Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν γνωτές. Αυτή η παραδοχή δεν απεικονίζει την πραγµατικότητα. Γενικά οι παράµετροι µιας διαδικαίας είναι άγνωτοι και µεταβλητοί το χρόνο. Οπότε είναι απαραίτητες τεχνικές για την εκτίµηη των παραµέτρων των κατανοµών για την επίλυη προβληµάτων. Τέτοιες τεχνικές είναι η εκτίµηη παραµέτρων και ο έλεγχος υποθέεων, οι οποίες αποτελούν ένα µεγάλο ποοτό της βάης του ΕΠ. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
Στατική και Κατανοµές ειγµάτων Ένα δείγµα, π.χ.,,, µεγέθους είναι τυχαίο όταν έχει επιλεγεί έτι ώτε οι παρατηρήεις i είναι ανεξάρτητες και ιδανικά κατανεµηµένες. Ο οριµός αυτός είναι κατάλληλος για άπειρους πληθυµούς ή για πεπεραµένους και η δειγµατοληψία διενεργείται µε επανάθεη. Σε δειγµατοληψία χωρίς επανάθεη και όταν ο πληθυµός είναι πεπεραµένος τυχαίο είναι ένα δείγµα όταν κάθε ένα από τα πιθανά δείγµατα έχει ίη πιθανότητα να επιλεγεί. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
Σχέη µεταξύ πληθυµού-δείγµατος ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4 Μέτρα κεντρικής τάης και µεταβλητότητας δειγµάτων ΜέοςΌρος είγµατος ( ) i i i i ιακύµανη είγµατος Τυπική Απόκλιη είγµατος ( ) i i
ειγµατικές Κατανοµές Εάν γνωρίζουµε την κατανοµή πιθανότητας του πληθυµού, από τον οποίο προήλθε το δείγµα, µπορούµε να προδιορίουµε την κατανοµή του δείγµατος, µε υγκεκριµένους υπολογιµούς τα δεδοµένα του δείγµατος. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5
είγµατα κανονικής κατανοµής Συχνά γίνεται η παραδοχή ότι η τυχαία µεταβλητή που µας ενδιαφέρει ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε άγνωτες παραµέτρους τις οποίες πρέπει να εκτιµήουµε. Υποθέτουµε ότι η µεταβλητή είναι τυχαία µεταβλητή και ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε ΜΟ µ και διακύµανη. Εάν το,,, είναι τυχαίο δείγµα µεγέθους, τότε η κατανοµή ειγµατικού Μ.Ο. είναι: N µ, Υπάρχουν υγκεκριµένες κατανοµές που µας βοηθούν να προδιορίουµε την κατανοµή δειγµατοληψίας. Τέτοιες κατανοµές είναι οι Χ, tudet t και F. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 6
είγµατα κανονικής κατανοµής - ΚατανοµήΧ - Εάν το,,, είναι ανεξάρτητο τυχαίο δείγµα που ακολουθεί την κανονική κατανοµή Ν(, ) τότε η τυχαία µεταβλητή: y + +... + ακολουθεί την Χ κατανοµή µε () βαθµούς ελευθερίας και είναι: ( ) y f(y), y> Γ µ & y e ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 7
Κατανοµές Χ : Ο πίνακας ΙΙΙ παρέχει τις τιµές της Χ a, ν ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 8
είγµατα κανονικής κατανοµής - ΚατανοµήΧ - Εάν το,,, είναι ανεξάρτητο τυχαίο δείγµα που ακολουθεί την κανονική κατανοµή Ν(µ, ) τότε η τυχαία µεταβλητή: y i ( ) i Ακολουθεί την κατανοµή Χ µε - βαθµούς ελευθερίας, εάν υνυπολογίουµε και τον τύπο της διακύµανης τότε: ( ) Χ ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 9
είγµατα κανονικής κατανοµής - Κατανοµή t- Εάν η µεταβλητή είναι τυχαία µεταβλητή κανονικής κατανοµής και η y είναι τυχαία µεταβλητή κατανοµής Χ µε k βαθµούςελευθερίαςτότεητυχαίαµεταβλητή: t y k ακολουθεί την κατανοµή t µε (k) β.ε. Η κατανοµή πιθανότητας της t είναι: ( ) Γ( k ) &, k> -k+ Γ k+ f(t) t +, - <t< kπ k k µ k ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
Ο πίνακας ΙV παρέχει τις τιµές της ta, ν ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
είγµατα κανονικής κατανοµής - Κατανοµή t- Υποθέτουµε ότιτο:,,, είναι τυχαίο δείγµα που ακολουθεί την Ν(µ, ). Εάν ο δειγµατικός µ.ο. είναι και η διακύµανη τότε η µεταβλητή: t µ ακολουθεί την κατανοµή t µε - β.ε. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
είγµατα κανονικής κατανοµής - Κατανοµή F- Εάν η µεταβλητές w και y είναι τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την Χ κατανοµή µε u και ν βαθµούς ελευθερίας αντίτοιχα τότε ητυχαίαµεταβλητή: F u, ν wu y ν ακολουθεί την κατανοµή F µε u,ν β.ε. η κατανοµή πιθανότητας της F δίνεται από u+ν u Γ u ν f() u ν Γ u Γ + u ( u+ ) ν, << ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
Κατανοµή F ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4
Κατανοµή F ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5
είγµατα κανονικής κατανοµής - Κατανοµή F- Έχουµε τιςτυχαίεςµεταβλητές ~ N µ, & ~ N µ, Έχουµε τατυχαίαδείγµατα:,,, και το,,, µε δειγµατικές διακυµάνεις & Τότε η αναλογία ( ) ( ), ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 6 F
ειγµατοληψία από κατανοµή Berouli Η τυχαία µεταβλητή µε υνάρτηη πιθανότητας: () όταν ( ) q όταν χ Ονοµάζεται κατανοµή Berouli. Η τυχαία µεταβλητή () ονοµάζεται οκιµή Berouli και η διαδοχή,, ιαδικαία Berouli. Το αποτέλεµα ονοµάζεται «επιτυχία» και το αποτυχία. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 7
ειγµατοληψία από κατανοµή Berouli Υποθέτουµε ότι το τυχαίο δείγµα,,, λήφθηκε από διαδικαία Berouli µε ταθερή πιθανότητα επιτυχίας (). Τότε: Το άθροι µα των δειγµατικών παρατηρήεων + +... + ακολουθεί τη ιωνυµική i ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή i και ιχύει: [ a] P a P a k k [ a] ακέραιος µε [a] a k { } { } ( ) µέος όρος µ ( ) ιακύµανη: κατανοµή µε παραµέτρους &. Τότε αφου κάθε είναι ή έχουµε: ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 8 i k
ειγµατοληψία από κατανοµή Poiso Υποθέτουµε ότι το τυχαίο δείγµα,,, ακολουθεί την κατανοµή Poisoµε παράµετρο (λ), τότε η κατανοµή τουαθροίµατος των παρατηρήεων του δείγµατος ακολουθεί την ίδια κατανοµή µε παράµετρο (λ). O ειγµατικός µ.ο. είναι i µε κατανοµή { } { } P a P a [ ] k [ a] ακέραιος µε [a] a µέος όρος ιακύµανη: λ λ ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 9 i a λ k e ( λ) k!
Εκτίµηη ε ηµείο των παραµέτρων της διαδικαίας Οδειγµατικός ΜΟ και η διακύµανη είναι αµερόληπτες εκτιµήτριες το ΜΟ του πληθυµού µ και της διακύµαης. Οπότε: E( ) E( ) Η τυπική απόκλιη του δείγµατος δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της τυπικής απόκλιης του πληθυµού. Οπότε: E ( ) c 4 Ο πίνακας VI του παραρτήµατος δίνει τιµές για την c4 για δείγµατα µεγέθους 5. Μπορούµε να υπολογίουµε µια αµερόληπτη εκτίµηη της τυπικής απόκλιης από: ˆ µ ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης c 4
Εκτίµηη ε ηµείο των παραµέτρων της διαδικαίας () Σε πολλές εφαρµογές της επίλυης των προβληµάτων ποιότητας είναι δυνατό να εκτιµήουµε την τυπική απόκλιη από το εύρος. R ma mi Η τυχαία µεταβλητή WR/ ονοµάζεται χετικό εύρος έχει µ.ο. την ταθερά d που εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος. Οπότε Ε(W)d. Έτι η αµερόληπτη εκτιµήτρια της τυπικής απόκλιης της κανονικής κατανοµής είναι: ˆ Ηταθεράd για δείγµατα 5 παίρνει τιµές από τον πίνακα VI. R d ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
Έλεγχος υποθέεων Είναι µια δήλωη για τις τιµές των παραµέτρων µιας πιθανοτικής κατανοµής. Προδιορίζονται η µηδενική υπόθεη Η και η εναλλακτική της Η. Σφάλµατα Τύπου Ι: Εάν η µηδενική υπόθεη απορριφθεί ενώ ιχύει Τύπου ΙΙ: Εάν η µηδενική υπόθεη δεν απορριφθεί ενώ δεν ιχύει. ηλαδή αp{σφάλµατύπουι}p{απόρριψη Η Η ο Ιχύει} βp{σφάλµατύπουιι}p{ιχύει Η Η ο Απορρίπτεται} Ιχύς Ελέγχου-β P{Απόρριψη Η Η ο εν Ιχύει} ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης
Έλεγχοι Υποθέεων για τον ΜΟ πληθυµού όταν είναι γνωτή η διακύµανη Η µµ Η µ µ Υπολογίζουµε την ποότητα: Και απορρίπτουµε τηνη εάν Ζ >Ζ α/, όπου Ζ α/ είναι το επίπεδο ηµαντικότητας της κανονικής κατανοµής Ν(,) Z µ ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
ιατήµατα εµπιτούνης για τον ΜΟ πληθυµού ότανείναιγνωτήηδιακύµανη Είναι ένα διάτηµα τιµών, µεταξύ δύο τατιτικών ποοτήτων, που περιλαµβάνει την πραγµατική τιµή της µεταβλητής µεκάποιαπιθανότητα. Θεωρούµετηντυχαία µεταβλητή µεάγνωτομο µ και γνωτή διακύµανη. Έχουµε ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους µε παρατηρήεις,,, µετομο να µπορεί να υπολογιτεί. Τότε το (-α)% διάτηµαεµπιτούνης του µ είναι: Z a µ + Z a ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4
Επίπεδο ηµαντικότητας (level of sigificace) Όταν ελέγχουµε µια υπόθεη η µέγιτη πιθανοφάνεια µε την οποία δεχόµατε να κάνουµε φάλµα τύπου Ι ονοµάζεται επίπεδο ηµαντικότητας. Η πιθανότητα αυτή που υµβολίζεται υνήθως µε (α) καθορίζεται πριν από τη δειγµατοληψία ώτε τα αποτελέµατα της να µην επηρεάουν την τιµήτης. Στην πράξη χρηιµοποιούνται τα,5 ή,. Παράδειγµα: Εάν πάρουµε,5 ή 5% και απορίψουµε την υπόθεη τότε ε όµοιες περιπτώεις µόνο ε 5 είναι δυνατό να φάλουµε δηλαδή να είναι αληθής η υπόθεη ενώ εµείς την απορρίψαµε. Με άλλα λόγια είµατε κατά 95% βέβαιοι ότι πράξαµεωτά. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 6 Ηχρήητηςτιµής του P τον έλεγχο υποθέεων Ητιµή P είναι το επίπεδο εµπιτούνης το οποίο οδηγεί την απόρριψη της µηδενικής υπόθεης. Όταν υπολογιτεί η τιµή Ροαποφαίζωνµπορεί να προδιορίει πόο ηµαντικά είναι τα δεδοµένα χωρίς επίπεδο ηµαντικότητας. [ ] < Ζ Φ > Ζ Φ Ζ Φ : Η : Η ), ( : Η : Η ), ( : Η : Η, µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ P
Παράδειγµα Έτω το τατιτικό µέγεθος είναι Ζ 3,5 και έτω ότι η εναλλακτική υπόθεη είναι µονόπλευρη. Άρα: P-Φ(3,5),3. Έτι η Η απορρίπτεται ε κάθε επίπεδο ηµαντικότητας α Ρ,3. Αυτό ηµαίνει ότι η Η απορρίπτεται το α, αλλά δεν απορρίπτεται το α, ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 7
Έλεγχοι Υποθέεων για τον ΜΟ πληθυµού όταν είναι άγνωτη η διακύµανη Η µµ Η µ µ Υπολογίζουµε την ποότητα: µ t Και απορρίπτουµε τηνη εάν t >t α/, -, όπου t α/, - είναι το επίπεδο ηµαντικότητας της κατανοµής t ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 8
ιατήµατα Εµπιτούνης για τον ΜΟ πληθυµού όταν είναι άγνωτη η διακύµανη Θεωρούµε την κανονική τυχαία µεταβλητή µε άγνωτο ΜΟ µ και άγνωτη διακύµανη. Έχουµε ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους µε παρατηρήεις,,, µετομο ναµπορεί να υπολογιτεί όπως και η διακύµανη. Τότε το (-α)% διάτηµα εµπιτούνης του µ είναι: t µ +, - a a, - t ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 9
H H : Έλεγχοι Υποθέεων για τη διακύµανη της κανονικής κατανοµής : ( ) H H Απορίπτεται εαν > ή εαν < α, α, επίπεδα ηµαντικότητας της Χ κατανοµής µε (-) β.ε. ( α ) όπου α α, και < α, είναι το άνω και κάτω - ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
ιατήµατα Εµπιτούνης για τη διακύµανη της κανονικής κατανοµής ( X a ), - ( ) X a, - ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
Έλεγχοι Υποθέεων για τον Πληθυµό H : H : Z ( ( +,5) (,5) ( ) ),, εαν εαν < > ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 3
ιατήµατα Εµπιτούνης για το Πληθυµό ˆ ( ˆ ) ˆ Z ˆ + Z a a ˆ ( ˆ ) ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 33
H :µ µ :µ µ Η πιθανότητα του Σφάλµατος Τύπου ΙΙ Η τατιτική ποότητα είναι: µ H Ζ, Z ( N (,) Για να βρώ τη πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ υποθέτω ότι η Η είναι εφαλµένη και πρέπει να βρώ την κατανοµή του Ζ. Υποθέτω ότι ο µ.ο. της κατανοµής είναι: µ µ + δ. Οπότε η Η είναι αληθής οπότε το τατιτικό: δ Ζ ~ Ν, ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 34
Η πιθανότητα του Σφάλµατος Τύπου ΙΙ (υνέχεια) Η πιθανότητα για φάλµα τύπου ΙΙ είναι η πιθανότητα το Ζ να βρεθεί ανάµεα τα -Ζ και Ζ δεδοµένου ότι α α η Η είναι αληθής. Για τον υπολογιµό της πιθανότητας πρέπει να υπολογίω το ( ) ( ) α F α F Ζ -Ζ όπου F είναι η αθροιτική κατανοµή της Ν δ,. Σε όρους τυπικής κανονικής κατανοµής έχουµε: β Φ Ζ α δ Φ Ζ α δ ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 35
Η κατανοµήτουζ για της υποθέεις Η και Η ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 36
Καµπύλη λειτουργικών χαρακτηριτικών ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 37
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 38
Στατιτική Συµπεραµατολογία για δυο δείγµατα Θα τηριχθούµε ε τυχαία δείγµατα µεγέθους και αντίτοιχα. ηλαδή,,, για το δείγµα και,,, για το δείγµα δύο ανεξάρτητων πληθυµών. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 39
ιαφορά µέω όρων δύο δειγµάτων, η διακύµανη είναι γνωτή Υποθέεις:.,,, είναι το τυχαίο δείγµα του πληθυµού.,,, είναι το τυχαίο δείγµα του πληθυµού 3. Οι δύο πληθυµοί αναπαρίτανται από τις µεταβλητές και είναι ανεξάρτητοι. 4. Και οι δύο πληθυµοί ακολουθούν την κανονική κατανοµή ήέτικιαλλιώςιχύουνοι προϋποθέεις του κεντρικού οριακού θεωρήµατος. ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4
ιαφορά µέω όρων δύο δειγµάτων, η διακύµανη είναι γνωτή () Μία λογική εκτίµηη ηµείου της διαφοράς µ-µ είναι η διαφορά των δειγµατικών µ.ο. -. ( ) ( ) ( ) H Αναµενόµενη τιµή είναι: Ε - Ε -Ε µ -µ και η διακύµανη της - είναι: V( - ) V( ) +V( ) + Η ποότητα Z ( µ µ ) +, ~Ν(,) ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 4
Έλεγχος υποθέεων για τη διαφορά µέων όρων, η διακύµανη είναι γνωτή H: µ-µ Ενναλακτικές Κριτήριο Απόρριψης H: µ-µ ¹ Z >Z a ή Z<-Za H: µ-µ > Ζ >Ζ α H: µ-µ < Ζ <-Ζ α Z + ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 43
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 44 ιατήµατα εµπιτούνης για τη διαφορά µέων όρων, ηδιακύµανη είναι γνωτή Z Z a a µ µ + + +
Έλεγχος υποθέεων για τη διαφορά µέων όρων, η διακύµανη είναι άγνωτη η Περίπτωη: H: µ-µ a, +- ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 45 -- t όπου + a, + - ( ) ( ) + a, Ενναλακτικές Κριτήριο Απόρριψης H: µ-µ ¹ t >t H: µ-µ > t >t ή t <-t a, + - H: µ-µ < t <-t + - +
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 46 Έλεγχος υποθέεων για τη διαφορά µέων όρων, η διακύµανη είναι άγνωτη η Περίπτωη: * t + Βαθµοί Ελευθερίας + + + + ν
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 47 ιατήµατα Εµπιτούνης για τη διαφορά µέων όρων, διακύµανη άγνωτη η Περίπτωη:,, t t a a + + + + + µ µ
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 48 ιατήµατα Εµπιτούνης για τη διαφορά µέων όρων, διακύµανη άγνωτη η Περίπτωη:,, t t a a + + + ν ν µ µ
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 49 Έλεγχος υποθέεων για τη διακύµανη δύο κανονικών κατανοµών,,,, F F : F F : : > > > < a a F H F H H Εναλλακτικές Στατιτική Ποότητα Κριτήριο Απόρριψης
ιατήµατα Εµπιτούνης για τη διακύµανη δύο κανονικών κατανοµών F F -α,, α,, ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5 Έλεγχος υποθέεων για την αναλογία δύο πληθυµών (ακολουθούν την ιωνυµική κατανοµή) ( ) a a a a Z H Z H Z Z H έ Z H > < > > > > Ε + Z : Z : ή Z Z : Απόρριψης Κριτήριο ˆ ˆ ˆ ˆ : ς νναλακτικ
ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης για την αναλογία δύο πληθυµών (ακολουθούν την ιωνυµική κατανοµή) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z Z a a + + +
Περιότεροι από πληθυµοί - ΗΑνάλυητης ιακύµανης (ΑΝΟVA) - T a i j y ij y.. N Treatmets a i y i. y.. N E T Treatmets ηµοκρίτειο Πανεπιτήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκηης 53