Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Πιθανότητες Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
2 Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (random variable) είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό σε κάθε ενδεχόμενο του πειράματος. Εναλλακτικά, η τιμή (value) της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό ενδεχόμενο. Αντί να μιλάμε για το ρίξιμο ενός νομίσματος με ενδεχόμενα {κορώνα, γράμματα} μπορούμε να σκεφτόμαστε ως ο αριθμός των κορωνών όταν ρίχνουμε ένα ζάρι {1, 0} (αριθμητικά ενδεχόμενα)
3 Δυο Ειδών Τυχαίων Μεταβλητών Διακριτή (discrete) Τυχαία Μεταβλητή : μία η οποία παίρνει τιμές σε ένα αριθμήσιμο σύνολο Παράδειγμα άθροισμα από το ρίξιμο δύο ζαριών: 2, 3, 4,, 12 Συνεχή (continuous) Τυχαία μεταβλητή : μία η οποία δεν παίρνει διακριτές τιμές, μη-αριθμήσιμο σύνολο (υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα). Παράδειγμα η ώρα (30.1 λεπτά; 30.10000001 λεπτά;) Ανάλογα: Οι ακέραιοι είναι διακριτοί, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς
4 Τί είναι ένα Ερωτηματολόγιο Συνήθως χρησιμοποιείται για να συλλέξουμε πληροφορίες ή να μετρήσουμε Στάσεις Συμπεριφορές Απόψεις Κατάσταση Υγείας Γνώσεις Ψυχολογικά χαρακτηριστικά - καταστάσεις
5 Κατανομές Πιθανοτήτων Μία κατανομή πιθανότητας (probability distribution) ή συνάρτηση πυκνότητας (density function) είναι ένας πίνακας, τύπος ή γράφημα το οποίο περιγράφει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και τις πιθανότητες οι οποίες αναλογούν στις τιμές αυτές. Όταν περιγράφουμε την τυχαία μεταβλητή (η οποία μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής), έχουμε δύο ειδών κατανομών πιθανοτήτων: Διακριτή Κατανομή πιθανότητας και Συνεχή Κατανομή πιθανότητας
6 Συμβολισμός Πιθανοτήτων Με κεφαλαίο γράμμα παριστάνουμε το όνομα μιας τυχαίας μεταβλητής, συνήθως ως X. Με μικρό γράμμα θα παριστάνουμε την αντίστοιχη τιμή (value) της τυχαίας μεταβλητής. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X είναι ίση με x παριστάνεται ως: P(X = x) Ή πιο απλά P(x)
7 Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Οι πιθανότητες των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής ενδέχεται να εξαχθούν από μέσα εργαλείων πιθανοτήτων όπως τα διαγράμματα δέντρων ή εφαρμόζοντας κάποιον από τους ορισμούς υποθέσεις εφαρμόζουν: των πιθανοτήτων, δεδομένου ότι αυτές οι δύο 1.0 P( x) 1 για όλα τα 2. Px ( ) 1 όλα τα x x
8 Παράδειγμα Οι κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να εκτιμηθούν από σχετικές συχνότητες. Θεωρήστε τον διακριτό (αριθμήσιμο) αριθμό των τηλεοράσεων για κάθε σπίτι των ΗΠΑ από δειγματοληπτική ερευνά 1,218 101,501 = 0.012 Παράδειγμα P(X=4) = P(4) = 0.076 = 7.6%
9 Παράδειγμα Ποια είναι η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τηλεόραση αλλά όχι περισσότερες από τρεις σε οποιοδήποτε νοικοκυριό; «τουλάχιστον μία τηλεόραση αλλά όχι περισσότερες από τρεις» P(1 X 3) = P(1) + P(2) + P(3) =.319 +.374 +.191 =.884
10 Παράδειγμα ΙΙ Σχηματίζοντας μία κατανομή πιθανοτήτων Οι τεχνικές για τον υπολογισμό πιθανοτήτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν, για παράδειγμα, ένας πωλητής αμοιβαίων κεφαλαίων γνωρίζει ότι υπάρχει 20% πιθανότητα για να κλείσει μία πώληση σε κάθε συνάντηση που αυτή έχει. Ποια είναι η κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των πωλήσεων εάν σκοπεύει να συναντήσει τρεις πελάτες; Αν παραστήσουμε με S την επιτυχία, π.χ. για να κλείσει μία πώληση P(S)=.20 Έτσι με S C «δεν κλείνει μια συμφωνία», και P(S C )=.80
11 Παράδειγμα ΙΙ Σχηματίζοντας μία κατανομή πιθανοτήτων Πώληση στην 1η συνάντηση Πώληση στην 2η συνάντηση Πώληση στην 3η συνάντηση (.2)(.2)(.8)=.032 P(S)=.2 S S S P(S)=.2 P(S C )=.8 P(S)=.2 P(S C )=.8 P(S)=.2 P(S C )=.8 P(S C )=.8 P(S)=.2 P(S C )=.8 P(S)=.2 P(S C )=.8 P(S)=.2 S S S C S S C S S S C S C S C S S S C S S C S C S C S X P(x) 3.2 3 =.008 2 3(.032)=.096 1 3(.128)=.384 0.8 3 =.512 P(S C )=.8 S C S C S C P(X=2) παρουσιάζεται εδώ
12 Πληθυσμός/Κατανομή Πιθανοτήτων Η διακριτή κατανομή πιθανοτήτων παριστάνει τον πληθυσμό Παράδειγμα Ι ο πληθυσμός του αριθμού των τηλεοράσεων για κάθε σπίτι Παράδειγμα ΙΙ ο πληθυσμός του αριθμού των πωλήσεων Αφού έχουμε πληθυσμούς, μπορούμε να τους περιγράψουμε υπολογίζοντας ποικίλες παραμέτρους. Π.χ. την μέση τιμή και την διακύμανση του πληθυσμού.
13 Μέση Τιμή του Πληθυσμού (Μαθηματική Ελπίδα) Η μέση τιμή του πληθυσμού είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των τιμών του. Αυτή η παράμετρος καλείται επίσης η μαθηματική ελπίδα του X και παριστάνεται με E(X). E( X ) xp( x) όλα τα x
14 Διακύμανση του Πληθυσμού Η διακύμανση του πληθυσμού υπολογίζεται με παραπλήσιο τρόπο. Είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος των τετραγωνισμένων αποκλίσεων από την μέση τιμή. V X x P x 2 2 ( ) ( ) ( ) όλα τα x Όπως και πριν, υπάρχει μία εναλλακτική μορφή του τύπου V ( X ) x P( x) 2 2 2 όλα τα x Η τυπική απόκλιση είναι η ίδια όπως πριν: 2
15 Παράδειγμα ΙΙΙ Βρείτε την μέση τιμή, διακύμανση, και τυπική απόκλιση για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι (από το παράδειγμα Ι) = 0(.012) + 1(.319) + 2(.374) + 3(.191) + 4(.076) + 5(.028) = 2.084
16 Παράδειγμα ΙΙΙ Βρείτε την μέση τιμή, διακύμανση, και τυπική απόκλιση για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι (από το παράδειγμα Ι) = (0 2.084) 2 (.012) + (1 2.084) 2 (.319)+ +(5 2.084) 2 (.028) = 1.107
17 Παράδειγμα ΙΙΙ Βρείτε την μέση τιμή, διακύμανση, και τυπική απόκλιση, για τον πληθυσμό του αριθμού των έγχρωμων τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι (από το παράδειγμα 6.1) = 1.052
18 Ιδιότητες της Μαθηματικής Ελπίδας 1. E(c) = c Η μαθηματική ελπίδα μιας σταθεράς (c) είναι απλά η τιμή της σταθεράς. 2. E(X + c) = E(X) + c 3. E(cX) = ce(x) Μπορούμε να «βγάλουμε» μία σταθερά έξω από την μαθηματική ελπίδα (ως όρος ενός αθροίσματος με μία τυχαία μεταβλητή X ή ως συντελεστής της τυχαίας μεταβλητής X).
19 Παράδειγμα ΙV Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμή του μηνιαίου κέρδους. 1) Εκφράζουμε το πρόβλημα με αλγεβρικούς όρους: οι πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 E(Πωλήσεις) = 25,000 τα κέρδη υπολογίζονται Κέρδη =.30(Πωλήσεις) 6,000
20 Παράδειγμα ΙV Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμή του μηνιαίου κέρδους. E(Κέρδη) =E[.30(Πωλήσεις) 6,000] =E[.30(Πωλήσεις)] 6,000 [Ιδιότητα #2] =.30E(Πωλήσεις) 6,000 [Ιδιότητα #3] =.30(25,000) 6,000 = 1,500 Έτσι, το μηνιαίο κέρδος είναι $1,500
21 Ιδιότητες της Διακύμανση 1. V(c) = 0 Η διακύμανση μιας σταθεράς (c) είναι μηδέν. 2. V(X + c) = V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας σταθεράς είναι απλά η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής. 3. V(cX) = c 2 V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και ενός σταθερού συντελεστή είναι το τετράγωνο του συντελεστή επί την διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.
22 Παράδειγμα ΙV Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους. 1) Εκφράζουμε το πρόβλημα με αλγεβρικούς όρους: οι πωλήσεις έχουν μία τυπική απόκλιση $4,000 V(Πωλήσεις) = 4,000 2 = 16,000,000 (θυμηθείτε την σχέση μεταξύ τυπικής απόκλισης και διακύμανσης) τα κέρδη υπολογίζονται Κέρδη =.30(Πωλήσεις) 6,000
23 Παράδειγμα ΙV Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουν μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους. 2) Η διακύμανση του κέρδους είναι = V(Κέρδος) =V[.30(Πωλήσεις) 6,000] =V[.30(Πωλήσεις)] [Ιδιότητα #2] =(.30) 2 V(Πωλήσεις) [Ιδιότητα #3] =(.30) 2 (16,000,000) = 1,440,000 Ξανά, η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, έτσι η τυπική απόκλιση του κέρδους = (1,440,000) 1/2 = $1,200
24 Παράδειγμα ΙV Οι μηνιαίες πωλήσεις έχουνε μέση τιμή $25,000 και τυπική απόκλιση $4,000. Τα κέρδη υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας το σταθερό κόστος ύψους $6,000. Βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους. Η μέση τιμή του μηνιαίου κέρδους είναι $1,500 Η τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους είναι $1,200
25 Κατανομές με Δύο Τυχαίες Μεταβλητές Μέχρι τώρα, έχουμε δει μονοδιάστατες κατανομές, π.χ. κατανομές πιθανότητας με μία μεταβλητή. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, οι κατανομές με δύο τυχαίες μεταβλητές είναι πιθανότητες από συνδυασμούς δύο τυχαίων μεταβλητών. Οι κατανομές πιθανότητας με δύο ή περισσότερες μεταβλητές καλούνται από κοινού κατανομές πιθανότητας (joint probability distribution). Μία από κοινού κατανομή πιθανότητας των X και Y είναι ο πίνακας ή ο τύπος που δείχνει την από κοινού κατανομή πιθανότητας για όλα τα ζευγάρια των τιμών των x και y, και συμβολίζεται ως. P(x,y) = P(X=x και Y=y)
26 Διακριτές Κατανομές με Δύο Τυχαίες Μεταβλητές Όπως ενδεχομένως θα αναμένατε, οι ιδιότητες μιας διακριτής κατανομής με δύο τυχαίες μεταβλητές είναι παραπλήσιες με αυτές των κατανομών με μία μεταβλητή, με μόνο ελάχιστες αλλαγές στο συμβολισμό: όλα όλα τα x τα y για όλα τα ζευγάρια (x,y). 1. 0 P( x, y) 1 2. P( x, y) 1
27 Παράδειγμα V Ο Xavier και ο Yvette είναι μεσίτες κατοικιών, συμβολίσουμε με X και Y των αριθμό των αριθμό των σπιτιών που πουλάει ο καθένας τον μήνα. Η ακόλουθη από κοινού κατανομή πιθανότητας βασίζεται σε πωλήσεις από το παρελθόν: Ερμηνεύουμε αυτές τις από κοινού πιθανότητες όπως πριν. Π.χ. η πιθανότητα ότι ο Xavier να πουλήσει 0 σπίτια και ο Yvette να πουλήσει 1 σπίτι μέσα σε ένα μήνα είναι P(0, 1) =.21
28 Παράδειγμα V Ο Xavier και ο Yvette είναι μεσίτες κατοικιών, συμβολίσουμε με X και Y των αριθμό των αριθμό των σπιτιών που πουλάει ο καθένας τον μήνα. Η ακόλουθη από κοινού κατανομή πιθανότητας βασίζεται σε πωλήσεις από το παρελθόν: Ερμηνεύουμε αυτές τις από κοινού πιθανότητες όπως πριν. Π.χ. η πιθανότητα ότι ο Xavier να πουλήσει 0 σπίτια και ο Yvette να πουλήσει 1 σπίτι μέσα σε ένα μήνα είναι P(0, 1) =.21