Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis

Παραδείγματα Μοντελοποίησης

Παράδειγμα 1 Οι φοιτητές του ΤΜΟΔ ως γνωστό- έχουν πολύ πιο απαιτητικό πρόγραμμα σπουδών από τους φοιτητές των υπολοίπων τμημάτων της Χίου. Ωστόσο, χρειάζονται εξίσου χρόνο για διασκέδαση και αθλητισμό. Εάν: Ο συνολικός διαθέσιμος χρόνος της ημέρας ενός φοιτητή για μελέτη και διασκέδαση είναι έως 10 ώρες (αν εξαιρέσουμε ύπνο, ξεκούραση, φαγητό κλπ.) Ο χρόνος για διασκέδαση και αθλητισμό είναι 2 φορές πιο ευχάριστος από το χρόνο μελέτης Ο χρόνος μελέτης δεν μπορεί να είναι μικρότερος από τον χρόνο για διασκέδαση και αθλητισμό Λόγω απαιτητικού προγράμματος και εργασιών, ο χρόνος για διασκέδαση και αθλητισμό δεν μπορεί να είναι περισσότερο από 4 ώρες την ημέρα. Πόσο χρόνο θα πρέπει να αφιερώσει ο φοιτητής του ΤΜΟΔ σε μελέτη και πόσο για διασκέδαση και αθλητισμό για να είναι ευτυχισμένος και να είναι εντάξει με τις υποχρεώσεις του στη σχολή; Λύστε το γραφικά ή με simplex. 3

Παράδειγμα 1 Η μεταβλητές απόφασης είναι δύο: x 1 για το χρόνο για διασκέδαση και αθλητισμό και x 2 για το χρόνο μελέτης Μεγιστοποίηση της ποιότητας ζωής: Υπό περιορισμούς: Max Z = 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 < = 10 x 2 >= x 1 x 2 x 1 >= 0 x 1 x 2 <= 0 x 1 < = 4 x 1, x 2 >= 0 4

Παράδειγμα 2 Μια εταιρεία θέλει να διαφημιστεί σε ραδιόφωνο και τηλεόραση και έχει προϋπολογισμό 10.000 ευρώ ανά μήνα. Εάν: Κάθε λεπτό ραδιοφωνικής διαφήμισης κοστίζει 15 ευρώ Κάθε λεπτό τηλεοπτικής διαφήμισης κοστίζει 300 ευρώ Η εταιρεία θέλει να διαφημιστεί σε ραδιόφωνο τουλάχιστον διπλάσιο χρόνο από ότι στην τηλεόραση Ο ραδιοφωνικός σταθμός έχει διαθέσιμα έως 400 λεπτά διαφημιστικό χρόνο ανά μήνα Βάσει μελετών, η τηλεοπτική διαφήμιση είναι 25 φορές πιο αποτελεσματική από ότι η ραδιοφωνική Πόσο χρόνο θα πρέπει να διαφημιστεί η εταιρεία στο ραδιόφωνο και πόσο στην τηλεόραση για να πετύχει η εταιρεία το βέλτιστο διαφημιστικό αποτέλεσμα; Λύστε το γραφικά ή με simplex. 5

Παράδειγμα 2 Η μεταβλητές απόφασης είναι δύο: x 1 για το χρόνο ραδιοφωνικής διαφήμισης και x 2 για το χρόνο τηλεοπτικής διαφήμισης. Μεγιστοποίηση της διαφημιστικής απόδοσης: Υπό περιορισμούς: Max Z = x 1 + 25x 2 15x 1 + 300x 2 < = 10000 x 1 >= 2x 1 x 1 2x 2 >= 0 -x 1 + 2x 2 <= 0 x 1 < = 400 x 1, x 2 >= 0 6

Παράδειγμα 3 Μια μεταφορική εταιρεία προσλαμβάνει εποχικούς οδηγούς με συμβάσεις εργασίας 5 συνεχόμενων ημερών για την κάλυψη του μεταφορικού έργου. Για κάθε ημέρα της εβδομάδας, η ελάχιστη ζήτηση της εταιρείας για οδηγούς είναι τουλάχιστον 20 (για την Δευτέρα), 14 (Τρίτη), 10, 15, 18, 10 και 12 (Κυριακή). Μοντελοποιήστε το πρόβλημα και βρείτε το βέλτιστο πρόγραμμα προσλήψεων ανά ημέρα για την κάλυψη των αναγκών και την ελαχιστοποίηση του μεταφορικού κόστους (κόστος οδηγών). Λύστε το πρόβλημα με simplex (solver). 7

Παράδειγμα 3 Η μεταβλητές απόφασης είναι επτά: x 1 για τον αριθμό προσλήψεων την Δευτέρα, x 2 για τον αριθμό προσλήψεων την Τρίτη κοκ. Minimize Z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 Υπό περιορισμούς: x1+x4+x5+x6+x7 >= 20 x1+x2+x5+x6+x7 >= 14 x1+x2+x3+x6+x7 >= 10 x1+x2+x3+x4+x7 >= 15 x1+x2+x3+x4+x5 >= 18 x2+x3+x4+x5+x6 >= 10 x3+x4+x5+x6+x7 > = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Δευ 1 1 1 1 1 >=20 Τρι 1 1 1 1 1 >=14 Τετ 1 1 1 1 1 >=10 Πεμ 1 1 1 1 1 >=15 Παρ 1 1 1 1 1 >=18 Σαβ 1 1 1 1 1 >=10 Κυρ 1 1 1 1 1 >=12 Λύση: x1=8, x2=x3=0, x4=6, x5=4, x6=1, x7=1 με Z=20 οδηγούς 8

Παράδειγμα 4 Μια εταιρεία θέλει να κατασκευάσει ένα διυλιστήριο που θα παράγει 4 προϊόντα από αργό πετρέλαιο: Πετρέλαιο κίνησης, βενζίνη, λιπαντικά και καύσιμο αεροπλάνων Η ελάχιστη ημερήσια ζήτηση της αγοράς για τα προϊόντα αυτά είναι 14000, 30000, 10000 και 8000 βαρέλια αντίστοιχα Οι χώρες προμηθευτές της εταιρείας είναι το Ιράκ και το Dubai και λόγω πολιτικών περιορισμών το διυλιστήριο πρέπει να παραλάβει κατ ελάχιστο το 40% του αργού πετρελαίου του από το Ιράκ και το υπόλοιπο από το Dubai Λόγω ποιοτικής διαφοράς του αργού από χώρα σε χώρα, ένα βαρέλι αργού από το Ιράκ αποφέρει 0,2 βαρέλια πετρέλαιο κίνησης, 0,25 βαρέλια βενζίνης, 0,1 βαρέλια λιπαντικού και 0.15 βαρέλια καύσιμο αεροπλάνων Κάθε βαρέλι αργού από το Dubai αποφέρει 0,1 βαρέλια πετρέλαιο κίνησης, 0,6 βαρέλια βενζίνης, 0,15 βαρέλια λιπαντικού και 0.1 βαρέλια καύσιμο αεροπλάνων Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ημερήσια ποσότητα αργού που θα διυλίζει το διυλιστήριο για να καλύψει τις ανάγκες τις αγοράς; 9

Παράδειγμα 4 Η μεταβλητές απόφασης είναι δύο: x 1 για την ημερήσια ποσότητα σε αργό από το Ιράκ και x 2 για την ποσότητα σε αργό από το Dubai. Ελαχιστοποίηση της ημερήσια ποσότητας σε αργό από Ιράκ και Dubai: Min Z = x 1 + x 2 Υπό περιορισμούς: x 1 >= 0.4*(x 1 + x 2 ) 0.6*x 1 0.4x 2 >= 0-0.6*x 1 + 0.4x 2 <= 0 0.2x 1 + 0.1x 2 >= 14 0.25x 1 + 0.6x 2 >= 30 0.1x 1 + 0.15x 2 >= 10 0.15x 1 + 0.1x 2 >= 8 x 1, x 2 >= 0 Λύση: x 1 = 55, x 2 = 30 10

Παράδειγμα 5 Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής, τέσσερα προϊόντα υποβάλλονται σε διαδοχική επεξεργασία σε τρείς μηχανές βάση του πίνακα: Μηχανή Κόστος Λειτουργίας Απαιτούμενος Χρόνος Κατασκευής σε ώρες (ανά τεμάχιο) Προϊόν 1 Προϊόν 2 Προϊόν 3 Προϊόν 4 Ικανότητα Παραγωγής ανά ώρα 1 10 2 3 4 2 500 2 5 3 2 1 2 380 3 4 7 3 2 1 450 Τιμή Πώλησης 75 70 55 45 Ποια πρέπει να είναι η βέλτιστη ωριαία παραγωγή ανά προϊόν για τη μεγιστοποίηση του κέρδους του εργοστασίου; 11

Παράδειγμα 5 Η μεταβλητές απόφασης είναι τέσσερεις: x 1 για την ωριαία ποσότητα παραγωγής σε προϊόν 1, x 2 για την ωριαία ποσότητα σε προϊόν 2, x 3 για την ωριαία ποσότητα σε προϊόν 3, x 4 για την ωριαία ποσότητα σε προϊόν 4. Καθαρό κέρδος από μια μονάδα προϊόντος 1: 75 (2*10) (3*5) (7*4) = 12 Καθαρό κέρδος από μια μονάδα προϊόντος 2: 70 (3*10) (2*5) (3*4) = 18 Καθαρό κέρδος από μια μονάδα προϊόντος 3: 55 (4*10) (1*5) (2*4) = 2 Καθαρό κέρδος από μια μονάδα προϊόντος 4: 45 (2*10) (2*5) (1*4) = 11 Μεγιστοποίηση των κερδών ανά ώρα: Max Z = 12x 1 + 18x 2 + 2x 1 + 11x 2 Υπό περιορισμούς: 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 2x 4 <= 500 3x 1 + 2x 2 + 1x 3 + 2x 4 <= 380 7x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 1x 4 <= 450 x 1, x 2 x 3, x 4 >= 0 Λύση: x 1 = 0, x 2 = 133.33, x 3 = 0, x 4 = 50 με Ζ = 2950 χρ.μονάδες 12

Παράδειγμα 6 Η Aegean airlines διαθέτει 3 τύπους αεροσκαφών τα οποία πρέπει να καλύψουν 4 δρομολόγια. Για τα αεροσκάφη καθώς και για το κόστος των δρομολογίων και της ποινής ανά χαμένο πελάτη ισχύουν τα εξής: Πλήθος ημερήσιων δρομολογίων στο δρομολόγιο: Λειτουργικό Κόστος ( ) ανά δρομολόγιο Τύπος αεροσκάφους Χωρητικότητα (επιβάτες) Πλήθος αεροσκαφών 1 2 3 4 Τύπος αεροσκάφους 1 2 3 4 1 50 5 3 2 2 1 2 30 8 4 3 3 2 3 20 10 5 5 4 2 Ημερήσιος αριθμός επιβατών 1000 2000 900 1200 1 1000 1100 1200 1500 2 800 900 1000 1000 3 600 800 800 900 Ποινή ανά χαμένο πελάτη 40 50 45 70 Ποια πρέπει να είναι η βέλτιστη κατανομή τύπων αεροσκαφών σε δρομολόγια και ποιο το βέλτιστο πλήθος δρομολογίων τους για την ελαχιστοποίηση του μεταφορικού κόστους; Tip: Εστω x ij είναι ο αριθμός των αεροσκαφών τύπου i στο δρομολόγιο j. Tip2: Έστω S j ο αριθμός των χαμένων πελατών ανά δρομολόγιο 13

Παράδειγμα 6 Η μεταβλητές απόφασης είναι το πλήθος κάθε τύπου αεροσκάφους ανά δρομολόγιο καθώς και ο αριθμός των επιβατών που δεν θα εξυπηρετηθούν: Ελαχιστοποίηση του μεταφορικού κόστους και των ποινών: Min Z = 3*1000x 11 +2*1100x 12 +2*1200x 13 +1*1500 14 +4*800x 21 +3*900x 22 +3*1000x 23 +2*1000x 24 +5*600x 31 +5 *800x 32 +4*800x 33 +2*900x 34 + 40S 1 + 50S 2 + 45S 3 + 70S 4 Υπό περιορισμούς: 3*50x 11 + 4*30x 21 + 5*20x 31 + S 1 = 1000 (αριθμός επιβατών για το δρομολόγιο 1) 2*50x 12 + 3*30x 22 + 5*20x 32 + S 2 = 2000 (αριθμός επιβατών για το δρομολόγιο 2) 2*50x 13 + 3*30x 23 + 4*20x 33 + S 3 = 900 (αριθμός επιβατών για το δρομολόγιο 3) 1*50x 14 + 2*30x 24 + 2*20x 34 + S 4 = 1200 (αριθμός επιβατών για το δρομολόγιο 4) x 11 +x 12 +x 13 +x 14 <= 5 (πλήθος αεροσκαφών τύπου 1) x 21 +x 22 +x 23 +x 24 <= 8 (πλήθος αεροσκαφών τύπου 2) x 31 +x 32 +x 33 +x 34 <= 10 (πλήθος αεροσκαφών τύπου 3) x ij, s j >= 0 για κάθε i,j Λύση: x 11 = 5, x 24 = 8, x 31 = 2.5, x 32 = 7.5 με Ζ = 221,900 14

Παραδείγματα Βελτιστοποίησης δικτύων

Δίκτυο διανομής Παραγωγή 50 μ. Ερ.1 900/μον. Απ.1 Απαίτηση 30 μ. 400/μον. 200/μον. 10 Κ.Δ. 200/μον. 300/μον. 80 300/μον. 100/μον. Παραγωγή 40 μ. Ερ.2 Απ.2 Απαίτηση 60 μ. 16

Μοντέλο x i,j =αριθμός μονάδων που μεταφέρονται στην ακμή (i,j) μεταξύ των κόμβων i και j Στόχος: Ελαχιστοποίηση: z = 2 x Ερ1,Ερ2 + 4 x Ερ1,ΚΔ + 9 x Ερ1,Απ1 + 3 x Ερ2,ΚΔ + x ΚΔ,Απ2 +3 x Απ1,Απ2 + 2 x Απ2,Απ1 Διατήρηση της ροής: σε κάθε κόμβο του δικτύου: Ροή εξόδου ροή εισόδου= αρ. Μονάδων που παράχθηκαν (εργοστάσιο) - αρ. Μονάδων που απαιτήθηκαν (αποθήκες) 0 ΚΔ Ανώτατο όριο μεταφοράς (σε μερικές ακμές) Πχ. Για την ακμή (Ερ.1,Ερ.2): x Ερ1,Ερ2 10 Περιορισμοί μη αρνητικότητας 17

Μοντέλο (λεπτομερή περιγραφή) Ελαχιστοποίηση z = 2 x Ερ1,Ερ2 + 4 x Ερ1,ΚΔ + 9 x Ερ1,Απ1 + 3 x Ερ2,ΚΔ +x ΚΔ,Απ2 + 3 x Απ1,Απ2 + 2x Απ2,Απ1 Κάτω από τις συνθήκες: x Ερ1,Ερ2 + x Ερ1,ΚΔ + x Ερ1,Απ1 = 50 -x Ερ1,Ερ2 + x Ερ2,ΚΔ = 40 - x Ερ1,ΚΔ - x Ερ2,ΚΔ + x ΚΔ,Απ2 = 0 - x Ερ1,Απ1 + x Απ1,Απ2 - x Απ2,Απ1 = - 30 - x ΚΔ,Απ2 - x Απ1,Απ2 + x Απ2,Απ1 = - 60 x Ερ1,Ερ2 10, x ΚΔ,Απ2 80 x Ερ1,Ερ2 0, x Ερ1,ΚΔ 0, x Ερ1,Απ1 0, x Ερ2,ΚΔ 0, x ΚΔ,Απ2 0 x Απ1,Απ2 0, x Απ2,Απ1 0 18