ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε ότι για τις στοιχειώδεις πράξεις επί των γραµµών ενός m n πίνακα A = (a ij ), ισχύουν τα εξής : () Η εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Γ i Γ i + λγ j, λ K, στον A ισοδυναµεί µε την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού E ij (λ) A, δηλαδή : A Γ i Γ i +λγ j E ij (λ) A όπου E ij (λ) είναι ο m m στοιχειώδης πίνακας λ E ij (λ) = ο οποίος έχει προκύψει από τον µοναδιαίο m m πίνακα I m προσθέτοντας στην i-γραµµή λ ϕορές την j-γραµµή () Η εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Γ i Γ j στον A ισοδυναµεί µε την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού E ij A, δηλαδή : A Γ i Γ j E ij A όπου E ij είναι ο m m στοιχειώδης πίνακας E ij = ο οποίος έχει προκύψει από τον µοναδιαίο m m πίνακα I m µε αµοιβαία εναλλαγή της i-γραµµής µε την j-γραµµή

() Η εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Γ i λγ j, λ K, στον A ισοδυναµεί µε την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού E ij A, δηλαδή : A Γ i λγ i E i (λ) A όπου E i (λ) είναι ο m m στοιχειώδης πίνακας λ E ij (λ) = ο οποίος έχει προκύψει από τον µοναδιαίο m m πίνακα I m πολλαπλασιάζοντας την i-γραµµή µε λ Υπενθυµίζουµε ότι ορίζονται και οι στοιχειώδεις πράξεις επί των στηλών ενός m n πίνακα A = (a ij ): () Αντικατάσταση της i-στήλης Σ i του πίνακα A µε τη στήλη Σ i + λσ j : A Σ i Σ i +λσ j A () Αµοιβαία εναλλαγή της i-στήλης Σ i µε την j-στήλη Σ j : A Σ i Σ j A () Αντικατάσταση της i-στήλης Σ i του πίνακα A µε τη στήλη λσ i, λ K: A Σ i λσ i A Ασκηση Εστω A = (a ij ) ένας m n πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθούν τα εξής : () A Σ i Σ i +λσ j A te ij (λ) όπου t E ij (λ) είναι ο ανάστροφος του στοιχειώδους n n πίνακα E ij (λ) () () A Σ i Σ j A E ij όπου ο στοιχειώδης πίνακας E ij = t E ij είναι µεγέθους n n A Σ i λσ i A E i (λ) όπου ο στοιχειώδης πίνακας E i (λ) = t E i (λ) είναι µεγέθους n n Λύση () Θα έχουµε : a a i a j a n a A te i a ii a ij a in ij (λ) = a j a ji a jj a jn a m a mi a mj a mn λ =

= a a i + λa j a j a n a i a ii + λa ij a ij a in a j a ji + λa jj a jj a jn a m a mi + λa mj a mj a mn Ο τελευταίος πίνακας προφανώς έχει προκύψει από τον A µε εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Σ i Σ i + λσ ij και άρα : A Σ i Σ i +λσ j A te ij (λ) () Θα έχουµε : a a i a j a n a i a ii a ij a in A E ij = a j a ji a jj a jn a m a mi a mj a mn = = a a j a i a n a i a ij a ii a in a j a jj a ji a jn a m a mj a mi a mn Ο τελευταίος πίνακας προφανώς έχει προκύψει από τον A µε εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Σ i Σ j και άρα : () Θα έχουµε : A Σ i Σ j A E ij a a i a j a n a i a ii a ij a in A E i (λ) = a j a ji a jj a jn a m a mi a mj a mn λ =

4 = a λa i a j a n a i λa ii a ij a in a j λa ji a jj a jn a m λa mi a mj a mn Ο τελευταίος πίνακας προφανώς έχει προκύψει από τον A µε εκτέλεση της στοιχειώδους πράξης Σ i λσ i και άρα : A Σ i λσ i A E ij Ασκηση Εστω A ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Να εξεταστεί πως ϑα µετασχηµατισθεί ο πίνακας A όταν στις γραµµές του πίνακα A εκτελέσουµε τις ακόλουθες πράξεις, όπου i, j n, λ K, και k K, k : () Γ i Γ i + λγ j, () Γ i Γ j () Γ i kγ i Λύση () Εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i Γ i + λγ j στις γραµµές του πίνακα A, πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα A από τα αριστερά µε τον στοιχειώδη πίνακα E ij (λ), δηλαδή έχουµε : A Γ i Γ i +λγ j E ij (λ)a Επειδή οι πίνακες E ij (λ) και A είναι αντιστρέψιµοι και ισχύει ότι E ij (λ) = E ij ( λ), έπεται ότι ο πίνακας E ij (λ)a είναι αντιστρέψιµος κα ισχύει ότι ( Eij (λ)a ) = A E ij (λ) = A E ij ( λ) Σύµφωνα µε την Άσκηση, έχουµε A Σ j Σ j λσ i A t E ji ( λ) = A E ij ( λ) Εποµένως, εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i Γ i + λγ j στις γραµµές του πίνακα A, στον αντίστροφο A του πίνακα A εφαρµόζουµε τη στοιχειώδη πράξη Σ j Σ j λσ i στις στήλες του πίνακα A () Εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i Γ j στις γραµµές του πίνακα A, πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα A από τα αριστερά µε τον στοιχειώδη πίνακα E ij, δηλαδή έχουµε : A Γ i Γ j E ij A Επειδή οι πίνακες E ij και A είναι αντιστρέψιµοι και ισχύει ότι Eij = E ij, έπεται ότι ο πίνακας E ij A είναι αντιστρέψιµος κα ισχύει ότι ( Eij A ) = A Eij = A E ij Σύµφωνα µε την Άσκηση, έχουµε A Σ i Σ j A E ij Εποµένως, εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i Γ j στις γραµµές του πίνακα A, στον αντίστροφο A του πίνακα A εφαρµόζουµε τη στοιχειώδη πράξη Σ i Σ j στις στήλες του πίνακα A

5 () Εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i λγ i, λ K, στις γραµµές του πίνακα A, πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα A από τα αριστερά µε τον στοιχειώδη πίνακα E i (λ), δηλαδή έχουµε : A Γ i λγ i E i (λ)a Επειδή οι πίνακες E i (λ) και A είναι αντιστρέψιµοι και ισχύει ότι E i (λ) = E i (λ ), έπεται ότι ο πίνακας E i (λ)a είναι αντιστρέψιµος κα ισχύει ότι ( Ei (λ)a ) = A E ij (λ) = A E i (λ ) Σύµφωνα µε την Άσκηση, έχουµε A Σ i λ Σ i A E i (λ ) Εποµένως, εφαρµόζοντας τη στοιχειώδη πράξη Γ i λγ i στις γραµµές του πίνακα A, στον αντίστροφο A του πίνακα A εφαρµόζουµε τη στοιχειώδη πράξη Σ i λ Σ i στις στήλες του πίνακα A Εστω A ένας m n πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Ο πίνακας A καλείται αριστερά αντιστρέψιµος αν και µόνον αν υπάρχει n m πίνακας Y έτσι ώστε Y A = I n, και τότε ο πίνακας Y καλείται ένας αριστερός αντίστροφος του A Παρόµοια, ο πίνακας A καλείται δεξιά αντιστρέψιµος αν και µόνον αν υπάρχει m n πίνακας X έτσι ώστε AX = I m, και τότε ο πίνακας X καλείται ένας δεξιός αντίστροφος του A ( Για παράδειγµα, έστω ο πίνακας A = Τότε ϑέτοντας Y = ) ( a ), όπου a K, ϑα έχουµε : Y A = () = I, δηλαδή ο πίνακας Y είναι ένας αριστερός αντίστροφος του A Παρατηρούµε ότι ο A έχει άπειρο πλήθος αριστερών αντίστροφων πινάκων και δεν είναι αντιστρέψιµος Παρόµοια, έστω ο πίνακας A = ( ) ( Τότε ϑέτοντας X =, όπου a K, έχουµε AQ = () = I a), δηλαδή ο πίνακας X είναι ένας δεξιός αντίστροφος του A Παρατηρούµε ότι ο A έχει άπειρο πλήθος δεξιών αντίστροφων πινάκων και δεν είναι αντιστρέψιµος Ασκηση Θεωρούµε τον πίνακα A = Να εξετασθεί αν ο πίνακας A έχει δεξιούς ή αριστερούς αντίστροφους πίνακες Λύση Εστω Y = ( a b ) c d e f ένας δεξιός αντίστροφος του A Τότε ϑα έχουµε I = AY = = a b c = a + d b + e c + f a + d b + e c + f = d e f a b c a + d =, b + e =, c + f = = a + d =, b + e =, c + f = a =, b =, c = Οι παραπάνω σχέσεις µας οδηγούν στην αντίφαση =, και εποµένως δεν υπάρχει πίνακας πίνακας Y έτσι ώστε AY = I Ετσι ο πίνακας A δεν έχει δεξιό αντίστροφο Εστω X = ( a b ) c d e f

6 ένας αριστερός αντίστροφος του A Τότε ϑα έχουµε I = XA = = = ( a b ) c d e f { a b + c =, a + b = d e + f =, d + e = Τότε ϑα έχουµε b = a και e = d και εποµένως a a a X = d d d a b + c a + b = d e + f d + e Εύκολα επαληθεύουµε ότι για τυχόντα στοιχεία a, d K, έχουµε a a a = = I d d d Εποµένως ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος και έχει άπειρο πλήθος αριστερών αντίστροφων Υπενθυµίζουµε ότι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή ενός πίνακα A M m n (K) είναι µοναδική και συµβολίζεται µε Γ(A) Η ϐαθµίδα γραµµών του πίνακα A ορίζεται να είναι το πλήθος των µη-µηδενικών γραµµών της ισχυρά γ-κλιµακωτής µορφής Γ(A) του πίνακα A και συµβολίζεται µε γ(a) Προφανώς : γ(a) m Παρόµοια η ισχυρά σ-κλιµακωτή µορφή νός πίνακα A M m n (K) είναι µοναδική και συµβολίζεται µε Σ(A) Η ϐαθµίδα στηλών του πίνακα A ορίζεται να είναι το πλήθος των µη-µηδενικών γραµµών της ισχυρά σ-κλιµακωτής µορφής Σ(A) του πίνακα A και συµβολίζεται µε σ(a) Προφανώς : σ(a) n Από την ϑωρία γνωρίζουµε ότι, για κάθε πίνακα A M m n (K), ισχύει ότι : γ(a) = σ(a) και η κοινή αυτή τιµή καλείται η ϐαθµίδα του πίνακα A και συµβολίζεται µε : r(a) = σ(a) = γ(a) Παρατηρούµε ότι η ϐαθµίδα r(a) ενός πίνακα A M m n (K) ικανοποιεί την ανισότητα r(a) min { m, n } ( ) Ασκηση 4 Εστω A = (a ij ) M m n (K) Να δειχθεί ότι οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι : () γ(a) = m () Υπάρχει πίνακας B M n m (K) έτσι ώστε : AB = I m Επιπλέον να δειχθεί ότι οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι : () σ(a) = n (4) Υπάρχει πίνακας C M n m (K) έτσι ώστε : CA = I n Λύση () = () Εστω γ(a) = m Τότε r(a) = m και τότε από τη σχέση ( ) έπεται ότι m n Τότε η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) του A έχει m το πλήθος µη-µηδενικές γραµµές Επειδή ο πίνακας A έχει m το πλήθος γραµµές, έπεται ότι ο πίνακας Γ(A) ϑα είναι της µορφής : x m+ x n x m+ x n Γ(A) = x m m+ x mn

7 Θεωρούµε τον n m πίνακα X = όπου οι m στήλες και οι πρώτες m γραµµές σχηµατίζουν τον µοναδιαίο m m πίνακα I m Προφανώς τότε ϑα έχουµε Γ(A)X = I m () Για την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) του A γνωρίζουµε ότι υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτσι ώστε : P A = Γ(A) Τότε, λαµβάνοντας υπόψιν τη σχέση (), ϑα έχουµε P A = Γ(A) = P AX = Γ(A)X = I m = AX = P = AXP = I m Θέτοντας B = XP αποκτούµε έναν n m πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι AB = I m () = () Εστω B ένας n m πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι AB = I m Τότε χρησιµοποιώντας τη σχέση P A = Γ(A), όπου ο m m πίνακας P είναι αντιστρέψιµος, ϑα έχουµε : P AB = P = Γ(A)B = P = Γ(A)BP = I m Αν µια από τις m γραµµές του πίνακα Γ(A) είναι η µηδενική γραµµή, έστω για παράδειγµα ότι αυτή είναι η γραµµή Γ i, τότε από τον ορισµό πολλαπλασιασµού πινάκων έπεται ότι η i-γραµµή του πίνακα Γ(A)BP ϑα πρέπει να είναι η µηδενική Αυτό είναι άτοπο διότι από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η i-γραµµή του πίνακα Γ(A)BP συµπίπτει µε την i-γραµµή του πίνακα I m η οποία είναι προφανώς µη-µηδενική Εποµένως όλες οι γραµµές του πίνακα Γ(A) είναι µη-µηδενικές και αυτό σηµαίνει ότι γ(a) = m Ασκηση 5 Εστω A = (a ij ) M m n (K) Να δειχθεί ότι οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι : () σ(a) = n () Υπάρχει πίνακας C M n m (K) έτσι ώστε : CA = I n Λύση Θεωρούµε τον n m πίνακα t A Τότε γ( t A) = σ(a) Εποµένως χρησιµοποιώντας την Άσκηση 4, ϑα έχουµε : σ(a) = n γ( t A) = n υπάρχει m n πίνακας B έτσι ώστε : t AB = I n Επειδή I n = t I n = t(t AB ) = t B t ( t A) = t BA, ϑέτοντας C = t B M n m (K), από τις παραπάνω ισοδυναµίες προκύπτει ότι : σ(a) = n υπάρχει n m πίνακας C έτσι ώστε : CA = I n Ασκηση 6 Εστω A ένας m n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι, αν ο A έχει έναν αριστερό αντίστροφο X και έναν δεξιό αντίστροφο Y, τότε m = n, X = Y, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = X = Y Ιδιαίτερα ισχύει ότι : ένας πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν έχει δεξιό και αριστερό αντίστροφο Λύση Επειδή ο πίνακας X είναι ένας αριστερός αντίστροφος του A, έπεται ότι το µέγεθός του είναι n m και ϑα έχουµε XA = I n Από την Άσκηση 5 προκύπτει τότε ότι σ(a) = n Επειδή ο πίνακας Y είναι ένας δεξιός αντίστροφος του A, έπεται ότι το µέγεθός του είναι n m και ϑα έχουµε AY = I m Από την Άσκηση 4 προκύπτει τότε ότι γ(a) = m Επειδή για κάθε πίνακα A M m n (K) ισχύει ότι γ(a) = σ(a), έπεται ότι n = m Επιπλέον ϑα έχουµε : XA = I n = XAY = Y = X = Y Άρα ϑα έχουµε XA = I n = AX και εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και X = A

8 Μέθοδος εύρεσης αντίστροφου ενός αντιστρέψιµου πίνακα µε χρήση στοιχειωδών πράξεων Υπενθυµίζουµε ότι αν a a a n a a a n A = a n a n a nn είναι ένας n n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K, τότε µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον n n πίνακα a a a n a a a n A In = a n a n a nn Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του πίνακα (A I ) µε σκοπό να προσδιορίσουµε την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) του πίνακα A Τότε ο πίνακας (A I ) ϑα µετατραπεί σε έναν πίνακα της µορφής ( Γ(A) X ) Αν Γ(A) = I n, τότε ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = X Αν Γ(A) I n, τότε ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 7 Να ϐρεθεί η ισχυρά κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = Ακολούθως, αν ο A είναι αντιστρέψιµος, να ϐρεθεί ο A µε χρήση πράξεων επί των γραµµών του Λύση Θα υπολογίσουµε ταυτόχρονα την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A και τον αντίστροφο A του πίνακα A, αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, εκτελώντας στοιχεώδεις πράξεις στις γραµµές του A (A I ) = Γ Γ Γ Γ Γ +Γ όπου Γ 4 Γ Γ Γ Γ 4 4 4 Γ Γ +Γ 4 4 Γ Γ Γ 4 4 4 4 4 4 = ( I X ) 4 4 X = 4 4 4 4

9 Εποµένως η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A είναι ο µοναδιαίος πίνακς I Αυτό σηµαίνει ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ο αντιστροφός του είναι ο πίνακας A = 4 4 4 4 Ασκηση 8 Αν a K, να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = a 9 και ακολούθως να ϐρεθεί η τιµή του a για τις οποίες ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αντίστροφος του A; Ποιός είναι τότε ο Λύση Θα έχουµε : (A I ) = a 9 Γ Γ Γ a 9 Γ Γ aγ a 9 a ιακρίνουµε περιπτώσεις : Γ Γ a 9 a 8 a a a+ Γ Γ +(a )Γ () Αν a = 8, τότε εργαζόµενοι στον πίνακα ( ), ϑα έχουµε : Γ Γ Γ = (B A ) 9 9 9 9 Ο πίνακας B είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και επειδή B I n, έπεται ότι ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, και η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A είναι ο πίνακας () Αν a 8, τότε εργαζόµενοι στον πίνακα ( ), ϑα έχουµε : Γ 8 a Γ = 8 a a a+ (a+) ( a+) (8 a) (8 a) 8 a = Γ Γ + Γ a 9 9 Γ Γ Γ a 8 a 8 a 8 a+ a a+ a a 8 a 8) 8 a a 8 a 8 8 a 9 9 a 8 a 8 a 8 a 9 9 a 8 a 8 a 8 = (I A ) a+ a a 8 a 8 a 8 ( )

όπου 9 9 A a 8 a 8 a 8 = a 9 9 a 8 a 8 a 8 = 9 9 a 9 9 a+ a a 8 a + a a 8 a 8 a 8 Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας A = a 8 9 9 a 9 9 a + a Συνοψίζοντας δείξαµε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν a 8 και τότε ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας που δίνεται παραπάνω Ασκηση 9 Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή των πινάκων A = και B = Ακολούθως, αν οι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι αντίστροφοί τους µε χρήση πράξεων επί των γραµµών τους Λύση Για τον πίνακα A ϑα έχουµε : (A I 4 ) = Γ Γ 4 = (I 4 X) Γ Γ 4 Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακας A είναι ο µοναδιαίος 4 4 πίνακας I 4, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = X = Παρόµοια για τον πίνακα B ϑα έχουµε : (B I 4 ) = Γ Γ Γ Γ 4 Γ Γ 4 = (I 4 Y ) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακας B είναι ο µοναδιαίος 4 4 πίνακας I 4, ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και B = Y =

Ασκηση Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή των πινάκων A = και B = Ακολούθως, αν οι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι αντίστροφοί τους µε χρήση πράξεων επί των γραµµών τους Λύση Για τον πίνακα A ϑα έχουµε : (A I 4 ) = Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ Γ = (I 4 X) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακας A είναι ο µοναδιαίος 4 4 πίνακας I 4, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = X = Παρόµοια για τον πίνακα B ϑα έχουµε : (B I 4 ) = Γ Γ Γ Γ, Γ 4 4 Γ 4 Γ Γ Γ Γ 4 Γ Γ 4 = (I 4 Y ) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακας B είναι ο µοναδιαίος 4 4 πίνακας I 4, ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και B = Y = Ασκηση Να ϐρεθεί η ισχυρή γ-κλιµακωτή µορφή των πινάκων A = και B =

Ακολούθως, αν οι πίνακες είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι αντίστροφοί τους µε χρήση πράξεων επί των γραµµών τους Λύση Για τον πίνακα A ϑα έχουµε : (A I n ) = Γ Γ Γ, Γ Γ Γ,, Γ n Γ n Γ n = (I n X) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = X = Παρόµοια για τον πίνακα B ϑα έχουµε : Γ Γ Γ (B I n ) = Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 Γ

( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n+ ( ) n ( ) n = (I n X) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα B είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n, ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και B = X = ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n+ ( ) n ( ) n Ασκηση Να δειχθεί ότι οι παρακάτω πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και να ϐρεθούν οι αντίστροφοι τους : A = 4 και B = 6 Λύση Για τον πίνακα A ϑα έχουµε (A I ) = Γ Γ Γ 6 Γ Γ Γ Γ Γ 6 Γ Γ +6Γ 6 Γ Γ Γ 9 Γ Γ Γ 9 9 9 9 9 9 9 Γ 9 Γ 9 5 4 9 9 9 9 9 Γ Γ Γ 9 9 9 9 9 9 9 9 = (A X) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A είναι ο µοναδιαίος πίνακας I, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και Για τον πίνακα B ϑα έχουµε : (B I 4 ) = A = X = 9 9 9 9 4 6 9 9 9 9 9 Γ Γ Γ Γ Γ Γ, Γ 4 Γ 4 Γ

4 Γ Γ +Γ Γ 4 Γ 4 +Γ 4 5 6 5 5 4 5 6 5 4 5 6 4 5 5 4 5 5 8 4 5 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 Γ Γ Γ 5Γ Γ Γ Γ 4 5 6 5 5 4 Γ 5 6 Γ 4 Γ 4 5Γ 5 4 5 6 Γ Γ 4Γ 4 Γ Γ 6Γ 4, Γ Γ Γ 4 4 5 4 4 9 7 5 4 5 6 6 7 7 5 4 5 = (B Y ) Άρα η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα B είναι ο µοναδιαίος 4 4 πίνακας I 4, ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και 6 6 7 B = Y = 7 5 4 5 Ασκηση Θεωρούµε τον πίνακα 4 A = 4 4 8 Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) του A και ένας αντιστρέψιµος 4 4 πίνακας P έτσι ώστε : P A = Γ(A) Ποιά είναι η ϐαθµίδα του A; Λύση Θα έχουµε : 4 4 4 4 8 Γ Γ Γ 5 5 Γ Γ Γ, Γ 4 Γ 4 +Γ 5 4 4 Γ 5 4 4 5 4 4 Γ Γ 5Γ Γ 4 Γ 4 5Γ 9 9 Γ 9 Γ 5 9 4 7 9 9 Γ 4 Γ 4 Γ Γ Γ +Γ, Γ Γ +Γ Γ Γ Γ 6 6 9 Γ

5 = Γ(A) 6 6 Η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) έχει µη-µηδενικές γραµµές και εποµένως η ϐαθµίδα του A είναι ίση µε r(a) = γ(a) = Ερµηνεύοντας τις προηγηθείσες στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του A ως διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς από τα αριστερά του πίνακα A µε τους αντίστοιχους στοιχειώδεις πίνακες, προκύπτει ότι ϑέτοντας : ( P = E ( ) E () E () E 4 ( ) E E 4 ( 5) E ( 5) E ) E 4 () E ( ) E ( ) 9 απόκτούµε έναν 4 4 αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε P A = Γ(A) 5 Γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι για κάθε πίνακα A M n (K), υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P και αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε ( ) I P AQ = r O = r (n r) O (m r) r O (m r) (n r) όπου r = σ(a) = γ(a) είναι η κοινή τιµή της ϐαθµίδας γραµµών και της ϐαθµίδας στηλών του πίνακα A, και O r (n r) είναι ο µηδενικός r (n r) πίνακας, O (m r) r είναι ο µηδενικός (m r) r πίνακας, O (m r) (n r) είναι ο µηδενικός (m r) (n r) πίνακας, και τέλος I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας Ο παραπάνω πίνακας γράφεται πιο απλά ως Ir O K(A) = O O και καλείται η κανονική µορφή του πίνακα A Με άλλα λόγια, κάθε m n πίνακας A µπορεί να µετατραπεί, µετά την εκτέλεση πεπερασµένου πλήθους στοιχειωδών πράξεων στις γραµµές και στις στήλες του, σε έναν κανονικό πίνακα, ο οποίος καλείται η κανονική µορφή του A, και συµβολίζεται µε K(A) Σηµειώνουµε ότι ο πίνακας K(A) καθορίζεται πλήρως από το µέγεθος και τη ϐαθµίδα του πίνακα A Παρατήρηση Περιγράφουµε µια µέθοδο για την εύρεση της ϐαθµίδας ενός m n πίνακα A, του αντιστρέψιµου m m πίνακα P, και του αντιστρέψιµου n n πίνακα Q, έτσι ώστε : Ir O P AQ = K(A) =, όπου r = r(a) O O () Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του A προσδιορίζουµε πρώτα την ισχυρή γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) Ισοδύναµα ϐρίσκουµε στοιχειώδεις πίνακες E k E k,, E, E έτσι ώστε, ϑέτοντας P = E k E k E E, να έχουµε : P A = Γ(A) Τότε ο m m αντιστρέψιµος πίνακας που Ϲητάµε είναι ο P () Το πλήθος των µη-µηδενικών γραµµών του πίνακα Γ(A) είναι η ϐαθµίδα του A () Στη συνέχεια, εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες του Γ(A) προσδιορίζουµε την ισχυρή σ- κλιµακωτή µορφή Σ(Γ(A)) Ισοδύναµα ϐρίσκουµε στοιχειώδεις πίνακες E, E,, E l, E l έτσι ώστε, ϑέτοντας Q = E E E l E l, να έχουµε : Γ(A)Q = Σ(Γ(A)) ή ισοδύναµα P AQ = Σ(Γ(A) Τότε ο n n αντιστρέψιµος πίνακας που Ϲητάµε είναι ο Q

6 (4) Ο πίνακας Σ(Γ(A) είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και ισχυρά σ-κλιµακωτός Εποµένως η κανονική µορφή K(A) του A που Ϲητάµε K(A) = Σ(Γ(A) Θα µπορούσαµε πρώτα να προσδιορίσουµε την ισχυρά σ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A και ακολούθως την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(Σ)(A)) του πίνακα Σ(A) Τότε ϑα έχουµε K(A) = Σ(Γ(A) = Γ(Σ(A)) Σηµειώνουµε ότι οι αντιστρέψιµοι πίνακες δεν είναι µοναδικοί Ασκηση 4 Να ϐρεθεί η κανονική µορφή του πίνακα 4 A = 4 4 8 της Ασκησης Επιπλέον να ϐρεθεί ένας αντιστρέψιµος 4 4 πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος 5 5 πίνακας Q έτσι ώστε P AQ = K(A) = Λύση Από την Άσκηση γνωρίζουµε ότι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A είναι ο πίνακας 5 Γ(A) = 6 6 Τότε ϑα έχουµε : 5 Γ(A) = 6 6 Σ 4 Σ 4 + 6 6 5 Σ 4 Σ 4 Σ Σ 5 Σ 5 Σ 6 Σ Σ 5 Σ 5 6 Σ Σ 4 Σ 4 + 6 6 Σ Σ 5 Σ 5 Σ = Σ(Γ(A)) = K(A) Ερµηνεύοντας τις προηγηθείσες στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες του Γ(A) ως διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς από τα δεξιά του πίνακα Γ(A) µε τους αντίστοιχους στοιχειώδεις πίνακες, προκύπτει ότι ϑέτοντας : ( Q = t E 4 5 ) ( t E 5 ) ( t E t 4 E 5 ) ( t E t 4 E 5 ) 6 6 απόκτούµε έναν 5 5 αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε Γ(A)Q = K(A) Θεωρώντας τον αντιστρέψιµο πίνακα P ο οποίος προσδιορίστηκε στην Άσκηση, και για τον οποίο ισχύει P A = Γ(A), έοεται ότι ϑα έχουµε P AQ = Γ(A)Q = K(A) =

7 Ασκηση 5 Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = 6 6 5 9 6 6 8 και ακολούθως να ϐρεθεί η κανονική µορφή του πίνακα A Λύση Θα έχουµε : 6 6 5 Γ Γ 6 6 5 Γ Γ Γ 9 6 6 8 9 6 6 8 6 9 Γ Γ +Γ 6 9 Γ Γ +Γ 9 6 6 8 6 6 9 Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ Γ Γ 8 4 Γ Γ +Γ 4 := B Ο πίνακας B είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και είναι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A: Γ(A) = B B = 4 Σ Σ 4 Σ 4 Σ 4 Σ Σ 4 Σ 4 Σ Σ 4 Σ 4 Σ 4 Σ 4 Σ Σ 5 Σ Σ Σ Σ 4 Σ 6 Σ 4 4 Σ 4 Σ 4 Σ 4 Σ 4 4Σ Σ 4 Σ 4 +Σ := C Ο πίνακας C είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και ισχυρά σ-κλιµακωτός κανονική µορφή του πίνακα A: C = K(A) Εποµένως ο πίνακας C είναι η Ασκηση 6 Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή και η κανονική µορφή του πίνακα A = 4 4 5 6 a όπου a K

8 Λύση Θα έχουµε 4 4 5 Γ Γ Γ Γ Γ +Γ 6 a ιακρίνουµε περιπτώσεις : () Εστω a = 7 4 5 Γ Γ Γ 5 a + 4 4 5 a + 7 Τότε ϑα έχουµε ότι ο παραπάνω πίνακας είναι 4 Γ Γ +Γ 5 Για την κανονική µορφή του A, ϑα έχουµε : 7 5 Γ(A) = 5 Σ 4 Σ 4 7 5 Σ Σ Σ Σ 4 Σ 4 + 5 Σ 7 5 = Γ(A) 5 Σ Σ Σ = Σ(Γ(A)) = K(A) Εποµένως, αν a = 7, τότε η ϐαθµίδα του πίνακα A είναι () Εστω a 7 r(a) = Τότε a + 7 και για τον παραπάνω πίνακα ϑα έχουµε : 4 Γ a+7 Γ 7 5 5 Γ Γ 4Γ 5 Γ a + 7 Γ + 5 Γ Γ Γ +Γ = Γ(A) Για την κανονική µορφή του A, ϑα έχουµε : Γ(A) = Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ 4 = Σ(Γ(A)) = K(A) Εποµένως, αν a 7, τότε η ϐαθµίδα του πίνακα A είναι r(a) = 4 5 Γ 5 Γ a + 7 ύο m n πίνακες A και B καλούνται γ-ισοδύναµοι αν ο B προκύπτει από τον A µετά την εκτέλεση πεπερασµένου πλήθους στοιχειωδών πράξεων στις γραµµές του A Γνωρίζουµε τότε ότι : οι πίνακες A και B είναι γ-ισοδύναµοι αν υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε : E p E p E E A = B

Ορίζουµε µια σχέση «γ» στο σύνολο M m n (K), ως εξής : A, B M m n (K): οι πίνακες A και B είναι γ-ισοδύναµοι, δηλαδή, A, B M m n (K): 9 A γ B αν και µόνον αν A γ B υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p : E p E p E E A = B Θέτοντας P = E p E p E E, αποκτούµε τότε έναν αντιστρέψιµο m m πίνακα P για τον οποίο ισχύει ότι : P A = B Επειδή κάθε αντιστρέψιµος πίνακας P είναι γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων, έπεται ότι : A γ B υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P : P A = B Ασκηση 7 () Να δειχθεί ότι η σχέση «γ» στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K είναι µια σχέση ισοδυναµίας () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας A είναι γ-ισοδύναµος µε τον µηδενικό πίνακα αν και µόνον αν A = O () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι γ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Να δειχθεί ότι δύο τυχόντες n n αντιστρέψιµοι πίνακες είναι πάντα γ-ισοδύναµοι (5) Να δειχθεί ότι ένας αντιστρέψιµος πίνακας A είναι γ-ισοδύναµος µε τον πίνακα A n, n Z Λύση () Για να δείξουµε ότι η σχέση «γ» είναι σχέση ισοδυναµίας, πρέπει να δείξουµε ότι είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική (αʹ) Εστω A M m n (K) Επειδή ο µοναδιαίος m m πίνακας I m είναι αντιστρέψιµος και I m A = A, έπεται ότι A γ A, και άρα η σχέση «γ» είναι ανακλαστική (ϐʹ) Εστω A, B M m n (K) και υποθέτουµε ότι A γ B Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτυσι ώστε P A = B Τότε A = P B και προφανώς ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος Αυτό σηµαίνει ότι B γ A και άρα η σχέση γ είναι συµµετρική (γʹ) Εστω A, B, C M m n (K) και υποθέτουµε ότι A γ B και B γ C Τότε υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτσι ώστε P A = B, και ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτσι ώστε P B = C Τότε ϑα έχουµε P (P A) = P B = C ή ισοδύναµα (P P )A = C Επειδή ο πίνακας P P είναι αντιστρέψιµος, έπεται ότι A γ C και εποµένως η σχέση «γ» είναι µεταβατική () Αν ο πίνακας A = O, τότε προφανώς ο A είναι γ-ισοδύναµος µε τον εαυτό του Αντίστροφα, έστω ότι A γ O Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P A = O Τότε A = P O = O () Γνωρίζουµε ότι ένας τετραγωνικός n n πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή Γ(A) του A είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n, δηλαδή αν και µόνον αν Γ(A) = I n Επειδή υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτσι ώστε P A = Γ(A), έπεται ότι P A = I n, δηλαδή ο A είναι ισοδύναµος µε τον I n Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι γ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Αν A, B είναι δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες, τότε από το µέρος () έπεται ότι A γ I n και B γ I n ή ισοδύναµα I n γ B, επειδή η σχέση «γ» είναι συµµετρική Επειδή η σχέση «γ» είναι µεταβατική, ϑα έχουµε A γ B (5) Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε ορίζεται ο αντίστροφός του A και εποµένως ορίζονται και οι πίνακες A n = (A ) n, n Θέτοντας A = I n, έπεται ότι ορίζονται οι πίνακες A n, n Z, οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι µε αντίστροφο (A n ) = A n = (A ) n Από το µέρος (4) έπεται ότι A γ A n, n Z ύο m n πίνακες A και B καλούνται σ-ισοδύναµοι αν ο B προκύπτει από τον A µετά την εκτέλεση πεπερασµένου πλήθους στοιχειωδών πράξεων στις στήλες του A Γνωρίζουµε τότε ότι : οι πίνακες A και B είναι σ-ισοδύναµοι αν υπάρχουν στοιχειώδεις n n πίνακες E, E,, E q έτσι ώστε : B = AE E E q E q Ορίζουµε µια σχέση «σ» στο σύνολο M m n (K), ως εξής : A, B M m n (K): A σ B αν και µόνον αν οι πίνακες A και B είναι σ-ισοδύναµοι, δηλαδή, A, B M m n (K): A σ B υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E q : AE E E q E q = B Θέτοντας Q = E E E q E q, αποκτούµε τότε έναν αντιστρέψιµο n n πίνακα Q για τον οποίο ισχύει ότι : B = AQ Επειδή κάθε αντιστρέψιµος πίνακας Q είναι γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων, έπεται ότι : A σ B υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας Q : B = AQ

Ασκηση 8 () Να δειχθεί ότι η σχέση «σ» στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K είναι µια σχέση ισοδυναµίας () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας A είναι σ-ισοδύναµος µε τον µηδενικό πίνακα αν και µόνον αν A = O () Να δειχθεί ότι ένας τετραγωνικός n n πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι σ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Να δειχθεί ότι δύο τυχόντες n n αντιστρέψιµοι πίνακες είναι πάντα σ-ισοδύναµοι (5) Να δειχθεί ότι ένας αντιστρέψιµος πίνακας A είναι σ-ισοδύναµος µε τον πίνακα A n, n Z Λύση Από τον ορισµό έπεται ότι A, B M m n (K): A σ B υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας Q : B = AQ Τότε, αν A σ B έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε B = AQ Θεωρώντας ανάστροφους πίνακες, έπεται ότι για τους n m πίνακες t A και t B υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας t Q έτσι ώστε : t B = t Q t A, δηλαδή προκύπτει ότι t A γ t B Αντίστροφα, αν t A γ t B, τότε εξ ορισµού υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας P έτσι ώστε t B = P t A Θεωρώντας ανάστροφους πίνακες έπεται ότι για τους m n πίνακες t ( t A) = A και t ( t B) = B υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας t P έτσι ώστε : B = A t P, δηλαδή προκύπτει ότι A σ B Εποµένως : A σ B t A γ t B Συνδυάζοντας την παραπάνω ισοδυναµία µε τα αποτελέσµατα της Άσκησης 7 προκύπτουν άµεσα οι ισχυρισµοί της παρούσας Άσκησης ιαφορετικά: () Για να δείξουµε ότι η σχέση «σ» είναι σχέση ισοδυναµίας, πρέπει να δείξουµε ότι είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική (αʹ) Εστω A M m n (K) Επειδή ο µοναδιαίος n n πίνακας I n είναι αντιστρέψιµος και AI n = A, έπεται ότι A σ A, και άρα η σχέση «σ» είναι ανακλαστική (ϐʹ) Εστω A, B M m n (K) και υποθέτουµε ότι A σ B Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε AQ = B Τότε A = BQ και προφανώς ο πίνακας Q είναι αντιστρέψιµος Αυτό σηµαίνει ότι B σ A και άρα η σχέση σ είναι συµµετρική (γʹ) Εστω A, B, C M m n (K) και υποθέτουµε ότι A σ B και B σ C Τότε υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε AQ = B, και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε BQ = C Τότε ϑα έχουµε (AQ )Q = BQ = C ή ισοδύναµα A(Q Q ) = C Επειδή ο πίνακας Q Q είναι αντιστρέψιµος, έπεται ότι A σ C και εποµένως η σχέση «σ» είναι µεταβατική () Αν ο πίνακας A = O, τότε προφανώς ο A είναι σ-ισοδύναµος µε τον εαυτό του Αντίστροφα, έστω ότι A σ O Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας Q έτσι ώστε AQ = O Τότε A = OQ = O () Γνωρίζουµε ότι ένας τετραγωνικός n n πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν η ισχυρά σ-κλιµακωτή µορφή Σ(A) του A είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n, δηλαδή αν και µόνον αν Σ(A) = I n Επειδή υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε AQ = Σ(A), έπεται ότι AQ = I n, δηλαδή ο A είναι σ-ισοδύναµος µε τον I n Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι σ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Αν A, B είναι δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες, τότε από το µέρος () έπεται ότι A σ I n και B σ I n ή ισοδύναµα I n σ B, επειδή η σχέση «σ» είναι συµµετρική Επειδή η σχέση «σ» είναι µεταβατική, ϑα έχουµε A σ B (5) Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε ορίζεται ο αντίστροφός του A και εποµένως ορίζονται και οι πίνακες A n = (A ) n, n Θέτοντας A = I n, έπεται ότι ορίζονται οι πίνακες A n, n Z, οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι µε αντίστροφο (A n ) = A n = (A ) n Από το µέρος (4) έπεται ότι A σ A n, n Z ύο m n πίνακες A και B καλούνται ισοδύναµοι αν ο B προκύπτει από τον A µετά την εκτέλεση πεπερασµένου πλήθους στοιχειωδών πράξεων στις γραµµές και στις στήλες του A Γνωρίζουµε τότε ότι : οι

πίνακες A και B είναι ισοδύναµοι αν υπάρχουν στοιχειώδεις n n πίνακες E, E,, E q, και στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε :έτσι ώστε : E p E p E E A E E E q E q = B Επειδή ένας τετραγωνικό πίνακαςε είναι γινόµενο στοιχειωδών πινάκων, έπεται ότι οι πίνακες A και B είναι ισοδύναµοι αν και µόνον αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε : P AQ = B Ορίζουµε µια σχέση στο σύνολο M m n (K), ως εξής : A, B M m n (K): A B αν και µόνον αν οι πίνακες A και B είναι ισοδύναµοι, δηλαδή, A, B M m n (K): A B υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακές P M m (K) και Q M n (K) έτσι ώστε : P AQ = B Ασκηση 9 () Να δειχθεί ότι η σχέση στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K είναι µια σχέση ισοδυναµίας () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον µηδενικό πίνακα αν και µόνον αν A = O () Να δειχθεί ότι ένας τετραγωνικός n n πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι ισοδύναµος µε τον I n (4) Να δειχθεί ότι δύο τυχόντες n n αντιστρέψιµοι πίνακες είναι πάντα ισοδύναµοι (5) Να δειχθεί ότι ένας αντιστρέψιµος πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον πίνακα A n, n Z Λύση () Για να δείξουµε ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναµίας, πρέπει να δείξουµε ότι είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική (αʹ) Εστω A M m n (K) Επειδή ο µοναδιαίος m m πίνακας I m είναι αντιστρέψιµος, ο µοναδιαίος n n πίνακας I n είναι αντιστρέψιµος, και ισχύει ότι I m AI n = A, έπεται ότι A A, και άρα η σχέση «γ» είναι ανακλαστική (ϐʹ) Εστω A, B M m n (K) και υποθέτουµε ότι A B Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος m m πίνακας P και αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε P AQ = B Τότε A = P BQ και προφανώς οι πίνακες P και Q είναι αντιστρέψιµοι Αυτό σηµαίνει ότι B A και άρα η σχέση είναι συµµετρική (γʹ) Εστω A, B, C M m n (K) και υποθέτουµε ότι A B και B C Τότε : (α) υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε P AQ = B, και (β) υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε P BQ = C Τότε ϑα έχουµε (P P )A(Q Q ) = P BQ = C Επειδή οι πίνακες P P και Q Q είναι αντιστρέψιµοι, έπεται ότι A C και εποµένως η σχέση είναι µεταβατική () Αν ο πίνακας A = O, τότε προφανώς ο A είναι ισοδύναµος µε τον εαυτό του Αντίστροφα, έστω ότι A O Τότε υπάρχει υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε P AQ = O και εποµένως A = P OQ = O () Εστω ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο πίνακας A και ϑα έχουµε A AI n = I n Θέτοντας P = A και Q = I n, έπεται ότι A I n Αντίστροφα, έστω A I n Τότε υπάρχουν αντιστρέψιµοι n n πίνακες P και Q έτσι ώστε P AQ = I n, και εποµένως A = P Q ηλαδή ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ως γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων (4) Αν A, B είναι δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες, τότε από το µέρος () έπεται ότι A γ I n και B I n ή ισοδύναµα I n B, επειδή η σχέση είναι συµµετρική Επειδή η σχέση είναι µεταβατική, ϑα έχουµε A B (5) Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε ορίζεται ο αντίστροφός του A και εποµένως ορίζονται και οι πίνακες A n = (A ) n, n Θέτοντας A = I n, έπεται ότι ορίζονται οι πίνακες A n, n Z, οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι µε αντίστροφο (A n ) = A n = (A ) n Από το µέρος (4) έπεται ότι A A n, n Z Ασκηση Εστω A, B M m n (K) () Να δειχθεί ότι : A γ B = A B

Ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή ; () Να δειχθεί ότι : A σ B = A B Ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή ; Λύση () Εστω ότι A γ B Τότε υπάρχει ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας P έτσι ώστε P A = B Τότε ϑέτοντας Q = I n, ϑα έχουµε P AQ = P AI n = P A = B Άρα A B, και εποµένως A γ B = A B Η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν είναι αληθής Πραγµατικά, ϑεωρούµε τον πίνακα A = Τότε : Επιπλέον : Γ(A) = A = ( ) ( ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι Σ Σ Σ Γ Γ Γ ( ) A K(A) = Γ(A) Σ Σ Αν A γ K(A), τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P = Οµως P A = K(A) = a b = c d ( ) = = K(A) a b έτσι ώστε : P A = K(A) c d a a a + b = c c c + d ( ) δηλαδή καταλήγουµε στο άτοπο a = και a = Άρα ο πίνακας A δεν είναι γ-ισοδύναµος µε τον K(A) Εποµένως A B A γ B () Εστω ότι A σ B Τότε υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Q έτσι ώστε AQ = B Τότε ϑέτοντας P = I m, ϑα έχουµε P AQ = I m AQ = AQ = B Άρα A B, και εποµένως A σ B = A B Η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν είναι αληθής Πραγµατικά, ϑεωρούµε τον πίνακα B = Τότε : A = Σ Σ Σ Γ Γ Γ Γ Γ = K(B) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι B K(B) a b Αν B σ K(B), τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας Q = έτσι ώστε : AB = K(B) c d Οµως BQ = K(A) = a b = = a b a b = c d c d

δηλαδή καταλήγουµε στο άτοπο a = και a = Άρα ο πίνακας B δεν είναι σ-ισοδύναµος µε τον K(B) Εποµένως γενικά A B A σ B Ασκηση Να δειχθεί ότι δύο m n πίνακες είναι ισοδύναµοι αν και µόνον αν έχουν την ίδια ϐαθµίδα : A, B M m n (K) : r(a) = r(b) = A B Λύση Γνωρίζουµε ότι κάιθε πίνακας είναι ισοδύναµος µε την κανονική του µορφή Εποµένως ϑα έχουµε : A K(A) και B K(B) Επειδή Ir O K(A) = και r = r(a) O O και Ir O K(B) = και r = r(b) O O Επειδή r(a) = r = r Ir O = r(b), έπεται ότι K(A) = K(B) = και εποµένως ϑα έχουµε O O Ir O Ir O A και B O O O O Επειδή η σχέση, ως σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο των m n πινάκων, είναι συµµετρική και µετα- ϐατική, ϑα έχουµε : Ir O Ir O A και B = A B O O O O Ασκηση Εστω A M m n (K) και υποθέτουµε ότι r(a) = r Να δειχθεί ότι υπάρχουν πίνακες B M m r (K) και C M r n (K) έτσι ώστε : A = B C Ir O Λύση Γνωρίζουµε ότι ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε την κανονική του µορφή K(A) =, όπου O O r = r(a) Εποµένως υπάρχει( ένας αντιστρέψιµος ) m m πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας Ir O Q έτσι ώστε P AQ = K(A) = Θεωρούµε τους πίνακες O O X = M m r (K) και Y = M r n και υπολογίζουµε εύκολα ότι : Ir O XY = O O Θα δείξουµε αργότερα µε χρήση γραµµικών απεικονίσεων ότι : r(a) = r(b) A B

4 Τότε ϑα έχουµε Ir O P AQ = = XY = A = P XY Q = (P X)(Y Q ) O O Θέτοντας B = P X M m r (K) και C = Y Q M r n (K) ϑα έχουµε A = B C Ασκηση Να λυθεί το σύστηµα : (Σ) x + x x = x + x x = x + x + x = Λύση Εχουµε : A =, B =, X = x x, (A B) = Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): Γ Γ Γ 4 Γ Γ Γ 4 4 4 Γ Γ +4Γ Γ Γ Γ x Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + x + x = (Σ ) x + x + x = x + x + x = το οποίο έχει προφανή λύση την x = x = x = Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση την : x =, x =, x = Ασκηση 4 Να λυθεί το σύστηµα : (Σ) x + x 5x = x x + 4x = 4 4x + x 6x = 8 Λύση Εχουµε : A = 5 4, B = 4, X = x x, (A B) = 5 4 4 4 6 8 4 6 8 Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): 5 4 4 Γ Γ Γ 5 7 4 Γ Γ Γ 5 7 4 Γ Γ 4Γ 4 6 8 7 4 x Γ 7 Γ

5 Γ Γ Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + x x = (Σ ) x + x x = x + x + x = 5 Για το (Σ ) έχουµε : x = x και x = x Θέτουµε x = λ (αυθαίρετη τιµή από το σώµα K), και τότε έπεται ότι το σύτστηµα (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K), τις εξής : x = + λ, x = λ, x = λ Επειδή το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το σύτστηµα (Σ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K), τις εξής : x = + λ, x = λ, x = λ, (λ K) Ασκηση 5 Να λυθεί το σύστηµα : x + x x + x 4 = 8x (Σ) + x 9x + 8x 4 = 4x + 6x + x x 4 = x + x + 9x + 7x 4 = Λύση Εχουµε : A = 8 9 8 4 6, B =, X = 9 7 x x x x 4 x 5, (A B) = 8 9 8 4 6 9 7 Επειδή ο πίνακας των σταθερών όρων είναι ο µηδενικός εργαζόµαστε Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του πίνακα A των συντελεστών (Σ): 8 9 8 4 6 9 7 5 4 Γ 5 Γ Γ Γ Γ Γ 4Γ Γ Γ Γ, Γ 4 Γ 4 Γ 4 5 5 4 5 4 8 Γ Γ + Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος του συστήµατος x + x + x + x 4 = (Σ x ) + x + x 4 5 x 4 = x + x + x + x 4 = x + x + x + x 4 = Για το (Σ ) έχουµε : x = 4 5 x 4 και x = x x 4 Θέτοντας x = λ και x 4 = µ (αυθαίρετες τιµές από το σώµα K) Γ Γ +Γ Γ 4 Γ 4 +Γ 4 5

6 έπεται ότι το (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από δύο παραµέτρους λ, µ K: x = λ µ, x = λ, x = 4 5 µ, x 4 = µ Επειδή το σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ), έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από δύο παραµέτρους λ, µ K, τις εξής : x = λ µ, x = λ, x = 4 5 µ, x 4 = µ (λ, µ K) Ασκηση 6 Να λυθεί το σύστηµα : x x + x x 5 = x (Σ) + x x + x 4 = x x + x + x 4 = λ 4x + 4x 4x x 4 + x 5 = λ Λύση Εχουµε : A =, B = λ, X = 4 4 4 λ (A B) = λ 4 4 4 λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): λ 4 4 4 λ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ x x x x 4 x 5 λ 4 4 4 λ Γ 4 Γ 4 +4Γ λ λ Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 +Γ λ 4 λ Γ 4 Γ 4 +Γ λ λ Γ Γ λ λ και άρα καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα : x x + x x 5 = x 4 x 5 = x 5 = λ = λ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : () Αν λ τότε έπεται ότι το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο

7 () Αν λ = τότε έχουµε x 5 = και άρα x 4 = Ακόµα, από την πρώτη εξίσωση έχουµε x = x x Θέτουµε x = κ και x = ν µε κ, ν R Τότε έχουµε τη γενική λύση : x = κ ν x = κ x = ν κ, ν R x 4 = x 5 = Ασκηση 7 Να λυθεί το σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = λ x (Σ) + x = λ x 4 x 5 = λ x + x + x 4 x 5 = λ Λύση Εχουµε : A = λ, B = λ λ, X = λ λ (A B) = λ λ λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): x x x x 4 x 5 λ λ λ λ Γ 4 Γ 4 Γ λ λ λ Γ 4 Γ 4 Γ λ λ λ + λ και άρα καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = λ x + x = λ x 4 x 5 = λ = + λ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : () Αν λ τότε το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο

8 () Για λ = έχουµε το σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = x + x = x 4 x 5 = Συνεπώς έχουµε ότι x = x, x 4 = + x 5 και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση ϐρίσκουµε x = x + x 5 Θέτουµε x = ν και x 5 = κ µε κ, ν R Τότε έχουµε τη γενική λύση : x = ν + κ x = ν x = ν κ, ν R x 4 = + κ x 5 = ν Ασκηση 8 Αν λ R, να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα : x + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x (Σ) : + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = λ Λύση Ο πίνακας συντελεστών και ο πίνακας σταθερών όρων του συστήµατος (Σ) είναι A = και B = λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στον επαυξηµένο πίνακα (A B): (A B) = Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 Γ λ λ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 +Γ λ λ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος (Σ ): x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = (Σ x ) : + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = λ το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : () Αν λ τότε λ, ο τελευταίος πίνακας τότε η τελευταία εξίσωση του (Σ ) είναι αδύνατη διότι ϑα έχουµε = ( λ Εποµένως το (Σ ) και άρα και το (Σ) είναι αδύνατο () Εστω λ = Τότε το (Σ ) είναι της µορφής (παραλείπουµε τους άγνωστους µε µηδενικό συντελεστή): x + x + x 4 = x + x 5 x 6 = x 7 = = x = x x 4 x = x 5 + x 6 x 7 =

9 Θέτουµε x = κ, x 4 = λ, x 5 = µ, x 6 = ν να είναι αυθαίρετες τιµές από το σώµα K, έπεται ότι το σύστηµα (Σ ), άρα και το ισοδύναµό του σύστηαµ (Σ), έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από 4 παραµέτρους : Εποµένως η γενική λύση του συστήµατος (Σ) είναι x = κ ξ x = µ + ν x = κ x 4 = ξ κ, ξ, µ, ν R x 5 = µ x 6 = ν x 7 = Ασκηση 9 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): x y + z = (Σ) x + y + λz = x + λy + z = λ Λύση Εχουµε : A = λ, B =, X = x y, (A B) = λ λ λ z λ λ Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): (A B) = λ Γ Γ Γ λ Γ Γ Γ λ λ λ + λ ιακρίνουµε περιπτώσεις : () Αν λ + =, δηλαδή λ =, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής : 4 ο οποίος είναι ο επαυξηµένος ενός συστήµατος (Σ ) ισοδύναµου µε το (Σ) Επειδή προφανώς το (Σ ) είναι αδύνατο (η τελευταία εξίσωση του είναι της µορφής x + y + z = 4), έπεται ότι το (Σ) είναι αδύνατο () Αν λ +, δηλαδή λ, τότε εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του τελευταίου πίνακα : λ λ + λ ιακρίνουµε περιπτώσεις : Γ Γ Γ λ+ Γ λ+ λ λ+ λ λ λ+ (λ ) λ+ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ

(αʹ) Αν λ+ =, δηλαδή αν λ =, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής και είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + y + z = (Σ ) x + y + z = x + y + z = το οποίο είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα (Σ) Θέτοντας z = κ να είναι µια αυθαίρετη τιµή από το σώµα K, έπεται ότι το (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο κ K: x = κ, y =, z = κ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο, τις εξής : x = κ, y =, z = κ (κ K) (ϐʹ) Αν λ+, δηλαδή αν λ, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής λ+ λ+ λ Γ Γ +Γ λ Γ Γ λ+ Γ λ+ (λ ) Γ λ+ Γ λ+ 4 λ+ λ+ 4 λ λ+ 4 λ+ ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + y + z = 4 (Σ ) x + y + z = λ λ+ x + y + z = 4 λ+ το οποίο είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα (Σ) Προφανώς το (Σ ) έχει µοναδική λύση την x = 4, y = λ λ+, z = 4 λ+ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση, την εξής : x = 4, y = λ λ +, z = 4 λ + Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το σύστηµα (Σ) είναι : () Είναι αδύνατο, αν λ = () Εχει άπειρες λύσεις, αν : λ και λ = Οι άπειρες λύσεις του (Σ) εξαρτώνται από µια παράµετρο και είναι οι εξής : x = κ, y =, z = κ (κ K) () Εχει µοναδική λύση, αν λ και λ Η µοναδική λύση του (Σ) είναι η εξής : x = 4, y = λ λ +, z = 4 λ + Ασκηση Αν a, b R, να λυθεί το σύστηµα : x + y + z = 6a (Σ) x + y + (b + )z = 4 bx + y + z = a

Λύση Εχουµε : A = (b + ), B = 6a 4, X = x y, (A B) = 6a (b + ) 4 b a z b a Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): 6a (b + ) 4 Γ Γ Γ 6a b 4 + 6a Γ Γ b a b a ιακρίνουµε περιπτώσεις : () b = Τότε ο τελευταίος πίνακας είναι ο a 4 + 6a a ο οποίος είναι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος x + (Σ y + z = a ) x + y + z = 4 + 6a x + y + z = a a b 4 + 6a b a Από το οποίο ϐλέπουµε ότι : (αʹ) Αν 4 + 6a, δηλαδή αν a 4 6 =, τότε το (Σ ) είναι αδύνατο Επειδή το (Σ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ), έπεταιο ότι αν a, τότε το (Σ) είναι αδύνατο (ϐʹ) Αν Αν 4 + 6a =, δηλαδή αν a = 4 6 =, τότε ο επαυξηµένος πίνακας του (Σ ) είναι Γ Γ 7 6 Γ Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι είναι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος x + y + (Σ 6 z = 7 ) x + y + z = x + y + z = Γ Γ Γ Από το οποίο ϐλέπουµε ότι : y = ( + z) και x = 7 6z Θέτοντας z = λ, (αυθαίρετη τιµή από το σώµα K), έπεται ότι το σύστηµα (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K: x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ) και το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ),έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K, τις εξής : x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ, (λ K) () Αν b Τότε : a b 4 + 6a b a ιακρίνουµε περιπτώσεις : Γ Γ a b b a + ab 4+6a b a b a b 4 + 6a a = 6 b 4 b a + ab 4+6a b Γ Γ bγ Γ b Γ

(αʹ) Αν b = 6, τότε έχουµε τον πίνακα : a a Γ Γ +Γ +a a a +69a Γ Γ a a +69a ιακρίνουµε περιπτώσεις : (i) Αν +69a, δηλαδή αν a 69, τότε το (Σ) είναι αδύνατο, καθώς ο παραπάνω πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) και ειναι προφανώς αδύνατο (ii) Αν +69a =, δηλαδή αν a = 69, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι : ( 69 ) ( 69 ) = 4 +69a Ο τελευταίος πίνακας είναι ο πίνακας του επαυξηµένου συστήµατος x + (Σ y + z = ) x + y + z = 4 x + y + z = το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) και το οποίο έχει άπειρες λύσεις : z = 4, και x = λ +, όπου λ είναι µια αυθαίρετη παράµετρος από το σώµα K Εποµένως το (Σ έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K: x = λ + (ϐʹ) Αν b 6, τότε : a 6 b 4 b a + ab 4+6a b, y = λ, z = 4, (λ K) Γ 6 b Γ 6 b 4 b 6 b a 4 b 6 b 4+6a b 4a 6 b 6a+6ab 6 b 6a+6ab 6 b 4+6a b Ο τελευταίος πίνακας είναι ο πίνακας του επαυξηµένου συστήµατος (Σ ) x + y + 6 b z = 4a 6 b x + y + 4 b 6 b z = 6a+6ab 6 b x + y + z = 4+6a b το οποίο είναι ισοδυναµο µε το (Σ) και έχει µοναδική λύση : z = 4+6a ab+6ab +4b 4a 6 b(6 b), x = 4a 6 b 6 b 4+6a b το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση x = 4ab + 6a + 4 b(6 b) Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το σύστηµα (Σ) είναι : () Είναι αδύνατο, αν : b = b Γ Γ Γ, y = 6a+6ab 6 b 4 b 6 b 4+6a b = = 4ab 4 6a b(6 b) Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε, y = ab + 6ab + 4b 4a 6, z = 4 + 6a b(6 b) b και a ή b = 6 και a 69 () Εχει µοναδική λύση, αν : b και b 6 Τότε η µοναδική λύση του (Σ) είναι : x = 4ab + 6a + 4 b(6 b), y = ab + 6ab + 4b 4a 6, z = 4 + 6a b(6 b) b

() Εχει άπειρες λύσεις, αν : (αʹ) Είτε b = και a = Τότε οι λύσεις του (Σ) είναι της µορφής : x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ, (λ K) (ϐʹ) Είτε b = 6 και a = 69 Τότε οι λύσεις του (Σ) είναι της µορφής : x = λ +, y = λ, z = 4, (λ K) Ασκηση Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή και η κανονική µορφή του πίνακα 4 5 4 5 6 C = 5 6 7 4 4 7 6 5 8 9 Ακολούθως να λυθεί το γραµµικό σύστηµα 4 5 4 5 6 AX = B, όπου A = 5 6 7 4 4 7 6 και B = 5 8 9 Λύση Για την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα C, Θα έχουµε 4 5 4 5 4 5 6 C = 5 6 7 4 Γ Γ Γ, Γ Γ Γ 4 Γ 4 7 6 4 Γ 4 4Γ, Γ 5 Γ 5 5Γ 5 4 5 8 9 6 4 5 4 5 4 5 Γ Γ Γ 4 7 Γ Γ Γ 4 7 Γ Γ +Γ 4 7 Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 +Γ Γ 5 Γ 5 +Γ Γ Γ Γ Γ 4 5 4 5 5 4 7 4 7 7 7

4 Προφανώς ο τελευταίος πίνακας είναι η ισχυρή Γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα C: 4 7 7 Γ(C) = 7 Για την κανονική µορφή του πίνακα C, Θα έχουµε : 4 7 7 Γ(C) = 7 Σ 5 Σ 5 4Σ Σ 6 Σ 6 +7Σ Σ 4 Σ 4 +Σ Σ 5 Σ 5 +Σ, Σ 6 Σ 6 7Σ 7 7 7 Σ 4 Σ 4 Σ Σ 5 Σ 5 7Σ, Σ 6 Σ 6 +Σ Προφανώς ο τελευταίος πίνακας είναι η κανονική µορφή του πίνακα C: K(C) = Για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος (Σ): AQ = B, παρατηρούµε ότι ο πεαυξηµένος πίνακας του συστήµατος (Σ) είναι ο πίνακας C: (A B) = C Εποµένως ϑα έχουµε ότι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του (A B) είναι ο πίνακας 4 7 7 Γ(A B) = 7 ο οποίος είναι οµεπαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος (Σ ) ισοδύναµου µε το αρχικό : x + x + x + x 4 + 4x 5 = 7 x + x + x + x 4 + x 5 = 7 (Σ ) x + x + x + x 4 + 7x 5 = x + x + x + x 4 + x 5 = x + x + x + x 4 + x 5 = δηλαδή (Σ ) και το οποίο έχει την ακόλουθη γενική λύση : ϑέτουµε x + 4x 5 = 7 x x 4 x 5 = 7 x + x 4 + 7x 5 = x 4 = r και x 5 = s

5 να είναι αυθαίρετα στοιχεία από το σώµα K και τότε : x = 7 4s x = 7 + r + s x = r 7s x 4 = r x 5 = s r, s K Η παραπάνω είναι και η γενική λύση του αρχικού συστήµατος (Σ) άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από δύο αυθαίρετες παραµέτρους Ιδιαίτερα προκύπτει ότι το (Σ) έχει Ασκηση Θεωρούµε τον 4 5 πίνακα 4 A = 4 5 4 6 Να ϐρεθεί ένας αντιστρέψιµος 4 4 πίνακας P και ένας αντιστρέψιµος 5 5 πίνακας Q έτσι ώστε ο πίνακας P AQ να είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και ισχυρά σ-κλιµακωτός, δηλαδή ο πίνακας P AQ είναι η κανονική µορφή του πίνακα A Ακολούθως να λυθεί το οµογενές γραµµικό σύστηµα (Σ) AX = O, όπου O = Λύση Για την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A, ϑα έχουµε : 4 A = 4 Γ Γ 4 4 Γ Γ Γ 5 4 6 5 4 6 4 4 Γ Γ Γ 7 Γ Γ 4Γ, Γ 4 Γ 4 5Γ 7 Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 Γ 5 4 6 4 4 7 Γ 7 Γ 7 7 7 Γ Γ 4 Γ Γ +Γ 9 7 7 7 9 7 7 7 Γ Γ + 7 Γ 7 7 7 7 Γ Γ 7 Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι προφανώς η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A: 9 7 7 Γ(A) = 7 7

6 Ερµηνεύοντας τις προηγηθείσες στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του A ως διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς από τα αριστερά του πίνακα A µε τους αντίστοιχους στοιχειώδεις πίνακες, προκύπτει ότι ϑέτοντας : P = E E E () E E 4 E ( ) E 4 ( ) E ( ) E ( 4) E 4 ( 5) E ( )E 7 7 7 απόκτούµε έναν 4 4 αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε P A = Γ(A) Για την κανονική µορφή του πίνακα A, ϑα έχουµε : 9 7 7 Γ(A) = 7 7 9 Σ Σ + 7 Σ 7 7 Σ 4 Σ 4 + 7 Σ Σ Σ + 7 Σ Σ 4 Σ 4 7 Σ Σ Σ 5 Ο τελευταίος πίνακας είναι προφανώς η κανονική µορφή του πίνακα A: K(A) = Ερµηνεύοντας τις προηγηθείσες στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες του Γ(A) ως διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς από τα δεξιά του πίνακα A µε τους αντίστοιχους στοιχειώδεις πίνακες, προκύπτει ότι ϑέτοντας : ( 9 Q = t E t E t 4 E t E 4 ) t E 5 7 7 7 7 απόκτούµε έναν 5 5 αντιστρέψιµο πίνακα Q έτσι ώστε Γ(A)Q = K(A), και τότε ϑα έχουµε : P AQ = K(A) Για το οµογενές γραµµικό σύστηµα (Σ): AQ = O, ϑα έχουµε το ισοδύναµο οµογενές γραµµικό σύστηµα Γ(A)X = O, δηλαδή : x 9 (Σ 7 x 7 x 4 = ) x 7 x + 7 x 4 = x 5 = και το οποίο έχει την ακόλουθη γενική λύση : ϑέτουµε x = r και x 4 = s να είναι αυθαίρετα στοιχεία από το σώµα K και τότε : x = 7 r + 7 s x = 7 r 7 s x = r x 4 = s x 5 = r, s K Η παραπάνω είναι και η γενική λύση του αρχικού συστήµατος (Σ) Ιδιαίτερα προκύπτει ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από δύο αυθαίρετες παραµέτρους