[ ] ( ) [( ) ] ( ) υ

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ) Α Θέτω στη συάρτηση ι οπότε έχω () ( ) Η εξίσωση γίετι η Α η Α δε ισχύει η Α ι ( ) ( ) ( ) τότε ( ) [ ] ( ) Διρίω τις περιπτώσεις άρ δε ισχύει τότε ( ) άρ άρ ισχύει τότε ( ) η Α τότε ( ) άρ δε ισχύει Η εξίσωση ηθεύει ότ όπου Ζ Β Έστω,, R οπότε [ ] ( ) ( ) επομέως Re( ( ) ) ( ) Re( ) [ Im( ) ] ( ) Re ( ( ) ) Re( ) [ Im( ) ] ( ) ( ) () Από () ι () προύπτει ότι ) ) ) ( ΟΑ), ( ΟΒ) () Είι οπότε άρ πό τη () προύπτει ότι ( ΟΒ ), (ΑΒ) διότι ( ) άρ (ΟΑ) (ΟΒ) (ΑΒ) γ) Είι ( ) ( ) άρ Α ισχύει τότε οπότε άρ Από τη προηγούμεη σχέση έχω ή άρ άτοπο Επομέως θ ισχύει η ( ) ( ) ) Είι ι ( ) οπότε ι ( ) Η πράστση Α θέτοτς υ όπου Ζ ι υ,,, γίετι υ υ Α ( ) υ υ ( ) ( ) υ ο Α υ τότε Α ( ) ( ) ( ) ο Α υ τότε Α ( ) ( ) ( ) ο Α υ τότε Α ( ) ( ) ( ) ο Α υ τότε Α ( ) ( ) ( ) ) ) Είι ( ) ( ) [ ] ( ) [( ) ] ( ) υ ( ) [( ) ( ) ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( ) ( )] ( ) Είι της μορφής ι είι η μεσοάθετος του ΑΒ με Α(-,) ι Β(,) Α θέσω,, R η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου γίετι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 η εξίσωση του γεωμετριού τόπου Επειδή το ιείτι επί της ευθείς το εάχιστό μέτρο υτού θ είί η πόστση του Ο(,) πό τη ευθεί υτή, δηδή ) Πρέπει ρούμε τη ιδιότητ του Είι d ( O, ε ) Γεωμετριός τόπος του είι η μεσοάθετη του τμήμτος ΜΝ όπου Μ(-,-) ι Ν(,-) ) ) Τ δεδομέ είι () ι () Επειδή ζητώ το γεωμετριό τόπο του πρέπει ρω μι ισότητ που περιέχει μόο το (δη τη ιδιότητ ) Από τη () ) ή () ( )( Η ισότητ () γίετι ± ± άρ γτ του είι ο ύος με άτρο το Ο(,) ι τί ρ ) Τ δεδομέ είι () ι () Από τη () προύπτει ή οπότε η () γίετι ο Α τότε ( ) άρ γτ του είι ύος με έτρο το Κ(-,-) ι τί ρ ο Α τότε άρ γτ του είι ύος με έτρο το Κ(,) ι τί ρ Α, Β, Γ οι ειόες τω μιγδιώ ριθμώ Γι είι το τρίγωο ΑΒ ΑΓ ΒΓ 6) ) Έστω ( ) ( ) ( ) ΑΒΓ ισόπευρο πρέπει δείξουμε ότι ( ) ( ) ( ) Είι ( ΑΒ ) ( ) ( ΑΓ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΒΓ οπότε ισχύει ( ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) ) Ο τύπος που μς δίει το εμδό ισοπεύρου τριγώου είι ( ) ΑΒ Ε ( ) ΑΒ Με τιτάστση σε υτό έχουμε 7) )Γωρίζω ότι () ι () Από τη () ρίσω το οπότε η () γίετι πό τη οποί προύπτει ότι γτ τω είι ύος με έτρο το Κ(,-) ι τί ρ ) Βρίσω τη εξίσωση του γτ Στη ιδιότητ θέτω,, R

( ) ( ) οπότε έχω ( ) ( ) Η ευθεί που περά πό τη ρχή τω ξόω ι το έτρο του ύου Κ(,-) έχει εξίσωση Λύω το σύστημ τω εξισώσεω ( ) ( ) () Η () γίετι ( ) ( ) ( ) () ( ) ± ή Τ σημεί τομής του ύου ι της διετριής ευθείς θ είι τ Α(,-) ι Β(,-) Οι μιγδιοί ριθμοί που έχου ειόες τ Α ι Β θ είι ι ι έχου μέτρ, άρ ο έχει το μεγύτερο μέτρο ι ο έχει το μιρότερο μέτρο 8) Ατιθιστούμε στη συάρτηση το με, 8,, 8 ι άουμε πράξεις 9) ) τ δεδομέ είι ( ) ι ( ) ( ) Η δεύτερη ισότητ όγο της πρώτης γίετι ( )( ) ( )( ) άρ R ) Είι ( ) άρ γτ του είι η μεσοάθετη του τμήμτος ΑΒ όπου Α(,-) ι Β(,) δηδή η ευθεί με εξίσωση γ) Τ δεδομέ είι ( ) () ι Re ( ( ) ), ( ), R οπότε έχω επομέως θ είι () Θέτω στη () ( )( ) Η εξίσωση υτή είι της μορφής Α Β Γ με Α, Β -, Γ άρ είι ύος που περά πό τη Α Β Γ ρχή τω ξόω με έτρο το σημείο Κ, ι τί ρ ) ) Με τιτάστση έχω ( ) ( ) ( ) ( ) άρ Re ( ) ι Im( ) ) Επειδή οι ειόες του ιούτι στη ευθεί θ τη επηθεύου θέτοτς όπου χ το πργμτιό μέρος ι όπου ψ το φτστιό μέρος του όπότε θ έχω 8 επομέως η ειό του θ ιείτε στη ευθεί ) Χρησιμοποιούμε τη τριγωιή ισότητ στους μιγδιούς ριθμούς () Έχω ( ) ι οπότε θ έχω πό τη () 8 Επομέως η μέγιστη τιμή του μέτρου του θ είι 8 ι η μιρότερη

) ος Τρόπος H δεδομέη σχέση γίετε ( Το μέτρο εός μιγδιού είι ίσο με το μέτρο του συζυγούς ) οπότε, άρ ο γεωμετριός τόπος του είι η μεσοάθετος του τμήμτος ΑΒ όπου Α(,-) ι Β(,) Α θέσουμε τ σημεί υτά στους άξοες έπουμε ότι η μεσοάθετος είι ο άξος χχ ος Τρόπος H δεδομέη σχέση με τιτάστση,, R γίετε ( ) ( ) ( ) ( ) που είι η εξίσωση του άξο χχ ) Είι Οπότε Επομέως ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ) ) Είι ( ) ( ) ( ) ( ) θέτω ( ) ( ),, R οπότε έχω 6 6 άρ είι ύος που περά πό τη ρχή τω ξόω ι έχει 6 6 έτρο το Κ(,) ι τί ρ, ετός του σημείου (,) διότι ) Η ευθεί που περά πό το Ο(,) ι πό το έτρο Κ(,) είι η Τ σημεί τομής της ευθείς ι του ύου είι η ύση του συστήμτος η οποί είι (,) ι (6,6) Άρ ο μιγδιός με το μιρότερο μέτρο 6 6 είι ο που πορρίπτετε ( διότι ) ι ο ριθμός με το μεγύτερο μέτρο είι ο ) Είι 6 6 με μέτρο 6 6 6 ο Α Α ( ) ( ) ( ) τότε ο Α τότε ο Α τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α Α Α ( ) ( ) ( ) ο Α τότε Α Άρ οι διφορετιές τιμές που μπορεί πάρει η πράστση Α είι ι ( ) ( ) 6) ) ( )( ) ) Το έτρο Κ(,) είι η ειό του μιγδιού Γι ήει η ειό του στο ύο με έτρο το Κ ι τί ρ πρέπει δείξω ότι Πράγμτι είι ( ) ( )

7) ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) [ ] ( ) 8) ) Η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου είι 6 η οποί θέτοτς, R γίετι 6 6, ( ) ( ) ( ) 6 6 6 Άρ ο γεωμετριός τόπος είι ύος με έτρο το Ο(,) ι τί ρ ) Η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου είι ( ) ( ) Άρ ο γεωμετριός τόπος είι η μεσοάθετη του τμήμτος ΑΒ όπου Α(,) ι Β(,) που προφώς είι η ευθεί με εξίσωση, ) Έστω,, R οπότε η εξίσωση γίετι 9) ) ( ) ι οπότε ± Άρ οι ύσεις είι ι ) Είι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είι πργμτιός ως άθροισμ συζυγώ μιγδιώ ριθμώ ) Στη ισότητ θέτω,, R οπότε έχω ( ) () ι () Από τη () ( ) ή Α τότε πό τη () έχω που έχει Δ 8 7 < δύτη στο R Α τότε πό τη () έχω επομέως ) Οι ρίζες, της εξίσωσης θ τη επηθεύου οπότε ι Είι ( ) ( ) () Από τριγωιή ισότητ έχω ( ) ( ) με τιτάστση γίετι άρ, επομέως η μεγύτερη τιμή είι το

6 ) Τ δεδομέ είι ( ) () ι ( ) () Στη () θέτω όπου το ι γίετι Η () γίετι ) Είι V W, άρ ι ( ) W Επομέως V W V ( ) ( ) V W V W Άρ σωστό το Β ) Είι W W άρ είι φτστιός ριθμός επομέως ( ), W R W Άρ σωστό το Α 6) Από τη συάρτηση ( ) έχω ( ), ( ) ( ), ( ) οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) 7) Επειδή () ι () Γι είι ο ριθμός ω πργμτιός ρεί ποδείξουμε ότι ω ω Πράγμτι ω ω 8) ) (Λ) ι ) (Σ) 9) Έστω, ι, οπότε οι ειόες υτώ θ είι τ σημεί ( ),, ( ), ι Α Β ( ), Γ Επειδή τ σημεί Α, Β, Γ είι συευθειά θ ισχύει ΑΓ ΑΒ R ( ), ι ( ) Είι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ) Η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου είι ( ) ( ) 9 7 9 7 Ο γεωμετριός τόπος είι η μεσοάθετη του τμήμτος ΑΒ όπου Α(,) ι Β(7,9) Γι ρω τη εξίσωση του γεωμετριού τόπου θέτω R,, Η ιδιότητ γίετι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7

7 Είι ε άρ ΟΚ ΟΚ ε επομέως η εξίσωση της ΟΚ είι Το σύστημ ι έχει ύση, άρ Κ(,) ι ο ζητούμεος μιγδιός ριθμός είι ) Ισχύει 9 9 9 9 ( 9)( 9) ( )( ) διότι ( ) ( )( ) ( )( ) 9 7 7 8 8 6 6 () ( )( ) Θέω δείξω ότι 9 το οποίο ισχύει όγο της () ) ) Είι ( ) Άρ ο γεωμετριός τόπος είι ύος με έτρο Κ(,-) ι τί ρ ) Η εξίσωση της ευθείς ΟΚ είι Η εξίσωση του ύου είι ( ) ( ) Τ οιά σημεί της ευθείς ΟΚ ι του ύου είι Α(6,-) ι Β(-,8) που είι οι ειόες τω μιγδιώ 6 ι 8 Τ μέτρ υτώ είι 6 8 8 ι 8 8, άρ ο μιγδιός με το μιρότερο μέτρο είι ο 8 ή Άρ (Λ) ) Οι μιγδιοί ριθμοί ( ) ι ( ) είι συζυγείς, άρ το άθροισμ τους θ είι πργμτιός ριθμός Άρ είι (Λ) Από τη τριγωιή ισότητ ) ) ( ) ( )( ) ) Είι ( ) ( ) ( ) ( ) προύπτει ότι 6 Η τεευτί σχέση στο επίπεδο πριστά δτύιο με έτρο το Κ(-,-) ι τίες ι 6

8 ) Η ιδιότητ του μιγδιού είι, άρ η ειό του ιείτι σε ύο με έτρο το Ο(,) ι τί ρ Η ιδιότητ του μιγδιού είι R ( )( ) ( ) ) ( ( )( ) ( )( ) ( ) Στη τεευτί θέτω R οπότε έχω, άρ η ειό του ιείτι σε ύο με έτρο Κ(,-) ι τί ρ,, ( ) 8 6 8 ( Ν σχεδιστού οι ύοι στο μιγδιό επίπεδο ) Από το σχήμ προύπτει ότι τ σημεί που έχου τη μεγύτερη πόστση είι τ (,) ι (, ) που είι οι ειόες τω μιγδιώ ( ), ι η μέγιστη πόστση είι 6) Είι ( ) ι ( ) οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, 7) ) Γι είι το τρίγωο ΟΜ Μ ισόπευρο πρέπει δείξουμε ότι (ΟΜ )(ΟΜ )(Μ Μ ) Είι (ΟΜ ), (ΟΜ ) ι (Μ Μ ) Είι ( )( ) Είι ( ) ( ) Άρ (ΟΜ )(ΟΜ )(Μ Μ ) ) Αποδείχθηε ότι ομοίως οπότε 666 666 () Από τη ισότητ με ύψωση στο τετράγωο έχω ι όγο της () θ είι 8) Ίδι με τη () 9) Είι ( )( ) ( ) Γι είι R ρεί δείξω ότι Πράγμτι είι

9 ) Είι ( )( ) () 666 () 666 είι ( ) ( ) () Από τη () ι () προύπτει ότι ) Έστω ότι ο ριθμός είι πργμτιός, τότε πό τη δεδομέη σχέση έχω 999 999 ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ι η ρχιή σχέση γι γίετι 999 (άτοπο) Άρ ο δε είι πργμτιός ) ) Η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου του είι άρ ο γεωμετριός τόπος είι ύος με έτρο Κ, ι τί ρ ) Είι ( )( ) 6 6 8 Η προς πόδειξη γίετι 999 ( )( ) ( )( ) γ) Αρεί δείξω ότι Πράγμτι είι () Από το () ερώτημ ποδείξμε ότι ( )( ) ( )( ) (ισχύει) ( )( ) ( )( ) ) Είι 9 9 9 ( 9) ( 9) 9( )( ) 8 7 ) Έστω,, R Η δεδομέη σχέση γίετι > ( ) > ( ) > < < Re( ) ) Η ιδιότητ του γεωμετριού τόπου γίετι 9 < ( )( ) ( )( ) Άρ ο γεωμετριός τόπος είι ύος με έτρο Ο(,) ι τί ρ 6) Η προς πόδειξη σχέση ισοδύμ γίετι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) Σημείωση : Γωρίζουμε ότι ( ) ι ( ) 7) Τ δεδομέ είι () ι () Η () όγο της () γίετι () Η () όγο της () γίετι (ισχύει)

( ), είι Δ 8 > άρ πργμτιός ι όγο της () ι θ είι πργμτιός 8) () Θέτω,, R Επειδή ( ) ( ) θ είι ι οπότε άρ ( ) 7, άρ γεωμετριός τόπος του είι η ευθεί (ε) με εξίσωση 7 () Σχεδιάζω τη ευθεί (ε) στο μιγδιό επίπεδο ι έστω (ζ) η ευθεί που περά πό το (,) ι είι άθετη στη (ε) Ο ζητούμεός μιγδιός θ έχει ειό το σημείο τομής τω ευθειώ (ε) ι (ζ) Είι ε άρ ο συτεεστής διεύθυσης της (ζ) θ είι ζ 7 7 ι θ έχει εξίσωση Λύω το σύστημ, 7 Άρ 9) Θέτω,, R Επειδή e e οπότε, e, άρ e ) Θέτω,, R Θ είι Γι είι ο φτστιός ριθμός πρέπει ( ) οπότε ή Άρ ο γεωμετριός τόπος του είι ο άξος ψψ ετός πό το σημείο (,) ι ο ύος με έτρο το (,) ι τί ρ ) Είι ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( [ ) () Επειδή R ( ) ( ) R I Άρ πό τη () προύπτει ότι ) ) Είι R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θέτω,, R οπότε θ έχω Άρ γεωμετριός τόπος του είι η ευθεί με εξίσωση ) Είι I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ γεωμετριός τόπος του είι ο ύος με έτρο το (,) ι τί ρ ) Είι 9 ) Θ είι, R, οπότε θ είι ( ) ( ) ( ) < διότι Δ < ) Είι ( )( )( ) Διρίω τις περιπτώσεις :, R τότε ( )( )( ) 8 τότε ( )( )( ), R τότε ( )( )( ), R τότε ( )( )( ), R

[ ] ( ) 6) Είι ( ) ( ) ι ( ) ( ) Άρ ισχύει ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 7) Εστω ( ) ι γ δ γ ( γ ) γ γ γ γ άρ γ ι γ οπότε, γ άρ ι 8) ) το Ε ) σωστό ) άθος v) σωστό Θ είι ( ) ( ) ( ) ( ) 9) ) Γωρίζω ότι ι, επομέως ( ) ( ) Θέτω,, R οπότε [( ) ( ) ]( ) [( ) ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ι άρ ι επομέως ( ) ) () Γωρίζω ότι ι πό τη πρώτη έχω ( ) Άρ ο γεωμετριός τόπος του είι ο ύος με έτρο το Κ(,-) ι τί ρ () Είι ΟΚ άρ η εξίσωση της ευθείς ΟΚ είι Η εξίσωση του ύου είι ( ) ( ) Λύω το σύστημ ι ρίσω, ι, οπότε οι ζητούμεοι μιγδιοί είι ι 6) ()Είι (γ) Είι ( η διάμετρος του ύου ) ( ) ( ) [( ) ( ) ]( ) ( )( ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 7 άρ ισχύει () Πρέπει 7 7 Άρ γεωμετριός τόπος του είι η ευθεί με εξίσωση 7 7 7 (γ) Η ειό του μιγδιού που έχει το μιρότερο μέτρο είι Α, ι ο μιγδιός είι 7 7

6) Ετεούμε τις πράξεις 6) () Είι 8 ( 8) [ ( 8) ]( [ 6) ] [ ( 6) ( 8) ] [( 6)( 8) ] 6 ( 6) [( 6) ]( [ 6) ] ( 6) ( 6) ( 8) ( 6)( 8) ( 6) ( 6) () Α Im ( ) τότε ( 6 )( 8) 8 6 8 (γ) Α Re ( ) τότε ( 6) ( 8) 6 8 6) Εστω ι ( ) ( ) ι ( ) ( ), άρ ι ( ) Επομέως ( ) [ ( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) ( ) Γι είι I θ πρέπει ( ) ( ) Α Β Γ 9 > Είι ύος με έτρο Κ, ι ρ 6) Θ είι π υ, π υ, μ π υ π υ ( υ το οιό υπόοιπο) π π π π υ οπότε 66) Είι ι 999, ( ) υ π π π π ( ) ( ) R 999 999 ( ) άρ 999 999 999 ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ] 999 999 999 999 999 999 999 I Η δεδομέη ισότητ γίετι ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) Η τεευτί ισότητ ισχύει ότ όπου Ν 67) Είι ( ) 68) ( ) ( ) ( ) [ ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]( ) [ ( ( ) )] 69) ( ) ( ) ( ) ( ) Re ( ( ) ) [ ( ( ) )] Άρ ο γεωμετριός τόπος του είι η ευθεί με εξίσωση ( ο άξος ψψ ) ετός πό το σημείο (,) διότι 7) ) Θέτω,, R οπότε () ι () Από τη () έχω ι η () γίετι ( ) Αρ γεωμετριός τόπος του η ευθεί με εξίσωση (ε) : ) Είι ε Η άθετη πό το (,) στη (ε) θ έχει ι εξίσωση 999

Λύω το σύστημ ι το οποίο έχει ύση Άρ ο ζητούμεος μιγδιός είι 7) Θέτω, R οπότε Επειδή R,, ( ) ( ) ( ) ( ) θ ισχύει ( ) άρ ή Άρ ο γεωμετριός τόπος είι οι ευθείες με εξισώσεις ( ο άξος χχ ) ι 7) Θέτω,, R, οπότε ( ) Επειδή ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) Re ( ( ) ) Κ, ι τί ( ) ρ Α Β Γ ( ) Άρ είι ύος με έτρο ( ) 7) Είι ετός του σημείου (,) () ι () Από τη () προύπτει ή τότε πό τη () έχω ( ) Α Επομέως ή ±,, Α τότε πό τη () έχω Άρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) Α τότε Α Α τότε Α Α τότε Α Α > τότε, Ν οπότε ( )( ) 7) Είι ( )( ) ( ) ( ) Α ( ) Α [ ] υ υ υ Άρ Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) υ Α υ τότε ( ) ( ) Α ( ) ( ) Α υ τότε Α υ τότε Α ( ) ( ) Α υ τότε Α ( ) ( ) 76) Είι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ, ι τί ρ Α Β Γ Είι ύος με έτρο

77) Είι ( ) () Από τη τριγωιή ισότητ έχω : ( ) όγο της () ι 6 78) Θέτω,, R Η εξίσωση γίετι : άρ ισοδύμ προύπτει ότι () ι () Η () όγο της () γίετι πρέπει είι, οπότε η εξίσωση με ύψωση στο τετράγωο ισοδύμ γίετι άρ δετή διότι Άρ 79) Θέτω,, R Είι () Είι ι πό τη () έχω ( )( ) ± Άρ ι 8) 9 9 9 ( 9) ( 9) 9( )( ) 9 9 8 9 9 9 9 8 7 9 8) ( ) ( ) ( )( ) 6 Είι ύος με έτρο (,) ι τί ρ 8) Είι ( ) άρ η ειό του ιείτι σε ύο με έτρο Κ(,-) ι τί ρ Είι ( ) άρ η ειό του ιείτι σε ύο με έτρολ(,) ι τί ρ Α Μ ι Ν οι ειόες τω ι τότε ( ΜΝ) (ΚΛ) Είι ( ) ρ ρ ( ΜΝ) ( ΚΛ) ρ ρ ΚΛ 8 8) ) Είι R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θέτω,, R οπότε θ έχω Άρ γεωμετριός τόπος του είι η ευθεί με εξίσωση ) Είι I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ γεωμετριός τόπος του είι ο ύος με έτρο το (,) ι τί ρ 8) Επειδή ο ήει σε ύο με έτρο (,) ι τί ρ θ ισχύει () Είι ( )

() Επειδή ι θ ισχύει ι Είι u u (γ) Είι v v Άρ v I 8) ) Α, ) Α, ) Β, v) Β Άρ u R