Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους Στο μαθήμα 29 (4 /12/218), συνεχίσαμε με κάποια παραδείγματα στις σφαιρικές συντεταγμένες και μετά μιλήσαμε λίγο για εφαρμογές του διπλού και τριπλού ολοκληρώματος. Στο τέλος δώσαμε τον ορισμό του επικαμπύλιου ολοκληρώματος α είδους. Δείτε την Ενότητα 12.6 σελ 99 και την Ενότητα 13.1 σελ 117 για παραδείγματα και σχήματα. Παραδείγματα στις σφαιρικές συντεταγμένες Παράδειγμα 1. Έστω το στερεό που περικλείεται από τις επιφάνειες z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 9. (i) Να γράψετε το σαν χωρίο τύπου Ι στο R 3, σε καρτεσιανές συντεταγμένες. (ii) Κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = x 2 + y 2 dv. Λύση: (i): Από την εκφώνηση καταλαβαίνουμε ότι το x 2 + y 2 z 9 x 2 y 2. Για να βρούμε τα όρια για τα x, y πρέπει να βρούμε την προβολή D του στο επίπεδο x y. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε την τομή των δύο επιφανειών, κάνοντας απαλοιφή του z. 2 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 9 x 2 + y 2 = 9/2 x 2 + y 2 = (3/ 2) 2. Άρα το D είναι ο κύκλος με κέντρο το (, ) και ακτίνα 3/ 2 (κάντε σχήμα!!!). Βλέποντας το D ως χωρίο τύπου I στο R 2, έχουμε ότι D = {(x, y) 3/ 2 x 3/ 2, 9/2 x 2 y 9/2 x 2 }. Οπότε το γράφεται ως = {(x, y, z) 3/ 2 x 3/ 2, 9/2 x 2 y 9/2 x 2, x2 + y 2 z 9 x 2 y 2 }. (ii): Κάνοντας αλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες, έχουμε 1
x = r cos(θ) sin(φ), y = r sin(θ) sin(φ), z = r cos(φ), Όπου, r 3 (προσοχή μην μπερδευτείτε με το r από τις κυλινδρικές συντεταγμένες, το οποίο κείτεται στο xy-επίπεδο) και θ. Για να βρούμε που κινείται η γωνία φ, πρέπει να βρούμε τη γωνία που σχηματίζει η γεννέτειρα του κώνου z = x 2 + y 2 με τον άξονα z. Μπορούμε να βρούμε την εν λόγω γωνία είτε γεωμετρικά ή αλγεβρικά. Γεωμετρικά: Για κάθε τιμή του z, ισχύει x 2 +y 2 = z 2. Άρα τα x, y κινούνται σε κύκλο με κέντρο το (, ) και ακτίνα ρ = z. (Δηλαδή, οι ισοσταθμικές καμπύλες της συνάρτησης f (x, y) = x 2 + y 2 σε κάθε στάθμη z είναι κύκλοι με ακτίνα ρ = z). Από τα παραπάνω, έχουμε ότι tan(φ) = ρ z = 1 φ = π 4 ( φ π). οπότε φ π/4. Αλγεβρικά: Έχουμε z = x 2 + y 2 r cos(φ) = r 2 sin 2 (φ) r cos(φ) = r sin(φ) tan(φ) = 1 φ = π 4, όπου sin(φ) για φ [, π]. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι = {(r, φ, θ) r 3, φ π/4, θ }. Επίσης η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι r 2 sin(φ), οπότε I = x 2 + y 2 dxdydz = r 2 sin 2 (φ) r 2 sin(φ) drdφdθ = π/4 3 r 4 sin 3 (φ) drdφdθ = = 81π (8 5 2). 1 Για το σπίτι εδώ είχατε H/: Να δείτε τα παραδείγματα του βιβλίου 3, 4, 5 στις σελίδες 994, 995, 997 και να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις στη σελίδα 998. 1, 7, 9, 12, 15, 21, 32, 37. 2
Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος Στη συνέχεια μιλήσαμε για κάποιες εφαρμογές του διπλού και τριπλού ολοκληρώματος στο επίπεδο και στο χώρο. Μάζα: Στο χώρο: Έστω R 3 στερεό μάζας M. Τότε αν δ(x, y, z) είναι η συνάρτηση πυκνότητας στο (όπου πυκνότητα=μονάδες μάζας/μονάδες όγκου), ισχύει ότι M = δ(x, y, z) dv. Στο επίπεδο: Έστω D R 2 επίπεδο χωρίο μάζας M. Τότε αν δ(x, y) είναι η συνάρτηση πυκνότητας στο D (όπου πυκνότητα=μονάδες μάζας/μονάδες επιφάνειας), ισχύει ότι Ροπές (ή πρώτες ροπές): M = δ(x, y) dα. D Στο χώρο (ροπές ως προς επίπεδα): Έστω R 3 στερεό μάζας M. Τότε η πρώτη ροπή του ως προς το xy-επίπεδο συμβολίζεται με M xy και ισχύει ότι M xy = z δ(x, y, z) dv. Χονδρικά μιλώντας, η παραπάνω ροπή μετράει την τάση που έχει το να περιστραφεί γύρω από το xy-επίπεδο. Όμοια έχουμε και τις υπόλοιπες ροπές. M xz = y δ(x, y, z) dv, M yz = x δ(x, y, z) dv. Στο επίπεδο: Έστω D R 2 επίπεδο χωρίο μάζας M. Τότε η πρώτη ροπή του D ως προς τον άξονα των y, συμβολίζεται με M y και ισχύει ότι Όμοια, ισχύει ότι M y = x δ(x, y) dα. D Κέντρο βάρους: M x = y δ(x, y) dα. D Στο χώρο: Έστω R 3 στερεό μάζας M. Τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του, δίνονται από τις σχέσεις x = M yz y = M xz 3 z = M xy M.
Στο επίπεδο: Έστω D R 2 επίπεδο χωρίο μάζας M. Τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του D, δίνονται από τις σχέσεις x = M y y = M x M. Δείτε τα παραδείγματα του βιβλίου για καλύτερη κατανόηση. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους Στη συνέχεια μιλήσαμε για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους, το οποίο αναφέρεται σε πραγματικές συναρτήσεις (δηλαδή με τιμές στο R), σε αντίθεση με το β είδους που αναφέρεται σε διανυσματικές συναρτήσεις (το βιβλίο δεν αναφερει τις φρασεις α είδους και β είδους ). Δείτε την Ενότητα 13.1, στη σελίδα 117. Αρχικά δώσαμε τον ορισμό του μήκους καμπύλης. Υπενθυμίσαμε ότι μία παραμετρική καμπύλη r [a, b] R 3, καλείται λέια αν είναι παραγωγίσιμη και r (t), για κάθε t [a, b]. Ορισμός (Μήκος καμπύλης). Έστω καμπύλη στο R 3 (ή στο R 2 ), η οποία περιγράφεται από μία λεία παραμετρική καμπύλη r [a, b] R 3. Τότε το μήκος της καμπύλης δίνεται από το παρακάτω ολοκλήρωμα b S = r (t) dt. a Παράδειγμα 2. Έστω η έλικα στο R 3, η οποία έχει ως παραμετρική παράσταση την r(t) = (cos(t), sin(t), t), t [, ]. Να βρεθεί το μήκος S της. Λύση: Από τον ορισμό, έχουμε ότι όπου S = r (t) dt, r (t) = ( sin(t), cos(t), 1) και r (t) = sin 2 (t) + cos 2 (t) + 1 2 = 2. Οπότε S = 2 dt = 2. 4
Ορισμός (Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους). Έστω καμπύλη στο R 3, η οποία περιγράφεται από μία λεία παραμετρική καμπύλη r [a, b] R 3 και f R 3 R, συνεχής πραγματική συνάρτηση, ώστε η καμπύλη περιέχεται στο. Ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους της f στην καμπύλη και το συμβολίζουμε με f ds, ώς b f ds = f (r(t)) r (t) dt. a Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x 2 + y 2 + z 2 ds, όπου, καμπύλη στο R 3 με παραμετρική παράσταση r(t) = (cos(t), sin(t), ), t [, ]. Λύση: Από τον ορισμό, έχουμε ότι x 2 + y 2 + z 2 ds = (cos 2 (t) + sin 2 (t)) dt = dt = όπου r (t) = ( sin(t), cos(t), ) και r (t) = sin 2 (t) + cos 2 (t) + 2 = 1. Παρατήρηση. Αν η καμπύλη, αναπαριστά καλώδιο με πυκνοτητα δ(x, y, z), τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα δ ds δίνει τη μάζα M του καλωδίου. Επίσης οι ροπές ως προς τα αντίστοιχα επίπεδα είναι και το κέντρο μάζας M xy = z δ ds, M xz = y δ ds, M yz = x δ(x, y, z) ds x = M yz y = M xz z = M xy M. Παράδειγμα 4. Έστω το άνω ημικύκλιο (το οποίο θεωρούμε ότι διαγράφεται αριστερόστροφα) στο yz-επίπεδο, το οποίο ορίζουν οι σχέσεις y 2 + z 2 = 1, z, x =. Αν η έχει πυκνότητα δ(x, y, z) = 2 z, να βρεθεί η μάζα M της. 5
Λύση: Βρίσκουμε πρώτα μία παραμετρική καμπύλη για τη. Έχουμε r(t) = (, cos(t), sin(t)), t [, π]. τότε r (t) = (, sin(t), cos(t)) και r (t) = 1, άρα M = π δ ds = δ (r(t)) r (t) dt π = (2 sin(t) dt = = 2. Στη συνέχεια μιλήσαμε για τις ιδιότητες του επικαμπύλιου ολοκληρώματος. Ιδιότητες: Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στην καμπύλη. Τότε ισχύουν (1) f + g ds = f ds + g ds. (2) λ f ds = λ f ds για κάθε λ R. (3) Αν = 1 2 n, όπου οι i, i {1, 2,, n}, είναι διαδοχικές καμπύλες, τότε f ds = f ds + + f ds. 1 n Παράδειγμα 5. Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x + y + z ds, όπου = 1 2 και 1 το ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο (,, ) στο σημείο (1, 1, ), 2 το ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο (1, 1, ) στο σημείο (1, 1, 1). Λύση: Από την ιδιότητα (3), έχουμε ότι x + y + z ds = x + y + z ds + x + y + z ds. 1 2 Οπότε για τον υπολογισμό των επιμέρους ολοκλήρωμάτων, θα πρέπει να βρούμε δύο παραμετρικές παραστάσεις για τις καμπύλες 1, 2. Για την 1 : r 1 (t) = (t, t, ), t [, 1], με r 1 (t) = (1, 1, ) Για την 2 : r 2 (t) = (1, 1, t), t [, 1], με r 2 (t) = (,, 1). 6
Άρα 1 x + y + z ds = 2 2 t dt = 2 1 και 1 x + y + z ds = 2 + t dt = 5/2. 2 Τελικά x + y + z ds = x + y + z ds + x + y + z ds = 2 + 5/2. 1 2 Για το σπίτι είχατε H/: Να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις στη σελίδα 122. 1 8, 1, 15, 16, 21, 23. 7