3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογές Διερευνητικ Ανάλυση Δεδομένων
Σχετικ Συχνότητα % Σχετικ Αθροιστικ Συχνότητα % 2 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 1 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών(%) και σχετικών αθροιστικών(%) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, για τα Κέρδη ( 10 8 /έτος) των πολυεθνικών εταιρειών 40,00 37,74 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 28,30 18,87 15,09 10-40 40-70 70-100 100-130 Κέρδη ( 10 8 /έτος) 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 84,91 66,04 28,30 10-40 40-70 70-100 100-130 Κέρδη ( 10 8 /έτος) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 61,23 Διάμεσος: M e = 57,25 Επικρατούσα τιμ: M o = 55 Διασπορά: s 2 = 947,02 Τυπικ απόκλιση: s = 17 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 45,50 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 1,2 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) = 0,8 Συντελεστς κύρτωσης: α = 0,9 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) = 0,4 ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος των πολυεθνικών εταιρειών είναι κέρδη τους να υπερβαίνουν τα 8 70 10 / έτος. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την επίτευξη του παραπάνω στόχου; Αιτιολογστε την απάντησ σας Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 3 Μεταβλητ: X 8 : Κέρδη ( 10 / έτος) Πληθυσμός: Οι πολυεθνικές εταιρείες ( α ) 1,2 2 se.. 2 0,8 1,6 συμμετρικ 0,9 2 se.. 20,4 0,8 0 πλατύκυρτη Η κατανομ των κερδών των πολυεθνικών εταιρειών, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι μεσόκυρτη, αφού 2 se.. ( β ) Αριθμητικός μέσος: X 61,23 Τα μέσα κέρδη των πολυεθνικών εταιρειών, εκτιμώνται σε Διάμεσος: M e 67,25 8 61,23 10 /έτος. Οι μισές από τις πολυεθνικές εταιρείες, εκτιμάται ότι έχουν κέρδη λιγότερα από 8 67,25 10 /έτος. Οι μισές από τις πολυεθνικές εταιρείες, εκτιμάται ότι έχουν κέρδη τουλάχιστον 8 67,25 10 /έτος ) Επικρατούσα τιμ: M o 55 Το μεγαλύτερο ποσοστό των πολυεθνικών εταιρειών ( 23%), εκτιμάται ότι έχουν κέρδη 8 55 10 /έτος. cv% 45,50 Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι πάρα πολύ αυξημένος, καθώς 45,50% 10% Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των εταιρειών υπάρχουν πολύ σημαντικές διαφορές, ως προς τα κέρδη. ( γ ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι 66,04% των πολυεθνικών εταιρειών έχουν κέρδη κάτω από 8 κέρδη από 7010 /έτος και πάνω. 8 70 10 /έτος και μόλις το 33,96 % έχουν Παρατηρούμε επίσης, ότι όλα τα μέτρα κεντρικς τάσης έχουν τιμές αρκετά χαμηλότερες από 8 70 10 /έτος, που έχει καθοριστεί ως το ελάχιστο επιθυμητό όριο κερδών. Δεν θα μπορούσαμε επομένως να πούμε, ότι οι πολυεθνικές εταιρείες έχουν πετύχει τον στόχο τους. Σημειώσεις Στατιστικς
Σχετικ συχνότητα (%) Σχετικ συχνότητα (%) 4 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 2 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, της δαπάνης για ηλεκτρικ ενέργεια ( /μνα) των νοικοκυριών στην Ελλάδα. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 40 32 24 4 <40 60-80 80-100 >100 Δαπάνη ηλεκτρικς ενέργειας ( /μνα) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 96 100 72 32 <40 60-80 80-100 >100 Δαπάνη ηλεκτρικ ενέργειας ( /μνα) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 60 Διάμεσος: M e = 68 Επικρατούσα τιμ: M o = 69 Διασπορά: s 2 = 1225 Τυπικ απόκλιση: s = 35 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 57,14 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 0,36 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) = 0,4 Συντελεστς κύρτωσης: α = 0,95 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) = 0,5 ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Θεωρείται ως ικανοποιητικό στοιχείο για την κατανάλωση ενέργειας η δαπάνη των νοικοκυριών να είναι λιγότερη από 80 / μνα. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την επίτευξη του παραπάνω στόχου; Αιτιολογστε την απάντησ σας, αξιοποιώντας κατάλληλα όσες από τις παραπάνω πληροφορίες χρειάζονται. Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 5 Μεταβλητ: X : Δαπάνη για ηλεκτρικ ενέργεια ( / μνα) Πληθυσμός: Τα νοικοκυριά στην Ελλάδα. ( α ) 0,36 συμμετρικ 2 se.. 20, 4 0,80 0,95 μεσόκυρτη 2 se.. 20,5 1,00 Η κατανομ της δαπάνης για ηλεκτρικ ενέργεια των νοικοκυριών στην Ελλάδα, φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς είναι συμμετρικ και μεσόκυρτη, αφού 2 se.. και 2 se.. ( β ) Αριθμητικός μέσος: X 60 Η μέση δαπάνη για ηλεκτρικ ενέργεια των νοικοκυριών στην Ελλάδα, εκτιμάται σε 60 /μνα. Διάμεσος: M e 68 Τα μισά από νοικοκυριά στην Ελλάδα, εκτιμάται ότι δαπανούν για ηλεκτρικ ενέργεια λιγότερο από 68 /μνα. Τα μισά από νοικοκυριά στην Ελλάδα, εκτιμάται ότι δαπανούν για ηλεκτρικ ενέργεια τουλάχιστον 68 /μνα Επικρατούσα τιμ: M o 69 Το μεγαλύτερο ποσοστό των νοικοκυριών στην Ελλάδα δαπάνη για ηλεκτρικ ενέργεια 69 /μνα. cv% 57,14 ( γ ) ( 40%), εκτιμάται ότι έχουν Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι πάρα πολύ αυξημένος, καθώς 57,14% 10% Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των νοικοκυριών υπάρχουν πολύ σημαντικές διαφορές, ως προς τη δαπάνη για κατανάλωση ηλεκτρικς ενέργειας. Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι 72,00% των νοικοκυριών στην Ελλάδα δαπανούν για ηλεκτρικ ενέργεια λιγότερο από 80 /μνα και μόλις το 28,00 % δαπανούν από 80 /μνα και πάνω. Παρατηρούμε επίσης, ότι όλα τα μέτρα κεντρικς τάσης έχουν τιμές αρκετά χαμηλότερες από 80 /μνα, που έχει καθοριστεί ως η μέγιστη επιθυμητ δαπάνη για την κατανάλωση ενέργειας. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε, η δαπάνη για ηλεκτρικ ενέργεια των νοικοκυριών στην Ελλάδα κυμαίνεται σε χαμηλά επίπεδα και ο στόχος έχει επιτευχθεί. Σημειώσεις Στατιστικς
Σχετικ Συχνότητα (%) Σχετικ Αθροιστικ Συχνότητα (%) 6 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 3 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, για το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες (%), στις χώρες της EU-28. 40 35 30 35,71 32,14 80,00 67,86 85,71 89,29 25 20 15 10 5 17,86 3,57 10,71 60,00 40,00 20,00 35,71 0 4 0,00 8 12 16 20 4 8 12 16 20 Ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές Ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες (%) καλλιέργειες (%) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 7 Διάμεσος: M e = 5,53 Επικρατούσα τιμ: M o = 3,5 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 1,04 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) = 0,35 Συντελεστς κύρτωσης: α = 2,58 Τυπικό σφάλμα: s. e. (α) = 0,45 Τυπικ απόκλιση: s = 5 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 71,42% ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος της EU-28 είναι το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες να είναι τουλάχιστον 12%. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, πώς θα χαρακτηρίζατε το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες στις χώρες της EU-28; Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 7 Μεταβλητ: X : Ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες (%) Πληθυσμός: Οι χώρες της EU-28 ( α ) 1,04 2 se.. 20,35 0,70 0 2,58 θετικ ασυμμετρία πλατύκυρτη 2 se.. 20, 45 0,90 0 Η κατανομ του ποσοστού χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες στις χώρες της EU-28, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι συμμετρικ, αφού ( β ) 2 se.. Αριθμητικός μέσος: X 7 Το μέσο ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες στις χώρες της EU-28, εκτιμάται σε 7%. Διάμεσος: M e 5,53 Στις μισές από τις χώρες της EU-28, εκτιμάται ότι το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες είναι χαμηλότερο του 5,53%. Στις μισές από τις χώρες της EU-28, εκτιμάται ότι το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες υπερβαίνει το 5,53%. Επικρατούσα τιμ: M o 3,5 Στις περισσότερες από τις χώρες της EU-28 ( 35,71%), το εκτιμώμενο ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες είναι 3,5%. cv% 71,42 Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι πάρα πολύ αυξημένος, καθώς 71,42% 10% Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των χωρών της EU-28 οι διαφορές, ως προς το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες είναι «τεράστιες». ( γ ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε στο 85,71% των χωρών της EU-28 το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες είναι χαμηλότερο από 12%, και μόλις στο 14,29 % των χωρών της EU-28 υπερβαίνει το 12%. Παρατηρούμε επίσης, ότι όλα τα μέτρα κεντρικς τάσης έχουν τιμές αρκετά χαμηλότερες από 12% που έχει καθοριστεί ως ο ελάχιστος επιθυμητός στόχος από την Ε.Ε. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε στις χώρες της EU-28, το ποσοστό χρσης γεωργικών εκτάσεων για οργανικές καλλιέργειες βρίσκεται ακόμη σε χαμηλά επίπεδα και ο στόχος δεν έχει επιτευχθεί. Σημειώσεις Στατιστικς
Σχετικ Συχνότητα % Σχετικ Αθροιστικ Συχνότητα % 8 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 4 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών ( % ) και σχετικών αθροιστικών ( % ) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, για το Βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών (σε Kgr /κεφαλ), στις χώρες της EU-28. 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 32,14 21,43 21,43 17,86 3,57 3,57 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 96,43 92,86 71,43 53,57 21,43 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 Βάρος αναλυκλώσιμων υλικών (kgr /κεφαλ) Βάρος αναλυκλώσιμων υλικών (kgr / κεφαλ) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 103,25 Διάμεσος: M e = 91 Επικρατούσα τιμ: M o = 88 Τυπικ απόκλιση: s = 63,63 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 0,83 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) = 0,30 Συντελεστς κύρτωσης: α = 0,91 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) = 0,55 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 61,59 ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος της Ε.Ε. είναι η συλλογ των ανακυκλώσιμων υλικών να ανέρχεται σε τουλάχιστον 150 kgr/κεφαλ. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, πώς θα χαρακτηρίζατε τη συλλογ των ανακυκλώσιμων υλικών στις χώρες της EU-28; Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 9 Μεταβλητ: X : Bάρος ανακυκλώσιμων υλικών (Kgr/κεφαλ) Πληθυσμός: Οι χώρες της EU-28 ( α ) 0,83 2 se.. 20,30 0,60 0 0,91 θετικ ασυμμετρία μεσόκυρτη 2 se.. 20,55 1,10 Η κατανομ του βάρους των ανακυκλώσιμων υλικών στις χώρες της EU-28, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι συμμετρικ, αφού ( β ) Αριθμητικός μέσος: X 103,25 2 se.. Το μέσο βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών στις χώρες της EU-28, εκτιμάται σε 103,25 kgr/κεφαλ. Διάμεσος: M e 91 Στις μισές από τις χώρες της EU-28, εκτιμάται ότι το βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών είναι μικρότερο από 91 Kgr/κεφαλ. Στις μισές από τις χώρες της EU-28, εκτιμάται ότι το βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών είναι τουλάχιστον 91 Kgr/κεφαλ. Επικρατούσα τιμ: M o 88 Στις περισσότερες από τις χώρες της EU-28 ανακυκλώσιμων υλικών είναι 88 Kgr/κεφαλ. cv% 61,59 ( 32,14%), το εκτιμώμενο βάρος των Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι πάρα πολύ αυξημένος, καθώς 61,59% 10% Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των χωρών της EU-28 υπάρχουν πολύ σημαντικές διαφορές, ως προς το βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών. (γ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε στο 71,43% των χωρών της EU-28, το βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών είναι χαμηλότερο από 150 Kgr/κεφαλ, και μόλις στο 28,57 % των χωρών της EU-28 υπερβαίνει τα 150 Kgr/κεφαλ. Παρατηρούμε επίσης, ότι όλα τα μέτρα κεντρικς τάσης έχουν τιμές αρκετά χαμηλότερες από τα 150 Kgr/κεφαλ, που έχει καθοριστεί ως ο ελάχιστος επιθυμητός στόχος από την Ε.Ε. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε στις χώρες της EU-28, το βάρος των ανακυκλώσιμων υλικών βρίσκεται ακόμα σε χαμηλά επίπεδα και ο στόχος δεν έχει επιτευχθεί. Σημειώσεις Στατιστικς
Σχετικές συχνότητες (%) Σχετικές αθροιστικές συχνότητες (%) 10 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 5 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, για τον αριθμό επιβατών στις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY. 35 30 25 20 15 10 5 0 31,67 28,33 21,67 18,33 100-110 110-120 120-130 130-140 Αριθμός επιβατών 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 71,67 40,00 18,33 100-110 110-120 120-130 130-140 Αριθμός επιβατών Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 116 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 0,47 Διάμεσος: M e = 123 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) =0,20 Επικρατούσα τιμ: M o = 128 Συντελεστς κύρτωσης: α = 1,23 Διασπορά: s 2 = 116,27 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) =0,40 Τυπικ απόκλιση: s = 10,78 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 8,84 ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα Κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος της αεροπορικς εταιρείας είναι ο αριθμός των επιβατών να υπερβαίνει τα 120 άτομα/πτση. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την επίτευξη του παραπάνω στόχου; Αιτιολογστε την απάντησ σας Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 11 Μεταβλητ: X : Αριθμός επιβατών Πληθυσμός: Οι πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY. ( α ) 0,47 2 se.. 20,20 0,40 0 1,23 αρνητικ ασυμμετρία πλατύκυρτη 2 se.. 2 0,40 0,80 0 Η κατανομ του αριθμού των επιβατών στις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι συμμετρικ, αφού ( β ) 2 se.. Αριθμητικός μέσος: X 116 Ο μέσος αριθμός επιβατών στις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY, εκτιμάται σε 116 άτομα. Διάμεσος: M e 123 Στις μισές από τις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY, εκτιμάται ότι ο αριθμός των επιβατών είναι μικρότερος από 123 άτομα. Στις μισές από τις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY, εκτιμάται ότι ο αριθμός των επιβατών είναι τουλάχιστον 123 άτομα. Επικρατούσα τιμ: M o 128 Στις περισσότερες από τις πτσεις της αεροπορικς εταιρείας FLY ( 31,67%), εκτιμάται ότι ο αριθμός των επιβατών είναι 128 άτομα. cv% 8,84 Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι μικρός, καθώς 8,84% 10% Ατό σημαίνει ότι δεν παρατηρούνται ιδιαίτερα μεγάλες διαφορές μεταξύ των πτσεων της αεροπορικς εταιρείας FLY, ως προς το πλθος των επιβατών. (γ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι στο 40,00% των πτσεων της αεροπορικς εταιρείας FLΥ, ο αριθμός των επιβατών είναι μικρότερος από 120 άτομα, ενώ στο 60% (που είναι και το μεγαλύτερο ποσοστό) υπερβαίνει τα 120 άτομα. Παρατηρούμε επίσης, ότι η διάμεσος και η επικρατούσα τιμ έχουν τιμές μεγαλύτερες από 120 που έχει καθοριστεί ως το ελάχιστο επιθυμητό πλθος επιβατών, και μόνον ο αριθμητικός μέσος βρίσκεται χαμηλότερα. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε ο στόχος της εταιρείας έχει επιτευχθεί, αλλά θα πρέπει να γίνει προσπάθεια για περαιτέρω βελτίωση. Σημειώσεις Στατιστικς
Σχετικές συχνότητες (%) Σχετικές αθροιστικές συχνότητες (%) 12 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 6 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοττων καθώς και τα στατιστικά, για τις αφίξεις πτσεων που καταφθάνουν καθημερινά στο αεροδρόμιο Β. 40 35 30 25 20 15 10 5 0 35,00 25,00 23,33 16,67 100-110 110-120 120-130 130-140 Αφίξεις πτσεων (πλθος ανά ημέρα) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 83,33 60,00 25,00 100-110 110-120 120-130 130-140 Αφίξεις πτσεων (πλθος ανά ημέρα) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοττων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοττων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 118 Συντελεστς ασσυμετρίας: γ = 0,31 Διάμεσος: M e = 117 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) =0,50 Επικρατούσα τιμ: M o = 115 Συντελεστς κύρτωσης: α = 0,10 Διασπορά: s 2 = 106,78 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) =0,2 Τυπικ απόκλιση: s = 10,33 Συντελεστς μεταβλητότητας: cv % = 8,74 ( α ) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης, ελέγξτε την Κανονικότητα της Κατανομς. ( β ) Παρουσιάστε τα μέτρα Κεντρικς τάσης, και σχολιάστε τον συντελεστ μεταβλητότητας. ( γ ) Για την ομαλ λειτουργία του αεροδρομίου, οι αφίξεις πτσεων δεν θα πρέπει να υπερβαίνουν τις 120 ανά ημέρα. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την ομαλότητα της λειτουργίας του αεροδρομίου; Αιτιολογστε την απάντησ σας ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Ο πληθυσμός είναι οι ημέρες λειτουργίας του αεροδρομίου Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 13 Μεταβλητ: X : Αφίξεις πτσεων ανά ημέρα Πληθυσμός: Οι ημέρες λειτουργίας του αεροδρομίου. ( α ) 0,31 συμμετρικ 2 se.. 2 0,50 1,00 0,10 μεσόκυρτη 2 se.. 2 0,20 0,40 Η κατανομ των αφίξεων πτσεων στο αεροδρόμιο Β, φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς είναι συμμετρικ, αφού ( β ) 2 se.. Αριθμητικός μέσος: X 118 2 se.. και μεσόκυρτη, αφού Οι μέσες αφίξεις πτσεων στο αεροδρόμιο Β, εκτιμώνται σε 118 ανά ημέρα. Διάμεσος: M e 117 Στις μισές από τις ημέρες λειτουργίας του αεροδρομίου Β, εκτιμάται ότι γίνονται λιγότερες από 117 αφίξεις πτσεων. Στις μισές από τις ημέρες λειτουργίας του αεροδρομίου Β, εκτιμάται ότι γίνονται τουλάχιστον 117 αφίξεις πτσεων. Επικρατούσα τιμ: M o 115 Τις περισσότερες από τις ημέρες λειτουργίας του αεροδρομίου Β ( 35,00 %), εκτιμάται γίνονται 115 αφίξεις πτσεων. cv% 8,74 Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι μικρός, καθώς 8,74% 10% Αυτό σημαίνει ότι δεν παρατηρούνται ιδιαίτερα μεγάλες διαφορές μεταξύ των ημερών λειτουργίας του αεροδρομίου, ως προς το πλθος των αφίξεων πτσεων. (γ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι στο 60% των ημερών λειτουργίας του αεροδρομίου Β, πραγματοποιούνται λιγότερες από 120 αφίξεις πτσεων, και μόνον στο 40% των ημερών οι αφίξεις πτσεων υπερβαίνουν τις 120. Παρατηρούμε επίσης ότι όλα τα μέτρα Κεντρικς τάσης έχουν τιμές μικρότερες από το 120, που τέθηκε σαν ανώτατο όριο εύρυθμης λειτουργίας του αεροδρομίου. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε η λειτουργία του αεροδρομίου κρίνεται ως σχετικά ομαλ, καθώς το ποσοστό (40% ) των ημερών κατά τις οποίες γίνεται υπέρβαση του ορίου είναι σημαντικό και θα πρέπει μειωθεί. Σημειώσεις Στατιστικς
14 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 7 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Παρακάτω βλέπουμε τα ιστογράμματα και τα πολύγωνα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών συχνοττων (%) καθώς και τις εκτιμσεις των αριθμητικών μέτρων, όπως αυτές προκύπτουν από τα ομαδοποιημένα δεδομένα. Χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία, περιγράψτε τις κατανομές της ηλικίας των εργατών ξεχωριστά για κάθε επιχείρηση. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Α 40 36 91,00 95,00 98,00 99,40 35 30 29 80,00 72,00 25 20 15 19 60,00 40,00 36,00 10 5 0 6 4 3 1 1,4 0,6 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-60 60-70 20,00 0,00-20,00 7,00 1,00 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-60 60-70 Ηλικία σε έτη Ηλικία σε έτη Ιστόγραμμα Σχετικών ( % ) Συχνοττων Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών ( % ) Συχνοττων Αριθμητικός Μέσος X = 32,61 Τι παρατηρούμε: Διάμεσος Μ d = 31,94 Επικρατούσα Τιμ M o = 31,46 Διασπορά s 2 = 44,50 Τυπικ Απόκλιση s = 6,67 Συντελεστς Μεταβλητότητας cv % = 20 % Συντελεστς Ασυμμετρίας Τυπικό σφάλμα γ = 1,3 s. e. (γ) = 0,42 Συντελεστς Κύρτωσης Τυπικό σφάλμα α = 3,78 s. e. (α) = 0,35 Ελάχιστη τιμ min = 17 Μέγιστη τιμ max = 67 1 ο τεταρτημόριο Q 1 = 25,42 3 ο τεταρτημόριο Q 3 = 36,28 Πίνακας Αριθμητικών Περιγραφικών Μέτρων Υπολογισμοί από Ομαδοποιημένα Δεδομένα 1. Έχουμε ένα μονοκόρυφο ιστόγραμμα, το οποίο φαίνεται να έχει θετικ ασυμμετρία. 2. Τη σχετικ θέση των μέτρων κεντρικς τάσης Εδώ M ο = 31,46 < M d = 31,94 < X = 32,61. Για άλλη μια φορά έχουμε ένδειξη θετικς ασυμμετρίας, χωρίς όμως o αριθμητικός μέσος να είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμ. 3. Ο συντελεστς ασυμμετρίας είναι γ = 1,3 > 0 και 2 s. e. (γ) = 2 0,42 = 0,84. Καθώς γ > 2 s. e. (γ) & γ > 0 θεωρούμε ότι η κατανομ εμφανίζει θετικ ασυμμετρία. 4. Ο συντελεστς κύρτωσης είναι α =3,78 > 0 και 2 s. e. (α) = 2 0,35 = 0,70. Καθώς, α > 2 s. e. (α) & α > 0 η κατανομ χαρακτηρίζεται ως λεπτόκυρτη. 5. Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι 20% > 10% και είναι μεγάλος. 6. Στο ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, παρατηρούμε την «ταχύτητα» με την οποία συγκεντρώνονται οι τιμές της μεταβλητς. Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 15 Διαπιστώσεις για την ηλικία των εργαζομένων στην επιχείρηση Α Ασυμμετρία και Κύρτωση 1,3 2 se.. 21,3 2,6 0 θετικ ασυμμετρία Η θετικ ασυμμετρία που εμφανίζει μία κατανομ, υποδηλώνει την παρουσία κάποιων μεγάλων τιμών της μεταβλητς. Καθώς όμως εδώ, αυτές έχουν χαμηλές συχνότητες (όπως διακρίνουμε από το διάγραμμα σχετικών συχνοττων), δεν φαίνεται να επηρεάζουν σημαντικά τη μέση τιμ. 3,78 2 se.. 2 0,35 0,70 0 λεπτόκυρτη Η κατανομ είναι λεπτόκυρτη, με ιδιαίτερα αυξημένο τον συντελεστ κύρτωσης, επομένως περιμένουμε μεγάλη συγκέντρωση των τιμών της μεταβλητς γύρω από την κορυφ της κατανομς. Κανονικότητα Η κατανομ των ηλικιών των εργαζομένων στην επιχείρηση Α, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι συμμετρικ, αφού 2 se.. Μέτρα Κεντρικς Τάσης Αριθμητικός μέσος: X 32,61 Η μέση ηλικία των εργαζομένων στην επιχείρηση Α εκτιμάται σε 32,61 έτη. Διάμεσος: M e 31,94 Οι μισοί από τους εργαζόμενους της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 32 έτη Οι μισοί από τους εργαζόμενους της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 32 έτη Επικρατούσα τιμ: M o 31,46 Το μεγαλύτερο ποσοστό των εργαζομένων της επιχείρησης Α ( 36%), εκτιμάται ότι έχουν ηλικία 31,46 έτη. Σημειώσεις Στατιστικς
16 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Τεταρτημόρια & Ενδοτεταρτημοριακό εύρος 1 ο τεταρτημόριο: Q1 25,42 Το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 25,42 έτη. Το 75% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 25,42 έτη) 3 ο τεταρτημόριο: Q3 36,28 Το 75% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 36,28 έτη. Το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 36,28 έτη) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: Q3 Q1 Το 50% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία από 25,42 36,28 έτη. Μεταβλητότητα Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι αυξημένος (cv% =20% > 10%). Επομένως, καθώς έχουμε θετικ ασυμμετρία, γνωρίζουμε ότι στην επιχείρηση Α υπάρχουν και εργαζόμενοι με ηλικίες αρκετά μεγαλύτερες από τα 31,94 έτη, που είναι η μέση ηλικία. Αθροιστικές Συχνότητες Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι το 72% (δηλαδ περισσότερο από τα 2/3) των εργαζομένων έχουν ηλικία κάτω από 35 έτη και μόνον το 28% είναι από 35 έτη και άνω. Δεν θα ταν επομένως άτοπο, να ισχυριστούμε ότι το εργατικό δυναμικό της επιχείρησης Α είναι νεαρό ως προς την ηλικία. Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 17 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Β 25,00 20,00 18,00 23,00 20,00 90,00 80,00 70,00 68,00 80,00 93,00 15,00 12,00 13,00 60,00 50,00 48,00 10,00 7,00 7,00 40,00 30,00 25,00 5,00 0,00 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-55 55-65 Ηλικία σε έτη 20,00 10,00 0,00 7,00 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-55 55-65 Ηλικία σε έτη Ιστόγραμμα Σχετικών ( % ) Συχνοττων Ιστόγραμμα Αθροιστικών ( % ) Συχνοττων Αριθμητικός Μέσος X = 37,30 Τι παρατηρούμε: Διάμεσος M e = 35,5 Επικρατούσα Τιμ M o = 33,13 Διασπορά s 2 = 98,70 Τυπικ Απόκλιση s = 9,93 Συντελεστς Μεταβλητότητας cv % = 27 % Συντελεστς Ασυμμετρίας Τυπικό σφάλμα γ = 0,69 s. e. (γ) = 0,31 Συντελεστς Κύρτωσης Τυπικό σφάλμα α = 0,21 s. e. (α) = 0,37 Ελάχιστη τιμ min = 20 Μέγιστη τιμ max = 65 1 ο τεταρτημόριο Q 1 = 30 3 ο τεταρτημόριο Q 3 = 43,5 Πίνακας Αριθμητικών Περιγραφικών Μέτρων Υπολογισμοί από Ομαδοποιημένα Δεδομένα 1. Έχουμε ένα μονοκόρυφο ιστόγραμμα, το οποίο φαίνεται να έχει θετικ ασυμμετρία. 2. Τη σχετικ θέση των μέτρων κεντρικς τάσης Εδώ M o = 33,10 < M e = 35,5 <X = 37,30. Για άλλη μια φορά έχουμε ένδειξη θετικς ασυμμετρίας, με τον αριθμητικό μέσο να είναι αρκετά απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμ. 3. Ο συντελεστς ασυμμετρίας είναι γ = 0,69 > 0 και 2 s. e. (γ) = 2 0,31 = 0,62. Καθώς, γ > 2 s. e. (γ) & γ > 0 θεωρούμε ότι η κατανομ εμφανίζει θετικ ασυμμετρία. 4. Ο συντελεστς κύρτωσης είναι α =- 0,21 < 0 και 2 s. e. (α) = 2 0,37 = 0,74 Επομένως, α < 2 s. e. (α) και η κατανομ θεωρείται μεσόκυρτη. 5. Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι 27% > 10% και είναι μεγάλος. 6. Στο ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, παρατηρούμε την «ταχύτητα» με την οποία συγκεντρώνονται οι τιμές της μεταβλητς. Σημειώσεις Στατιστικς
18 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Διαπιστώσεις για την ηλικία των εργαζομένων στην επιχείρηση Β Ασυμμετρία και Κύρτωση 0,69 2 se.. 2 0,31 0,62 0 θετικ ασυμμετρία Η θετικ ασυμμετρία που εμφανίζει μία κατανομ, υποδηλώνει την παρουσία κάποιων μεγάλων τιμών της μεταβλητς. Καθώς εδώ αυτές έχουν υψηλές συχνότητες (όπως διακρίνουμε από το διάγραμμα σχετικών συχνοττων), φαίνεται να επηρεάζουν σημαντικά τη μέση τιμ και να την απομακρύνουν από το κέντρο της κατανομς. Επομένως, εξαιτίας της θετικς ασυμμετρίας αλλά και των υψηλών συχνοττων στις μεγάλες κλάσεις, ο αριθμητικός μέσος δείχνει να είναι αρκετά απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμ, και θεωρείται ακατάλληλος για χρση ως μέτρο κεντρικς τάσης. 0,21 2 se.. 20,37 0,74 μεσόκυρτη Κανονικότητα Η κατανομ των ηλικιών των εργαζομένων στην επιχείρηση Β, δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονικ κατανομ καθώς δεν είναι συμμετρικ, αφού 2 se.. Μέτρα Κεντρικς Τάσης Αριθμητικός μέσος: X 37,3 Η μέση ηλικία των εργαζομένων στην επιχείρηση Β εκτιμάται σε 37,3 έτη. Διάμεσος: M e 35,5 Οι μισοί από τους εργαζόμενους της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 35,5 έτη Οι μισοί από τους εργαζόμενους της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 35,5 έτη Επικρατούσα τιμ: M o 33,13 Το μεγαλύτερο ποσοστό των εργαζομένων της επιχείρησης Α ( 23%), εκτιμάται ότι έχουν ηλικία 33,13 έτη. Μαρίνα Σύρπη
Εφαρμογές της Περιγραφικς Στατιστικς 19 Τεταρτημόρια & Ενδοτεταρτημοριακό εύρος 1 ο τεταρτημόριο: Q1 30 Το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 30 έτη. Το 75% των εργαζομένων της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 30 έτη 3 ο τεταρτημόριο: Q3 43,5 Το 75% των εργαζομένων της επιχείρησης Α, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία μικρότερη από 43,5 έτη. Το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία τουλάχιστον 43,5 έτη Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: Q3 Q1 Το 50% των εργαζομένων της επιχείρησης Β, εκτιμάται ότι έχουν ηλικία από 30 43,5 έτη. Μεταβλητότητα Ο συντελεστς μεταβλητότητας είναι αυξημένος (cv% = 27% >> 10%). Καθώς έχουμε θετικ ασυμμετρία, γνωρίζουμε ότι στην επιχείρηση Β υπάρχουν εργαζόμενοι που έχουν ηλικίες αρκετά μεγαλύτερες από 37,3 έτη, που είναι η μέση ηλικία. Αθροιστικές Συχνότητες Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοττων, εκτιμούμε ότι 48% των εργαζομένων στην επιχείρηση Β έχουν ηλικία κάτω από 35 έτη και 52% (δηλαδ περισσότεροι από τους μισούς) έχουν ηλικία από 35 έτη και άνω. Σημειώσεις Στατιστικς