Δράσεις ομάδων σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες

Δράσεις ομάδων σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες Παναγιώτης Σ. Χρήστου Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, Ιούλιος 2013

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δράσεις ομάδων σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες Παναγιώτης Σ. Χρήστου Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Επιβλέπων: Διονύσιος Λάππας Αναπληρωτής Καθηγητής Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 9η Ιουλίου 2013. Υπογραφή Υπογραφή Υπογραφή......... Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης Διονύσιος Λάππας Αντώνιος Μελάς Επίκουρος Καθηγητής Αναπληρωτής Καθηγητής Καθηγητής

Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον καθηγητή Δ. Λάππα για την καθοδήγησή του κατά τη συγγραφή αυτής της εργασίας. Η ολοκλήρωση της εργασίας αυτής έγινε στο πλαίσιο της υλοποίησης του μεταπτυχιακού προγράμματος το οποίο συγχρηματοδοτήθηκε μέσω της Πράξης «Πρόγραμμα χορήγησης υποτροφιών Ι.Κ.Υ. με διαδικασία εξατομικευμένης αξιολόγησης ακαδ. έτους 2011-2012» από πόρους του Ε.Π. «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου ΕΚΤ και του ΕΣΠΑ, του 2007-2013.

3 PerÐlhyh Στην εργασ ία αυτή θα ασ χοληθούμε με δράσ εις ομάδων Lie σ ε σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες. Μια σ υμπλεκτική πολλαπλότητα είναι ένα ζεύγος M, ω, με τη M να είναι διαφορική πολλαπλότητα και την ω μια μη εκφυλισ μένη και κλεισ τή 2-μορφή σ την M. Οι δράσ εις μου μας ενδιαφέρουν είναι οι λεγόμενες σ υμπλεκτικές, δηλαδή αυτές που διατηρούν την ω. Μάλισ τα τα βασ ικά μας αποτελέσ ματα θα αφορούν μια ειδικότερη κατηγορία δράσ εων, τις λεγόμενες χαμιλτονιανές, που όπως μαρτυρά και το όνομά τους έχουν άμεσ η σ χέσ η με την Κλασ σ ική Μηχανική και τα χαμιλτονιανά πεδία. Για τον ορισ μό των χαμιλτονιανών δράσ εων χρειαζόμασ τε την έννοια της απεικόνισ ης ορμής που είναι μια γενίκευσ η της χαμιλτονιανής σ υνάρτησ ης της Κλασ σ ικής Μηχανικής. Στο πρώτο κεφάλαιο θα παρουσ ιάσ ουμε τους βασ ικούς ορισ μούς και μερικά χρήσ ιμα αποτελέσ ματα της Συμπλεκτική Γεωμετρίας. Αρχικά θα μελετήσ ουμε σ υμπλεκτικούς γραμμικούς χώρους και έπειτα θα ασ χοληθούμε με τις σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες. Το βασ ικό θεώρημα του κεφαλαίου αυτού είναι το Θεώρημα του Darboux. Αυτό είναι ένα πολύ βασ ικό θεώρημα της Συμπλεκτικής Γεωμετρίας, το οποίο λέει ότι όλες οι σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες ίδιας διάσ τασ ης είναι τοπικά ίδιες. Άρα σ ε αντίθεσ η με τη Γεωμετρία Riemann, όπου έχουμε την καμπυλότητα, σ τη Συμπλεκτική Γεωμετρία δεν υπάρχουν τοπικές αναλλοίωτες. Για το Θεώρημα Darboux θα δώσ ουμε δύο αποδείξεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα μελετήσ ουμε γενικά τις δράσ εις ομάδων Lie σ ε πολλαπλότητες. Αφού κάνουμε μια γρήγορη εισ αγωγή σ τις ομάδες Lie, θα μελετήσ ουμε δράσ εις τους που είναι ελεύθερες και γνήσ ιες. Το βασ ικό αποτέλεσ μα που ισ χύει για αυτές της δράσ εις είναι ότι ο χώρος των τροχιών δέχεται και αυτός δομή διαφορικής πολλαπλότητας με φυσ ιολογικό τρόπο. Επειτα θα μελετήσ ουμε δράσ εις με μοναδική υπόθεσ η ότι είναι γνήσ ιες. Στο τρίτο κεφάλαιο ασ χολούμασ τε με ελεύθερες και γνήσ ιες χαμιλτονιανές δράσ εις. Αποδεικνύουμε το λεγόμενο Θεώρημα Συμπλεκτικής Αναγωγής των Marsden-Weinstein- Meyer, το οποίο λέει ότι με τις παραπάνω προϋποθέσ εις ο χώρος των τροχιών της δράσ ης είναι με φυσ ιολογικό τρόπο και αυτός σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. Η διαδικασ ία της σ υμπλεκτικής αναγωγής είναι μια γενίκευσ η της μεθόδου της Κλασ σ ικής Μηχανικής, όπου όταν έχουμε μεγέθη που διατηρούνται πάνω σ τις τροχιές, μπορούμε να μειώσ ουμε τον αριθμό των εξισ ώσ εων της κίνησ ης. Στο κεφάλαιο τέσ σ ερα θα δούμε τη χαμιλτονιανή δράσ η του τόρου σ ε μια σ υμπαγή και σ υνεκτική σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. Αποδεικνύεται πως τότε η εικόνα της απεικόνισ ης ορμής είναι ένα κυρτό πολύτοπο. Το αποτέλεσ μα αυτό είναι γνωσ τό ως Θεώρημα Κυρτότητας των Atiyah-Guillemin-Sternberg. Στο πέμπτο κεφάλαιο ασ χολούμασ τε πάλι με τη σ υμπλεκτική αναγωγή μιας πολλαπλότητας, αλλά τώρα με μόνη υπόθεσ η για τη δράσ η ότι είναι γνήσ ια. Στην περίπτωσ η αυτή ο χώρος των τροχιών δεν είναι απαραίτητα πολλαπλότητα αλλά υπάρχει μια διάσ πασ ή του σ ε σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες. Λέξεις κλειδιά: χαμιλτονιανές δράσ εις, απεικόνισ η ορμής, σ υμπλεκτική αναγωγή, θεώρημα κυρτότητας, σ υμπλεκτικά σ τρώματα

4 Abstract We study Lie group actions on symplectic manifolds. A symplectic manifold is a pair M, ω, where M is a dierentiable manifold and ω is a non-degenarate, closed 2-form on M. We are interested in symplectic group actions, which are these actions which preserve the form ω. Moreover, we mainly deal with a special subset of these actions, the so called hamiltonian actions. These are closely related with Classical mechanics, as their name indicates. For the denition of a hamiltonian action we have to introduce the notion of the moment or momentum map. The rst chapter is an intoductory chapter to Symplectic Geometry. We study symplectic vector spaces and then symplectic manifolds.the central theorem of this chapter is the Darboux's Theorem. It is a fundamental theorem for Symplectic Geometry. As a consequnce of this theorem, all symplectic manifolds of equal dimension are locally symplectomorphic isomorphic in the symplectic category. So, in contrast with Riemannian Geometry, in Symplectic Geomerty there are no local invariants. We are going to give two proofs of the Darboux's Theorem. In the second chapter we study Lie group actions on general dierentiable manifolds. After a brief introduction to Lie group theory, we deal with free and proper actions. The basic theorem for these actions is that the orbit space admits dierentiable structure in a natural way. We study also proper actions with no further assumptions. In chapter number three we study free, proper hamiltonian actions. We prove the Marsden-Weinstein-Meyer regular reduction theorem, that under the above mentioned assumptions the orbit space is a symplectic manifold. The reduction method is a generalisation of a well known method from physics. If you have a constant of motion, you can decrease the number of the equations of motion. The fourth chapter contains the proof of the Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem. The image of the moment map, for a hamiltonian action of the torus on a compact, connected symplectic manifold, is a convex polytope. Finally we study singular symplectic reduction: reduction when the action is proper and no necessarilly free. The orbit space in this occasion isn't a manifold in general, but it has a decomposition in symplectic pieces. Keywords: hamiltonian group actions, moment map, symplectic reduction singular and regular, convexity theorem, symplectic strata

Perieqìmena Κεφάλαιο 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 6 1.1. ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 6 1.2. Η ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΜΑΔΑ 10 1.3. ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 11 1.4. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ 26 Κεφάλαιο 2. ΔΡΑΣΕΙΣ ΟΜΑΔΩΝ LIE 31 2.1. ΟΜΑΔΕΣ ΚΑΙ ΑΛΓΕΒΡΕΣ LIE 31 2.2. ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 35 2.3. ΓΝΗΣΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 41 Κεφάλαιο 3. ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΕΣ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 52 3.1. ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 52 3.2. ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ 53 3.3. ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ 60 3.4. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΩΝ ΡΟΩΝ 64 Κεφάλαιο 4. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 67 4.1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ MORSE BOTT 67 4.2. ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ 79 Κεφάλαιο 5. ΓΝΗΣΙΕΣ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ 92 5.1. Η ΑΛΓΕΒΡΑ C M O 93 5.2. ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΕΣ ΡΟΕΣ ΣΤΟΝ M O 94 5.3. ΤΑ ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΤΟΥ M O 97 Κεφάλαιο 6. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 115 6.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 115 6.2. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ MOSER 115 Βιβλιογραφία 117 5

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1 EISAGWGH STH SUMPLEKTIKH GEWMETRIA Στο εισ αγωγικό αυτό καφάλαιο θα παρουσ ιάσ ουμε σ υνοπτικά τους βασ ικούς ο- ρισ μούς και αποτελέσ ματα από τη Συμπλεκτική Γεωμετρία που θα μας χρειασ τούν. Θα ξεκινήσ ουμε μελετώντας σ υμπλεκτικούς γραμμικούς χώρους, δηλαδή διανυσ ματικούς χώρους με μια μη εκφυλισ μένη, αντισ υμμετρική διγραμμική μορφή σ υμπλεκτική μορφή. Επειτα θα δούμε τη σ υμπλεκτική γραμμική ομάδα, την υποομάδα της γενικής γραμμικής κάτω από τη δράσ η της οποίας διατηρείται η σ υμπλεκτική μορφή. Στην τρίτη ενότητα θα ορίσ ουμε τις σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες, που είναι διαφορικές πολλαπλότητες μαζί με μια κλεισ τή, μη εκφυλισ μένη 2-μορφή. Θα αποδείξουμε ένα από τα κεντρικότερα Θεωρήματα σ τη σ υμπλεκτική γεωμετρία, το λεγόμενο Θεώρημα Darboux. Το Θεώρημα αυτό λέει ότι τοπικά όλες οι σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες ίδιας διάσ τασ ης είναι ίδιες, άρα σ ε αντίθεσ η με τη Γεωμετρία Riemann, όπου υπάρχει η καμπυλότητα, δεν υπάρχουν τοπικές αναλλοίωτες. Θα δώσ ουμε δύο αποδείξεις αυτού του Θεωρήματος. Θα εξετάσ ουμε τέλος τις μιγαδικές δομές, οι οποίες είναι σ τενά σ υνδεδεμένες με τη σ υμπλεκτική γεωμετρία. Για την ανάλυσ ή μας σ το κεφάλαιο αυτό έχουμε χρησ ιμοποιήσ ει τα [McS98] και [das08]. 1.1. ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εσ τω V διανυσ ματικός χώρος πεπερασ μένης διάσ τασ ης πάνω σ το R. Μια απεικόνισ η ω : V V R θα λέγεται: διγραμμική αν ωa 1 v 1 +a 2 v 2, w = a 1 ω v 1, w+a 2 ω v 2, w και ωw, a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 ω w, v 1 + a 2 ω w, v 2 για κάθε a 1, a 2 R, v 1, v 2, w V. αντισ υμμετρική αν ωv, w = ω w, v για κάθε v, w V. μη εκφυλισ μένη αν ω v, w = 0 για κάθε w V μόνο αν v = 0. Το σ ύνολο των διγραμμικών και αντισ υμμετρικών μορφών σ τον V μπορεί να ταυτισ τεί με το σ ύνολο 2 V. Το παρακάτω Θεώρημα μας λέει πως πάντα μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλη βάσ η, ώσ τε μια διγραμμική αντισ υμμετρική μορφή να γραφεί σ ε ορισ μένη κανονική μορφή. Θα είναι πολύ χρήσ ιμο σ τη σ υνέχεια για την απόδειξη του Θεωρήματος Darboux που αφορά μια αντίσ τοιχη κανονική μορφή που μορούν να πάρουν 2-μορφές με σ υγκεκριμένες ιδιότητες πάνω από πολλαπλότητες. Θεωρημα 1.1.1. Αν V πραγματικός διανυσ ματικός χώρος πεπερασ μένης διάσ τασ ης n και ω 2 V, τότε υπάρχει βάσ η {f 1,... f n } του V, ώσ τε αν {f 1,... f n } η δυϊκή βάσ η του V, ω = f 1 f 2 + f 2p 1 f 2p. Το p εξαρτάται μόνο από την ω. Η ω είναι μη εκφυλισ μένη αν και μόνο αν 2p = n. 6

1.1. SUMPLEKTIKH GRAMMIKH ALGEBRA 7 Αποδειξη. Εσ τω {e 1,... e n } μια βάσ η του V και ω = i<j a ij e i e j η έκφρασ η της ω σ την αντίσ τοιχη βάσ η του 2 V, όπου με e j σ υμβολίζουμε το δυϊκό του e j. Αν ω = 0, το ζητούμενο προκύπτει με χρήσ η αυτής της βάσ ης και για p = 0. Αν ω 0, θα υπάρχουν e i, e j ώσ τε ω e i, e j = a ij 0. Επαναδιατάσ σ οντας, αν χρειάζεται τα διανύσ ματα της βάσ ης, μπορούμε να υποθέσ ουμε ότι a 12 0. Τότε έχουμε: ω = e 1 a 23 e 3 a2n e n a 12 e 2 + a 1n e n + ω 1 a 12 a 12 με το ω 1 να μην εξαρτάται από τα e 1 και e 2. Θέτουμε f 1 =e a 23 a 12 e 3 a2n a 12 e n f 2 =a 12 e 2 + a 1n e n Επαληθεύεται εύκολα ότι η { f 1, f 2, e 3,... e n} είναι βάσ η του V και ω = f 1 f 2 +ω 1 με το ω 1 να μην εξαρτάται από τα e 1, e 2. Αν ω 1 = 0 έχουμε τελειώσ ει, αλλιώς εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο σ την ω 1 και σ υνεχίζουμε μέχρι να γραφεί η ω σ την επιθυμητή μορφή. Θα δείξουμε τώρα ότι το p εξαρτάται μόνο από την ω και όχι από την επιλογή της βάσ ης. Ορίζουμε την απεικόνισ η V V : v ω v, και έσ τω E ω η εικόνα της σ υνάρτησ ης αυτής. Παρατηρούμε ότι η { f 1,... f 2p} είναι βάσ η του E ω και επομένως 2p = dim E ω. Η ω είναι μη εκφυλισ μένη αν ακι μόνο αν η παραπάνω απεικόνισ η είναι ισ ομορφισ μός, επομένως αν και μόνο αν E ω = V και άρα 2p = dimv = dimv = n. Ορισμος 1.1.2. Μια μη εκφυλισ μένη διγραμμική αντισ υμμετρική μορφή ω σ τον V θα λέγεται σ υμπλεκτική μορφή. Η ω λέμε ότι είναι μια σ υμπλεκτική δομή σ τον V και το ζεύγος V, ω θα λέγεται σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος. Οι σ υμπλεκτικοί χώροι V 1, ω 1 και V 2, ω 2 θα λέγονται ισ όμορφοι αν υπάρχει φ : V 1 V 2 ισ ομορφισ μός διανυσ ματικών χώρων, ώσ τε ω 2 φ v, φ w = ω v, w για κάθε v, w V 1. Ο φ ονομάζεται τότε γραμμικός σ υμπλεκτομορφισ μός. Θεωρημα 1.1.3. Εσ τω V, ω σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος. Τότε η διάσ τασ η του V είναι άρτια και υπάρχει βάσ η u 1,... u n, v 1,... v n, ώσ τε ω u i, u j = 0 = ω v i, v j ω u i, v j = δ ij για κάθε i, j = 1, 2,... n. Μια τέτοια βάσ η λέγεται σ υμπλεκτική βάσ η. Αποδειξη. Άμεσ α από το Θεώρημα 1. Άμεσ η σ υνέπεια του Θεωρήματος αυτού είναι ότι δύο σ υμπλεκτικοί χώροι είναι ισ όμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσ τασ η. Εσ τω V, ω σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος και W ένας υπόχωρος του. Το σ υμπλεκτικό σ υμπλήρωμα του W είναι ο υπόχωρος 1.1.1 W ω = {u V : ω u, v = 0 για κάθε v V }

1.1. SUMPLEKTIKH GRAMMIKH ALGEBRA 8 Γενικά η τομή των W και W ω δεν είναι κενή, π.χ. αν W = v τότε, αφού ω v, v = 0, W W ω. Εχουμε τους παρακάτω χαρακτηρισ μούς για τον W ανάλογα με τη σ χέσ η του με τον W ω ισ οτροπικός αν W W ω σ υν-ισ οτροπικός αν W ω W σ υμπλεκτικός αν W W ω = {0} λαγκρανσ ιανός αν W = W ω Ο W είναι σ υμπλεκτικός υπόχωρος αν και μόνο αν η ω περιορισ μένη σ ε αυτός είναι μη εκφυλισ μένη, άρα αν και μόνο αν ο W, ω W είναι σ υμπλεκτικός χώρος. Παραδειγμα 1.1.4. Αν {u 1,... u n, v 1,... v n } μια σ υμπλεκτική βάσ η, τότε οι υ- πόχωροι u 1,... u n και v 1,... v n είναι λαγκρανσ ιανοί, ένας υπόχωρος που παράγεται μόνο από u i ή μόνο από v i είναι ισ οτροπικός, ενώ αν παράγεται από όλα τα u i και μερικά v i - ή όλα τα v i και μερικά u i - είναι ςο-ισ οτροπικός. Προταση 1.1.5. Αν V, ωσ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος και W, W 1 και W 2 υπόχωροι του V τότε 1.1.2 dimw + dimw ω = dimv 1.1.3 W ω ω = W 1.1.4 W 1 W 2 W ω 2 W ω 1 Αποδειξη. Αφού η ω είναι μη εκφυλισ μένη, ως σ υμπλεκτική μορφή, όπως είδαμε σ την απόδειξη του Θεωρήματος 1, επάγει ισ ομορφισ μό ι ω : V V με ι ω v w = ω v, w. Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνισ η Εχουμε φ : V W : v ι ω v W ker φ = {v V : φ v = 0} = {v V : ω v, w = 0 για κάθε w W } = W ω Επίσ ης η φ είναι επι, αφού η ι ω είναι ισ ομορφισ μός, άρα dim V = dim ker φ + dim imφ = dim W ω + dim W = dim W ω + dim W Εσ τω v W. Τότε για κάθε v W ω ισ χύει ω w, v = ω v, w = 0, άρα w W ωω. Επομένως W W ωω. Αφού επιπλέον dimw = dimv dimw ω = dimw ωω όπου για τη δεύτερη ισ ότητα χρησ ιμοποιήσ αμε την 1.1.2 για τον W ω, έπεται ότι W = W ωω. Αν ο W είναι ισ οτροπικός, άρα dim W dim W ω, έπεται ότι από την 1.1.1 ότι dim W dim V 2. Ομοίως, αν ο W είναι ςο-ισ οτροπικός, τότε dim W dim V 2. Αν τέλος ο W είναι λαγκρανσ ιανός, τότε dim W = dim W ω = dim V/2. Το επόμενο Θεώρημα δείχνει τη σ ημασ ία των λαγκρανσ ιανών υποχώρων.

1.1. SUMPLEKTIKH GRAMMIKH ALGEBRA 9 Θεωρημα 1.1.6. Εσ τω V, ω σ υμπλεκτικός χώρος με dim V = 2n. i Κάθε ισ οτροπικός υπόχωρος περιέχεται σ ε ένα λαγκρανσ ιανό. Μάλισ τα ένας ισ οτροπικός υπόχωρος είναι λαγκρανσ ιανός αν και μόνο αν είναι μεγισ τικός ισ οτροπικός. ii Κάθε βάσ η ενός λαγκρανσ ιανού υποχώρου επεκτείνεται σ ε σ υμπλεκτική βάσ η του V. iii Εσ τω Y λαγκρανσ ιανός υπόχωρος του V. Τότε ο V, ω είναι σ υμπλεκτομορφικός με τον Y Y, ω Y Y, όπου ω Y Y u a, v b = b u a v. Αποδειξη. i Κάθε ισ οτροπικός περιέχεται σ ε μεγισ τικό ισ οτροπικό, άρα αρκεί να δείξω το δεύτερο μέρος της πρότασ ης. Εσ τω W λαγκρανσ ιανός υπόχωρος του V. Επομένως είναι και ισ οτροπικός. Θα δείξουμε ότι είναι μεγισ τικός ισ οτροπικός. Εσ τω W ισ οτροπικός υπόχωρος με W W. Τότε W ω W ω = W W W ω και επομένως W = W. Εσ τω τώρα W μεγισ τικός ισ οτροπικός υπόχωρος. Ισ χύει W W ω. Θα δείξουμε με απαγωγή σ ε άτοπο πως δεν μπορεί να είναι γνήσ ιο υποσ ύνολο, άρα ισ χύει ισ ότητα και επομένως ο W είναι λαγκρανσ ιανός. Υποθέτουμε ότι W W ω. Επομένως υπάρχει 0 w W ω W. Θεωρούμε το χώρο W που παράγεται από το σ ύνολο W {u}. Ο W είναι ισ οτροπικός και περιέχει τον W. Πράγματι τα σ τοιχεία του W έχουν τη μορφή w + au, w + bu με w, w W, a, b R, οπότε ω w + au, w + bu = 0 που σ ημαίνει ότι W W ω. Άτοπο, αφού W μεγισ τικός ισ οτροπικός. ii Εσ τω W λαγκρανσ ιανός υπόχωρος του V και {v 1,... v k } μια βάσ η του. Οπως έχουμε δει dim W = n, άρα k = n. Θεωρούμε τον ισ ομορφισ μό ι ω : V V που έχουμε περιγράψει. Αν v 1,... v n V τα δυϊκά των v 1,... v n, θέτουμε u 1 = ι 1 ω v 1,... u n = ι 1 ω v n. Τότε ω v i, v j = 0 αφού ο W είναι ισ οτροπικός ω u i, v j = ι ω u i v j = v i v j = δ ij ω u i, u j = ι ω u i u j = v i u j = 0 Άρα η u 1,... u n, v 1,... v n είναι μια σ υμπλεκτική βάσ η του V η γραμμική ανεξαρτησ ία έπεταο άμεσ α από τις παραπάνω σ χέσ εις. iii Εύκολα φαίνεται ότι ο Y Y, ω Y Y είναι σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος. Αφού ο Y είναι λαγκρανσ ιανός υπόχωρος του V, τότε dim Y = n. Εσ τω e 1,... e n μια βάσ η του Y. Από το ii θα υπάρχουν f 1,... f n V ώσ τε η {e 1,... e n, f 1,... f n } να είναι βάσ η του V και ω e i, e j = 0 = ω f i, f j,ω e i, f j = δ ij. Εσ τω e i, i = 1,... n τα δυϊκά των e i, i = 1,... n. Αυτά αποτελούν μια βάσ η του Y. Ορίζουμε φ :Y Y V e i e i e j f j και επεκτείνουμε γραμμικά. Επαληθεύεται άμεσ α ότι η φ είναι σ υμπλεκτομορφισ μός.

1.2. H SUMPLEKTIKH GRAMMIKH OMADA 10 Το επόμενο Θεώρημα αφορά πηλίκα σ υμπλεκτικών χώρων και πως μπορούμε, υπό σ υνθήκες, να ορίσ ουμε σ ε αυτά κατάλληλη σ υμπλεκτική μορφή. Θεωρημα 1.1.7. Γραμμικό symplectic reduction Εσ τω V, ω σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος και W V σ υν-ισ οτροπικός υπόχωρος. Τότε σ το χώρο πηλίκο W = W/W ω επάγεται από την ω με φυσ ικό τρόπο σ υμπλεκτική μορφή. Αποδειξη. Ενα σ τοιχείο του W έχει τη μορφή [w] = w+w ω, w W. Ορίζουμε ω : W W R με ω [w 1 ], [w 2 ] = ω w 1, w 2 για w 1, w 2 W. Αν [w 1 ] = [w 1] και [w 2 ] = [w 2] τότε υπάρχουν u 1, u 2 W ω W ώσ τε w 1 = w 1 + u 1, w 2 = w 2 + u 2. Αφού ω u 1, u 2 = ω w i, u j = 0 έπεται ότι ω w 1, w 2 = ω w 1, w 2 και επομένως η ω είναι καλά ορισ μένη. Το ότι η ω είναι διγραμμική και αντισ υμμετρική έπεται άμεσ α από τις αντίσ τοιχες ιδιότητες τις ω. Η ω είναι και μη εκφυλισ μένη, και άρα σ υμπλεκτική μορφή σ τον W, αφού ω [w], [v] = 0, [v] W ω w, v = 0, v W και επομένως w W ω, δηλαδή [w] = 0. 1.2. Η ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΜΑΔΑ Θα μελετήσ ουμε τώρα τους σ υμπλεκτομορφισ μούς σ ε ένα χώρο. Αφού, όπως είδαμε, όλοι οι χώροι ίδιας διάσ τασ ης είναι ισ όμορφοι, αρκεί να εξετάσ ουμε μόνο τον R 2n με μια σ υμπλεκτική δομή. Εσ τω x 1,... x n, y 1,... y n καρτεσ ιανές σ υντεταγμένες σ τον R 2n. Θεωρούμε τον πίνακα J o και την αντίσ τοιχη γραμμική απεικόνισ η που ορίζει ως πτος αυτή τη βάσ η με [ ] 0 I J o = I 0 Στον R 2n ορίζουμε τη διγραμμική απεικόνισ η ω o με ω o u, v = J o v, u = v T J o u για u, v R 2n όπου οι σ υντεταγμένες των u, v είναι ως προς τη βάσ η αυτή. Παρατηρούμε ότι Jo 2 = I, άρα ο J o είναι αντισ τρέψιμος και Jo 1 = Jo T = J o. Επομένως η ω o είναι σ υμπλεκτική μορφή σ τον R 2n και ο R 2n, ω o σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος. Συμβολίζουμε το σ ύνολο των σ υμπλεκτομορφισ μών σ τον R 2n, ω o με Sp 2n. Είναι δηλαδη Sp 2n = { Ψ : R 2n R 2n Ψ γραμμική και Ψ } ω o = ω o όπου Ψ ω o u, v = ω o Ψu, Ψv. Εχουμε ότι Ψ Sp 2n ω o u, v = ω o Ψu, Ψv, u, v R 2n v T J o u = v T Ψ T J o Ψu, u, v R 2n Ψ T J o Ψ = J o Παρατηρούμε ότι J o Sp 2n.Το επόμενο Λήμμα μας εξασ φαλίζει ότι η Sp 2n είναι ομάδα. Θα ονομάζεται σ υμπλεκτική γραμμική ομάδα και τα σ τοιχεία της ή σ ωσ τότερα οι αντίσ τοιχοι πίνακες σ υμπλεκτικοί πίνακες. Λημμα 1.2.1. Η Sp 2n είναι υποομάδα της GL 2n και αν Ψ Sp 2n τότε και Ψ T Sp 2n.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 11 Αποδειξη. Αν ο Ψ ανήκει σ την Sp 2n, τότε Ψ T J o Ψ = J o. Παίρνοντας ορίζουσ ες σ τα δύο μέλη και χρησ ιμοποιώντας το γεγονός ότι ο J o αντισ τρέφεται, άρα έχει μη μηδενική ορίζουσ α, προκύπτει ότι det Ψ 2 = 1, άρα Ψ GL 2n. Άμεσ α ο μοναδιαίος πίνακας ανήκει σ τη Sp 2n. Εσ τω Ψ Sp 2nοπότε Ψ T J o Ψ = J o. Πολλαπλασ ιάζοντας από τα αρισ τερά με Ψ T 1 και από δεξιά με Ψ 1, προκύπτει J o = Ψ T 1 Jo Ψ 1 = Ψ 1 T Jo Ψ 1 οπότε Ψ 1 Sp 2n. Παίρνοντας αντίσ τροφους σ την τελεταία σ χέσ η έχουμε J o = J 1 o άρα και Ψ T Sp 2n. Αν τώρα Ψ 1, Ψ 2 Sp 2n τότε = ΨJ o Ψ T Ψ 1 Ψ 2 T J o Ψ 1 Ψ 2 = Ψ T 2 Ψ T 1 J o Ψ 1 Ψ2 = Ψ T 2 J o Ψ 2 = J o άρα Ψ 1 Ψ 2 Sp 2n. Οπως είδαμε σ την παραπάνω απόδειξη, det Ψ 2 = 1 για Ψ Sp 2n. Θα δείξουμε ότι και η ορίζουσ α ισ όυται με ένα. Θεωρημα 1.2.2. Κάθε σ υμπλεκτικός πίνακας έχει ορίζουσ α ίσ η με ένα. Αποδειξη. Αφού ω o = i dx1 dy i έχουμε 1.2.1 ω n o = n!dx 1 dy 1 dx n dy n που σ ημαίνει ότι η ωo n είναι μια volume form διαφορική μορφή μέγισ της τάξης που δεν μηδενίζεται πουθενά. Για Ψ Sp 2n, οπότε Ψ ω o = ω o, έχουμε Ψ ω n o = Ψ ω o Ψ ω o n forèc = ω n o και επομένως από τον ορισ μό της ορίζουσ ας έπεται ότι det Ψ = 1. 1.3. ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Ορισμος 1.3.1. Εσ τω M διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα. Μια σ υμπλεκτική δομή ή σ υμπλεκτική μορφή σ την M είναι μια μη εκφυλισ μένη - εννοούμε ότι ο περιορισ μός της σ ε κάθε εφαπτόμενο επίπεδο είναι μη εκφυλισ μένη μορφή- και κλεισ τή δηλαδή dω = 0, όπου d είναι η exterior derivative 2-μορφή. Μια σ υμπλεκτική πολλαπλότητα είναι ένα ζεύγος M, ω, όπου η M είναι διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα και η ω σ υμπλεκτική μορφή σ τη M. Ο περιορισ μός μια σ υμπλεκτική μορφής ω σ τον T p M, p M, ω p : T p M T p M R, είναι μη εκφυλισ μένη, εξ ορισ μού της ω, και αντισ υμμετρική, αφού η ω είναι 2-μορφή, διγραμμική μορφή. Είναι επομέως μια σ υμπλεκτική μορφή σ το διανυσ ματικό χώρο T p M. Επομένως ο T p M, και επομένως και η M, πρέπει να έχουν άρτια διάσ τασ η. Βλέπουμε δηλαδή ότι δεν δέχεται κάθε πολλαπλότητα σ υμπλεκτική δομή. Εκτός από τη διάσ τασ η υπάρχουν και άλλοι τοπολογικοί περιορισ μοί. Ετσ ι, μια σ υμπλεκτική πολλαπλότητα είναι προσ ανατολίσ ιμη, αφού η ω n, με n = dim M/2, είναι μορφή όγκου, αφού για κάθε p M η ωp n θα είναι μορφή όγκου σ τον αντίσ τοιχο εφαπτόμενο χώρο, όπως έχουμε δει.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 12 Ενας άλλος περιορισ μός έιναι πως αν η M 2n, ω είναι σ υμπλεκτική πολλαπλότητα τότε HdR 2k M 0 για k = 0, 1,... n. Μάλισ τα η ωk, η οποία είναι κλεισ τή αφού είναι και η ω, δεν είναι ακριβής, και επομένως 0 [ ω k] HdR 2k M. Πράγματι ας υποθέσ ουμε ότι η ω k είναι κλεισ τή. Τότε υπάρχει θ Ω 2k 1 M, ώσ τε ω k = dθ. Χρησ ιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισ εις γινομένου διαφορικών μορφών και το γεγονός ότι η ω είναι κλεισ τή προκύπτει ότι ω n = d θ ω n k. Αφού η ω n είναι μορφή όγκου, για μια περιοχή ενός σ ημείου της πολλαπλότητας ισ όμορφής με την ανοιχτή μπάλα B 2n, έχουμε ˆB2n ω n 0 volume B 2n = n! ˆ = d θ ω n k B ˆ 2n = θ ω n k = 0 B 2n =0 όπου για τη τρίτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το Θεώρημα του Stokes. Περισ σ ότερα για τον αν μπορούν να δεχτούν σ υμπλεκτική δομή πολλαπλότητες με σ υγκεκριμένες ομάδες σ υνομολογίας σ τις εργασ ίες των Donaldson [Don96] και Taubes [T94, T95], ενώ μια προσ πάθεια για τοπολογικό χαρακτηρισ μό των σ υμπλεκτικών πολλαπλοτήταν περιέχεται σ την εργασ ία του Gompf [G04]. Ορισμος 1.3.2. Εσ τω M 1, ω 1, M 2, ω 2 σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες. Μια σ υνάρτησ η ψ : M 1 M 2 θα λέγεται σ υμπλεκτομορφισ μός αν είναι αμφιδιαφόρισ η και ψ ω 2 = ω 1, δηλαδή για κάθε p M 1, u, v T p M 1 ψ ω 2 p u, v := ω 2 ψp T p ψ u, T p ψ v = ω 1 p u, v. 1.3.1. Παραδείγματα σ υμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. 1 Θεωρούμε τον χώρο R 2n, ω o με ωo = i dx i dy i, όπου x 1,... x n, y 1,... y n μια βάσ η του R 2n. Προφανώς είναι σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. Αν u = a 1,... a n, b 1,... b n, v = a 1,... a n, b 1,... b n T x R 2n R 2n ως προς την παραπάνω βάσ η τότε n ω o X, Y = a i b i a ib i = u T J o v i=1 2 Εσ τω M i, ω i, i = 1, 2 σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες. Τότε η M 1 M 2, ω 1 ω 2 είναι σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. 3 Η σ υνεφαπτόμενη δέσ μη. Εσ τω X πολλαπλότητα διάσ τασ ης n. Η σ υνεφαπτόμενη δέσ μη T X = {x, ξ : x X, ξ T x X} είναι πολλαπλότητα διάσ τασ ης 2n. Αν U, x 1,... x n χάρτης σ την X με x U, τότε κάθε ξ Tx X γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως ξ = i ξ i dx i x, οπότε ο T U, x 1,... x n, ξ 1,... ξ n είναι χάρτης για την T X. Ορίζουμε σ την T U τη 2-μορφή n ω can = dx i dξ i i=1

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 13 η οποία είναι προφανώς σ υμπλεκτική. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο ορισ μός της ω can είναι ανεξάρτητος από την επιλογή τον σ υντεταγμένων. Η ω can ο- νομάζεται κανονική σ υμπλεκτική μορφή. Υπάρχει και άλλος τρόπος να την ορίσ ουμε. Εσ τω τότε για p = x, ξ M και π : M = T X X x, ξ x dπ p : T p M T x X dπ : T x X T p M ξ ξ dπ p Ορίζουμε την 1-μορφή λ can T M με λ can p = dπ p ξ, όπου p = x, ξ Η a λέγεται ταυτολογική μορφή. Αν x,... x n, ξ 1,... ξ n χάρτης σ την T U, τότε για p = x; ξ = ξ1,... ξ n T U έχουμε λ can p ξ i = ξ dπ p p ξ i = ξ 0 = 0 p λ can p = x ξ dπ p = i x ξ = i x ξ i i p άρα λ can = i ξdx i και επιμένως ω can = dλ can. Η λ can, άρα και η ω can, κατασ κευάσ τηκε χωρίς αναφορά σ ε σ υντεταγμένες. 1.3.2. Συμπλεκτικά και χαμιλτονιανά πεδία και η αγγύλη Poisson. Εσ τω M, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα και H C M. Το διανυσ ματικό πεδίο X H που προκύπτει από την H μέσ ω της σ χέσ ης 1.3.1 ι XH ω = dh όπου ι XH ω p v = ω p X H p, v για p M, v T p M, ονομάζεται χαμιλτονιανό διανυσ ματικό πεδίο και η H χαμιλτονιανή του πεδίου. Οι ονομασ ίες αυτές θα γίνουν κατανοητές από τα παραδείγματα που θα δώσ ουμε σ τη σ υνέχεια και σ χετίζονατι με την κλασ σ ική μηχανική. Το X H είναι μοναδικό, αφού η ω είναι μη εκφυλισ μένη. Παραδειγμα 1.3.3. Θεωρούμε το σ υμπλεκτικό χώρο R 2n, ω o = i dq i dp i και έσ τω H C R 2n. Το διανυσ ματικό πεδίο J o dh είναι το χαμιλτονιανό πεδίο της H. Οι εξισ ώσ εις της ροής αυτού του πεδίου είναι q i = H p i p i = H q i Αν η H είναι η ενέργεια ενός μηχανικού σ υσ τήματος, αυτές είναι οι εξισ ώσ εις κίνησ ης σ την χαμιλτονιανή τους μορφή. Ετσ ι εξηγείται και η προέλευσ η του ονόματος χαμιλτονιανό πεδίο. p p

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 14 Θεωρούμε τη σ φαίρα S 2 με κυλινδρικές σ υντεταγμένες θ, h αν σ κεφτούμε τη σ φαίρα εμφυτευμένη σ τον R 3 με καρτεσ ιανές σ υντεταγμένες x, y, z με αρχλη των αξόνων το κέντρο της σ φαίρας, για p S 2 η θ p είναι η γωνία ανάμεσ α σ το υπερεπίπεδο, που περιέχει τον άξονα z και το σ ημείο p, και τον άξονα x, και h p ισ ούται με τη z σ υντεταγμένη του p. Η dθ dh είναι σ υμπλεκτική μορφή σ την S 2. Θεωρούμε τη σ υνάρτησ η H θ, h = h. Το X H = θ είναι το χαμιλτονιανό πεδίο για την H. Η ροή του είναι φ t θ, h = θ + t, h κύκλοι παράλληλοι σ το xy επίπεδο. Αν σ υμβολίσ ουμε με γ Ht p = γ XH t, p τη ροή του X H από το σ ημείο p τη σ τιγμή t έχουμε το ακόλουθο Λήμμα. Λημμα 1.3.4. Η γ Ht, για τα t για τα οποία ορίζεται, διατηρεί την ω, δηλαδή γ H t ω = ω. Αποδειξη. Εχουμε d dt γ H t ω = γ H t L XH ω = γ H t dι Xh ω + ι XH dω = γ H t ddh = 0 όπου για την πρώτη ισ ότητας δες σ το Παράρτημα, για τη δεύτερη χρησ ιμοποιήθηκε ο τύπος του Cartan, ενώ για σ την τρίτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το γεγονός ότι η ω είναι κλεισ τή. Αν το πεδίο X H είναι πλήρες, δηλαδή η ροή του από κάθε σ ημείο ορίζεται για κάθε t, τότε η γ Ht : M M είναι αμφιδιαφόρισ η για κάθε t από τη θεωρία των σ υνήθων διαφορικών εξισ ώσ εων και μάλισ τα από το παραπάνω Λήμμα είναι σ υμπλεκτομορφισ μός. Αυτό είναι μια πρώτη ένδειξη ότι η ομάδα σ υμπλεκτομορφισ μών μιας σ υμπλεκτικής πολλαπλότητας είναι πολύ μεγάλη, αφού κάθε διαφορίσ ιμη σ υνάρτησ η ορίζει μια μονοπαραμετρική οικογένεια σ υμπλεκτομορφισ μών. Η ακόλουθη πρότασ η είναι μια γενίκευσ η της αρχής διατήρησ ς της μηχανικής ενέργειας σ τα πλάισ ια της σ υμπλεκτικής γεωμετρίας. Προταση 1.3.5. Η χαμιλτονιανή H είναι σ ταθερή σ τις τροχιές του X H. Αποδειξη. Εχουμε d d dt H γ H t = dh dt γ H t = dh X H = ι XH ω X H = ω X H, X H = 0 Με άλλα λόγια κάθε ολοκληρωτική καμπύλη του X H περιέχεται σ ε ένα επιπεδοσ ύνολο της H. Γιάυτό και σ τη σ υνέχεια με το reduction θα περιοριζόμασ τε σ ε επιπεδοσ ύνολα του moment map, που είναι μια γενίκευσ η της χαμιλτονιανής. Η παρακάτω πρότασ η περιέχει κάποιες βασ ικές ιδιότητες για το πως να βρίσ κουμε τα χαμιλτονιανά πεδία σ υναρτήσ εων που προκύπτουν από σ υνδυασ μούς άλλων.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 15 Προταση 1.3.6. Για f, g C M, a, b R και φ Symp M, ω ισ χύει 1.3.2 X af+bg = ax f + bx g 1.3.3 X fg = fx g + gx f 1.3.4 φ X f = X φ f Αποδειξη. Εχουμε ι Xaf+bg ω = d af + bg = adf + bdg = aι XF ω + bι Xg ω = ι axf +bx g ω και αφού η ω είναι μη εκφυλισ μένη έπεται ότι X af+bg = ax f + bx g. Επίσ ης ι Xfg ω = d fg και άρα X fg = fx g + gx f. Για την τρίτη σ χέσ η τώρα, έχουμε = gdf + fdg = gι Xf ω + fι Xg ω = ι gxf +fx g ω ι Xφ f ω = d φ f = φ df = φ ι Xf ω = ι φ X f φ ω = ι φ X f ω όπου σ την πέμπτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το γεγονός ότι φ Symp M, ω. Οπότε, αφού η ω είναι μη εκφυλισ μένη, έπεται ότι φ X f = X φ f. Ενα διανυσ ματικό πεδίο X θα λέγεται σ υμπλεκτικό διανυσ ματικό πεδίο αν διατηρεί την ω, δηλαδή L X ω = ω. Ομως από τον τύπο του Cartan L X ω = ι X dω + dι X ω = dι X ω αφού dω = 0. Άρα ένα διανυσ ματικό πεδίο X είναι σ υμπλεκτικό αν και μόνο αν dι X ω = 0, δηλαδή η μορφή ι X ω είναι κλεισ τή. Οπως έχουμε πει το X θα είναι χαμιλτονιανό πεδίο αν υπάχει H C M, ώσ τε ι X ω = dh. Στην περίπτωσ η αυτή η μορφή ι X ω είναι ακριβής, άρα και κλεισ τή. Επομένως ένα χαμιλτονιανό πεδίο είναι σ υμπλεκτικό. Το αντίσ τροφο δεν ισ χύει πάντα, όπως θα δούμε και σ τα παραδείγματα. Ισ χύει μόνο τοπικά, αφού μια κλεισ τή μορφή είναι τοπικά ακριβής. Τα εμπόδια για να είναι ένα σ υμπλεκτικό πεδίο χαμιλτονιανό περιέχονται σ την H 1 dr M. Προταση 1.3.7. Εσ τω M, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα και X διανυσ ματικό πεδίο σ τη M. Το X είναι σ υμπλεκτικό αν και μόνο αν η ροή του γ t διατηρεί τη σ υμπλεκτική δομή, δηλαδή γt ω = ω για τα t που ορίζεται.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 16 Αποδειξη. Εχουμε d dt γ t ω = γ t L X ω = γ t dι X ω + ι X dω = dω=0 γ t dι X ω Επομένως αν το X είναι σ υμπλεκτικό τότε dι X ω = 0 και άρα d dt γ t ω = 0 και τελικά γ t ω = σ ταθ. = γ 0ω = ω. Αν από την άλλη γ t ω = ω για κάθε t, τότε γ t dι X ω = d dt γ t ω = 0 για κάθε t. Για t = 0 παίρνουμε dι X ω = 0, δηλαδή το πεδίο είναι σ υμπλεκτικό. Προταση 1.3.8. Αν M, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα και X, Y σ υμπλεκτικά πεδία σ τη M, τότε η αγγύλη Lie [X, Y ] είναι χαμιλτονιανό διανυσ ματικό πεδίο με χαμιλτονιανή ω Y, X. Αποδειξη. Εχουμε ι [X,Y ] ω = L X ι Y ω ι Y L X ω = dι X ι Y ω + ι X dι Y ω ι Y dι X ω ι Y ι X dω = d ω Y, X όπου σ την πρώτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε τύπος από το Παράρτημα, για τη δεύτερη εφαρμόσ τηκε για τους δύο όρους ο τύπος του Cartan και για την τρίτη το γεγονός ότι dω = 0 και dι X ω = 0 = dι Y ω, αφού τα πεδία είναι σ υμπλεκτικά. Αν σ υμβολίσ ουμε X sym M και X ham M τα σ υμπλεκτικά και τα χαμιλτονιανά πεδία αντίσ τοιχα, τότε από την παραπάνω πρότασ η έπεται το ακόλουθο πόρισ μα. Πορισμα 1.3.9. Η X ham M, [, ] είναι υπάλγεβρα Lie της X sym M, [, ] η οποία είναι υπάλγεβρα Lie της X M, [, ]. Ορισμος 1.3.10. Μια πολλαπλότητα Poisson είναι ένα ζεύγοςm, {, }, όπου η M είναι διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα και η {, } : C M C M C M είναι μια διγραμμική αεπικόνισ η με τις εξής ιδιότητες: {f, g} = {g, f} αντισ υμμετρική {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 0 ταυτότητα Jacobi {fg, h} = f {g, h} + {f, h} g κανόνας Leibniz για κάθε f, g, h C M. Η {, } λέγεται αγγύλη Poisson ή δομή Poisson σ τη M. Η C M, {, } είναι μια άλγεβρα Poisson. Γενικότερα μια άλγεβρα Ποισσον A είναι ένας διανυσ ματικός χώρος πάνω από ένα σ ώμα εφοδιασ μένος, εκτός από την πρόσ θεσ η, με δύο ακόμα πράξεις που τις σ υμβολίζουμε με και {, } τέτοιες ώσ τε η A, να είναι προσ εταιρισ τική άλγεβρα και η {, } που λέγεται αγγύλη Ποισσον να είναι διγραμμική, αντισ υμμετρική και να ικανοποιεί την ταυτότητα Jacobi και τον κανόνα του Leibniz. Εσ τω τώρα M, ω μια σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. Θα δείξουμε ότι σ την M ορίζεται με φυσ ιολογικό τρόπο μια αγγύλη Ποισσον. Οι σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι επομένως ειδική περίπτωσ η των πολλαπλοτήτων Poisson. Υπάρχουν πολλαπλότητες Poisson που δεν είναι σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες, όπως θα δούμε σ τα

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 17 παραδείγματα. Για f, g σ την C M ορίζουμε 1.3.5 {f, g} ω = ω X f, X g όπου τα X f, X g είναι τα χαμιλτονιανά πεδία με χαμιλτονιανές τις f και g αντίσ τοιχα. Πριν δείξουμε ότι η {, } ω ικανοποιεί τις ιδιότητες μιας αγγύλης Poisson θα χρειασ τούμε το ακόλουθο Λήμμα. Οταν είναι κατανοητό ποια είναι η σ υμπλεκτική δομή την αντίσ τοιχη αγγύλη Ποισσον θα τι σ υμβολίζουμε για ευκολία απλά {, }. Λημμα 1.3.11. Εσ τω M, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα και {, } η αγγύλη που ορίζεται από την ω μέσ ω της 1.3.4. Τότε για κάθε f, g C M 1.3.6 X {f,g} = [X f, X g ] και αν φ t X g η ροή του πεδίου X g 1.3.7 {f, g} = df X g = X g f = d dt f φ t Xg t=0 Αποδειξη. Από την Πρότασ η 1.3.8 έχουμε ότι που σ ημαίνει ότι ι [Xg,X f ]ω = d ω X f, X g [X f, X g ] = [X g, X f ] = X ωxf,x g = X {f,g} Για την απόδειξη της άλλης σ χέσ ης τώρα {f, g} = ω X f, X g = ι Xf ω X g = df X g = d dt f φ t Xg t=0 Μπορούμε τώρα να αποδείξουμε ότι η αγγύλη που ορίσ αμε πληρεί τις ιδιότητες μιας αγγύλης Poisson. Για f, g, h, f 1, f 2 C M και a, b R έχουμε: Αρκεί να δείξουμε ότι είναι γραμμική ως προς το πρώτο όρισ μα. Η γραμμικότητα ως προς το δεύτερο έπεται από αυτή και την αντισ υμμετρία που θα αποδείξουμε μετά. {af 1 + bf 2, g} = ω X af1+bf 2, X g = ω ax f1 + bx f2, X g = aω X f1, X g + bω X f2, X g = a {f 1, g} + b {f 2, g} όπου για τη δεύτερη ανισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε η Πρότασ η 1.3.5. {f, g} = ω X f, X g = ω X g, X f = {g, f}

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 18 Αφού dω = 0 έχουμε 0 = dω X f, X g, X h = X f ω X g, X h X g ω X f, X h + X h ω X f, X g ω [X f, X g ], X h + ω [X f, X h ], X g ω [X g, X h ], X f = X f {g, h} X g {f, h} + X h {f, g} + ω X {f,g}, X h + ω X{h,f}, X g + ω X{g,h}, X f = {{g, h}, f} + {{h, f}, g} + {{f, g}, h} + {{f, g}, h} + {{h, f}, g} + {{g, h}, f} = 2 {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} όπου σ την πρώτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήσ αμε τον ορισ μό της exterior derivative. {fg, h} = ω X fg, X g = ω fx g + gx f, X h = fω X g, X h + gω X f, X h = f {g, h} + g {f, h} όπου για τη δεύτερη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε η Πρότασ η 1.3.5. Ας δούμε τώρα μια χρήσ ιμη Πρότασ η που γενικεύει την 1.3.4. Προταση 1.3.12. Εσ τω M, ωσ υμπλεκτική πολλαπλότητα και {, } η επαγόμενη από την ω αγγύλη Poisson. Αν f, H C M με {f, H} = 0, τότε η f είναι σ ταθερή σ ε κάθε ολοκληρωτική καμπύλη του X H. Αποδειξη. Αν φ t H η ροή του X H τότε d dt f φ t H = df XH = X H f = {f, H} = 0 όπου για την τρίτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το Λήμμα 1.3.11. Προταση 1.3.13. Εσ τω M, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα, f, g Symp M, ω και φ Symp M, ω. Αν {, } η αγγύλη Ποισσον που προκύπτει από την ω τότε φ {f, g} = {φ f, φ g}, όπου φ f = f φ.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 19 Αποδειξη. Αφού φ Symp M, ω, από την Πρότασ η 1.3.6 έχουμε φ X f = X φ f και φ X g = X φ g. Για p M έχουμε {φ f, φ g} p = ω p X φ f p, X φ g p = ω p φ X f p, φ X g p = ω φ 1 φp φ 1 = ω T φp φ 1 X f φp, T φp φ 1 X g φp φp = ω φp X f φp, X g φp X f φp, X g φp = {f, g} φ p = φ {f, g} p όπου σ την πέμπτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το γεγονός ότι φ 1 ω = ω, αφού ο φ και άρα και ο φ 1 είναι σ υμπλεκτομορφισ μός. 1.3.3. Θεώρημα Darboux. Στην παράγραφο αυτή θα δώσ ουμε μια πρώτη απόδειξη ενός θεμελιώδους Θεωρήματος της σ υμπλεκτικής γεωμετρίας, του Θεωρήματος Darboux. Η απόδειξη αυτή είναι γεωμετρική και περιέχεται σ το βιβλίο του Arnold [Arn89]. Το Θεώρημα αυτό λέει πως τοπικά όλες οι σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες ίδιας διάσ τασ ης είναι ίδιες τοπικά σ υμπλεκτομορφικές, άρα σ ε αντίθεσ η π.χ. με τη γεωμετρία Riemann που υπάρχει η καμπλυλότητα, σ τη σ υμπλεκτική γεωμετρία δεν υπάρχουν τοπικές αναλλοίωτες. Θεωρημα 1.3.14 Darboux. Εσ τω M 2n, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα. Για κάθε σ ημείο της M υπάρχει χάρτης U, q 1,... q n, p 1,... p n, ώσ τε σ το U να ισ χύει n ω = dp i dq i Χάρτες που έχουν αυτή την ιδιότητα λέγονται χάρτες Darboux. i=1 Παρατηρούμε πως ο q 1,... q n, p 1,... p n είναι χάρτης Darboux αν και μόνο αν {p i, p j } = 0 = {q i, q j } και {p i, q j } = δ ij. Πράγματι αν q 1,... q n, p 1,... p n χάρτης Darboux,τότε άρα X pi = q i. Επίσ ης άρα X qi = p i. Οπότε X pi p j = ω X pj, X pi = 0 X pi q j = ω X qj, X pi = δij X qi p j = ω X pj, X qi = δij X qi q j = ω X qj, X qi = 0 {p i, p j } = ω X pi, X pj = ω q i, {q i, q j } = ω X qi, X qj = ω p i, {p i, q j } = ω X pi, X qj = ω q i, = 0 q j = 0 p j = δ ij p j

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 20 Αντίσ τοφα, αν q 1,... q n, p 1,... p n χάρτης με τις δοσ μένες ιδιότητες τότε X pi p j = {p j, p i } = 0 X pi q j = {q j, p i } = δ ij άρα X pi = q i. Ομοίως X qi = p i. Άρα ω, = ω X qi, X qj = {qi, q j } = 0 p i p j Ομοίως ω, = 0 q i q j ω, = δ ij p i q j Οπότε τελικά ω = dp i dq j. Ας προχωρήσ ουμε τώρα σ τη απόδειξη του Θεωρήματος. Αποδειξη. Αρχικά θα κατασ κευάσ ουμε επαγωγικά τον χάρτη και μετά θα α- ποδείξουμε ότι έχει τις ζητούμενες ιδιότητες. Εσ τω χάρτης U; x 1,... x 2n σ το y o M. Ορίζουμε τη σ υνάρτησ η-πρώτη σ υντεταγμένη q 1 : U R με q 1 = x 1. Μπορούμε να θεωρήσ ουμε ότι q 1 y o = x 1 y o = 0. Εσ τω X q1 το αντίσ τοιχο χαμιλτονιανό πεδίο και φ t q 1 η ροή του. Αφού X q1 yo 0 αν X q1 yo = 0, τότε 0 = ι Xq1 ω = dq y 1 y o = 1, 0, 0 άτοπο, μπορούμε να θεωρήσ ουμε μια υπερεπιφάνεια N διάσ τασ ης 2n 1 που περιέχει το x o και είναι κάθετη σ το X q1 σ το o σ ημείο αυτό. Αν περιορισ τούμε σ ε κατάλληλα μικρή περιοχή του y o, σ ε κάθε σ ημείο της επιφάνειας αυτής το X q1 δεν θα είναι εφαπτόμενο. Επομένως, από τη θεωρία των σ υνήθων διαφορικών εξισ ώσ εων, για κάθε σ ημείο y, σ ε περιοχή του y o, υπάρχουν z y N και t y R, ώσ τε y = φ ty q 1 z y και τα z y, t y είναι διαφορίσ ιμες σ υναρτήσ εις ως προς y. Θέτουμε p 1 y = t y. Τότε p 1 y = 0 για y N και για t R, y N p 1 φ t q1 y = t dp 1 X q1 = 1 paragwgðzontac wc proc t {p 1, q 1 } = dp 1 X q1 = 1 όπου για την πρώτη ισ ότητα σ τη τελευταία σ υνεπαγωγή χρησ ιμοποιήθηκε το Λήμμα 1.3.11. Αν n = 1 με την παραπάνω μέθοδο έχουμε κατασ κευάσ ει τις q 1, p 1 και έχουμε τελειώσ ει. Θεωρούμε πως το Θεώρημα Darboux ισ χύει για σ υμπλεκτικές πολλαπλότητες διάσ τασ ης 2n 2. Θα δείξουμε ότι ισ χύει και για διάσ τασ η 2n. Κατασ κευάζουμε τις q 1, p 1 όπως πριν. Ορίζουμε K = {y U : p 1 y = 0 = q 1 y}. Από την κατασ κευή των p 1, q 1 έχουμε p 1 y o = 0 = q 1 y o, άρα y o K. Τα dp 1, dq 1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αφού αν υπάρχει 0 a R με dp 1 = adq 1, τότε 1 = {p 1, q 1 } = dp 1 X q1 = adq 1 X q1 = ax q1 q 1 = 0 άτοπο, άρα με χρήσ η του Θεωρήματος Πεπλεγμένης Συνάρτησ ης προκύπτει ότι η K είναι πολλαπλότητα διάσ τασ ης 2n 1. Θα δείξουμε τώρα ότι η ω επάγει περιοριζόμεη σ την K σ υμπλεκτική δομή. Άρα η K είναι σ υμπλεκτή πολλαπλότητα διάσ τασ ης 2n 2 και μπορούμε επομένως να εφαρμόζουμε την επαγωγική υπόθεσ η. Η ένθεσ η ι : K M επάγει τη 2-μορφή ι ω

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 21 σ τη K, η οποία είναι κλεισ τή αφού dι ω = ι dω = 0. Θα δείξουμε ότι είναι και μη εκφυλισ μένη, άρα σ υμπλεκτική. Για ξ T y K, y K έχουμε ω X q1 y, ξ = ι Xq1 ω ξ y = dq 1 ξ = ξ q 1 = 0 όπου η τελευταία ισ ότητα προκύπτει από το γεγονός ότι q 1 = 0 σ την K και ξ T K. Ομοίως ω X p1 y, ξ = 0. Επομένως T y K X q1, X p1 ω και τελικά T y K = X q1, X p1 ω για κάθε y K, αφού dim X q1, X p1 ω = 2n dim X q1, X p1 = 2n 2 = dim K. Επίσ ης τα X q1, X p1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αφού είναι τα dq 1, dp 1 και X q1, X p1 / X q1, X p1 ω αφού ω X p1, X q1 = {p 1, q 1 } = 1. Άρα T M = X q1, X p1 T K Εσ τω τώρα ξ T K με ω ξ, ξ = 0 για κάθε ξ T K. Από τα προηγούμενα έπεται ότι ω ξ, v = 0 για κάθε v T M και επομένως ξ = 0. Δείξαμε επομένως ότι η K είναι σ υμπλεκτική πολλαπλότητα διάσ τασ ης 2n 2. Από επαγωγική υπόθεσ η υπάρχουν σ υντεταγμένες q 2,... q n, p 2,... p n, ώσ τε n ι ω = ω T K = d p i d q i Οι q i, p i είναι σ υναρτήσ εις ορισ μένες σ ε περιοχή του y o σ την K. Θα τις επεκτείνουμε σ ε σ υναρτήσ εις σ ε περιοχή του y o σ την M. Αφού τα X q1, X p1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα σ το y o και [X q1, X p1 ] = X {p1,q 1} = X 1 = 0, άπό βασ ική θεωρία για διανυσ ματικά πεδία σ ε πολλαπλότητες, για κάθε y σ ε περιοχή του y o σ τη M, θα υπάρχουν μοναδικά t y, s y R και z y K, τα οποία θα είναι και διαφορίσ ιμες ως προς y σ υναρτήσ εις, ώσ τε y = φ ty q 1 φ sy p 1 z y, όπου φ t p 1, φ s q 1 οι ροές των X p1, X q1 αντίσ τοιχα. Προφανώς z y = y, t y = 0 = s y για y K, άρα αν θέσ ουμε p i y = p i z y, q i y = q i z y για i = 2, 3,... n, οι p i, q i επεκτείνουν τις p i, q i. Θα δείξουμε τώρα ότι οι σ υντεταγμένες αυτές έχουν τις ζητούμενες ιδιότητες. Συμβολίζουμε με φ t q i, φ t p i, i = 1,... n τις ροές των πεδίων X qi, X pi αντίσ τοιχα. Οπως είδαμε [X q1, X p1 ] = 0, άρα από γνωσ τή πρότασ η φ t q 1 φ s p 1=φ s p 1 φ t q 1 για κάθε t, s που ορίζονται. Επομένως για κάθε y σ την περιοχή που ορίζονται οι σ υντεταγμένες αυτές, q i φ t q1 φ s p 1 y = q i φ t q1 φ s p 1 φ ty q 1 φ sy p 1 z y X q1 i=2 = q i φ t+t y q 1 φp s+sy 1 z y = q i z y και επομένως οι q i, και αντίσ τοιχα και οι p i είναι αναλλοίωτες πάνω σ τις ροές των και X p1, επομένως {q i, p 1 } = X p1 q i = 0, i = 2, 3,... n και ομοίως {p i, p 1 } = {q i, q 1 } = {p i, q 1 } = 0 για i = 2,... n. Παρατηρούμε ότι για y K ω X qi y, X q1 y = {q i, q 1 } y = 0

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 22 ω X qi y, X p1 y = {q i, p 1 } y = 0 και αφού T y K = X q1, X p1 ω, έπεται ότι X qi T y K για i = 2,... n. Ομοίως X pi T y K, i = 2,... n. Άρα τα X qi K, X pi K είναι τα χαμιλτονιανά πεδία των q i K, p i K. Επομένως {p i, p j } K = ω X qi K, X pi K = ι ω X qi K, X pi K = { p i, p j } = 0 όπου για την τρίτη και την τέταρτη ισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκαν οι ιδιότητες, από επαγωγική υπόθεσ η, των p i, p j σ ε σ υνδυασ μό με την παρατήρησ η πριν την απόδειξη του θεωρήματος. Ομοίως {q i, q j } K = 0 {p i, q j } K = δ ij για i = 1, 2,... n. Μένει να δείξουμε ότι οι παραπάνω σ χέχεις ισ χύουν σ ε περιοχή του y o σ τη M και όχι μόνο σ την K. Οι ροές φ t q 1, φ t p 1 είναι σ υμπλεκτομορφισ μοί, ως ροές χαμιλτονιανών πεδίων. Άρα φ t q 1 φ s p 1 ω = ω για κάθε t, s R, η ισ οδύναμα για κάθε y σ την περιοχή του y o που ορίζονται οι χάρτες που φτιάξαμε και για u, v T y M έχουμε ω y u, v = ω φ t q1 φ s p y d φ t q1 φ s 1 p 1 u, d φ t q1 φ s p 1 v και ειδικά για t = t y, s = s y Επομένως ω y u, v = ω zy d φ t y q 1 φ sy p 1 {p i, p j } y = ω y X pi y, X pj y = ω zy d φ ty q 1 φ sy p 1 = ω zy X pi zy, X pj zy = {p i, p j } z y = 0 u, d φ t y q 1 φp sy 1 v Xpi y, d φ ty q 1 φp sy Xpj y 1 όπου για την τρίτη ανισ ότητα χρησ ιμοποιήθηκε το γεγονός ότι όπως έχουμε δείξει οι ροές φ t p i, i = 1,... n μετατίθενται με τις ροές φ t q 1, φ s p 1 άρα d φ ty q 1 φ sy p Xpi 1 y = d dt φ t y q 1 φp sy 1 φ t pi y 0 = d dt φ t p i φ t y q 1 φp sy 1 y 0 = d dt φ t p i z y = X pi zy 0 Με αντίσ τοιχο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες σ χέσ εις. Χρησ ιμοποιώντας την παρατήρησ η πριν την απόδειξη βλέπουμε πως ο χάρτης αυτός είναι ο ζητούμενος.

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 23 1.3.4. Το κόλπο του Moser και μια δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος Darboux. Στην παράγραφο αυτή, χρησ ιμοποιώντας μια τεχνική που οφείλεται σ τον Moser, θα δώσ ουμε μια δεύτερη τελείως διαφορετική απόδειξη του Θεωρήματος Darboux. Μάλισ τα, με χρήσ η αυτής της τεχνικής, το Θεώρημα Darboux μπορεί να γενικευτεί σ ημαντικά [W71]. Η τεχνική αυτή έχει αποδειχτεί πολύ χρήσ ιμη σ τη σ υμπλεκτική γεωμετρία. Ορισμος 1.3.15. Εσ τω M πολλαπλότητα. Μια σ υνάρτησ η διαφορίσ ιμη ρ : M I M, με I R, θα λέγεται ισ οτοπία αν η ρ t = ρ t, : M M είναι αμφιδιαφόρισ η για κάθε t σ το I και ρ 0 = id. Θεωρημα 1.3.16 Moser [Mos65]. Εσ τω M σ υμπαγής διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα και ω o, ω 1 σ υμπλεκτικές μορφές σ τη M. Αν [ω o ] = [ω 1 ] και για κάθε t 0, 1 η ω t = 1 t ω o +tω 1 είναι σ υμπλεκτική μορφή, τότε υπάρχει ισ οτοπία ρ : M R M ώσ τε ρ t ω t = ω o για κάθε t R. Λέμε τότε ότι οι ω o, ω 1 είναι ισ χυρά ισ οτοπικές. Υπάρχει και μια ασ θενέσ τερη έννοια ισ οτοπίας σ υμπλεκτικών μορφών. Οι ω o, ω 1 λέγονται ασ θενώς ισ οτοπικές αν υπάρχει οικογένεια σ υμπλεκτικών μορφών ω t, t [0, 1] που έχει διαφορίσ ιμη εξάρτησ η από το t και [ω t ] = [ω o ] για κάθε t σ το [0, 1]. Αν οι ω o και ω 1 είναι ισ χυρά ισ οτοπικές, τότε για t = 1 έχουμε ρ 1ω 1 = ω o. Άρα είναι σ υμπλεκτομορφικές οι δύο μορφές. Η έννοια δηλαδή της ισ χυρής ισ οτοπίας είναι ισ χυρότερη του σ υμπλεκτομορφισ μού. Το Θεώρημα του Darboux, όπως διατυπώθηκε σ την προηγούμενη παράγραφο λέει ότι δύο σ υμπλεκτικές μορφές σ ε πολλαπλότητες ίδιας διάσ τασ ης είναι τοπικά σ υμπλεκτομορφικές. Εδώ θα δείξουμε ότι είναι μάλισ τα τοπικά ισ χυρά ισ τοπικές. Αποδειξη. Εσ τω ότι υπάρχει ισ οτοπία ρ με ρ t ω t = ω για κάθε t [0, 1]. Τότε από τη σ χέσ η X t ρ t = dρ t dt X t = dρ t dt ρ 1 t ορίζεται ένα διαφορίσ ιμο, και ως προς t, χρονομεταβλητό διανυσ ματικό πεδίο X t σ τη M. Για κάθε t το πεδίο αυτό θα ικανοποιεί τη σ χέσ η 0 = dω o dt = d dt ρ t ω t = ρ t L Xt ω t + dω t dt όπου η τρίτη ισ ότητα αποδεικνύεται σ το Παράρτημα. Αφού η ρ t είναι αμφιδιαφόρισ η έπεται ότι τα παραπάνω ισ χύουν αν και μόνο αν L Xt ω t + dω t = 0, t R dt L Xt ω t + ω 1 ω o = 0, t R Αντίσ τροφα τώρα, αν υπάρχει διαφορίσ ιμο διανυσ ματικό πεδίο X t, t R που ικανοποιεί τη σ χέσ η, τότε λύνοντας το πρόβλημα αρχικών τιμών X t ρ t = dρ t dt, ρ 0 = id

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 24 η λύσ η του οποίου υπάρχει για κάθε t R, αφού η πολλαπλότητα είναι σ υμπαγής, παίρνουμε μια σ υνάρτησ η ρ : M R M με τη ρ t, από τη βασ ική θεωρία των σ υνήθων διαφορικών εξισ ώσ εων, να είναι αμφιδιαφόρισ η. Επομένως η ρ είναι ισ οτοπία. Επίσ ης d dt ρ t ω t = ρ t L Xt ω t + dω t dt = 0 και επομένως ρ t ω t = ρ 0ω o ρ 0=id = ω o. Δείξαμε επομένως, ότι η ύπαρξη της ζητούμενης ισ οτοπίας είναι ισ οδύναμη με την ύπαρξη ενός χρονομεταβλητού πεδίου που ικανοποιεί την. Η τεχνική αυτή είναι γνωσ τή ως Moser's trick. Από υπόθεσ η έχουμε ότι [ω o ] = [ω 1 ], άρα υπάρχει 1-μορφή θ ώσ τε Επίσ ης από τον τύπο του Cartan ω 1 = ω o + dθ 1 L Xt ω t = ι Xt dω t + dι Xt ω t 2 Με χρήσ η των 1 και 2, και αφού dω t = 1 t dω o + tdω 1 = 0, η γράφεται ισ οδύναμα dι Xt ω + dθ = 0 Για να λύσ ουμε επομένως την αρκεί να βρούμε χρονομεταβλητό πεδίο X t ώσ τε ι Xt ω + θ = 0 Η εξίσ ωσ η αυτή όμως είναι γραμμική ως προς X t, άρα έχει λύσ η και μάλισ τα μοναδική. Ας το δούμε όμως αυτό αναλυτικά. Εσ τω x 1,... x 2n σ υντεταγμένες σ ε περιοχή ενός σ ημείου. Ως προς τις σ υντεταγμένες αυτές ω t = i,j 1 2 ω ij t dx i dx j, θ = i θ idx i και X t = i X i t οπότε η παραπάνω εξίσ ωσ η γράφεται ισ οδύναμα σ την περιοχή αυτή ω X t, x i x j ω ij t X i t = θ j i = θ, j = 1,... 2n x j που είναι ένα γραμμικό σ ύσ τημα για τις σ υντεταγμένες του X t, άρα έχει μοναδική λύσ η. Λόγω μοναδικότητας οι λύσ εις σ ε περιοχές που επικαλύπτονατι θα ταυτίζονατι. Άρα μπορούμε να ενώσ ουμε τις λύσ εις και να πάρουμε το επιθυμητό X t. Θα αποδείξουμε τώρα μια τοπική μορφή του παραπάνω Θεωρήματος. Θεωρημα 1.3.17 Θεώρημα Moser-Τοπική μορφή. Εσ τω M πολλαπλότητα, N M υποπολλαπλότητα και ω o, ω 1 σ υμπλεκτικές μορφές σ τη M με ω o p = ω 1 p, p N. Τότε υπάρχουν περιοχές U o, U 1 της N σ τη M και αμφιδιαφόρισ η ρ : U o U 1, ώσ τε ρ N = id και ρ ω 1 = ω o. Αποδειξη. Εχουμε d ω 1 ω 0 = 0 και ω 1 ω o N = 0. Από το Θεώρημα 6.2.1 σ το Παράρτημα, υπάρχει περιοχή U o της N σ τη M και 1-μορφή θ σ την U o με θ N = 0, ω 1 ω o = dθ Θεωρούμε σ την U o την οικογένεια 2-μορφών ω t = 1 t ω o + tω 1 = ω o + tdθ, t [0, 1]

1.3. SUMPLEKTIKES POLLAPLOTHTES 25 Οι ω t είναι κλεισ τές, αφού είναι οι ω o, ω 1. Επίσ ης, αφού ω t N = ω o N και η ω o είναι μη εκφυλισ μένη, αν μικρύνουμε ενδεχομένως τη περιοχή U o, οι ω t θα είναι και μη εκφυλισ μένες και άρα σ υμπλεκτικές μορφές για κάθε t [0, 1]. Εφαρμόζουμε τωρα το κόλπο του Moser. Προσ διορίζουμε το διανυσ ματικό πεδίο X t σ την U o, μέσ ω της εξίσ ωσ ης ι Xt ω t + θ = 0. Αφού θ N = 0 και οι ω t είναι μη εκφυλισ μένες για κάθε t [0, 1], θα ισ χύει X N = 0. Άρα τα σ ημεία της N είναι σ ημεία ισ ορροπίας για το X t. Ειδικά η ροή τους θα ορίζεται σ ε όλο το R. Άρα αν μικρύνουμε κατάλληλα την U o, μπορούμε να εξασ φαλίσ ουμε ότι η ροή από τα σ ημεία της ορίζεται για κάθε t σ το [0, 1]. Εσ τω φ : U o [0, 1] M η λύσ η, που προκύπτει από την εξίσ ωσ η dφ t dt = X t φ t. Αφού τα σ ημεία της N μένουν σ ταθερά σ τη ροή του X t, έχουμε φ 0 N = id. Επίσ ης d dt φ t ω t = φ t L Xt ω t + dω t dt = φ t ι Xt dω t + dι Xt ω t + ω 1 ω o = φ t d ι Xt ω + θ = 0 άρα φ t ω t = φ 0ω o = ω o. ρ = φ 1 έχουμε τελειώσ ει. Θέτοντας U 1 = φ U o [0, 1] = t [0,1] φ t U o και Να παρατηρήσ ουμε πως δείξαμε κάτι ισ χυρότερο από αυτό που περιγράφει η εκφώνησ η, ότι δηλαδή οι δύο μορφές είναι ισ χυρά ισ οτοπικές σ τη περιοχή U o. Με χρήσ η τώρα αυτού του Θεωρήματος μπορούμε να δούμε μια δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος Darboux. Αποδειξη. Εσ τω M 2n, ω σ υμπλεκτική πολλαπλότητα και y o M. Η ω yo είναι σ υμπλεκτική μορφή σ το διανυσ ματικό χώρο T yo M. Από Θεώρημα 1.1.1, υπάρχει βάσ η e 1,... e n, f 1,... f n σ τον Ty o M, ώσ τε ω yo = i ei f i. Επιλέγουμε κατάλληλες σ υντεταγμένες q 1,... q n, p 1,... p n σ ε περιοχή του y o, ώσ τε dp i yo = e i, dq i yo = f i, οπότε ω yo = n dp i dq i yo i=1 Θέτουμε ω o = ω, ω 1 = i dp 1 dq i. Αυτές είναι σ υμπλεκτικές μορφές σ ε περιοχή του y o και ω o yo = ω 1 yo. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο Θεώρημα, με N = {y o }, προκύπτει ότι υπάρχουν περιοχές U o, U 1 του y o και αμφιδιαφόρισ η φ : U o U 1 με

1.4. MIGADIKES DOMES 26 φ y o = y 0 και φ ω 1 = ω o. Επομένως, ω = ω o = φ i dp 1 dq i = i = i φ dp i φ dq i d p i φ d q i φ άρα οι q 1 φ,... q n φ, p 1 φ,... p n φ είναι σ υντεταγμένες Darboux σ ε περιοχή του y o. 1.4. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Στην ενότητα αυτή θα ορίσ ουμε και θα εξετάσ ουμε την έννοια της μιγαδικής δομής. Οι μιγαδικές δομές προσ φέρουν ένα τρόπο σ ύνδεσ ης της γεωμετρίας Riemann που καθορίζεται από μια σ υμμετρική, μη εκφυλισ μένη, διγραμμική μορρφή και της σ υμπλεκτικής γεωμετρίας που καθορίζεται από μια αντισ υμμετρική, μη εκφυλισ μένη και κλεισ τή μορφή. 1.4.1. Μιγαδικές δομές σ ε διανυσ ματικούς χώρους. Ορισμος 1.4.1. Εσ τω V διανυσ ματικός χώρος. Μια μιγαδική δομή σ τον V είναι ένας αυτομορφισ μός J : V V τέτοιος, ώσ τε J 2 = id. Παρατηρούμε ότι, αν ο V έχει τη μιγαδική δομή J, τότε μπορεί να γίνει διανυσ ματικός χώρος πάνω από το C, αν ορίσ ουμε τον πολλαπλασ ιασ μό με ένα μιγαδικό αριθμό ως εξής C V V s + it, v sv + tjv Ορίζουμε δηλαδή το αποτέλεσ μα του πολλαπλασ ιασ μού ενός σ τοιχείου του v με τη μιγαδική μονάδα i να είναι η εικόνα του σ τοιχείου αυτή μέσ ω της J. Επομένως ένας διανυσ ματικός χώρος που δέχεται μιγαδική δομή είναι απαραίτητα άρτιας πραγματικής διάσ τασ ης. Το σ ύνολο των μιγαδικών δομών σ τον V το σ υμβολίζουμε με J V. Παραδειγμα 1.4.2. Στον R 2n θεωρούμε τη γραμμική απεικόνισ η που αντισ τοιχεί σ τον πίνακα J o. Αυτή είναι μια μιγαδική δομή, γιατί J 2 o = id. Μέσ ω του ισ ομορφισ μού R 2n C n x 1,... x n, y 1,... y n x 1 + iy 1,... x n + iy n μπορούμε να ταυτίσ ουμε τον R 2n με τον C n. Παρατηρούμε τότε ότι η J o αντισ τοιχεί σ ε πολλαπλασ ιασ μό με i. Προταση 1.4.3. Εσ τω V πραγματικός διανυσ ματικός χώρος διάσ τασ ης 2n και J J V. Τότε υπάρχει ισ ομορφισ μός διανυσ ματικών χώρων Φ : R 2n V, ώσ τε J Φ = Φ J o.

1.4. MIGADIKES DOMES 27 Αποδειξη. Εσ τω V C = V iv η μιγαδοποίησ η του V dim C V C = 2 dim V 2 = 2n. Αν v 1 + iv 2 V C όρίζουμε J v 1 + iv 2 = Jv 1 + ijv 2. Θεωρούμε τους υποχώρους E ± = ker Id ± ij του V C. Το τυχαίο σ τοιχείο v του V C γράφεται Εχουμε ότι v = v ijv 2 + v + ijv 2 id ± ij v ijv = 1 v ijv ± ijv i 2 J 2 v = 0 2 2 άρα v ijv 2 E ±. Επίσ ης αν v E + E, τότε v + ijv = 0 = v ijv, οπότε v = 0. Επομένως V C = E + E. Επίσ ης u + iv E + u + iv = iju + Jv u = Jv και v = Ju v + iu = Ju + ijv = ij v + iu v + iu E επομένως dim C E + = dim C E, και αφού V C = E + E, προκύπτει dim C E ± = dim C V C /2 = n. Εσ τω w j = u j + iv j, j = 1, 2,... n μια βάσ η του E +, όπου u j, v j E +. Τότε τα v j + iu j, από τα προηγούμενα, είναι μια βάσ η του E. Επομένως τα u j + iv j, v k + iu k j, k = 1, 2,... n. Αποτελούν μια βάσ η του V C και άρα τα u j, v j, j = 1, 2,... n. Είναι μια βάσ η του V. Επίσ ης, αφού w j E +, ισ χύει u j = Jv j και v j = Ju j. Αν x 1,... x n, y 1,... y n η σ υνήθης βάσ η του R 2n ορίζουμε τη γραμμική απεικόνισ η Φ : R 2n V Αυτή είναι προφανώς ισ ομορφισ μός και x i v i y i u j JΦx i = Jv i = u i = Φy i = ΦJ o x i και από γραμμικότητα J Φ = Φ J o. JΦy i = Ju i = v i = Φx i = ΦJ o y i Ορισμος 1.4.4. Εσ τω V, ω σ υμπλεκτικός διανυσ ματικός χώρος. Μια μιγαδική δομή J σ τον V θα λέμε ότι είναι σ υμβατή με την ω ή ω-σ υμβατή αν για κάθε u, v V ισ χύει και ω Ju, Jv = ω u, v δηλαδή η ω είναι σ υμπλεκτομορφισ μός ω u, Ju > 0, για u 0 Το σ ύνολο των ω σ υμβατών μορφών σ τον V, ω σ υμβολίζεται με J V, ω. Για μια μιγαδική δομή J σ τον V, ω όχι απαραίτητα ω σ υμβατή ορίζουμε g J :V V R u, v ω u, Jv Επαληθεύεται άμεσ α ότι η g J είναι εσ ωτερικό γινόμενο αν και μόνο αν η J είναι ω σ υμβατή.