2. Επειδή όμως η f είναι ομοιομορφισμός, θέτοντας στην παραπάνω ανισότητα z = f(w), w D, έχουμε ότι ω D (w, B ) ω D2 (f(w), B 2 ), w D. Τέλος κάνοντας αλλαγή μεταβλητής προκύπτει και η αντίστροφη ανισότητα ω D (z, B ) ω D2 (f(z), B 2 ), z D με αποτέλεσμα να ισχύει η ισότητα. Πόρισμα 2..6 Εστω D και D 2 τόποι στο C με μη πολικά σύνορα, τέτοιοι ώστε D D 2. Αν B Borel υποσύνολο του D D 2 τότε ω D (z, B) ω D2 (z, B), z D. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 2..5 στην ταυτοτική απεικόνιση f : D B D 2 B 2 με f(z) = z προκύπτει άμεσα ότι ω D (z, B) ω D2 (z, B), z D. Θεώρημα 2..7 Αν H = {z C : Imz > } και B είναι ένα Borel υποσύνολο του R, τότε ω H (z, B) = y π (x t) 2 dt, z = x + iy H. + y2 B

2.2. Η ΜΑΡΚΟΒΙΑΝ Η ΙΔΙ ΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟ Υ Μ ΕΤΡΟΥ 25 Θεωρούμε τη σύμμορφη απεικόνιση f : H D με f(z) = z i z+i. Επειδή το αρμονικό μέτρο είναι σύμμορφα αναλλοίωτο προκύπτει ότι ω H (z, B) = ω D (f(z), f(b)) = P D f(b) (f(z)) = f(z) 2 2π ζ f(z) 2 dζ. Θέτοντας ζ = f(t), f(z) 2 2π ζ f(z) 2 dζ = 2π f(b) διότι f(z) 2 = z i z + i 2 = B f(b) f(z) 2 f(t) f(z) 2 f (t) dt = Imz π B z t 2 dt, (z + i)( z i) (z i)( z + i) 2 z + i 2 = 4Imz z + i 2, και f(t) f(z) 2 = Άρα συνολικά έχουμε ότι = = t i t + i z i 2 z + i (t i)(z + i) (z i)(t + i) (t + i)(z + i) 4 z t 2 t + i 2 z + i 2 ( ) f (t) = t i = t + i t + i t + i (t + i) 2 = 2 t + i 2. ω H (z, B) = π για z = x + iy H. B Imz z t 2 dt = y π B (x t) 2 + y dt 2 2 2.2 Η Μαρκοβιανή ιδιότητα του αρμονικού μέτρου Η Μαρκοβιανή ιδιότητα του αρμονικού μέτρου, που δηλώνεται στο ακόλουθο θεώρημα, σχετίζεται άμεσα με την πιθανοθεωρητική ερμηνεία του. Μια απόδειξή της με χρήση της κίνησης Brown υπάρχει στο βιβλίο [8]. Εδώ θα δώσουμε μια απόδειξη βασισμένη στις κλασικές αναλυτικές μεθόδους (βλ. και [3]).

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ Θεώρημα 2.2. Υποθέτουμε ότι D και D 2 είναι δύο τόποι στο C με D και D 2 μη πολικά και D D 2. Αν F είναι κλειστό σύνολο με F D D 2 και σ = D \ D 2 τότε για z D ισχύει η σχέση ω(z, F, D 2 ) = ω(z, F, D ) + ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ), όπου ω(z, ds, D ) = dµ D z (s) και με µ D z συμβολίζουμε το μέτρο ω(z,, D ) για σταθερό z D. Επειδή D 2 είναι τόπος στο C με D 2 μη πολικό και το F είναι Borel υποσύνολο του D 2, σύμφωνα με το Θεώρημα 2..4 () η συνάρτηση z ω(z, F, D 2 ) είναι αρμονική και φραγμένη στο D 2 και κατ επέκταση στο D, εφόσον D D 2. Ανάλογα, η συνάρτηση z ω(z, F, D ) είναι αρμονική και φραγμένη στο D. Επιπλέον, αν θεωρήσουμε τη φραγμένη Borel συνάρτηση f : D R με { ω(s, F, D2 ), s σ f(s) =, s D \σ παρατηρούμε ότι, βάσει του Θεωρήματος 2..3 και του Ορισμού 2.. (2), για z D, H D f(z) = P D f(z) = f(s)dω D (z, s) D = f(s)dµ D z (s) D = ω(s, F, D 2 )dµ D z (s) σ = ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ). Επομένως για κάθε z D, ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = H D f(z) σ κι έτσι η συνάρτηση σ ω(s, F, D 2)ω(, ds, D ) είναι φραγμένη και αρμονική στο D. Άρα μέχρι στιγμής αποδείξαμε ότι τα δύο μέλη της αποδεικτέας σχέσης είναι φραγμένες, αρμονικές συναρτήσεις στο D. Στη συνέχεια, θεωρούμε z D. Αν z D \σ τότε σύμφωνα με την παρατήρηση στο Θεώρημα 2..4 (2) προκύπτει ότι lim z z ω(z, F, D ) = lim z z ω(z, F, D 2 ) = F (z ) σ σ

2.2. Η ΜΑΡΚΟΒΙΑΝ Η ΙΔΙ ΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟ Υ Μ ΕΤΡΟΥ 27 σ.π στο D \σ. Επειδή z D \σ, συμπεραίνουμε επίσης ότι (2.) lim ω(z, σ, D ) = σ (z ) = z z σ.π στο D \σ. Αλλά, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ω, έχουμε ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = ω(s, F, D 2 )dµ D z (s) σ σ ω(s, F, D 2 ) dµ D z (s) σ dµ D z (s) = µ D z (σ) σ = ω(z, σ, D ). Παίρνοντας όρια στην παραπάνω ανισότητα καθώς z z, σύμφωνα με τη σχέση (2.) και το Κριτήριο Παρεμβολής, καταλήγουμε ότι σ.π στο D \σ. Άρα συνολικά lim ω(z, F, D 2 ) = lim z z z z lim ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = z z σ ( ω(z, F, D ) + σ ) ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = F (z ) σ.π στο D \σ. Αν τώρα z σ, λόγω συνέχειας της ω(, F, D 2 ) στο D 2 κι επειδή σ D 2 προκύπτει ότι lim ω(z, F, D 2 ) = ω(z, F, D 2 ). z z Επίσης, z σ = D \ D 2 z / F, άρα σύμφωνα με την παρατήρηση στο Θεώρημα 2..4 (2) lim z z ω(z, F, D ) = F (z ) = σ.π στο σ. Τέλος, βάσει του Θεωρήματος.4.5, lim ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = lim H D f (z) = f (z ) = ω (z, F, D 2 ). z z σ z z Άρα έχουμε συνολικά ότι lim ω(z, F, D 2 ) = lim z z z z = ω(z, F, D 2 ) ( ) ω(z, F, D ) + ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) σ

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ σ.π στο σ. Εφόσον το σύνολο των μη κανονικών συνοριακών σημείων έχει μηδενική χωρητικότητα, από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει ότι ( ) lim ω(z, F, D 2 ) = lim ω(z, F, D ) + ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) z z z z σ.π στο D. Επομένως η συνάρτηση ω(z, F, D 2 ) ω(z, F, D ) είναι φραγμένη και αρμονική στο D και ( ω(z, F, D 2 ) ω(z, F, D ) lim z z σ σ σ ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) ) ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ) = σ.π στο D. Λόγω μοναδικότητας της λύσης του γενικευμένου προβλήματος Dirichlet, προκύπτει η ζητούμενη σχέση ω(z, F, D 2 ) = ω(z, F, D ) + ω(s, F, D 2 )ω(z, ds, D ). 2.3 Παραδείγματα υπολογισμού αρμονικού μέτρου σε συνήθεις τόπους Το γεγονός ότι το αρμονικό μέτρο είναι σύμμορφα αναλλοίωτο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν το υπολογίσουμε στο μοναδιαίο δίσκο D μπορούμε να το υπολογίσουμε και σε κάθε άλλο τόπο, σύμμορφα ισοδύναμο με αυτόν. Παράδειγμα 2.3. Αν το Β είναι ένα τόξο του D τότε ω D (, B) = B 2π. Εστω ότι B: γ(θ) = e iθ, θ [a, b] [, 2π] τότε εξ ορισμού B = b a γ (θ) dθ = b a σ dθ =b a B = b a. Σύμφωνα με την παρατήρηση στο Θεώρημα 2..3 και τον ορισμό του ολοκληρώματος Poisson προκύπτει ότι ω D (, B) = P D B () = 2π P (, e iθ ) B (e iθ )dθ = b 2π 2π a e iθ 2 dθ = b a 2π.

2.3. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Υ ΑΡΜΟΝΙΚΟ Υ Μ ΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝ ΗΘΕΙΣ Τ ΟΠΟΥΣ29 Επομένως ω D (, B) = B 2π. Παράδειγμα 2.3.2 Αν το Β είναι ένα τόξο του D τότε z D, όπου f(ζ) = ζ z zζ. ω D (z, B) = f(b) 2π, Εστω z D. Παρατηρούμε ότι ο ομογραφικός μετασχηματισμός f(ζ) = ζ z zζ είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του D που απεικονίζει το τόξο B στο τόξο f(b) του D και f(z) =. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3., ω D (z, B) = ω D (f(z), f(b)) = ω D (, f(b)) = f(b) 2π. Παράδειγμα 2.3.3 Αν D = {z C : Imz > } και B = [a, b] τότε ω D (z, B) = ( ) z b π arg. z a ος τρόπος: Εστω z D. Θεωρούμε τη σύνθεση f = f 2 f των ομογραφικών μετασχηματισμών f (ζ) = ζ+i ζ+i και f 2 (ζ) = ζ f (z), δηλαδή f (z)ζ f(ζ) = f 2 f (ζ) = = = ζ+i ζ+i z i z i z+i z+i ζ+i ζ+i = ( ζ+i)(z+i)+(ζ+i)(z i) (ζ+i)(z+i) ( z i)(ζ+i)+( z+i)( ζ+i) ( z i)(ζ+i) ( z i)( ζz ζi + iz + ζz + iz ζi + ) (z + i)( zζ + i z iζ + + i z zζ iζ ) ( z i)(z ζ) (z + i)( z ζ). Η f είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του D, που απεικονίζει το B = [a, b] στο τόξο B του D και f(z) =. Επειδή όμως B = (f(a), f(b)), σύμφωνα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3.2, έχουμε ότι ω D (z, B) = ω f(d) (f(z), f(b)) = ω D (, B ) Επομένως = B 2π = 2π = arg f(b) arg f(a) 2π = f(b) arg 2π f(a) ( z i)(z b)(z + i)( z a) arg (z + i)( z b)( z i)(z a) ( = ( ) ) ( 2π arg z b z a = arg z b ( ) ) z b z a z b 2π z a arg z a = ( ( ) ( )) z b z b arg + arg = ( ) z b 2π z a z a π arg. z a ω D (z, B) = ( ) z b π arg. z a 2ος τρόπος: Σύμφωνα με το Θεώρημα 2..7, για z = x + iy D, ω D (z, B) = π b a y y 2 + (x t) 2 dt = b πy a + ( x t y = ( ) x t b π arctan y a = ( ( ) ( )) x a x b arctan arctan π y y ) 2 dt = (arg (y + i (x a)) arg (y + i (x b))) π = ( ) y + i (x a) π arg = ( ) x a iy y + i (x b) π arg x b iy = ( ) z a π arg = ( ) z a z b π arg z b = ( ) z b π arg. z a Παράδειγμα 2.3.4 Αν D = {z C : Imz > } και B = (, a] τότε ω D (z, B) = arg(z a). π

2.3. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Υ ΑΡΜΟΝΙΚΟ Υ Μ ΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝ ΗΘΕΙΣ Τ ΟΠΟΥΣ3 ος τρόπος: Αν f(ζ) = ( z i)(z ζ) ( z i)(z a) (z+i)( z a) (z+i)( z ζ) και f( ) = z i z+i. Άρα ω D (z, B) = f(a) arg 2π f( ) = 2π arg z a z a όπως στο Παράδειγμα 2.3.3, τότε f(a) = = (arg(z a) arg( z a)) = (arg(z a) + arg(z a)) 2π 2π = arg(z a). π 2ος τρόπος: Σύμφωνα με το Θεώρημα 2..7, για z = x + iy D, ω D (z, B) = π a y y 2 + (x t) 2 dt = πy a + ( x t y ) 2 dt = ( ) x t a π arctan y = ( ( ) ( )) x t x a lim π arctan arctan t y y = ( π ) π 2 arg (y + i (x a)) = ( ) π arg i = π ( ) y + i (x a) arg x a iy = ( ) π arg = ( ) z a π arg z a = arg (z a). π Παράδειγμα 2.3.5 Αν D = { z < : Imz > } και B = { z = : Imz > } τότε ω D (z, B) = 2 ( ) + z π arg. z Θεωρούμε τη σύνθεση f = f 3 f 2 f των απεικονίσεων f (ζ) = iζ, f 2 (ζ) = ζ i ζ+i και f 3(ζ) = ζ 2, δηλαδή f(ζ) = f 3 f 2 f (ζ) = ( iζ i ) 2 = iζ + i ( ) + ζ 2. ζ

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ Η f είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του H = {z C : Imz > } που απεικονίζει το άνω ημικύκλιο B στο (, ). Πράγματι, θ (, π), ( ) + e f(e iθ iθ 2 ) 2 (e iθ/2 + e iθ/2 ( ) cos(θ/2) 2 ) = e iθ = e iθ/2 e iθ/2 = i sin(θ/2) = cot 2 (θ/2) <. Σύμφωνα όμως με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3.4, προκύπτει ότι Άρα ω D (z, B) = ω f(d) (f(z), f(b)) = ω H (f(z), (, )) = π arg f(z) = ( + z π arg z = 2 ( ) + z π arg. z ω D (z, B) = 2 ( ) + z π arg. z Παράδειγμα 2.3.6 Αν D = {z C : a < arg z < b} και B = {z C : arg z = b} τότε ω D (z, B) = arg z a b a. Θεωρούμε τη σύνθεση f = f 2 f των συναρτήσεων f (ζ) = ζe ai και f 2 (ζ) = ζ π b a, η οποία δίνεται από τον τύπο f(ζ) = ζ π b a e aπ b a i και είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του H = {z C : Imz > } που απεικονίζει την ημιευθεία B στο (, ). Πράγματι, για r (, ), f(re bi ) = r π b a e bπ b a i e aπ b a i = r π b a e πi = r π b a (, ). Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3.4, έχουμε ότι ω D (z, B) = ω f(d) (f(z), f(b)) = ω H (f(z), (, )) = π arg f(z) = ( π arg z π b a e aπ b a = π (arg z π b a + arg e aπ b a i) = π = arg z a b a. ) 2 ( π b a arg z aπ ) b a

2.3. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Υ ΑΡΜΟΝΙΚΟ Υ Μ ΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝ ΗΘΕΙΣ Τ ΟΠΟΥΣ33 Παράδειγμα 2.3.7 Αν D = {z C : a < Rez < b} και B = {z C : Rez = b} τότε ω D (z, B) = Rez a b a. Θεωρούμε τη σύνθεση f = f 3 f 2 f των συναρτήσεων f (ζ) = ζ α, f 2 (ζ) = iζ και f 3 (ζ) = e πζ 2(b a) η οποία δίνεται από τον τύπο f(ζ) = e π(ζ a) 2(b a) i και είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του H = {z C : < arg z < π 2 } που απεικονίζει την ευθεία B στην ημιευθεία B = {Rez = : Imz > }. Πράγματι, y R, f(b + iy) = e π(b a+iy) i π 2(b a) = e 2 i e πy 2(b a) = ie πy 2(b a) ir +. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3.6 για a = και b = π 2, έχουμε ότι ω D (z, B) = ω f(d) (f(z), f(b)) = ω H (f(z), B ) = 2 arg f(z) π = 2 π(z a) arg e 2(b a) i = 2 ( ) π π arg e π(rez a) i 2(b a) e πimz 2(b a) = 2 ( ) arg e π(rez a) i 2(b a) + arg e πimz 2(b a) = 2 π(rez a) i arg e 2(b a) π π = Rez a b a. Παράδειγμα 2.3.8 Αν D = {z C : r < z < s} και B = {z C : z = s}, τότε log ( z /r) ω D (z, B) = log (s/r). Θεωρούμε τη σύνθεση f = f 2 f των συναρτήσεων f (ζ) = ζ/r και f 2 (ζ) = Logζ, η οποία δίνεται από τον τύπο f(ζ) = Log(ζ/r)

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΡΜΟΝΙΚ Ο Μ ΕΤΡΟ και είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του L = {z C : < Rez < log (s/r)} που απεικονίζει τον κύκλο B στην ευθεία B = {z C : Rez = log (s/r)}. Πράγματι, θ [, 2π], ( ) se f(se iθ iθ ) = Log = log sr ( ) se iθ r + iarg = log s r r + iθ. Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα 2..5 και το Παράδειγμα 2.3.7 για a = και b = log s r, προκύπτει ότι ω D (z, B) = ω f(d) (f(z), f(b)) = ω L (f(z), B ) = Ref(z) ReLog (z/r) = log (s/r) log (s/r) log ( z /r) = log (s/r).

Κεφάλαιο 3 Η συνάρτηση του Green Το αρμονικό μέτρο σχετίζεται με μία άλλη σημαντική σύμμορφα αναλλοίωτη συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση του Green. 3. Ορισμός και ιδιότητες Ορισμός 3.. Εστω D C τόπος. Η συνάρτηση του Green στο D είναι η απεικόνιση g D : D D (, ] η οποία w D, ικανοποιεί τις παρακάτω υποθέσεις:. Η g D (, w) είναι αρμονική στο D\{w} και φραγμένη έξω από κάθε περιοχή του w. 2. g D (w, w) = και καθώς z w, { log z + O(), w = g D (z, w) = log z w + O(), w, όπου το O() σημαίνει ότι οι συναρτήσεις g D (z, w) log z, g D (z, w) + log z w είναι φραγμένες για w = και w αντίστοιχα. 3. Καθώς z ζ, g D (z, w) σχεδόν παντού (σ.π.) στο D. Στον μοναδιαίο δίσκο D, για παράδειγμα, η συνάρτηση του Green δίνεται από τον τύπο g D (z, w) = log z w z w. Οπως στο αρμονικό μέτρο έτσι και για τη συνάρτηση του Green αποδεικνύεται το εξής θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας (βλ. [9, σελ. 6]): 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN Θεώρημα 3..2 Αν D είναι τόπος στο C με D μη πολικό, τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση του Green g D στο D. Ακολουθούν ορισμένες βασικές ιδιότητες της συνάρτησης του Green. Θεώρημα 3..3 Αν D είναι τόπος στο C με D μη πολικό, τότε για κάθε z, w D, g D (z, w) >. Σταθεροποιώντας ένα w D, ορίζουμε z D τη συνάρτηση u(z) = g D (z, w) η οποία, βάσει του Ορισμού 3.., είναι αρμονική στο D\{w} και φραγμένη έξω από κάθε περιοχή του w. Άρα είναι υφαρμονική και φραγμένη από πάνω στο D και lim sup u(z) = σ.π. στο D. Ετσι, σύμφωνα με τη Γενικευμένη Αρχή z ζ Μεγίστου, προκύπτει ότι u στο D. Αν όμως z D τέτοιο ώστε u(z) =, τότε σύμφωνα με την Αρχή Μεγίστου u στο D, το οποίο είναι άτοπο καθώς u(w) = g D (w, w) =. Άρα u < στο D, δηλαδή g D (z, w) > z D. Τέλος, επειδή η επιλογή του w ήταν τυχαία, συμπεραίνουμε ότι z, w D, g D (z, w) >. Το επόμενο θεώρημα αποδεικνύει ότι η συνάρτηση του Green είναι σύμμορφα αναλλοίωτη. Θεώρημα 3..4 Ας είναι D και D 2 τόποι στο C με μη πολικά σύνορα και f : D D 2 μία μερόμορφη συνάρτηση. Τότε g D2 (f(z), f(w)) g D (z, w), z, w D. Η ισότητα ισχύει όταν η f είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του D 2. Στην περίπτωση που z = w έχουμε ότι g D2 (f(w), f(w)) = g D (w, w) =. Άρα ισχύει η ισότητα στην αποδεικτέα σχέση. Υποθέτουμε ότι w και f(w) και ορίζουμε τη συνάρτηση u(z) = g D (z, w) g D2 (f(z), f(w)), z D \{w}

3.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 37 η οποία, βάσει του Ορισμού 3.., είναι υφαρμονική στο D \{w}, φραγμένη από πάνω έξω από κάθε περιοχή του w και καθώς z w, u(z) = g D (z, w) g D2 (f(z), f(w)) = log z w + log f(z) f(w) + O() = log f(z) f(w) z w + O() = log f (w) + O(). Άρα η u είναι φραγμένη από πάνω στο D \{w}. 3..3, g D2 (f(z), f(w)) >. Επομένως Σύμφωνα με το Θεώρημα lim sup u(z) z ζ = lim D (z, w) g D2 (f(z), f(w))) z ζ lim sup g D (z, w) = z ζ σ.π. στο D και εφαρμόζοντας τη Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου, καταλήγουμε ότι u στο D \{w}, δηλαδή g D2 (f(z), f(w)) g D (z, w). Αν w = και f(w), παρατηρούμε ότι καθώς z w, g D (z, ) = log z + O() = log z + O() = g D ( ) z, όπου D = g(d ) και g(z) = z. Εφαρμόζοντας, λοιπόν, το προηγούμενο συμπέρασμα στη μερόμορφη συνάρτηση h : D D 2, προκύπτει ότι ( ) g D (z, ) = g D z, = g g(d )(g(z), g( )) όπου f = h g : D D 2. Άρα g h(g(d ))(h(g(z)), h(g( ))) = g f(d )(f(z), f( )) = g D2 (f(z), f( )), g D2 (f(z), f( )) g D (z, ).

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN Τέλος αν f(w) = τότε, όπως προηγουμένως, ( ) g D2 (f(z), f( )) = g D2 f(z), όπου l = g f : D D 2. Άρα Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει ότι = g g(d2 ) (g(f(z)), g(f( ))) = g D2 (l(z), l(w)) g D (z, w), g D2 (f(z), f( )) g D (z, w). g D2 (f(z), f(w)) g D (z, w), z, w D. Αν, επιπλέον, η f είναι σύμμορφη απεικόνιση του D επί του D 2, τότε εφαρμόζοντας την παραπάνω ανισότητα στη συνάρτηση f : D 2 D, προκύπτει ότι g D ( f (z ), f (w ) ) g D2 ( z, w ), z, w D 2, όπου θέτοντας z = f(z) και w = f(w) καταλήγουμε στην αντίστροφη ανισότητα g D (z, w) g D2 (f(z), f(w)), z, w D κι επομένως ισχύει η ισότητα. Πόρισμα 3..5 Αν D και D 2 είναι τόποι στο C με μη πολικά σύνορα και D D 2, τότε g D (z, w) g D2 (z, w), z, w D. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3..4 στην ταυτοτική απεικόνιση f : D D 2, όπου f(z) = z, προκύπτει άμεσα η ζητούμενη ανισότητα g D (z, w) g D2 (z, w), z, w D. Θεώρημα 3..6 Εστω D τόπος στο C με D μη πολικό και {D n } n μία αύξουσα ακολουθία τόπων στο D τέτοια ώστε D n = D. Τότε n lim g D n n (z, w) = g D (z, w), z, w D.

3.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 39 Σταθεροποιούμε ένα w D. Τότε w D n για κάποιο n και αλλάζοντας την αρίθμηση στην ακολουθία {D n } n, μπορούμε να υποθέσουμε ότι n =. Για n ορίζουμε τη συνάρτηση h n (z) = g D (z, w) g Dn (z, w), z D n \{w} η οποία είναι αρμονική στο D n \{w} και φραγμένη κοντά στο w. Επομένως σύμφωνα με το Πόρισμα [9, σελ. 68], η h n επεκτείνεται σε αρμονική συνάρτηση στο D n. Επιπλέον, επειδή n, D n D n+, βάσει του Πορίσματος 3..5, g Dn (z, w) g Dn+ (z, w) h n (z) h n+ (z), z D n. Ετσι, σύμφωνα με το Θεώρημα.2.5, η συνάρτηση u = lim n h n είναι υφαρμονική στο D. Με χρήση του Θεωρήματος 3..3, n, g Dn (z, w) > h n (z) = g D (z, w) g Dn (z, w) < g D (z, w), z D n. Άρα h n g D (, w) στο D n. Παίρνοντας όρια για n, προκύπτει ότι u g D (, w) στο D. Επομένως, η u είναι φραγμένη από πάνω στο D και lim sup u(z) lim sup g D(z, w) = lim g D (z, w) = z ζ z ζ z ζ σ.π. στο D. Ετσι, εφαρμόζοντας τη Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου, καταλήγουμε ότι u στο D και δηλαδή u(z) lim n h n(z) lim n inf (g D(z, w) g Dn (z, w)), lim inf g D n n (z, w) g D (z, w), z D. Επειδή όμως n, D n D σύμφωνα με το Πόρισμα 3..5, g Dn (z, w) g D (z, w) lim n sup g D n (z, w) g D (z, w), z D. Τέλος, συνδυάζοντας τις τελευταίες ανισότητες, συμπεραίνουμε ότι άρα g D (z, w) lim n inf g D n (z, w) lim n sup g D n (z, w) g D (z, w), lim n inf g D n (z, w) = lim n sup g D n (z, w) = lim n g D n (z, w) = g D (z, w)

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN στο D κι επειδή η επιλογή του w ήταν τυχαία, προκύπτει ότι lim g D n n (z, w) = g D (z, w), z, w D. Στην περίπτωση που ο τόπος είναι φραγμένος, υπάρχει τύπος υπολογισμού της συνάρτησης του Green στον οποίο περιέχεται και το αρμονικό μέτρο. Θεώρημα 3..7 Αν D είναι φραγμένος τόπος στο C, τότε g D (z, w) = log ζ w dω D (z, ζ) log z w, z, w D. D Θεωρώντας w D παρατηρούμε ότι w επειδή εξ υποθέσεως το D είναι φραγμένος τόπος και ορίζουμε τη συνάρτηση ϕ w : D R με ϕ w (ζ) = log ζ w, ζ D. Επειδή η P D ϕ w είναι αρμονική και φραγμένη στο D και lim z ζ P D ϕ w (z) = ϕ w (ζ) σ.π. στο D, η συνάρτηση (z, w) P D ϕ w (z) log z w ικανοποιεί και τις τρεις υποθέσεις του Ορισμού 3.., καθώς είναι αρμονική στο D\{w} και φραγμένη έξω από κάθε περιοχή του w, P D ϕ w (w) log w w =, κι επειδή η συνάρτηση P D ϕ w είναι φραγμένη στο D, καθώς z w, και τέλος P D ϕ w (z) log z w = log z w + O() lim (P Dϕ w (z) log z w ) = ϕ w (ζ) ϕ w (ζ) = z ζ σ.π. στο D. Λόγω όμως μοναδικότητας της συνάρτησης του Green και της τυχαίας επιλογής του w, προκύπτει ότι για z, w D, g D (z, w) = P D ϕ w (z) log z w = log ζ w dω D (z, ζ) log z w. D

3.. ΟΡΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣ 4 Θεώρημα 3..8 Εστω D τόπος στο C με D μη πολικό, τότε g D (z, w) = g D (w, z), z, w D, δηλαδή η συνάρτηση του Green είναι συμμετρική. Εφαρμόζοντας μία σύμμορφη απεικόνιση, μπορούμε να υποθέσουμε ότι D C κι έτσι υπάρχει αύξουσα ακολουθία φραγμένων τόπων {D n } n στο D τέτοια ώστε D n = D. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 3..6, αρκεί να n δείξουμε ότι η g Dn είναι συμμετρική, δηλαδή να δείξουμε το ζητούμενο στην περίπτωση που D είναι φραγμένος τόπος στο C. Αν D είναι ένας τέτοιος τόπος και w D, τότε ορίζουμε τη συνάρτηση u στο D\{w} ως u(z) = g D (z, w) g D (w, z) και βάσει του Θεωρήματος 3..7 u(z) = g D (z, w) + log z w D log ζ z dω D (w, ζ). Με χρήση του Θεωρήματος.2.6, προκύπτει ότι η u είναι υφαρμονική και φραγμένη από πάνω στο D\{w}. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι u(z) = g D (z, w) g D (w, z) < g D (z, w) lim z ζ sup u(z) lim z ζ g D (z, w) = σ.π. στο D κι έτσι σύμφωνα με τη Γενικευμένη Αρχή Μεγίστου έχουμε ότι u στο D\{w}, δηλαδή Επειδή η επιλογή του w ήταν τυχαία, g D (z, w) g D (w, z), z D. g D (z, w) g D (w, z), z, w D. Εναλλάσοντας τους ρόλους των z, w στην παραπάνω διαδικασία καταλήγουμε στην αντίστροφη ανισότητα κι επομένως στο ζητούμενο αποτέλεσμα g D (z, w) = g D (w, z), z, w D. Κλείνοντας αυτή την παράγραφο αξίζει να επισημάνουμε ότι στον Ορισμό 3.. (3) το γενονός ότι lim z ζ g D (z, w) = σ.π. στο D, είναι ανεξάρτητο του w και αποδεικνύεται αναλυτικά με το ακόλουθο θεώρημα.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ GREEN Θεώρημα 3..9 Εστω D τόπος στο C με D μη πολικό, w D και ζ D. Τότε lim z ζ g D(z, w) = αν και μόνο αν το ζ είναι κανονικό σημείο του D. Αν lim g D (z, w) = τότε παρατηρούμε ότι η συνάρτηση g D (, w) είναι υφαρμονική στο D βάσει του Ορισμού 3.. (), αρνητική στο D σύμφωνα με z ζ το Θεώρημα 3..3 και lim( z ζ g D (z, w)) = εξ υποθέσεως. Επομένως για κάθε N ανοιχτή περιοχή του ζ, η συνάρτηση g D (, w) είναι υφαρμονική στο D N, g D (, w) < στο D N και τέλος lim( g D (z, w)) =. Άρα, σύμφωνα με z ζ τον Ορισμό.4.3, η συνάρτηση g D (, w) είναι φραγή στο ζ κι έτσι το ζ είναι κανονικό σημείο του D. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι το ζ είναι κανονικό σημείο του D. Αν N είναι μία συμπαγής περιοχή του w στο D, τότε ορίζουμε την φραγμένη συνάρτηση ϕ : (D\N) R ως ϕ(ζ ) = {, ζ D g D (ζ, w), ζ N. Σύμφωνα με τον Ορισμό 3.. () και (3), η συνάρτηση g D (, w) είναι αρμονική και φραγμένη στο D\N και lim g D (z, w) = σ.π. στο (D\N). Επομένως, z ζ βάσει του Θεωρήματος.4.8, η συνάρτηση g D (, w) είναι λύση του Γενικευμένου Προβλήματος Dirichlet και λόγω μοναδικότητας g D (z, w) = H D\N ϕ(z), z D\N. Τέλος, επειδή το ζ είναι κανονικό σημείο του D άρα και του (D\N) και η ϕ είναι φραγμένη στο (D\N) και συνεχής στο ζ, σύμφωνα με το Θεώρημα.4.5 προκύπτει ότι lim H z ζ D\Nϕ(z) = ϕ(ζ) = καθώς ζ D. Άρα lim g D(z, w) = lim H z ζ z ζ D\N ϕ(z) =.