ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)

Σχετικά έγγραφα
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Στατιστική Συμπερασματολογία

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

II. Τυχαίες Μεταβλητές

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

3. Κατανομές πιθανότητας

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

P (M = 9) = e 9! =

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α (40%)

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

P(200 X 232) = =

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Στατιστική Συμπερασματολογία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Transcript:

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα Ο αριθμός των αυτοκινήτων που πουλάει μία έκθεση σε μία εβδομάδα είναι τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο: c,,,,4, 5 και c(0 ), 6,7,8,9 (α) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c (β) Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν σε μία εβδομάδα (i) λιγότερα από 4 αυτοκίνητα; (ii) περισσότερα από 5 αυτοκίνητα γνωρίζοντας ότι έχουν πουληθεί τουλάχιστον ; 9 Λύση (α) Θα ισχύει ότι ή ισοδύναμα c c (β) Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων έχουμε: 6 (i) P ( 4) ( ) 0 5, ) 5) (6) (7) (8) (9) 5 (ii) P ( 5 ) ) ) () () 46

Για συνεχή τυχαία μεταβλητή ισχύει Μία συνάρτηση πυκνότητας χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες δύο ιδιότητες (α) 0, (β) ( t) dt Παράδειγμα Το σφάλμα που γίνεται κατά τη μέτρηση με τη χρήση ενός συγκεκριμένου οργάνου είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας c(4 ), και 0, διαφορετικά, όπου c είναι μία πραγματική σταθερά (α) Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς c (β) Να υπολογιστεί η συνάρτηση κατανομής σφάλμα μιας μέτρησης να είναι κατά απόλυτη τιμή μικρότερο του Λύση (α) Θα πρέπει 0 c και ) d F της τυχαίας μεταβλητής (γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα το ( c(4 ) d c c (β) Η συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον τύπο F( ) 0, ( t) dt (4 t, ) dt, t 6 Είναι (4 t ) dt t Άρα, 0, 6 F,, (γ) P ( ) ) F() F( ) 6875% 6 47

Παραδείγματα κατανομών διακριτών τυχαίων μεταβλητών (α) Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει μία οικογένεια ώστε να έχει με πιθανότητα μεγαλύτερη ή ίση του 09 τουλάχιστον ένα αγόρι και τουλάχιστον ένα κορίτσι; Υποθέτουμε ότι σε κάθε γέννηση είναι εξίσου πιθανό να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι Λύση Έστω ο ζητούμενος αριθμός παιδιών που πρέπει να αποκτήσει η οικογένεια Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των αγοριών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνολο των παιδιών και Y η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των κοριτσιών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνολο των παιδιών Ισχύει ότι ~ Bi, και Y ~ Bi, Επιπλέον Y Είναι, Y ), ) ) 0) ) 0 l 0 Πρέπει 09 4 l Επομένως, η οικογένεια θα πρέπει να έχει τουλάχιστον πέντε παιδιά (β) Τυχαία μεταβλητή Poisso Παράδειγμα 4 Μία πόλη έχει χίλια σπίτια Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου η πιθανότητα να παραβιαστεί οποιοδήποτε από αυτά είναι 000 Να υπολογιστεί η πιθανότητα κατά τη διάρκεια ενός έτους να γίνουν τουλάχιστον δύο διαρρήξεις Λύση Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των διαρρήξεων κατά τη διάρκεια ενός έτους Ισχύει ότι ~ B(000, 000) Σύμφωνα με το Θεώρημα, έχουμε P ( ) ) 0) ) e e e 48

Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών (α) Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα 5 Έστω ότι η ώρα άφιξης ενός τρένου σε ένα σταθμό είναι μία ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους τις πρωινές ώρες 8:45 και 9:5, δηλαδή ~ U(8: 45, 9 :5) Αν φτάσετε στο σταθμό ακριβώς στις 9:00, ποια είναι η πιθανότητα (α) να χάσετε το τρένο; (β) να περιμένετε ακριβώς πέντε λεπτά; (γ) να περιμένετε το πολύ πέντε λεπτά; (δ) να περιμένετε τουλάχιστον πέντε λεπτά; 9 8 : 45 Λύση (α) P ( 9 : 00) 9 : 00) F (9) 05 9 :5 8 : 45 (β) P ( 9 : 05) 0 (γ) P ( 9 : 00 9 : 05) F (9 : 05) F (9 : 00) 6 (δ) P ( 9 : 05) 9 : 05) F (9 : 05) β) Εκθετική τυχαία μεταβλητή Λέμε ότι η είναι μία εκθετική τυχαία μεταβλητή με παράμετρο 0 αν η συνάρτηση πυκνότητας της e, 0 δίνεται από τον τύπο 0, 0 Η είναι πράγματι μία συνάρτηση πυκνότητας διότι d 0 e d ( e )' d Η συνάρτηση κατανομής F της δίνεται από τον τύπο 0 e, 0 F ( t) dt Επιπλέον, e, 0 0, 0 Παράδειγμα 6 Έστω ότι η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ακολουθεί την Εκθετική κατανομή με παράμετρο (α) Αν κάποιος φτάσει σε ένα τηλεφωνικό θάλαμο ακριβώς πριν απο εμάς, ποια είναι η 5 πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε περισσότερο από 5 λεπτά; (β) Αν τη στιγμή που φτάνουμε στον τηλεφωνικό θάλαμο, το άτομο που είναι μέσα, μιλάει ήδη για 5 λεπτά, ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε περισσότερο από 5 λεπτά; 5 Λύση Η συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον τύπο F ( t) 0, t 0 και F( t) e, t 0 t (α) Έχουμε P ( 5) 5) F(5) ( e ) e 68% (β) Με χρήση της ιδιότητας της έλλειψης μνήμης της Εκθετικής κατανομής, έχουμε: P ( 5 5 5) 5) F(5) e 68% 49

(ε) Κανονική τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα 7 Η εσωτερική διάμετρος (σε ίντσες) των σωλήνων από χαλκό που παράγει ένα εργοστάσιο ακολουθεί την κανονική κατανομή N (0, ) Σωλήνες με εσωτερική διάμετρο εκτός των ορίων 0 0 ίντσες ανακυκλώνονται (α) Αν 0 να βρεθεί η πιθανότητα να ανακυκλωθούν ακριβώς τρεις σωλήνες σε ένα δείγμα πέντε σωλήνων που επιλέγεται τυχαία από την παραγωγή του εργοστασίου (β) Πόση θα πρέπει να γίνει η παράμετρος έτσι ώστε η πιθανότητα ανακύκλωσης ενός σωλήνα να είναι 006; Λύση Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά την εσωτερική διάμετρο των σωλήνων Τότε ~ N(0, ) Η πιθανότητα ανακύκλωσης των σωλήνων είναι p 0 ή 99) 99 0) 99 0 0 00 0 0 0 P (α) Η πιθανότητα ανακύκλωσης είναι () [ 084] 074 p Έστω Y η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των σωλήνων από το δείγμα των πέντε σωλήνων που ανακυκλώνονται Ισχύει ότι 5 Y ~ Bi ( 5, p 074) Τότε P ( Y ) (074) ( 074) 049 (β) Θα πρέπει p 0 0 006 097 88 Άρα, 0 88 005 000809 50