ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, ν ποδείξετε ότι f ( ) Μονάδες Β Πότε µι συνάρτηση f λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Η δινυσµτική κτίν του θροίσµτος δύο µιγδικών ριθµών είνι το άθροισµ των δινυσµτικών κτίνων τους Μονάδες β f() l, ν κι µόνο ν lim f() lim f() l lim Μονάδες γ Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: (f g) ( ) f'( ) g ( ) Μονάδες δ Έστω µι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Μονάδες ε Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστην [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της f στο [, β], τότε β f(t)dt G(β) G() Α Θεώρηµ (Fermat) σελ 6 σχολ βιβλίου Β Ορισµός σελ σχολ βιβλίου Γ β γ δ ε Μονάδες Σ * Λ Λ Σ (*) Η πάντηση στο ερώτηµ Γ β µπορεί ν χρκτηρισθεί Σωστό µόνο εφ όσον η συνάρτηση f είνι ορισµένη σε σύνολο της µορφής a, ) (, ) Όπως είνι ( β Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
διτυπωµένη, σωστό είνι µόνο το ντίστροφο ηλδή ν lim f ( ) lim f ( ) l lim f ( ) l, φού γι την περίπτωση του ευθέως µπορεί ν θεωρηθούν ως σύνολ ορισµού της f κι τ µεµονωµέν σύνολ a, ) ( ή (, β ) Εποµένως πό υστηρή µθηµτική άποψη, η πάντηση είνι Λάθος ΘΕΜΑο ίνετι η συνάρτηση f µε τύπο f() ln Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f, ν µελετήσετε την µονοτονί της κι ν βρείτε τ κρόττ Μονάδες β Ν µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σηµεί κµπής γ Ν βρείτε το σύνολο τιµών της f Μονάδες 7 Πρέπει > Άρ A f (, ) H f είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ (, ) συνρτήσεων σ υτό µε ( ln ) f '( ) ( ln ) ' ( ) ' ln ' ln ln (ln ) Έχουµε: f '() ( ln ) Οπότε: A, πορρίπτετι φού ( ) ή ln ln e Εποµένως η συνάρτηση f είνι: f ως γινόµενο πργωγίσιµων Γνησίως φθίνουσ στο (, e ], φού είνι συνεχής στο (, e ] κι ισχύει ότι f () < στο (, e ) Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
Γνησίως ύξουσ στο [ e, ), φού είνι συνεχής στο [ e, ) κι ισχύει ότι f () > στο ( e, ) Άρ προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι e f ( e ) ( e ) ln e e το e β Η f είνι κι η φορά πργωγίσιµη στο (, ) ως γινόµενο δις πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό µέ f ''( ) ( ln ) ' ln ln Έχουµε: f ''() ln ln e f ( e ) ( e ) ln( e ) e Εποµένως η συνάρτηση f είνι: κοίλη στο (, e ] e κυρτή στο [ e, ) Άρ προυσιάζει σηµείο κµπής το Μ ( e, ) e γ Είνι: ln lim o 4 lim lim lim o o o 4 ( De L' Hospital) f ( ) lim ln lim o o lim f ( ) lim ( ln ) Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
Επειδή η f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο διάστηµ (, e ], είνι f (, e ] [,) e Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο διάστηµ [ e, ) είνι f [, ) e [, ) e Άρ το σύνολο τιµών της f είνι f ((, ) ) [,) [, ) [, ) e e e Έτσι, το τοπικό κρόττο πο το ερώτηµ, µπορεί ν χρκτηριστει κι ως ολικό ελάχιστο ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση g()e f(), όπου f συνάρτηση πργωγίσιµη στο R κι f () f Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστο ξ, τέτοιο ώστε f (ξ)-f(ξ) β Εάν f() -, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ I() g()d, R γ Ν βρείτε το όριο lim Ι() Μονάδες 9 Αφού f πργωγίσιµη στο R, τότε κι η g είνι πργωγίσιµη στο R ως γινόµενο πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό Άρ η g είνι κι συνεχής στο R Έτσι η g είνι συνεχής στο, R κι πργωγίσιµη στο g'() e f() e f '() ( ), R µε g() e f() Επίσης είνι άρ g() g g e f Οπότε πό θεώρηµ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, ώστε Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 4
Όµως e ξ άρ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν f (ξ) -f(ξ) β Αφού f() - είνι Ι() g()d e ( ) d ( e ) ( ) d [ e ( ) ] e ( ) ' d [ e ( ) ] e (4 )d [ e ( ) ] ( e ) ξ, ώστε (4 )d [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] e (4 ) ' d [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] e 4d [ e ( ) ] [ e ( 4 ) ] 4[ e ] e ( ) e ( ) e (4 ) 4e 4e e ( ) e (4 ) 4 4e 7 e ( 4 - - 4) e (- 7 7) 7 Άρ Ι() 7 e (- 7 7), R 7 7 γ Είνι γι <, Ι() 7 e a a a e 7 7 κι lim Άρ lim Ι() 7 ( ) 7 Έχουµε lim ( e ) lim lim lim ΘΕΜΑ 4ο e Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοι ώστε f() Αν γι κάθε R, ισχύει g() f (t)dt ( ), e Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 5
όπου βi C, µε, β R*, τότε: Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R κι ν βρείτε τη g Μονάδες 5 β Ν ποδείξετε ότι γ Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµτος β ν ποδείξετε ότι Re( ) Μονάδες 6 δ Αν επιπλέον f()>, f()β κι >β, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ) Μονάδες 6 Η συνάρτηση g() γράφετι: g( ) f ( t) dt ( ) Επειδή η f είνι συνεχής στο R, η συνάρτηση φ() σ υτό Ακόµ, η συνάρτηση συνάρτηση F ) f ( t) dt φ( h( ) ) f ( t) dt είνι πργωγίσιµη h ( ) είνι πργωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική Έτσι η ( είνι πργωγίσιµη στο R ως σύνθεση των πργωγίσιµων συνρτήσεων h κι φ στο R, µε F' ( ) f ( ) f ( ) Ακόµ η συνάρτηση l ( ) ( ) είνι πργωγίσιµη στο R µε l' ( ) Εποµένως η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g' ( ) f ( ) β Αφού g ( ) γι κάθε R κι g(), η δοσµένη νισότητ γράφετι: g( ) g() γι κάθε R Έτσι όµως η g στο προυσιάζει ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό συνεπάγετι πο θ Fermat ότι g () Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 6
Όµως g () f () κι επειδή f() βρίσκουµε ότι g () Αφού g (), έπετι γ Επειδή είνι, προκύπτει ότι ( ) ( ) _ Re( ) Re( ) δ Είνι ( a β i) β β i οπότε Re( ) a β κι λόγω του ερωτήµτος γ έχουµε: a β ή ( β ) ( β ) Επειδή >β προκύπτει ότι β <, οπότε β < < Έτσι γι την συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο R άρ κι στο [,] είνι: f()> κι f()β<, οπότε f() f() < Συνεπώς, εφρµόζοντς το θεώρηµ Bolano γι την f στο διάστηµ [,], συµπερίνουµε ότι υπάρχει ( a, ) τέτοιο ώστε f ( ) β Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 7