Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας
ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή X i i Τυπική απόκλιση ( Xi ) i s ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( Xi ) ( 3 ) i µ Τέταρτη ροπή 4 ( Xi ) ( 4 ) i µ ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. ma{ X, X,..., X } Ελάχιστη τιµή. i i ET.. mi{ X, X,..., X} Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( )
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) 5 5 5 Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) 5- -5 5- -5 5- -35 Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 8 6 4 5- -5 5- -5 5- -35 Αθροιστική συχνότητα (%) 8 6 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ 5 5 5 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. Μ.Τ. Τ.Α. Τ.Α. Σ.Α. Σ.Α. Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3 3
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) 8 6 5 5 5 35-5 5- -5 5- -5 5- -35 35- -45 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 8 6 6 8 Αθροιστική συχνότητα (%) 5 5 5 35 45 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 6 8 Αθροιστική πιθανότητα (%) 4
ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή 6 θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% % % % % 5% % %,5%,%,%,5%.5..5. 95 9 Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων 85 8 75 7 65 6 55 5 45 35 5 5 5 ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Περίοδος επαναφοράς (έτη)... 6. 43.5 5 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% 6%.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) -4-3 - - 3 4 Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% 6% 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) 5
ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z(xi-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ, σ είγµα έχειµ, σ5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi5 z(5-)/5 Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ.5 έτη F-(/.5),333 F84,% Πίνακας (,) z, F,843 F33.3% Πίνακας (,) Για F-.333 z.43 Για F.333 z-.43 z Τ(-,843)6 έτη z-.43 (Xi-)/5-.43 άρα Xi7.8 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 6
ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανοµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% % % % % 5% % %,5%,%,%,5%.5..5. 95.5% 9 85 8 75.5% 7 65 6 55 5 45.5% 35.5% 5 5 5 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( ( ma mi ( + z ( z + α / + α / T T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής T σˆ N η τυπική απόκλιση του T T ˆ σ δ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγµατος Οαριθµός των Ν παρατηρήσεων του δείγµατος 7
ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανοµή Χ(maX(T)+z( +a)/ ) * T. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% % % % % 5% % %,5%,%,%,5%.5. (+a)/.5. 95 9 85 8 75 7 (+a)/ 65 6 55 5 45 Χ(miX(T)-z( +a)/ ) * T 35 5 5 Χ() Χ(m+Z (-/T) *s 5 T, -/T 99%, z 99%.33 a95% +a/97.5% z 97.5%.96 ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: F-F (-/ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/ Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R-(-/ Παράδειγµα Τ έτη έτη R-(-/).6565% 8
Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) e πσ F µ ( ) σ ( ) e π d ( ( ma mi ( + z ( z + α / + α / T T Όρια εµπιστοσύνης T ˆ σ δ Ν Κ( T ) δ + K( T ) Z( / T ) T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ X ( ) * e πσ Y F Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ X ( ) * e s πσ Y ) l l( + / l l l / z l Χειρισµός της κατανοµής l z + l l l z l l + l e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής 9
ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c, 45 a,8 / Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) ae a( c) e a ( c ) F X ( ) e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l F ) l( l( / T )) ( T ) c c a a Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* k ( T ).45.78 * l( l( / T )) ( T ) + T, ( T ) ± +.396* k( T ).* k( )