Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
1o ΘΕΜΑ 1 A1. Εστω συνεχης συναρτηση f : [α, ] με παραγουσα συναρτηση F. Τι ονομαζεται ορισμενο ολοκληρωμα της συναρτησης f απο το α εως το ; Μοναδες 6 A. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α) Εαν η τιμη του συντελεστη μεταλητοτητας ειναι κατω του 10%, ο πληθυσμος του δειγματος θεωρειται ομοιογενης. ) Εαν οι συναρτησεις f, g:a ειναι παραγωγισιμες στο πεδιο ορισμου τους, με f f'(x) g(x) - f(x) g'(x) g(x) 0, τοτε ισχυει ( )'(x) =. g g (x) γ) Εαν μια συναρτηση f δεν ειναι συνεχης σε ενα σημειο x 0 του πεδιου ορισμου της, τοτε ειναι παραγωγισιμη στο x 0. δ) Ισχυει οτι: +1 α+1 x e 1 e 1 e dx = - α + 1 α + 1 με α - 1 και - 1 ε) Δινονται οι συναρτησεις f, g συνεχεις στο [α, ]. Αν f(x) g(x) για καθε x [α, ], τοτε f(x) dx α g(x) dx. α Μοναδες 10 A3. Να μεταφερετε στο τετραδιο σας τις παρακατω ισοτητες και να τις συμπληρωσετε: α) ημx dx =... α (μοναδες 3) ) Εαν η συναρτηση F ειναι παραγωγισιμη στο και c μια σταθερα, τοτε: (c f) (x) =... (μοναδες 3) * γ) Aν a και x > 0, τοτε: (x α ) =... (μοναδες 3) Μοναδες 9
1o ΛΥΣΗ Α1. Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης σ ενα διαστημα [α,] και F(x) ειναι μια αρχικη συναρτηση της f στο [α,], τοτε τη σταθερη διαφορα F() F(α) ονομαζουμε ορισμενο ολοκληρωμα της συναρτησης f απο το α εως το και το συμολιζουμε Α. α) Σωστο ) Σωστο γ) Λαθος δ) Λαθος ε) Σωστο Α3. a) α ημx dx = [- συνx] = - συν + συνα = συνα - συν α ) (c f) (x) = c f (x) γ) (x α ) = α x α-1 f(x) dx α
o ΘΕΜΑ 3 Δινεται η συναρτηση f:(0, + ) με τυπο: a x + lnx, αν 0 < x 1 και α f(x) = x - x, αν x > 1 x + 3 - B1. Να ρειτε το lim f(x). B. Να δειξετε οτι: - x lim f(x) = 4. + x Μοναδες 7 Μοναδες 10 B3. Να ρειτε για ποιες τιμες του a η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x 0 = 1. Μοναδες 8
o ΛΥΣΗ 4 Β1. lim f(x) = lim (a x + lnx) = a - - x 1 x 1 Β. ln1 = 0 1 + ln1 = a + + απροσδιοριστια + + x 1 x 1 x 1 x 1 + x 1 0 0 x - x x(x - 1)( x + 3 + ) x(x - 1)( x + 3 + ) lim f(x) = lim = lim = lim = x + 3 - ( x + 3 - )( x + 3 + ) x + 3-4 Β3. Ειναι = lim lim f(x) = a - x 1 lim f(x) = 4 + x 1 f(1) = a x (x - 1) ( x + 3 + ) = lim x( x + 3 + ) = 1 ( 1 + 3 + ) = + = 4 + x - 1 x 1 ln1 = 0 1 + ln1 = a Για να ειναι η f συνεχης στο x 0 = 1 πρεπει Δηλαδ η α = 4 α = - η α = lim f(x) = lim f(x) = f(1) - + x 1 x 1
3o ΘΕΜΑ 5 Στο παρακατω πινακα παρουσιαζονται οι μισθοι των υπαλληλων μιας εταιρειας (σε ε- κατονταδες ευρω): Mισθος (εκατονταδες ευρω) x i Συχνοτητα (αριθμος υπαλληλων) v i Σχετικη Συχνοτητα f i % 6 5 10 17 15 6 0 Συνολα ν =... 100 xi vi Γ1. Να μεταφερετε στο τετραδιο τον παραπανω πινακα και να τον συμπληρωσετε. Μοναδες 5 Γ. Να υπολογισετε τη μεση τιμη x των μισθων των υπαλληλων. Μοναδες 5 Γ3. Τι ποσοστο των υπαλληλων εχουν μισθο το πολυ 1000 ευρω; Μοναδες 7 Γ4. Να υπολογισετε τη διακυμανση s των μισθων των υπαλληλων της εταιρειας. Μοναδες 8
3o ΛΥΣΗ 6 Γ1 v = 5 + 17 + 6 + = 50 5 f = = 0,50 f % = 50% 1 1 50 17 f = = 0,34 f % = 34% 50 6 f = = 0,1 f % = 1% 3 3 50 f = = 0,04 f % = 4% 4 4 50 Mισθος Συχνοτητα (εκατονταδες ευρω) (αριθμος υπαλληλων) x i v i Γ. Ειναι 4 1 1 x = Σ x v = 450 = 9 i = 1 i i v 50 Γ3: Το ποσοστο των υπαλληλων που εχουν το πολυ 1000 ευρω μισθο ειναι f % + f % = 50% + 34% = 84% 1 Σχετικη Συχνοτητα f i % xi vi 6 5 50 150 10 17 34 170 15 6 1 90 0 4 40 Συνολα ν = 50 100 450 Γ4: Ειναι 4 1 1 s = Σ(x - x) v = [(6-9) 5 + (10-9) 17 + (15-9) 6 + (0-9) ] = i = 1 i i v 50 1 1 700 = [9 5 + 1 17 + 36 6 + 11 ] = [5 + 17 + 16 + 4] = = 14 50 50 50
4o ΘΕΜΑ 7 Δινεται η συναρτηση f(x) = (x ) (x + α), x, α Δ1. Να αποδειξετε οτι η παραγωγος της συναρτησης f ειναι f (x) = (x )(3x + α ), x. Μοναδες 5 Δ. Να ρειτε τον αριθμο α, αν η συναρτηση f παρουσιαζει ακροτατο στο x 0 = 4. Μοναδες 5 Δ3. Για α = - 5, να μελετησετε τη συναρτηση f ως προς τη μονοτονια και να ρειτε το ειδος και τις τιμες των ακροτατων. Μοναδες 8 Δ4. Δινονται οι συναρτησεις g(x) = x 1x, x και f(x) = 6x 4, x. Na ρειτε το εμαδον του χωριου που περικλειεται απο τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων g(x) και h(x). Μοναδες 7
4o ΛΥΣΗ 9 Δ1 Η f ειναι παραγωγισιμη στο με f'(x) = [(x - ) (x + a)]' = [(x - ) ]' (x + a) + (x - ) (x + a)' = = (x - ) (x - )' (x + a) + (x - ) 1 = (x - ) 1 (x + a) + (x - ) 1 = = (x - ) [(x + a) + (x - )] = (x - ) (x + a + x - ) = = (x - ) (3x + a - ) Δ Αφου η f παρουσιαζει ακροτατο στο x 0 = 4, τοτε ειναι: f (4) = 0 α = - 5 Δ 1 (4 )(3 4 + α ) = 0 4 - = 0 10 + α = 0 α = - 10 Δ3 Για α = - 5 η συναρτηση f γινεται f(x) = (x ) (x 5) με f (x) = (x )(3x - 1) = 3(x )(x - 4) x = f (x) = 0 3(x )(x - 4) = 0 η x = 4 O πινακας προσημου της f δινει x - 4 + f + - + f Δ4 Eυρεση σ ημειων τομης των γραφικων παραστασεων των g, h: g(x) = h(x) 3x 1x = 6x 4 3x 18x + 4 = 0 x 6x + 8 = 0 x x 4x + 8 = 0 x(x ) 4(x ) = 0 (x )(x 4) = 0 x = η x = 4 φ(x) = g(x) - h(x) < 0 στο {, 4] (x αναμεσα στις ριζες τριωνυμου) Οποτε το ζητουμεν ο εμαδον: 4 4 3 4 3 3 Ε(Ω) = - φ(x) dx = - (3x -18x + 4) dx = - [x - 9x + 4x] = = - [4-9 4 + 4 4 - + 9-4 ] = - (64-144 + 96-8 + 36-48) = = - (- 4) = 4 τ.μ. H f γν.αυξουσα στα (-,], [4,+ ) H f γν.φθινουσα στο [,4] H f παρουσιαζει τ.ελαχιστο για x = 4 το f(4) = - 4. H f παρουσιαζει τ.μεγιστο για x = το f() = 0.