Το ανοιχτό µοντέλο Leontef Μιχάλης Τζούµας Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ0 Ν. Αιτ/νίας mtzoumas@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Wassly Leontef, ο οποίος τιµήθηκε µε το βραβείο Νόµπελ Οικονοµίας το 97, εισηγήθηκε το µοντέλο εισροών-εκροών, στο έργο του Quanttatve nput and output relatons n the economc system of the Unted States το 96. Η απλότητα και η καθαρότητα της σκέψης του είναι εκείνα, που το καθιστούν αξιοθαύµαστο. Συγκεκριµένα, ο Leontef περιέγραψε µε θαυµαστό τρόπο την αλληλεξάρτηση των βιοµηχανικών προϊόντων. Το ερώτηµα στο οποίο έδωσε απάντηση ήταν το εξής: «Ποιο θα µπορούσε να είναι το επίπεδο παραγωγής n βιοµηχανικών προϊόντων, που αλληλεξαρτώνται, σε µια συγκεκριµένη οικονοµική κατάσταση παραγωγής, ώστε να ικανοποιείται η ολική ζήτηση αυτών»;. Προαπαιτούµενα. Πριν δούµε τον τρόπο µε τον οποίο απάντησε ο Leontef στο παραπάνω ερώτηµα, θα ήταν σκόπιµο να δώσουµε ή να θυ- µίσουµε µερικά στοιχεία από τη θεωρεία πινάκων. Έστω ο πίνακας nxn A R, θα λέµε ότι ένας πίνακας A είναι µη αρνητικός και θα σηµειώνουµε A 0 αν και µόνον αν (ανν) a 0,, j n. Ο πίνακας A είναι θετικός και θα σηµειώνουµε A> 0 ανν a 0,, j n και A 0. Τέλος θα λέµε ότι ο πίνακας A είναι αυστηρά θετικός και θα σηµειώνουµε A 0 ανν a > 0,, j n Αντίστοιχοι ορισµοί θα ισχύουν για τα διανύσµατα n u R. Η έννοια της διάταξης µεταξύ δυο πινάκων A, B βάση το αν η διαφορά είναι ένας µη αρνητικός, θετικός ή αυστηρά θετικός πίνακας. Μια έννοια στενά συνδεδεµένη µε τους πίνακες είναι η έννοια της rreducblty και reducblty. nxn R ορίζεται µε nxn Ορισµός (.). Λέµε ότι ο πίνακας A R είναι reducble ανν υπάρχει ένας µεταθετικός πίνακας P, ώστε να ισχύει: Μεταθετικός είναι ένας πίνακας που έχει σε κάθε γραµµή του και κάθε στήλη µια µονάδα και σε όλες τις άλλες θέσεις του έχει το µηδέν. Όταν ένας µεταθετικός πίνακας πολλαπλασιάζει από αριστερά τον πίνακα Α µεταθέτει τις γραµµές του ενώ όταν πολλαπλασιάζει από δεξιά τον Α µεταθέτει τις στήλες του.
T B 0 P AP= C D, (.2) T όπου B και C είναι τετραγωνικοί πίνακες και P σηµαίνει τον ανάστροφος του P. Σε αντίθετη περίπτωση θα λέµε ότι ο πίνακας είναι rreducble. Ένας x πίνακας είναι πάντα rreducble, εκτός κι αν είναι µηδέν. Είναι φανερό ότι ένας rreducble µη αρνητικός πίνακας είναι πάντα θετικός. Επίσης, αφού µε το µεταθετικό µετασχηµατισµός (.2) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Α παραµένουν στη διαγώνιο, αν ο πίνακας A είναι rreducble τότε και ο A+ ai είναι rreducble. Σηµαντικά θεωρήµατα ι- σχύουν για τους πίνακες αυτούς. Χωρίς απόδειξη, για οικονοµία χώρου, παραθέτουµε ορισµένα από αυτά. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να ανατρέξει στα κλασικά, πλέον, βιβλία αναφοράς των Varga και Berman και Plemmons 2. Θεώρηµα (.) Αν ο πίνακας A ( > 0) είναι ένας nxn rreducble πίνακας, τότε ( I+ A) n 0. (.4) Η σχέση (.4), ισχύει για κάθε nxn rreducble πίνακα A ( > 0), µε a > 0, n, αφού κάθε τέτοιος πίνακας µπορεί να γραφεί A = sa = ( I + B), µε Β> 0, (.5) s s αρκεί να πάρουµε ως s= max{ a, n}. Οι έννοιες αυτές είναι στενά συνδεδεµένες µε την επίλυση γραµµικών συστηµάτων, αφού ένα γραµµικό σύστηµα της µορφής Ax= b, (.6) µε τον πίνακα A reducble µπορεί να γραφεί ως εξής 0 T T T B x b P APP x= P b D C =. (.7) x2 b2 Απλή άλγεβρα στη δεύτερη από τις προηγούµενες σχέσεις µας δίνει Bx = b και Cx2 = b2 Dx. (.8) ηλαδή η λύση του συστήµατος (.7) προκύπτει από τη λύση δυο µικρότερων συστηµάτων, όπως αυτά της σχέσης (.8). Ανεξάρτητα από την rreducblty ιδιότητα των πινάκων και από το θετικό ή µη αυτών, ισχύει το επόµενο Θεώρηµα [], [2] 2
nxn Θεώρηµα (.9). Έστω B R µε ρ ( B) <, τότε ο I B είναι αντιστρέψιµος και µάλιστα ισχύει 2 ( I B) = I+ B+ B + B +L. (.0) Αντιστρόφως αν η σειρά του δεύτερου µέλους της (.0) συγκλίνει, τότε ρ ( B) <. (.) H ρ ( B) είναι η φασµατική ακτίνα του πίνακα B, δηλαδή το µεγαλύτερο από τα µέτρα των ιδιοτιµών του. Μάλιστα αποδεικνύετε ότι k ρ( B) < lm B = 0. (.2) k Φυσικά, αν ο B> 0, τέτοιος θα είναι και ο ( I B), αφού οι δυνάµει του B στη σχέση (.0) θα είναι θετικοί πίνακες. Επιπλέον αποδεικνύεται [] ότι αν ο B είναι «rreducble, τότε ο ( I B) 0. Ίσως, το πιο σηµαντικό θεώρηµα σ αυτούς τους πίνακες είναι το επόµενο θεώρηµα, γνωστό ως Θεώρηµα των Perron Frobenus 4, που έχει επηρεάσει σηµαντικά τη θεωρία τους. Η απόδειξη του θεωρήµατος βρίσκεται σε ένα πλήθος επιστηµονικών βιβλίων π.χ. [], [2] και δε θα την δώσουµε εδώ. Θεώρηµα (.) Αν ο πίνακας A είναι θετικός τετραγωνικός πίνακας και ρ ( A) η φασµατική ακτίνα του τότε: Η ρ ( A) είναι απλή ιδιοτιµή. Κάθε άλλη ιδιοτιµή µε το ίδιο µέτρο είναι επίσης απλή. Στη ρ ( A) αντιστοιχεί ένα αυστηρά θετικό ιδιοδιάνυσµα x ( 0) και είναι µοναδικό µε την έννοια ότι κάθε άλλο αυστηρά θετικό ιδιοδιάνυσµα του A είναι θετικό πολλαπλάσιο του x. Επιπλέον όταν A 0, τότε η ρ ( A) είναι η µοναδική ιδιοτι- µή µε αυτό το µέτρο. Οι πίνακες που θα προκύψουν από το µοντέλο Leontef έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα τα µη διαγώνια στοιχεία τους να είναι µη θετικά, δηλαδή
a a2 K a n a2 a22 a2n A K =, µε a 0,, j nκαι j.(.4) M M O M an an2 K ann Οι πίνακες της σχέσης (.4) απαντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία µε το όνοµα Z-πίνακες. Είναι φανερό ότι οι πίνακες αυτοί µπορούν να γραφούν στη µορφή A= si B µε s> 0 και B 0, αρκεί να επιλέξουµε ένα θετικό s> max{ a, n} και b = s a. Ορισµός (.5) Κάθε πίνακας A της µορφής (.4) για τον οποίο ισχύει s ρ( B), όπου ρ ( B) η φασµατική ακτίνα του B, καλείται M- πίνακας. ρ( B) Υποθέτοντας ότι s> ρ( B) < και αφού A= s I B, από το s s Θεώρηµα (.9) θα ισχύει ρ( B) A = I B > 0. (.6) s s Επιπλέον αν ο A είναι rreducble θα έχουµε ότι A 0. Έτσι αποδείχτηκε το επόµενο Θεώρηµα. Θεώρηµα (.7). Έστω ότι ο πίνακας A είναι ένας αντιστρέψι- µος Μ-πίνακας, τότε ο A > 0 και αν επιπλέον ο A είναι rreducble ο A 0. 2. Ένα παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι ένα οικονοµικό σύστηµα αποτελείται από τρία µόνο διαφορετικά είδη, π.χ. άνθρακα, ατσάλι και ηλεκτρική ενέργεια, τα οποία προφανώς αλληλεξαρτώνται. Γι αυτά τα τρία είδη υπάρχει µια εξωτερική ζήτηση. Για να είναι, δε, συµβιβαστές οι πάσης φύσης πράξεις µας θα υποθέσουµε ότι οι µετρήσεις µας, όσον αφορά τα είδη, θα γίνονται σε µονάδες. Στον επόµενο πίνακα φαίνεται η σχέση µεταξύ των ειδών αυτών καθώς και η ζήτησή τους. Άνθρακας Ατσάλι Ηλ. Ενέργ. Ζήτηση Σύνολο Άνθρακας 24 2 25 60 4 Ατσάλι 9 58 2 40 44 Ηλ. Ενέργ. 90 4 65 20 409 Πίνακας 4
ιαβάζοντας οριζόντια τις γραµµές του παραπάνω πίνακα βλέπουµε ότι ο άνθρακας, για παράδειγµα, δίνει 24 µονάδες για την παραγωγή ίδιου προϊόντος (άνθρακα), 2 µονάδες για την παραγωγή του ατσαλιού, 25 µονάδες για την παραγωγή της ηλεκτρικής ενέργειας και 60 µονάδες στη εξωτερική ζήτηση. Συνολικά, δηλαδή, παράγονται 4 µονάδες. ιαβάζοντας τις στήλες βλέπουµε ότι το ίδιο προϊόν, για την παραγωγή του χρειάζεται 24 µονάδες άνθρακα, 9 µονάδες ατσαλιού και 90 µονάδες ηλεκτρικής ενέργειας. Παρόµοια ανάλυση ισχύει και για τις επόµενες γραµµές και στήλες του ί- διου πίνακα. ιαιρώντας, τώρα, τους αριθµούς των κελιών κάθε γραµµής µε τον αριθµό που βρίσκεται στην ίδια γραµµή και την τελευταία στήλη έχου- µε τον επόµενο πίνακα, στον οποίο φαίνεται η συµµετοχή του κάθε είδους σε ποσοστά στην παραγωγή µιας συνολικά µονάδας του είδους. Άνθρακας Ατσάλι Ηλ. Ενέργ. Ζήτηση Σύνολο Άνθρακας 0,058 0,27 0,52 0,46 Ατσάλι 0,225 0,40 0,297 0,8 Ηλ. Ενέργ. 0,465 0,08 0,59 0,29 Πίνακας 2 Πλέον µπορούµε να µιλάµε για διάνυσµα παραγωγής και διάνυσµα ζήτησης. Αν x= ( x, x2, x ) T είναι το διάνυσµα παραγωγή προφανώς ισχύει η επόµενη σχέση. 0,058 0,27 0,52 x 0,46 x x 0,225 0,40 0,297 x2 + 0,8 x2 = x2. (2.) 0,465 0,08 0,59 x 0,29 x x Θέτοντας δε (0.46,0. 2,0.29 ) T T x x x = ( d, d2, d) (το διάνυσµα ζήτησης) προκύπτει 0,058 0,27 0,52 x d x 0,225 0,40 0,297 x2 + d2 = x2. (2.2) 0,465 0,08 0,59 x d x Αναδιατάσσοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε µια έκφραση της µορφής Ax= d ( I T ) x= d x= ( I T ) d, (2.) όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας και 5
0,058 0,27 0,52 T = 0,225 0,40 0,297. (2.4) 0,465 0,08 0,59 Ο πίνακας T (πίνακας εισόδου) της σχέσης (2.4) είναι σταθερός και γνωστός πίνακας. Τα στοιχεία t αυτού του πίνακα αντιπροσωπεύουν την ποσοστιαία συµµετοχή του κάθε προϊόντος στην παραγωγή του εαυτού του ή κάποιου άλλου. Όταν µε κάποιο τρόπο µπορέσουµε να προσδιορίσουµε το διάνυσµα ζήτησης d, λύνοντας το σύστηµα (2.), καθορίζουµε το διάνυσµα παραγωγής x. Χρησιµοποιώντας την τελευταία από τις σχέσεις (2.), T βρίσκουµε x = (4, 42, 40), που είναι περίπου εκείνο του Πίνακα, όπως αναµέναµε.. Το ανοιχτό µοντέλο Leontef. Υποθέτουµε ότι µια οικονοµία είναι χωρισµένη σε n τοµείς, καθένας από τους οποίους παράγει ένα προϊόν, το οποίο καταναλώνεται από τον ίδιο τοµέα, από τους άλλους τοµείς και τελικά και κάποιους εξωτερικούς τοµείς, που θα τους θέσουµε µε την γενική ονοµασία εξωτερική ζήτηση. Τώρα, για να δηλώσουµε την κατάσταση του τοµέα, µε το προϊόν, χρησιµοποιούµε τις παρακάτω ονοµασίες και συµβολισµούς: x : ηλώνει το συνολικό ποσόν παραγωγής του προϊόντος. x : ηλώνει τη ζήτηση του προϊόντος από το j προϊόν. d : ηλώνει το συνολικό ποσό της εξωτερικής ζήτησης του προϊόντος. Το ολικό ισοζύγιο για κάθε τοµέα, παρουσιάζεται µε την επόµενη ισότητα n x + d = x, n. (.) j= Υποθέτοντας ότι η ζήτηση από τον τοµέα, ανά µονάδα παραγωγής του κάθε τοµέα j, είναι σταθερή και ίση µε t, οι σταθεροί συντελεστές t ι- κανοποιούν τη συνθήκη x = t x, n. (.2) Έτσι, η σχέση (.) γίνεται και σε επίπεδο πινάκων n t x + d = x (.) j= 6
Tx+ d = x ( I T ) x= d Ax= d, (.4) όπου ο T = ( t ) είναι σταθερός πίνακας και καλείται πίνακας εισροών, το διάνυσµα x= ( x ) είναι το διάνυσµα εκροών, το d = ( d ) είναι το διάνυσµα nxn ζήτησης και I R ο µοναδιαίος πίνακας. Είναι φανερό πλέον ότι ο πίνακας A= ( a ) του συστήµατος, στη σχέση (.4), είναι ένας Ζ-πίνακας, αφού η ζήτηση x του προϊόντος από το j προϊόν είναι µη αρνητική ποσότητα, οπότε µη αρνητική ποσότητα θα είναι και το t, έτσι θα έχουµε a = t 0,, j n, j, ενώ α = t 0, n.. ιι Ορισµός (.5). Ένα ανοιχτό µοντέλο Leontef λέµε ότι είναι «εφικτό», αν έχει ένα µη αρνητικό διάνυσµα παραγωγής για κάθε θετικό διάνυσµα ζήτησης. Θεώρηµα (.6). Σε ένα ανοιχτό µοντέλο Leontef οι επόµενες δυο προτάσεις είναι ισοδύναµες.. Το µοντέλο έχει «εφικτή» λύση. 2. Ο πίνακας A είναι ένας Μ-πίνακας, αντιστρέψιµος. Απόδειξη. Υποθέτοντας το 2, είναι φανερό από το Θεώρηµα (.7), ότι το σύστηµα (.4) έχει πάντα µια µη αρνητική λύση για κάθε θετικό διάνυσµα ζήτησης, αφού ο A > 0. Αντιστρόφως αν ισχύει το, τότε για κάθε θετικό διάνυσµα d, εποµένως και για τα e, όπου e είναι το διάνυσµα που έχει στην θέση τη µονάδα και σε όλες τις άλλες το µηδέν, θα έχει µια µη αρνητική λύση, έστω την x. Για το πίνακα X που σχηµατίζεται µε στήλες τα x προφανώς ισχύει A X = I, δηλαδή X = A. Αφού A= I T, T > 0 και 2 n n ( I T )( I+ T+ T + L + T ) = I T + είναι φανερό, από το Θεώρηµα (.9), ότι ρ ( T ) <, αφού k ( I T ) = lm( I+ T+ + T ) k L. Συνεπώς ο πίνακας A είναι ένας αντιστρέψιµος Μ-πίνακας. Στο ανοιχτό µοντέλο Leontef, όταν ο πίνακας A είναι reducble, από τον ορισµό (.), βλέπουµε ότι υπάρχει ένας µεταθετικός πίνακας P, που µπορεί να τον τροποποιήσει στη µορφή (.2), οπότε το σύστηµα που έχουµε να επιλύσουµε έχει την µορφή (.7). Αυτό σηµαίνει ότι αν αναδιατάξουµε τα αγαθά µας (ακολουθώντας τις οδηγίες του µεταθετικού πίνακα) 7
ένα πλήθος από αυτά (αυτά που αντιστοιχούν στον τετραγωνικό πίνακα Β, της µορφής (.7)) δεν προσφέρουν στα υπόλοιπα αγαθά (αφού ο πάνω δεξιά πίνακας στην ίδια µορφή είναι 0). Επιπλέον η προσφορά στα αγαθά που α- ντιστοιχούν στον τετραγωνικό πίνακα D της έκφρασης (.7), από εκείνα του C (εποµένως και στα αγαθά του B ), µπορούν να θεωρηθούν ζήτηση από τα αγαθά του πίνακα C και να ενσωµατωθούν στο διάνυσµα d. ηλαδή ένα µοντέλο Leontef µε τον πίνακα A reducble µπορεί να αναλυθεί σε δυο µικρότερα µοντέλα Leontef τα οποία µπορούν να µελετώνται ανεξάρτητα. Παράδειγµα. Θεωρούµε τα αλληλοεξαρτώµενα είδη α, β, γ, δ. και έστω ότι η συµµετοχή του ενός στην παραγωγή του άλλου είναι όπως φαίνεται στον επόµενο Πίνακα. α β γ δ α 0,2 0, 0, 0 β 0 0,2 0 0,4 γ 0, 0 0,2 0, δ 0 0,4 0 0, Πίνακας Αναδιατάσσοντας τα προηγούµενα είδη µπορούµε να έχουµε τον Πίνακα 4. Τα είδη β και γ δε συνεισφέρουν στην παραγωγή των α και γ. β δ α γ β 0,2 0,4 0 0 δ 0,4 0, 0 0 α 0, 0 0,2 0, γ 0 0, 0, 0,2 Πίνακας 4 Οι ποσότητες 0, και 0, που δίνουν τα είδη α και γ στα β και δ, αντίστοιχα, µπορούν να θεωρηθούν ζήτηση για τα δυο είδη (α και γ) και να έχουµε δυο διαφορετικά οικονοµικά µοντέλα εκείνα µε τα είδη {α, γ} και {β, δ} µε την προϋπόθεση ότι συγκεκριµένες ποσότητες α και γ είναι ζήτηση για την παραγωγή των β και δ. Πόρισµα (.7). Σε ένα «εφικτό» µοντέλο Leontef µε τον πίνακα A rreducble, το διάνυσµα παραγωγής είναι πάντα θετικό. Απόδειξη. Πράγµατι, αρκεί να σκεφτούµε ότι όταν ο πίνακας A του συστήµατος είναι rreducble Μ-πίνακας, οπότε ο A 0 (Θεώρηµα (.7)), θα έχουµε x= A d 0. 8
Ας θεωρήσουµε τώρα δυο διανύσµατα ζήτησης, τα d και d 2, στο ίδιο «εφικτό» µοντέλο Leontef. Προφανώς θα ισχύει Ax = d και Ax = d, (.8) 2 2 όπου ο A είναι ο πίνακας του συστήµατος και τα x και x 2 τα διανύσµατα παραγωγής και επιπλέον ότι ο πίνακας A είναι rreducble. Είναι πλέον φανερό ότι σε µια διαφορά (µεταβολή) d= d2 d στα διανύσµατα ζήτησης, αντιστοιχεί µια διαφορά (µεταβολή) x= x2 x των διανυσµάτων παραγωγής. Από την σχέση (.8) έπεται ότι η επόµενη σχέση A x= d, (.9) είναι έγκυρη και µάλιστα αφού ( x= 0 d = 0) ( d 0 x 0), συµπεραίνουµε ότι οποιαδήποτε µεταβολή στο διάνυσµα ζήτησης συνεπάγεται υποχρεωτικά µεταβολή και στο διάνυσµα παραγωγής. Επιπλέον αφού το µοντέλο είναι «εφικτό», ο πίνακας A θα είναι αντιστρέψιµος εποµένως θα ισχύει x= A d, (.0) οπότε ( d = 0 x= 0) ( x 0 d 0). Έτσι αποδείχτηκε ότι ο- ποιαδήποτε µεταβολή στο διάνυσµα παραγωγής επιφέρει υποχρεωτικά µεταβολή και στο διάνυσµα ζήτησης. Επιπλέον αφού ο Α είναι rreducble o A 0, οπότε αν d > 0( < 0), τότε x 0( 0). ηλαδή ακόµη και µια από τις συντεταγµένες του διανύσµατος ζήτησης αν µεταβληθεί θετικά ή αρνητικά ολόκληρο το διάνυσµα παραγωγής θα µεταβληθεί προς την ίδια κατεύθυνση. Με µαθηµατικούς όρους έχουµε την επόµενη σχέση d > 0( < 0) x 0( 0). (.) Παράδειγµα. Να βρεθεί το διάνυσµα µεταβολή της παραγωγής στο µοντέλο Leontef, όταν d = (2,0,0) T και 0.5 0.25 0.25 T = 0.25 0.25 0.25. (.2) 0.25 0.25 0.5 Αφού x= ( I T ) d, προκύπτει ότι 20 2 6 2 40 x= 2 2 2 0 24 =. (.) 6 2 20 0 2 9
Είναι φανερό ότι η µεγάλη «µεταβολή» συντελείται στην παραγωγή του προϊόντος που υφίσταται τη «µεταβολή» στη ζήτηση, όµως όλα τα προϊόντα υφίστανται αύξηση για να συνεισφέρουν. Ίσως θα πρέπει να τονιστεί ότι είναι δυνατόν να έχουµε µηδενική µεταβολή σε ένα προϊόν ( = 0 ) παρόλο που η ζήτηση αυτού του προϊόντος είναι θετική ( d j > 0 ), όπως ακριβώς συµβαίνει στην περίπτωση όπου d = (,,0) T, όπως φαίνεται στην επόµενη σχέση 20 2 6 8 x= 2 2 2 0 =, (.4) 6 2 20 0 4 όπου x2 = 0 παρόλο που d2 > 0. Τέλος, µε (4,2,8) T x=, T εκείνον της (.2) και d = (,2,0) T παρατηρούµε ότι το αντίστροφο της σχέσης (.) δεν ισχύει, αφού ( I T ) x= d. ηλαδή, παρόλο που το x 0 (αυξάνουν όλες του οι συντεταγµένες), δε σηµαίνει ότι και του d θα αυξάνουν οι συντεταγµένες του. Το τι συµβαίνει και πως επηρεάζεται το διάνυσµα παραγωγής όταν το διάνυσµα ζήτησης έχει θετικές αλλά και αρνητικές αλλαγές θα µπορούσε κάποιος να το δει το σχετικό άρθρο του Serkma 5. Abstract Wassly Leontef, who was rewarded the Nobel Prze 97 n Economcs, had proposed the nput-output model n hs work "Quanttatve nput and output relatons n the economc system of the Unted States" (96). The smplcty and clarty of hs thought are the elements that make ths work remarkable. Leontef descrbed n a wonderful way the correlaton between commodtes. He provded an answer to the followng queston: "What the producton level of n nterdependent ndustres (or sectors) n an economy could be, so that ther total (external and nternal) demand would be satsfed?" ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ R. S. Varga (962), Matrx Iteratve Analyss, Prentce-Hall, Englewood Clffs, NJ (Επίσης: 2 nd Edton, Revsed and Expanded, Sprnger, Berln, 2000.) x j 0
2 A. Berman and R. S. Plemmons (994), Nonnegatve Matrces n the Mathematcal Scences. Classcs n Appled Mathematcs. SIAM, Phladelpha. O. Perron (907), Zur Theore der ϋber Matrzen, Math. Ann. 64, 248-26. 4 G. Frobenus (92), Uber Matrzen aus ncht negatven Elementen, S.-P. Preuss. Akad.Wss., Berln, 456-477. 5 G. Serkma (979), Nonnegatve Matrces: The open Leontef Model, Lnear Algebra and ts Applcatons, 26, 75-20.