Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Κεφάλαιο 2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσονται στοιχειώδεις μέθοδοι για τον αναλυτικό προσδιορισμό των λύσεων απλών συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της γενικής μορφής y (x) = f(x,y(x)), x I, (2.0.1) και αναφέρονται ορισμένες βασικές εφαρμογές των εξισώσεων αυτών. Οι αναπτυσσόμενες μέθοδοι αφορούν την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χωριζομένων μεταβλητών, ομογενών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, ακριβών διαφορικών εξισώσεων καθώς επίσης και διαφορικών εξισώσεων Bernoulli και Ricatti. 2.1 Διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών Μία Δ.Ε. πρώτης τάξης της μορφής y = g(x)h(y), (2.1.1) ονομάζεται διαχωρίσιμη Δ.Ε. ή Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Ο διαχωρισμός των μεταβλητών x και y στα μέλη της εξίσωσης καθιστά δυνατή την αόριστη ολοκλήρωση κάθε μέλους της εξίσωσης χωριστά. Η(2.1.1)αποτελείμίαειδικήκατηγορίατης(2.0.1)για f(x,y) = g(x)h(y),δηλαδήόπου τοδεξιόμέλοςεκφράζεταιωςγινόμενομιαςσυνάρτησηςτου xεπίμίαςτου y. Για να λύσουμε τη Δ.Ε.(2.1.1) ακολουθούμε την εξής διαδικασία. (i)πρώταλύνουμετηνεξίσωση h(y) = 0. Μίαρίζα ρτης h(y) = 0οδηγείστηλύση y(x) = ρτηςδ.ε.(2.1.1).οισταθερέςλύσειςτης(2.1.1)πουαντιστοιχούνστιςρίζεςτης h(y) = 0 αναφέρονται ως ιδιάζουσες λύσεις της Δ.Ε. 29

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ (ii)για h(y) 0,διαιρούμεκαιταδύομέλημετην h(y)καιοδηγούμαστεστην y (x) h(y) = g(x), h(y) 0. (2.1.2) Λαμβάνονταςυπόψηότι y = y(x),οπότε dy = y (x)dx,ολοκληρώνονταςκαιταδύο μέλη της τελευταίας ως προς x, έχουμε y (x) h(y(x)) dx = g(x)dx, (2.1.3) δηλαδή dy h(y) = g(x)dx. (2.1.4) 1 Αν H(y) είναι μία παράγουσα της h(y) και G(x)μίαπαράγουσατης g(x)τότετογενικό ολοκλήρωμα της(2.1.1) είναι H(y) = G(x)+c, (2.1.5) όπου c αυθαίρετη σταθερά. Ετσι, το αρχικό πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση των αόριστων ολοκληρωμάτωντωνσυναρτήσεων 1 hκαι g. Η διαδικασία επίλυσης της(2.1.1), που περιγράφτηκε παραπάνω, αναφέρεται ως χωρισμός μεταβλητών. Οταν πρόκειται για Π.Α.Τ. της μορφής y (x) = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 0, (2.1.6) ηαρχικήσυνθήκη y(x 0 ) = y 0 χρησιμοποιείταιγιατηνκατάλληληεπιλογήτηςσταθεράς c. Ιδιαιτέρως, σημειώνουμε ότι οι σταθερές συναρτήσεις y(x) = ρ, που αντιστοιχούν στις ρίζες ρτης h(y) = 0,δενμπορούννααποτελούνλύσειςτουΠ.Α.Τ.αν y 0 ρ. Παράδειγμα 2.1.1 Λύστε το Π.Α.Τ. y e x y = 0, y(0) = 1. Λύση. Ακολουθώντας τη διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών, έχουμε e y dy = e x dx, και ολοκληρώνοντας e y dy = e x dx+c,

2.1. Δ.Ε.ΧΩΡΙΖΟΜ ΕΝΩΝΜΕΤΑΒΛΗΤ ΩΝ 31 προκύπτει e y = e x +c. Μεεφαρμογήτηςαρχικήςσυνθήκηςυπολογίζουμεότι c = e 1,καιάρα e y = e x +e 1, από όπου μπορούμε και να λύσουμε εκπεφρασμένα ως προς y y(x) = ln(e x +e 1). Σημειώνουμε ότι η λύση του τελευταίου παραδείγματος ορίζεται για κάθε τιμή της ανεξάρτητηςμεταβλητής x,διότι e x + e 1 > 0, x R. Αυτόόμωςδενείναιπάνταέτσι, όπως φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα, και άρα πρέπει να γίνεται έλεγχος για το μεγαλύτερο διάστηματης xπουορίζεταιηλύση y. Παράδειγμα 2.1.2 Λύστε το Π.Α.Τ. e x e y y e y = 0, y(0) = 0. Λύση. Ακολουθώντας τη διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών, λαμβάνουμε e x e y dy = e y dx, ισοδύναμα e 2y dy = e x dx, και ολοκληρώνοντας e 2y dy = e x dx+c, προκύπτει 1 2 e2y = e x +c. Θέτοντας c 1 = 2c,έχουμε e 2y = 2e x +c 1.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Εφαρμόζονταςτηναρχικήσυνθήκη y(0) = 0,βρίσκουμε c 1 = 3,καιέτσιτελικάηλύσητου Π.Α.Τ. προκύπτει να είναι e 2y = 3 2e x, η οποία σε εκπεφρασμένη μορφή γράφεται ως y(x) = 1 2 ln(3 2e x ). Ητελευταίαλύσηορίζεταιγια 3 2e x > 0 x > ln(2/3).υπενθυμίζουμεότιηλύση ενόςπ.α.τ.πρέπειπάνταναορίζεταισεέναδιάστημαπουπεριέχειτοαρχικόσημείο x 0. Εδώ,πράγματιείναιέτσιδιότι 0 ( ln ( 2 3),+ ). Στα προηγούμενα παραδείγματα βρήκαμε τις γενικές λύσεις των Δ.Ε., δηλαδή τις συναρτήσεις y(x) σε εκπεφρασμένη μορφή που τις επαληθεύουν. Αυτό, όμως δεν είναι πάντα εφικτό, όπως δείχνεται στο ακόλουθο παράδειγμα στο οποίο μπορούμε να βρούμε μόνο το γενικό ολοκλήρωμα. Παράδειγμα 2.1.3 Λύστε το Π.Α.Τ. (1+x 4 )yy x 3 (y 2 +1) = 0, y(1) = 1. Λύση. Εχουμε διαδοχικά ότι ισοδύναμα από όπου με αόριστη ολοκλήρωση y y 2 +1 dy = έχουμε (1+x 4 )ydy x 3 (y 2 +1)dx = 0, y y 2 +1 dy = x 3 1+x 4dx, x 3 1+x 4dx+c 1, 1 2 ln y2 +1 = 1 4 ln 1+x4 +c. Γράφονταςτησταθερά cστημορφή 1 4 lnc 1, c 1 > 0,έχουμε (y 2 +1) 2 = c 1 (x 4 +1),

2.1. Δ.Ε.ΧΩΡΙΖΟΜ ΕΝΩΝΜΕΤΑΒΛΗΤ ΩΝ 33 που είναι το γενικό ολοκλήρωμα της Δ.Ε. Γιαναβρούμετημερικήλύση,ηοποίαικανοποιείτηδοσμένηαρχικήσυνθήκη y(1) = 1, θέτουμε x = 1και y = 1στηγενικήλύσηκαιλαμβάνουμε c 1 = 2. Ετσι,ηζητούμενηλύση του Π.Α.Τ. είναι (y 2 +1) 2 = 2(x 4 +1), η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή y 2 = 1+ 2(x 4 +1). Τέλος, στο ακόλουθο παράδειγμα διασαφηνίζεται ότι πρέπει να γίνεται κατάλληλος έ- λεγχοςστιςρίζεςτηςσυνάρτησης h(y),οιοποίες(σύμφωναμετοβήμα (i)τηςγενικής μεθοδολογίας) πάντα αποτελούν λύσεις της Δ.Ε. Παράδειγμα 2.1.4 Λύστε τη Δ.Ε. (x 2 1)yy +2x(y +y 2 ) = 0, x > 1. Λύση. Εφαρμόζουμε τη διαδικασία χωρισμού μεταβλητών (x 2 1)ydy = 2x(y +y 2 )dx, καιγια y +y 2 0,δηλαδή y 0και y 1,έχουμε 1 2x dy = y +1 x 2 1 dx, οπότε με αόριστη ολοκλήρωση 1 y +1 dy = λαμβάνουμε 2x x 2 1 dx+c, ln y +1 = ln x 2 1 +c. Λαμβάνονταςυπόψηότι x > 1καιθέτοντας c 1 = e c,προκύπτει y +1 (x 2 1) = c 1, απότηνοποίαπαίρνουμετηγενικήλύσητηςδ.ε. y(x) = 1+ c 2 x 2 1, c 2 0.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Πρέπειναεξετάσουμεξεχωριστάτις y = 0και y = 1πουείναικαιοιδύολύσεις της Δ.Ε. και τις οποίες είχαμε εξαιρέσει νωρίτερα στη διαδικασία χωρισμού μεταβλητών. Η y = 1μπορείναπροκύψειαπότηγενικήλύσηγια c 2 = 0. Ομως,ηy= 0δενλαμβάνεται απότηγενικήλύσηγιακαμίατιμήτηςσταθεράς c 2. Άρα, τελικά, όλες οι λύσεις της Δ.Ε. δίνονται από y(x) = 1+ c 2 x 2 1, c 2 R, και y(x) = 0. 2.2 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις Μια Δ.Ε. της μορφής y (x) = F ( y x), x 0, (2.2.1) δηλαδήτηςοποίαςησυνάρτησηδευτέρουμέλουςεξαρτάταιμόνοαπότοπηλίκο y x καιόχι από τις μεταβλητές x και y ξεχωριστά, ονομάζεται ομογενής. Η ορολογία ομογενής, η οποία χρησιμοποιείται εδώ, είναι διαφορετική εκείνης της ομογενούς γραμμικής Δ.Ε.(1.1.3). Για να λύσουμε την(2.2.1) κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y(x) = xu(x), (2.2.2) οπότε και έτσι η(2.2.1) γράφεται ήισοδύναμα y (x) = u(x)+xu (x), xu +u = F(u), u = F(u) u. (2.2.3) x Η(2.2.3) είναι Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών και λύνεται, σύμφωνα με τα αναφερόμενα στην προηγούμενη παράγραφο. Ετσι, λαμβάνουμε du dx F(u) u = x, (2.2.4) οπότε G(u) = ln x +c, (2.2.5) οπου G(u)είναιμίαπαράγουσατης 1 F(u) u.

2.2. ΟΜΟΓΕΝΕ ΙΣΔ.Ε. 35 Εισάγοντας στην(2.2.5) το μετασχηματισμό(2.2.2), λαμβάνουμε το γενικό ολοκλήρωμα της αρχικής Δ.Ε.(2.2.1). ( y G = ln x +c, (2.2.6) x) Παράδειγμα 2.2.1 Λύστε τη Δ.Ε. y = e 2y x + y x, x 0. Λύση.ΗΔ.Ε.είναιτηςμορφής(2.2.1)με f(x,y) = e 2y x + y x F ( y x Για τη λύση της κάνουμε την αντικατάσταση(2.2.2) και ευρίσκουμε οπότε xu +u = e 2u +u, xu = e 2u. Η τελευταία είναι Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών, η οποία επίσης γράφεται ). e 2u u = 1 x, και μετά από αόριστη ολοκλήρωση ευρίσκουμε 1 2 e 2u = ln x +c. Απότηντελευταίαθέτοντας u = y x και c = lnc 1,λαμβάνουμετογενικόολοκλήρωμα 1 2 e 2y x = ln c 1 x, απότοοποίοπροκύπτειηγενικήλύσητηςδ.ε. y(x) = x 2 ln( 2ln c 1x ).

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Με την ίδια διαδικασία επιλύονται και Δ.Ε. της μορφής y (x) = p(x,y), x 0, (2.2.7) q(x,y) όπουοισυναρτήσεις p(x,y)και q(x,y)είναιομογενείςωςπρος xκαι yτουίδιουβαθμού ομογένειας m, δηλαδή ισχύουν p(λx,λy) = λ m p(x,y) και q(λx,λy) = λ m q(x,y), (2.2.8) οπότε ( p(x,y) = x m p 1, y ) x ( και q(x,y) = x m q 1, y ), (2.2.9) x και έτσι η(2.2.7) γράφεται y (x) = p( 1, y ) x q ( 1, y ) = P ( y) x x Q ( y). (2.2.10) x Για τη λύση της(2.2.10) ακολουθούμε τη διαδικασία επίλυσης της(2.2.1). Παράδειγμα 2.2.2 Λύστε τη Δ.Ε. y (x) = x2 +y 2 3xy, x 0. Λύση. Η Δ.Ε. είναι της μορφής(2.2.7), όπου ( ) y 2 p(x,y) = x 2 +y 2 = x (1+ x) 2 και q(x,y) = 3xy = x 2( 3 y x ), είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού 2. και Ετσι, θέτουμε ( y P x) ( y ) 2, = 1+ x ( y Q = 3 x) y x, και οδηγούμαστε στη Δ.Ε. y (x) = 1+( y) 2 x 3 y. x Εφαρμόζοντας στην τελευταία την αντικατάσταση(2.2.2), λαμβάνουμε u x+u = 1+u2 3u,

2.3. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε. 37 η οποία ισοδύναμα γράφεται 3u 4u 2 +1 u = 1 x, και η οποία είναι Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Ετσι, με αόριστη ολοκλήρωση ευρίσκουμε από την οποία έχουμε 3 8 ln(4u2 +1) = ln x +c, ln[(4u 2 +1) 3 x 8 ] = 8c. Απότηντελευταίαγια u = y x και 8c = lnc 1,λαμβάνουμετογενικόολοκλήρωματηςΔ.Ε. x 2 (4y 2 +x 2 ) 3 = c 1. 2.3 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Μια Δ.Ε. της μορφής y = p(x)y +q(x), (2.3.1) όπουοισυναρτήσεις p,q : I R Rείναισυνεχείςσεέναδιάστημα I,λέγεταιγραμμική Δ.Ε. πρώτης τάξης. Η γενική λύση της Δ.Ε.(2.3.1) ευρίσκεται με εφαρμογή της λεγόμενης μεθόδου ολοκληρωτικού παράγοντα, η οποία περιγράφεται ως εξής. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της(2.3.1) με μία άγνωστη(αρχικά) παραγωγίσιμη συνάρτηση µ : I R Rμε µ(x) 0, x I,ηοποίααναφέρεταιωςολοκληρωτικός παράγοντας, και λαμβάνουμε µ(x)y +µ(x)p(x)y = µ(x)q(x). (2.3.2) Αναζητούμε συνάρτηση µ για την οποία το αριστερό μέλος της τελευταίας Δ.Ε. να είναι η παράγωγος της συνάρτησης µ(x)y. Αυτό συμβαίνει τότε και μόνο τότε όταν η µ ικανοποιεί τη Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών µ (x) = µ(x)p(x), (2.3.3) ηοποίαέχειτηλύση µ(x) = e p(x)dx. (2.3.4)

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Συνδυάζοντας τις(2.3.2) και(2.3.3), αναγόμαστε στην [µ(x)y] = µ(x)q(x), (2.3.5) από την οποία με αόριστη ολοκλήρωση λαμβάνουμε µ(x)y = µ(x)q(x)dx + c, (2.3.6) οπότε με τη βοήθεια και της(2.3.4), ευρίσκουμε τελικά τη γενική λύση [ ] y = e p(x)dx p(x)dx q(x)e dx+c (2.3.7) τηςδ.ε.(2.3.1). Οταν πρόκειται για Π.Α.Τ. της μορφής y = p(x)y +q(x), y(x 0 ) = y 0, (2.3.8) τότε προσδιορίζουμε τη λύση του, υπολογίζοντας από την(2.3.7) την τιμή της σταθερά c με τηβοήθειατηςαρχικήςσυνθήκης y(x 0 ) = y 0. Εναλλακτικά, για τον προσδιορισμό της γενικής λύσης της Δ.Ε.(2.3.1), μπορούμε να εφαρμόσουμε και τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, η οποία περιγράφεται ως εξής. Θεωρούμε αρχικά την αντίστοιχη ομογενή Δ.Ε. y +p(x)y = 0 (2.3.9) της(2.3.1). Με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών ευρίσκουμε τη γενική λύση τηςδ.ε.(2.3.9). y = ce p(x)dx (2.3.10) Για την επίλυση της Δ.Ε.(2.3.1), αναζητούμε λύση της μορφής(2.3.10), υποθέτοντας ότιηαυθαίρετησταθερά cείναισυνάρτησητου x,δηλαδή c = c(x),οπότεέχουμε y = c(x)e p(x)dx. (2.3.11) Αντικαθιστώντας την(2.3.11) στην(2.3.1), οδηγούμαστε στη Δ.Ε. c (x) = q(x)e p(x)dx, (2.3.12) από την οποία με αόριστη ολοκλήρωση λαμβάνουμε c(x) = p(x)dx q(x)e dx+d, (2.3.13) οπου d αυθαίρετη σταθερά. Εισάγοντας την(2.3.13) στην(2.3.11), επανευρίσκουμε(για d = c) τη γενική λύση (2.3.7) της Δ.Ε.(2.3.1).

2.3. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣΔ.Ε. 39 Παρατήρηση 2.3.1 Από την(2.3.7) προκύπτει ότι η γενική λύση της(2.3.1) εκφράζεται ως άθροισμα της γενικής λύσης ce p(x)dx της ομογενούς Δ.Ε.(2.3.9) και μίας ειδικής λύσης e p(x)dx q(x)e p(x)dx dx της μη ομογενούς Δ.Ε.(2.3.7). Οπως θα εξηγήσουμε παρακάτω(βλ. Κεφάλαιο 4, Παράγραφος 4.1), η ιδιότητα αυτή είναι χαρακτηριστική των λύσεων γραμμικών Δ.Ε. ανώτερης τάξης. Σημείωση 2.3.1 Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων εφαρμόζεται επίσης στα επόμενα και για την επίλυση Δ.Ε. δεύτερης τάξης(βλ. Κεφάλαιο 4, Παράγραφος 4.7). Παράδειγμα 2.3.1 Λύστε τη Δ.Ε. y y x = xα, x > 0. Λύση. Από την(2.3.4), ευρίσκουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα µ(x) = e ( 1 x )dx = e lnx = 1 x, καιέτσιηδ.ε.ανάγεταιστην η οποία επίσης γράφεται 1 x y 1 x 2y = xα 1, ( ) 1 x y = x α 1. Στη συνέχεια με αόριστη ολοκλήρωση λαμβάνουμε 1 x y = x α 1 dx+c, από την οποία ευρίσκουμε τη γενική λύση { x α+1 α y = +cx, α 0 xlnx+cx, α = 0.

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Παράδειγμα 2.3.2 Λύστε τη Δ.Ε. y + y x = e3x, x > 0. Λύση. Εφαρμόζοντας τον(2.3.7), ευρίσκουμε [ ] y = e 1 x dx e 3x 1 e x dx dx+c [ ] = e ln x e 3x e ln x dx+c [ ] = e ln 1 x e 3x xdx+c = 1 [ ] xe 3x e3x x 3 9 +c = 1 [ ( e 3x x 1 ) ] +c. x 3 3 Παράδειγμα 2.3.3 Λύστε τη Δ.Ε. y + 2 tanx y = 1 sinx, 0 < x < π. Λύση.ΗγενικήλύσητηςΔ.Ε.ευρίσκεταιαπότη(2.3.7) [ y = e 2 tanx dx 1 sinx e 2 tanx dx dx+c [ ] = e 2ln sinx 1 sinx e2ln sinx dx+c [ ] 1 = sin 2 sinxdx+c x 1 = sin 2 x (c cosx). ] Παράδειγμα 2.3.4 Λύστε τη Δ.Ε. y +3x 2 y = 3x 2 e x3.

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 41 Λύση. Εφαρμόζοντας την(2.3.7), ευρίσκουμε τη γενική λύση [ y = e 3x 2 dx = e x3 [ = e x3 [ = e x3 (x 3 +c). ] 3x 2 e e x3 3x 2dx dx+c ] 3x 2 e x3 e x3 dx+c ] 3x 2 dx+c 2.4 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Στην παράγραφο αυτή ασχολούμαστε με την επίλυση Δ.Ε. πρώτης τάξης της μορφής P(x,y)+Q(x,y)y = 0, (2.4.1) όπου P και Q είναι συνεχείς συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό υποσύνολο D του R 2. Ως μία εισαγωγή στη διαδικασία επίλυσης των Δ.Ε. αυτών επεξεργαζόμαστε αρχικά τη Δ.Ε. (4x 3 y +3x 2 y 2 )+(x 4 +2x 3 y)y = 0. Η εξίσωση αυτή δεν είναι γραμμική ούτε χωριζομένων μεταβλητών. Ομως, εύκολα βλέπουμε ότι ισχύουν 4x 3 y +3x 2 y 2 = x (x4 y +x 3 y 2 ) και x 4 +2x 3 y = y (x4 y +x 3 y 2 ). Ετσι, η Δ.Ε. γράφεται (α) Φ x (x,y)+φ y (x,y)y = 0, όπου Φ(x,y) = x 4 y +x 3 y 2. Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας για τη συνάρτηση Φ(x, y) με y = y(x), παρατηρούμε ότι η(α) επίσης γράφεται d Φ(x,y(x)) = 0, dx

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ οπότε έχουμε δηλαδή Φ(x,y) = c, x 4 y +x 3 y 2 = c, όπου c σταθερά. Η τελευταία εξίσωση ορίζει υπό πεπλεγμένη μορφή τη γενική λύση(γενικό ολοκλήρωμα) της Δ.Ε. Η παραπάνω ανάλυση οδηγεί στη διατύπωση της ακόλουθης πρότασης. Πρόταση2.4.1 Ανυπάρχειμία C 1 συνάρτηση Φ : D R 2 Rγιατηνοποίαισχύουν Φ x = P και Φ y = Q στο D, (2.4.2) τότεη Φ(x,y) = c ορίζει υπό πεπλεγμένη μορφή τη γενική λύση(το γενικό ολοκλήρωμα) της Δ.Ε.(2.4.1). Απόδειξη.Εφαρμόζονταςτονκανόνααλυσίδαςγιατησυνάρτηση Φ(x,y)με y = y(x)και λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεση(2.4.2) και τη Δ.Ε.(2.4.1), ευρίσκουμε d dx Φ(x,y(x)) = Φ x(x,y(x))+φ y (x,y(x))y (x) = 0, απότηνοποίαπροκύπτειηφ(x,y) = c. Η τελευταία πρόταση διακρίνει την ακόλουθη ειδική κατηγορία των Δ.Ε.(2.4.1). Ορισμός2.4.1ΗΔ.Ε.(2.4.1)ονομάζεταιακριβήςότανυπάρχειμία C 1 συνάρτηση Φ : D R 2 Rγιατηνοποίαισχύουν Φ x = P και Φ y = Q στο D. Δηλαδή η Δ.Ε.(2.4.1) είναι ακριβής όταν το σύστημα(2.4.2) των μερικών διαφορικών εξισώσεωνέχειμία C 1 λύση Φ(x,y). Για την πληρέστερη κατανόηση επεξεργαζόμαστε αρχικά δύο συγκεκριμένα παραδείγματα, όπου περιγράφεται η διαδικασία επίλυσης του συστήματος(2.4.2).

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 43 Παράδειγμα 2.4.1 Θεωρούμε τη Δ.Ε. (2x+y 2 )+2xyy = 0 και εξετάζουμε αν το αντίστοιχο αυτής σύστημα(2.4.2) έχει λύση. Λύση.Τοσύστημα(2.4.2)γιατηΔ.Ε.είναι Φ x = 2x+y 2, Φ y = 2xy. Ολοκληρώνουμε την πρώτη ως προς x Φ(x,y) = (2x+y 2 )dx = x 2 +xy 2 +g(y), όπου g(y) αυθαίρετη συνάρτηση του y. Παραγωγίζουμε την τελευταία ως προς y Φ y = 2xy +g (y), και λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, ευρίσκουμε 2xy +g (y) = 2xy, οπότε g (y) = 0καιάρα g(y) = c. Επομένως, η λύση του συστήματος είναι Φ(x,y) = x 2 +xy 2 +c. Εδώ, παρατηρούμε ότι ισχύει y (2x+y2 ) = 2y = x (2xy). Η συνθήκη αυτή, όπως θα διαπιστώσουμε παρακάτω, είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για ναέχειτοσύστημαλύση. Παράδειγμα 2.4.2 Θεωρούμε τη Δ.Ε. (x 2 +y)+xyy = 0 και εξετάζουμε αν το αντίστοιχο αυτής σύστημα(2.4.2) έχει λύση.

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Λύση. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία του προηγούμενου παραδείγματος, ευρίσκουμε διαδοχικά Φ(x,y) = (x 2 +y)dx = x3 +xy +g(y), 3 όπου g(y) αυθαίρετη συνάρτηση του y, και έτσι Φ y = x+g (y), x+g (y) = xy, τοοποίοείναιαδύνατο(διότιηgείναισυνάρτησητου yενώηπαράγωγόςτηςευρίσκεται συνάρτησητων xκαι y). Κατά συνέπεια, το σύστημα δεν έχει λύση, δηλαδή η Δ.Ε. δεν είναι ακριβής. Εδώ, παρατηρούμε ότι ισχύει y (x2 +y) = 1 y = x (xy). Η διαδικασία επίλυσης του συστήματος(2.4.2), η οποία περιγράφεται στα δύο τελευταία παραδείγματα, είναι γενική και διατυπώνεται με λεπτομέρειες ως εξής. Ολοκληρώνουμετην Φ x = Pωςπρος xκαιέχουμε (α) Φ(x,y) = P(x,y)dx+g(y), όπου g(y) είναι αυθαίρετη παραγωγίσιμη συνάρτηση του y. Υπολογίζουμε την μερική παράγωγο της(α) ως προς y (β) Φ y (x,y) = y P(x,y)dx+g (y) = y P(x,y)dx+g (y). Επειδήισχύει Φ y = Q,απότην(β)ευρίσκουμε (γ) g (y) = Q(x,y) y P(x,y)dx. Ολοκληρώνουμετην(γ)ωςπρος yκαιέχουμε (δ) g(y) = ( Q(x,y) y P(x,y)dx )dy. Συνδυάζοντας τις(α) και(δ), λαμβάνουμε ( ) Φ(x,y) = P(x,y)dx+ Q(x,y) y P(x,y)dx dy. (2.4.3)

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 45 Σημειώνουμε ότι αν σε κάποιο βήμα της προηγούμενης διαδικασίας οδηγηθούμε σε αντίφαση,τότετοσύστημαδενέχειλύση,δηλαδήηδ.ε.δενείναιακριβής. Στη Δ.Ε.(2.4.1) αντιστοιχεί το διανυσματικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα(δ.ε.ο.) Pdx+Qdy Γ κατάμήκοςμιαςοποιασδήποτεπαραμετρικήςκαμπύλη Γτου D,ηδεακρίβειατηςΔ.Ε.έχει στενή συσχέτιση(είναι ισοδύναμη) προς την ανεξαρτησία του Δ.Ε.Ο. από την καμπύλη ολοκλήρωσης. Δηλαδή, πιο συγκεκριμένα, ισχύει το ακόλουθο σημαντικό θεώρημα της Διανυσματικής Ανάλυσης, το οποίο έχει αξιοσημείωτες εφαρμογές στις Δ.Ε. και στη Μιγαδική Ανάλυση. Θεώρημα2.4.1 Εστω P,Q : D R 2 Rσυνεχείςπραγματικέςσυναρτήσειςμεπεδίο ορισμού ένα ανοικτό και πολυγωνικά συνεκτικό(ισοδύναμα ανοικτό και παραμετρικά συνεκτικό)υποσύνολο Dτου R 2.Τότε,οιακόλουθοιισχυρισμοίείναιισοδύναμοι. (i) Η Δ.Ε.(2.4.1) είναι ακριβής. (ii) Το Δ.Ε.Ο. Γ Pdx+Qdy είναιανεξάρτητοτης(τμηματικά C 1 )καμπύλης,δηλαδήγιακάθεδύοσημεία A(a 1,a 2 )και B(b 1,b 2 )του Dκαιγιακάθεδύοτμηματικά C 1 παραμετρικέςκαμπύλες Γ 1 και Γ 2 μεαρχή το Aκαιπέραςτο B,ισχύει Pdx+Qdy = Pdx+Qdy. Γ 1 Γ 2 (iii)γιακάθετμηματικά C 1 κλειστήπαραμετρικήκαμπύλη Cισχύει Pdx+Qdy = 0. C ΟταντοΔ.Ε.Ο. ΓPdx + Qdyείναιανεξάρτητοτηςκαμπύληςολοκλήρωσης Γ,τότε γιακάθεδύοσημεία A(a 1,a 2 )και B(b 1,b 2 )του DορίζεταιτοΕ.Ο. (b 1,b 2 ) (a 1,a 2 ) απότο Aστο Bαπότοντύπο (b1,b 2 ) Pdx+Qdy := Pdx+Qdy, (a 1,a 2 ) όπου Γτυχούσατμηματικά C 1 παραμετρικήκαμπύλητου Dμεαρχήτο A(a 1,a 2 )καιπέρας το B(b 1,b 2 ). Γ

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Αναφερόμενοι τώρα, στο Θεώρημα 2.4.1, σημειώνουμε ότι όταν ισχύει ένας από τους ισοδύναμους ισχυρισμούς(i)-(iii)(άρα ισχύουν και οι υπόλοιποι δύο), τότε η αναζητούμενη συνάρτηση Φ του Ορισμού 2.4.1 εκφράζεται από τον τύπο Φ(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) Pdx+Qdy, (x,y) D, όπου (x 0,y 0 )αυθαίρετοσταθεροποιημένοσημείοτου D. Οταν οι συναρτήσεις P και Q της Δ.Ε.(2.4.1) ορίζονται σε ειδικά ανοικτά και παραμετρικάσυνεκτικάυποσύνολατου R 2,αναφερόμεναωςαπλάσυνεκτικάσύνολα,τότεκαθένας από τους ισχυρισμούς(i)-(iii) του Θεωρήματος 2.4.1 είναι επίσης ισοδύναμος και προς τη συνθήκη P y = Q x. Προτού όμως διατυπώσουμε το σχετικό θεώρημα, υπενθυμίζουμε τον ορισμό του απλά συνεκτικού συνόλου. Ετσι, ένα ανοικτό και πολυγωνικά συνεκτικό(ισοδύναμα ανοικτό και παραμετρικάσυνεκτικό)υποσύνολο Dτου R 2 ονομάζεταιαπλάσυνεκτικό,ότανγιακάθε απλή,κλειστήκαιτμηματικά C 1 παραμετρικήκαμπύλη Γτου Dέχουμεότιτοεσωτερικό ǫσγτηςκαμπύλης Γπεριέχεταιστο D(δηλαδήόταντο Dδενέχει«οπές»). Στο επόμενο θεώρημα διατυπώνεται μία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να είναι ακριβήςηδ.ε.(2.4.1). Θεώρημα2.4.2 Εστω P,Q : D R 2 Rδύο C 1 συναρτήσειςμεπεδίοορισμού ένα ανοικτό, πολυγωνικά συνεκτικό και απλά συνεκτικό σύνολο D. Τότε, οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι. (i) Η Δ.Ε.(2.4.1) είναι ακριβής. (ii) Ισχύει P y = Q x στο D. (2.4.4) Απόδειξη.(i) (ii) Εστω Φ : D R 2 Rμία C 1 συνάρτησηγιατηνοποίαισχύουνοι (2.4.2). Επειδήοι P και Qείναι C 1 συναρτήσειςστο D,οι(2.4.2)συνεπάγονταιότιηΦ είναι C 2 συνάρτησηκαιάραισχύει Φ xy = Φ yx, οπότε έχουμε P y = Φ xy = Φ yx = Q x. (ii) (i) Αρχικά αναζητούμε συνάρτηση Φ(x, y) για την οποία ισχύει (α) Φ x (x,y) = P(x,y), x D. Ολοκληρώνοντας την(α) ως προς x λαμβάνουμε (β) Φ(x,y) = P(x,y)dx+g(y),

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 47 όπου η g(y) είναι αυθαίρετη συνάρτηση μόνο της μεταβλητής y, η οποία επιλέγεται να είναι παραγωγίσιμη. Απότην(β)μεμερικήπαραγώγισηωςπρος yευρίσκουμε (γ) Φ y (x,y) = y P(x,y)dx+g (y) = y P(x,y)dx+g (y) (Η δεύτερη ισότητα ισχύει λόγω της συνέχειας της συνάρτησης P). Απαιτούμε τώρα για τη συνάρτηση Φ(x, y) να ισχύει (δ) Φ y (x,y) = Q(x,y), x D, οπότε από την(γ) λαμβάνουμε (ε) Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι ισχύει ( Q(x,y) x g (y) = Q(x,y) y P(x,y)dx. y P(x,y)dx ) = Q x (x,y) x P y (x,y)dx = Q x (x,y) P y (x,y) = 0, δηλαδήησυνάρτηση Q(x,y) yp(x,y)dxείναισυνάρτησημόνοτηςμεταβλητής y. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση g(y) προσδιορίζεται από την(ε) με ολοκλήρωση ως προς y, δηλαδή [ ] g(y) = Q(x,y) y P(x,y)dx dy, καιάρααπότην(β)ηαναζητούμενησυνάρτηση Φείναιη [ ] Φ(x,y) = P(x,y)dx+ Q(x,y) y P(x,y)dx dy. (2.4.5) Εναλλακτικά, επίσης ευρίσκουμε Φ(x,y) = Q(x,y)dx+ [ ] P(x,y) x Q(x,y)dy dx. (2.4.6) Στην πράξη όμως είναι προτιμότερο να επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία αναζήτησης της Φ παρά να απομνημονεύσουμε τους δύο τελευταίους τύπους. Δεύτερη απόδειξη της συνεπαγωγής(ii) (i) του Θεωρήματος 2.4.2. Μία απλούστερη και συντομότερη απόδειξη της συνεπαγωγής επιτυγχάνεται με εφαρμογή τουτύπουτου Green: Εστωένασταθεροποιημένοσημείο A(x 0,y 0 )του D. Θεωρούμε

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ τυχόνσημείο B(x,y)του D,δύοπολυγωνικέςκαμπύλες Γ 1 και Γ 2 του Dμεαρχήτο Aκαι πέραςτο B,τηνκλειστήκαμπύλη Γ = Γ 1 Γ 2 του Dκαιτουποσύνολο S = ǫσγτου D. Εφαρμόζοντας τον τύπο του Green, ευρίσκουμε (Pdx+Qdy) (Pdx+Qdy) = (Pdx+Qdy) Γ 1 Γ 2 Γ = (P y Q x )dxdy = 0, τοοποίοσημαίνειότιτοδ.ε.ο. Γ (Pdx+Qdy)είναιανεξάρτητοτηςπολυγωνικήςκαμπύλης Γ του D. Συνεπώς, ορίζεται(καλά) η συνάρτηση Φ(x,y) = (Pdx+Qdy), (2.4.7) Γ όπου Γτυχούσαπολυγωνικήκαμπύλητου Dμεαρχήτο Aκαιπέραςτο B,γιατηνοποία διαπιστώνουμε εύκολα ότι ισχύουν Φ x = P και Φ y = Q. S Παρατήρηση 2.4.1 Η υπόθεση ότι το D είναι απλά συνεκτικό δεν χρειάζεται στην απόδειξη της συνεπαγωγής(i) (ii) αλλά είναι απαραίτητη για την απόδειξη της συνεπαγωγής (ii) (i), όπως συμπεραίνουμε από το ακόλουθο παράδειγμα. Παράδειγμα 2.4.3 Για τις συναρτήσεις P(x,y) = y x 2 +y 2 και Q(x,y) = x x 2 +y 2, (x,y) R2 \{(0,0)} ισχύει P y = Q x αλλάδενυπάρχεισυνάρτηση Φ(x,y)με Φ x = Pκαι Φ y = Q. Λύση. Υπολογίζουμε P y = y2 x 2 x 2 +y 2 = Q x. Στη συνέχεια θεωρούμε την περιφέρεια Γ του μοναδιαίου κύκλου με κέντρο το(0,0) που έχει παραμετρικές εξισώσεις x = cost, y = sint, t [0,2π] και υπολογίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 2π (Pdx+Qdy) = ( sint,cost) ( sint,cost)dt = Γ 0 2π 0 dt = 2π.

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 49 Εφόσον το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος της κλειστής καμπύλης Γ είναι διάφορο του μηδενός δεν είναι ανεξάρτητο από την καμπύλη Γ το οποίο, ως γνωστόν, είναι ισοδύναμο με τοότιδενυπάρχεισυνάρτηση Φ(x,y)με Φ x = Pκαι Φ y = Q. Στοπαράδειγμααυτόισχύειηυπόθεσητουισχυρισμού(ii)αλλάτοπεδίοορισμού R 2 \ {(0, 0)} των συναρτήσεων P και Q δεν είναι απλά συνεκτικό, αφού δεν περιέχει το σημείο (0,0). Οταντοπεδίοορισμού Dτωνσυναρτήσεων P και Qείναιέναανοικτόορθογώνιο(ή ανοικτόςδίσκος)του R 2,τότεισχύειτοακόλουθο Θεώρημα2.4.3 Εστω P και Qδύο C 1 συναρτήσειςμεπεδίοορισμούέναανοικτόορθογώνιο R 0 = (a,b) (c,d), a < b, c < d +, ήένανανοικτόδίσκο Dμεκέντροτο (x 0,y 0 )καιακτίνα r.ανισχύει P y = Q x στο R 0 (ή στο D)τότεηΔ.Ε. P +Qy = 0 είναιακριβήςκαιμία C 1 συνάρτηση Φ(x,y),γιατηνοποίαισχύουν Φ x = P και Φ y = Q, δίνεται από τον τύπο Φ(x,y) = x α P(t,β)dt+ y β Q(x, t)dt, (2.4.8) όπου (α,β)είναιενα(τυχόνσταθεροποιημένο)σημείοτου R 0 (ήτου D),καισυνεπώςη γενική λύση της Δ.Ε. δίνεται υπό πεπλεγμένη μορφή από την Φ = c. Απόδειξη. Εστω A(α,β)σταθεροποιημένοσημείοτου R 0 και B(x,y)τυχόνσημείοτου R 0.Θεωρούμετασημεία A, Bκαι Γ(x,β)καιτηνπολυγωνικήγραμμή C = AΓ ΓB,όπου ταευθύγραμματμήματα AΓκαι ΓBείναιπαράλληλαπροςτου xκαι yάξονεςαντιστοίχως και έχουν παραμετρικές παραστάσεις (t,β), α t x και (x,t), β t y. Εφαρμόζουμε τον τύπο(2.4.7) στη(δεύτερη) απόδειξη του Θεωρήματος 2.4.2 και υπολογίζουμε το Δ.Ε.Ο. Παράδειγμα 2.4.4 Εξετάστε αν η Δ.Ε. είναιακριβήςκαιανείναιβρείτετηλύσητης. e y +ycosx+(xe y +sinx)y = 0

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Λύση. Οι συναρτήσεις P(x,y) = e y +ycosx και Q(x,y) = xe y +sinx, (x,y) R 2 είναι C 1 στο(ανοικτό,πολυγωνικάσυνεκτικόκαι)απλάσυνεκτικόσύνολο R 2 καιεπιπλέον ισχύει P y = e y +cosx = Q x. Κατά συνέπεια, από το Θεώρημα 2.4.2 η Δ.Ε. είναι πράγματι ακριβής. Ετσι, εφαρμόζονταςτώρατοντύπο(2.4.8)γιατοσημείο (α,β) = (0,0),βρίσκουμετησυνάρτηση Φ(x,y) = x 0 dt+ y 0 (xe t +sinx)dt = x+[xe t +tsinx] y t=0 = x+xe y +ysinx x = xe y +ysinx, από την οποία προκύπτει(υπό πεπλεγμένη μορφή) η γενική λύση της Δ.Ε. xe y +ysinx = c Παράδειγμα 2.4.5 Λύστε τη Δ.Ε. e x +y +siny +(e y +x+xcosy)y = 0. Λύση. Οι συναρτήσεις P(x,y) = e x +y +siny και Q(x,y) = e y +x+xcosy, (x,y) R 2 είναι C 1 στο R 2 καιισχύει P y = 1+cosy = Q x, οπότεηδ.ε.είναιακριβής,καιάραεφαρμόζονταςτην(2.4.8)γιατο (α,β) = (0,0),ευρίσκουμε Φ(x,y) = x 0 e t dt+ y 0 (e t +x+xcost)dt = [e t ] x t=0 +[e t +xt+xsint] y t=0 = e x 1+e y +xy +xsiny 1, από την οποία προκύπτει(υπό πεπλεγμένη μορφή) η γενική λύση e x +e y +xy +xsiny = c.

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 51 Ολοκληρωτικός παράγοντας ΗκατηγορίατωνακριβώνΔ.Ε.δενείναιαρκετάπεριεκτικήδιότιησυνθήκη P y = Q x απαιτεί ισχυρή συσχέτιση των συναρτήσεων P και Q. Ακόμη και πολύ απλές Δ.Ε., όπως είναι επίπαραδείγματιη(3x+2y)+xy = 0,δενείναιακριβείς. Ομως,ότανπολλαπλασιάσουμε τηνεξίσωσηεπί xτότεηνέαεξίσωση (3x 2 +2yx)+x 2 y = 0γίνεταιακριβής. Ετσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο Ορισμός 2.4.2 Εστω μία μη ακριβής Δ.Ε. P +Qy = 0. Μίασυνάρτηση µ = µ(x,y)γιατηνοποίαηδ.ε. µp +µqy = 0 (2.4.9) είναι ακριβής, ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. Τώρατίθεταιτοερώτημα,κάτωαπόποιέςσυνθήκεςγιαμίαμηακριβήΔ.Ε. P +Qy = 0 υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας. Ως απάντηση στο ερώτημα, μία ικανή συνθήκη ύπαρξης ολοκληρωτικούπαράγοντααποτελείηυπόθεσηότιηδ.ε.έχειμίαγενικήλύση Φ(x,y) = c. Πράγματι,υποθέτουμεότιηΔ.Ε.(2.4.1)έχειμίαλύση Φ(x,y) = c,οπότελαμβάνουμε (α) Φ x +Φ y y = 0. Επιλύονταςτην(α)καιτην(2.4.1)ωςπρος y,ευρίσκουμε από όπου προκύπτει η οποία επίσης γράφεται y = P Q = Φ x Φ y, Φ y Q = Φ x P µ, Φ x = µp και Φ y = µq, (2.4.10) δηλαδήηδ.ε.(2.4.9)είναιακριβήςκαιισοδύναμημετηνακριβήεξίσωση(α)καικατά συνέπεια η Δ.Ε.(2.4.1) έχει έναν(τουλάχιστον) ολοκληρωτικό παράγοντα. Υποθέτουμε τώρα ότι μία μη ακριβής Δ.Ε. έχει έναν ολοκληρωτικό παράγοντα µ. Τότε, υπάρχειμίασυνάρτηση Φέτσιώστεηεξίσωση Φ(x,y) = cναπεριέχειυπόπεπλεγμένη μορφή τη γενική λύση της(2.4.9). Απαλείφοντας τώρα τον ολοκληρωτικό παράγοντα µ από την(2.4.9),παρατηρούμεότιηφ(x,y) = cπεριέχειεπίσηςτηγενικήλύσητηςαρχικής (2.4.1). Κατά συνέπεια η συνθήκη είναι και αναγκαία. Τα συμπεράσματα της παραπάνω ανάλυσης συνοψίζονται στην ακόλουθη

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Πρόταση2.4.2 ΕστωμίαμηακριβήςΔ.Ε. P+Qy = 0,όπουοιPκαιQείναιC 1 συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό, πολυγωνικά συνεκτικό και απλά συνεκτικό υποσύνολο του R 2.Τότε,οιακόλουθοιισχυρισμοίείναιισοδύναμοι. (i)ηδ.ε.έχειμίαγενικήλύση Φ(x,y) = c. (ii) Υπάρχει ένας ολοκληρωτικός παράγοντας µ 0 της Δ.Ε. Σύμφωνα με τον Ορισμό 2.4.2, μία συνάρτηση µ = µ(x, y) είναι ολοκληρωτικός παράγονταςτηςδ.ε.(2.4.1)τότεκαιμόνοτότεότανισχύει από την οποία προκύπτει ηοποίαγια µ 0επίσηςγράφεται y (µp) = x (µq), µp y +µ y P = µq x +µ x Q, 1 µ (Qµ x Pµ y ) = P y Q x. (2.4.11) Επομένως, οι ολοκληρωτικοί παράγοντες της Δ.Ε.(2.4.1) αποτελούν τις λύσεις της μερικής διαφορικής εξίσωσης(2.4.11) η οποία συνήθως έχει δύσκολη επίλυση. Ομως, υπάρχουν ορισμένες περιπτώσεις, τις οποίες καταγράφουμε παρακάτω, όπου η διαδικασία είναι σχετικά προσιτή. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγονται εκείνες που η αναζητούμενη συνάρτηση µείναισυνάρτησημόνοτου xήμόνοτου yήμόνοτου xy. Εξετάζουμε αρχικά αν η μερική διαφορική εξίσωση(2.4.11) έχει ως λύση μία συνάρτηση µ = µ(x).σχετικά,ισχύειηακόλουθη Πρόταση2.4.3 ΜίαμηακριβήςΔ.Ε. P+Qy = 0,όπουοι Pκαι QείναιC 1 συναρτήσεις μεπεδίοορισμούέναανοικτό,πολυγωνικάσυνεκτικόκαιαπλάσυνεκτικόυποσύνολοτου R 2 έχειωςολοκληρωτικόπαράγονταμίασυνάρτηση µ = µ(x)τότεκαιμόνοτότεότανη Py Qx Q είναι συνάρτηση μόνο του x. Στην προκειμένη περίπτωση, ο ολοκληρωτικός παράγοντας εκφράζεται ως Py Qx µ(x) = e Q dx. (2.4.12) Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η(2.4.1) έχει ως ολοκληρωτικό παράγοντα τη συνάρτηση µ = µ(x).τότε,έχουμε µ x = dµ dx και µ y = 0,

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 53 οπότε η(2.4.11) γράφεται 1 dµ µ dx = P y Q x Q. (2.4.13) Επειδήτοαριστερόμέλοςτης(2.4.13)είναισυνάρτησημόνοτου xπρέπεικαιτοδεξιό μέλος της να είναι συνάρτηση μόνο του x. Ετσι, θέτοντας g(x) P y Q x Q, αναγόμαστε στη Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών ηοποίαέχειωςλύσητησυνάρτηση dµ dx = µg(x), µ = e g(x)dx. Αντιστρόφως, έστωότιη Py Qx Q είναι συνάρτηση μόνο του x. Τότε, θεωρούμε τη συνάρτηση µ(x) = g(x)dx e, για την οποία ισχύει µ x = dµ dx = µp y Q x Q, µ y = 0, και διαπιστώνουμε εύκολα ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση µ αποτελεί λύση της(2.4.11), το οποίοσημαίνειότιηµείναιολοκληρωτικόςπαράγονταςτηςδ.ε. P +Qy = 0. Παράδειγμα 2.4.6 Λύστε τη Δ.Ε. (3xy +y 2 )+(x 2 +xy)y = 0, x > 0, ευρίσκοντας έναν ολοκληρωτικό παράγοντα αυτής. Λύση. Η εξίσωση δεν είναι ακριβής διότι P y = y (3xy +y2 ) = 3x+2y 2x+y = x (x2 +xy) = Q x. Εξετάζουμε αν η Δ.Ε. έχει ολοκληρωτικό παράγοντα συνάρτηση μόνο του x. Για αυτό υπολογίζουμετησυνάρτηση Py Qx Q η οποία είναι 3x+2y (2x+y) x 2 +xy = 1 x.

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Κατα συνέπεια, η Δ.Ε. έχει ολοκληρωτικό παράγοντα τη συνάρτηση µ(x) = e 1 x dx = x. Πολλαπλασιάζουμε τη Δ.Ε. με µ(x) = x και λαμβάνουμε (3x 2 y +xy 2 )+(x 3 +x 2 y)y = 0, η οποία είναι ακριβής Δ.Ε. Αναζητούμε τώρα μία συνάρτηση Φ(x, y) τέτοια ώστε Φ x = 3x 2 y +xy 2 και Φ y = x 3 +x 2 y. Αρχίζουμε ολοκληρώνοντας την πρώτη ως προς x Φ = (3x 2 y +xy 2 )dx = x 3 y + 1 2 x2 y 2 +h(y). Παραγωγίζουμε την τελευταία ως προς y και βρίσκουμε Φ y = x 3 +x 2 y +h (y), και άρα έχουμε x 3 +x 2 y +h (y) = x 3 +x 2 y, οπότε h (y) = 0δηλαδή h(y) = c. Ετσι, η γενική λύση της Δ.Ε. περιέχεται υπό πεπλεγμένη μορφή στην x 3 y + 1 2 x2 y 2 = c. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η επόμενη προτάση, η οποία δίνει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να έχει μία μη ακριβής Δ.Ε. ολοκληρωτικό παράγοντα συνάρτηση μόνο του y,του xy,του y/xκαιτου x/yαντιστοίχως. Πρόταση2.4.4 ΕστωμίαμηακριβήςΔ.Ε. P+Qy = 0,όπουοιPκαιQείναιC 1 συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό, πολυγωνικά συνεκτικό και απλά συνεκτικό υποσύνολο του R 2.Τότε,ισχύουν (i)ηδ.ε.έχειωςολοκληρωτικόπαράγονταμίασυνάρτηση µ = µ(y)τότεκαιμόνοτότε ότανη Qx Py P είναι συνάρτηση μόνο του y, οπότε ο ολοκληρωτικός παράγοντας εκφράζεται ως Qx Py µ(y) = e P dy. (2.4.14)

2.4. ΑΚΡΙΒΕ ΙΣΔ.Ε. 55 (ii) Η Δ.Ε. έχει ως ολοκληρωτικό παράγοντα μία συνάρτηση µ = µ(xy) τότε και μόνο τότεότανη Qx Py xp yqείναισυνάρτησημόνοτου z = xy,οπότεοολοκληρωτικόςπαράγοντας εκφράζεται ως Qx Py µ(z) = e xp yq dz. (2.4.15) (iii)ηδ.ε.έχειωςολοκληρωτικόπαράγονταμίασυνάρτηση µ = µ(y/x)τότεκαιμόνοτότε ότανη x2 (Q x P y) xp+yq είναισυνάρτησημόνοτου z = y/x,οπότεοολοκληρωτικόςπαράγοντας εκφράζεται ως x 2 (Qx Py) µ(z) = e xp+yq dz. (2.4.16) (iv)ηδ.ε.έχειωςολοκληρωτικόπαράγονταμίασυνάρτηση µ = µ(x/y)τότεκαιμόνοτότε ότανη y2 (P y Q x) xp+yq είναισυνάρτησημόνοτου z = x/y,οπότεοολοκληρωτικόςπαράγοντας εκφράζεται ως y 2 (Py Qx) µ(z) = e xp+yq dz. (2.4.17) Παράδειγμα 2.4.7 Αποδείξτε ότι η Δ.Ε. xy 2 +(x 2 y x)y = 0, (x,y) R 0 = (0,+ ) (0,+ ) έχει ολοκληρωτικό παράγοντα ο οποίος είναι συνάρτηση του xy και βρείτε τη γενική λύσης της. Λύση. Η εξίσωση δεν είναι ακριβής διότι P y = y (xy2 ) = 2xy 2xy 1 = x (x2 y x) = Q x. Για να αποδείξουμε ότι η Δ.Ε. έχει ολοκληρωτικό παράγοντα που είναι συνάρτηση μόνο του xy, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Q x P y 2xy 1 2xy = xp yq xxy 2 y(x 2 y x) = 1 xy. Άρα, σύμφωνα με τον ισχυρισμό(ii) της τελευταίας πρότασης, η Δ.Ε. έχει πράγματι ολοκληρωτικό παράγοντα που είναι συνάρτηση μόνο του z = xy, ο οποίος υπολογίζεται από τον τύπο µ(z) = e 1 z dz = 1 z. Ετσι,πολλαπλασιάζουμετηναρχικήΔ.Ε.με µ(z) = µ(xy) = 1 xy καιοδηγούμαστεστην ακριβή Δ.Ε. ( y + x 1 ) y = 0. y

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Για να βρούμε τη γενική λύση της τελευταίας, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Φ(x, y) από τοντύπο(2.4.8)για (α,β) = (1,1)και (x,y) R 0 x y ( Φ(x,y) = dt+ x 1 ) dt = xy lny 1, 1 1 t οπότε η γενική λύση της Δ.Ε. περιέχεται υπό πεπλεγμένη μορφή στην xy lny = c. 2.5 Διαφορική εξίσωση Bernoulli Ορισμένες μη γραμμικές Δ.Ε. πρώτης τάξης μπορεί να αναχθούν σε γραμμικές εξισώσεις με κατάλληλη αλλαγή της εξαρτημένης μεταβλητής. Επί παραδείγματι, κάθε Δ.Ε. της μορφής y +p(x)y = q(x)y r, (2.5.1) όπου rακέραιοςαριθμόςκαι p, qσυνεχείςσυναρτήσειςμεπεδίοορισμούέναδιάστημα Iτου R,ηοποίαείναιγνωστήωςΔ.Ε. Bernoulli,είναιαυτούτουτύπου. Στιςειδικέςπεριπτώσεις r = 0και r = 1η(2.5.1)ανάγεταισεγραμμικήεξίσωση.Στην πρώτηπερίπτωση(r = 0)έχουμε y +p(x)y = q(x), η οποία είναι γραμμική Δ.Ε. πρώτης τάξης και λύνεται με τη διαδικασία που περιγράφεται στην Παράγραφο 2.3. Στη δεύτερη περίπτωση(r = 1) η εξίσωση γίνεται η οποία επίσης γράφεται y +p(x)y = q(x)y, y = (q(x) p(x))y, πουείναιχωριζομένωνμεταβλητώνκαιέχειιδιάζουσαλύσητην y = 0καιγενικήλύσητην y = (q(x) p(x))dx+c. Για κάθε άλλη τιμή του r η εξίσωση γίνεται γραμμική με εφαρμογή της αντικατάστασης Παραγωγίζοντας ως προς x την(2.5.2), ευρίσκουμε z = y 1 r. (2.5.2) z = dz dx = (1 r)y rdy dx,

2.5. Δ.Ε. BERNOULLI 57 από την οποία προκύπτει dy dx = 1 1 r yrdz dx (r 1). Αντικαθιστώντας την τελευταία στην(2.5.1), λαμβάνουμε 1 1 r yrdz dx +p(x)y = q(x)yr, από την οποία, με τη βοήθεια της(2.5.2), προκύπτει και έτσι καταλήγουμε στη Δ.Ε. ηοποίαείναιμίαγραμμικήδ.ε.ωςπρος z. 1 dz +p(x)z = q(x), (2.5.3) 1 rdx dz +(1 r)p(x)z = (1 r)q(x), (2.5.4) dx Η τελευταία λύνεται ως προς z με τη διαδικασία της Παραγράφου 2.3. Τέλος, θέτουμε z = y 1 r. Παράδειγμα 2.5.1 Λύστε τη Δ.Ε. y y x = 5 2 x2 y 3, x 0. Λύση.Εδώ,έχουμεΔ.Ε. Bernoulliμεr = 3. Ετσι,θέτουμε z = y 2,οπότεz = 2y 3 y και οδηγούμαστε στη γραμμική Δ.Ε. πρώτης τάξης ως προς z z + 2z x = 5x2. Ο ολοκληρωτικός παράγοντας για αυτή τη γραμμική εξίσωση ειναι µ(x) = e 2 dx x = e 2ln x = e lnx2 = x 2. ΠολλαπλασιάζονταςκαιταδύομέλητηςτελευταίαςΔ.Ε.με x 2,έχουμε (x 2 z) = x 2 z +2xz = 5x 4, οπότε x 2 z = 5 x 4 dx = x 5 +c, από την οποία ευρίσκουμε y 2 = z = x 3 +cx 2.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Παράδειγμα 2.5.2 Λύστε το Π.Α.Τ. y +xy = x y3, y(0) = 2. Λύση.ΗΔ.Ε.τουΠ.Α.Τ.είναι Bernoulliμε r = 3.Θέτουμε z = y 4,οπότε z = 4y 3 y καιέτσιηαρχικήδ.ε.ανάγεταιστην z +4xz = 4x. Η τελευταία είναι γραμμική ως προς z και έχει ως ολοκληρωτικό παράγοντα µ(x) = 4xdx e = e 2x2. ΠολλαπλασιάζονταςκαιταδύομέλητηςτελευταίαςΔ.Ε.με e 2x2,ευρίσκουμε (e 2x2 z) = e 2x2 z +4xe 2x2 z = 4xe 2x2, οπότε e 2x2 z = 4xe 2x2 dx = e 2x2 +c, δηλαδή z = 1+ce 2x2. Άρα, έχουμε y 4 = 1+ce 2x2 καιεφαρμόζονταςτηναρχικήσυνθήκη y(0) = 2,ευρίσκουμε c = 15,καικατάσυνέπειαη λύση του Π.Α.Τ. είναι y 4 = 1+15e 2x2. Παράδειγμα 2.5.3 Λύστε τη Δ.Ε. I (t) = ρi(t) ρ K (I(t))2, η οποία μοντελοποιεί τη διάχυση της πληροφορίας σε κοινωνικά δίκτυα(βλ. Παράγραφο 1.2).

2.6. Δ.Ε. RICATTI 59 Λύση. ΕχουμεΔ.Ε. Bernoulliμε r = 2. Θέτουμε z = I 1,οπότε z = I 2 I και αναγόμαστε στη γραμμική Δ.Ε. πρώτης τάξης ως προς z z = ρz + ρ K, ηοποίαέχειωςλύση z = 1 K +ce ρt, (όπου c αυθαίρετη πραγματική σταθερά) από όπου ευρίσκουμε I(t) = Keρt ck +e ρt. 2.6 Διαφορική εξίσωση Ricatti Δ.Ε. της μορφής y +p(x)y +q(x)y 2 = r(x), (2.6.1) όπου p,q,rσυνεχείςσυναρτήσειςσεένα I RκαλούνταιΔ.Ε. Ricatti. Ανείναιγνωστήμίαμερικήλύση y 1 της(2.6.1),τότεθαδείξουμεότιμετομετασχηματισμό y = y 1 +u, (2.6.2) η(2.6.1)ανάγεταισεδ.ε. Bernoulliωςπρος u. Πράγματι, εισάγοντας την(2.6.2) στην(2.6.1) λαμβάνουμε y 1 +u +p(x)(y 1 +u)+q(x)(y 1 +u) 2 = r(x). (2.6.3) Επειδήόμωςηy 1 ικανοποιείτην(2.6.1),ισχύει y 1 +p(x)y 1 +q(x)y1 2 = r(x), και άρα η(2.6.3) γράφεται u +(p(x)+2q(x)y 1 )u = q(x)u 2, (2.6.4) πουείναιδ.ε. Bernoulliτηςμορφής(2.5.1)ωςπρος u. Παράδειγμα 2.6.1 Λύστε το Π.Α.Τ. ανμίαμερικήλύσητηςδ.ε.είναιηy 1 = x. y = (y x) 2 +1, y(0) = 1 2,

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Λύση. Κάνουμε το μετασχηματισμό(2.6.2) οπότε καιηδ.ε.παίρνειτημορφή y = x+u, y = 1+u u = u 2, η οποία είναι Δ.Ε. Bernoulli(είναι επίσης και χωριζομένων μεταβλητών). Η u = 0είναιλύσητηςτελευταίας.Αν u 0,θέτουμε z = u 1 οπότε z = u 2 u και η Δ.Ε. ανάγεται στην z = 1, ηοποίαέχειτηγενικήλύση και έτσι z = x+c, u = 1 x+c. Επειδή η ιδιάζουσα λύση u = 0 δεν παριλαμβάνεται στην τελευταία, οι λύσεις της εξίσωσης Bernoulli είναι 1 u = 0 και u = x+c, επομένως οι λύσεις της δοθείσας Δ.Ε. Ricatti είναι y = x και y = x+ 1 x+c. Ηλύση y = xδενικανοποιείτηναρχικήσυνθήκη y(0) = 1 2.Απότηγενικήλύσηέχουμε y(0) = 1 2 = 1 c, οπότε c = 2,καιέτσιηλύσητουΠ.Α.Τ.είναι y = x+ 1 2 x. Παράδειγμα 2.6.2 Λύστε τη Δ.Ε. ανμίαμερικήλύσητηςείναιηy 1 = 2. y +y y 2 = 2,

2.7. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 61 Λύση. Κάνουμε το μετασχηματισμό(2.6.2) οπότε y = u,καιηδ.ε.παίρνειτημορφή η οποία είναι Δ.Ε. Bernoulli. y = 2+u, u 3u = u 2, Η u = 0είναιλύσητηςτελευταίας,ηοποίαοδηγείστηνήδηγνωστήλύση y = y 1 = 2. Αν u 0,θέτουμε z = u 1 οπότε z = u 2 u καιηδ.ε.ανάγεταιστην z = 3z 1, η οποία είναι γραμμική Δ.Ε. πρώτης τάξης και, ακολουθώντας τις τεχνικές της Παραγράφου 2.3, βρίσκουμε ότι έχει τη γενική λύση z = 1 3 +ce 3x. Ετσι, η γενική λύση της εξίσωσης Bernoulli είναι u = 1 1 3 +ce 3x, καιάραηγενικήλύσητηςδοθείσαςδ.ε. Ricattiείναι y = 2+ 1 1 3 +ce 3x. 2.7 Ασκήσεις Άσκηση 2.7.1 Λύστε τη Δ.Ε. x 2 y y(x y) = 0, x 0. Άσκηση 2.7.2 Λύστε τη Δ.Ε. xyy (x 2 +y 2 ) = 0, x 0. Άσκηση 2.7.3 Λύστε τη Δ.Ε. (x+y)y x+y = 0, x 0.

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. Δ.Ε.ΠΡ ΩΤΗΣΤ ΑΞΗΣ Άσκηση 2.7.4 Λύστε τη Δ.Ε. xyy +x 2 y 2 = 0, x 0. Άσκηση 2.7.5 Λύστε το Π.Α.Τ. (y x)y +2(x+2y) = 0, x 0, y(1) = 0. Άσκηση 2.7.6 Λύστε τη Δ.Ε. y 2 x y = x3, x 0. Άσκηση 2.7.7 Λύστε τη Δ.Ε. y y = e x. Άσκηση 2.7.8 Λύστε το Π.Α.Τ. y 1 xlnx y = xlnx, x > 0, y( e) = e 4. Άσκηση 2.7.9 Λύστε τη Δ.Ε. x 2 (y 2 1) y(x 3 1)y = 0. Άσκηση 2.7.10 Λύστε το Π.Α.Τ. ( π y sinx ylny = 0, y = 1. 2) Άσκηση 2.7.11 Λύστε τη Δ.Ε. y 2y = x. Άσκηση 2.7.12 Λύστε τη Δ.Ε. (x+y)y (x y) = 0. Άσκηση 2.7.13 Λύστε τη Δ.Ε. y +xy = xy 3.

2.7. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 63 Άσκηση 2.7.14 Λύστε τη Δ.Ε. Άσκηση 2.7.15 Λύστε τη Δ.Ε. Άσκηση 2.7.16 Λύστε το Π.Α.Τ. y 1 2x y = x3 y 5, x 0. y + 2 x y = lnx x y2, x > 0. y + 4 x y = x3 y 2, x > 0, y(2) = 1. Άσκηση 2.7.17 Λύστε το Π.Α.Τ. y 5y = e 2x y 2, y(0) = 2. Άσκηση 2.7.18 Λύστε το Π.Α.Τ. 6y 2y = xy 4, y(0) = 2. Άσκηση 2.7.19 Λύστε το Π.Α.Τ. y + y x = y, x > 0, y(1) = 0. Άσκηση 2.7.20 Λύστε το Π.Α.Τ. ανμίαλύσητηςδ.ε.είναιηy 1 = 1 x. y = y 2 y x 1 x2, x > 0, y(1) = 2, Άσκηση 2.7.21 Λύστε το Π.Α.Τ. y = y2 2cosx + 2cos2 x sin 2 x, 0 x < π, y(0) = 1, 2cosx 2 ανμίαλύσητηςδ.ε.είναιηy 1 = sinx.

Βιβλιογραφία [1] Ν. Δ. Αλικάκος και Γ. Η. Καλογερόπουλος, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα, 2007. [2] W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Στοιχειώδεις Διαφορικές Εξισώσεις και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα, 1999. [3] Γ. Δάσιος, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστήμιο Πατρών, 1991. [4] S. I. Grossman, Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations, 2 nd Edition, Academic Press, Orlando, 1986. [5] B. E. Shapiro, Lecture Notes in Differential Equations, California State University, Northridge, 2011. [6] Σ. Τραχανάς, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ιδρυμα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο Κρήτης, 2010. [7]Λ.Ν.Τσίτσας,ΕφαρμοσμένοςΔιανυσματικόςΑπειροστικόςΛογισμός,2 η Εκδοση, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 2003. 64