Štatsta pre maažérov 6. Varablta 97 6. Varablta Streé hooty vyjarujú meru hootovej úrove sleovaých javov v štatstcom súbore. Ich úlohou je umožť porovávae zaov v voch, alebo vo vacerých súboroch. Iba streá hoota vša estačí a porovávae, pretože streá hoota veľm všeobece mera hootu zaov. Dva rôze súbory, avzájom olšé, môžu mať jeu a tú stú streú hootu. Preto orem streej úrove, oolo torej sa pohybujú hooty zau v súbore, je potrebé súmať, ao sa jeotlvé hooty zau o streej hooty olšujú a ao sa olšujú o seba avzájom. Olšost hoôt sleovaého zau v aom súbore sa azýva melvosť č varáca, varablta. Merae varablty má veľý výzam pr posuzovaí streých hoôt. Keďže streé hooty emôžu vyjarť všety postaté vlastost štatstcého rau, zmerae varablty teto pozaty rozšír. Nulová alebo malá varáca sleovaého zau aého súboru zameá vyrovaosť jeote súboru z pohľau súmaého javu. Veľá varáca svečí o erovost štatstcých jeote v súbore. Merae varablty sa vyoáva vacerým spôsobm. V lteratúre [0] sa uvázajú taéto spôsoby meraa varablty: a) varabltu, torej veľosť ovplyvňujú le etoré hooty zau v súbore, vyjarujú: - varačé rozpäte, - vatlové rozpäte, - vartlová ochýla, b) varabltu, veľosť torej je závslá o ažej hooty zau v súbore; môžu vyjarovať: ba) absolúte, v merých jeotách, v torých sú vyjareé hooty zau v štatstcom súbore: - premerá ochýla, - rozptyl, - štaará (smeroajá) ochýla, streá fereca, bb) relatíve, eď sa varablta vyjaruje pomerom artmetcému premeru: - pomerá premerá ochýla, - varačý oefcet.
9 Štatsta pre maažérov 6. Varablta 6. Mery varablty Mery varablty sa vyjarujú varačým rozpätím, vatlovým rozpätím a vartlovým ochýlam, eclovou ochýlou a percetlovou ochýlou. Varačé rozpäte. Najjeouchšou charaterstou varáce je varačé rozpäte. Varačé rozpäte je rozelom mez ajvyššou a ajžšou hootou sleovaého zau. A sa ajvyšša hoota zau ozačí ao ma a ajžša hoota zau ao m, potom varačé rozpäte R sa vyjarí ao R ma - m (6.) Varačé rozpäte sa používa ao charatersta, torá oplňuje streú hootu. Varačé rozpäte uáva terval, v torom sa pohybujú jeotlvé hooty sleovaého zau. Nevýhoou varačého rozpäta je hlave tá oolosť, že závsí ba o rajých hoôt, toré môžu byť hootam áholým a etrémym. Varačé rozpäte č ehovorí o vútorej melvost zaov v súbore. Poobé etréme hooty sa môžu vysytúť u vacerých súborov, prčom teto súbory môžu byť úple rozele. Varačé rozpäte oplňuje pozaty o súbore. Vycháza z charaterstí streých hoôt, e je vša obrou charaterstou pre vyjaree varablty. Príla 6. Varačé rozpäte Dve supy pracovíov, ažá má päť čleov, pracujú a rovaej stavbe. Porováme úaje o ch mesačom zárobu..supa.supa Pracoví Mza Pracoví Mza 500 5500 3000 0400 3 400 3 000 4 900 4 9900 5 300 5 7000 Artmetcý premer 600 Artmetcý premer 600 Tab. 6. Mesačá hrubá mza zamestacov (v S) Z úajov o pracovíoch oboch supí vypočítame varačé rozpäte.
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 99 Pre. supu: X X 300 900 300 R ma m Pre. supu: X X 7000 9900 700 R ma m Varačé rozpäte pouazuje a oveľa väčše rozely v mzách zamestacov.supy, oprot tomu mzy zamestacov v.supe vyazujú vyššu homogetu. Kvatlové rozpäte a vartlové ochýly. Vplyv etrémych hoôt zau a veľosť mery varablty sa á vylúčť tým, že sa pr výpočte varablty vycháza amesto z rajých hoôt z rajých vatlov. Kvatly Q sú hooty áhoej premeej X, toré ela jej rozelee pravepoobost a α častí a ažá časť má pravepoobosť /α. Kvatlové rozpäte R Q je rozel mez horým a olým vatlom: R Q α α Qα Q (6.) e: Q α α α Q je horý vatl a je olý vatl. Na charaterzovae varablty sa zo všetých vatlov ajčastejše používajú vartly. Najpoužívateľejším vatlm sú vartly, ecly a percetly. Kvartly sú taé vatly, u torých α4. Jeouchým meram varáce sú vartlové ochýly. Vycházajú z laých ochýlo jeotlvých suseých vartlov. Výpočet vartlovej ochýly je jeouchý a evyžauje pozať a všety hooty zau. Kvartlová ochýla sa á určť aj vtey, eď úaje v supovom rozeleí majú otvoreé rajé tervaly. Kvartlová ochýla Q vartlov: sa staoví ao premer laých ochýlo suseých ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) ~ ~ 75 + 5 75 5 Q (6.3) Kvartlová ochýla prestavuje tea polovcu rozpäta horého a olého vartlu. Závsí o toho, aé je veľé rozpäte, v rámc torého leží prostreá polovca prvov súboru. A jestvuje súbor o prvoch, olým vartlom z usporaaej hooty zaov bue za, torého porae bue číslom (+)/4 a horým vartlom bue za,
00 Štatsta pre maažérov 6. Varablta torého poraovým číslom bue 3(+)/4. A má súbor apr. zaov, a ažému zau zopoveá príslušá hoota efovaého javu, ta prvým vartlom bue tretí [(+)/43] za v poraí o počatu usporaaa zaov o poraa a jemu zopoveajúca hoota, štvrtým vartlom bue evaty [3(+)/49] za v poraí a jemu zopoveajúca hoota. Kvartlová ochýla mera varácu lepše ao varačé rozpäte, pretože jej veľosť emôže byť ovplyveá áholým etrémam. Používa sa preovšetým oplňujúcm pozatom, toré posytuje meá. Declová ochýla. Declová ochýla je pomerom laých ochýlo jeotlvých suseých eclov. Decly sú hooty zaov, toré rozeľujú ra hoôt zaov a esať supí o rovaom počte prvov (ecl 0% rozsahu súboru). A sa ozačí eclová ochýla ao D a jeotlvé ecly esatovým eam, eclová ochýla sa vyjarí vzťahom: ( ~ ~ ) ( ~ ~ )... ( ~ ~ ) ~ ~ 90 0 + 0 70 + + 0 0 90 0 D (6.4) Declová ochýla je osmou rozpäta rajých eclov. Závsí o toho, aé je veľé rozpäte, v rámc torého leží prostreých 0% prvov súboru. Percetlová ochýla. Percetlová ochýla je eväťesatosmou rozpäta rajých percetlov. Percetly sú hooty zaov, toré rozeľujú usporaaý ra hoôt zaov a sto supí o % rozsahu súboru. Percetlová ochýla P o má tvar: P o ~ ~ 99 (6.5) 9 Výpočty uveeých ochýlo sú jeouché, ale v rozsahu súmaých prostreých hoôt rozele. Percetlová ochýla pr meraí varáce bere o úvahy 9% prostreých hoôt, eclová ochýla 0% prostreých hoôt a vartlová ochýla 50% prostreých hoôt. Príla 6. Kvatlové ochýly Úaje z. a. supy z tabuľy 6. zosupíme o jeého súboru a v tomto súbore vypočítame vartlovú ochýlu. Hooty zaov usporaame vzostupe. Pracoví 3 4 5 6 7 9 0 Mza 9900 000 0400 900 400 500 3000 300 5500 7000 Tab. 6. Úaje o mze pracovíov (v S) usporaaé vzostupe
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 0 Kvartly prestavujú hooty prslúchajúce poraovým číslam ( + ) / 4, 75 a 3 ( + ) / 4,5. Koréte hooty zísame ao artmetcý premer voch hoôt poraových čísel ajblžších vypočítaému poraovému číslu. 0400 + 000 ~5 5500 + 300 ~75 Kvartlová ochýla: 0300 4350 Q ~ ~ 4350 0300 75 5 05 Polovca hoôt vymezeá prvým a tretím vartlom leží v pásme mez 0300 a 4350, e o vartlové rozpäte ( ~ ~ 75 5 ). Premerá ochýla suseých vartlov vyjareá vartlovou ochýlou je 05. 6. Rozpäta Uveeé mery varáce uávajú rozpäta, v torých sa jeotlvé hooty zaov pohybujú a eorážajú varáce celého rau hoôt zau. Rešť varáce celého rau hoôt zau v súbore je možé voma spôsobm: a) mera varáce sa môže súmať ao olšosť jeotlvých hoôt zau o streej hooty v súbore, b) mera varáce sa môže súmať ao olšosť jeotlvých hoôt zau v súbore voč sebe avzájom. Najvýhoejším je vša ájsť spôsob meraa varáce, torý by vyjarl oba teto rešea, t.j. mera súčase olšost jeotlvých hoôt zau avzájom a voč ch premeru. Taou merou je rozptyl ozačovaý sratou var, alebo symbolom a má tvar: ( ) var (6.6) Rozptyl je artmetcým premerom zo štvorcov ochýlo jeotlvých hoôt zaov o ch artmetcého premeru. Rozptyl mera varácu ao olšosť jeotlvých hoôt zau o ch premeru, ale je možé oázať, že rozptyl je merou varáce ao vzájomej olšost jeotlvých hoôt zau.
0 Štatsta pre maažérov 6. Varablta Keďže rozptyl je štvorcom ochýlo o premeru, pre vyjaree mery varablty sa používa jeho omoca: ( ) var (6.7) Uveeý vzťah a azýva štaará, resp. smeroajá ochýla. Táto mera je varatcým premerom ochýlo jeotlvých hoôt zau o artmetcého premeru. Rozptyl smeroajá ochýla sa vypočítava z eusporaaých hoôt štatstcého súboru. Rozptyl sa pre pratcý výpočet upravuje a tzv. výpočtový tvar: var (6.) Rozptyl je tea možé vyjarť ao premer zo štvorcov hoôt zau, torý je zmešeý o štvorec premeru súmaého zau. Pr rozeleí početost zaov sa určuje rozptyl a štaará ochýla pomocou vážeých premerov, e váham sú početost rôzych hoôt zau: var ( ) ( ) var (6.9) Aj v tomto prípae sa môže použť pr pratcom výpočte vyšše uveeý vzťah: prčom: var (6.0) a (6.)
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 03 A sa vypočítava celový rozptyl z rozptylov častových súborov, celový rozptyl var sa rová súčtu vážeého artmetcého premeru supových rozptylov var (v lteratúre ozačovaý ao var ) a rozptylu supových premerov (v lteratúre ozačovaých ao var ): a tea: var var + var (6.) var ( ) var + (6.3) Pre výpočet celového rozptylu poľa uveeého vzťahu postačuje, a sú záme rozsahy jeotlvých supí, supové premery a supové rozptyly. Príla 6.3 Rozptyl a smeroajá ochýla, výpočtový tvar rozptylu a smeroajej ochýly Pomocou rozptylu a smeroajej ochýly porováme varabltu úajov o mzách pracovíov v. a. supe uverejeé v tabuľe 6.. Pracoví Mza ( ).supa Ochýla o artmetcého premeru Štvorec ochýly ( ) Pracoví Mza ( ).supa Ochýla o artmetcého premeru Štvorec ochýly ( ) 500 00 0000 5500 900 40000 3000 400 60000 0400 00 440000 3 400 00 40000 3 000 400 5760000 4 900 700 490000 4 9900 700 790000 5 300 600 360000 5 7000 4400 9360000 Spolu 63000 000 060000 Spolu 63000 4600 45660000 Tab. 6.3 Častové výpočty pre výpočet rozptylu (úaje o mze pracovíov sú v S) Artmetcý premer pre prvú a ruhú supu je 600. ( ) 060000 5 000 460,43 000
04 Štatsta pre maažérov 6. Varablta ( ) 45660000 5 93000 30,9 93000 Porovaím smeroajých ochýlo sleovaého zau u oboch pracových supí sa opäť potvrlo, že v ruhej pracovej supe sú premeré ochýly jeotlvých hoôt zau väčše ao u prvej supy. Rozptyl a smeroajú ochýlu sa poúsme ovoť aj pomocou výpočtového tvaru. Pracoví.supa Mza ( ).supa Pracoví Mza ( ) 500,565 0 5500,405 0 3000,69 0 0400,06 0 3 400,5376 0 3 000,0404 0 4 900,46 0 4 9900 0,90 0 5 300,744 0 5 7000,9 0 Spolu 63000 7,946 0 Spolu 63000,3946 0 Tab. 6.4 Častové výpočty pre rozptyl a smeroajú ochýlu - výpočtový tvar (úaje o mze pracovíov sú v S) 7,946 0,597 0 5,3946 0,679 0 5 63000,576 0 5 63000,576 0 5,597 0,576 0 000,679 0,576 0 93000 Omoceím hoôt rozptylu ostaeme smeroajú ochýlu.
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 05 6.3 Ié mery varáce Z ých mer varáce uveeme ba te, toré sú ajvac používaé. Premerá ochýla. Premerá ochýla sa efuje ao artmetcý premer absolútych ochýlo jeotlvých hoôt sleovaého zau o streej hooty. Streou hootou sa staovuje úroveň rau hoôt zau. Absolúte hooty ochýlo o streej hooty sa používajú preto, aby sa zamezlo prípaej ompezácí laých a záporých hoôt ochýlo. A sa ozača jeotlvé ochýly o streej hooty symbolom, premerá ochýla z eusporaaých hoôt zaov sa vyjaruje ao: (6.4) a pre rozelee početostí rôzych hoôt zau ao: (6.5) Teto premery sa používajú merau varáce ao olšost hoôt zau o streej hooty. Poľa toho, voč torej streej hoote sa ochýly merajú, rozozávajú sa vaceré ruhy meraa varáce. Premerá ochýla o artmetcého premeru sa vyjarí vzťahom: (6.6) Premerá ochýla je artmetcým premerom jeotlvých absolútych ochýlo. Z rozelea početostí sa premerá ochýla vypočíta ao artmetcý premer absolútych ochýlo: (6.7)
06 Štatsta pre maažérov 6. Varablta Premerá ochýla o artmetcého premeru sa používa ao oplový pozato artmetcému premeru. Premerá ochýla o meáu je ďalším ástrojom popsu varablty. Vypočítava sa z eusporaaých hoôt zau poľa vzťahu: ~ ~ (6.) a u rozelea početostí rôzych hoôt zau poľa vzťahu: ~ m ~ (6.9) Neostatom u týchto ochýlo je, že pr aalýze ch možo použť ba v obmezeej mere a spravla ba ao oplňujúc pozato. Premerá ochýla mera varabltu ba v zmysle olšost jeotlvých hoôt zau o streej hooty. Streá fereca. Streá fereca vyjaruje artmetcý premer absolútych hoôt všetých vzájomých rozelov jeotlvých hoôt sleovaého zau ao: j ( ) j (6.0) Streá fereca sa používa pre merae varáce ao olšost jeotlvých hoôt zau, pretože e je závslá o streej hooty. Mez evýhoy využta streej ferece patrí prácosť výpočtu a emožosť zísať streú ferecu pre celý súbor. Uveeé mery varáce vyjaroval absolútu varabltu štatstcého súboru, pretože sa operal o rozely hoôt sleovaého zau voč premeru, alebo voč sebe avzájom. Pr aalýze môže byť premetom záujmu aj súmae relatívej varablty, t.j. vzťahu hooty toho torého sleovaého zau voč porovávaej úrov (apr. streej hoote). Pre teto účel sa použje mera relatívych premerých ochýlo: alebo ~ ~ (6.)
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 07 Najčastejše sa vša pre určee mery relatívej varáce používa tzv.: varačý oefcet V: V (6.) torý je poelom štaarej ochýly a artmetcého premeru sleovaého zau. Príla 6.4 Premeré ochýly o artmetcého premeru, relatíva premerá ochýla, varačý oefcet Charaterzujme rovomerosť ocházy a cvčea z premetu Eoomcá a emografcá štatsta u štuetov 4. OB-ŠM rozeleých o voch ruhov pomocou premerej ochýly. Kažý ruh má štuetov. Štuet Docháza v prebehu semestra.ruh ).ruh ) ( ( ( ) ( ) 00 50,5,5 56,5 46,5 00 75,5 3,5 56,5,5 3 75 3,5,5 56,5 3,5 4 75 00,5,5 56,5,5 5 75 3,5,5 56,5 3,5 6 3 50 4,5,5 0,5 46,5 7 3 9 4,5 0,5 0,5 40,5 00 00,5,5 56,5,5 9 9 50 4,5,5 0,5 46,5 0 00 50,5,5 56,5 46,5 9 67 4,5 4,5 0,5 0,5 75 5,5 3,5 56,5,5 Spolu X X 0 33 4373 Tab. 6.5 Docháza štuetov 4.OB-ŠM a cvčea (v %) Artmetcý premer v prvom a ruhom ruhu: 7,5 7, 5 Premeré ochýly pre jeotlvé ruhy majú hooty: 0 9,3 7,33 Rovomerosť ocházy u prvého ruhu je oveľa väčša ao u ruhého ruhu, o čom svečí aj výraze vyšša premerá ochýla.
0 Štatsta pre maažérov 6. Varablta Presúmame ďalej aj relatívu varabltu v obvoch ruhoch a varačý oefcet. Relatíva premerá ochýla () Relatíva premerá ochýla () 9,3 0, 7,5 7,33 0,4 7,5 Pre staovee varačého oefcetu je treba ešte ovoť veľosť smeroajej ochýly (z tabuľy 6.5, stĺpec 6 a 7). 33 0,9 0,53 4373 364,4 9,09 0,53 V 7,5 V 9,09 7,5 0, 0,7 Rovao aj vypočítaé charatersty relatívej varablty pouazujú a úajovú homogetu v.ruhu a vyššu esúroosť úajov o ocháze v.ruhu. Varačý oefcet vyšší ao 30% uazuje a slú esúroosť štatstcého súboru. 6.4 Aalýza rozptylu Varablta hoôt zau je jeou z ôležtých otázo štatstcého zsťovaa. Príčy varablty sa rozeľujú o voch supí: a) systematcé zmey, toré vzajú pravele, azývajú sa čtele (fatory) varablty, prestavujú veľosť vplyvu zmey a súmaý štatstcý za. V zhoe s lteratúrou [0] bueme ch ozačovať zam malej abecey a,b,c,, b) áhoé zmey sú ôsleom áhoých vplyvov a ozača sa ao e. Varablta premeej X je charaterzovaá rozptylom, torý možo vyjarť ao: + + + K+ a b c e (6.3)
Štatsta pre maažérov 6. Varablta 09 Rozptyly a pravej strae rovce sú čast rozptylu áhoej velčy X. Nazývajú sa zložam rozptylu. A sú teto zložy pozaé, možo posúť, aou merou sa poeľajú a varablte velčy X. Rozla rozptylu je výchosom súmaa príč rozptylu. Súmae týchto príč sa azýva aalýzou rozptylu. Rozptyly v zálaom súbore spravla e sú záme a preto sa ohaujú z výberového súboru. Pre súmae rozptylu sa prepolaá, že všety velčy a ch rozptyly, toré sú premetom aalýzy, sú avzájom ezávslé. Aalýza rozptylu sa vyoáva pr jeouchom a pr vacstupňovom treeí. Pr jeouchom treeí sa počíta ba s jeým čteľom (fatorom), torým sa pôsobí a varabltu zau X, vo vacstupňovom treeí sa počíta s pôsobeím voch, alebo vacerých fatorov. Pr jeouchom treeí sa výberový súbor tre o m supí, prčom (,,,m) je početosť -tej supy. V ažej supe sa zstí supový premer: j j (6.4) torý je ohaom supovej streej hooty v zálaom súbore. Výberový rozptyl supy sa zstí poľa vzťahu: s ( j ) j (6.5) torý je ohaom rozptylu v zálaom súbore. Pre oha streej hooty sa použje celový výberový premer: m j j (6.6)
0 Štatsta pre maažérov 6. Varablta Ohaom rozptylov (est ) sú výberové charatersty: est m j ( j ) m est a ( ) (6.7) m est s e m ( j r ) m j Súčase esresleým ohaom je aj ásobo výrazu ( est a ), pretože rozptyl supových premerov sa rová, tea: m est ( ) (6.) m Pomer voch ohaov a je áhoá premeá F: e F m m m m j ( ) ( j ) (6.9) torá má F rozelee s m- a -m stupňam voľost. Premeá F sa používa ao testovaca charatersta a testovae hypotézy o zhoe streých hoôt a a posúee vplyvu čteľa s vplyvom α a varabltu áhoej premeej X. A je pr zvoleej hlae výzamost α hoota F meša ao tabuľová hoota F α, považuje sa vplyv čteľa α za evýzamý. Aalýza rozptylu pr vacstupňovom treeí sa olšuje o jeofatorového treea tým, že ažá supa treea prvého stupňa sa ďalej tre o s supí ruhého stupňa.
Štatsta pre maažérov 6. Varablta Výberové premery u jeotlvých supí, toré sú esresleým ohaom streých hoôt sa vyjarujú tvarm - u prvostupňových supí: l s lj s l j l l l l s s ll (6.30) l - u ruhostupňových supí: l l j lj (6.3) - celový premer premeej : m s l j lj (6.3) Ao v prípae rozptylu pr jeouchom treeí, hypotéza o vplyve vacerých čteľov a varabltu áhoej premeej sa testuje pomocou testovaceho rtéra: F s m sm( ) l m l m s l j ( ) ( lj ) l (6.33) Velča F má Fsherovo rozelee s m- a sm( l -) stupňam voľost. Rozhoute o prjatí alebo o eprjatí je aalogcé ao v precházajúcom prípae pr jeouchom treeí.
Štatsta pre maažérov 6. Varablta Príla 6.5 Jeofatorová aalýza rozptylu Našm zámerom je úpa jeozbového bytu. V tejto súvslost ás bue zaujímať, č cea jeozbového závsí o loalty, v torej sa byt acháza (cetrum, premeste, ve). Z ažej z uveeých loalít sme zísal úaje o cee áhoe vybraých jeozbových bytov. Úaje sú v tabuľe 6.6. Loalta Cea jeozbového bytu Cetrum 50 55 60 70 55 60 70 90 55 70 Premeste 40 0 0 5 30 5 35 0 00 0 Ve 05 0 5 5 30 5 35 40 45 55 Tab. 6.6 Cey jeozbových bytov v cetre, a premestí a a veu (v ts. S) Zísame áhoú premeú (6.9), torá má F-rozelee s m a stupňam voľost a porováme ju s tabuľovou hootou, torú ájeme v prílohe 4. Hlaa výzamost α 0,05. Tabuľová hoota: F 0 3, 354,05,,7 Vypočítaá hoota: F 9, 66 Záver: F F 0,05,, 7 F α,, Loalta, a torej sa acháza jeozbový byt, výraze ovplyvňuje jeho ceu. m