ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο θεωρία σελ. Α. Σχολικό βιβλίο θεωρία σελ. 5 Α. Η Τ είναι αράγωγος της f Η H είναι αράγωγος της g Α. α) Ψευδής β) Αν f() =, ΙR * και g() =, ΙR * τότε lim f () = και =. lim g() ενώ f() g() = = και lim ( f g) = Α5. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος. ΘΕΜΑ Β, > f() = Α = ΙR α, Β. Η f είναι συνεχής στο (,) ως ολυωνυμική και στο (, ) ως ρητή για κάθε α ΙR. Αρκεί να είναι συνεχής και στο o =. Δηλαδή lim f () = lim f () = f () lim ( α) = lim = α α= α= Β., > Για α = f() = και στο,,, < Είναι f() =,
Η f είναι συνεχής στο ΙR άρα και στο, ΙR Η f είναι αραγωγίσιμη στο, με f () = ( ) = και στο (,) με f () = = = f () f () ( )( ) Στο o = lim = lim = lim = f () f () και ( ) lim = lim = lim = lim = ( ) = lim = f() f() f() f() Εειδή lim lim η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο o =. Άρα η F δεν ικανοοιεί όλες τις υοθέσεις του θεωρήματος Roll στο,. Β. Αν A(,f( )) o o cf η εφατομένη της c f στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f ( o). Η ευθεία y = έχει συντελεστής διεύθυνσης λ =. Αν o (,) f 65 ( o) = o = o =. Άρα A, 6 Αν o (, ) o = f ( o) = = o = ή o = (αορ.) Άρα Α=, o Β. Για f() = και δεν υάρχουν ασύμτωτες.
Για > lim f () = lim = lim =. Άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη c f στο. Για < f () = () = >. Η f κυρτή στο (,). Για > f () = = >. Η f κυρτή στο (, ). Πίνακας ροσήμου της f () f() - y Πίνακας μεταβολών f() - ΘΕΜΑ Γ f :, ΙR f() = ημ [ ] Γ. f () (ημ ) = συν =, [, ] f () = συν = συν = = [, ] Η f είναι συνεχής συνάρτηση, άρα διατηρεί ρόσημο στα διαστήματα, και, Με τη μέθοδο των ειλεγμένων τιμών βρίσκουμε το ρόσημο της f. Για = f = συν = > f () > για, Για = f = συν = < f () < για, - f()
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Παρουσιάζει μέγιστο (ολικό) για = το f = και τοικά ελάχιστα για = το f() = και για = το f() =. Εειδή η f είναι συνεχής στο [,] το f() = είναι ολικό ελάχιστο της f. Γ. Είναι f () = (συν ) = ημ < για κάθε (, ). Άρα η f είναι κοίλη στο [,]. Συνεώς η c f έχει σε κάθε σημείο της μοναδικό κοινό σημείο με την εφατομένη το σημείο εαφής. (Η c f βρίσκεται "κάτω" αό την εφατομένη για κάθε, με εξαίρεση το σημείο εαφής). Γ. I = f()συνd = (ημ - )συνd = ημσυνd συνd I I συν συν συν = = = = = I συνd (ημ) d [ ημ] ημd [ συν] I ημd = = = = = = συν συν = Άρα Ι = ( ) =. f() ημ ημ Γ.α) lim = lim = lim = = β) f() f()ln = ημ (ημ ) ln lim(ημ ) = ημ lim(ημ ) ln = lim ( ln ) = = ημ ημ lim = lim = = ( ln ) και lim( ln ) = lim = lim = lim( ) =. DLH γιατί:
5 ΘΕΜΑ Δ ln( ) f : (, ) ΙR f() = Δ. ln( ) > ln( ) >. Θεωρούμε g() = ln( ), [, ) Είναι g () = = = > για κάθε >. ( ) ( ) ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Εομένως για > g g() > g() ln( ) > ln( ) > ln( ) Δ. Είναι f () = < για κάθε > (λόγω Δ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), συνεώς " ", άρα αντιστρέφεται. f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ = (, ). Άρα f( ) = ( lim f(),limf() ) = (,) =Α ( ) γιατί lim f () = lim = και DLH ( ln( ) ) lim f () = lim = lim =. DLH f() f() f() Δ. Είναι ( ) f() > ln ( f () ) ( ) f() > f() > ln f() > ln f ( ) ln f() > f()ln > ln f f() > f() f() f f() < (Ισχύει, αφού f(δ) = (,)). Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ( )f(α) ( )f (α) ( )( )ημ(α), [,]. Η h είναι συνεχής στο [,] και στο [,] ως ολυωνυμική. h() = ημ(α) > γιατί < α < < α <. Άρα ημ(α) >.
6 h() = f (α) < γιατί, < f(α) < h() = f (α) > γιατί f (α) A f = (, ). Εομένως h() h() < και h() h() <. Σύμφωνα με τα θεώρημα Bolzano η εξίσωση h() = ( )f(α) ( )( )ημ(α) = f(α) f (α) ημ(α) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) και μία τουλάχιστον στο (,). Εομένως έχει τουλάχιστον λύσεις στο (,) ου είναι μοναδικές, γιατί η εξίσωση h() = είναι ου βαθμού, εομένως έχει το ολύ λύσεις. Δ5. Αρκεί να δείξουμε ότι e e ln < F() < ln ln < F() < ln ( ) ln(e ) e ln eln < F() eln < (e )ln ln(e ) eln ( e) ln < F() F(e) < ln ln(e ) (e ) ln > F(e) F() > ln ln(e ) F(e) F() ln(e ) ln ln > > () e e Η F είναι συνάρτηση συνεχής στο [,e] και αραγωγίσιμη στο (,e) ως αράγουσα συνάρτηση. Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,e) τέτοιο ώστε να ισχύει: F(e) F() F(e) F() F(ξ) = f(ξ) = e e f Όμως ξ (,e) < ξ < e f() > f (ξ) > f (e) F(e) F() ln(e ) ln > >. e e Εομένως αοδείξαμε το αριστερό σκέλος της (). Για να ισχύει και το δεξιό σκέλος της () αρκεί να αοδείξουμε ότι ln(e ) ln(e ) ln > (e ) ln(e ) > e ( ln(e ) ln ) e e e ln(e ) ln(e ) > e ln(e ) e ln e e e ln(e ) < ln e < e < (ισχύει) (αφού e e e > > > > e) SCIENCE PRESS ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ