ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα ( ( sin ( ( ( ( ( ( ( / (. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα ( ( ( ( ( ( y y 7 ( ( ( sin / ( y dy ( ( 8 cos ( ( sin ( ( ( ( ( ( ( ( /. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γενικευμένα (καταχρηστικά ολοκληρώματα ( ( / / cos sin ( /
. Ο ρυθμός παραγωγής μιας ποσότητας P ενός χημικού είναι dp dt t O χρόνος t μετριέται σε λεπτά και P σε mols. Να βρεθεί η ποσότητα του χημικού που παράγεται μεταξύ t= και t=.. Να σχεδιαστεί η περιοχή που περικλείουν οι καμπύλες και έπειτα να υπολογιστεί το εμβαδόν της α y και y β y και y 7. Να υπολογιστεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής του σχήματος y y y y 8. Η θερμοκρασία κατά τη διάρκεια μιας μέρας δίνεται από τη σχέση T ( t όπου t= αντιστοιχεί στις π.μ. Να βρεθεί η μέση τιμή της θερμοκρασίας μεταξύ μ.μ και μ.μ.. Η στήλη του νερού σε ένα μέρος της θάλασσας έχει βάθος m. Η πυκνότητα του μπακαλιάρου (αριθμός ψαριών ανά κυβικό μέτρο είναι ρ( = / ( + (κατακόρυφη κατανομή. a Να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός μπακαλιάρων στη στήλη του νερού. Να υπολογιστεί το βάθος στο οποίο η πυκνότητα είναι μέγιστη. c Να υπολογιστεί ο αριθμός μπακαλιάρων μεταξύ και μέτρα. d Να βρεθεί το ποσοστό του συνολικού αριθμού μπακαλιάρων στη στήλη του νερού που βρίσκετε μεταξύ και μέτρα.
. Η μπλε φάλαινα τρέφεται με κριλ μήκους - cm. Έστω ότι η πυκνότητα των κριλ (αριθμός ανά κυβικό μέτρο είναι ρ( =.7 -., όπου (σε μέτρα η απόσταση από την ακτή (οριζόντια κατανομή. Αν το άνοιγμα του στόματος της φάλαινας έχει επιφάνεια ενός m, m m a Να υπολογιστεί ο αριθμός των κριλ που καταναλώνει μια φάλαινα σε μια διαδρομή m από την ακτή. Σε ποια απόσταση από την ακτή η πυκνότητα των κριλ είναι μέγιστη? Πόσα κριλ θα καταναλώσει? c Να υπολογιστεί ο αριθμός των κριλ που καταναλώνει μια φάλαινα σε μια διαδρομή m κατά μήκος της ζώνης με τη μέγιστη πυκνότητα.
Απαντήσεις. ( ( sin cos c ( / / c ( ( c ( ( c ( ( ( c ( c / /. ( θέτουμε = = ( ( c ( ( ( ( Γράφουμε c c ( ' ( ( c A B ( ( ( ( Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε Α=, Β= - και C= -. Επομένως, ( ( ( c ( ( ( ( C (ανάλυση σε μερικά κλάσματα ( A( ( B( C(. Βρίσκουμε ότι: 7 7 7 A B. Γράφουμε. Απαλείφοντας ( ( ( ( τους παρανομαστές έχουμε 7 A( B(. Βρίσκουμε ότι: Α= - και Β= 8. Επομένως, 8 ( [ ] 8 c ( ( θέτουμε =+ y =ydy / ( y y y dy c ( y / c
θέτουμε = / + =/ -/ / ( c θέτουμε =- =. Επειδή =-, =(+/. / c / / 7 ( ( ( ( / / ( ( c ( cos ( cos cos sin cos ( sin 8 cos sin cos cos sin cos cos sin ( 8 Επομένως, 8( cos sin c ή 8 ( (cos sin c με c=c. A B C D Γράφουμε (ανάλυση σε μερικά κλάσματα ( ( ( ( ( ( Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε A( ( B( C( ( D (. Βρίσκουμε ότι: Α=/8, Β= /,C=-/8 και D= /. Επομένως, ( A B C D c ( ( ( 8 ( (, (με αντικατάσταση = cos sin c (ολοκλήρωση κατά μέρη ( c tan ( ( ( ( c / / 8 / ( ( ( ( c (με αντικατάσταση = -
. θέτουμε = / = θέτουμε = ημ =συν θέτουμε = = - ( ] [( ] [(( ( ( θέτουμε =ημ =συν ( ( ( ( ( ( ( θέτουμε =+ = ( ( / / / / / θέτουμε = + =
. Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης ( [ ] ( Μη φραγμένη συνάρτηση a a αποκλίνει Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης a Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης ( / Μη φραγμένη συνάρτηση / cos sin sin ( / c Η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο. ( / c c ( c / a a a a a ( [ c F ( ( c c ( / c] / a a (το ολοκλήρωμα είναι αντιπαράγωγος της ( ( / c [ F ( c F (] c [ F ( F ( c]. Ποσότητα του χημικού που παράγεται μεταξύ t= και t= dt t t ( (( (, mols 7
8. Να σχεδιαστεί η περιοχή που περικλείουν οι καμπύλες και έπειτα να υπολογιστεί το εμβαδόν της. α ( ( ( / / / / β 7 7. y y y y ( A A
8. _ T ( ( t dt dt C. ( t dt ( ( t. a 7( μπακαλιάροι στη στήλη του νερού.,8 Η πυκνότητα είναι μέγιστη σε βάθος m. c 7(, d,%., a,,7,7 (.,. Η πυκνότητα είναι μέγιστη στα m από την ακτή. c Στα m από την ακτή η πυκνότητα είναι ρ(=7, κριλ/m. Επομένως η φάλαινα θα καταναλώσει (7,=8.7 κριλ σε μια διαδρομή m κατά μήκος της ζώνης με τη μέγιστη πυκνότητα.