ΚΕΦ Τ ΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗ Η ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 425 = 4 εκατοντϊδεσ 2 δεκϊδεσ 5 μονϊδεσ 4 * 2* 5* 4 * 2* 5* 4 *2 2* 5* 94257 = 9* 4* 2* 5* 7* * 9*5 4*4 5*2 7* * 2*3 Για τον προηγούμενο αριθμό Θϋτοντασ β= (η βϊςη του ςυςτόματοσ αρύθμηςησ) και α, α, α2, α3, α4, α5 τα ψηφύα του αριθμού (όπου α το πιο αριςτερό ψηφύο γνωςτό και ωσ λιγότερο ςημαντικό ψηφύο) ϋχουμε: 94257 =α5*β5 α4*β4 α3*β3 α2*β2 α*β α*β και αν m το πλόθοσ των ψηφύων του αριθμού παύρνουμε: 94257 =αm-*βm- αm-2*βm-2 αm-3*βm-3 αm-4*βm-4 αm-5*βm-5 αm-6*βm-6 και ςτην γενικό περύπτωςη ϋνασ οποιοςδόποτε ακϋραιοσ αριθμόσ Χ μπορεύ να γραφεύ: Χ = αm-*βm- αm-2*βm-2 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ. α*β α*β
Πραγματικού ό δεκαδικού ό κλαςματικού αριθμού,452 =4 δϋκατα ςυν 5 εκατοςτϊ ςυν 2 χιλιοςτϊ = 4/ 5/ 2/ =4* - 5* -2 2* -3 =,4,5,2 =α-*β - α-2*β -2 α-3*β -3 και αν n το πλόθοσ των ψηφύων του κλαςματικού μϋρουσ ενόσ αριθμού Α Α= α-*β - α-2*β -2 α-3*β -3. α-n*β -n 8796,25 = ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 2
ΤΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗΗ Πύνακασ: Ψηφύα αριθμητικών ςυςτημϊτων 4632,5368 = 4*8 4 6*8 3 *8 2 3*8 2*8 5*8-3*8-2 6*8-3 65FA3D6 = 6*6 5 5*6 4 5*6 3 *6 2 3*6 3*6 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 3
ΜΕΣΑΣΡΟΠΕ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟ ΕΝΑ Τ ΣΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗ Η Ε ΑΛΛΟ Μετατροπό από δεκαδικό ςε δυαδικό ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 4
Μετατροπό από δυαδικό ςε δεκαδικό ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 5
Μετατροπό από δεκαδικό ςε δεκαεξαδικό και αντύςτροφα,234 = Χ(6) Ακρύβεια 5 δεκαδικών ψηφύων,234 x 6 =3,724,724 x 6 =,2384,2384 x 6 = 3,844,844 x 6 = 3,34,34 x 6 =,4864 Άρα,2346=,33 ακρύβεια 5 δεκαδικών ψηφύων ό,234 =,346 ακρύβεια 3 δεκαδικών ψηφύων (γιατύ,844 >,5),7875 = Χ6 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 6
Μετατροπϋσ από δεκαδικό ςε οκταδικό 245,6 = Χ8 Μετατρϋπω ξεχωριςτϊ το ακϋραιο μϋροσ 245 και ξεχωριςτϊ το κλαςματικό,6 245 8 5 3 8 6 3 8 3 Άρα 245 =3658,6 = X8 Ακρύβεια 5 δεκαδικών ψηφύων,6 x 8 = 4,8,8 x 8 =6,4,4 x 8 = 3,2,2 x 8 =,6,6 x 8 =4,8 Άρα,6 =,46358 Απϊντηςη 245,6 = 365,46358 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 7
Απευθεύασ μετατροπό από δεκαεξαδικό ςε δυαδικό 4D5A6=X2 4 D 5 A Άρα 4D5A6 =2 Απευθεύασ μετατροπό από οκταδικό ςε δυαδικό 47268=Χ2 4 7 2 6 Άρα 74728=2 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 8
Πρόςθεςη δυαδικών αριθμών Ιςχύει = = = = ςυν (κρατούμενο) = ςυν (κρατούμενο) Παρϊδειγμα 2 κρατούμενα 2,, 2 Παρϊδειγμα 2 2 κρατούμενα 2,, 2 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 9
ΚΕΦ 2 ΑΝΑΠΑΡΑ ΣΑ Η ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑ ΣΑ Η ΠΡΟ ΗΜΑ ΜΕΝΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Προςημαςμϋνου μϋτρου Σο πιο αριςτερό ψηφύο του αριθμού (γνωςτό και ωσ περιςςότερο ςημαντικό ψηφύο) δηλώνει το πρόςημο του αριθμού ωσ εξόσ: Αν περιςςότερο ςημαντικό ψηφύο = τότε Ο αριθμόσ εύναι θετικόσ Αλλιώσ Αν περιςςότερο ςημαντικό ψηφύο = τότε Ο αριθμόσ εύναι αρνητικόσ Έτςι 26 = 2-26 =2 2 = 28628 = 54 2 = 28628 = -54 Η περύπτωςη του μηδενόσ = 2 αλλϊ και = 2 Δύο αναπαραςτϊςεισ για το μηδϋν;;; ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ
υμπλόρωμα ωσ προσ Παύρνω τον θετικό αριθμό και τον μετατρϋπω ςτο δυαδικό. Αντιςτρϋφω τα ψηφύα του αριθμού αντικαθιςτώντασ τα με και τα με. Ο αριθμόσ που προκύπτει εύναι ο αρνητικόσ του αρχικού Παρϊδειγμα 26 = 2 ό 2=-26 54 = 2 ό 2 =-54 Παρϊδειγμα 2-8 = Χ2 - Παύρνω τον θετικό αριθμό 8 και τον μετατρϋπω ςτο δυαδικό. Εύναι 8 = 2 2- Αντιςτρϋφω τα ψηφύα του αριθμού αντικαθιςτώντασ τα με και τα με. ό 2 2 3- Ο αριθμόσ που προϋκυψε εύναι ο 2 =-8 ύ Παρϊδειγμα 3 2 = Χ Σο πιο ςημαντικό ψηφύο του αριθμού εύναι ϊρα ο αριθμόσ εύναι αρνητικόσ. Αντιςτρϋφοντασ τα ψηφύα του θα βρω τον αντύςτοιχο θετικό. Έχουμε λοιπόν: ό ύ 2 2 = 43264 = Άρα 2 = - Επαλόθευςη (αφόνεται ωσ ϊςκηςη) ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ
υμπλόρωμα ωσ προσ 2 - Αρχικϊ μετατρϋπω τον θετικό αριθμό που δύνεται ςτο δυαδικό ςύςτημα. 2- Βρύςκω το ςυμπλόρωμα ωσ προσ του παραπϊνω αριθμού 3- Προςθϋτω το και ο αριθμόσ που προκύπτει εύναι ο αρνητικόσ του αρχικού Παρϊδειγμα -54 = X2 54 = 2 μετατροπή σε σσμπλήρωμα ως προς 2 2 2 Άρα -54 = 2 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 2
Παρϊδειγμα 2-3 = X2 3 = 2 μετατροπή σε σσμπλήρωμα ως προς Προςθϋτω 2 Άρα -3 = 2 Παρϊδειγμα 3 2 = Χ αντιςτρϋφω τα ψηφύα του αριθμού Προςθϋτω 2 2 2 2 = 32 ϊρα 2 = -3 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 3
Βαζικέρ ππάξειρ & ςμπλήπωμα ωρ ππορ 2 Πρόςθεςη και αφαύρεςη ακεραύων Παρϊδειγμα 3 4 = X2 2 3 2 4 2 7 Παρϊδειγμα -7 5 = X2 ό 7 = 2 2 = 2 2 2 2 = -7-7 5-2 Παρϊδειγμα 98-23 = Χ2 ό 23 = 2 = 2 = 2 = -23 2 2 98-23 75 Σηο αποηέλεζμα 2 πποκύπηει ένα επιπλέον bit (bit ςπολοίπος) ηο οποίο αγνοούμε, πποκειμένος να πάποςμε ηο ζωζηό αποηέλεζμα 2 = 75. ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 4
Παρϊδειγμα -54 68 = X2 ό 54 =..2..2 = 2 2..2 = -54-54 68 4 Όπωρ και πποηγοςμένωρ αγνοούμε ηο bit ςπολοίπος και ηο ζωζηό αποηέλεζμα είναι 2 = 4. Παρϊδειγμα (Τπερχεύλιςη) 5 4 = X2 2 5 2 4 2 9 Οι δύο απιθμοί πος πποζθέηοςμε είναι θεηικοί, ηο αποηέλεζμα όμωρ είναι απνηηικό αθού ηο bit πποζήμος είναι. Η καηάζηαζη αςηή είναι γνωζηή ωρ σπερτείλιση. Σηο ζςγκεκπιμένο παπάδειγμα διαθέηοςμε ένα bit για ηο ππόζημο και 3 bit για ηο μέηπο ηος απιθμού. Ο μεγαλύηεπορ θεηικόρ απιθμόρ πος μποπεί να παπαζηαθεί μ αςηόν ηον ηπόπο είναι ο 2 = 7. Εθ όζον όμωρ ηο αποηέλεζμα θα ππέπει ναι είναι ηο 9 και ιζσύει 9 > 7 πολύ απλά δεν μποπούμε να έσοςμε ζωζηό αποηέλεζμα. ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 5
Παρϊδειγμα (Τπερχεύλιςη) - - 33 = X2 2 2 2 - -33-43 Οι απιθμοί - και -33 δίνοςν κανονικά άθποιζμα -43. Με 8 bits όμωρ μήκορ λέξηρ ο μικπόηεπορ απιθμόρ πος μποπεί να παπαζηαθεί είναι ο 2=-28. Πωρ πποκύπηει; ό 2 2 = 2 = 28 Άρα 2 = -28 Το ζωζηό αποηέλεζμα -43 είναι μικπόηεπο από ηον μικπόηεπο απιθμό πος μποπεί να παπαζηαθεί -28 και ζςνεπώρ δεν ςπάπσει πεπίπηωζη να έσοςμε ζωζηό αποηέλεζμα. Για μια ακόμη θοπά σπερτείλιση. Παρϊδειγμα (Τπερχεύλιςη) -7-6 = X2 2-7 2-6 2-3 Σηο αποηέλεζμα 2 ηο bit ςπολοίπος αγνοείηαι, ώζηε ωρ αποηέλεζμα να δοθεί ο απιθμόρ 2 ο οποίορ ζύμθωνα με ηο bit πποζήμος είναι θεηικόρ. Κάηι ηέηοιο όμωρ δεν μποπεί να ζςμβαίνει μιαρ και οι δύο απιθμοί πος πποζηέθηκαν είναι απνηηικοί. Άπα σπερτείλιση ξανά. ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 6
Πόηε λοιπόν μποπεί να ζςμβεί ςπεπσείλιζη; Όηαν ηο αποηέλεζμα ηηρ ππόζθεζηρ δύο απνηηικών απιθμών είναι έναρ θεηικόρ απιθμόρ ή όηαν ηο αποηέλεζμα ηηρ ππόζθεζηρ δύο απνηηικών είναι θεηικόρ ηόηε έσοςμε σπερτείλιση. ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 7
Πολλαπλαςιαςμόσ ακεραύων 3 = X2 2 Πολλαπλασιαστέος 2 3 Πολλαπλασιαστής 43 Γινόμενο 2 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 8
Παπάζηαζη ππαγμαηικών απιθμών ταθερόσ υποδιαςτολόσ Τποδιαζηολή μεηαξύ 2ος και 3ος ψηθίος 375,375 42835 42,835 2,2 2,2 Τποδιαζηολή μεηαξύ 3ος και 4ος ψηθίος (ζςμπληπώζηε) 375 42835 2 2 Τποδιαζηολή μεηαξύ 5ος και 6ος ψηθίος 2, = 3,75 2, ό,2,2 = -3.75 Παρϊδειγμα Έζηω οι απιθμοί 3,25 και-9,5. Επίζηρ δίνεηαι μήκορ λέξηρ ηος ΗΤ= bit από ηα οποία ηα 6 διαηίθενηαι για ηην παπάζηαζη ηος ακέπαιος μέποςρ ηος απιθμού ( bit ππόζημο ζςν 5 bit ηο μέηπο ηος απιθμού) ενώ ηα ςπόλοιπα 2 για ηο ππαγμαηικό μέπορ. Να παπαζηαθούν οι απιθμοί ζηο δςαδικό ζύζηημα απίθμηζηρ και καηόπιν να πποζηεθούν. 3,25 =,2 9,5 =,2 ό ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ,2 =,2 = -9,5 9
, 2 3,25, 2-9,5, 2,75 ΝΙΚΟΛΟΠΟΤΛΟ ΔΗΜΗΣΡΙΟ 2