1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.

o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με ΟΡΙΣΜΟΣ ος εξάρτητη - εξρτημέη μετλητή σελ5 Το γράμμ, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α μις πργμτικής συάρτησης λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ το γράμμ, που πριστάει τη τιμή της στο, λέγετι εξρτημέη μετλητή ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος σύολο τιμώ σελ5 Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} ΟΡΙΣΜΟΣ 4 ος γρφική πράστση σελ6 A, λέγετι σύολο Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι συήθως με C ΟΡΙΣΜΟΣ 5 ος ίσες συρτήσεις σελ3 Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει Γι δηλώσουμε ότι δύο συρτήσεις κι είι ίσες γράφουμε ΟΡΙΣΜΟΣ 6 ος πράξεις συρτήσεω σελ4 Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά -, γιόμεο κι πηλίκο δύο συρτήσεω, τις συρτήσεις με τύπους Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Το πεδίο ορισμού τω, κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της είι το τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή, δηλδή το σύολο { A κι B, με } A B, εξιρουμέω ΟΡΙΣΜΟΣ 7 ος σύθεση της με τη σελ5 Α, είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη, κι τη συμολίζουμε με o, τη συάρτηση με τύπο o A A B B 4 A Το πεδίο ορισμού της o ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A } Είι φερό ότι η o ορίζετι ΣΧΟΛΙΑ B A, δηλδή A B Στη πρπάω εφρμογή πρτηρούμε ότι o o Γεικά,, είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι o κι o, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α,, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho o, τότε ορίζετι κι η ho o κι ισχύει ho o ho o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, κι h κι τη συμολίζουμε με hoo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ 8 ος γησίως ύξουσ φθίουσσελ3 Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: Σχ 5 γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: Σχ 5 γησίως μοότοη στο Δ ότ μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είι ύξουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε Δ, με ισχύει Επιμέλει: Κώτσου Αθ

3 5 Ο Δ a ΟΡΙΣΜΟΣ 9 ος ολικά κρόττσελ3 Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το Ο, ότ γι κάθε A Σχ 7 A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Σχ 7 Δ a ΟΡΙΣΜΟΣ ος - σελ33-34 C Μι συάρτηση λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε συεπγωγή: Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι:, τότε C 7, A ισχύει η Μι συάρτηση είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε ΣΧΟΛΙΑ σελ 34 Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ 33 Επιμέλει: Κώτσου Αθ

4 33 A B συάρτηση - συάρτηση όχι - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " Δε ισχύει το τίστροφο Υπάρχου, συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες Ατιπράδειγμ ο σελ35 Η συάρτηση, Σχ 34, ΟΡΙΣΜΟΣ ος τίστροφη συάρτησησελ 36 Έστω μι συάρτηση Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A, της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό 36a A γι το οποίο ισχύει A A Από το τρόπο που ορίστηκε η προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A της, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της κι ισχύει η ισοδυμί: = = 34 = Αυτό σημίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η λέγετι της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε Οπότε, A κι, A ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ36 Ν ποδείξετε ότι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Απόδειξη Έστω μι συάρτηση κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της στο ίδιο σύστημ ξόω Σχ 37 Επειδή, έ σημείο M, ήκει στη γρφική πράστση C της, τότε το σημείο Μ, θ ήκει στη γρφική πράστση C της κι τιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Επομέως: C = 5 M, 37 M, C Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Όρι Προτάσεις σελ44 Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,,, τότε ι- σχύει η ισοδυμί: ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ47 Α, τότε κοτά στο Σχ 48 Α, τότε κοτά στο Σχ 48 C C 48 ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο σελ48 Α οι συρτήσεις a, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε C C 49 C C a Επιμέλει: Κώτσου Αθ

6 Επιμέλει: Κώτσου Αθ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο σελ48 Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε: κ κ, γι κάθε στθερά κ 3 4, εφόσο 5 6 k k, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι 3 του θεωρήμτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άμεση συέπει υτού είι: ] [, ΘΕΩΡΗΜΑ 5 ο σελ49 Έστω το πολυώυμο P κι Ν ποδείξετε ότι P P Απόδειξη Έστω τώρ το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: P P Επομέως, P P

7 ΘΕΩΡΗΜΑ 6 ο σελ49 P Έστω η ρητή συάρτηση, όπου P, Q πολυώυμ του κι με Q Q Ν ποδείξετε ότι: Απόδειξη P P Q Q, εφόσο Q P Έστω η ρητή συάρτηση, με Q τότε : Q Επομέως, P P P Q Q Q P P Q Q, εφόσο Q Κριτήριο πρεμολής ΘΕΩΡΗΜΑ 7 ο σελ5 Έστω οι συρτήσεις Τότε,, h Α h κοτά στο κι h, Βσική Αισότητ σελ5 ημ, γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ C C C h 5 Τριγωομετρικά Όρι σελ53 ημ ημ συ συ ημ συ Όριο σύθετης συάρτησης σελ55 Με τις ιδιότητες που φέρουμε μέχρι τώρ μπορούμε προσδιορίσουμε τ όρι πλώ συρτήσεω Α, όμως, θέλουμε υπολογίσουμε το, της σύθετης συάρτησης στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u Υπολογίζουμε υπάρχει το u κι 3 Υπολογίζουμε υπάρχει το u uu Αποδεικύετι ότι, u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: u uu Επιμέλει: Κώτσου Αθ

8 Μη πεπερσμέ όρι σελ6-6 Γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής,,, ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες: Με τη οήθει του ορισμού ποδεικύοτι οι πρκάτω ιδιότητες: Α, τότε κοτά στο, εώ, τότε κοτά στο Α, τότε, εώ, τότε Α ή, τότε Α κι κοτά στο, τότε κοτά στο, τότε, εώ κι Α ή, τότε Α, τότε k Σύμφω με τις ιδιότητες υτές έχουμε: κι γεικά, Σχ 57 57 εώ κι γεικά κι γεικά,, Σχ 57 Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Επομέως, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της, Γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου δύο συρτήσεω ποδεικύοτι τ πρκ ά- τω θεωρήμτ: ΘΕΩΡΗΜΑ 8 ο όριο θροίσμτος σελ6 Α στο το όριο της είι: - - κι το όριο της είι: - - - τότε το όριο της είι: ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ο Α στο, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: όριο γιομέου σελ6 - - ; ; > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Στους πίκες τω πρπάω θεωρημάτω, όπου υπάρχει ερωτημτικό, σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: κι Επειδή κι, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: 9, κι, Όρι στο άπειρο σελ65 κι, -, άρτιος περιττός Όριο Πολυωυμικής συάρτησης σελ66 κι,, Γι τη πολυωυμική συάρτηση P, με ισχύει: P κι P Όριο ρητής συάρτησης σελ67 Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Γι τη ρητή συάρτηση κ κ κ κ κ κι κ Όρι εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης σελ67 Α Σχ 6, τότε, lo, lo,, ισχύει: κ κ κ =a =lo a 6 Α Σχ 6, τότε =a 6, lo, lo ΟΡΙΣΜΟΣ ος Ακολουθίσελ 68 Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση =lo a ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος συεχής στο σελ7 Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ: Πρτήρηση Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της,, στο σημείο ΟΡΙΣΜΟΣ 4 ος συεχής στο σελ 7 Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Συέπιες ορισμού σελ7 Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε ισχύει Επιμέλει: Κώτσου Αθ

P P Κάθε ρητή συάρτηση Q P είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P Q Q Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει ημ ημ κι συ συ Οι συρτήσεις κι lo, είι συεχείς Πράξεις με συεχείς συρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ7 Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου,,, κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ 7 Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους o είι συεχής στο ΟΡΙΣΜΟΣ 5 ος συεχής σε διάστημ σελ73 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, Σχ 63 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο κι Σχ 63 63 [ ] a a Θεώρημ του Bolzano ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ74 Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει, Επιμέλει: Κώτσου Αθ

τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, Γεωμετρική ερμηεί Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [, ] Επειδή τ σημεί A, κι B, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο a a Α, 64 B, ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ 65 65 > a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 66 + ρ + + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο σελ76 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε Απόδειξη η Επιμέλει: Κώτσου Αθ

3 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η, [, ], πρτηρούμε ότι: η είι συεχής στο [, ] κι, 67 φού B, η κι η η =η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε η, οπότε η a Α, a ΣΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [, ], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές η a 68 =η a Με τη οήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 69 a a Μ [ a γ m Μ m [ ] a δ Στη ειδική περίπτωση που το Δ είι έ κλειστό διάστημ [, ], ισχύει το πρκάτω θεώρημ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής σελ77-78 Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Σχ 69δ Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει, Επιμέλει: Κώτσου Αθ

4 m M, γι κάθε [, ] ΣΧΟΛΙΟ Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, ποδεικύετι ότι: A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Σχ 7 7 B Α A Β a a Επιμέλει: Κώτσου Αθ

5 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 ος εφπτομέη της ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ C σελ94 Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι λ, ΟΡΙΣΜΟΣ 7 ος πργωγίσιμη σ έ σημείο σελ95 Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: Α, τώρ, στη ισότητ θέσουμε = + h, τότε έχουμε: +h- ' o = o o h h Είι φερό ότι, το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είι πργωγίσιμη στο, κι μόο υπάρχου στο κι είι ίσ ΣΧΟΛΙΑ σελ96 Σύμφω με το πρπάω ορισμό:, τ όρι Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγμή t, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγμή t Δηλδή, είι υ S t t Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της C μις πργωγίσιμης συάρτησης, στο σημείο A, είι η πράγωγος της στο Δηλδή, είι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ η ς ε είι: Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο 6 Πράγωγος κι συέχει ΘΕΩΡΗΜΑ 5 ο σελ99 Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Απόδειξη Γι έχουμε οπότε, [ ], φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως,, δηλδή η είι συεχής στο ΣΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο, τότε, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο ΟΡΙΣΜΟΣ 8 ος πργωγίσιμη στο Α σελ4 Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A ΟΡΙΣΜΟΣ 9 ος πργωγίσιμη στο, σελ4 Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργωγίσιμη στο [, ] σελ4 Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει ΟΡΙΣΜΟΣ ος πρώτη πράγωγος της σελ4 Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση Επιμέλει: Κώτσου Αθ

7 : A R, η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος της ΟΡΙΣΜΟΣ ος δεύτερη - ιοστή πράγωγος της σελ5 Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω, τότε η πράγωγος της, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμολίζετι με Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της, με 3, κι συμολίζετι με Δηλδή [ ], 3 Πράγωγος μερικώ σικώ συρτήσεω ΘΕΩΡΗΜΑ 6 ο σελ5 Εστω η στθερή συάρτηση ισχύει, δηλδή Απόδειξη c, Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι c Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως, δηλδή c ΘΕΩΡΗΜΑ 7 ο Έστω η συάρτηση δηλδή Απόδειξη σελ5 c c, Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως, δηλδή ΘΕΩΡΗΜΑ 8 ο σελ6 Έστω η συάρτηση σχύει, δηλδή, {, }, Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ι- Επιμέλει: Κώτσου Αθ

8 Επιμέλει: Κώτσου Αθ Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει:, Οπότε, δηλδή ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ο σελ6 Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:, οπότε, δηλδή Η δε είι πργωγίσιμη στο ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ6 Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει συ, δηλδή συ ημ ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ7 Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ημ, δηλδή ημ συ ΘΕΩΡΗΜΑ ο σελ8 Έστω η συάρτηση e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει e, δηλδή e e ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο σελ8

9 Επιμέλει: Κώτσου Αθ Έστω η συάρτηση ln Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή ln ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο σελ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: Απόδειξη Γι, ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:, Δηλδή ΘΕΩΡΗΜΑ 5 ο σελ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ 6 ο σελ Γι τρεις πργωγίσιμες συρτήσεις ισχύει: h h h h Απόδειξη ] [ h h h h h h ΘΕΩΡΗΜΑ 7 ο σελ3 Α είι πργωγίσιμη συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι c, επειδή c, σύμφω με το θεώρημ έχουμε: c c ΘΕΩΡΗΜΑ 8 ο σελ3 Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο κι, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει:

[ ] ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ο σελ3 Έστω η συάρτηση, Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο σελ4 Έστω η συάρτήση κι ισχύει εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο συ, δηλδή Απόδειξη εφ συ Πράγμτι, γι κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο σελ4 έχουμε: ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Έστω η συάρτήση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Πράγωγος Σύθετης ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ο κι ισχύει σελ6 συ, δηλδή σφ συ Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Γεικά, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u, τότε u u u Επιμέλει: Κώτσου Αθ

ΘΕΩΡΗΜΑ 33 ο σελ6 κι ισχύει, δη- Η συάρτηση λδή, είι πργωγίσιμη στο, Απόδειξη Πράγμτι, ΘΕΩΡΗΜΑ 34 ο σελ6 Η συάρτηση Απόδειξη Πράγμτι, ΘΕΩΡΗΜΑ 37 ο ln e κι θέσουμε u ln, u, τότε έχουμε e Επομέως, u u ln e e u e είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ln, δηλδή ln e κι θέσουμε u ln σελ7 ln u, τότε έχουμε e Επομέως, u u ln e e u e ln ln Η συάρτηση ln, είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Απόδειξη Πράγμτι, τότε, τότε, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε lnu Επο- μέως, κι άρ ln ln ln ln ln, εώ ln Πράγωγοι σικώ συθετώ σελ7 ln u u u Ακεφλιώοτς, η συάρτηση u είι πργωγίσιμη, τότε έχουμε: u u u εφu u συ u u u σφu u u ημ u ημu συu u u u e e u συu ημu u u u ln u ln u u u Επιμέλει: Κώτσου Αθ

ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος ρυθμός μετολής σελ3 Α δυο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ η είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς στο σημείο τη πράγωγο ΘΕΩΡΗΜΑ 37 ο Rolle σελ8 Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, κι = τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ = Γεωμετρική ερμηεί Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο Μξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω ΘΕΩΡΗΜΑ 38 ο Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ σελ8 Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρική ερμηεί Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο Μξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Συέπειες ΘΜΤ ΘΕΩΡΗΜΑ 39 ο σελ33 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Απόδειξη Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α =, τότε προφώς Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Α < τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε 3 Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ =, οπότε είι Α >, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι Πόρισμ σελ33 Έστω δυο συρτήσεις, ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι, είι συεχείς στο Δ κι = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: = + c Απόδειξη Η συάρτηση είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει = = Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε = c, οπότε = + c Δ ισχύει ΣΧΟΛΙΟ τιπράδειγμ ο σελ34 Το πρπάω θεώρημ κθώς κι το πόρισμά του ισχύου σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση Πρτηρούμε ότι, κι = γι κάθε,+, ετούτοις η δε είι στθερή στο ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο σελ35 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Απόδειξη Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι > Έστω, Δ, με < Θ δείξουμε ότι < Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε οπότε έχουμε Επειδή ξ > κι >, έχουμε >, οπότε < Στη περίπτωση που είι < εργζόμστε λόγως Επιμέλει: Κώτσου Αθ

4 ΣΧΟΛΙΟ τιπράδειγμ 3 ο σελ36 Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ Γι πράδειγμ, η συάρτηση = 3, κι είι γησίως ύξουσ στο R, ετούτοις έχει πράγωγο = 3 η οποί δε είι θετική σε όλο το, φού = Ισχύει όμως γι κάθε ΟΡΙΣΜΟΣ 4 ος τοπικό μέγιστο σελ4 Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε γι κάθε A δ, δ A τοπικό μέγιστο, Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της ΟΡΙΣΜΟΣ 5 ος τοπικό ελάχιστο σελ4 Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε, γι κάθε A δ, δ A τοπικό ελάχιστο, Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της ΣΧΟΛΙΑ i Έ τοπικό μέγιστο μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ3 3 3 4 a ma min a 3 4 ii Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Σχ 3 Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Σχ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο Fermat σελ4 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: Απόδειξη Επιμέλει: Κώτσου Αθ

5 Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 33 δ +δ ΣΧΟΛΙΟ σελ43 Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί του Δ, στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ, δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Επομέως οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της ΟΡΙΣΜΟΣ 6 ος κρίσιμ σημεί σελ43 Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ο σελ44 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής i Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό μέγιστο της Σχ 35 ii Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της Σχ 35 iii A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, Σχ 35γ Επιμέλει: Κώτσου Αθ

6 Απόδειξη i Eπειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, > < > < 35a a a Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε,, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως 35 < > < > a a iii Έστω ότι, γι κάθε,, > > 35γ > > a a Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, με Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει, Τέλος,, τότε όπως είδμε Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, γι κάθε,, ΣΧΟΛΙΑ σελ46 Όπως είδμε στη πόδειξη του πρπάω θεωρήμτος στη πρώτη περίπτωση το είι η μέγιστη τιμή της στο,, εώ στη δεύτερη περίπτωση το είι η ελάχιστη τιμή της στο, Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [, ], όπως γωρίζουμε Θεώρημ 8,η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της ΟΡΙΣΜΟΣ 7 ος κυρτή κοίλη Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι, μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους ΘΕΩΡΗΜΑ 43 ο σελ56 Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ 7 ΣΧΟΛΙΟ τιπράδειγμ 4o σελ56 Το τίστροφο του θεωρήμτος δε ισχύει Γι πράδειγμ, έστω η 4 3 συάρτηση Σχ 4 Επειδή η 4 είι γησίως ύξουσ στο, η είι κυρτή στο Ετούτοις, η δε 4 είι θετική στο, φού = 4 4 ΟΡΙΣΜΟΣ 8 ος σημείο κμπής Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, Επιμέλει: Κώτσου Αθ

8 τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της ΘΕΩΡΗΜΑ 44 ο σελ57 Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Σχόλιο Σύμφω με το πρπάω θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί εός διστήμτος Δ στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ δε είι θέσεις σημείω κμπής Επομέως, ο ι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Σχ 43 43 = ΘΕΩΡΗΜΑ 45 ο σελ58 Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, κι, Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής ΟΡΙΣΜΟΣ 9 ος κτκόρυφη σύμπτωτη σελ6 Α έ τουλάχιστο πό τ όρι, είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος οριζότι σύμπτωτη σελ6 Α τιστοίχως της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος πλάγι σύμπτωτη σελ6, τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη Η ευθεί λ λέγετι πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, τιστοίχως ΘΕΩΡΗΜΑ 46 ο σελ6 [ λ ] [ λ ] Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως ΣΧΟΛΙΑ σελ63 Αποδεικύετι ότι: λ κι [ λ] λ,, κι [ λ] Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες P Οι ρητές συρτήσεις, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά Q δύο του θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, Κόες de L Hospital 9 ΘΕΩΡΗΜΑ 47 ο μορφή σελ64 Α,, κι υπάρχει το άπειρο, τότε: πεπερσμέο ή ΘΕΩΡΗΜΑ 48 ο μορφή σελ65 Α,, κι υπάρχει το ή άπειρο, τότε: ΣΧΟΛΙΑ σελ65 πεπερσμέο Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές,, Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους Επιμέλει: Κώτσου Αθ

3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 3 ος Αρχική συάρτηση σελ85 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει ΘΕΩΡΗΜΑ 49 ο σελ86 F, γι κάθε Δ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, c, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή Απόδειξη Κάθε συάρτηση της μορφής φού G F c, c G F c, όπου c, είι μι πράγουσ της στο Δ, G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε G, οπότε: G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ ΟΡΙΣΜΟΣ 33 ος Η έοι του ορισμέου ολοκληρώμτοςσελ- Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [, ] Με τ σημεί χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ, κ ], γι κάθε κ {,,, }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ το οποίο συμολίζετι, σύτομ, ως εξής: S ξ Δ ξ Δ ξ κ Δ ξ Δ a= ξ Δ ισχύου F κι ξ k v- ξ v v= ξ = S κ ξ Δ κ Αποδεικύετι ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό Το άθροισμ υτό οομάζετι έ άθροισμ RIEMANN Επιμέλει: Κώτσου Αθ

Αποδεικύετι ότι, Το όριο του θροίσμτος S, δηλδή το 3 ξ κ Δ υπάρ- κ χει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω ξ κ Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο, συμολίζετι με d κι διάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο Δηλδή, Επέκτση του ορισμού σελ d ξ κ Δ κ Είι, όμως, χρήσιμο επεκτείουμε το πρπάω ορισμό κι γι τις περιπτώσεις που είι ή, ως εξής: Πρότση σελ d d d ΣΧΟΛΙΟ σελ3 Α c Α, τότε d, τότε το cd εκφράζει το εμδό ε- ός ορθογωίου με άση Σχ κι ύψος c =c Ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος Με τη οήθει του ορισμού του ορισμέου ολοκληρώμτος ποδεικύοτι τ πρ - κάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ 5 ο σελ4 Έστω, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ Τότε ισχύου κι γεικά d λ λ d [ ] d d d [ μ ] d λ d μ λ d ΘΕΩΡΗΜΑ 5 ο σελ4 Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει γ d d d γ Επιμέλει: Κώτσου Αθ

3 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Α κι γ Σχ 3, η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: φού κι Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω d, Ε Ω d γ Ε Ω d ΘΕΩΡΗΜΑ 5ο σελ4 γ Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε ΘΕΩΡΗΜΑ 53 ο σελ6 d Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: ΣΧΟΛΙA t dt, γι κάθε Δ Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει Σχ 4 ως εξής: h F h F t dt Άρ, γι μικρά h είι Εμδό του χωρίου Ω h, γι μικρά a h F h F, h F h F F h h οπότε Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: t dt, με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμολ έχου όημ ΘΕΩΡΗΜΑ 54Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμούσελ6 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε t dt G G Ω Ω γ F = = 4 3 Επιμέλει: Κώτσου Αθ

33 Απόδειξη Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε: G F c Από τη, γι Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F c t dt c c, έχουμε, οπότε c G G F G t dt G κι άρ t dt G G Μέθοδοι ολοκλήρωσης σελ8-9 Ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες γι το ορισμέο ολοκλήρωμ πίρει τη μορφή όπου [, ] d [ ] d,, είι συεχείς συρτήσεις στο Ο τύπος ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμέο ολοκλήρωμ πίρει τη μορφή d u du, όπου, είι συεχείς συρτήσεις, u, du d κι u, u Εμδό ΘΕΩΡΗΜΑ 55 ο σελ5 Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δυο θετικώ συρτήσεω, με κι τις ευθείες κι είι: u u E Ω d Απόδειξη Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις κι, συεχείς στο διάστημ [, ] με γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι Σχ 8 = = 8 Ω = Ω = Ω γ Επιμέλει: Κώτσου Αθ

34 Πρτηρούμε ότι Επομέ- d d Ε Ω Ε Ω Ε Ω d E Ω d ως, ΘΕΩΡΗΜΑ 56 ο σελ6 Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δυο συρτήσεω, με κι τις ευθείες κι είι: E Ω d Απόδειξη Επειδή οι συρτήσεις, είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε c c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω Σχ =+c Ω = Ω = Επομέως, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ: =+c Άρ, ΘΕΩΡΗΜΑ 57 ο σελ6 [ c c] d Ε Ω Ε Ω d E Ω d Ν ποδείξεις οτι το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση μις συάρτησης, με γι κάθε [, ] κι τις ευθείες κι Σχ Απόδειξη E Ω d Πράγμτι, επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης, έχουμε Ω d ] d E [ d Επομέως, γι μι συάρτηση ισχύει γι κάθε [, ], τότε E Ω d Ω = Επιμέλει: Κώτσου Αθ

35 ΘΕΩΡΗΜΑ 58 ο σελ7 Ν ποδείξεις το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι είι ίσο με: Απόδειξη E Ω d Ότ η διφορά δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ], όπως στο Σχήμ 3, τότε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω3 Δηλδή, Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω3 γ d d d δ γ d d γ d Επομέως, γ δ d E Ω d δ δ Ω γ = = Ω Ω 3 δ 3 Επιμέλει: Κώτσου Αθ