Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό. Αυτές οι έννοιες είναι εντελώς ϑεµελιώδεις αϕού χρησιµοποιούνται όχι µόνο σε όλα τα επώµενα αλλά και σε όλα τα Μαθηµατικά, την Επιστήµη και την Τεχνολογία. 1.1 Εκϕράσεις, Σύνολα, Μεταβλητές Η έννοια αντικείµενο είναι µια έννοια εντελώς γενική ώστε εισάγεται στη συζήτηση χωρίς ορισµό. Το σύµβολο είναι αντικείµενο ειδικής µορϕής που εκϕράζει ένα άλλο αντικείµενο. Η έκϕραση είναι οποιοσδήποτε συνδυασµός συµβόλων. Τα σύµβολα είναι επίσης εκϕράσεις. Μια έκϕραση µε νόηµα είναι η έκϕραση που εισάγεται είτε ως αρχική έννοια είτε ως έννοια που δίδεται µε ορισµό. Παράδειγµα 1.1.1 Τα επόµενα 1 έως 9 είναι εκϕράσεις. 1. 5 + µετά 2. 5 0 3. 5 4. 3 + 5 5. x + 25 6. x + 2 = 5 7. σηµείο, 8. 3 + 2 = 5 9. 3 = 5 Οι εκϕράσεις 1, 2 είναι χωρίς νόηµα ενώ οι 3, 4, 5, 6, 7 είναι εκϕράσεις µε νόηµα. Εννοείται ότι ϑα ασχοληθούµε µε εκϕράσεις που έχουν νόηµα. Τη Θεωρία των συνόλων εισήγαγε ο Γερµανός µαθηµατικός Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). Τα σύνολα απο-τελούνται απο (ή περιέχουν) στοιχεία ή σηµεία ή µέλη. Τα σύνολα συµβολίζουµε 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ συνήθως µε κεϕαλαία γράµµατα και τα στοιχεία τους µε µικρά (πεζά). Μια ϑεµελιακή σχέση στα σύνολα είναι το «ανήκει» που µαζί µε την άρνησή της «δεν ανήκει», συµβολίζεται µε τις εκϕράσεις a, a /, που σηµαίνουν ότι το αντικείµενο a είναι ή δεν είναι µέλος (στοιχείο) του συνόλου, αντιστοίχως. Στη ϐάση της Θεωρίας Συνόλων του Cantor υπάρχουν δύο διακρίσεις : 1. διάκριση των στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και των εκτός αυτού, 2. διάκριση µεταξύ τους, των στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο. ύο σύνολα, ϑεωρούνται ίσα και το γράϕουµε =, όταν αποτελούνται απο τα ίδια ακριβώς στοιχεία, δηλαδή όταν, κάθε στοι-χείο του είναι και στοιχείο του και επίσης κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο του. ύο ακραίες περιπτώσεις συνόλων είναι απαραίτητες για κάθε ϑέµα. Το έ- να είναι αυτό που περιέχει όλα τα στοιχεία, το καθολικό σύνολο ή σύνολο αναϕοράς (universal set) U ή Ω ή X, που αποτελεί το «σύµπαν» του ϑέ- µατος, µε την έννοια ότι, οποιοδήποτε σύνολο αναϕέρεται στο υπό µελέτη ϑέµα ϑα έχει τα στοιχεία του µέσα στο U. Το άλλο είναι αυτό που δεν περιέχει κανένα στοιχείο, το κενό σύνολο, που το συµβολίζουµε µε { } = και είναι απαραίτητο τουλάχιστον όσο και ο αριθµός 0. Οι σταθερές είναι τα σύµβολα που παριστάνουν µια συγκεκριµένη έννοια, όπως π.χ. τα σύµβολα των αριθµών 2, 3, των πράξεων +, - κ.λ.π. Οι µεταβλητές είναι σύµβολα που παριστάνουν ένα οποιοδήποτε («τυχόν», όχι συγκεκριµένο) στοιχείο απο κάποιο σύνολο. Για παράδειγµα, στις εκϕράσεις : n είναι ένας φυσικός αριθµός x είναι ένας πραγµατικός αριθµός τα σύµβολα n, x είναι µεταβλητές. Φαίνεται έτσι λοιπόν ότι, η µεταβλητή είναι συνδεδεµένη µε ένα σύνολο το οποίο είναι το νόηµα και η ουσία της µεταβλητής. Ετσι οι προηγούµενες εκϕράσεις γράϕονται τυπικά : n N, (n είναι ένας φυσικός αριθµός) x R, (x είναι ένας πραγµατικός αριθµός) Αν ένα σύνολο είναι πεπερασµένο µπορεί να εκϕρασθεί µε αναγραϕή (µέθοδος του καταλόγου), δηλαδή µε την ονοµασία όλων των µελών του. Το σύνολο του οποίου τα µέλη είναι a 1, a 2,..., a n γράϕεται ως = {a 1, a 2,..., a n }.

1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 7 Γενικότερα ένα σύνολο µπορεί να εκϕρασθεί µε περιγραϕή (µέθοδος του κανόνα), δηλαδή µε την ιδιότητα που ικανοποιείτα από όλα τα µέλη του συνόλου και µόνο αυτά. Το σύνολο του οποίου τα µέλη ικανοποιούν την ιδιότητα p γράϕεται ως = {x : x έχει την ιδιότητα p } = {x : p(x) }, όπου το σύµβολο : δηλώνει τη φράση «τέτοιο ώστε». Ο δεύτερος τρόπος γραϕής είναι γενικός, άρα απαραίτητος για τη ϑεωρία, ενώ ο πρώτος είναι ϐολικός για ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγµα, δεν ϑα µπορούσαµε να γράψουµε µε αναγραϕή όλους τους φυσικούς αριθµούς. Στην πρίπτωση αυτή πολλές φορές γράϕουµε {1, 2, 3,... }, αλλά αυτή η γραϕή δεν είναι ακριβής, είναι µόνο συµβατική και είναι έγκυρη µόνο επειδή ξέρουµε τι εννοούµε, δηλαδή ϑεωρούµε αυτονόητο τι «σηµαίνει» το σύµβολο... (τρείς τελείες). Οµως αυτό το σύµβολο σηµαίνει κάθε φορά κάτι διαϕορετικό ανάλογα µε τα συµϕραζόµενα. Εξ άλλου, πως ϑα µπορούσε κανείς να γράψει µε αναγραϕή τους πραγµατικούς αριθµούς ; Για το γενικό αυτό τρόπο έκϕρασης µάλιστα, δεχόµαστε ότι υπάρχει µια απλή αντιστοιχία κατά την οποία σε κάθε σύνολο αντιστοιχεί µια ιδιότητα a πού περιγράϕει (καθορίζει) τα στοιχεία του και µόνο αυτά. Αντιστρόϕως, σε κάθε ιδιότητα a αντιστοιχεί ένα σύνολο που τα στοιχεία του και µόνο αυτά, έχουν την ιδιότητα a. Αυτή την ϐασική αντιστοιχία στο πλαίσιο ενός καθολικού συνόλου X (αλλά και γενικότερα) την παριστάνουµε ως [ x X, a(x) x ], a = {x X : a(x) }. Τα σύνολα τα παριστάνουµε γραϕικά µε τα διαγράµµατα Venn, όπως στο Σχήµα 1.1. 1.2 Κλασική Λογική Προτασιακός Λογισµός Οι (λογικές) προτάσεις είναι οι εκϕράσεις µε νόηµα οι οποίες χαρακτηρίζονται µε ένα ακριβώς απο τους χαρακτηρισµούς : αληθής, ψευδής. Ετσι, στο Παραδειγµα 5.3.2, οι εκϕράσεις 8, 9 είναι προτάσεις, η µεν 8 αληθής, η δε 9 ψευδής. Τις λογικές προτάσεις τις συνδέουµε µεταξύ τους και σχηµατίζουµε άλλες λογικές προτάσεις. Για παράδειγµα, από τις λογικές προτάσεις :

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U a Το σύνολο αναϕοράς U Το σύνολο, a Σχήµα 1.1: Το σύνολο αναϕοράς U και το σύνολο µε a. p : το 4 είναι φυσικός αριθµός q : το 4 είναι µικρότερο του 7 σχηµατίζουµε την λογική πρόταση r : το 4 είναι φυσικός αριθµός και το 4 είναι µικρότερο του 7 την οποία στο συνήθη λόγο την εκϕράζουµε πιο απλά λέγοντας r : το 4 είναι φυσικός αριθµός και µικρότερος του 7 Στο παράδειγµα αυτό, από δύο λογικές προτάσεις p, q σχηµατίσαµε µια άλλη λογική πρόταση r συνδέοντάς τες µε το σύνδεσµο «και». Υπάρχουν διάϕοροι τρόποι µε τους οποίους, από λογικές προτάσεις σχηµατίζουµε άλλες, σύνθετες, λογικές προτάσεις, αλλά όλοι αυτοί οι τρόποι παράγονται από κάποιες ϐασικές περιπτώσεις. Στις περιπτώσεις αυτές, όπως έγινε στο προηγούµενο παράδειγµα µε το σύνδεσµο «και», χρησιµοποιούµε κάποιους λογικούς συνδέσµους. Οι ϐασικοί λογικοί σύνδεσµοι που ϑα χρησιµοποιήσουµε είναι οι,,, που διαβάζονται και, είτε, τότε, αντιστοίχως. Αυτοί, συνδέουν τις λογικές προτάσεις p, q σχηµατίζοντας τις νέες λογικές προτάσεις p q, p q, p q, που διαβάζονται p και q, p είτε q, p τότε q, αντιστοίχως. Στην τελευταία περίπτωση, συνήθως λέµε, «αν p τότε q» ή «p συνεπάγεται q». Η νέα πρόταση είναι αληθής (ισχύει) σύµϕωνα µε τον επόµενο πίνακα. p q και ισχύουν και οι δύο p q είτε ισχύει µία τουλάχιστον p q τότε όταν ισχύει η πρώτη τότε να ισχύει η δεύτερη δηλαδή η σύνθετη πρόταση είναι αληθής ή ψευδής για κάθε περίπτωση

1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 9 τιµών αληθείας των απλών προτάσεων όπως δείχνει ο επόµενος πίνακας, όπου 0, 1 σηµαίνει ψευδής, αληθής αντιστοίχως. Πίνακας 1.2.1 Οι τιµές αλήθειας των ϐασικών λογικών συνδέσµων. p q p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 Σε διδιάστατη µορϕή, όπως είναι και συνηθέστερο, έχουµε τους επόµενους 3 πίνακες. Πίνακας 1.2.2 Οι τιµές αλήθειας των ϐασικών λογικών συνδέσµων σε διδιάστατη µορϕή. 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Οι λογικές πράξεις p q, p q, p q λέγονται σύζευξη, εγκλειστική διάζευξη και συνεπαγωγή, αντίστοιχα. Η άρνηση µιας πρότασης p εκϕράζεται µε τον τελεστή και είναι η πρόταση p = p που διαβάζεται όχι p. Η πρόταση p έχει τιµή αληθείας αντίθετη της p, όπως δείχνει ο επόµενος πίνακας. Πίνακας 1.2.3 Η τιµή αλήθειας της άρνησης. p p 0 1 1 0 Εκτός από τις προηγούµενες σύνθετες προτάσεις µε τους ϐασικούς συνδέσ- µους και την άρνηση, υπάρχουν και όλες οι άλλες που παρά-γονται από αυτές µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, εϕαρµόζοντας τους λογικούς συνδέσµους και την άρνηση σε οποιεσδήποτε προτάσεις απλές ή σύνθετες έχουµε νέες λογικές προτάσεις. Για παράδειγµα, αν p, q είναι δύο προτάσεις οι (p q) (q p), (p q), ( p q) p, είναι επίσης λογικές προτάσεις. Η πρώτη από αυτές χρησιµοποιείται συχνά, λέγεται ισοδυναµία των p και q και συµβολίζεται σύντοµα µε p q.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Εκτός από τους ϐασικούς, ένας τελεστής που χρησιµοποιείται συχνά είναι η αποκλειστική διάζευξη +, η οπία διαβάζεται ή (προς διάκριση από την εγκλεισική διάζευξη που διαβάζεται είτε). Η πρόταση p + q είναι αληθής όταν µία ακριβώς από τις p, q είναι αληθής. Οι τιµές αληθείας της p + q δίδονται από τους επόµενους πίνακες. Πίνακας 1.2.4 Οι τιµές αλήθειας της αποκλειστικής διάζευξης. p q p + q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Πίνακας 1.2.5 Οι τιµές αλήθειας της αποκλειστικής διάζευξης σε διδιάστατη µορϕή. + 0 1 0 0 1 1 1 0 Για την απλοποίηση της γραϕής µε ελάττωση των παρενθέσεων (όπως και στις αλγεβρικές πράξεις), στις προτασιακές εκϕράσεις, εκτελούµε κατά σύµβαση τις πράξεις µε τη σειρά που δείχνει ο επόµενος πίνακας, + όπου κάθε τελεστής είναι ισχυρότερος (προηγείται) από τους επόµενους (και τους από κάτω). Για παράδειγµα, το προηγείται του, δηλαδή η έκϕραση p q r σηµαίνει (p q) r. Μια προτασιακή έκϕραση P (p 1, p 2,... p n ) που εξαρτάται από τις προτάσεις p 1, p 2,... p n λέγεται ταυτολογία όταν είναι πάντα αληθής οποιεσδήποτε και να είναι οι προτάσεις p 1, p 2,... p n. εχόµαστε ως ϐασικές ταυτολογίες στο Προτασιακό Λογισµό τις επόµενες. 1. Νόµοι προσεταριστικοί (associative). P 1. (p q) r Q 1. (p q) r p (q r), p (q r). 2. Νόµοι αντιµεταθετικοί (commutative). P 2. p q q p,

1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 11 Q 2. p q q p. 3. Νόµοι επιµεριστικοί (distributive). P 3. p (q r) (p q) (p r). Q 3. p (q r) (p q) (p r), 4. Νόµοι αυτοδύναµοι (idempotent). P 4. p p p, Q 4. p p p. 5. Νόµοι De Morgan (De Morgan s Laws) P 8. p q p q, Q 8. p q p q. Το σόνολο των Λογικών Προτάσεων ϑα το συµβολίζουµε µε L 0. Κατηγορικός Λογισµός Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε εκϕράσεις που µπορεί να µην είναι µεν προτάσεις αλλά έχουν µια σχέση µε τις προτάσεις, µε την έννοια ότι, µε κάποιους τρόπους γίνονται προτάσεις. Για παράδειγµα, οι εκϕράσεις x > 2, x + y = 4 (1.1) δεν είναι προτάσεις αϕού δεν µπορούµε να πούµε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, δηλαδή δεν έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα που ορίζει τις προτάσεις. Αν όµως ϑέσουµε x = 1 και y = 3, γίνονται οι εκϕράσεις 1 > 2, 1 + 3 = 4 (1.2) που είναι προτάσεις, η µεν πρώτη ψευδής η δε δεύτερη αληθής. ηλαδή οι εκϕράσεις (6.1) γίνονται λογικές προτάσεις όταν τα x και y γίνουν σ- ταθερές. Στις εκϕράσεις (6.1), τα x, y δεν µπορεί να είναι άλλο παρά µεταβλητές και αϕού οι µεταβλητές συνδέονται µε ένα σύνολο, η ακριβής γρϕή των (6.1), ϑα ήταν π.χ. ως x R, x > 2, x R, y R, x + y = 4. (1.3) Τα σύνολα των µεταβλητών µπορούν να παραλείπονται όταν είναι αυτονόητα και δεν υπάρχει κίνδυνος συγχίσεως, οπότε έχουµε την αρχική απλή γραϕή (6.1). Τέτοιες εκϕράσεις όπως οι (1.3) λέγονται προτασιακοί τύποι, ο πρώτος µε µία µεταβλητή και ο δεύτερος µε δύο µεταβλητές. Μια γενική αρχή και νοοτροπία στα Μαθηµατικά είναι να ιεραρχούνται οι παρόµοιες έννοιες σε διάϕορα επίπεδα γενίκευσης και όχι να ϑεωρούνται

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ απλώς διαϕορετικές. Για παράδειγµα, οι πραγµατικοί αριθµοί ϑεωρούνται (σταθερές) συναρτήσεις µέσα στο σύνολο των συναρτήσεων ή οι ακέραιοι ϑεωρούνται ϱητοί. Αυτή η αρχή και νοοτροπία δίνει µια συνοχή και συγκρότηση που είναι σηµαντικότατο πλεονέκτηµα στη δόµηση µιας ϑεωρίας. Ετσι και εδώ, δεν φαίνεται παράξενο ότι, οι Λογικές Προτάσεις ϑεωρούνται προτασιακοί τύποι µε καµία µεταβλητή. Ετσι έχουµε τον επόµενο ορισµό. Ορισµός 1.2.1 Οι προτασιακοί τύποι (ή προτασιακές συναρτήσεις) είναι το σύνολο των εκϕράσεων που αποτελείται από : 1. Τις Λογικές Προτάσεις L 0, 2. Για n = 1, 2, 3..., τις εκϕράσεις p(x 1, x 2,..., x n ) µε πεπερασµένο πλήθος µεταβλητών, που γίνονται λογικές προτάσεις όταν οι µεταβλητές τους γίνουν σταθερές. Το σύνολο των εκϕράσεων p(x 1, x 2,..., x n ) µε αυτή την ιδιότητα ϑα το συµβολίζουµε µε L n. Ο Κατηγορικός Λογισµός µελετάει τους προτασιακούς τύπους και ϐασίζεται στον Προτασιακό Λογισµό. Προτασιακοί τύποι µε µία, δύο τρείς κ.λπ. µεταβλητάς γράϕονται συνήθως p(x), p(x, y), p(x, y, z), κ.λπ. Οι προτασιακοί τύποι συνδέονται επίσης µε τους ίδιους λογικούς συνδέσ- µους, όπως οι λογικές προτάσεις και δίνουν άλλους, σύνθετους, προτασιακούς τύπους. ηλαδή, από τους προτασιακούς τύπους p(x), q(x) µε τους συνδέσµους έχουµε τους σύνθετους προτασιακούς τύπους p(x) q(x), p(x) q(x), p(x) q(x). Οµοια γίνεται και µε προτασιακούς τύπους που έχουν οσεσδήποτε µεταβλητές. Παρατήρηση 1.2.1 Για τη συνεπαγωγή. Επειδή ίσως οι τιµές αληθείας της συνεπαγωγής φαίνονται παράξε-νες, µάλλον ϑα πρέπει λίγο να τις συζητήσουµε. Στον Πίνακα 1.2.1 η συνεπαγωγή είναι ψευδής µόνο στην τρίτη γραµµή, όταν η p είναι αληθής και η q ψευδής. Στις άλλες περιπτώσεις η συνεπαγωγή είναι αληθής. Αυτό κατανοείται αν δούµε τί σηµαίναι p q. Είπαµε, ότι αυτό διαβάζεται και : «όταν p τότε q». Αυτό περιέχει και το νόηµα της συνεπαγωγής. ηλαδή, όταν ισχύει η p τότε πρέπει να ισχύει η q. Αυτό πρέπει να το δούµε κυριολεκτικά και όχι µε τυχόν πρόσθετες υποθέσεις ή αυθαίρετα συµφραζόµενα, κάτι που συµβαίνει στον καθηµερινό λόγο. Άλλωστε κυριολεκτικά είναι τα Μαθηµατικά όπως και η Μηχανή. Η έκϕραση, «όταν

1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 13 ισχύει η p τότε πρέπει να ισχύει η q», δεν λέει τίποτε άλλο εκτός από αυτό που λέει. εν λέει δηλαδή τί πρέπει να συµβαίνει όταν δεν ισχύει η p. Η µόνη περίπτωση που δεν συµβαίνει αυτό, δηλαδή δεν ισχύει : «όταν ισχύει η p τότε να ισχύει η q», είναι στην τρίτη γραµµή. Και τότε η συνεπαγωγή είναι ψευδής. Στις άλλες περιπτώσεις δεν τίθεται προυπόθεση ή συνθήκη και η συνεπαγωγή ϑεωρείται αληθής. Οι τιµές αληθείας της συνεπαγωγής κατανοούνται καλύτερα σε ένα ανώτερο, δηλαδή γενικότερο επίπεδο. Το επίπεδο αυτό είναι οι ανοχτές προτάσεις. Ας εξετάσουµε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα. Παράδειγµα 1.2.1 Για x > 0 ισχύει η συνεπαγωγή Τότε έχουµε : (x < 3) = (x 2 < 3 x + 10) (1.4) p(x) q(x) p(x) q(x) x x < 3 x 2 < 3 x + 10 (x < 3) (x 2 < 3 x + 10) 6 6 < 3 0 36 < 28 0 (6 < 3) (36 < 28) 1 4 4 < 3 0 16 < 22 1 (4 < 3) (16 < 22) 1 4 4 < 3 1 16 < 2 0 ( 4 < 3) (16 < 2) 0 2 2 < 3 1 4 < 16 1 (2 < 3) (4 < 16) 1 Η συνεπαγωγή (1.4) είναι αληθής µε την προϋπόθεση x > 0. Στις περιπτώσεις που είναι x > 0, δηλαλαδή εκτός της x = 4 του πίνακα, η συνεπαγωγή είναι αληθής. Επιστρέϕουµε στο αρχικό παράδειγµα, στις εκϕράσεις (6.1). Αυτές γίνονται επίσης προτάσεις και µε ένα άλλο τρόπο. Αν έχουµε για παράδειγµα την έκϕραση υπάρχει κάποιο x ώστε να ισχύει x > 2, (1.5) είναι φανερό ότι αυτή η έκϕρση είναι αληθής ή ψευδής, αϕού ή ϑα υπάρχει ή δεν ϑα υπάρχει κάποιο τέτοιο x. Οµοίως, αν έχουµε την έκϕραση για όλα τα x ισχύει x > 2, (1.6) είναι φανερό ότι και αυτή η έκϕρση είναι αληθής ψευδής, αϕού ή ϑα ισχύει για όλα τα x ή δεν ϑα ισχύει για όλα τα x. Οι εκϕράσεις : «υπάρχει κάποιο» και «για όλα τα» συµβολίζονται µε και αντίστοιχα και είναι οι ποσοδείκτες του Κατηγορηκού Λογισµού. Οι ποσοδείκτες λοιπόν διαβάζονται

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ για όλα (ή για κάθε), υπάρχει (ή υπάρχει τουλάχιστον ένα). Ετσι οι εκϕράσεις (1.5), (1.6) γράϕονται, τυπικά (και σύντοµα) ως x R, x > 2, (1.7) x R, x > 2, (1.8) και είναι όπως είπαµε λογικές προτάσεις. Αν για τη δεύτερη έκϕραση στην (6.1) κάνουµε το ίδιο, δηλαδή ϑεωρήσουµε τις εκϕράσεις x R, x + y = 4, (1.9) x R, x + y = 4, (1.10) καταλαβαίνουµε ότι για αυτές τις εκϕράσεις δεν µπορούµε να πούµε ότι είναι αληθείς ή είναι ψευδείς, αϕού αυτό εξαρτάται και από το y. Για την απλότητα του παραδείγµατος, ας υποθέσουµε ότι τα x και y παίρνουν τιµές από δύο µικρά σύνολα, τα X = {1, 2, 3} και Y = {3, 4} αντιστοίχως. Τότε οι εκϕράσεις (1.9), (1.10) σηµαίνουν αντιστοίχως ότι : (x = 1) 1 + y = 4, ισχύει κάποια από τις : (x = 2) 2 + y = 4, (1.11) ισχύουν όλες οι : (x = 3) 3 + y = 4 (x = 1) 1 + y = 4 (x = 2) 2 + y = 4 (x = 3) 3 + y = 4. (1.12) Με άλλα λόγια, αν χρησιµοποιήσουµε τον Κατηγορικό Λογισµό, οι εκϕράσεις (1.11), (1.12) σηµαίνουν αντιστοίχως : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.13) (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.14) οι οποίες προϕανώς είναι προτασιακοί τύποι µε µία µεταβλητή, την y, αντί δύο που είχε πρίν στην (6.1). Για συντοµία, ας ονοµάσουµε αυτές τις εκϕράσεις p(y) και q(y) αντίστοιχα, δηλαδή p(y) : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.15) q(y) : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.16)

1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 15 Μπορούµε τώρα να προτάξουµε κάποιο ποσοδείκτη στις (1.12), (1.13) και να γίνουν λογικές προτάσεις. Ετσι ϑα έχουµε τις προτάσεις y, (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.17) y, (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.18) Ολα αυτά σηµαίνουν ότι στην αρχική έκϕραση x + y = 4 στην (6.1), προτάξαµε δύο ποσοδείκτες και πήραµε διαδοχικά, τις εκϕράσεις : x, x + y = 4 (1.19) x, x + y = 4 (1.20) y, x, x + y = 4 (1.21) y, x, x + y = 4 (1.22) Παρατηρούµε λοιπόν ότι όταν προτάσσουµε ένα ποσοδείκτη ο προτασιακός τύπος γίνεται µε µία λιγότερη µεταβλητή. Η σειρά µε την οποία προτάσσονται οι ποσοδείκτες είναι οποιαδήποτε. Ετσι γενικά, για ένα προτασιακό τύπο p(x) µε µία µεταβλητή, έχουµε τις προτάσεις : x X, p(x), (1.23) x X, p(x). (1.24) Για ένα προτασιακό τύπο p(x, y) µε δύο µεταβλητές, έχουµε τις προτάσεις : y Y, x X, p(x, y), (1.25) y Y, x X, p(x, y), (1.26) y Y, x X, p(x, y), (1.27) y Y, x X, p(x, y). (1.28) κ.ο.κ. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι το νόηµα και η τιµή αληθείας στις (1.25)-(1.28), είναι διαϕορετικά. Για παράδειγµα, οι εκϕράσεις σηµαίνουν αντνιστοίχως : x X, y Y, x < y (1.29) x X, y Y, x < y (1.30) κάποιο x είναι µικρότερο από όλα τα y, όλα τα x είναι µικρότερα από κάποιο y. Γενικά τώρα, στον προτασιακό τύπο p(x 1, x 2,..., x n ) µπορούµε να προτάξουµε m ποσοδείκτες, µε 0 m n, και να έχουµε ένα προτασιακό τύπο µε n m µεταβλητές.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Τελειώνουµε την παράγραϕο αυτή µε ένα παράδειγµα που περιγράϕει µια έννοια από τις πιο ϑεµελιώδεις στην Μαθηµατική Ανάλυση και είναι µια έκϕραση µε τρείς ποσοδείκτες. Είναι η έννοια του ορίου και ϑα πάρουµε την περίπτωση του ορίου ακολουθίας x : N R, x(n) = x n. Εξ ορισµού, η x n έχει όριο τον x και γράϕουµε όταν lim x n n = x ε > 0, m N, n > m, x n x < ε. (1.31) Αν συµβολίσουµε µε ε = (x ε, x + ε) N x = { ε : ε > 0 } T m = {m + 1, m + 2, m + 3,... } N = { T m : m N } έχουµε, µια περιοχή ε του x στο R και το σύνολο των περιοχών N x του x. Οµοια έχουµε, µια περιοχή T m (που λέγεται ουρά του m) του στο N και το σύνολο των περιοχών N του. Επίσης, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εικόνα x(t m ) = {x n : n T m } = {x m+1, x m+2, x m+3,... } του T m µέσω της ακολουθία x. Τα σύµβολα αυτά συµπυκνώνουν τις εκϕράσεις και ο ορισµός (1.31) παίρνει την απλή µορϕή V N x, W N, x(w ) V. (1.32) Για να αναλυθεί και να κατανοηθεί η λειτουργία των ποσοδεικτών πρέπει να παρατηρήσουµε τα εξής : 1. Οι ποσοδείκτες στην (1.31), αναϕέρονται στα n, m, ε αλλά όχι στο x. Το x είναι ένας συγκεκριµένος αριθµός, δεν είναι µεταβλητή για τους ποσοδείκτες αυτούς. Ας πάρουµε ένα παράδειγµα για να γίνει απλό. Την ακολουθία x n = Τότε η (1.31) είναι n n+1 και τον αριθµό x = 1, αϕού πράγµατι έχουµε lim n n n + 1 = 1. ε > 0, m N, n T m, n n + 1 1 < ε

1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 17 ή ε > 0, m N, n T m, Η (1.33) έχει σταδιακά τη µορϕή ε (0, + ), ε (0, + ), { m N, { } m N, q(m, ε) 1 n + 1 < ε (1.33) [ ] } n T m, p(n, ε) ε (0, + ), r( ε ). όπου κάθε ποσοδείκτης ελαττώνει κατά µία τις µεταβλητές και τελικά είναι ένας προτασιακός τύπος µε καµία µεταβλητή, δηλαδή µια λογική πρόταση. 1.3 Κλασικά Σύνολα Σχέσεις Συνόλων Αν κάθε µέλος του συνόλου είναι επίσης µέλος του συνόλου, τότε το λέγεται υποσύνολο του, και γράϕεται ως. Η προηγούµενη σχέση των συνόλων είναι η σχέση του περιέχεσθαι και εκϕράζεται µε την (x = x ). και ισοδύναµα µε την ( x, x ). Η ισότητα των συνόλων εκϕράζεται µε τη σχέση του περιέχεσθαι από την = [ ( x, x ) ( x, x ) ]. Αν ισχύουν και, τότε το περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο το οποίο δεν είναι µέλος του. Τ ο λέγεται τότε γνήσιο υποσύνολο (proper subset) του και αυτό συµβολίζεται µε. Για τη σχέση του περιέχεσθαι, δεχόµαστε ότι το κενό είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή ότι.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Θεώρηµα 1.3.1 Για τη σχέση του περιέχεσθαι ισχύουν οι επόµενες προτάσεις. 1. U, 2., 3. ( ) = =, 4. ( C ) = C. Κάποια πολύ ϐασικά σύνολα που χρησιµποποιούνται σε όλα τα Μα- ϑηµατικά και τις εϕαρµογές τους είναι τα σύνολα των αριθµών. Αυτά είναι τα N, Z, Q, R, C που ονοµάζονται αντιστοίχως σύνολο των Φυσικών, Ακεραίων, Ρητών, Πραγµατικών, και Μιγαδικών αριθµών. Τα σύνολα των αριθµών που απλώς αναϕέρονται εδώ, αποτελούν ένα πολύ ϑεµελιακό ϑέµα για όλα τα µαθηµατικά και τις εϕαρµογές τους. Τα σύνολα αυτά έχουν πράξεις, σχέσεις και ιδιότητες των πράξεων και σχέσεων, που είναι απαραίτητες για την µελέτη σχεδόν οποιουδήποτε ϑέµατος στα Μαθηµατικά, την Επιστήµη και την Τεχνολογία. Ολα αυτά, προς το παρόν ϑεωρούνται γνωστά, αλλά επειδή το ϑέµα είναι πολύ ϑεµελιακό, ϑα γίνει µια σύντοµη περιήγηση στους αριθµούς µε το επόµενο κεϕάλαιο. Τελεστές στα Σύνολα Για ένα σύνολο ορίζεται το συµπληρωµατικό του (σε σχέση µε το καθολικό σύνολο U) ως το Ā = c = {x U : x }. Τη σχέση του περιέχεσθαι και το συµπλήρωµα στα σύνολα περιστάνουµε γραϕικά όπως στο Σχήµα 1.2. Από δύο σύνολα, σχηµατίζουµε (κατασκευάζουµε) ένα άλλο σύνολο µε διάϕορους τρόπους. Ετσι έχουµε τις επόµενες πράξεις των συνόλων : 1. = {x U : x x }, 2. = {x U : x x }, 3. \ = {x U : x x }, 4. + = ( ) \ ( ),

1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 19 U U c b c, b c Σχήµα 1.2: Συµπληρωµατικό του και υποσύνολο του. U U Σχήµα 1.3: Η ένωση και η τοµή των συνόλων. που λέγονται αντίστοιχα, ένωση (union), τοµή (intersection), διαϕορά και συµµετρική διαϕορά (ή διαζευκτικό άθροισµα). Τις πράξεις των συνόλων τις παριστάνουµε µε τα διαγράµµατα Venn όπως στα Σχήµατα 1.3 και 1.4. ύο σύνολα, λέγονται ξένα µεταξύ τους αν =, δηλαδή αν δεν έχουν κοινά στοιχεία. Θεώρηµα 1.3.2 Για τις πράξεις των συνόλων ισχύουν οι ιδιότητες 1. Νόµοι προσεταριστικοί (associative). P 1. ( ) C = ( C), Q 1. ( ) C = ( C). 2. Νόµοι αντιµεταθετικοί (commutative). P 2. =, Q 2. =.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U \ + Σχήµα 1.4: Η διαϕορά και η συµµετρική διαϕορά των συνόλων. 3. Νόµοι επιµεριστικοί (distributive). P 3. ( C) = ( ) ( C). Q 3. ( C) = ( ) ( C), 4. Νόµοι αυτοδύναµοι (idempotent). P 4. =, Q 4. =. 5. Νόµοι Ταυτότητας. P 5. =, Q 5. X =. 6. Νόµοι Απορροϕητικοί. P 6. X = X, Q 6. =, 7. Νόµοι Συµπληρώµατος. P 7. = X, Q 7. =. 8. Νόµοι De Morgan (De Morgan s Laws) για την ένωση, τοµή, και συµπλήρωµα. P 8. =, Q 8. =. Απόδειξη. Ως άσκηση. Οι ιδιότητες P 7 Q 7 λέγονται αντίστοιχα :

1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 21 P 7 : νόµος του αποκλεισµού του ενδιάµεσου (law of excluded middle), Q 7 : νόµος της αντίϕασης (law of contradiction). Παρατήρηση 1.3.1 Αρχή του δυϊσµού (ή δυϊκότητας). Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι όλες οι ιδιότητες στο Θεώρηµα 1.3.2 διευθετούνται σε Ϲεύγη (P n, Q n ), n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Σε κάθε Ϲεύγος οι ιδιότητες P n, Q n, µπορούν να ληϕθούν η µία απο την άλλη (την αντίστοιχή της) µε τον µετασχηµατισµό : D :,, U. Ετσι οι σχέσεις του Θεωρήµατος 1.3.2 είναι Ϲευγάρια δυϊκών σχέσεων. Αυτό επεξηγεί µια γενική αρχή δυϊσµού (general principle of duality) η οποία είναι η επόµενη. Γενική αρχή δυϊσµού: Για κάθε ισχύουσα πρόταση T (,, C,,,,,, X ) στη Θεωρία Συνόλων, αντιστοιχεί µια δυϊκή πρόταση, DT = T (,, C,,,,, X, ), η οποία λαµβάνεται µε τον µετασχηµατισµό D και ισχύει επίσης. Παράδειγµα 1.3.1 υϊκές προτάσεις. Στην πρόταση αντιστοιχεί η δυϊκή πρόταση = =, = =. Επειδή τα Μαθηµατικά ϑεµελιώνονται στη ϐάση της Θεωρίας των Συνόλων, η αρχή δυϊσµού διατρέχει σε κάποιο ϐαθµό όλα τα Μαθηµατικά, τόσο περισσότερο όσο πιο ϑεµελιακό είναι το ϑέµα. Για παράδειγµα, στην Προβολική Γεωµετρία του Επιπέδου, οι δύο προτάσεις : P : δύο σηµεία ορίζουν ευθεία,

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Q : δύο ευθείες ορίζουν σηµείο, είναι δυϊκές και οι έννοιες σηµείο, ευθεία, είναι αντίστοιχες, όπως οι έννοιες, X στη Θεωρία Συνόλων. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σηµείο που ορίζουν είναι το επ άπειρο (ή κατ εκδοχή) σηµείο. Θεώρηµα 1.3.3 Για τις πράξεις των συνόλων επίσης ισχύουν : 1. \ = \ ( ), 2. + = ( \ ) ( \ ) = c + c. Απόδειξη. Ως άσκηση. Οικογένειες Συνόλων Ενα σύνολο του οποίου τα ίδια τα στοιχεία του i είναι επίσης σύνολα, λέγεται οικογένεια συνόλων (family of sets) και γράϕεται µε = { i : i I}, όπου I είναι (και λέγεται αντιστοίχως) ένα σύνολο, το σύνολο δεικτών (identification set) και i I ο δείκτης συνόλου (set identifier). Μια συχνά χρησιµοποιούµενη οικογένεια συνόλων, είναι το σύνολο (όλων) των υποσυνόλων του, που συµβολόζεται µε P(), δηλαδή P() = {K : K } και λέγεται δυναµοσύνολο του. Για παράδειγµα αν = {1, 2} τότε { } { } P() = { }, {1}, {2}, {1, 2} =, {1}, {2},. Επαγωγικά ορίζεται το δυναµοσύνλο κάθε τάξης ως P 0 (X) = X, P n+1 (X) = P(P n (X)). Παράδειγµα 1.3.2 Τα δυναµοσύνολα δύο µικρών συνόλων. 1. Για X = { } = είναι, P 0 (X) = X = {} P 1 (X) = P(X) = { } ( ) { } P 2 (X) = P(P(X)) = P { } =, { } ({ }) P 3 (X) = P(P 2 (X)) = P, { } { } =, { }, {{ }}, {, { }}.

1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 23 2. Για X = {1} είναι, P 0 (X) = X = {1} P 1 (X) = P(X) = {, X} ( ) P 2 (X) = P(P(X)) = P {, X} = { }, { }, {X}, {, X}. Ορισµός 1.3.1 Για µια οικογένεια συνόλων = { i : i I} η ένωση και η τοµή γενικεύονται ως 1. = { i : i I} = i = { x : i I, x i }, i I 2. = { i : i I} = i I i = { x : i I, x i }. Θεώρηµα 1.3.4 Για τις οικογένειες = { i : i I} = { j : j J} µε ισχύουν 1. i j, 2. i j. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα 1.3.5 Για την κενή οικογένεια = ισχύουν 1. =, 2. = X. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Μια επίσης σηµαντική στις εϕαρµογές, οικογένοια συνόλων, είναι αυτή που δίνεται µε τον επόµενο ορισµό.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ a f 1 d b g h 3 c 2 e i = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} 1 = {a, d, f} 2 = {b, c, e, i} 3 = {h, g} D = { 1, 2, 3 } Σχήµα 1.5: Ενας διαµερισµός D = { 1, 2, 3 } του συνόλου. Ορισµός 1.3.2 Θεωρούµε ένα σύνολο και µια οικογένεια συνόλων D = { i : i I}. Η D λέγεται διαµέριση ή διαµερισός (partition) του αν ισχύουν : P 1. i I, i, P 2. i I, i, P 3. i j = i j =, P 4. D = { i : i I } = i I i =. ηλαδή, διαµέριση του είναι µια οικογένεια µη κενών υποσυνόλων του που είναι ξένα µεταξύ τους και η ένωσή της είναι το. Την οικογένεια των διαµερίσεων του συµβολίζουµε µε το σύµβολο π(), δηλαδή π() = {D : D διαµέριση του }. Στο Σχήµα 1.5 ϐλέπουµε µια διαµέριση D = { 1, 2, 3 } του συνόλου = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}. Παράδειγµα 1.3.3 Για το σύνολο = {1, 2} η οικογένεια των διαµερίσεων του είναι { {{1}, } { } } π() = {2}, {1, 2},. Για το σύνολο = {1, 2, 3} η οικογένεια των διαµερίσεων του είναι π() = { { } { } { } { } { }} {1}, {2}, {3}, {1}, {2, 3}, {2}, {1, 3}, {3}, {1, 2}, {1, 2, 3}.

1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 25 Παρατήρηση 1.3.2 (Παράδοξο του Russell). Οταν ο Cantor εισήγαγε τη Θεωρία Συνόλων στα Μαθηµατικά, έδωσε τον ορισµό : Σύνολο λέγεται µια συλλογή οµοειδών αντικειµένων υλικών ή της νοήσεως καλώς ορισµένων και διακεκριµένων τα οποία ϑεωρούµε ως µία ολότητα. Αργότερα ο ertrand Russell (1872-1970) παρατήρησε ότι αν ϑεωρήσουµε ως καθολικό σύνολο, το σύνολο U = S όλων των συνόλων και το υποσύνολο αυτού S 0, των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, δηλαδή S 0 = { S : }, τότε S 0 S 0 = S 0 S 0, S 0 S 0 = S 0 S 0. ηλαδή, κάτι ισχύει όταν δεν ισχύει και δεν ισχύει όταν ισχύει. Η αντινοµία αυτή είναι γνωστή ως Παράδοξο του Russell. Ετσι διαπιστώθηκε ότι ο αρχικός απλοϊκός ορισµός του Cantor είναι ανεπαρκής διότι περιέχει αντιϕάσεις. Τέτοιες αντιϕάσεις είναι στη ϐάση διαϕόρων παροµοίων παραδόξων όπως είναι το παράδοξο του κουρέα (Παραδειγµα 1.3.4, Άσκηση 15). Αυτά τα προβλήµατα οδήγησαν στην περεταίρω ανάπτυξη της Θεωρίας Συνόλων, ώστε να αρθούν οι αντιϕάσεις. Σηµαντικά ϐήµατα στην εξέλιξη της Θεωρίας Συνόλων είναι : Γενικεύτηκε η αρχική ϑεωρία σε µια ευρύτρη ϑεωρία µεταβαίνοντας απο τα σύνολα σε ευρύτερες έννοιες, όπως οι κλάσεις κ.λπ., ώστε να απαλοιϕθούν οι αντιϕάσεις. Γενικεύτηκε η χρήση των συνόλων σε όλα τα Μαθηµατικά και έγινε πράγµατι η γλώσσα και το ϑεµέλιο των Μαθηµατικών. Γενικεύτηκε η αρχική ϑεωρία σε µια άλλη κατεύθυνση µεταβαίνοντας απο τα σύνολα στα ασαϕή σύνολα (Fuzzy Sets) µε παράλληλη εξέλιξη της λογικής στην ασαϕή λογική (Fuzzy Logic), δύο νέες ϑεωρίες µε πολλές εϕαρµογές στη σύγχρονη Τεχνολογία. Ας κλείσουµε τη παράγραϕο αυτή µε κάτι διασκεδαστικό. Παράδειγµα 1.3.4 Το παράδοξο του κουρέα. εν είναι τυχαίο λοιπόν, ότι ο ίδιος ο Russell διατύπωσε το περίϕηµο αυτό παράδοξο : Ενας κουρέας έχει στην πόρτα του την εξής πινακίδα : ξυρίζω αυτούς και µόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται µόνοι τους

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4 3 2 1 c b a c b a 1 2 3 4 Βελοειδές Καρτεσιανό Σχήµα 1.6: ιαγράµµα του Καρτεσιανού γινοµένου. Αϕού λοπόν ο κουρέας έχει αυτή την πινακίδα, τότε ποιός ξυρίζει τον κ- ουρέα ; (Άσκηση 15). 1.4 Γινόµενα, Σχέσεις, Πηλίκα Βασική επίσης έννοια στα σύνολα είναι το διατεταγµένο Ϲεύγος το οποίο ορίζεται είτε άµεσα, ως (a, b) = {a, {a, b}} είτε έµεσα, µε την χαρακτηριστική του ιδιότητα (a, b) = (c, d) ( a = c b = d ). Με το διατεταγµένο Ϲεύγος ορίζεται ακόµη µία πράξη στα σύνολα το Καρτεσιανό γινόµενο (Cartesian Product) δύο συνόλων, ως = {(a, b) : a b }. Ειδικά συµβολίζουµε 2 = (Καρτεσιανό τετράγωνο). Το καρτεσιανό γινόµενο παριστάνουµε γραϕικά µε δύο κυρίως τρόπους, το ϐελοειδές διάγραµµα και το Καρτεσιανό διάγραµµα όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.6. Το Καρτεσιανό Γινόµενο γενικεύεται για µια οικογένεια συνόλων { i : i N n } ως : } i = 1 2 n = {(x 1, x 2,..., x n ) : i N n, x i i. i N n Αν i = τότε συµβολίζουµε i N n i = n. Ορισµός 1.4.1 Θεωρούµε δύο σύνολα, και το Καρτεσιανό γινόµενο αυτών.

1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ 27 1. Κάθε υποσύνολο R λέγεται σχέση απο το στο. Αν (x, y) R γράϕουµε x R y. 2. Μια σχέση απο το στο λέγεται : 1. µονότιµη αν x R y x R z = y = z, 2. καθολική αν x, y, x R y. 3. Μια µονότιµη σχέση λέγεται και µερική απεικόνιση. 4. Μια µονότιµη και καθολική σχέση λέγεται απεικόνιση. 5. Αν = τότε η σχέση R 2 λέγεται σχέση στο. 6. Μια σχέση στο λέγεται : 1. ανακλαστική αν x, x R x, 2. µεταβατική αν x R y y R z = x R z, 3. συµµετρική αν x R y = y R x, 4. αντισυµµετρική αν x R y y R x = x = y, 5. σχέση ισοδυναµίας αν έχει τις ιδιότητες 1, 2, 3, 6. σχέση διάταξης αν έχει τις ιδιότητες 1, 2, 4. 7. Συµβολισµός. - Μια σχέση ισοδυναµίας συµβολίζεται συνήθως µε. - Μια σχέση διάταξης συµβολίζεται συνήθως µε. Ορισµός 1.4.2 Θεωρούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο. 1. Για το στοιχείο a, το σύνολο [a] = {x : x a} λέγεται κλάση ισοδυναµίας του α. 2. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας του µε τη σχέση ισοδυναµίας λέγεται σύνολο πηλίκο του δια της και συµβολίζεται µε /, δηλαδή / = { [a] : a }. Οι σχέσεις ως υποσύνολα του Καρτεσιανού γινοµένου Β παριστάνονται γραϕικά όπως και το Καρτεσιανό γινόµενο, µε ϐελοειδή και Καρτεσιανά διαγράµµατα. Γραϕικές παραστάσεις από ϐασικά είδη σχέσεων ϐλέπουµε στα Σχήµατα 1.7-1.10.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4 3 2 1 c b a 4 3 2 1 c b a Σχήµα 1.7: Σχέση, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα. 4 3 2 1 c b a 4 3 2 1 c b a Σχήµα 1.8: Σχέση µονότιµη, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα. 4 3 2 1 c b a 4 3 2 1 c b a Σχήµα 1.9: Σχέση καθολική, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα.

1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ 29 4 3 2 1 c b a c b a 1 2 3 4 Σχήµα 1.10: Απεικόνιση, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα. Παράδειγµα 1.4.1 Για την κατανόηση των πολύ ϐασικών αυτών εννοιών δίνουµε ένα πρώτο απλό παράδειγµα σε µορϕή πίνακα, που επεξηγείται στο υπόµνηµα που έπεται. Το σύνολο είναι X = N. X σχέση ΑΝ ΜΕ ΣΥ ΑΤ ΣΙ Σ 1. N a < b 0 1 0 1 0 0 2. N a b 1 1 0 1 0 1 3. N 3 (a b) 1 1 1 0 1 0 4. N a = b 1 1 1 1 1 1 ΑΝ = ανακλαστική ΣΙ = σχέση ισοδυναµίας ΜΕ = µεταβατική Σ = σχέση διάταξης ΣΥ = συµµετρική 0 = δεν είναι ΑΤ = αντισυµµετρική 1 = είναι Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα 1.4.1 Ισχύουν οι προτάσεισ: 1. Αν είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο X, το σύνολο πηλίκο X/ είναι διαµερισµός του X. Ο διαµερισµός αυτός συµβολίζεται µε D( ). 2. Αν D είναι διαµερισµός του X, η σχέση x R y d [ D, x, y ] είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο X. Η σχέση ισοδυναµίας αυτή συµ- ϐολίζεται µε D. 3. Η απεικόνιση F : π(x) E(X), F (D) = D είναι απλή.

E 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ C D Σχήµα 1.11: Τα διανύσµατα [(, )] = = a, [(C, D)] = CD= b. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Παράδειγµα 1.4.2 Εστω = E E το σύνολο των διατεταγµένων (Σχή- µα 1.11) Ϲευγών απο σηµεία του επιπέδου E και η σχέση που ορίζεται στο µε : (, ) (C, D) τα (, ), (C, D) έχουν ίδια διεύθυνση, φορά και µήκος. Η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας και η κλάση του (, ) είναι το ελεύθερο διάνυσµα = [(, )] = {(KM) : (KM) ()}. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ετσι το σύνολο πηλίκο του = E E δια είναι το σύνολο των ελευθέρων διανυσµάτων V = / του επιπέδου. Παράδειγµα 1.4.3 Στο σύνολο Z Z των Ϲευγών ακεραίων αριθµών (κλάσµατα) µε δεύτερο µέλος διάϕορο του 0, ορίζουµε τη σχέση Τότε ισχύουν : (a, b) (c, d) ad = bc.

1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ 31 5 6 1 2 1 3 1 2 + 1 3 = [(1, 2)] + [(1, 3)] = [(3, 6)] + [(2, 6)] = [(5, 6)] = 5 6 Σχήµα 1.12: Η πρόσθεση δύο ϱητών µέσω ισοδυνάµων οµωνύµων αντιπροσώπων. 1. Η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας. 2. και η κλάση του (a, b) Z Z είναι το [(a, b)] = {(x, y) Z Z : (x, y) (a, b)}. 3. Αν d = (a, b) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των a, b τότε η κλάση του (a, b) Z Z είναι ο ϱητός αριθµός a b = [(a, b)] = {(k a d, k b d ) Z Z : k Z }. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ετσι το σύνολο πηλίκο του του Z Z δια είναι το σύνολο των ϱητών Q = Z Z /. Παράδειγµα 1.4.4 Εστω = Z το σύνολο των ακεραίων αριθµών. Τότε 1. Η σχέση x y 5 x y είναι µια σχέση ισοδυναµίας. 2. Αν v είναι το υπόλοιπο της (Ευκλείδειας) διαίρεσης του a δια 5 τότε a v.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 3 b b 2 a 1 a 1 2 3 f : Βελοειδές f : Καρτεσιανό Σχήµα 1.13: Βελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα της f :. 3. Η κλάση του a Z είναι το [a] = {5k + v : k Z} = [v]. 4. Ετσι, όλες οι κλάσεις είναι [0] = {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,... } = 0 [1] = {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16,... } = 1 [2] = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,... } = 2 [3] = {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18,... } = 3 [4] = {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,... } = 4 και το σύνολο πηλίκο του Z δια µε όλο και απλούστερο συµ- ϐολισµό, είναι το Z mod 5 = Z/(5) = {[0], [1], [2], [3], [4]} = { 0, 1, 2, 3, 4 } = { 0, 1, 2, 3, 4 }. 1.5 Απεικονίσεις Στον Ορισµό 1.4.1 είδαµε ότι η συνάρτηση (ή απεικόνιση) είναι µια ειδική περίπτωση σχέσης. Συγκεκριµένα ονοµάσαµε συνάρτηση µια σχέση απο το στο η οποία είναι µονότιµη και καθολοκή. Αυτή η σχέση εκϕράζει ουσιαστικά µια αντιστοιχία µε την οποία κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του. Τις συναρτήσεις, όπως όλες τις σχέσεις, τις παριστάνουµε γραϕικά µε ϐελοειδή και καρτεσιανά διαγράµµατα (Σχήµα 1.13). Επειδή η συνάρτηση είναι πολύ ϐασική έννοια για όλα τα Μαθηµατικά και τις Εϕαρµογές τους ϑα τη µελετήσουµε λίγο περισσότερο στην παράγραϕο αυτή. Εστω λοιπόν και δύο σύνολα. Μια συνάρτηση f απο το στο

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 33 f x y Σχήµα 1.14: Η απεικόνιση f : x y. x f y Σχήµα 1.15: Η απεικόνιση f : x y σαν µαύρο κουτί. κατά την οποία το x αντιστοιχεί στο y, δηλαδή (x, y) f, τη συµβολίζουµε µε οποιονδήποτε (τον καταλληλότερο κατά περίπτωση) από τους επόµενους τρόπουσ: f :, y = f(x), f :, x f y, f : x y, f : x f y. Στη συνάρτηση f το λέγεται πεδίο ορισµού της f, το πεδίο τιµών της f, το x πρότυπο του y και το y εικόνα του x. Επίσης τα x και y ϑεω- ϱούµενα ως µεταβλητές, λέγονται ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή αντιστοίχως. Η εικόνα f(x) του x εκϕράζεται και µε το συµβολισµό του δείκτη f x. Εκϕράζοντας όλα τα προηγούµενα και τη µονότιµη αντιστοιχία που χαρακτηρίζει µια απεικόνιση, παριστάνουµε τις απεικονίσεις γραϕικά και µε ένα ιδιαίτερο τρόπο όπως στο Σχήµα 7.8. Ακόµη, για ειδικούς λόγους, όταν π.χ. η απεικόνιση παριστάνει µια λειτουργία ή διεργασία, παριστάνουµε µια απεικόνίση σαν «µαύρο κουτί», όπως όπως στο Σχήµα 1.15. Η έννοια του µαύρου κουτιού είναι ότι δεν µας ενδιαϕέρει (ή δεν ξέρουµε) τί γίνεται µέσα στο κουτί, αλλά µας ενδιαϕέρει µόνο η είσοδος x και η έξοδος y. ηλαδή δεν ϐλέπουµε µέσα στο κουτί. Το σύνολο όλων των απεικονίσεων (συναρτήσεων) από το στο συµ- ϐολίζεται µε = {f : }.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Παράδειγµα 1.5.1 Θεωρούµε τα σύνολα και µια τυχούσα συνάρτηση = {a, b}, = {p, q, r} f : µε f(a) = x, f(b) = y όπου ϐέβαια x, y = {p, q, r}. Για την απλότητα της γραϕής µ- πορούµε να γράψουµε την f διαδοχικά ως εξήσ: ]} [ ] a b f = {(a, x), (b, y)} = {[ a x ], [ b y οπότε, µε αυτή την απλή γραϕή, το είναι το = x y = [ x y ] = xy, = {p, q, r} {a,b} = {rr, rq, rp, qr, qq, qp, pr, pq, pp}. Η λογική για να ϐρούµε τις συναρτήσεις είναι η ίδια όπως αν τα p, q, r ήταν τα ψηϕία 0, 1, 2 αντίστοιχα και παίρναµε όλους τους διψήϕιους τριαδικούς µε αυτά τα ψηϕία. Θα είχαµε τότε τους 9 = 3 2 τριαδικούς αριθµούς 00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα 1.16. Παράδειγµα 1.5.2 Θεωρούµε τα σύνολα και µια τυχούσα συνάρτηση = {a, b, c}, = {p, q} f :, µε f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z. όπου ϐέβαια πάλι x, y, z = {p, q}. Με ολοένα και απλούστερο συµβολισµό γράϕουµε την f διαδοχικά ως εξήσ: {[ ] [ ] [ ]} [ ] a b c a b c f = { (a, x), (b, y), (c, z) } =,, = x y z x y z = [ x y z ] = xyz, οπότε, µε αυτή την απλή γραϕή, το είναι το = = {p, q} {a,b,c} = {ppp, ppq, pqp, pqq, qpp, qpq, qqp, qqq} = {f : } = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8 }.

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 35 a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Σχήµα 1.16: Οι γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων του συνόλου = {p, q, r} {a,b}. Η λογική για να ϐρούµε τις συναρτήσεις, όπως στο Παραδειγµα 1.5.1, είναι η ίδια όπως αν τα p, q ήταν τα ψηϕία 0, 1 αντίστοιχα και παίρναµε όλους τους τριψήϕιους διαδικούς µε αυτά τα ψηϕία. Θα είχαµε τότε τους 8 = 2 3 διαδικούς αριθµούς 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα 1.17. Παράδειγµα 1.5.3 Μια ειδική περίπτωση στο Παραδειγµα 1.5.2. Οταν = {0, 1}, δηλαδή έχουµε τα σύνολα = {a, b, c}, = {0, 1}, τότε έχουµε το σύνολο των συναρτήσεων = {0, 1} {a,b,c} = { f : } = { f : {a, b, c} {0, 1} }, που παίζει, όπως ϑα δούµε, σηµαντικό ϱόλο στη µελέτη των συνόλων και των ασαϕών συνόλων. Με το συµβολισµό του Παραδείγµατος 1.5.2 έχουµε το σύνολο συναρτήσεων = {0, 1} {a,b,c} = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ q p q p 0 q p a b c 4 q p a b c 1 q p a b c 5 q p a b c 2 q p a b c 6 q p a b c 3 a b c 7 a b c Σχήµα 1.17: {p, q} {a,b,c}. Οι γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων του συνόλου δηλαδή (όπως στο Παράδειγµα 1.5.2) είναι οι 8 = 2 3 τριψήϕιοι διαδικοί αριθµοί 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα 1.17, όπου τώρα αντί p, q έχουµε 0, 1 αντίστοιχα. Ορισµός 1.5.1 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : και τα σύνολα K, M. Τα σύνολα 1. f(k) = { y : x K, y = f(x) } = {f(x) : x K}, 2. f 1 (M) = { x : y M, y = f(x) }, λέγονται εικόνα του Κ και αντίστροϕη εικόνα του Μ αντίστοιχα (Σχήµα 1.19). Αν K = {x} ή M = {y}, συµβολίζουµε αντίστοιχα 1. f ( {x}) = f(x), 2. f 1 ({y}) = f 1 (y). Θεώρηµα 1.5.1 Για τα f(k), f 1 (M) ισχύουν οι επόµενες προτάσεις. 1. f(k M) = f(k) f(m), 2. f(k M) f(k) f(m), 3. f 1 (K M) = f 1 (K) f 1 (M),

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 37 K f f(k) f 1 (M) M Σχήµα 1.18: Η εικόνα και η αντίστροϕη εικόνα ενός συνόλου. 4. f 1 (K M) = f 1 (K) f 1 (M). Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Παράδειγµα 1.5.4 Θεωρούµε τα σύνολα = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {x, y, z, w, s} και µια συνάρτηση f : µε f(1) = x, f(2) = y, f(3) = y, f(4) = z, f(5) = w, f(6) = s, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.20. Επίσης ϑεωρούµε τα υποσύνολα του. Τότε είναι K = {1, 2, 3}, M = {2, 3, 4, 5} f(k) = {x, y} f(m) = {y, z, w} f(k) f(m) = {y, z} K M = {2, 3} f(k M) = {y} ηλαδή f(k) f(m) f(k M). Στο παράδειγµα αυτό φαίνεται ότι δεν ισχύει γενικά η σχέση f(k) f(m) = f(k M). Ετσι διευκρινίζεται η εξαίρεση απο το = στο 2. του Θεωρήµατος 1.5.1. Το = στο 2. του Θεωρήµατος 1.5.1 ισχύει µόνο σε ειδικές περιπτώσεις για την f (Άσκηση 3).

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4 K M 3 1 2 K f M 5 6 f(m) y f(k M) w x z f(k) f(m) f(k) s Σχήµα 1.19: Η συνάρτηση του Παραδείγµατος 1.5.4. Ενα σύνολο συναρτήσεων που χρησιµοποιούµε πολύ συχνά είναι το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα τυχόν σύνολο E, δηλαδή το σύνολο R E = { f : E R }. Αυτό το σύνολο συναρτήσεων είναι αρκετά γενικό και περιλαµβάνει πολλές συνηθισµένες περιπτώσεις. Είναι σηµαντικό να δούµε ότι αυτές οι συνηθισµένες περιπτώσεις συναρτήσεων είναι ειδικές περι-πτώσεις του R E. Με E R έχουµε τις επόµενες ειδικότερες περι-πτώσεις που εξετάζονται στα Παραδείγµατα 1.5.5-1.5.7. Παράδειγµα 1.5.5 Για έχουµε το σύνολο συναρτήσεων, E = {1, 2,..., n} = (n) R (n) = R {1,2,...,n} = {f : (n) R} = { } f : {1, 2,..., n} R. Αρχίζοντας από την απλούστατη περίτωση, για n = 1, έχουµε το E = {1} = (1) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι Με τον συµβολισµό R {1} = R (1) = { f : {1} R }. f = ( f(1) ) = (f 1 ) = (x) = x απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1} = R (1) = {x : x R} = R.

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 39 ηλαδή το σύνολο R {1} των απεικονίσεων f : {1} R είναι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε ένα πραγµατικό αριθµό (f 1 ) = (x) = x που είναι η εικόνα του 1. Η αµέσως επόµενη απλή περίπτωση είναι, για n = 2 έχουµε το E = {1, 2} = (2) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι Με τον συµβολισµό R {1,2} = R (2) = {f : {1, 2} R}. f = ( f(1), f(2) ) = (f 1, f 2 ) = (x, y) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1,2} = R (2) = {(x, y) : x R, x R} = R 2. ηλαδή το σύνολο R {1,2} των απεικονίσεων f : {1, 2} R είναι το σύνολο R 2 των διατεταγµένων 2-άδων (Ϲευγών)πραγµατικών αρι-ϑµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε ένα διατεταγµένο Ϲεύγος πραγ- µατικών αριθµών (f 1, f 2 ) = (x, y) που είναι οι εικόνες των 1 και 2 αντίστοιχα. Η γενική περίπτωση εδώ είναι E = {1, 2,..., n} = (n) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι { } R {1,2,...,n} = R (n) = f : {1, 2,..., n} R = {f : (n) R}. Με τον συµβολισµό ( ) f = f(1), f(2),..., f(n) = (f 1, f 2,..., f n ) = (x 1, x 2,..., x n ) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1,2,...,n} = R (n) = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i R, i (n)} = R n. ηλαδή το σύνολο R (n) των απεικονίσεων f : (n) R είναι το σύνολο R n των (διατεταγµένων) n-άδων (f 1, f 2,..., f n ) πραγµατικών αρι- ϑµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε µια διατεταγµένη n- άδα πραγµατικών αριθµών (f 1, f 2,..., f n ) = (x 1, x 2,..., x n ) που είναι οι εικόνες των 1, 2,..., n αντίστοιχα. Μια παράσταση των συναρτήσεων R {1} = R 1 = R, R {1,2} = R 2, R {1,2,3} = R 3 έχουµε στο Σχήµα 1.20 όπου κάθε συνάρτηση παριστάνεται µε δύο τρόπους :

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ R n n = 1, 2, 3 G(f) = {(i, f i ) : i (n)} n = 1, 2, 3 R 1 y R 2 x 1 x f = (f 1) G(f) = {(1, f 1)} y R 2 y R 2 x 1 2 x f = (f 1, f 2) G(f) = {(1, f 1), (2, f 2)} z x y f = (f 1, f 2, f 3) R 3 y 1 2 3 G(f) = {(1, f 1), (2, f 2), (3, f 3)} x R 2 Σχήµα 1.20: Οι συναρτήσεις R {1}, R {1,2}, R {1,2,3}. 1. Ως σηµείο στον αντοίστοιχο χώρο R n, n = 1, 2, 3. 2. Ως γράϕηµα G(f) της f στον R 2. Παράδειγµα 1.5.6 Για E = {1, 2,..., n,... } = N και το σύνολο των συναρτήσεων είναι, R {1,2,...,n,... } = R N = {f : N R},

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 41 δηλαδή το σύνολο των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών. Με τον συµ- ϐολισµό f = ( f(1), f(2),..., f(n),... ) = (f 1, f 2,..., f n,... ) = (x 1, x 2,..., x n,... ) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R N = {(x 1, x 2,..., x n,... ) : x i R, i N} = R ℵ 0 (= R ), όπυ ℵ 0 (άλεϕ µηδέν) είναι το πλήθος των φυσικών αριθµών. Η γραϕή R δεν είναι ακριβής, όπως ϑα δούµε (αλλά πολλές φορές αναϕέρεται και αυτή). Ετσι το σύνολο R N των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών f : N R είναι το σύνολο R ℵ 0 των διατεταγµένων ℵ 0 -άδων («απειράδων») πραγµατικών αριθµών. Παράδειγµα 1.5.7 Για E = I J, όπου I = {1, 2, 3,..., m}, J = {1, 2, 3,..., n} έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n-πινάκων. Αρχίζοντας πάλι από µια απλή περίτωση, για m = n = 2 έχουµε το E = (2) (2) = {1, 2} {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = [ (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) ], έχουµε το σύνολο R (2) (2) = {f : (2) (2) R}. Με τον συµβολισµό [ f11 f f = (f(i, j)) = (f i,j ) = 12 f 21 f 22 ], έχουµε το σύνολο M(2, 2) των 2 2-πινάκων. Γενικά, µε E = I J, όπου I = {1, 2, 3,..., m}, J = {1, 2, 3,..., n}

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n-πινάκων. δηλαδή για E = I J = {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,..., n} = = {(1, 1),..., (1, n), (2, 1),..., (2, n),..., (m, 1),..., (m, n)} = = { (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (1, n), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..., (2, n),....... (m, 1), (m, 2), (m, 3),..., (m, n) (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (1, n), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..., (2, n),....... (m, 1), (m, 2), (m, 3),..., (m, n) } έχουµε το σύνολο R I J = {f : I J R}. Με τον συµβολισµό f 11 f 12... f 1n f 21 f 22... f 2n f = (f(i, j)) = (f i,j ) =..., f m1 f m2... f mn έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n - πινάκων. Παράδειγµα 1.5.8 Για E = [a, b] R έχουµε το σύνολο R [a,b] = {f : [a, b] R} δηλαδή το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Παράδειγµα 1.5.9 Για έχουµε το σύνολο E = [a, b] [c, d] R 2 R [a,b] [c,d] = {f : [a, b] [c, d] R}

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 43 δηλαδή το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων µε δύο µεταβλητές και µε πεδίο ορισµού το [a, b] [c, d]. Στα προηγούµενα Παραδειγµατα 1.5.5-1.5.9 είχαµε συναρτήσεις µε µία ή δύο µεταβλητές και µε µεταβλητή διακριτή ή συνεχή. Η γενίκευση σε περισσότερες µεταβλητές είναι προϕανής και άµεση. Αυτές οι συναρτήσεις καλύπτουν το µεγαλύτερο και συνηθέστερο φάσµα εϕαρµογών και είναι οι ϐασικές. Ορισµός 1.5.2 Είδη συναρτήσεων. Μια συνάρτηση f :, f(x) = y λέγεται : 1. ένα προς ένα ή 1-1 ή αµϕιµονότιµη (injective) αν ισχύει f(a) = f(b) = a = b. 2. επί (surjective) αν ισχύει f() =, 3. απλή ή ένα προς ένα και επί (bijective) αν είναι ένα προς ένα και επί. 4. Για κάθε σύνλο έχουµε µια συνάρτηση I = I = 1 I :, I (x) = x η οποία λέγεται ταυτότητα στο Α ή ταυτοτική συνάρτηση στο Α (Σχήµα 1.22). Ορισµός 1.5.3 Σύνθεση συναρτήσεων και αντιστρέψιµη συνάρτηση. 1. Αν έχουµε δύο συναρτήσεις f :, g : C, f(x) = y g(y) = z τότε ορίζεται η συνάρτηση h : C, h(x) = z η οποία λέγεται σύνθεση της g µε την f και συµβολίζεται µε h = g f. Για την g f (Σχήµα 1.19) έχουµε λοιπόν (g f)(x) = h(x) = z = g(y) = g(f(x)).

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ f x y g Σχήµα 1.21: Η παράσταση της ισότητας f = g µε µαύρα κουτιά. x x Σχήµα 1.22: Η ταυτοτική απεικόνιση f = I X σαν µαύρο κουτί. 2. Μια συνάρτηση f : λέγεται αντιστρέψιµη αν υπάρχει συνάρτηση g : τέτοια ώστε να ισχύουν g f = I και f g = I. f y g x z x g f y Σχήµα 1.23: Η παράσταση της σύνθεσης f g µε µαύρα κουτιά.

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 45 x f x x f y y f y Σχήµα 1.24: Η παράσταση της ταυτότητας f I X = f = I Y f µε µαύρα κουτιά. g f x f 3 y g 3 C z Σχήµα 1.25: Η σύνθεση g f. Θεώρηµα 1.5.2 Ισχύουν : 1. Αν η f : είναι αντιστρέψιµη, τότε η g : µε την ιδιότητα g f = I και f g = I είναι µοναδική και ισχύει f(x) = y g(y) = x. 2. Η f είναι αντιστρέψιµη ακριβώς τότε όταν η f είναι απλή. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ορισµός 1.5.4 Οταν η f : είναι απλή, η µοναδική g µε την ιδιότητα g f = I και f g = I λέγεται τότε αντίστροϕη της f και συµβολίζεται µε f 1.

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Θεώρηµα 1.5.3 Ισχύουν : 1. Για την σύνθεση ισχύει (προσεταιριστική) f (g h) = (f g) h. 2. Για την συνάρτηση f :, y = f(x) ισχύουν : (α ) I f = f I = f, (ϐ ) Οι I, I µε την (προηγούµενη) ιδιότητα (2α) είναι µοναδικές. 3. Η I είναι απλή. 4. Αν η f είναι απλή τότε και η f 1 είναι απλή και ισχύουν (α ) f f 1 = I, (ϐ ) f 1 f = I, 5. Αν υπάρχει η σύνθεση g f και οι f, g είναι απλές τότε ισχύουν : (α ) η g f είναι απλή, (ϐ ) (g f) 1 = f 1 g 1. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Η Χαρακτηριστική Συνάρτηση Για τη περιγραϕή ενός υποσυνόλου κάποιου καθολικού συνόλου X, εκτός από την αναγραϕή (για πεπερασµένα υποσύνολα) και την περιγραϕή (των στοιχείων του) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και ένα άλλο τρόπο. Αυτό γίνεται µε τη χαρακτηριστική συνάρτηση (Σχήµατα 1.27, 1.28, 1.29). Ορισµός 1.5.5 Θεωρούµε ένα καθολικό σύνολο X και X. 1. Η συνάρτηση χ : X {0, 1}, χ (x) = λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση του Α. 2. η συνάρτηση { 0, x / 1, x χ : P(X) {0, 1} X, χ() = χ λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση στο Χ.

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 47 X X Σχήµα 1.26: Το υποσύνολο µε περίγραµµα ή µε τονισµό των στοιχείων του. X X 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 Σχήµα 1.27: Το υποσύνολο µε επισήµανση των στοιχείων του. Θεώρηµα 1.5.4 Η συνάρτηση χ (χαρακτηριστική συνάρτηση στο X) είναι ένα-πρός-ένα και επί απεικόνιση, δηλαδή ισχόυν : 1. χ() = χ() = =, 2. a {0, 1} X, P(X), χ() = a. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα 1.5.5 Για τη χαρακτηριστική συνάρτηση ισχύουν : 1. χ χ, 2. χ = χ =. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα 1.5.6 Για τη χαρακτηριστική συνάρτηση ισχύουν : 1. χ = max{χ, χ } = χ + χ χ χ

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 2. χ = min{χ, χ } = χ χ 3. χ c = 1 χ 4. χ = 0 5. χ X = 1 6. χ \ = χ χ χ Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Αν συµβολίσουµε a = χ, b = χ, x = χ X, τότε µερικές σχέσεις απλουστεύονται πολύ. Εχουµε π.χ. a b a = b = Ορισµός 1.5.6 Θεωρούµε το σύνολο των συναρτήσεων { } {0, 1} X = f : X {0, 1} και ορίζουµε σ αυτό δύο ειδικές συναρτήσεις, ένα τελεστή και δύο πράξεις, ως εξήσ: 1. Οι συναρτήσεις u = 0 : X {0, 1}, u(x) = 0. I = 1 : X {0, 1}, I(x) = 1. λέγονται µηδενική και µοναδιαία συνάρτηση, αντίστοιχα. 2. Ο τελεστής ā = a : X {0, 1}, a (x) = 1 a(x). λέγεται συµπλήρωµα του a. 3. Οι πράξεις max, min (α ) (a + b)(x) = max{a(x), b(x)} = max(a, b)(x), (ϐ ) (a b)(x) = min{a(x), b(x)} = min(a, b)(x). λέγονται πρόσθεση και πολλαπλασιασµός, αντίστοιχα.

1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 49 Παράδειγµα 1.5.10 Θα δούµε εδώ πως µελετάµε τις ιδιότητες των συνόλων εϕαρµόζοντας τα προηγούµενα. Θα αποδείξουµε την ιδιότητα P 8. του Θεωρήµατος 1.3.2, δηλαδή το Νόµο De Morgan για το συµπλήρωµα της ένωσης : =. Απόδειξη. 1. Με διαγράµµατα Venn. Σχηµατίζουµε διαδιχικά τα διαγράµµατα Venn των και των,,,,,,, και παρατηρούµε ότι τα, έχουν το ίδιο διάγραµµα. Η διεργασία φαίνεται στο Σχήµα 1.30 (και για το δεύτερο Νόµο DeMorgan Q 8.) και στο Σχήµα 1.29 παριστάνεται µε αντιµεταθετικό διάγραµµα (επίσης και για το δεύτερο Νόµο De Morgan Q 8.). Πρέπει να πούµε όµως ότι η όποια διαπίστωση µε διαγράµµατα Venn δεν πρέπει να ϑεωρείται σαν απόδειξη, αλλά µόνο ως ϐοηθητικό µέσο, όπως ακριβώς µε τα γεωµετρικά σχήµατα. 2. Με τους κανόνες της Λογικής. Αποδεικνύουµε ότι τυχόν στοιχείο, ανήκει στο ένα µέλος ακριβώς τότε όταν ανήκει στο άλλο. x x [ x ] [ x x ] ( x ) ( x ) (x ) (x ) (x ) (x ) x 3. Με τη χαραακτηριστική συνάρτηση. Αποδεικνύουµε ότι τα δύο µέλη εχουν την ίδια χαραακτηριστική συνάρτηση. X ( ) = 1 X ( ) = 1 [ X () + X () X ()X () ] = 1 X () X () + X ()X () = [ 1 X () ] [ 1 X () ] = X ( ) X ( ) = X ( ). Θεώρηµα 1.5.7 Ιδιότητες των πράξεων των χαρακτηριστικών συναρτήσεων {0, 1} X. Για τις συναρτήσεις a, b, c F = {0, 1} X ισχύουν :

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 1 X X Σχήµα 1.28: Το υποσύνολο µε τη χαρακτηριστική συνάρτηση. 1. Νόµοι Αντιµεταθετικοί. P 1. a + b = b + a, Q 1. a b = b x. 2. Νόµοι Επιµεριστικοί. P 2. a (b + c) = (a b) + (a c), Q 2. a + (b c) = (a + b) (a + c). 3. Νόµοι Ταυτότητας. P 3. a + 0 = a, Q 3. a 1 = a. 4. Νόµοι Συµπληρώµατος. P 4. a + a = 1, Q 4. a a = 0. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. 1.6 Μαθηµατικά και Πληροϕορική Τα Μαθηµατικά για να λειτουργήσουν χρησιµοποιούν µια γλώσσα, τη γλώσσα των Μαθηµατικών. Η γλώσσα των Μαθηµατικών περιγράϕεται µε µια άλλη γλώσσα, τη µεταγλώσσα, που είναι µια κοινή γλώσσα (π.χ. ελληνικά, αγγλικά). Συνήθως στη πράξη, η Μαθηµατική γλώσσα ενσωµατώνεται στη µεταγλώσσα και εκϕράζεται µαζί µε αυτή. Από

1.6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 51 C ( ) c = c c, C c, c C ( ) c = c c Σχήµα 1.29: Νόµοι De Morgan, Τα διαγράµµατα είναι αντιµεταθετικά και εκϕράζουν τις ιδιότητες C = C, C = C. µια τυπική άποψη τα Μαθηµατικά είναι ένα σύστηµα εννοιών και προτάσεων, οι οποίες προτάσεις εκϕράζουν σχέσεις µεταξύ των εννοιών. Για παράδειγµα, η πρόταση : «σε κάθε τριγώνο, το άθροισµα των γωνιών είναι 2 ορθές» είναι µια σχέση ανάµεσα στις έννοιες : τρίγωνο, άθροισµα γωνιών, ορθή γωνία. Στα Μαθηµατικά, οι έννοιες πρέπει να έχουν ορισµό, ο οποίος όµως ϐασίζεται σε προηγούµενες έννοιες, δηλαδή σε προηγούµενους ορισµούς. Ετσι, είναι φανερό ότι κάποιες από τις έννοιες εισάγονται ως αρχικές έννοιες, δηλαδή χωρίς ορισµό, και οι υπόλοιπες ως παραγόµενες έννοιες δηλαδή µε ορισµό. Οµοια, επειδή οι προτάσεις πρέπει να έχουν απόδεξη, η οποία όµως ϐασίζεται σε προηγούµενες πρτάσεις, δηλαδή σε προηγούµενες αποδείξεις, είναι φανερό ότι κάποιες προτάσεις εισάγονται ως αρχικές προτάσεις ή αξιώµατα, δηλαδή χωρίς απόδειξη, και οι υπόλοιπες ως παραγόµενες προτάσεις ή ϑεωρήµατα, δηλαδή µε απόδειξη. Ετσι κάθε Μαθηµατική Θεωρία, αλλά και όλα τα Μαθηµατικά που είναι το σύστηµα όλων των Μαθηµατικών Θεωριών, ϐασίζεται σε ένα σύστηµα αξιωµάτων, την Αξιωµατική Βάση της ϑεωρίας. Κάθε Μαθηµατική ή Αξιωµατική Θεωριά λοιπόν, έχει µια δοµή και λειτουργία που εκϕράζεται από το Σχήµα 1.31. Σε µια Αξιωµατική Θεωρία, η Αξιωµατική Βάση δεν είναι ϐέβαια ένα τυχαίο σύνολο προτάσεων. Πολλές φορές λέγεται ότι είναι προτάσεις που είναι «αυτονόητα φανερές». ηλαδή προτάσεις που «η αλήθεια τους είναι φανερή». Αυτό όµως τί νόηµα µπορεί να έχει ; ηλαδή, δεν είναι φανερό και αυτονήτο ότι σε ένα παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ; γιατί πρέπει να το αποδείξουµε ; γιατί δηλαδή να είναι ϑεώρηµα ; Το «αυτονόητο» µιας αλήθειας είναι σχετικό. Άλλωστε αϕού είναι φανερά και αυτονόητα τα αξιώµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας γιατί δηµιουργήθηκαν άλλες, µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες µε διαϕορετικά Αξιώµατα ; Πολλές

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U U U U U U U c c c c Σχήµα 1.30: Οι Νόµοι De Morgan µε διαγράµµατα Venn.