E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]

Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30

Περιεχόμενα 6ης Διάλεξης 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 30

1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 30

1. Ροπές Moments - Διάφορα είδη ν-οστή ροπή περί την τιμή α: α ν = E [(X α) ν ] ν-οστή ροπή περί την αρχή: µ ν = E [X ν ] ν-οστή ροπή περί τη μέση τιμή: µ ν = E [(X µ) ν ] ν-οστή παραγοντική ροπή: E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)] οπότε μέση τιμή: 1η ροπή περί την αρχή διασπορά: 2η ροπή περί τη μέση τιμή Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 30

1. Ροπές Moments Συντελεστής λοξότητας: [ (X λ = µ ) ] 3 µ 3 σ 3 = E σ Συντελεστής κύρτωσης: [ (X K = µ ) ] 4 µ 4 σ 4 3 = E 3 σ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 30

1. Ροπές Moments Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 30

1. Ροπές Moments Η κυρτότητα της τυπικής κανονικής κατανομής ειναι 0. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 30

2. Γενικά για γεννήτριες συναρτήσεις Ορισμός < g n >= g 0, g 1, g n, G(z) = g 0 + g 1 z + g 2 z 2 + = π.χ. < g n >= 1 G(z) = n g n z n n=0 z n = 1 + z + z 2 + = 1 1 z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 30

2. Γενικά για γεννήτριες συναρτήσεις Σημασία: Μια πυκνή αναραπαράσταση της ακολουθίας που την καθορίζει μονοσήμαντα Δηλαδή F (z) = G(z) f n = g n, n Αν ξέρουμε την γεννήτρια, μπορούμε να βρούμε την ακολουθία αφού g n είναι ο συντελεστής του z n στο ανάπτυγμα της γεννήτριας σε σειρά Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 30

2. Μερικές Ιδιότητες f n + g n F (z) + G (z) c n g n G (c z) convolution (συνέλιξη): f 0 f 1 f 2 g 0 g 1 g 2 h n = (c = 1 εναλλασσόμενα πρόσημα) n f k g n k F (z) G (z) k=0 άθροισμα πρώτων όρων ακολουθίας (συνέλιξη με 1): n 1 f k F (z) 1 z k=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 30

2. Ενα παράδειγμα Να βρεθεί η ακολουθία που έχει ως γεννήτριά της την 1 G(z) = (1 z) 2. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 30

2. Ενα παράδειγμα Να βρεθεί η ακολουθία που έχει ως γεννήτριά της την 1 G(z) = (1 z) 2. Λύση (α τρόπος): G(z) = ( z + 1) 2 = n=0 ( ) 2 ( 1) n z n n ( 2 n=0 ( ) 2 ( z) n 1 2 n = n ) Άρα g n = ( 1) n ( 2)( 3)... ( 2 n + 1) = ( 1) n = n n! ( 2)( 3)... ( n 1) = ( 1) n = n! 2 3 n (n + 1) = = n + 1 n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 30

2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30

2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια β τρόπος: G(z) = 1 1 z 1 άρα είναι η συνέλιξη της 1 z f n =< 1, 1, > με την f n =< 1, 1, >. Άρα n n g n = f k f n k = 1 1 = n + 1 k=0 k=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30

2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια β τρόπος: G(z) = 1 1 z 1 άρα είναι η συνέλιξη της 1 z f n =< 1, 1, > με την f n =< 1, 1, >. Άρα n n g n = f k f n k = 1 1 = n + 1 k=0 k=0 Επαλήθευση: g n = n + 1 =< 1, 2, 3, > G(z) = 1 + 2z + 3z 2 +... Αλλά 1 + z + z 2 + z 3 + = 1 1 z Παραγωγίζοντας: 1 + 2z + 3z 2 1 + = (1 z) 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30

2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30

2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Λύση: G(z) = 2 n z n = n=0 n=0 (2z) n = 1 1 2z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30

2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Λύση: G(z) = άλλος τρόπος: 2 n z n = n=0 Απευθείας από την ιδιότητα (2z) n = 1 1 2z n=0 c n g n G(cz) για c = 2 και g n = 1 G(2z) = 1 1 2z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30

3. Πιθανογεννήτριες Ορισμός Π (z) = E [ z X] = x z x P r {X = x} Χρήσιμες Ιδιότητες Π (z) = x x z x 1 P r {X = x} Π (1) = x x P r {X = x} δηλαδή Π (1) = E(X) σ 2 = Π (1) + Π (1) ( Π (1) ) 2 Δηλαδή η πιθανογεννήτρια γεννά τις πιθανότητες των τιμών x της μεταβλητής, οι οποίες ειναι οι συντελεστές των z x στο ανάπτυγμα της πιθανογεννήτριας σε δυναμοσειρά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 30

3. Πιθανογεννήτριες Διωνυμική P r{x = x} = Π(z) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,, n x n z x ( ) n p x q n x = x x=0 n x=0 ( ) n (pz) x q n x = (p z + q) n x Π (1) = n (p z + q) n 1 p z=1 = n (p 1 + q) n 1 p = n p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 30

3. Πιθανογεννήτριες Poisson f(x) = e λ λx, x = 0, 1, 2, x! Π(z) = z x e λ λx x! = (λ z) x e λ x! x=0 x=0 Π (1) = λ e λ (z 1) z=1 Π (1) = µ = λ = e λ e λ z = e λ (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 30

3. Πιθανογεννήτριες Σύγκλιση Διωνυμικής Poisson λ = np Π 1 (z) = (p z + 1 p) n = (1 + p (z 1)) n = [ 1 + ] n λ (z 1) 1 1 n λ (z 1) λ (z 1) [ 1 + e λ (z 1) = Π 2 (z) ] λ (z 1) n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 30

3. Ροπογεννήτριες Ορισμός M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} Στη συνεχή περίπτωση: M(t) = E [ e tx] = e tx f(x) dx Παρατήρηση: πρόκειται όχι για αριθμό αλλά για συνάρτηση μιας παραμέτρου t. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30

3. Ροπογεννήτριες - Εξήγηση ονομασίας Είναι: M(t) = E [ e tx] = x e tx f(x) Παραγωγίζοντας: [ ] M (t) = d e tx f(x) = dt x x M (t) = x e tx f(x) x d [ e tx f(x) ] dt M (0) = x x f(x) = E(X) Δηλαδή, η τιμή της πρώτης παραγώγου της ροπογεννήτριας στο 0 είναι η μέση τιμή (δηλαδή η ροπογεννήτρια γεννά την πρώτη ροπή). Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30

3. Ροπογεννήτριες - Εξήγηση ονομασίας (2) Ομοίως: M (t) = x x 2 e tx f(x) M (0) = E(X 2 ) και γενικά η n οστή παράγωγος γεννά την n οστή ροπή περί την αρχή. Παρατήρηση: Αντίστοιχα αποτελέσματα ισχύουν στη συνεχή περίπτωση. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30

4. Γεννήτριες Αθροισμάτων X, Y ανεξάρτητες X Π 1 (z), M 1 (t) Y Π 2 (z), M 2 (t) X + Y Π 1(z)Π 2 (z) και M 1 (t)m 2 (t) Απόδειξη (για ροπογεννήτριες): M X+Y (t) = E[e t(x+y ) ] = E[e tx e ty ] Λόγω της ανεξαρτησίας είναι: M X+Y (t) = E[e tx ] E[e ty ] = M X (t) M Y (t) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30

5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30

5. Παράδειγμα 1 Απάντηση: X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30

5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30

5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) οπότε X + Y Π(z) = Π 1 (z) Π 2 (z) = e (λ 1+λ 2 ) (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30

5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) οπότε X + Y Π(z) = Π 1 (z) Π 2 (z) = e (λ 1+λ 2 ) (z 1) άρα X + Y P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z + 1 6 z2 + 1 6 z3 + 1 6 z4 + 1 6 z5 + 1 6 z6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z + 1 6 z2 + 1 6 z3 + 1 6 z4 + 1 6 z5 + 1 6 z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z + 1 6 z2 + 1 6 z3 + 1 6 z4 + 1 6 z5 + 1 6 z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = [ 1 6 (z + z 2 + + z 6) ] 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z + 1 6 z2 + 1 6 z3 + 1 6 z4 + 1 6 z5 + 1 6 z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = Άρα Ρ = [ 1 6 (z + z 2 + + z 6) ] 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z + 1 6 z2 + 1 6 z3 + 1 6 z4 + 1 6 z5 + 1 6 z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = [ 1 6 (z + z 2 + + z 6) ] 4 Άρα Ρ = ο συντελεστής του z 17 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30

Υπολογισμός συντελεστή του z 17 Π(z) = 1 6 4 z4 (1 + z + + z 5 ) 4 = 1 ( 1 z 6 6 4 z4 1 z Αλλά A = (1 z 6 ) 4 = 1 4z 6 + 6z 12 4z 18 + z 24 και B = (1 z) 4 = ) n=0 ( z)n 1 4 n = ( 4 n = ( 4)( 5)...( 4 n+1) n=0 n! ( 1) n z n = = n=0 (n + 1)(n + 2)(n + 3)zn Στο γινόμενο A B ο συντελεστής του z 13 είναι: 1 14 15 16 4 8 9 10 + 6 2 3 4 = 104 Τελικά, ο συντελεστής του z 17 είναι 104 6 4 ) 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t + 1 6 e3t + 1 3 e5t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t + 1 6 e3t + 1 3 e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = 2 1 2 + 31 6 + 51 3 = 19 6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t + 1 6 e3t + 1 3 e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = 2 1 2 + 31 6 + 51 3 = 19 6 Μέσω της ροπογεννήτριας: M (t) = e 2t + 1 2 e3t + 5 3 e5t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t + 1 6 e3t + 1 3 e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = 2 1 2 + 31 6 + 51 3 = 19 6 Μέσω της ροπογεννήτριας: M (t) = e 2t + 1 2 e3t + 5 3 e5t E(X) = M (0) = 1 + 1 2 + 5 3 = 19 6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30

5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30

5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30

5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 M (t) = λe t e λ(et 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30

5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 M (t) = λe t e λ(et 1) E(X) = M (0) = λ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30