Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209
Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F : R ισχύει F (x) = f (x) για κάθε x, τότε η F ονομάζεται αντιπαράγωγος ή παράγουσα ή αρχική συνάρτηση της f στο διάστημα. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο, τότε κάθε συνάρτηση της μορφής F + c, c οποιαδήποτε σταθερά, είναι επίσης αντιπαράγωγος της f. Αόριστο ολοκλήρωμα της f είναι μία οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μία σταθερά, κάθε μία από τις οποίες είναι αντιπαράγωγος της f. Το αόριστο ολοκλήρωμα της f συμβολίζεται f (x) dx.
Ισχύει: f (x) dx = F (x) + c για κάθε x Η διαδικασία εύρεσης της F (x) + c ονομάζεται ολοκλήρωση της f. Παρατηρήσεις. Το σύμβολο και το dx δηλώνουν τη διαδικασία της ολοκλήρωσης η οποία είναι ανεξάρτητη από τοόνομα της μεταβλητής x. Για παράδειγμα οι εκφράσεις f (x) dx, f (t) dt συμβολίζουν το αόριστο ολοκλήρωμα της f. 2. Η παραγώγιση μιας στοιχειώδους συνάρτησης οδηγεί σε στοιχειώδη συνάρτηση, ενώ η ολοκλήρωση όχι. Επίσης η διαδικασία της ο- λοκλήρωσης είναι δυσκολότερη και απαιτεί ιδιαίτερες μεθόδους και τεχνικές. Ακολουθεί πίνακας βασικών και σύνθετων αόριστων ολοκληρωμάτων. Οι τύποι του πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 0 dx = c 2. dx = x + c 3. dx = ln x + c x 4. x n dx = x n+ n + + c, n 5. sin x dx = cos x + c 6. cos x dx = sin x + c 7. dx = tan x + c cos 2 x 8. dx = cot x + c sin 2 x 9. e x dx = e x + c 0. a x dx = ax ln a + c, 0 < a ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f (x) dx = f (x) + c f (x) dx = ln f (x) + c f (x) f n (x) f (x) dx = f n+ (x) +c, n n + sin(f (x)) f (x) dx = cos(f (x)) + c cos(f (x)) f (x) dx = sin(f (x)) + c cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c a f (x) f (x) af (x) dx = ln a + c, 0 < a
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ dx. = arc sin x + c, x < f (x) dx = arc sin f (x) + c x 2 f 2 (x) f (x) 2. dx = arc tan x + c dx = arc tan f (x) + c + x 2 + f 2 (x) 3. sinh x dx = cosh x + c, f (x) sinh f (x) dx = cosh f (x) + c 4. cosh x dx = sinh x + c, f (x) cosh f (x) dx = sinh f (x) + c Επίσης συχνά εμφανίζονται και τα ολοκληρώματα: x 5. 2 ± α 2 dx = x x 2 ± α 2 2 ± α2 2 ln x + x 2 ± α 2 + c, α R dx 6. x 2 ± α = ln x + x 2 ± α 2 + c, α R 2 dx 7. ( x 2 ± α 2) = ±x 3/2 α 2 x 2 ± α + c, α 2 R α2 8. x 2 dx = x α2 x 2 2 + α2 2 arc sin ( x ) + c, x < α a
Παρατηρήσεις. Γενικότερα για το ολοκλήρωμα 3 έχουμε: dx = ln x ρ + c. x ρ 2. Για το ολοκλήρωμα 4 και για ν = : 2 dx = 2 x + c, x > 0, x f (x) αν f (x) > 0 τότε dx = 2 f (x) + c. f (x) 3. Για τα και 2 έχουμε αντίστοιχα γενικότερα: dx ( x ) α 2 x = arc sin + c, x < α, 2 α dx α 2 + x 2 = ( x ) α arc tan + c, α 0. α
Κανόνες ολοκλήρωσης Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν παράγουσα στο διάστημα, τότε: λf (x) dx = λ f (x) dx, λ R [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Εστω συναρτήσεις f, g : R, έτσι ώστε οι συναρτήσεις f, g : R να είναι συνεχείς στο διάστημα. Τότε x ισχύει: f (x) g (x) dx = f (x) g(x) f (x) g(x) dx () Παρατηρήσεις. Η μέθοδος εφαρμόζεται όταν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ή μπορεί να αναχθεί σε γινόμενο δύο συναρτήσεων εκ των οποίμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ (Αριστοτλε Υνι ερσιτψ Ασκήσεις οφ Τηεσσαλονικι)
ων η μία μπορεί εύκολα να παραγωγιστεί επανειλημμένα ενώ η άλλη εύκολα να ολοκληρωθεί επανειλημμένα. 2. Η μέθοδος εφαρμόζεται όταν το ολοκλήρωμα f (x) g(x) dx του2ου μέλους της σχέσης () είναι ευκολότερο από το ολοκλήρωμα f (x) g (x) dx του ου μέλους. Παραδείγματα. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ln x dx, x > 0. ln x dx = ln x dx = (x) ln x dx () = x ln x x (ln x) dx = x ln x x dx = x ln x dx = x ln x x + c x () Εφαρμόστηκε ο τύπος () της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα (x 2 + x)e x dx. (x 2 + x)e x dx = (e x ) (x 2 + x) dx () = e x (x 2 + x) e x (x 2 + x) dx = e x (x 2 + x) e x (2x + ) dx = e x (x 2 + x) (e x ) (2x + ) dx () = e x (x 2 + x) e x (2x + ) + e x (2x + ) dx = e x (x 2 + x) e x (2x + ) + 2e x dx = e x (x 2 + x) e x (2x + ) + 2e x + c () Εφαρμόστηκε ο τύπος () της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Στο γινόμενο των δύο αρχικών συναρτήσεων x 2 + x και e x δεν γράψαμε x 2 x ( ) + x = 3 + x2 3 2 γιατί με την εφαρμογή του τύπου () θα καταλήγαμε σε δυσκολότερο ολοκλήρωμα.
Η κατά παράγοντες ολοκλήρωση (τύπος ()) εφαρμόζεται σταπαρακάτω ολοκληρώματα εφόσον αυτά είναι καλά ορισμένα.. ln x dx = (x) ln x dx 2. ln(g(x)) dx = (x) ln(g(x)) dx ( x x κ κ+ ) ln x dx = ln x dx κ + f (x) ln(g(x)) dx = F (x) ln(g(x)) dx, ( e αx sin(λx) dx = α eαx) sin(λx) dx ( e αx cos(λx) dx = α eαx) cos(λx) dx óπoυ F (x) = f (x) Ο τύπος () εφαρμόζεται 2 φορές και δημιουργείται εξίσωση με ά- γνωστο το αρχικό ολοκλήρωμα.
3. x κ sin(αx) dx = x κ cos(αx) dx = x κ e αx dx = ( x κ ) α cos(αx) dx x κ ( α sin(αx) ) dx x κ ( α eαx) dx Ο τύπος () εφαρμόζεται κ φορές. 4. P(x) sin(αx) dx = P(x) cos(αx) dx = P(x) e αx dx = ( P(x) ) α cos(αx) dx P(x) ( α sin(αx) ) dx P(x) ( α eαx) dx Ο τύπος () εφαρμόζεται ν φορές όπου ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου P(x).
2. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Ο στόχος μας είναι να αντικαταστήσουμε το ολοκλήρωμα f (x) dx με ένα ευκολότερο. Αν η μεταβλητή x είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής u, δηλαδή x = g(u), όπου η g είναι συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε αντικαθιστούμε το x με τη συνάρτηση g(u), το dx με g (u) du και το αρχικό ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται ως εξής: f (x) dx = f (g(u)) g (u) du Μετά την ολοκλήρωση ως προς u επανερχόμαστε στη μεταβλητή x. Παράδειγμα Στο ολοκλήρωμα e x sin e x dx θέτουμε u = e x οπότε du = (e x ) dx = e x dx και αυτό γίνεται e x sin e x dx = sin u du = cos u + c = cos(e x ) + c
Στη συνέχεια δίνονται κάποια ολοκληρώματα όπου ενδείκνυται η μέθοδος της αντικατάστασης. Ολα τα ολοκληρώματα είναι καλά ορισμένα ενώ στο κάθε ένα από αυτά προτείνεται μία αλλαγή μεταβλητής ή ένας μαθηματικός μετασχηματισμός.. 2. 3. 4. f (αx + β) dx, cos(αx + β) dx, αx + β dx, sin(αx + β) dx e αx+β dx u = αx + β f (x, κ x λ,..., κν x µ ) dx, u = κ x, κ = EKΠ(κ,..., κ ν ) ( ) f x, κ (αx + β) λ,..., κν (αx + β) µ dx, u = κ αx + β, ( ) αx + β κ f dx, γx + δ u = κ αx+β γx+δ
5. 6. f (x) κ αx + β dx, f (x) κ g(x) dx f (x) dx g(x) κ u = κ αx + β, f (x) πoλυώνυµo αν f (x) = αg (x) : u = g(x) ή u = κ g(x) f (x) 7. 8. 9. 0. f (x) dx, f (e x ) dx, u = f (x) u = e x f (x 2 ) dx, u = x 2 f (ln x) x dx, u = ln x
. 2. 3. 4. f (sin x) cos x dx, f (cos x) sin x dx, f (tan x) cos 2 x dx, u = sin x u = cos x u = tan x dx (x 2 + α 2, x = α tan u, α > 0 ) 2 α 5. 2 β 2 x 2 dx, x = α sin u, α, β > 0 β α 6. x 2 β 2 dx, x = β α sin u, α, β > 0 α 7. x 2 + β 2 dx, x = α tan u, β α, β > 0 Σχόλιο: Σε 4, 7 u ( π 2, π 2 u ( 0, π 2 ]. ) [ π, σε 5 u 2, π ] [ π, σε 6 u 2 2, 0) ή
8. sin 2ν+ x dx, sin 2ν+ x cos κ x dx, cos 2ν+ x dx, sin κ x cos 2ν+ x dx, sin 2ν+ x cos κ x dx, cos 2ν+ x sin κ x dx, ν, κ N α) sin 2ν+ x = sin 2ν x sin x = ( cos 2 x) ν ( cos x), u = cos x, β) cos 2ν+ x = cos 2ν x cos x = ( sin 2 x) ν (sin x), u = sin x 9. sin 2ν x dx cos 2ν x dx sin 2ν x cos 2ν x dx sin 2 x = cos 2 x = cos 2x 2 + cos 2x 2
20. 2. sin αx sin βx dx cos αx cos βx dx sin αx cos βx dx 2 sin α sin β = cos(α β) cos(α + β) 2 cos α cos β = cos(α β) + cos(α + β) 2 sin α cos β = sin(α β) + sin(α + β) f (sin x, cos x) dx ɛκτóς των 7, 8, 9 : u = tan x 2 sin x = 2u u2 2 du, cos x =, dx = + u2 + u2 + u 2. Μερικές φορές για άρτιες δυνάμεις των sin x και cos x θέτουμε u = tan x, οπότε: sin 2 x = u2 + u 2, cos2 x = du, dx = + u2 + u 2.
22. P(x) Q(x) dx η Περίπτωση: P(x) είναι ένα πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού του ν, όπου ν είναι ο βαθμός του Q(x). Αναλύουμε το πολυώνυμο Q(x) με τη βοήθεια των ριζών του (πραγματικών και μιγαδικών) σε γινόμενο παραγόντων της μορφής (x ρ) κ και (x 2 + px + q) λ με p 2 4q < 0. Αναλύουμε το κλάσμα P(x) σε άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστές τους παράγοντες Q(x) (x ρ) κ και (x 2 + px + q) λ. Σε κάθε παράγοντα της μορφής (x ρ) κ αντιστοιχούμε τα κ κλάσματα A x ρ + A 2 (x ρ) 2 +... + A κ (x ρ) κ, A i R, i =,..., κ
Σε κάθε παράγοντα της μορφής (x 2 + px + q) λ με p 2 4q < 0 αντιστοιχούμε τα λ κλάσματα B x + C x 2 + px + q + B 2x + C 2 (x 2 + px + q) 2 +... + B λx + C λ (x 2 + px + q) λ, B j, C j R, j =,..., λ. Κάνουμε ομώνυμα όλα τα κλάσματα με παρονομαστή Q(x), τα α- θροίζουμε και εξισώνουμε το άθροισμα με το αρχικό κλάσμα P(x) Q(x). Από την εξίσωση των αριθμητών θα προκύψει σύστημα ως προς A i, B j, C j που θα επιλυθεί ως προς τους αγνώστους αυτούς. P(x) Το αρχικό ολοκλήρωμα dx ανάγεται σε άθροισμα ολοκλη- ρωμάτων της μορφής p 2 4q < 0. Q(x) dx και (x ρ) κ Bx + C dx με (x 2 + px + q) λ
α) Για τα ολοκληρώματα της μορφής Αν κ = : Αν κ : dx = ln x ρ + c, x ρ (x ρ) κ dx = + c. (x ρ) κ κ (x ρ) κ dx: Bx + C β) Στα ολοκληρώματα της μορφής dx με (x 2 + px + q) λ p 2 4q < 0 αρχικά κάνουμε τον μετασχηματισμό x 2 + px + q = (x + α) 2 + β 2, όπου α = p 2, β = q p2 4 και στη συνέχεια θέτοντας u = x + α καταλήγουμε σε ολοκληρώματα της μορφής u (u 2 + α 2 ) du ή λ (u 2 + α 2 ) du. λ
Για τα ολοκληρώματα της μορφής Αν λ = : u u 2 + α 2 du = 2 ln(u2 + α 2 ) + c, u du έχουμε (u 2 + α 2 ) λ u Αν λ : (u 2 + α 2 ) λ du = 2 (u2 + α 2 ) λ + c. λ Για τα ολοκληρώματα της μορφής du έχουμε τον αναδρομικό (u 2 + α 2 ) λ τύπο I λ = (u 2 + α 2 ) λ du = 2(λ )α 2 u 2λ 3 (u 2 + α 2 + ) λ 2(λ )α 2 I λ +c και I = u 2 + α 2 du = α tan ( ) u + c α
2η Περίπτωση: P(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του ν, όπου ν είναι ο βαθμός του Q(x). Αρχικά διαιρούμε το πολυώνυμο P(x) με το Q(x) και από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουμε P(x) = Q(x) π(x) + υ(x) και P(x) Q(x) π(x) + υ(x) = = π(x) + υ(x) Q(x) Q(x) Q(x) και το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται: P(x) Q(x) dx = π(x) dx + υ(x) Q(x) dx όπου το δεύτερο ανάγεται στην η περίπτωση εφόσον ο βαθμός του υ(x) είναι μικρότερος από τον βαθμό του Q(x). Παράδειγμα Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2x + x 4 + x 2 dx.
Αναλύουμε το κλάσμα 2x + σε άθροισμα απλών κλασμάτων: x 4 + x 2 2x + x 4 + x 2 = A x + B x 2 + Γx + x 2 + = (A + Γ)x 3 + (B + )x 2 + Ax + B x 4 + x 2 άρα πρέπει να ισχύει 2x + = (A + Γ)x 3 + (B + )x 2 + Ax + B οπότε προκύπτει A = 2, B =, Γ = 2, = και το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται: 2x + 2 x 4 + x 2 dx = x dx + x 2 dx 2x x 2 + dx x 2 + dx = 2 ln x x ln(x 2 + ) tan x + c.
ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Εστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] R. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο [α, β], τότε Παρατηρήσεις β α f (x) dx = F (α) F (β). Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας πραγματικός αριθμός ενώ το αόριστο είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. 2. Στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο ορισμένο ολοκλήρωμα β α f (x) dx απαιτείται α < β αλλά το ορισμένο ολοκλήρωμα ορίζεται γενικότερα και για α = β ή α > β.
Ασκήσεις. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) e sin x cos x dx β) γ) dx δ) cos 2 x tan x 2. Ομοια: 2x + 3 α) dx β) x 3 + x 2 2x x 4 + 3x 3 + x γ) dx δ) x 2 + 3. Ομοια: α) dx β) e 2x 3ex x 2 + x 2 dx 3x 3x 2 2x + 5 dx x 3 + x 5 dx x 4 dx e 3x + e x e 3x 3e x + 2 dx
4. Ομοια: α) + dx β) 3x + 2 5. Ομοια: α) sin 2x cos 6x dx β) γ) sin 4 x cos 3 x dx δ) 6. Ομοια: α) e x cos 2x dx β) γ) x 2 ln 2x dx δ) x 2 4 x 2 dx sin 4 x dx sin 2 x cos 2 x dx x 2 sin 4x dx x ln( + x ) dx