ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Σάββατο, 4 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: P(A BP(A P(A B Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Α. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi μιας παρατήρησης xi ενός δείγματος. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6x. Μονάδες γ Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x f (g(x g (x Μονάδες δ Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 4. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 47 (δηλαδή το ποσοστό εμφάνισης της τιμής xi στο δείγμα. Α4. α - Λ, β - Λ, γ - Σ (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, δ - Λ, ε - Σ ΘΕΜΑ Β Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M 4, η πιθανότητα να είναι άσπρη 7 είναι P(A4λ και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K λ+, όπου λ R.. Αν 4 για το πλήθος Ν(Ω των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω<7, τότε Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω68 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ Μονάδες 6 Μονάδες 8 Β. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β4. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. Είναι P(M Ν(Μ άρα 4 Ν(Μ Ν(Ω και από 64<Ν(Ω<7 έπεται πως Ν(Ω 4 64 < 4N(M < 7 6< N(M < 8 και ο μοναδικός ακέραιος μεταξύ του 6 και 8 είναι το 7, άρα Ν(Μ 7. Επομένως Ν(Ω 7 4 68. Β. Για τις πιθανότητες P(M, P(A4 7 λ και ναι P(K λ+, ισχύει ότι 4 4 P(M+P(A+P(K ( και επιπλέον 0 P(M, 0 P(A ( και 0 P(K (
η ( γίνεται: 7 8 + 4λ λ+ 4λ λ+ 0 4λ λ+ 0 4 4 4 λ ± Δ 6 9 και λ, 8 λ 4 Από ( 0 4λ και 0 4λ ισχύει πάντα άρα 4λ λ λ. Δηλαδή δεκτή η λ. 4 7 Τότε η ( για λ γίνεται 0 + 0 αληθής. Άρα λ. 4 4 4 4 4 Β. Για λ οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι: P (M, P (A, P (K και για 4 4 4 Ν(Ω68, είναι: Ν(Μ P (M Ν(Μ 68 7 σφαίρες Ν(Ω 4 Ν(Α P (Α Ν(Α 68 7 σφαίρες Ν(Ω 4 Ν(Κ P (M Ν(Κ 68 4 σφαίρες Ν(Ω Β4. Επειδή A M έπεται πως Ν( A M N (A + N(M 4 N(A M 4 Άρα P (A M. N(Ω 68 ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi% έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0 Β(0, 0 Γ(, 0 Δ(4, yδ E(6, yε Ζ(8, 0 Η(0, 0 όπου yδ, yε οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες yδ και yε των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 400 ευρώ και και το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%. Μονάδες Γ. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων fi% της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 4
Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 Γ. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτημα. Μονάδες 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Οι κεντρικές τιμές των κλάσεων είναι οι τετμημένες των Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Δηλαδή x0, x, x4, x46, x8. Οι τεταγμένες των Β, Γ, Δ, Ε, Ζ είναι οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες % των κλάσεων. Άρα f%0, f%0, f%yδ, f4%ye, f%0. Γ. Iσχύει ότι f % 00 0+ 0+ y + y + 0 00 y + y 60 ( i i Δ E Δ E α τρόπος: Επειδή ΔΕ παράλληλο στον οριζόντιο άξονα Από (,( y y 0 Δ E y y ( β τρόπος:+ 0 0+ 0+ 4 yδ + 6 ye + 8 0 00+ 40+ 4yΔ x xifi i 00 00 0+ 4yΔ + 6yE 00 0+ 4yΔ + 6yE Όμως x 4, 4, 4yΔ + 6yE 900 00 ( Δ E + 6y 4yΔ + 6(60 yδ 900 4yΔ + 960 6yΔ 900 yδ 60 yδ Από ( y Ε 0 E 0 + 80 fi% 0 Δ Ε 0 Γ 0 B Ζ A 8 0 4 6 8 Η 0
Γ. Αν c είναι το πλάτος κάθε κλάσης, αφού x x x x x x x x, Γ B Δ Γ Ε Δ Ζ Ε συμπεραίνουμε ότι c. Εφόσον x B 0 και c οι κλάσεις είναι [9-, [-, [,, [-7, [7,9 KΛΑΣΕΙΣ xi fi% 9 0 0 0 4 0 7 6 0 7-9 8 0 Σύνολο - 00 Γ4. Πωλήσεις τουλάχιστον 000 ευρώ έχουν κάνει οι πωλητές της 4 ης και της ης κλάσης, f4 + f 0+ 0 40% 40 Γ. Από εμβαδόν ισχύει ότι V 80. Από (Γ4, έχουμε 80 πωλητές διακαιούνται 00 το ποσόν. ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση x(x x+ f(x e 0, x R. Δ. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 Δ. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β και Ρ(Α, Ρ(Β είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β, Ρ(Α Β, Ρ(Α Β, Ρ(Β Α. Δ. Δίνεται η συνάρτηση α Να λυθεί η εξίσωση f(xh(x. x x( x h(x e, x R. Μονάδες 8 Μονάδες β Aν x< x < x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και vixi+, i,, οι συχνότητες των παρατηρήσεων xi τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6 6
ΑΠΑΝΤΗΣΗ x(x x+ Δ. f(x e 0, x R. x x + x Είναι: f(x e 0, x R. x x + x x x x + f'(x e 0 ( x x + x' e 0 (x x+. 0 Oπότε f'(x 0 x x+ 0 x x+ 0 x ή 0 f'(x > 0 x x+ > 0 x< ή x x> f (x + + f H f είναι γν. αύξουσα στα (, ] και [, + ] και γν. φθίνουσα στο [, ]. Δ. A B P(A P(B Αφού είναι οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f, τότε P (A και P (B A B άρα A B A και A B B Άρα P (A B P(A P (A B P(A P(A B 0 Α Β P (A B P(B Ω P (B A P(Β P(A B 0 x Δ. α Είναι f(x h(x R e x(x x+ 0 e x x( x + 0 x 0 x x x(x x+ x( x x(x x+ x( x 0 0 0 9x x x x(x x+ + x+ 0 x( + 0 x(x x+ 6 0 x0 ή x ή x β Είναι < x x, άρα x 0, x, x. x < xi vi xi vi 0 0 0 7 Σύνολο Είναι νi xi +, i,,. ν x + ν x + ν x + 7 Σxiνi x ν 7
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα μποροὐν να κριθούν ως ιδιαιτέρως απαιτητικά συγκρινόμενα με τα θέματα των προηγούμενων ετών. Παρατηρούμε σημεία που θα προβληματίσουν τους εξεταζόμενους και θα τους πιέσουν χρονικά σ όλα τα θέματα. Συνεπώς κρίνουμε ότι οι επιδόσεις των υποψηφίων θα κινηθούν πτωτικά στο συγκεκρίμενο μάθημα. 8