Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Γενικά Τι είναι ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου Παραδείγματα εφαρμογών Συστημάτων Ελέγχου Τι είναι ανατροφοδότηση (Feedback) και ποιες είναι οι επιπτώσεις της. Μαθηματικό υπόβαθρο για την μελέτη των Συστημάτων Ελέγχου

Τι είναι ένα Σύστημα Ελέγχου (Ορισμός) Σύστημα αυτομάτου ελέγχου ονομάζεται ένα σύνολο (τεχνητό ή φυσικό) στοιχείων και εξαρτημάτων κατάλληλα συνδεδεμένα μεταξύ τους που μπορεί να ελέγχει μια διεργασία ή ορισμένα μεταβλητά μεγέθη όπως: θέση (x, y, z) ταχύτητα πίεση ηλεκτρική τάση θερμοκρασία κ.λ.π.

Βασική Δομή Συστήματος Ελέγχου Κλειστού Βρόγχου Διαταραχή Είσοδος Iput y R E Μετατροπέας y ± Ελεγκτής Επενεργούν στοιχείο Σύστημα C Έξοδος Output Στοιχείο Ανάδρασης

* Είσοδος (iput) - Μια διέγερση που εφαρμόζεται στο σύστημα από εξωτερική πηγή. * Μετατροπέας (traducer) - Μετατρέπει μια μορφή ενέργειας σε μια άλλη π.χ. μηχανική σε ηλεκτρική.

* Ελεγκτής (Cotroller) - Παράγει μια έξοδο που οδηγεί την ελεγχόμενη διεργασία με σκοπό τον μηδενισμό του σφάλματος και γενικά την βελτιστοποίηση των χαρακτηριστικών του συστήματος.

* Επενεργούν στοιχείο (Actuator) -Το Επενεργούν Στοιχείο είναι η συσκευή που αποδίδει την απαιτούμενη ενέργεια στην διεργασία (π.χ. η συσκευή που αναγκάζει την διεργασία να εξασφαλίσει την έξοδο).

* Σύστημα (plat) -Σύστημα τύπου follow-up: Τα συστήματα των οποίων η έξοδος θα πρέπει να μεταβάλλεται σε συνάρτηση των μεταβολών του σήματος εισόδου (π.χ. σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας χώρου). -Σύστημα τύπου regulator: Τα συστήματα των οποίων η έξοδος θα πρέπει να παραμένει σταθερή ακόμα και όταν υπάρχουν μεταβολές του σήματος εισόδου (π.χ. σταθεροποιητής τάσεως DC).

*Διαταραχή (diturbace) -Διαταραχή είναι κάθε μη επιθυμητό σήμα που επηρεάζει την έξοδο. * Ανάδραση (feedback) - Ένα σύστημα χρησιμοποιεί ανάδραση εάν η έξοδος ή μέρος της εξόδου επιστρέφει μέσω του κλάδου ανατροφοδότησης (ανάδρασης) στον αθροιστή/συγκριτή, έτσι που να μπορεί να συγκριθεί με την είσοδο. Η χρήση της ανάδρασης συνήθως επιφέρει ευστάθεια και ακρίβεια στο σύστημα. Επιθυμητή απόκριση Εξόδου Σύγκριση Ελεγκτής Διεργασία Έξοδος Μέτρηση

* Έξοδος (Output) - Το σύστημα διεγειρόμενο από την είσοδο παράγει ένα σήμα εξόδου σαν απόκριση. y(t) ζ=0 ζ=0. ζ=0.5 ζ= ζ= ζ=4

Παραδείγματα Σ.Α.Ε. Αυτόματος πιλότος αεροσκαφών Έλεγχος θέσης ανάγνωσης κεφαλής σκληρού δίσκου Σύστημα Ελέγχου Ρομποτικού βραχίονα Αυτόματο Σύστημα Ελέγχου ταχύτητας οχημάτων (cruie cotrol ytem)

Κατηγορίες Σ.Α.Ε. Επιθυμητή απόκριση Εξόδου Τα Σ.Α.Ε. μπορούμε να τα κατατάξουμε σε κατηγορίες ως εξής: Ανάλογα με τη φύση του μέσου ελέγχου * Ηλεκτρικά ηλεκτρονικά συστήματα * Πνευματικά συστήματα * Υδραυλικά συστήματα * Ηλεκτροϋδραυλικά συστήματα * Ηλεκτροπνευματικά συστήματα Ανάλογα με το αν χρησιμοποιείται ή όχι ανάδραση (ανατροφοδότηση) * Συστήματα ανοιχτού βρόγχου Επενεργούν Στοιχείο Διεργασία Έξοδος Είσοδος R G Έξοδος C G() = C() R()

* Συστήματα Ελέγχου Κλειστού Βρόγχου Επιθυμητή απόκριση Εξόδου Σύγκριση Ελεγκτής Διεργασία Έξοδος Μέτρηση Είσοδος R ± G Έξοδος C C () G () Gολ () = = R () GH () () H Ανάλογα με την τεχνική επεξεργασία των σημάτων έλέγχου * Αναλογικά * Ψηφιακά

Ανάλογα με τον τύπο των εξαρτημάτων * Γραμμικά - Ένα σύστημα θεωρείται γραμμικό όταν ακολουθεί την αρχή της επαλληλίας. Π.χ. Αν όλες οι αρχικές συνθήκες ενός συστήματος είναι μηδενικές, δηλαδή αν το σύστημα είναι σε ηρεμία, τότε το σύστημα είναι γραμμικό αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα: (α) μία είσοδος u (t) παράγει μια έξοδο y (t), και (β) μία είσοδος u (t) παράγει μια έξοδο y (t), τότε, (γ) η είσοδος c u (t) c u (t) παράγει μια έξοδο c y (t) c y (t), για οποιοδήποτε ζευγάρι εισόδων u (t) και u (t) και σταθερές c και c. Τα γραμμικά συστήματα μπορούν συχνά να παρασταθούν με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και γραμμικές εξισώσεις διαφοράς. * Μη - γραμμικά - Όλα τα υπόλοιπα είναι μη γραμμικά ( dy dt) Π.χ. Οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις y = 0 και d y dt co y = 0 είναι μη γραμμικές διότι ο όρος της πρώτης εξίσωσης είναι δευτέρου βαθμού, και ο όρος coy στην δεύτερη εξίσωση δεν είναι πρώτου βαθμού πράγμα που ισχύει για όλες τις υπερβατικές συναρτήσεις.

Ανάλογα με την εφαρμογή τους * Σερβομηχανισμοί * Αριθμητικά συστήματα ελέγχου * Ακολουθιακά συστήματα Ελέγχου *Συστήματα πολύπλοκων διεργασιών

Παραδείγματα Έλεγχος Ταχύτητας Περιστρεφόμενου Δίσκου Μπαταρία Περιστρεφόμενος δίσκος Ταχύτητα Ρύθμιση ταχύτητας Ενισχυτής συνεχούς ρεύματος (DC) (α) Κινητήρας συνεχούς ρεύματος (DC) Επιθυμητή τιμή ταχύτητας (τάση) Μονάδα Ελέγχου (Cotrol Device) Ενισχυτής (Amplifier) (β) Επενεργούν Στοιχείο (Actuator) Κινητήρας συνεχούς ρεύματος (DC) Διεργασία Proce Περιστρεφόμενος δίσκος (α) Σύστημα ελέγχου ταχύτητας περιστρεφόμενου δίσκου ανοιχτού βρόγχου (χωρίς ανάδραση) (β) Το λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος. Πραγματική τιμή ταχύτητας

Μπαταρία Περιστρεφόμενος δίσκος Ταχύτητα Ρύθμιση ταχύτητας _ Ενισχυτής συνεχούς ρεύματος (DC) Κινητήρας συνεχούς ρεύματος (DC) Σήμα (τάση) σφάλματος (α) Ταχογεννήτρια Επιθυμητή τιμή ταχύτητας (τάση) _ Μονάδα Ελέγχου (Cotrol Device) Ενισχυτής (Amplifier) Επενεργούν Στοιχείο (Actuator) Κινητήρας συνεχούς ρεύματος (DC) Διεργασία Proce Περιστρεφόμενος δίσκος Μετρούμενη ταχύτητα (τάση) Αισθητήρας Πραγματική τιμή ταχύτητας τάση Ταχογεννήτρια (β) (α) Σύστημα ελέγχου ταχύτητας περιστρεφόμενου δίσκου κλειστού βρόγχου (β) Το λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος.

Περιγραφή Συστημάτων - Ένα σύστημα ελέγχου θα πρέπει να περιγραφεί και με μια μαθηματική παράσταση που θα περιγράφει τη σχέση μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος. Τα επικρατέστερα μαθηματικά μοντέλα για την περιγραφή συστημάτων είναι:. Οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις.. Η συνάρτηση μεταφοράς. 3. Η κρουστική απόκριση. 4. Οι εξισώσεις κατάστασης.

Περιγραφή Συστημάτων - Έστω ότι ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μιας εισόδου μιας εξόδου όπως το παρακάτω με είσοδο x(t) και έξοδο y(t) περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση.( m) Είσοδος x(t) g(t) Έξοδος y(t) m m d yt () d yt () d xt () d xt () 0 = m m m m 0 a a ayt () b b bxt () dt dt dt dt

- Η Συνάρτηση μεταφοράς του Σ.Α.Ε. που περιγράφεται από την παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι το πηλίκο της μετασχηματισμένης εξόδου δια την μετασχηματισμένη είσοδο με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ισχύει Άρα m m d yt () d yt () d xt () d xt () 0 = m m m m 0 a a ayt () b b bxt () dt dt dt dt ( ) d y t = Y y y dt ( ) ( 0) ( 0) a Y() a Y() a Y( S) = b X() b X() b X() m m 0 m m 0 Μετασχηµατισµ ένη Έξοδος G () = Μ ετασχηµατισµ ένη Ε ίσοδος G () m Y() bm b b b = = X() a a a a m m 0 0 Είσοδος X() G() Έξοδος Y()

* Μηχανικό σύστημα Ανάλογα συστήματα f() t = f () t f () t f ()() t dυ t d yt fm () t = ma = m = m dt dt dy() t fd () t = D υ() t = D dt f () t = C yt () C M D C () () d yt () dyt () () f() t = m D C yt () dt dt d yt () dyt () L{ f() t } = L m D C y() t ( ) F = m Y( ) D Y( ) C Y( ) dt dt Y( ) F () = ( m D CY ) ( ) = F () m D C

* Ηλεκτρικό ανάλογο L R Vi(t) V L (t) i(t) V R (t) V C (t) C Vo(t) Vi() t = VL() t VR() t VC() t di() t t V() = () i t L R it it () dt() dt C 0 dqt () dqt () dqt () it () = () Vi () t = L R Qt ()() dt dt dt C Qt () d Vo() t dvo() t o = i = o V () t () V () t LC RC V () t C dt dt d V () () o t dvo t L{ Vi() t } = L LC RC V () () = o t Vi LC Vo ( ) RC Vo ( ) Vo ( ) dt dt V ( ) Vi () = ( LC RC ) Vo( ) = V LC RC o i ()

Μετασχηματισμός Laplace t F( ) = f () t e dt 0 [ ] L ft () = F ( ) [ ] ( ) = () L F ft

Βασικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace α/α f ( t) 3 4 5 6 7 8 9 0 ( ) ± β ( ) α f t f t ( ) df t dt ( ) d f t dt = f () t = f () t ( ) ( ) = f t = f t ( ) d f t t t 0 dt 0 0 ( ) = f t dt t ( ) f f t dt ( t) f ( t)( dt) f ( t r) u( t r) ( ) t f t f ( t) t ( ) ( ) t F f t e dt 0 = ( ) ± β ( ) α F F F ( ) f ( 0) ( ) ( 0 ) ( 0) F f f ' ( ) ( 0) ( 0) F f f ( ) ( ) ( 0) F f ( F( ) f ( 0) f ) ( 0) F( ) k f ( t)( dt) k = t= 0 e r ( ) F d d ( ) F ( ) Φ ( ) σ δσ α/α 3 4 5 6 7 8 9 f ( t ) ( ) ( ) t F f t e dt 0 = F ( ) ( ) ( ) F( ) f t f t c j ( ) ( ) ( ) ( ) f t f t e αt ( ) f t t f α π j c j F p F p dp ( α ) F α F ( α) f ( t)coω t F( jω) F( jω) f ( t) α F ( ) ( ) f t t lim t 0 lim t ( ) f t ( ) f t lim lim 0 ( ) F ( ) F α α ( )( d) F Θεώρημα αρχικής τιμής Θεώρημα τελικής τιμής

Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων α/α F ( ) = LT { f ( t)} f ( t) = ILT F ( )} 3 δ ( t) u( t) t { α/α 8 9 0 F ( ) = LT { f ( t)} f ( t) = ILT F ( )} / e α α ( e ) / t 35 π ( ) ( α ) u t { ( ) ( ) u t u t α / 4 5 6 t! ( ) ( δ ) ( t), dδ, ( t) ( = δ ) ( t) dt Θετικός αριθμός Θετικός αριθμός 3 K ± α ( α ) ( a)! ( ) Ke α t α t t e, e α α t Θετικός αριθμός 7 π t

Ιδιότητες Μιγαδικών Αριθμών α/α 3 4 5 6 7 8 r = σ ω, ω θ= σω> σ ta,, 0 ω θ = σ > και ω < σ e jθ μέτρο μιγάδα ta, 0 0 jθ e = coθ jθ jθ e e = jiθ ( σ jω ) ( σ jω ) = (( σ σ ) j( ω ω ) ( σ jω ) ( σ jω ) = (( σ σ ) j( ω ω ) re re = rre j θ j θ j( θ θ ) re re θ r e j = jθ r j( θ θ) ( co i ) = σ ω = = = θ θ jθ θ j re r r j ω θ = σ < και ω > σ o ω θ= 80 ta, σω, < 0 σ o 80 ta, 0 0

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace - Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η διαδικασία υπολογισμού της συναρτήσεως g(t) όταν γνωρίζουμε την συνάρτηση G(). * Περίπτωση Διακεκριμένων Πόλων Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) m N bm b b b G( ) = =, m< D α α α α Γράφουμε τη συνάρτηση στην παρακάτω μορφή αφού υπολογίσουμε τις ρίζες του παρονομαστή που ονομάζονται και πόλοι της συνάρτησης. N( ) ( z)( z) ( zm ) k k k G( ) = = = D( ) ( p)( p) ( p) p p p Υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών ki από τη σχέση: i lim p i ( ) ( ) k = G p Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω πίνακες η σχέση γίνεται: i m m 0 0 g t ke ke ke pt pt ( ) =... pt p, p,, p και z, z,, z m είναι είτε πραγματικοί είτε μιγαδικοί αριθμοί.

* Περίπτωση πολλαπλών πόλων m m N( ) bm bm b b - Εάν η συνάρτηση 0 G( ) = =, m< έχει πολλαπλές ρίζες (πόλους), D( ) α α α α ( ) G ( ) ( ) 0 τότε οι συντελεστές που αντιστοιχούν στην πολλαπλή ρίζα υπολογίζονται ως εξής : ( ) ( ) ( m ) r ( ) ( ) ( ) N z z z = = = D p p p k k k k k = p p p r r ( p) ( p) ( r j) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )! lim d r kij = G p r j i r j pi d όπου i εκφράζει την ρίζα (απλή ή πολλαπλή) της οποίας τον συντελεστή υπολογίζουμε. όπου j εκφράζει την θέση του συντελεστή k της πολλαπλής ρίζας με τιμές από μέχρι r. όπου r ο αριθμός που εκφράζει την πολλαπλότητα της ρίζας.

Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων α/α Ονομασία Γραφική Παράσταση Εξίσωση Μετ. Laplace Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση u(t) ( ) u t για t > 0 = 0 για t < 0 απροσδιόριστη για t = 0 ( ) U = Μοναδιαία Κρουστική Συνάρτηση δ(t) Dirac δ ( t) 0 για t 0 = για t = 0 D( ) = 3 Μοναδιαία Αναρριχητική Συνάρτηση r(t) ( ) r t t για t > 0 = 0 για t 0 ( ) = R

Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων α/α Ονομασία Γραφική Παράσταση 4 Μοναδιαία Συνάρτηση Πύλης g(t) Εξίσωση ( T ) ( ) για t 0, g( t) = 0 για t 0, T απροσδιόριστη για t = 0, t = T Μετ. Laplace ( ) U e = T 5 Εκθετική Συνάρτηση f(t) t ( ) Ke ± α f t = F( ) K = a 6 Ημιτονοειδής Συνάρτηση f(t) ( ) i f t = ωt F( ) = ω ω

Παραδείγματα. Να υπολογιστεί η χρονική απόκριση της εξόδου C(t) του εικονιζόμενου συστήματος, όταν διεγείρεται με μοναδιαία βηματική είσοδο. R() - 00 0 C() 00 0 00 K K C () = = = 00 0 0 0 00 00 K = lim = 0 ( 0) 0 00 00 C () = 00 00 0 0 0 K = lim ( 0) = 0 ( 0) 0 00 00 00 ct () = e ct () = e 0 0 0 t ( ) 0t 0

. Να υπολογιστεί η χρονική απόκριση της εξόδου C(t) με μοναδιαία βηματική είσοδο R() 8 ( ) 8 8 8 K K K3 K4 C () = = = = K K ( ) ( ) ( )( ) C() ( )! 0 d ( )( ) 0! 0 ( )( ) 8 ( ) ( )( ) d 8 d 8 8 = lim = lim = lim = = ( )! d ( )( )! d ( )( ) ( ) 4 8 8 lim = = 4 0 0 0 0 d 8 = lim 0 = 8 ( )( ) ( ) 8 8 8 K3 = lim = lim = = ( ) 3 3 8 ( )( ) ( ) 8 8 K4 = lim = lim = = ( ) 3 4 8 8 t t C () = ct () = 4t e e 3 3 3 3

Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων α/α Αρχικό Διάγραμμα Ισοδύναμο Διάγραμμα 3

Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων α/α Αρχικό Διάγραμμα Ισοδύναμο Διάγραμμα 4 5 6

Παράδειγμα. Να υπολογιστεί η Συνάρτηση Μεταφορά (Σ.Μ) του εικονιζόμενου συστήματος: G () R() - G () G 3 () G 4 () G 5 () - Y() G 6 () G 7 () G () G 4 () G A () R() - G () G B () G 3 () G 4 () G 5 () - Y() G 6 () G 7 () G () = G () G () G () G A B () 4 5 7 G () G () G () G () 3 = 3 4

R() - G () G B () G A () Y() G Γ () G 6 () G Γ () 3 G () G () GB () G () G3 () G4 () = = = G() G () 6() G3 () B G G() G6() G() G3() G4() G () G () G () G () G () G () G () G () 3 = 3 4 3 6 G () R() G Γ () G Α () Y() ( ) Y() G () G () G () G () G () G () G () R() G () G () G () G () G () G () 3 4 5 7 = Γ A = = 3 4 3 6 G() G3() G4() G5() G() G3() G7() = G () G () G () G () G () G () 3 4 3 6

Βασικά χαρακτηριστικά συστημάτων ελέγχου Ευστάθεια Ακρίβεια Ταχύτητα Απόκρισης Ευαισθησία

Ευστάθεια Ένα σύστημα είναι ευσταθές, αν για φραγμένη είσοδο η έξοδος είναι φραγμένη. Η έξοδος ενός ευσταθούς συστήματος βρίσκεται μέσα σε επιτρεπτά όρια, ενώ η έξοδος ενός ασταθούς συστήματος αυξάνει θεωρητικά προς το άπειρο.

Ακρίβεια Η απόκλιση μεταξύ επιθυμητής και της πραγματικής τιμής να είναι μηδενική.

Ταχύτητα Απόκρισης Ένα σύστημα θα πρέπει να ανταποκρίνεται με ικανοποιητική ταχύτητα στις μεταβολές του σήματος εισόδου και να οδηγεί την έξοδο σε μια σταθερή τελική τιμή σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Ευαισθησία Η ευαισθησία είναι η μέτρηση του πόσο εύκολα μεταβάλλεται η έξοδος ενός συστήματος σε μεταβολές των παραμέτρων του ίδιου του συστήματος όπως και σε πιθανές εξωτερικές διαταραχές. Y() G () T() =, T() =. R () GH () () S T G T G = G T ; T G () GH () () GH () () = =. G G GH () () GH () () [ ] S T G G () = GH G GH [ () ()] ()/( () ()) T S G =. GH () ()

S T H T = H H T ; T G () G () G () = = H H GH () () GH () () [ ]. S T H G() H() G() H() = =. GH () () G ()/( GH () ()) GH () ()

Τύποι συστημάτων και σταθερές σφαλμάτων Το παρακάτω σύστημα ελέγχου κλειστού βρόγχου έχει συνάρτηση μεταφοράς: C () G () Gολ () = = R () GH () () R () - E() G() C() Z() H() Η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόγχου είναι: GH () () = m i= k r j= z p i j όπου r ο αριθμός των μηδενικών ριζών του πολυωνύμου του παρονομαστή της συνάρτησης. *Ένα σύστημα ονομάζεται τύπου r αν έχει r πόλους στο σημείο =0.

Ο ορισμός του σφάλματος δίνεται από τη σχέση: R () E () = GH () () Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ορίζεται από τη σχέση: e = e = lim e( t) = lim E( ) µον t 0 Ορίζουμε: Σταθερά σφάλματος θέσης την τιμή: K P = lim GH () () 0 Σταθερά σφάλματος ταχύτητας την τιμή: K v = lim G() H () 0 Σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης την τιμή: K a = lim GH () () 0

Γραφική αναπαράσταση μονίμου σφάλματος συστήματος ελέγχου για συγκεκριμένες συναρτήσεις εισόδου και τύπους συστημάτων

Οι τιμές των σφαλμάτων για τις περιπτώσεις της κύριας διαγωνίου της παραπάνω γραφικής απεικόνισης που δίνεται σε μορφή πίνακα 3Χ3 είναι οι εξής: P P P P e = eµον = e t = E = = = GH GH K. Είσοδος R () = και σύστημα τύπου 0 lim ( ) lim ( ) lim t 0 0 () () lim () () 0 V. Είσοδος R () = και σύστημα τύπου V V V e = eµον = e t = E = = = GH GH K lim ( ) lim ( ) lim t 0 0 () () lim( () ()) 0 v p A 3. Είσοδος R () = 3 και σύστημα τύπου A e = e = e t = E = = A = µον 3 lim ( ) lim ( ) lim t 0 0 () () lim( GH GH () ()) 0 A K a

Παράδειγμα. Να υπολογιστούν: α) Η σταθερά σφάλματος θέσεως και το σφάλμα θέσης. β) Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας και το σφάλμα ταχύτητας. γ) Η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης και το σφάλμα επιτάχυνσης. R() - E ( 4) ( ) C() 47

4 K p = lim G( ) = lim = e lim ( ) lim ( ) 0 0 = e t = E = t 0 lim = 0 GH () () lim( 0 ( ) P P P lim = = = = 0 0 GH () () lim GH () () K 0 4 Kν = lim G( ) = lim = e lim ( ) lim ( ) 0 0 = e t = E = t 0 0 V ( ) V V = = = 0 G() H ()) K 4 Ka = lim G( ) = lim = e lim ( ) lim ( ) 0 0 = e t = E = t 0 ( ) A lim 3 = A = A = = 0, 5 GH () () lim( GH () ()) Ka 0 v p 48

Χρονική απόκριση συστημάτων ης & ης τάξης όπου: * Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Με τον όρο χρονική απόκριση ενός συστήματος, εννοούμε τη συμπεριφορά του συστήματος συναρτήσει του χρόνο όταν διεγείρεται από μία συγκεκριμένη είσοδο. Η χρονική απόκριση ενός συστήματος ελέγχου αποτελείται από δύο μέρη: Τη μεταβατική απόκριση (traiet repoe) και Την απόκριση μόνιμης κατάστασης (teady tate repoe). Αν c(t) ονομάσουμε την απόκριση του συστήματος (έξοδος) τότε έχουμε: c(t) = c t (t) c (t) c t (t) = απόκριση μεταβατικής κατάστασης. c (t) = απόκριση μόνιμης κατάστασης.

* Συστήματα πρώτης τάξης Ας θεωρήσουμε το δομικό διάγραμμα του συστήματος ης τάξης του παρακάτω σχήματος R () / Τ C() - Η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι της μορφής: C () Gολ () = = R() T όπου Τ είναι η σταθερά χρόνου του συστήματος.

*Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας βαθμίδας Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t) = u(t) θα είναι: t T Ct () = L { C ()} = L = e T Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η καμπύλη της απόκρισης C(t), για σταθερές χρόνου T < Τ < T3.

Η έξοδος ανεβαίνει εκθετικά από την τιμή 0 προς την τελική τιμή. Η αρχική κλίση της καμπύλης στον χρόνο t=0 δίνεται από: dc() t = e = t T t = 0 dt t= 0 T T και η τιμή της εξόδου για t =Τ CT ( ) = e = 0,63 όπου η Τ είναι η σταθερά χρόνου του συστήματος ή ταχύτητα απόκρισης.

Χρόνος ανόδου t r Εάν t είναι ο χρόνος στον οποίο η έξοδος έχει φτάσει στο 0% της τελικής της τιμής και t ο χρόνος στον οποίο η έξοδος έχει φτάσει στο 90% της τελικής τιμής τότε: t ( ) T e = 0, t = T l 0,9 0,T t T e = 0,9 t = T(l 0,),3T Άρα tr = t t, T Χρόνος αποκατάστασης t % Είναι ο χρόνος στον οποίο η έξοδος του συστήματος διαφέρει από την τελική της τιμή κατά %. Επομένως: t T e = 0,0 t = Tl 0,0 t 4T

* Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας αναρρίχησης Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t) = t θα είναι: C t L C L t T Te t T t T () = { ( )} = =, 0 Η αντίστοιχη γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω. c(t) Μόνιμο σφάλμα r(t)=t T c(t) t

* Κρουστική απόκριση συστήματος πρώτης τάξης Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t)=δ(t) θα είναι: Ct () = L { C ( )} = L = e T T Η καμπύλη της κρουστικής απόκρισης απεικονίζεται παρακάτω. C(t) / T t T 0 t

* Συστήματα δεύτερης τάξης Ας θεωρήσουμε το δομικό διάγραμμα του συστήματος ης τάξης του παρακάτω σχήματος R() ω ζω ω Υ() Η συνάρτηση μεταφοράς είναι της μορφής: Y() ω T() = = R () ζω ω Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: Οι πόλοι της T() είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δηλαδή: = ζω ± ω ζ, ή ζω ω = 0, j = ζω ± ω ζ

Υπό-απόσβεση Χωρίς απόσβεση 0< ζ <, = ζω ± jωβ ζ = 0, = ± jω Κρίσιμη απόσβεση ζ = = ω, Υπέρ-απόσβεση ζ >, = ± ζω ω α όπου β = ζ α = ζ ω = ω ζ d Ο συντελεστής ζ ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης του συστήματος (dampig ratio) και το ω κυκλική ιδιοσυχνότητα (atural frequecy ) χωρίς απόσβεση.

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ )Υπό-απόσβεση (0 < ζ < ) Στην περίπτωση όπου 0 < ζ < η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δυο ρίζες συζυγείς μιγαδικές. = ζω ±, j ω β Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: - e c(t) = L C() = β ζωt { } i( ω t ϕ) β = ta ϕ = co ζ ζ ωd = ω ζ = ωβ όπου: ϕ ή και Ο συντελεστής ω d ονομάζεται κυκλική ιδιοσυχνότητα συστήματος με απόσβεση (damped atural frequecy). d του

) Κρίσιμη απόσβεση (ζ = ) Στην περίπτωση που ζ=l η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές ίδιες με τιμή: = = ω Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: ω ct ( ) = e ( ω t) t

3) Υπέρ-απόσβεση (ζ > ) Στην περίπτωση όπου ζ > η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές με τιμές: ζω ω ζ, = ± Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: ct = e t t ζω ( ) t coh( ω ζ ) ih( ω ζ )

4) Μηδενική απόσβεση (ζ = 0) Στην περίπτωση όπου ζ = 0 η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες συζυγείς φανταστικές: = ± jω, Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: ct ( ) = coω t

Χρονική απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης ζ. Ο οριζόντιος άξονας είναι σε radia και αναπαριστά το χρόνο πολλαπλασιασμένο με την φυσική συχνότητα ω του συστήματος.

Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς συστήματος που διεγείρεται με σήμα μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης Στα πρακτικά συστήματα ελέγχου η μεταβατική απόκριση εμφανίζει αποσβενόμενες ταλαντώσεις, προτού φθάσει στη μόνιμη κατάσταση (παρακάτω σχήμα).

Χρόνος καθυστέρησης t d (delay time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει η απόκριση, για πρώτη φορά, το 50% της τελικής της τιμής. Χρόνος ανύψωσης t r (rie time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να ανέλθει η απόκριση από το 0% στο 90% της τελικής της τιμής και δίνεται από τη σχέση: t r = ta ωd ζ β Χρόνος κορυφής t p (peak time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει η απόκριση στην πρώτη κορυφή της καμπύλης και είναι: t p = π ω d

Χρόνος αποκατάστασης t (ettlig time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει και να παραμείνει η καμπύλη απόκρισης ανάμεσα στο ±% ή ±5% της τελικής τιμής. Με κριτήριο ζώνης το % είναι: t 4 = ζω Με κριτήριο ζώνης το 5% είναι: 3 t = ζω Μέγιστη υπερύψωση M p (maximum percet overhoot): Η διαφορά της μέγιστης τιμής c m και της τελικής τιμής έστω c f της c(t). Το ποσοστό υπερύψωσης ορίζεται: πζ c c ζ M p 00% cf = MO. = 00 e c t f Μέγιστη τιμή της απόκρισης Cm: Η τιμή της απόκρισης στην πρώτη κορυφή της καμπύλης είναι: cm = e ct m f = όπου: lim ( ) ζπ β

Παραδείγματα. Σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G () = συνδέεται σε ( 5) σειρά με ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς G ( ) = 65. Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση, καθώς επίσης τα μεγέθη αυτής: ω d, ζ, ω, υπερύψωση M.O%. R() - G () G () Y() 65 65 Y( ) G () G () ( 5) 5 65 R () G 5 65 () G() H () ( 5) 65 65 ( 5) 5 ( ) ( ) ( ) = = = == Y( ) 65 ω = = = = R () 5 65 ζω ω ζω 5 & ω 65

ω = 65 ω = 5 ζω = 5 ζ 5 = 5 ζ = ζ = 0.5 d 5 0.5 5 0.5 5 0.75 5 0,866.65 ω = ω ζ = = = = = πζ 3.4 0.5 ζ 0.5,8 MO. = 00 e = 00 e = 00 e = 6.36%

. Σύστημα κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση έχει συνάρτηση μεταφοράς σειράς με συνάρτηση μεταφοράς 4 G () = () GC = και συνδέεται με αντισταθμιστή. Να εκλεγεί κατάλληλη τιμή για την παράμετρο α, έτσι ώστε το ποσοστό υπερύψωσης της αντίστοιχης βηματικής απόκρισης να είναι 5%. a R() - G C () G() Y() ( ) ( ) ( ) () 4( a) ( ) 4 a 6 4a ζω ω 4( a) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 a Y() G () GC () = = = = R () G () G() () 4 a 4 a C H 4 a 4 a = Y ω = = ζω = 6 & = 4 R () 6 4a ( ) ω a ( )

πζ ζ. 00 5% MO= e = e 3.4 ζ 3.4 ζ ζ ζ ( ),9957 ζ ( 3,4 ζ ) ( ) 0, ( ) = 0,05 e = 0,05 3,4 ζ,9957 =,9957 ζ = 3,4 ζ ζ = ( ) 8,9744 ζ = 9,86ζ 8,9744 8,9744ζ = 9,86ζ 8,834 8,9744 ζ = = = ζ 0.4765 ζ 0, 69 69 ω = 6 ω = 4,347 4,347 = 4 a a = 4, 7

3. Να υπολογιστεί η ΣΜ και η χρονική απόκριση y(t) του ΣΚΒ με μοναδιαία είσοδο ράμπας (r(t)=t). R() 40 3 Y() 40 Y( ) 40 = 3 = R ( ) 40 3 40 3 40 40 Y() = = 3 40 5 8 K K K K Y() = ( )( ) ( 5) ( 8) 3 K ( 8) ( 5)( 8) lim 8 ( ) 40( 8 5) ( 5) ( 8) d 40 3 = ( )! lim = ( 5)( 8) lim = d 40 0 0 40 40 = ( )! lim = 0 ( 5)( 8) lim = 0 ( 5)( 8) K K K 40 40 8 = lim ( 5) ( 5)( 8) = lim = ( 8) 65 5 5 = lim 3 8 40 40 5 = = 5 04 3 8 5 yt () = t e e 40 65 04 5t 8t

4. Για το σύστημα με Σ.Μ. G () = και αναλογικό (Ρ) ελεγκτή σειράς με Σ.Μ. και μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Α) Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. αφού πρώτα σχεδιάσετε το διάγραμμα βαθμίδων. Β) Να υπολογιστεί η χρονική απόκριση της εξόδου του Σ.Κ.Β., με μοναδιαία βηματική είσοδο για k=00. Γ) Να υπολογιστεί ο χρόνος μεγίστου της παραπάνω χρονικής απόκρισης. G (), 0 C = k k > A) R() - ( ) G C () G() k GC () G () H () = k = B) k Y() ( ) k = = R ( ) k k ( ) 00 00 Y() = = ( )( ) k 6 8 j 6 8 j K K K3 j j () = Y ( 6 8 ) ( 6 8 ) Y() 00 00 00 = lim ( 6 8 )( 6 8 ) = = = ( 6 8 )( 6 8 ) 36 64 K 0 j j j j 00 K = lim ( 6 8j) 6 8j ( 6 8j)( 6 8j) = 00 00 00 = = = 6 8 j 6 8 j 6 8 j 6 8 j 6 j 8 96 j ( )( ) ( )( ) 00 K3 = lim ( 6 8j) = 6 8j ( 6 8j)( 6 8j) 00 = = 00 = 00 8 j 6 8 j 6 8 j 6 j 8 96 j ( 6 8j) ( 6 ) ( )( ) Y( ) 00 ω = = R ( ) 00 0 ζω0 ω0 ζω = () & ω = 00 () 0 0 () ω = 0 0 () ζ 0 = ζ = 0, 6 00 00 yt () = e e 8 96 j 8 96 j ( 6 8jt ) ( 6 8 ) jt ω = ω ζ = = = = = d t p 0 0, 6 0 0,36 0 0, 64 0 0,8 8 π 3,4 = = = 0,39ec ω 8 d

Σχέση μεταξύ της θέσης των πόλων και των μηδενικών στο πεδίο- και την αντίστοιχη απόκριση στο πεδίο του χρόνου. Imagiary Axi Ocillatory Decay Sutaied Ocillatio Ocillatory growth Expetial Decay Expoetial growth Real Axi Ocillatory Decay Sutaied Ocillatio Ocillatory growth

Όπως φαίνεται στα σχήματα η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο σχετίζεται άμεσα με τη χρονική απόκριση του συστήματος. Στο (a) φαίνεται η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο, στο (b) φαίνεται η χρονική απόκριση κατά μήκος του άξονα jω του μιγαδικού επιπέδου, στο (c) φαίνεται η χρονική απόκριση κατά μήκος του άξονα jω και στο (d) φαίνεται η χρονική απόκριση του συστήματος του οποίου οι πόλοι βρίσκονται πάνω στον αρνητικό ημιάξονα.

ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Ένα από τα βασικά πρακτικά προβλήματα της επιστήμης των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι η σχεδίαση ενός συστήματος τέτοιου ώστε, η έξοδός του να "ακολουθεί" την είσοδό του, όσο γίνεται πιο πιστά. Τα ασταθή συστήματα δεν μπορούν να μας εξασφαλίσουν μία τέτοια συμπεριφορά και επομένως δεν είναι χρήσιμα. Γι αυτό, κατά τη σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, επιδιώκεται πρώτα και πάνω απ' όλα η εξασφάλιση της ευστάθειας του συστήματος. Μετά την εξασφάλιση της ευστάθειας επιδιώκεται η ικανοποίηση άλλων απαιτήσεων σχεδίασης, όπως η ταχύτητα και η ακρίβεια απόκρισης, το εύρος ζώνης, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, κ.λπ..

Ένα σύστημα είναι ευσταθές, αν για φραγμένη είσοδο η έξοδος είναι φραγμένη. Η έξοδος ενός ευσταθούς συστήματος βρίσκεται μέσα σε επιτρεπτά όρια ενώ η έξοδος ενός ασταθούς συστήματος αυξάνει θεωρητικά προς το άπειρο.

Από θεωρητικής πλευράς, η έννοια της ευστάθειας έχει μελετηθεί σε βάθος και έχουν προταθεί διάφοροι ορισμοί και κριτήρια ευστάθειας. Π.χ. για την κατηγορία των γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων, ισχύει το πολύ γνωστό γεγονός, ότι η ευστάθεια συνδέεται με τη θέση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, ένα σύστημα είναι ευσταθές αν όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Αν έστω και μια ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκεται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το σύστημα είναι ασταθές.

Υπάρχουν κριτήρια ευστάθειας που μας βοηθούν να διαπιστώσουμε για ποιες τιμές των παραμέτρων έχουμε ευστάθεια. Τα γνωστότερα είναι: ) Το κριτήριο Routh, ) γεωμετρικού τόπου ριζών (Γ.Τ.Ρ) 3) Bode 4) Nyquit, κ.λ.π.

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Ο (Γ.Τ.Ρ) είναι μια γραφική απεικόνιση των θέσεων των πόλων (ρίζες της Χ.Ε) του συστήματος κλειστού βρόγχου στο μιγαδικό επίπεδο-, για όλες τις τιμές της παραμέτρου Κ (κέρδος) του συστήματος. Είναι γνωστό ότι οι θέσεις των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς στο μιγαδικό επίπεδο επηρεάζουν τη μεταβατική απόκριση του συστήματος καθώς και την ευστάθειά του. Για το σύστημα κλειστού βρόγχου όπως αυτό εικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: R () - E() G() C() Z() H()

Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήματος (Σ.Μ.) G ολ () = C() R() = G() G()H() Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) του Κλάδου Δράσης G() Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) του Κλάδου Ανάδρασης H() Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) Ανοιχτού Βρόγχου G()H() Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο G()H() Χαρακτηριστική Εξίσωση G()H() = 0

Αν η συνάρτηση μεταφοράς (Σ.Μ) ανοικτού βρόγχου είναι της μορφής: G()H() ( z = K ( p )( z )( p ) ( z ) ( p ) ) m = K N() D() τότε η Σ.Μ του συστήματος θα είναι: C() R() G() = G()H() G() = N() K D() = G()D() D() KN() από την παραπάνω σχέση παρατηρούμε ότι η μεταβολή των τιμών της παραμέτρου Κ επηρεάζει τις τιμές των ριζών της Χ.Ε του συστήματος με αποτέλεσμα τη μετατόπισή τους πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα διάγραμμα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο που θα είναι το σύνολο των σημείων που θα είναι ρίζες της Χ.Ε. του συστήματος αν η παράμετρος Κ πάρει όλες τις τιμές από το 0 μέχρι το. Το διάγραμμα που προκύπτει όταν το Κ πάρει τιμές μεταξύ του - και του μηδενός ονομάζεται συμπληρωματικός Γ.Τ.Ρ..

Από την Χ.Ε προκύπτουν τα παρακάτω: G( ) H ( ) = 0 G( ) H ( ) = G ()H() = ( G( ) H ( ) = (µ ) π, µ = 0, ±, ±,... Συνθήκη φάσης για το Γ.Τ.Ρ. m i= K j= z p i j = Συνθήκη μέτρου για το Γ.Τ.Ρ. Η παραπάνω σχέση μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παραμέτρου Κ πάνω στο διάγραμμα.

* Κανόνες Προσεγγιστικής Χάραξης του Γ.Τ.Ρ.. Οι πόλοι της G()H() είναι τα σημεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ.. Τα μηδενικά (zero) της G()H() και το άπειρο όταν m< είναι τα σημεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. 3. Ο αριθμός των κλάδων του τόπου ριζών ισούται με το max(m,) όπου m είναι το πλήθος των μηδενικών και είναι το πλήθος των πόλων της G()H() 4. Ο Γ.Τ.Ρ. είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών. 5. Το σημείο τομής των ασύμπτωτων ευθειών με τον άξονα των πραγματικών αριθμών δίδεται από την σχέση. όπου όπου p i i= m z j j= σ α = m = το άθροισμα των τιμών των πόλων της i= = το άθροισμα των τιμών των μηδενικών της p i m j= z j

6 Οι γωνίες που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες με τον πραγματικό άξονα δίνεται από τη σχέση. φ α µ (µ ) π =, µ = 0,,,...(( m) ) K m όπου ((-m)-) είναι η τελευταία τιμή του μ. 7. Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι τμήμα του Γ.Τ.Ρ. αν το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του τμήματος είναι περιττό. (για K 0). 8. Τα σημεία αποχωρισμού και άφιξης των κλάδων από και προς τον οριζόντιο άξονα ονομάζονται σημεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ. και υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: D() K = N() dk = 0 ή D ' ()N() N ' ()D() = 0 d κάθε ρίζα της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί ένα δεκτό σημείο θλάσης αν είναι ταυτόχρονα και ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος για κάποια τιμή του Κ. 0

9. Οι γωνίες αναχώρησης του Γ.Τ.Ρ. από μιγαδικό πόλο ή άφιξης σε μιγαδικό μηδενικό υπολογίζονται από τη σχέση: όπου: ϕ d i= m ( µ ) π ϕ p ϕ i z i= j= = ϕ pi = το αλγεβρικό άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν οι πόλοι ως προς τον αναφερόμενο μιγαδικό πόλο (μηδενικό). j m ϕ z j = το αλγεβρικό άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν j= τα μηδενικά ως προς τον αναφερόμενο μιγαδικό πόλο (μηδενικό). Τα σημεία τομής του Γ.Τ.Ρ. με τον άξονα των φανταστικών αριθμών είναι τα σημεία όπου το σύστημα μεταπίπτει από την ευστάθεια στην αστάθεια. Οι τιμές του Κ και του ω για τα σημεία αυτά, ονομάζονται κρίσιμο κέρδος (K cr ) και κρίσιμη συχνότητα (ω cr ) αντίστοιχα.

* Κριτήριο Routh Το κριτήριο ευστάθειας Routh, προσδιορίζει τον αριθμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο- και δίνει απάντηση στο ερώτημα: «είναι το σύστημα ευσταθές;», χωρίς να προσδιορίζει τη σχετική ευστάθεια του συστήματος όπως συμβαίνει με άλλα κριτήρια όπως του Γ.Τ.Ρ. που είδαμε προηγουμένως. Ας θεωρήσουμε ότι η Χ.Ε G()H() = 0 συστήματος έχει την παρακάτω γενική μορφή: της συνάρτησης μεταφοράς του a a a a 0 = 0 όπου όλοι οι συντελεστές a, a a,, a, 0 στο R και είναι 0 Εφ' όσον όλοι οι συντελεστές είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ, σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα του Routh.

Όπου οι όροι, υπολογίζονται ως εξής:................................................ 0 3 7 5 3 6 4 f f e e c c c b b b a a a a a a a a......,,..., e c c b b 3 = a a a a a b 5 4 = a a a a a b 7 6 = a a a a a b b a b a b c 3 = b a b a b c 5 = Πίνακας Routh Σύμφωνα με το ΚΡΙΤΗΡΙΟ του Routh για να είναι ευσταθές ένα σύστημα πρέπει οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh να είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ. Ο αριθμός των ριζών της Χ.Ε που βρίσκονται στο δεξιό ημιεπίπεδο ισούται με τον αριθμό αλλαγών του πρόσημου των συντελεστών της πρώτης στήλης του πίνακα Routh.

Ειδικές περιπτώσεις για την συμπλήρωση του πίνακα Routh α. Όταν ένας όρος της πρώτης στήλης είναι μηδέν, ενώ οι υπόλοιποι όροι της σειράς είναι διάφοροι του μηδενός ή δεν υπάρχουν, τότε, αντικαθίσταται ο μηδενικός όρος, από ένα πολύ μικρό αριθμό ομόσημο με τους προηγούμενους της πρώτης στήλης, και συνεχίζεται η ανάπτυξη του πίνακα. β. Όταν όλοι οι όροι μίας σειράς του πίνακα Routh είναι μηδενικοί, ο πίνακας συμπληρώνεται με την τοποθέτηση, αντί των μηδενικών όρων με τους όρους της παραγωγισμένης βοηθητικής εξίσωσης της αμέσως προηγούμενης σειράς. γ. Όταν τουλάχιστον δύο σειρές έχουν μηδενικούς όρους, τότε το σύστημα είναι ασταθές και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με πολλαπλότητα. δ. Για την εύρεση της κρίσιμης (οριακής) τιμής του Κ για ευστάθεια αρκεί να μηδενιστεί ο όρος της σειράς και να λυθεί η εξίσωση ως προς Κ=Κ cr. ε. Για την εύρεση της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων του συστήματος αρκεί να λυθεί η βοηθητική εξίσωση της σειράς ως προς ω=ω cr. Αυτή θα έχει τη μορφή: λ λ = 0 όπου λ, λ οι συντελεστές της σειράς και όπου k θα τεθεί η τιμή Κ cr που βρέθηκε.

Παράδειγμα :Κριτήριο Routh-Hurwitz 5 4 3 Χαρακτηριστική εξίσωση 6 5 0 = 0 Πίνακας Routh 5 4 3 : : : : 4 : 3 0 : 6 0 5 0 0 8 0 3 0 0 0 0 0 πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο 0 pole

Παράδειγμα :Κριτήριο Routh-Hurwitz Χαρακτηριστική εξίσωση 5 4 3 5 5 0 = 0 Πίνακας Routh 5 4 3 0 : : : : : : 5 0 5 0 0 ε c d 0 0 0 0 0 0 c d 5ε = ε ε c 0ε = c πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο

Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου συστήματος κλειστού βρόγχου. ΒΗΜΑ Ο :ΑΦΟΥ ΒΡΩ ΤΟΥΣ ΠΟΛΟΥΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ ΤΗΣ G()H(), ΤΑ ΣΧΕΔΙΑΖΩ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ-S ΣΥΜΒΟΛΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΥΣ ΠΟΛΟΥΣ ΜΕ (x) ΚΑΙ ΤΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ ΜΕ (ο). G H ( ) ( ) = K ( )( ) 3 πόλοι:p = 0; p = -; p3 = - Κανένα μηδενικό.

ΒΗΜΑ ο : Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι κλάδος του Γ.Τ.Ρ. αν το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του κλάδου είναι περιττό. (για K 0).

σ σ a l ΒΗΜΑ 3o: Υπολογισμός των ασύμπτωτων a = ϕ = p i p p p3 0 = = = 3 0 3 ( µ ) 80 o m m m z i µ = 0,,, ( m ) ( ) 0 80 0 0 ϕ 0 = = 60 3 0 0 80 ( ) 0 ϕ = = 80 3 0 0 80 ( ) ϕ = = 300 3 0 0

ΒΗΜΑ 4o: Υπολογισμός σημείου αποχώρησης K = G( )H( ) = ( )( ) K = 3 3 dk d = 0 3 6 = 0 =. 5774, = 0. 46

ΒΗΜΑ 5o: Υπολογισμός Κcr και ωcr με το κριτήριο Routh-Hurwitz R() - K G() C() εάν Για ποιές τιμές του K το σύστημα είναι ευσταθές? R() - K ( )( ) C() Χαρακτηριστική εξίσωση

R() - K ( )( ) C() Χαρακτηριστική εξίσωση K XE. = G( ) H( ) = 0... επειδ ή... G( ) =... και... H( ) = ( )( ) Πίνακας Routh 3 K 3 = 0 3 : : 6 K : 3 0 : 0 3 K 0 K 0 0 3 K 0 3( jω) K 0 = = = =± 3ω 6 0 ω Σύστημα ευσταθές για: 0 < K < 6

ω = ω =

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ R( ) K 6 8 C( )

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ R( ) K ( ) 6 8 C( )

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 R( ) K ( )( 5) 6 8 C( )

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 R( ) K ( 4)( 5) 3 C( )

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 R( ) K ( 4)( 5) ( 3 ) C( )

Cotroller - Eλεγκτές Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται εν μέρει στην σθεναρή και εν μέρει στην απλή τους λειτουργία, κάτω από πολλές και διαφορετικές συνθήκες. Η υλοποίηση ενός τέτοιου ελεγκτή βασίζεται στον προσδιορισμό των τριών παραμέτρων Kp, Ki, Kd Ο Ελεγκτής παράγει το σήμα διέγερσης για το Ελεγχόμενο σύστημα

Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του χρόνου u( t) = K pe( t) Ki t 0 e( t) dt K d de( t) dt i Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του Laplace U ( ) K K E( ) = p K d Η έξοδος του ελεγκτή PID σχηματίζεται από το άθροισμα τριών όρων, ενός όρου Ρ (Proportioal) αναλόγου του σφάλματος, ενός όρου Ι (Itegral) αναλόγου του ολοκληρώματος του σφάλματος και ενός όρου D (Derivative ) αναλόγου της παραγώγου του σφάλματος.

Ορισμοί u( t) = K p e( t) Ti itegral time cotat σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης proportioal gai Αναλογικό κέρδος = K p e( t) K i t 0 e( t) dt K p όπου Ti =, Td = K i t 0 K d de( t) dt de( t) e( t) dt T d dt derivative time cotat σταθερά χρόνου διαφόρισης K K itegral gai Ολοκληρωτικό κέρδος d p derivative gai Διαφορικό κέρδος

Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος Ο αναλογικός όρος P βοηθά στη βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος τόσο στην μεταβατική όσο και στην μόνιμη κατάσταση, αλλά αδυνατεί να εξαλείψει πλήρως το μόνιμο σφάλμα. Δεν μπορεί να αντεπεξέλθει ικανοποιητικά σε όλους τους τύπους των συστημάτων και των εξωτερικών διαταραχών, γι' αυτό (όπου απαιτείται) συνδυάζεται μαζί με άλλους όρους. Ο ολοκληρωτικός όρος Ι χρησιμοποιείται σε συστήματα που παρουσιάζουν σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, αφού για όσο χρόνο υπάρχει σφάλμα, η έξοδος του ελεγκτή, λόγω του ολοκληρώματος αυξάνεται με αποτέλεσμα την εξάλειψη του σφάλματος, αλλά αυτό γίνεται σε βάρος της ταχύτητας απόκρισης και της ευστάθειας του συστήματος. Ο διαφορικός όρος D αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και βελτιώνει τη συμπεριφορά του κατά τη μεταβατική κατάσταση, αλλά λόγω της επιβολής στην πράξη περιορισμού της εξόδου του ελεγκτή δεν χρησιμοποιείται ποτέ από μόνος του.

Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος κλειστού βρόγχου Rie time Χρόνος ανόδου ή ανύψωσης (tr) Maximum overhoot Μέγιστη υπερύψωση (ym) Settlig time Χρόνος αποκατάστασης (t) Steady-tate error Μόνιμο σφάλμα P ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ I ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗ D Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ Μικρή αλλαγή Να σημειωθεί ότι η συσχέτιση στον πίνακα μπορεί να μην είναι ακριβής, διότι οι όροι Κp, Ki και Kd είναι αλληλοεξαρτώμενοι.

Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή Έστω ότι έχουμε το εικονιζόμενο μηχανικό σύστημα. Η μαθηματική περιγραφή είναι: m x bx kx = f Μετασχηματίζοντας σε Laplace, παίρνουμε: m X ( ) bx ( ) kx ( ) = F( ) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: X ( ) F( ) = m b k

Έστω N m = kg, b = 0, k = 0 N / m, f = N m Με αυτές τις τιμές η συνάρτηση που προκύπτει είναι: X ( ) F( ) = 0 0 Σκοπός μας είναι να δούμε, πως κάθε ένας από τους όρους K, K και K συμβάλει στο να έχουμε: p i d Μικρό χρόνο ανόδου Ελάχιστη υπερύψωση Μηδενικό μόνιμο σφάλμα

Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου είναι: 0 0 ) ( ) ( = F X Η τιμή της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση είναι: 0 ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 = = = = F X F X t x x t Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή

ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΟΙΧΤΟΥ ΒΡΟΓΧΟΥ 0.05=/0 είναι η τελική τιμή της εξόδου X(t) σε μοναδιαία βηματική διέγερση. Αυτό σημαίνει ότι το μόνιμο σφάλμα στο ανοιχτό σύστημα είναι 95%. Ο χρόνος αποκατάστασης Τς είναι περίπου,5 ec.

P Cotroller - Αναλογικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: K X F K 0 0 p () 0 0 K p = = ( ) K p 0 (0 p )

Επιλέγοντας K p = 300 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και το μόνιμο σφάλμα αυξάνει την υπερύψωση και επιφέρει Μικρή αλλαγή στο χρόνο αποκατάστασης.

PI Cotroller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: i p i p i p i p K K K K K K K K F X = = ) (0 0 0 0 / 0 0 / ) ( ) ( 3

PI Cotroller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής Επιλέγοντας K p 30, K = = i 70 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα.

PD Cotroller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: ) (0 ) (0 0 0 0 0 ) ( ) ( p d d p d p d p K K K K K K K K F X = =

PD Cotroller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής Επιλέγοντας K p 300, K = 0 = d Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο Αναλογικός-Διαφορικός ελεγκτής, μειώνει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης ενώ έχει μικρή επιρροή στο χρόνο ανύψωσης και στο μόνιμο σφάλμα

PID Cotroller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: i p d i p d i d p i d p K K K K K K K K K K K K F X = = ) (0 ) (0 0 0 / 0 0 / ) ( ) ( 3

PID Cotroller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής K = 350, K = 300, K = 5500 p i d ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ

P PD PI PID

Επίδραση του Αναλογικού, Ολοκληρωτικού και Διαφορικού κέρδους στη Δυναμική Απόκριση του Συστήματος

Αναλογικός Ελεγκτής E( ) K = U ( ) u( t) K e( t) p = p

Μεταβολή του κέρδους σε Αναλογικό Ελεγκτή Αύξηση του κέρδους: Βελτιώνει την μεταβατική και την μόνιμη απόκριση Μειώνει το μόνιμο σφάλμα. Μειώνει την Ευστάθεια!

Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος

Ολοκληρωτικός Ελεγκτής E( ) K i = U ( ) u( t) = e( t) dt Το Ολοκλήρωμα του σφάλματος με σταθερό κέρδος επιφέρει: Αύξηση του τύπου του συστήματος κατά Εξάλειψη του μονίμου σφάλματος σε βηματική διέγερση Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων K i t 0

Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Ολοκληρωτικό Ελεγκτή (PI) Αύξηση του κέρδους : Δεν βελτιώνει τη μόνιμη απόκριση Αυξάνει ελαφρώς το χρόνο αποκατάστασης Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων

Διαφορικός Ελεγκτής de( t) E( ) Kd = U ( ) u( t) = Kd dt Διαφόριση του σφάλματος με σταθερό κέρδος γρήγορη ανίχνευση των μεταβολών της εξόδου μείωση υπερύψωσης και ταλαντώσεων δεν επηρεάζει τη μόνιμη απόκριση βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης

Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Διαφορικό Ελεγκτή (PD) Αύξηση του κέρδους : βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης Μείωση της κορυφής και του χρόνου ανόδου Αύξηση της υπερύψωσης και του χρόνου αποκατάστασης!

Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αυξάνοντας το αναλογικό κέρδος μειώνεται το μόνιμο σφάλμα, αν όμως το αυξήσουμε πολύ το σύστημα αποσταθεροποιείται. Ο Ολοκληρωτικός έλεγχος επιφέρει ισχυρή μείωση του μόνιμου σφάλματος, αλλά συχνά μειώνει την ευστάθεια του συστήματος. Ο Διαφορικός έλεγχος αυξάνει την απόσβεση και βελτιώνει την ευστάθεια χωρίς να επηρεάζει το μόνιμο σφάλμα

Περιγραφή PID Ελεγκτή Ο βασικός τύπος PID ελεγκτή περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις: K U () = K i K E () p d or U () = K T E() p d Ti

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΙ ΛΟΓΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ Programmable Logic Cotroller PLC

. Ορισμός του PLC.. Εφαρμογές του PLC. 3. Αρχιτεκτονική δομή του PLC. 4. Πλεονεκτήματα της χρήσης του PLC στις βιομηχανικές εγκαταστάσεις ελέγχου έναντι των συμβατικών εξαρτημάτων. 5. Τρόποι προγραμματισμού του PLC.

Ορισμός του PLC Είναι προγραμματιζόμενη ηλεκτρονική συσκευή (βιομηχανικός Η/Υ), που δέχεται σήματα εισόδου από διακόπτες και αισθητήρες. Αξιολογεί τα σήματα εισόδου σύμφωνα με ένα αποθηκευμένο πρόγραμμα και παράγει σήματα εξόδου για τον έλεγχο μηχανών και γενικά διαδικασιών παραγωγής.

Εφαρμογές του PLC. Τα PLC χρησιμοποιούνται για την αυτοματοποίηση των διαφόρων μηχανημάτων σε βιομηχανικές εγκαταστάσεις. Έχουν αντικαταστήσει πολλά ηλεκτρομηχανικά και ηλεκτρονικά μέσα (ηλεκτρονόμους, χρονοδιακόπτες, μετρητές, κ.λ.π), που χρησιμοποιούνται για τη λειτουργία και τον έλεγχο της λειτουργίας των μηχανημάτων. Με τη χρήση των PLC το ηλεκτρικό κύκλωμα ελέγχου των μηχανών απλοποιείται, γίνεται πιο έξυπνο, πιο ευέλικτο σε μετατροπές, πιο αξιόπιστο στη λειτουργία. Η καλωδίωση του κυκλώματος ελέγχου μπαίνει όλη σχεδόν στο πρόγραμμα του PLC.

Αρχιτεκτονική δομή του PLC.

Συνδεσµολογία PLC

Πλεονεκτήματα της χρήσης του PLC στις βιομηχανικές εγκαταστάσεις ελέγχου έναντι των συμβατικών εξαρτημάτων Το κόστος των PLC επιτρέπει σήμερα και στο πιο απλό μηχάνημα, που έχει κάποιον ηλεκτρικό έλεγχο να το χρησιμοποιεί. Το PLC διαθέτει τέτοιες δυνατότητες, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε μηχάνημα. Ο προγραμματισμός του είναι σχετικά εύκολος. Μπορούμε να αλλάξουμε τη διαδικασία στη λειτουργία ενός μηχανήματος, που ελέγχεται από PLC διαφοροποιώντας το πρόγραμμα του και δεν είναι ανάγκη να αλλάξουμε ηλεκτρικά μέσα και καλωδίωση. Η χρήση του PLC στο κύκλωμα ελέγχου φέρνει και πιο χαμηλή κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας. Γενικά η παραγωγικότητα των μηχανημάτων με τη χρήση του PLC αυξάνεται, οι βλάβες και τα σταματήματα μειώνονται, η αυτοματοποίηση γίνεται εύκολη.

Τρόποι προγραμματισμού του PLC.. Με κατάλογο εντολών (ltructio Iit) Ο τρόπος αυτός είναι παρόμοιος με τον προγραμματισμό των προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών με τη γλώσσα προγραμματισμού BASIC.. Με λειτουργικό διάγραμμα (Fuctio biock diagram) Ο τρόπος αυτός χρησιμοποιεί τα λογικά σύμβολα των λογικών πυλών της άλγεβρας του Βοοll με τα οποία σχεδιάζουμε λογικά κυκλώματα. 3. Με διάγραμμα επαφών (Ladder Diagram Program) Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί τα αμερικάνικα σύμβολα των επαφών.