Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11. Η (, ) 2. (ε 2) είναι ο άξονας 12. Θ (, ) 3. (ε 3) είναι ο άξονας 13. Κ (, ) 4. (ε 4) είναι ο άξονας 14. Λ (, ) 5. Α (, ) 15. Μ (, ) 6. Β (, ) 16. Ν (, ) 7. Γ (, ) 17. Ο (, ) 8. Δ (, ) 18. Σ (, ) 9. Ε (, ) 19. Ρ 1 (, ) 10. Ζ (, ) 20. Ρ 2 (, )
2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας: θ μοίρες θ ακτίνια sin(θ) cos(θ) tan(θ) cot(θ) 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 270 0 360 0 3. Να αποδείξετε γεωμετρικά τη σχέση: cos(π φ) = cos(φ) 4. Να συμπληρώσετε τις σχέσεις: 1. cos(π + φ) = 6. cos( π 2 + φ) = 2. sin(π φ) = 7. sin( π 2 φ) = 3. sin( 3π 2 + φ) = 8. tan(π + φ) = 4. cos( 3π 2 φ) = 9. cot(3π 2 + φ) = 5. sin( π 2 + φ) = 10. tan(π 2 φ) =
5. Να αποδείξετε γεωμετρικά τη σχέση: tan(φ) = sin(φ) cos(φ) 6. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: cos(α β) = sin(α β) = 7. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα: tan(α β) = 8. Να αποδείξετε την ταυτότητα: sec 2 (x) = tan 2 (x) + 1 9. Να αποδείξετε την ταυτότητα: cos(x) csc(x) = sin ( x) tan(x)
10. Να λύσετε την εξίσωση: sin(4x + π) (sin(x) 3) = 0, κ [0, π) 11. Να λύσετε την εξίσωση: sec 2 (x) (cos 2 (x) + 3 2 cos(x) + 1 2 ) = 0
12. Να αποδείξετε πως σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α < 90 ο, Β < 90 ο, και Γ < 90 ο ισχύει ο νόμος των ημιτόνων, δηλαδή: α sin Α = β sin Β = γ sin Γ. 13. Να αποδείξετε, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο της απόστασης, πως για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων, δηλαδή: α 2 = β 2 + γ 2 2βγ cos Α.
14. Αν a > 0, a 1, x > 0, και k R, να αποδείξετε τον τύπο: log a (x k ) = k log a (x). 15. Αν α > 0, α 1, θ 1 > 0, και θ 2 > 0, να αποδείξετε τον τύπο: log α (θ 1 θ 2 ) = log α (θ 1 ) + log α (θ 2 ). 16. Να λυθεί η εξίσωση: log(x 1) + log(x) = 1 log(5) 17. Να λυθεί η εξίσωση: log(x 2 + 1) log(x) = log(2)
18. Να λυθεί η εξίσωση: log 3 (54) + log 5 ( 1 ) + x = log 5 3(2) 5 log 5 2 5( 5) 19. Να λυθεί η εξίσωση: ln(e x2 ) e ln(2x) = 3 20. Να λυθεί η εξίσωση: x = cos (3 ln( e π 5 ) 1 15 ln((e4 ) π ))
21. Να λυθεί η εξίσωση: log(e sin(x) ) = log(e cos2 (x) ) + log ( 1 e ) 22. Έστω διάνυσμα α = (21λ 2 + 11λ 2, 49λ 2 1) i) Να βρείτε το λ αν α = 0 ii) Να βρείτε το λ αν α 0 και α //άξονα-x iii) Να βρείτε το λ αν α 0 και α //άξονα-y
23. Να αποδείξετε ότι: α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 14. Έστω τα διανύσματα α = (0, 1) και β = (1, 2). Να βρείτε: i) α β ii) 3 α + β iii) (α β ) ( 3 α + β ) iv) (α α ) β v) α α β vi) α α β β
Ποιά συνάρτηση αντιστοιχεί σε ποιά γραφική παράσταση; 1. f(x) = ( 1 e )x 2. g(x) = ( 1 2 )x 3. h(x) = ( 1 10 )x Ποιά είναι η εξίσωση της ασύμπτωτης της g(x) = ( 1 2 )x ; 4. Ποιά εξίσωση ευθείας αντιστοιχεί σε ποιά ευθεία; 5. y = 2. 5 6. y = 2. 5 7. x = 2. 5 8. x = 2. 5 Ποιές είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας (2) με τον άξονα των x; 9. Αν η καμπύλη (1) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2 x και η ευθεία (2) έχει εξίσωση y = x, ποιά είναι η συνάρτηση της καμπύλης (3) και ποιά η εξίσωση της ευθείας (4); 10. 3 11. 4 Ποιά είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης (3); 12.
Αυτή είναι η γραφική παράσταση 13. f(x) = 14. D f = 15. R f = 16. περίοδος T = 17. lim x 0 f(x) = 18. lim x 0 + f(x) = Αν η καμπύλη (3) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = log 2 (x), ποιά συνάρτηση αντιστοιχεί σε ποιά γραφική παράσταση; 19. 1 20. 2 21. 4 Να βρείτε τα όρια: 22. lim x 0 + log 2(x) = 23. lim x + log 2(x) = Ποιά συνάρτηση αντιστοιχεί σε ποιά γραφική παράσταση; 24. f(x) = sin(x) 25. g(x) = 2sin(x) 26. h(x) = 3sin(x) Για τη συνάρτηση h(x) = 3sin(x) να βρείτε: 27. D h = 28. R h = 29. περίοδος T h = Για τη συνάρτηση g(x) = 2sin(x) να βρείτε: 30. D g = 31. R g = 32. περίοδος T g =
Αυτή είναι η γραφική παράσταση 33. f(x) = 34. D f = 35. R f = 36. lim x f(x) = 37. lim x + f(x) = Ποιές είναι οι ασύμπτωτες αυτής της συνάρτησης; 38. 39. Αυτή είναι η γραφική παράσταση 40. f(x) = 41. D f = 42. R f = 43. περίοδος T f = 44. lim x π f(x) = 2 45. lim f(x) = x π + 2 46. lim x π f(x) = 2 47. lim f(x) = x π + 2 Ποιές είναι οι τέσσερις ασύμπτωτες της f (1), (2), (3), (4); 48. 1 49. 2 50. 3 51. 4 Η καμπύλη (1) είναι η γραφική παράσταση 52. f(x) = Η άλλη καμπύλη είναι η γραφική παράσταση 53. g(x) =
Ποιά συνάρτηση αντιστοιχεί σε ποιά γραφική παράσταση; 54. f(x) = e x 55. g(x) = 10 x 56. h(x) = 2 x Ποιές είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της g με τον άξονα y; 57. Αυτή είναι η γραφική παράσταση 58. f(x) = 59. D f = 60. R f = 61. περίοδος T = 62. lim x 0 f(x) = 63. lim x 0 + f(x) = Βρείτε δύο ασύμπτωτες της f: 64. 65. Η καμπύλη (1) είναι η γραφική παράσταση 66. f(x) = 67. D f = 68. R f = 69. περίοδος T = Ποιές είναι οι εξισώσεις των ευθειών (2), (3), (4), (5); 70. 2 71. 3 72. 4 73. 5
Ποιά είναι η γραφική παράσταση 74. f(x) = x 75. g(x) = ln(x) 76. h(x) = e x Ποιές είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των f, g, και h; 77. f 1 (x) = 78. g 1 (x) = 79. h 1 (x) = Ποιά είναι η γραφική παράσταση 80. f(x) = sin(x) 81. g(x) = sin(x + π) 82. h(x) = sin(x) + π Για τη συνάρτηση h(x) = sin(x) + π να βρείτε: 83. D h = 84. R h = 85. περίοδος T = Αυτή είναι η γραφική παράσταση 86. f(x) = Να βρείτε τα όρια: 87. lim x π f(x) = 88. lim x π + f(x) = 89. lim x π f(x) = 90. lim x π + f(x) = Ποιές είναι οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της f (1), (2), (3); 91. 1 92. 2 93. 3
Αυτή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 1, με f(x) = sin(x) και D f = [ π 2, π 2 ]. 94. f 1 (x) = 95. D f 1 = 96. R f 1 = Ποιό είναι το σημείο τομής της f 1 με τον άξονα x; 97. Ποιά είναι η γραφική παράσταση 98. f(x) = e x 99. g(x) = e x 100. h(x) = e x 101. j(x) = e x Ποιό είναι το σημείο τομής της j(x) = e x με τον άξονα y; 102. Ποιά είναι η γραφική παράσταση 103. f(x) = cos(x) 104. g(x) = cos(2x) 105. h(x) = cos ( 1 2 x) Ποιά είναι η περίοδος της κάθε συνάρτησης; 106. περίοδος T f = 107. περίοδος T g = 108. περίοδος T h = Ποιό είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης h(x) = cos ( 1 2 x); 109. Ποιό είναι το σημείο τομής της συνάρτησης g με τον άξονα y; 110.