( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9-5- ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 79 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 Α. α) ΣΩΣΤΟ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ ε) ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β. z+ = z z+ = z ± i ± i Δ = = z, = = = ± i Β. 5 5 5 5 z + z = + i + i = + i + i = i + i 5 5 5 5 5 5 5 5 = i + i = i i = Β. z z = + i i = + i + i = i = Τότε w + i = z z w + i = w i = ( ) άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνας ρ =. O A - M( w ) ρ= K(,-) B

Β. w = w + i + i = w + i + i ( ) () Γνωρίζω ότι w + i = και i = + = 5 = 5 οπότε σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και την έχουμε: w + i i w w + i + i Γεωμετρική λύση w ( i) = Αντικαθιστώντας w = + yi έχουμε: ( ) 5 w + 5 w 7 + yi + i = + i y+ = C: + y+ = = OK y = OK OK: y λ OK = (, ) άρα λ = Η εξίσωση κύκλου C είναι + y+ = Η εξίσωση της ευθείας ΟΚ είναι y= O w 9, 5 5 A - M( w) ρ= K(,-) B 8, 5 5 Τα σημεία τομής των C και ΟΚ είναι οι λύσεις του συστήματος: ( ) + ( y+ ) = ( ) + + = ( ) + ( ) = y= y= y= 5 ( ) = ( ) = 6 5 y= y= 8 ± 8 =± 5 = 5 y= y= = = = 9 5 5 5, y

8 8 =, y = = 5 5 5 9 8 Άρα : Α, και Β, 5 5 5 5. Όπως είναι γνωστό από τη Γεωμετρία και την εφαρμογή του σχολικού βιβλίου ισχύει:( ΟΑ) ( ΟΜ) ( ΟΒ ) Οπότε: 9 + 9 + ( + ) 5 w = ( OA) = min + = = = = = 5 5 5 5 5 5 9 Συνεπώς: w = i και w = 5 5 7 ( + ) 8 8 + 7 + 7 w = ( OB) = ma + = = = 5 5 5 5 5 75 = = 7 5 8 Συνεπώς: w = i και w = 7 5 5 Τελικά w 7. ΘΕΜΑ Γ f = + ln +, D f =R Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξη παραγωγίσιμων ( + + ) f ( ) = ( ) + ( ln( + ) ) = + ( + ) = + = >, + + + για κάθε R Γ. ( ) + ( + ) = ln 6 = ln + ( ) + ln( + ) + +ln( + ) = ( ) + ln ( ) + f( ) = f( - ) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και, άρα: = + = =, = Γ. f( ) = + ln( + ) = + f + Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξη παραγωγίσιμων + + f ( ) = + = + = + = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( )

( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + = = + + f = = + = = =± > > + > f, - + f() + f() Σ.Κ Σ.Κ H f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη οπότε δέχεται εφαπτομένη για =, =. Επειδή f < στο, και f > στο, το Α, f ( ) είναι σημείο καμπής > ( ) < ( + ) Επειδή f στο, και f στο, το Α, f είναι σημείο καμπής () = + ( + ) = + ( + ) f ln ln, άρα Α, ln ( ) = + ( ) + = + ( + ) f ln ln,άρα Β, ln Γ. I = f ()d = ( + ln( + ) ) d = + ln( + d = ' + d + ln( + )d = + ln( + )d = ( ) + ' + + ln( + ) ln( + ) d = + + ' + + ln( + ) ( + ) d = + ln ln d + = = = ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο R, όπως και η, άρα η f() είναι συνεχής στο R και επειδή από υπόθεση f(), ορίζεται και είναι συνεχής στο R η f(), άρα έχει αρχική στο R την F() = d, οπότε η F είναι παραγωγίσιμη στο R. f()

Ακόμα η + είναι παραγωγίσιμη στο R. f() = + d f() = + + d f() f() Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως άθροισμα παραγωγισίμων. f() + f() = ( + ) + d f() = + f() = f() f() f() f() f() = f() Δ. g()= ( f() ) f () Η f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα οι f(), f() είναι παραγωγίσιμες στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων. Τελικά, η g είναι παραγωγίσιμη στο R, ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων. [ ] g () = f() f () = f ()f () f () + f () = f ()f () f () f () ( Δ) f() = f ()( f() ) f() = ( f() ) f() = f() Η g είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και συνεχής, με g() =, για κάθε R, οπότε g() = c για κάθε Δ. Από το Δ έχουμε g() = c, R. Άρα για = : g = c f f = c () Από την υπόθεση : f() = + d f() Για = έχω : f () = + d f () () f() = () () 9 c c 9 = =. Τελικά g() = 9. Όμως: g() = f() f(). Άρα: ( f() ) f() = 9 f() f() + = 9+ f() = + 9 f() και f() συνεχής στο R άρα από συνέπεια θεωρήματος Bolzano η f() διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.Επιπλέον f() = f() = >. Άρα f() > για κάθε R f() = + 9 f() = + 9 f() >, R f() = + 9+, R Δ. Η f είναι συνεχής, άρα έχει αρχική την στο R οπότε και συνεχής. 5 G() = f()d, που είναι παραγωγίσιμη α

+ Τότε [ ] + f()d = G() = G( + ) G() () και f()d= G(+ ) G(+ ) () Άρα αρκεί να δείξω ότι :G(+) G() < G(+) G(+) Θεωρώ τα διαστήματα [, +], [+, +] και την G(). Η G είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R, οπότε είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα [, +], [+, +] και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα (, +), (+, +), οπότε ισχύει για αυτήν Θ.Μ.Τ. Άρα υπάρχουν (, ), (, ) + + ξ + ξ + + τέτοια, ώστε : G( + ) G() G ( ξ ) = = G(+ ) G() () + G( + ) G( + ) G ( ξ ) = = G( + ) G( + ) () + Όμως G () = f() f() = + + 9 παραγωγίσιμη, ως πράξη παραγωγισίμων f() = + + 9 + 9+ = + = >, για κά θε R ως πηλίκο θετικών. Διότι : οπότε + 9 + 9 Αν, + + 9 > ως άθροισμα θετικού και μη αρνητικού αριθμού. Αν < ισχύει διότι : + + 9 > + 9 > + 9> + 9> 9> + + 9 > για κάθε R προφανώς + 9 > για κάθε R f() > στο R και f συνεχής στο R άρα η f γν. αύξουσα στο R (, ), (, ) άρα f f, δηλαδή G G ξ + ξ + + ξ<ξ ξ < ξ ξ < ξ () ( + ) < ( + ) ( + ) G G G G () () + + f ()d < f ()d () + 6