Funkcia f sa nazýva regresná funkcia. Ak má konečné prvé parciálne derivácie podľa všetkých parametrov a 0,..., a k, potom odhady â 0

Transcript

1 Kaptola 9.A Kaptola 9. A Regresá aalýza V aptole 8. A sme aalzoval dvojrozmerý štatstcý súbor a počítal orelačý oefcet ao vattatívu meru vzájomej závslost. A bol orelačý oefcet (výberový orelačý oefcet r ) blíz jedej alebo míus jedej bola medz premeým leára závslosť. Našou sahou je popísať túto závslosť ejaou fucou, ajčastejše polómom prvého alebo druhého stupňa t. j. pre dvojrozmerú áhodú premeú (X, ) ájsť fučú závslosť f (, a,..., a ) a odhadúť ezáme parametre a,..., a. Metóda, torú popíšeme sa azýva metóda ajmeších štvorcov. Odhad â,..., â ezámch parametrov a,..., a volíme ta, ab sa mmalzoval chb, toré predstavujú rozdel medz teoretcým a sutočým (ameraým) hodotam premeej. Keďže rozdel môžu adobúdať ao ladé, ta aj záporé hodot, umocňujú sa druhú a počítajú sa ch súčt. Mmalzujeme vlaste T-súčet vadratcých odchýlo (štvorcov) teoretcých a sutočých hodôt premeej. T ( aˆ,..., aˆ ) ( f (, aˆ,..., aˆ )) Fuca f sa azýva regresá fuca. A má oečé prvé parcále derváce podľa všetých parametrov a,..., a, potom odhad â,..., â zísame rešeím ( +) rovíc o ( +) ezámch: T a pre,..., Netoré regresé rv sa v pra veľm často používajú a preto ájdeme presý tvar odhadov a,..., ˆ ( resp. zostavíme sstém rovíc z torého ch možo ájsť). ˆ a Leára regresa Regresá fuca má tvar a + a *,..., Rešeím príslušej sústav dvoch rovíc o dvoch ezámch sú odhad v tvare a 63

2 Kaptola 9.A a Kvadratcá regresa Regresá fuca má tvar a + a + a,..., Odhad príslušých parametrov zísame rešeím troch rovíc o troch ezámch, toré sú v tvare a + a + a 3 a + a + a 4 a + a 3 + a Vzorový prílad Merala sa rýchlosť zvuu pr rôzch teplotách vzduchu, výsled sú zazameaé v tabuľe. teplota ( C ) - 5 rýchlosť ( m/s ) Vpočítajte orelačý oefcet, preložte regresú pramu. Rešee Postupe vpočítame a dosadíme do vzorcov pre odhad parametrov regresej pram. Výberový orelačý oefcet sa rová r,989 a odhad parametrov regresej pram postupe â 33,59, â,56. Graf regresej pram pozr a obrázu 9. ( výstup z Ecelu). 4 graf regresej pram, ,6 rýchlosť Obr teplota prama 64

3 Kaptola 9.A Vzorový prílad V desatch rôzch vzdaleostach sa merala veľosť prehbu zaťažea dos. Výsled sú uvedeé v tabuľe. (dm) (mm),99,53,6,56,8,87,66,9594,8759,773 Preložte regresú rvu druhého stupňa (vadratcá regresa). Rešee Vpočítame príslušé sum a zostavíme sstém rovíc, a +55a + a 9,87 35a + 385a +55a 746, a + 35a + 385a Rešeím tejto sústav rovíc sú odhad parametrov â,953, â,44, â -,765. Hľadaou závslosťou veľost prehbu od vzdaleost je parabola v tvare,953+,44-,765 Graf regresej rv pozr a obrázu 9. (výstup z Ecelu). prehb dos Obr. 9.,5,,5 graf vadratcej regrese -,76 +,44 +, vzdaleosť regresá rva Trasformáce a leáru regresu Mohé fuce, toré e sú leáre, možo jedoduchou trasformácou a leáre prevesť a ta použť metódu ajmeších štvorcov. Prílad etorých trasformácí sú uvedeé v asledujúcch radoch b ae, trasformáca b l( ) l( ae ) z A + Bu, de z l u, A l a, B b, A pôvodé parametre sú a e, B b b a, trasformáca b l( ) l( a ) z A + Bu, de z l, u l, A l a, B b, A pôvodé parametre sú a e, B b, trasformáca l( ) l( ab ), z A + Bu, de z l, u, A l a, B lb, A B pôvodé parameter sú a e, b e ab, b >, b b a +, trasformáca, z A + Bu, de z, u, A a, u B b 65

4 Kaptola 9.A, a + b trasformáca, z A + Bu, de z, u, A a, z B b Vzorový prílad 3 Barometrcý tla p (meraý v Pa) závsí epoecále od admorsej výš h (meraej v m) t.j. bh p ae ameral sme 6 hodôt barometrcého tlau v rôzch admorsých výšach. Výsled sú uvedeé v tabuľe: H P Vhodou trasformácou learzujte, metódou ajmeších štvorcov odhadte parametre a, b. Rešee b Požjeme vzorce pre trasformácu ae, t.j. b l( ) l( ae ) z A + Bu de z l u, A l a, B b, A pôvodé parametre sú a e, B b, dosadíme príslušé hodot do vzorcov pre leáru regresú pramu, A,55, B -,6 a e,55 43,5, B b -,6. Vzťah závslost tlau od admorsej výš udáva fuca,6h p 43,5e Graf regresej rv pozr a obrázu 9.3 (výstup z Ecelu). atmosfercý tla Obr graf regresej rv 43e -, admorsá výša epoecála Pozáma Pre regresú pramu a + a sa zvú počítať a vresľovať dva pás, toré sa azývajú terval spoľahlvost pre regresú pramu a terval spoľahlvost oolo regresej pram. (-) % terval spoľahlvost pre regresú pramu je terval spoľahlvost v tvare: a + a t ( ) s + ( ) ; a + a + t ( ) s + ( ) 66

5 Kaptola 9.A prčom t ( ) je príslušý vatl t rozdelea a s ( ( a + a )). A postupe rátame hodot ľavého a pravého ocového bodu tervalu v meacch sa hodotách, pospájame zvlášť ľavé a pravé ocové bod, dostaeme pás spoľahlvost pre regresú pramu. Iterval spoľahlvost oolo regresej pram vze ta, že pre orétu hodotu vpočítame príslušý terval spoľahlvost tvare: a + a t ( ) s + + ( ) ; a + a + t ( ) s + + ( ) de opäť ( t ) je príslušý vatl t rozdelea a s ( ( a + a )). Napre tomu, že rátame terval spoľahlvost pre jedé, zvú sa opäť pospájať ľavé a pravé ocové bod týchto tervalov pre meace sa hodot a ta vze pás, orý voláme pásom spoľahlvost oolo regresej pram. Na záver uvedeme graf regresej pram 33,59+,56 (vzorový prílad ) spolu s príslušým pásm spoľahlvost pre regresú pramu (šedá bodočarovaá čara) a oolo regresej pram (bela plá čara) Obr. 9.4 Nové pojm a defíce aptol 8. A regresá fuca metóda ajmeších štvorcov ormále rovce parametre leárej regrese, odhad parametrov leára a vadratcá regresa 67

6 Kaptola 9.A trasformáca a leáru regresu terval spoľahlvost pre regresú pramu terval spoľahlvost oolo regresej pram Cvčea Prílad Pr hodoteí súšo a úavu materálu možo popísať závslosť počtu mtov do lomu a apätí vhodou regresou pramou. Tabuľa udáva hodot apäta (v MPa) a (počet mtov). X Vpočítajte orelačý oefcet. Nájdte odhad parametrov regresej pram. Prílad Frma vrábajúca stavebé árade vbrala 6 dealerov za účelom zstea ročých zásob. Objem zásob v mulom rou ozačme a v tomto rou. Výsled sú zazameaé v tabuľe X Vpočítajte orelačý oefcet, preložte vhodú regresú pramu, odhadte stav tohtoročých zásob v podu, de v predchádzajúcom rou bol objem zásob. Prílad 3 Merala sa hustota vod (v g/dm 3 ) v závslost a teplote (v C). Výsled meraí sú uvedeé v tabuľe X ,997,996,993,987,983 Vpočítajte orelačý oefcet, preložte vhodú regresú rvu (parabola). Aú hustotu má voda pr bode varu a bode mrazu? Prílad 4 Sledujeme prehb (mm* - ) plastcej hmot v závslost a tlau (p/cm ). Zísaé údaje sú uvedeé v tabuľe X Vpočítajte orelačý oefcet, preložte vhodú regresú rvu, určte pr aom tlau sa plast zlomí, a hračá hodota bodu zlomu je prehb. Prílad 5 Merala sa závslosť oefcetu vsozt pr prúdeí vapal potrubím a Reoldsovom čísle Re. Zísaé výsled sú uvedeé v tabuľe Re 5 5,3,6,,8,6,5 Zo súseostí veme, že fučá závslosť od Re je daá vzťahom a*re b. Nájdte odhad a, b. Vpočítajte orelačý oefcet. Rešee Prílad r -,89, a +b, de a895,4 a b-6,73 68

7 Kaptola 9.A Prílad r,937, a+b, de a-4,84 a b,35 ()5,34 Prílad 3 r -,974, a +b+c, de a-,4 a b-,, c,3, (),3, (),9979 Prílad 4 r,988, a +b+c, de a-, a b,76, c,857, -, +,76+,857 Prílad 5 r -,89, a b, Re, a,38, b-4,85 69