Využití finanční matematiky v ekonomické praxi Financial Mathematics Utilization in Economic Routine

MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finanční podnikání Využití finanční matematiky v ekonomické praxi Financial Mathematics Utilization in Economic Routine Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce Mgr. Petr ČERVINEK Autor Juraj HRUŠKA Brno, červen 2009

Jméno a příjmení autora: Juraj Hruška Název bakalařské práce: Využití finanční matematiky v ekonomické praxi Název práce v angličtine Financial Mathematics Utilization in Economic Routine Katedra: Finanční podnikaní Vedoucí bakalářské práce Mgr. Petr Červinek Rok obhajoby: 2009 Anotace Cieľom tejto bakalárskej práce s názvom Využití finanční matematiky v ekonomické praxi je analýza aplikácie finančnej matematiky vo vybranom sektore finančného thu a vytvorenie modelu jej požitia v danom sektore. Vybraným sektorom je trh stavebnéh sporenia a model je použitý na simuláciu produktov stavebného sporenia. Annotation Purpose of this bachelor thesis with title Financial Mathematics Utilization in Economic Routine is to analyze aplication of financial mathematics in chosen field of financial market and to create model of its utilization in that field. The chosen field is the market of building savings and the model is utilize for simulation of products of building savings. Klíčová slova úroková miera, sporenie, úver, štátna podpora, stavebné sporenie Keywords interest rate, savings, credit, state subvence, building savings

Prehlásenie Prehlasujem, že som bakalársku prácu Využití finanční matematiky v ekonomické praxi vypracoval samostatne pod vedením Mgr. Petra Červinka a uviedol v nej všetky použité literárne a iné odborné zdroje v súlade s právnymi predpismi, vnútornými predpismi Masarykovej univerzity a vnútornými aktmi riadenia Masarykovej univerzity a Ekonomickosprávnej fakulty MU. V Brne, 26.6.2009...

Poďakovanie Týmto by som sa rád poďakoval Mgr. Petrovi Červinkovi za cenné pripomienky a odborné rady pri tvorbe tejto bakalárskej práce.

Obsah 1 Úročenie a úroková miera 8 1.1 Ponímanie času vo finančnej matematike................... 8 1.2 Úrok a úroková miera.............................. 8 1.2.1 Nominálna a reálna úroková miera.................. 10 1.3 Úročenie..................................... 10 1.3.1 Jednoduché úročenie.......................... 11 1.3.2 Diskont................................. 12 1.3.3 Zložené úrok............................... 13 1.3.4 Zmiešané úročenie........................... 14 1.3.5 Spojité úročenie............................. 15 2 Peňažné toky 16 2.1 Spôsoby ohodnocovania peňažných tokov................... 16 2.1.1 Súčasná hodnota............................ 16 2.2 Sporenie..................................... 16 2.2.1 Krátkodobé sporenie.......................... 17 2.2.2 Dlhodobé sporenie........................... 18 2.2.3 Kombinácia krátkodobého sporenia a dlhodobého sporenia..... 19 2.3 Dôchodky.................................... 20 2.3.1 Bezprostredný dôchodok........................ 21 2.3.2 Odložený dôchodok........................... 22 2.4 Umorovanie dlhu................................ 23 3 Stavebné sporenie 25 3.1 Stavebné sporiteľne............................... 25 3.2 Účastník stavebného sporenia......................... 26 3.3 Úver zo stavebného sporenia.......................... 26 3.4 Cieľová čiastka a doba soprenia........................ 27 3.5 Štátna podpora................................. 27 4 Praktická časť 29 4.1 Stavebné sporenie................................ 29 4.1.1 Produkty stavebného sporenia..................... 31 4.2 Úver zo stavebného sporenia.......................... 33 4.2.1 Produkty úveru zo stavebného sporenia................ 35 4.3 Preklenovací úver................................ 36 4.3.1 Preklenovacie úvery - produkty.................... 37 4.4 Optimalizácie.................................. 39 4.5 Porovnanie s ostatnými možnosťami na trhu................. 40 5

6 OBSAH Záver 42 Použitá literatúra 43 Zoznam tabuliek 44

Úvod Finančná matematika predstavuje jednu z najzaujímavejších aplikáci matematiky v praxi. Táto téma ma vskutku zaujíma a preto som sa ju rozhodol rozpracovať ako svoju bakalársku prácu, konkrétne pre využitie finančnej matematiky pri tvorbe a hodnotení produktov stavebného sporenia. Stavebné sporenie je ešte stále jeden z najpopulárnejších produktov finančného trhu. Štátna prémia je veľkým lákadlom, či už v Českej republike, alebo aj na Slovensku. Niet divu, že momentálne je na českom trhu uzavretých vyše piatich milionov aktivne sporiacich zmluv. To znamená, že každý druhý Čech má uzavretú zmluvu o stavebnom sporení. Myslím si, že tento stav je spôsobený hlavne preferenciami ľudí, pretože vo všeobecnosti si ešte neprivykli na možnosť aktívneho investovania a investujú zväčša konzervatívne. 7

Kapitola 1 Úročenie a úroková miera 1.1 Ponímanie času vo finančnej matematike Doba úročenia sa stanovuje podľa tzv. štandardov úročenia. Najpoužívanejších je týchto päť: 1. Nemecká hodnota (štandard 30E/360) sa využíva najmä v Európe. Mesiace trvajú 30 dní a rok 360 dní. Doba t medzi dvoma dátumami D 1.M 1.R 1 ad 2.M 2.R 2 (v prípade, že D i je 31, je nutné ho zmeniť na 30) sa určí ako: t = 360(R 2 R 1 ) + 30(M 2 M 1 ) + (30 D 1 ) + D 2 360 (1.1) 2. Americký štandard (štandard 30A/360) sa líši od štandardu európskeho (30E/360) iba v prípade, keď D 1 nie je 30 ani 31 a zároveň D 2 =31. V tomto prípade sa ponecháva 31 dní. 3. Francúzky štandard (štandard ACT/360) používa v čitateli mesiace so skutočným počtom dní a v menovateľovi 360 dní. 4. Anglická metóda (štandard ACT/365) počíta so skutočným počtom dní v mesiaci, počet dní v roku je stanovený ako 365, ale nemení sa v prípade prestupného roku. 5. ACT/ACT používa skutočný počet dní v mesiaci a skutočný počet dní v roku. V Českej republike sa v súvislosti s cennými papiermi používa štandard 30E/360 a s bankovými depozitami ACT/360. 1 1.2 Úrok a úroková miera Úrok predstavuje náklad zapožičania peňazí. Teda z pohľadu dlžníka je to cena, ktorú zaplatí za úver. Keďže ceny za tento prenájom peňazí bývajú značne vysoké, musí úver priniesť dlžníkovi prínos. Či už je to možnosť zakúpenia nejakej veci, rozumného investovania do podnikateľskej činnosti alebo investície do cenných papierov. Na druhej strane pre veriteľa (toho, kto peniaze požičiava), predstavuje úrok odmenu za to, že sa dočasne vzdá dispozičného práva s peniazmi a za podstúpené riziko, ktoré 1 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 16-17 8

1.2. ÚROK A ÚROKOVÁ MIERA 9 je spojené so stratou kontroly nad časťou svojich aktív a možnosťou poklesu hodnoty zapožičaných peňazí z dôvodu inflácie. Samotné poskytnutie peňazí na úver prestavuje pre veriteľa riziko, v prípade, že dlžník chtiac-nechtiac nebude splácať svoj dlh. Pre majiteľa peňazí je určite výhodnejšie svoje peniaze požičať, ako keby mali ležať ladom a strácať na reálnej hodnote vďaka inflácii. Úroková miera je vyjadrená podielom úroku za zvolené úrokovacie obdobie a objemu zapožičaného kapitálu, ktorý príslušný úrok generoval. Ide o počiatočný kapitál, alebo v budúcnosti splatný kapitál. K úrokovej miere sa pridáva vyznačenie úrokovacieho obdobia. V prípade, že jednotkové obdobie vyznačené nie je, jedná sa spravidla o rok. V tabuľke sú uvedené skratky na vyznačenie dĺžky obdobia, ku ktorému sa vzťahuje úroková miera. Obdobie Skratka Názov m Rok p.a. per anum 1 Polrok p.s. per semestre 2 Štvrťrok p.q. per quartale 4 Mesiac p.m. per mensem 12 Týždeň p.sept. per per septimanam 52 Deň p.d. per diem 365 Tabuľka 1.1: Typy úrokovej miery zdroj: Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 39 Úrokové miery patria k dôležitým ekonomickým ukazovateľom. Veľkosť úrokovej miery závisí od mnohých faktorov. 1. Diskontná sadzba: je úroková miera, za ktorú poskytuje centrálna banka úvery ostataným bankám. Zvýšenie diskontnej sadzby priamo úmerne vplýva na úrokové miery nielen v komerčných bankách, ale na celom finančnom trhu. Ako nástroj monetárnej politiky ma podstatný vplyv na peňažnú masu a následne na infláciu a hospodársky vývoj. 2. Medzibankové úrokové miery: sú úrokové miery, ktoré využívajú obchodné banky pri poskytovaní krátkodobých úverov navzájom medzi sebou. Hodnota sa mení každý deň. V Českej republike je to ponukový PRIBOR a dopytový PRIBID. Zo svetových napríklad Londýnsky LIBOR. 3. Stratégia banky: je založená na základnej úrokovej miere, ktorú si banka zvolí a od ktorej sa následne odvodzujú úrokové miery ostatných produktov banky. Cieľom väčšiny bánk je samozrejme zisk, takže sa zameriavajú hlavne na veľkosť úrokovej marže, čiže rozdielu medzi úrokovou mierou úverov a vkladov. 4. Riziko pôžičky: vzťah s úrokovou mierou je zákonite priamo úmerný. Preto majú štátne cenné papiere nízku výnosnosť. Na druhej strane obchodné a bankové úvery majú značne vyššie úrokové miery. 5. Doba pôžičky: zohľadňuje sa hlavne pri terminovaných vkladoch, kde sú klienti odmenený vyššou úrokovou mierou, za relatívne nižšiu likviditu.

10 KAPITOLA 1. ÚROČENIE A ÚROKOVÁ MIERA 6. Výška požičaného kapitálu: úrokové miery sa správajú podobne ako progresívne zdanenie. Čím je množstvo zapožičaného kapitálu väčšie, tým vyššia je aj úroková miera. Pre rozličné výšky úverov majú banky interne stanovené rozličné úrokové pásma. 7. Daňová politika štátu: finančné rozhodovanie sa obvykle riadi až čistými výnosmi a čistými cenami úveru po zdanení. Pri niektorých finančných inštrumentoch je zdanenie nulové, ale väčšina kapitálového majetku je zdaňovaná 15% zrážkovou daňou pri zdroji. 2 1.2.1 Nominálna a reálna úroková miera Inflácia spôsobuje pokles hodnoty peňazí, čiže sa s ňou musí rátať pri výpočte úrokovej miery. Ak je inflácia väčšia ako sa predpokladalo, presúva sa bohatstvo od veriteľa k dlžníkovi a naopak. S ohľadom na tieto skutočnosti rozlišujeme medzi reálnou a nominálnou úrokovou mierou. Reálna úroková miera i r je nominálna úroková miera i n očistená o infláciu, respektíve mieru rastu cien i i. 3 Ak máme na začiatku úrokovacieho obdobia kapitál K, tak jeho hodnota na konci je určená vzťahom: K 1 + i n. 1 + i i (1.2) Pre reálnu úrokovú mier platí K(1 + i r ) (1.3) Pretože oba výrazy musia byť zhodné, dostaneme vzťah 1 + i r = 1 + i n 1 + i i (1.4) 1 + i n = (1 + i r )(1 + i i ) = 1 + i r + i i + i r i i = 1 + i i + i r (1 + i i ) (1.5) i n = i i + i r (1 + i i ) (1.6) i r = i n i i 1 + i i. (1.7) Ak vo vzťahu (1.8) zanedbáme člen i r i i, pretože nadobúda len malé hodnoty, dostaneme Fisherovu rovnicu: i r = i n i i. (1.8) 1.3 Úročenie Podľa toho či je úrok vyplácaný na začiatku, alebo na konci úrokovacieho obdobia rozlišujeme úročenie predlehotné (anticipatívne) a polehotné (dekurzívne). 1. Predlehotné úročenie znamená že dlžník na konci úrokovacieho obdobia splatí čiastku K 1, pričom na počiatku úrokovacieho obdobia dostane od veriteľa čistku K 0 zmenšenú o úrok U 0, ktorý je splatný na začiatku úročenia. K 1 = K 0 + U 0 (1.9) 2 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 12-14 3 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 12-14

1.3. ÚROČENIE 11 Niekedy sa nehovorí o úroku, ale o diskonte (D), pričom pre mieru diskontu i 0 platí: i 0 = D K 1. (1.10) Úroková miera v predlehotnom úročení (diskontná miera) musí spĺňať podmienku 0 < i 0 < 1. Pri jej použití vo vzorci predlehotného úročenia dostávame konečnú podobu vzorca. 4 ( K 1 = K 0 1 + i ) 0 1 i 0 (1.11) 2. Polehotné úročenie: úrok sa pričítava k vypožičanému kapitálu až na konci úrokovacieho obdobia. Dlžník, ktorý si na počiatku úrokovacieho obdobia zapožičia kapitál K 0, sa zaviaže na konci splatiť veriteľovi istinu zvýšenú o úrok U 1, splatný na konci. Konečnú splatnú čiastku dostaneme z vzorca: K 1 = K 0 + U 1. (1.12) Úroková miera v polehotnom úročení i 1 je podielom úroku na počiatočnom kapitále. i 1 = U 1 K 0 (1.13) Po dosadení dostávame vzťah: ( K 0 = K 1 1 i ) 1. (1.14) 1 + i 1 Pri porovnaní predlehotného a polehotného úročenia, za predpokladu, že počiatočný aj konečný kapitál je rovnaký v oboch prípadoch, je zjavné, že i 1 > i 0. 5 1.3.1 Jednoduché úročenie Tento typ úročenia sa využíva najmä v prípadoch, keď úrokovacie obdobie neprekročí 1 rok. K základnému kapitálu sa úrok nepripočítava a ďalej sa neúročí. Úrok sa počíta vždy len zo základného kapitálu. Jednoduchý úrok vypočítame: u... jednoduchý úrok K... základná čiastka i... ročná úroková miera(desatinné číslo) p... ročná úroková miera (percentá) t... doba vypožičanie vyjadrená v rokoch k... doba vypožičania vyjadrená v dňoch p u = K.i.t = K. 100. k 360 i = u K.t (1.15) (1.16) 4 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. 5 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2.

12 KAPITOLA 1. ÚROČENIE A ÚROKOVÁ MIERA V prípade, že sa veľkosť úročeného kapitálu v priebehu úrokovacieho obdobia relatívne často mení (napr. na bežnom účte), využívajú sa v bankovej praxi úrokové čísla (UC) a úrokové delitele (UD). Úrokové číslo definujeme ako: UC = K.k (1.17) 100 Úrokový deliteľ sa definuje ako: UD = 360 p (1.18) Jednoduchý úrok potom určíme ako: p u = K. 100. k 360 = K.k 100 360 p = UC UD (1.19) Pri meniacej sa výške kapitálu a nemenej výške úrokovej miery určíme úrok ako: p u = K 1. 100. k 1 360 + + K p n. 100. k K1.k1 n 360 = 100 360 p + + K n.k n 100 360 p (1.20) = UC 1 + + UC n UD Pričom platí, že kapitál P i je v danej veľkosti na účte k i dní. 6 (1.21) 1.3.2 Diskont Na diskontnom princípe je založená väčšina obchodov s cennými papiermi so splatnosťou do jedného roku. Krátkodobé pôžičky v rámci transakcií s cennými papiermi sú ocenené nie na základe základu K, ale na základe splatnej čiastky S. Nepoužíva sa termín úrok a úroková miera, ale diskont a diskontná miera. 7 k D = S.d.t = S.d. 360 (1.22) D... diskont S... splatná čiastka d... ročná diskontná miera (desatinné číslo) t... doba pôžičky v rokoch k... doba pôžičky v dňoch Základ P z pôžičky S, ktorú dlžník skutočne dostane určíme ako: ( ) k P = S D = S.(1 dt) = S 1 d. 360 (1.23) 6 Cipra, T. Finanční a pojistné vzorce. 1. vyd. Praha : Grada, 2006. 374 s. ISBN 80-247-1633-X. 7 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 20-22

1.3. ÚROČENIE 13 1.3.3 Zložené úrok Zložené úročenie sa využíva pre dlhšie úrokovacie obdobia resp. v prípadoch, keď úrokovacie obdobie presiahne 1 rok. Do konečnej splatnej čiastky S sa nezarátavajú len pôvodný kapitál K a úroky z neho platené, ale aj úroky z úrokov. Základný kapitál rastie exponenciálne. Splatnú čiastku úročenú zloženým úrokom ako: 8 S = K(1 + i) n = K S... splatná čiastka P... základný kapitál i... ročná úroková miera (desatinné číslo) p... ročná úroková miera (percentá) n... počet ročných úrokovacích období Základ pri zloženom diskontovaní určíme ako: K = ( 1 + p ) n. (1.24) 100 S (1 + i) n = S.vn = S(1 d) n (1.25) v = 1/(1 + i)... diskontný faktor d = i.v... ročná zložená diskontná miera (desatinné číslo) Z vzorca o zloženom úročení vyplýva, že úrokovú mieru určíme ako: A počet úrokovacích období ako: i = ( ) 1/n 1 S. (1.26) K n = ln S ln K ln(1 + i). (1.27) Pri potrebe rýchleho približného výpočtu alebo overenia výsledku výpočtu predošlým spôsobom môžeme využiť alternatívne metódy, ktoré aproximujú za koľko sa vložený kapitál zdvojnásobí resp. strojnásobí. 9 1. Pravidlo 69 : počet rokov pre zdvojnásobenie kapitálu n 69 p 2. Pravidlo 72 : počet rokov pre zdvojnásobenie kapitálu + 0, 35. (1.28) n 72 p. (1.29) 8 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 35 9 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 38

14 KAPITOLA 1. ÚROČENIE A ÚROKOVÁ MIERA 3. Pravidlo 110 : počet rokov potrebných na strojnásobenie kapitálu n 110 p + 0, 52. (1.30) Nominálna úroková miera je úroková miera j uvádzaná pri področnom úročení. Vzťahuje sa k ročnému úrokovaciemu obdobiu, i keď zložené úročenie sa v skutočnosti využíva na úrokovacie obdobie dĺžky 1/m roku a úrokovou mierou j/m. Táto úroková miera sa označuje j m. 10 Splatná čiastka pri področnom zloženom úročení je určená ako: S = K(1 + j m )m.n+k (1.31) Exponent vo vzorci určuje dĺžku úročenia, pričom m určuje počet úrokovacích období v roku, n počet rokov a k počet úrokovacích období v neúplnom roku. Efektívna úroková miera i zodpovedajúca nominálnej úrokovej miere j pri úročení m-krát ročne je ročná úroková miera, ktorá dáva za dobu jedného roku rovnakú splatnú čiastku ako nominálna úroková miera. Jej hlavné využitie je na porovnávanie rôznych nominálnych úrokových mier, ktoré sa líšia svojou absolútnou veľkosťou a frekvenciou úročenia, pričom i je spravidla väčšia ako j. 11 i = (1 + j m )m 1 (1.32) 1.3.4 Zmiešané úročenie Na základe predošlých dvoch typov úročenia sa zistilo, že pre úročenie kratšie ako jeden rok je výhodnejšie jednoduché úročenie a pre dlhšie naopak zložené úročenie. Zložené úročenie teda vzniká kombináciou týchto dvoch úročení, pričom prvý a posledný rok sa úročia jednoduchým úročením. Splatná čiastka pri zmiešanom úročení sa určí ako 12 : K S = K(1 + i.t 1 ).(1 + i) n.(1 + i.t 2 ) = (1.33) ( 1 + p 100. k ) ( 1. 1 + p ) ( n. 1 + p 360 100 100. k ) 2. (1.34) 360 n... počet ročných úrokovacích období t 1... neúplná časť prvého ročného úrokovacieho obdobia t 2... neúplná časť posledného ročného úrokovacieho obdobia k 1... počet dní prvého ročného úrokovacieho obdobia k 2... počet dní posledného ročného úrokovacieho obdobia. 10 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 36 11 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 40-41 12 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 42-44

1.3. ÚROČENIE 15 1.3.5 Spojité úročenie Je založené na maximalizácií počtu úročení behom roka, m sa blíži nekonečnu. Samotná dĺžka úrokovacieho obdobia sa blíži 0 (resp. k nekonečne nízkemu číslu ɛ ). To umožňuje, aby bolo možné pri výpočtoch využívať integrály a derivácie. Najčastejšie sa využíva spojité úročenie ako marketingový ťah bánk, ktoré ho ponúkajú ako zvláštnu službu svojím najlepším klientom, pretože spojité úročenie pri nemennej ročnej nominálnej úrokovej miere, vytvára najvyššiu efektívnu úrokovú mieru. 13 Vzorec na spojité úročenie vychádza z limitného vzťahu: ( lim 1 + j m = e m m) j. (1.35) Ak chceme zachytiť zmeny v úrokovej miere medzi časmi τ = 0 a τ = t, využijeme funkciu δ(τ) úrokovej intenzity v čase τ, ktorá predstavuje výšku prietoku úrokovej miery v danom momente. 14 ( t ) S = p.exp δτdτ (1.36) 0 Z toho vyplýva. že vzťah pre splatnú čiastku pri spojitom úročení určíme ako: t... doba pôžičky vyjadrená v rokoch s = K.e j.t (1.37) 13 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 44-45 14 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str.45

Kapitola 2 Peňažné toky Pri peňažných tokoch uvažujeme v spojitom čase t a predpokladáme, že v určitom definovanom období t 0, T + t 0 resp. 0, T, T > 0 sa uskutočňujú peňažné transakcie príjmov a výdajov. Ak pre jednotlivé časové okamihy t k, k = 0, 1,..., n platí 0 = t 0 t 1 < < t n = T (2.1) potom v čase t k 0, T sa aktuálna hodnota počiatočnej čiastky P(vkladu alebo úveru) v prípade príjmu zväčší o a k = a, v prípade výdaju zmenší o a k = b a v prípade príjmu a aj výdaju b zmení o a k = a b. Peňažný tok na intervale 0, T je potom tvorený n dvojicami hodnôt (t k, a k ), k = 1, 2.... 1 2.1 Spôsoby ohodnocovania peňažných tokov 2.1.1 Súčasná hodnota Súčasná hodnota (P V Present Value) je hodnota systému peňažných tokov vzťahujúcich sa k referenčnému dátumu, ktorá leží časovo pred všetkými platbami systému (všetky platby sa teda diskontujú). Najmä pri ohodnocovaní investícii sa nehovorí len o súčasnej hodnote, ale o čistej súčasnej hodnote (N P V Net Present Value), aby sa zdôraznil fakt, že peňažné toky môžu byť aj záporné. Peňažný tok investície spravidla začína vysokým výdajom. 2 Súčasnú hodnotu vypočítame ako: P V = K k=0 C nk (1 + i) n k = K C nk.v n k (2.2) k=0 2.2 Sporenie Pri výpočtoch sporenia v podstate určujeme budúcu hodnotu úročeného kapitálu, ak sa základný kapitál v priebehu úročenia pravidelne alebo nepravidelne zvyšoval. Poznáme dva typy úročenia: 1 Cipra, T. Finanční a pojistné vzorce. 1. vyd. Praha : Grada, 2006. 374 s. ISBN 80-247-1633-X. 2 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 60-62 16

2.2. SPORENIE 17 1. Krátkodobé sporenie: je sporenie, ktorého doba nepresiahne jedno úrokovacie obdobie (obvykle 1 rok). Úroky sú pripisované na konci doby sporenia, najneskôr na konci úrokovacieho obdobia a jednotlivé vklady budú úročené jednoduchým úročením. 2. Dlhodobé sporenie: je úročenie, ktorého doba je dlhšia ako jedno úrokovacie obdobie. V tomto prípade sa úroky na konci každého úrokovacieho obdobia pripíšu k nasporenej čiastke a ďalej túto čiastku úročia. 2.2.1 Krátkodobé sporenie Behom daného (väčšinou) ročného úrokovacieho obdobia sa pravidelne ukladajú čiastky m-krát za rok. Úročia sa jednoduchým úrokom. Podľa toho či sa splátka vkladá na začiatku alebo na konci m-tiny úrokovacieho obdobia rozlišujeme predlehotné a polehotné sporenie. Krátkodobé predlehotné sporenie Výnos z krátkodobého predlehotného úročenia, resp. daný úrok, za predpokladu že na počiatku každej m-tiny roku vložíme jednu m-tinu celkovej vloženej sumy, určíme podľa súčtu úrokov v jednotlivých m-tinách úrokovacieho obdobia. Poradie vkladu Úroková doba Úrok 1 m. 1 1.i. m m m m 2 (m 1). 1 1 m m 3 (m 2). 1 1 m m... m 1. 1 m.i. m 1 m.i. m 2 m 1 m.i. 1 m Tabuľka 2.1: Pribeh krátkodobého predlehotného sporenia zdroj: Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 81 Úroková doba je časť roku, počas je ktorého je každý vklad úročený. Celkový úrok získame ako súčet čiastkových úrokov pre jednotlivé vklady, ktoré tvoria aritmetickú radu. u = i.[m + (m 1) + + 1] = = i m2 Celkovú nasporenú čiastku určíme ako: S x = m.a. Krátkodobé polehotné sporenie + 1).m.(m m2 2 = m + 1.i (2.3) 2.m ( 1 + m + 1 ) 2.m.i. (2.4) O krátkodobom polehotnom sporení hovoríme, ak počas úrokovacieho obdobia, vkladáme vždy na konci m-tiny roku vložíme m-tinu vkladu. Úrokovacie obdobie trvá spravidla 1 rok. Úrok z jednotlivých vkladov určíme podľa tabuľky. Vzhľadom k tomu, že sa vklady ukladajú na konci príslušného obdobia, má polehotné sporenie o jednu úrokovú dobu menej (z posledného vkladu sa úrok nepočíta).

18 KAPITOLA 2. PEŇAŽNÉ TOKY Poradie vkladu Úroková doba Úrok 1 (m 1). 1 1 m m 2 (m 2). 1 1 m m... m 1 1. 1 1.i. 1 m m m m 0. 1 m.i. m 1 m.i. m 2 m 1 m.i. 0 m Tabuľka 2.2: Pribeh krátkodobého polehotného sporenia zdroj: Radová, J. Dvořák, P. Málek, J.Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 85 Celkový úrok určíme podobne ako pri predlehotnom sporení: u = i.[(m 1) + (m 2) + 1 + 0] = i m2 1).m.(m m2 2 = m 1.i (2.5) 2.m Ak sa teda uloží každú m-tinu roku rovnaký vklad a, potom celkovú nasporenú čiastku na konci roku určíme ako: S x = m.a.(1 + m 1.i) (2.6) 2.m 2.2.2 Dlhodobé sporenie O dlhodobom sporení sa hovorí ak sa sporí niekoľko úrokovacích období. Pri výpočte celkovej nasporenej čiastky za n úrokovacích období predpokladáme, že vkladáme len jeden krát a že dané úrokovacie obdobie je jeden rok. Podľa toho, či je čiastka vkladaná na konci alebo na začiatku roka, rozlišujeme predlehotné a polehotné dlhodobé sporenie. Dlhodobé predlehotné sporenie Na počiatku každého ročného úrokovacieho obdobia sa na účet vloží čiastka a, ktorá sa úročí na konci roku. Výsledná nasporená čiastka vrátane úrokov na konci n-tého obdobia pri úrokovej miere i sa určí ako súčet všetkých vkladov zúročených na konci n-tého obdobia. Poradie vkladu Doba uloženia vkladu Celková hodnota na konci n-tého obdobia 1 n a.(1 + i) n 2 n 1 a.(1 + i) n 1... n 1 a.(1 + i) Tabuľka 2.3: Pribeh dlhodobého predlehotného sporenia Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 90 Budúcu hodnotu anuít (stav úspor) S určíme súčtom vkladov na konci n-tého obdobia: S = a.(1 + i).[(1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 + + 1] = (2.7)

2.2. SPORENIE 19 a.(1 + i). (1 + i)n 1 (2.8) i Výraz s n sa nazýva predlehotný sporiteľ a udáva konečnú nasporenú hodnotu za n období, pri úrokovej miere i, ak na počiatku každého obdobia vložíme jednotkový vklad. 3 Dlhodobé polehotné sporenie s n = (1 + i)n 1 1 v (2.9) V prípade, že sa jednotlivé vklady a vkladajú na účet na konci jednoročného úrokovacieho obdobia po dobu n rokov, pri stálej úrokovej miere i, hovoríme o dlhodobom polehotnom sporení. Celkovú hodnotu úspor na konci n-tého obdobia určíme ako súčet hodnôt všetkých vkladov na konci n-tého obdobia. Poradie vkladu Doba uloženia vkladu Celková hodnota na konci n-tého obdobia 1 n-1 a.(1 + i) n 1 2 n-2 a.(1 + i) n 2... n-1 1 a.(1 + i) n 0 a Tabuľka 2.4: Pribeh dlhodobého polehotného sporenia zdroj: Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 94 Konečný stav úspor S sa určí ako súčet geometrickej rady vkladov, s počiatočným členom a a kvocientom 1 + i. S = a.[(1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 + + 1] = a. (1 + i)n 1 (2.10) i Výraz s n = (1 + i)n 1 (2.11) i sa nazýva polehotný sporiteľ a udáva konečnú nasporenú hodnotu za n období, pri úrokovej miere i, ak na konci každého obdobia vložíme jednotkový vklad. 4 2.2.3 Kombinácia krátkodobého sporenia a dlhodobého sporenia V tom to prípade sa jedná v podstate o dlhodobé sporenie, ale na sporiaci účet sa nevkladá raz za rok, ale každú m-tinu roka po niekoľko rokov. Opäť sa rozlišuje predlehotné a polehotné sporenie, podľa toho či sa vkladá na počiatku, alebo na konci danej m- tiny úrokovacieho obdobia. Tento spôsob by mal byť najčastejší, pri klasických sporiacich produktoch finančných inštitúcií, keďže mzdy sú obvykle vyplácané mesačne (resp. nie jeden krát ročne) 3 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 91 4 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 95

20 KAPITOLA 2. PEŇAŽNÉ TOKY Predlehotné kombinované sporenie Ak ukladáme na počiatku každej m-tiny roka, potom nasporená čiastka je určená podľa vzorca: ( S x = m.a. 1 + m + 1 ) 2.m.i. (2.12) Následne sa dosadí nasporená čiastka za jeden rok S x do vzorca dlhodobého polehotného sporenia namiesto jednoročnej anuity a a tak dosiahneme celkovú sumu, ktorá sa získa za n rokov. 5 Polehotné kombinované sporenie ( S = m.a. 1 + m + 1 ) 2.m.i. (1 + i)n 1 i (2.13) Postup určovania finálnej čiastky je obdobný ako v predošlom prípade, len teraz predpokladáme, že čiastky sú vkladané na konci každej m-tiny úrokovacieho obdobia. Čiastku nasporenú na konci roka určíme podľa vzorca 6 : ( S x = m.a. 1 + m 1 ) 2.m.i. (2.14) Potom sa opäť postupuje ako pri dlhodobom polehotnom sporení, kde sa nahradí anuita a čiastkou S x. ( S = m.a. 1 + m 1 ) 2.m.i. (1 + i)n 1 (2.15) i 2.3 Dôchodky Dôchodok predstavuje systém pravidelne sa opakujúcich platieb, ktorých výška je nominálne rovnaká, alebo sa mení podľa určitej schémy. Jednotlivé obdobia medzi realizovanými dôchodkovými platbami (anuitami) sa nazývajú výplatné obdobia. Niekedy sa anuitou chápe aj celkový systém platieb. Podľa toho, kedy je dôchodok vyplatený, delíme: 1. Predlehotný anuity sú vyplácané vždy na počiatku výplatného obdobia. 2. Polehotný anuity sú vyplácané na konci výplatného obdobia. Podľa pravidelnosti veľkosti platieb: 1. Istý dôchodok je vypolácaný vždy v rovnakej nominálnej výške (napr. kupónová platba z obligácie). 2. Prípadný dôchodok je vyplácaný na základe splnenia určitej podmienky. Často sa vyskytuje v poisťovníctve. Podľa dĺžky doby vyplácania dôchodkov: 5 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 97-99 6 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X str. 100-102

2.3. DÔCHODKY 21 1. Dočasný má presne stanovenú dobu počas, ktorej je vyplácaný. 2. Večný je vyplácaný neobmedzene dlho. Podľa počiatku vyplácania dôchodkov: 1. Bezprostredný sa začína vyplácať ihneď. 2. Odložený sa začne vyplácať až po uplynutí určitej doby. 7 2.3.1 Bezprostredný dôchodok Vyplácanie dôchodku začína ihneď. Môže nastať napríklad pri zakúpení obligácie, z ktorej sa vyplácajú kupóny. Na základe toho kedy sa vyplácajú platby rozlišujeme predlehotný a polehotný bezprostredný dôchodok. Bezprostredný predlehotný dôchodok V prípade dôchodkov sa spravidla určuje počiatočná (súčasná) hodnota K peňažného toku dôchodkov a. Keďže sa jedná o predlehotný dôchodok, vypláca sa vždy na začiatku úrokovacieho obdobia. Počiatočná hodnota sa rovná súčtu všetkých súčasných hodnôt všetkých výplat dôchodkov. Súčasná hodnota sa určí diskontovaním jednotlivých anuít. K = a.v 0 + a.v 1 + + a.v n 1 = a. 1 vn (2.16) i.v 1 (1 + i) n a.(1 + i). (2.17) i Ak sa dôchodok vypláca každú m-tinu úrokovacieho obdobia vo výške a, potom súčasnú hodnotu určíme ako: ( K = m.a. 1 + m + 1 ) 2.m.i. 1 vn (2.18) i Výraz a n sa nazýva predlehotný zásobiteľ a udáva počiatočnú hodnotu dôchodku s jednotkovými anuitami, vyplácanými vždy na počiatku úrokovacieho obdobia po n období pri úrokovej miere i. 8 a n = 1 vn i.v (2.19) Bezprostredný polehotný dôchodok Počiatočná hodnota dôchodku K pri ukladaní pravidelnej anuity a na konci úrokovacieho obdobia po dobu n období sa pri úrokovej sadzbe i opäť určí diskontovaním jednotlivých anuít. V tomto prípade sa oproti predlehotnému bezprostrednému dôchodku úročí o jedno obdobie viac. K = a.v + a.v 2 + + a.v n = a. 1 vn i 1 (1 + i)n = a. i (2.20) 7 Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 69 8 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 113-116

22 KAPITOLA 2. PEŇAŽNÉ TOKY Ak sa dôchodok vypláca každú m-tinu úrokovacieho obdobia vo výške a, potom súčasnú hodnotu určíme ako: ( D = m.a. 1 + m 1 ) 2.m.i. 1 vn (2.21) i Výraz a n = 1 vn (2.22) i sa nazýva polehotný zásobiteľ a udáva počiatočnú hodnotu dôchodku s jednotkovými anuitami, vyplácanými vždy na konci úrokovacieho obdobia po n období pri úrokovej miere i. 9 2.3.2 Odložený dôchodok S výplatou dôchodku sa nezačne ihneď, ale až po uplynutí určitého počtu (ročných) úrokovacích období. Odklad dôchodku trvá k rokov. Vhodným príkladom môže byť druhý a tretí pilier dôchodkového sporenia v Slovenskej republike, kde si osoby v produktívnom veku (resp. ich zamestnávatelia) sporia na dôchodok, ktorý začnú po prekročení istej vekovej hranice poberať v pravidelných platbách. Počiatočná hodnota odloženého dôchodku je v podstate diskontovaná počiatočná hodnota bezprostredného dôchodku. Odložený dôchodok sa opäť delí na predlehotný a polehotný. Predlehotný odložený dôchodok Predlehotný odložený dôchodok je vyplácaný vždy na počiatku úrokovacieho obdobia po dobu n rokov, pričom prvé vyplácanie je posunuté o k rokov. Pri výpočte súčasnej hodnoty sa vychádza zo vzorca pre bezprostredný predlehotný dôchodok (2.17). Čiže sa musí diskontovať každá anuita vyplácaná v j-tom roku vyplácania dôchodku, avšak tento krát je diskontovaná za j + k úrokovacích období. Súčasná hodnota dôchodku vzniká súčtom jednotlivých diskontovaných anuít. 10 K = v k 1.a. 1 vn (2.23) i Ak sa dôchodok vypláca každú m-tinu úrokovacieho obdobia vo výške a, potom súčasnú hodnotu určíme ako: ( K = v k.m.a. 1 + m + 1 ) 2.m.i. 1 vn (2.24) i Polehotný odložený dôchodok Systém vyplácania platieb a úročenia je úplne rovnaký ako pri predlehotnom odloženom dôchodku, len s tým rozdielom, že v tomto prípade sú platby realizované na konci výplatného obdobia. Súčasná hodnota sa určí ako: K = v k.a. 1 vn i (2.25) 9 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 109-112 10 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 119-120

2.4. UMOROVANIE DLHU 23 Ak sa dôchodok vypláca každú m-tinu úrokovacieho obdobia vo výške a, potom súčasnú hodnotu určíme ako 11 : ( K = v k.m.a. 1 + m 1 ) 2.m.i. 1 vn. (2.26) i 2.4 Umorovanie dlhu Umorovanie predstavuje splácanie dlhu dlžníkom veriteľovi podľa vopred stanoveného umorovacieho plánu. Umorovací plán je väčšinou počítaný na dlhšie obdobie formou pravidelných splátok a v niektorých prípadoch sú dokonca sankcionovaní dlžníci, ktorí splatia skôr. Pri jednorazovom splácaní nemá zmysel zaoberať sa umorovaním. Každá splátka sa skladá z dvoch častí: úmoru a úroku. Úmor vyjadruje čiastku o koľko sa znížila výška úveru resp. základ pre nasledujúci úrok. Úrok spláca úrok z dlžnej čiastky. Veriteľ si ho musí započítať do základu dane ako príjmovú položku a v niektorých prípadoch (ako napríklad úrok z hypotéky) si ho môže dlžník naopak zo základu dane odpočítať. Úmorovací plán obsahuje výšku splátky, výšku úmoru dlhu, výšku úroku z dlhu a stav dlhu po odčítaní úmoru (vhodná informácia pre dlžníka v prípade že chce splatiť dlh v skoršom termíne, alebo pre veriteľa ak by chcel dlh predať). Nakoľko úver môžeme brať ako dôchodok platený veriteľovi, môžeme pri nemenných splátkach veľmi jednoducho pomocou vzorcov pre dôchodky určiť dĺžku úveru. Poprípade môžeme určiť minimálnu anuitu ak chceme úver splatiť do určitej doby. Veritelia si môžu určiť vhodnú úrokovú mieru, pre rôzne rýchlo splácajucich klientov. Obdobie Splátka Úmor Úrok Stav dlhu 0 - - - K.a n 1 K K.v n K(1-v n ) K.a n 1 2 K K.v n 1 K(1-v n 1 ) K.a n 2 3 K K.v n 2 K(1-v n 2 ) K.a n 3..... n-1 K K.v 2 K(1-v 2 ) K.a 1 n K K.v K(1-v) 0 Tabuľka 2.5: Umorovanie dlhu zdroj: Cipra,T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 2. vyd. Praha : Ekopress, 2005. 308 s. ISBN 80-86119-91-2. str. 88 Pravidelnú splátku a určíme upravením vzorca pre okamžitý dôchodok (vyplýva to z podstaty, že splácanie úveru je vyplácanie dôchodku veriteľovi): a = D i (2.27) 1 v n V mnohých prípadoch v praxi sa úvery nesplácajú presne vypočítanými anuitami, ale podľa vopred umelo zaokrúhlených splátok. Priebeh umorovania je podobný ako v predošlom prípade, avšak splátky budú rovnaké len do posledného roku, kde je splátka z 11 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str. 117-118

24 KAPITOLA 2. PEŇAŽNÉ TOKY princípu nižšia. Nepresnosť splátok spôsobí, že posledná splátka sa bude líšiť od ostatných. Jej výšku môžeme stanoviť podľa vzorca 12 : ( b = K a. 1 ) vn 0.(1 + i) n 0+1 (2.28) i Kde n 0 je počet období s fixnými splátkami. Teto počet rokov získame úpravou vzorca (2.27), ktorého výsledok zaokrúhlime na celé roky a znížime o jedna. V prípade, že klient chce splatiť dlh jednorázovo, ako to býva pri preklenovacích úveroch, spláca po celú dobu úveru len úroky a samotný dlh je splatený až na konci. Môže nastať aj prípad, že klient nápodobne spláca len úroky, ale zároveň aj sporí, pričom vklady sú taktiež úročené. Sporí až dovtedy kým nasporená čiastka nedosiahne výšku dlhu, ktorý je náslene splatený. Pri jednorazovom slatení úveru veriteľ dostáva úrok z celého kapitálu vo výške i.k 0 a čiastku a i.k 0 dlžník ukladá na sporiaci účet. a = K 0 (v + v 2 + + v n ) 1 (2.29) Pre rovnomerné umorovanie dlhu, čiže pre úmorovanie, kde sa v každom období zníži výška dlhu o rovnakú čiastku, sa musí ročná splátka a k rovnať súčtu úmoru a úroku, avšak úmor zostáva konštantný, len úrok po celú dobu klesá. a k = K 0.(1 (n k + 1).i) (2.30) n 12 Radová, J. Dvořák, P. Málek, J. Finanční matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. 286 s. ISBN 80-247-1230-X. str.136

Kapitola 3 Stavebné sporenie Stavebné sporenie je stále jedným z najpopulárnejších produktov na českom finančnom trhu. Štátna prémia stále láka subjekty, aby do tohto produktu investovali svoje prostriedky. Počet novo uzavretých zmlúv neustále narastá (za rok 2008 o 21,7%) 1, ale je dosť otázne ako dlho tento trend vydrží, ako rýchlo dôjde k nasýteniu trhu. Hoci sú množstvá novo uzavretých zmlúv stále celkom vysoké, asi už nikdy nedosiahnu úroveň akú mali pred novelou zákona 96/1993 s.z., ktorá je účinná od 1.1.2004. Za rok 2003 bolo uzavretých 2097338 nových zmluv. 2 Panika z avizovaného zníženia štátnej prémie, zjavne zohrala svoju úlohu. Celkový počet sporiacich zmlúv za rok 2008 je 5070510. 3 Od roku 2004 má klesajúci trend, avšak najväčší prepad sa dá predpokladať na tento a budúci rok keď, sa vypršia zmluvy z roku 2002 a 2003. Obdobie Do 31.12.2003 od 1.1.2004 Štátna podpora 25% 15% max. 4500 Kč max. 3000 Kč Výška vkladu pre získanie 100% podpory 18000 Kč/rok 20000 Kč/rok Doba sporenia 5 rokov 6 rokov Štátna podoira na viacerých zmluvách nie áno Možnosť znížiť úrok nie áno Oslobodenie od dane z príjmu áno nie Účastníci sporenia Čr Čr a EU Tabuľka 3.1: Zmeny v stavebnom sporení zdroj: novela zákona č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření z 1.1.2004 3.1 Stavebné sporiteľne Stavebné sporiteľne sú prevádzkovateľmi stavebného sporenia. Sú to banky, ktorých činnosť je regulovaná a môžu vykonávať len činnosti, ktoré im povoľuje banková licencia. Ich činnosť je pod dohľadom Českej národnej banky. 1 Česká národní banka [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http : //193.86.123.148/cps/rde/xchg/mfcr/xsl/stavebni s poreni 1 6787.html 2 Česká národní banka [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http : //193.86.123.148/cps/rde/xchg/mfcr/xsl/stavebni s poreni 1 6787.html 3 Česká národní banka [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http : //193.86.123.148/cps/rde/xchg/mfcr/xsl/stavebni s poreni 1 6787.html 25

26 KAPITOLA 3. STAVEBNÉ SPORENIE Hlavnou činnosťou stavebnej sporiteľne je samozrejme stavebné sporenie, ktoré v sebe zahrňuje prijímanie vkladov od účastníkov stavebného sporenia, poskytovanie úverov účastníkom stavebného sporenia a poskytovanie príspevku fyzickým osobám (štátnej podpory). Stavebná sporiteľňa je povinná vypracovať a vhodne uverejniť všeobecné obchodné podmienky. Musia obsahovať podmienky uzatvorenia zmluvy o stavebnom sporení, podmienky získania úveru zo stavebného sporenia a uzavretia zmluvy o tomto úvere a nakoniec postup pri zániku stavebnej sporiteľne alebo odňatí bankovej licencie. Okrem hlavnej funkcie môže stavebná sporiteľňa vykonávať mnoho ďalších činností, avšak len za bezproblémového priebehu hlavnej činnosti. Stavebné sporiteľne majú limitovaný počet zmlúv, ktoré môže uzavrieť s právnickými osobami. Podiel cieľových čiastok zmlúv uzavretých s právnickými osobami môže byť maximálne 15% z celkovej sumy cieľových čiastok všetkých zmlúv, pri ktorých sa ešte nemôže uplatniť nárok na úver zo stavebého sporenia. Pohľadávky z úverov nesmú prekročiť 20% súčtu cieľových čiastok. Finančné prostriedky môže stavebná sporiteľňa ukladať a získavať len od bánk so sídlom v Českej republike, pobočiek zahraničných bánk pôsobiacich na území ČR. Stavebné sporiteľne môžu taktiež vydávať dlhopisy s maximálnou dobou splatnosti 10 rokov. Majetkové účasti môžu mať len v podnikoch, ktoré sa zaoberajú výstavbou bytov a rodinných domov alebo výrobou pre tieto účely (stavebný materiál), v podnikoch pomocných bankových služieb a iných stavebných sporiteľniach. Účasť v právnickej osobe nesmie presiahnuť jednu tretinu základného kapitálu právnickej osoby a súčet účastí v právnických osobách nesmie prekročiť 15% základného kapitálu stavebnej sporiteľne. Limity neplatia pre získavanie podielov v iných stavebných sporiteľniach a v podnikoch pomocných bankových služieb. Stavebná sporiteľňa môže vlastniť iba nehnuteľnosti, ktorými sú zaistené jej pohľadávky, alebo nehnuteľnosti určené pre výkon činnosti tejto stavebnej sporiteľne. 4 3.2 Účastník stavebného sporenia Účastníkom stavebného sporenia môže byť fyzická, ako aj právnicá osoba. Štátnu podporu môže získať občan Českej republiky, občan európskej únie, ktorému bolo udelené povolenie k pobytu na území Českej republiky a fyzická osoba s trvalým pobytom na území českej republiky. Účastník získava právo na štátnu podporu ak po celý kalendárny rok splňoval aspoň jednu z daných podmienok. V roku keď je zmluva uzavretá alebo končí, stačí ak danú podmienku splňuje počas trvania zmluvy o stavebnom sporení. 5 3.3 Úver zo stavebného sporenia Právo na poskytnutie úveru zo stavebného sporenia na financovanie bytových potrieb získava účastník po splnení podmienok stanovených zákonom a stavebnou sporiteľňou. Tento úver môže byť poskytnutý iba na financovanie bytových potrieb účastníka a jeho blízkych osôb. Možnosť financovania bytových potrieb blízkych osôb je jedna zo zmien, ktorú priniesla novela zákona z roku 2003. Za blízku osobu sa považuje príbuzný v priamej línií, súrodenec a manžel. Tým značne narastá možnosť získať potvrdenie (faktúry od stvebných firiem a na nákup stavebného materiálu) o oficiálnom použití úveru a je ho 4 zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření 5 zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření

3.4. CIEĽOVÁ ČIASTKA A DOBA SOPRENIA 27 možné neoficiálne použiť na ľubovoľné ciele, čo sa podľa mňa v praxi stáva celkom bežne. Potvrdenia musí klient povinne predkladať stavebnej sporiteľni. Prostriedky z úver môžu byť poskytnuté najskôr po dvoch rokoch od počiatku doby sporenia, ale stavebná sporiteľňa môže poskytnúť úver do výšky cieľovej čiastky aj keď ešte nemôže poskytnúť úver zo stavebného sporenia. Úroková miera z úveru zo stavebného sporenia nesmie byť o viac ako 3 percentuálne body vyššia ako je úroková miera z vkladov. Po uplynutí 6 rokov môže stavebná sporiteľňa pozmeniť úrokovú mieru z vkladov ak klient odmietne úver zo stavebného sporenia. 6 3.4 Cieľová čiastka a doba soprenia Cieľová čiastka je tvorená sumou vkladov, štátnej podpory, úveru zo stavebného sporenia a úrokov z vkladov a štátnej podpory a znížená o daň z úrokov. Nasporená čiastka sa rovná súčtu vkladov, úrokov z vkladov a pripísaných záloh štátnej podpory, znížená o úhrady účtované stavebnou sporiteľňou. Túto čiastku nemožno previesť na iné osoby. 7 Doba sporenia začína dňom uzatvorenia zmluvy a končí dňom uzatvorenia zmluvy o úvere zo stavebného sporenia, alebo vyplatením zostatku účtu stavebného sporenia, najneskôr v deň ukončenia zmluvy, alebo zánikom právnickej osoby. 3.5 Štátna podpora Štátna podpora je financovaná z rozpočtu Českej republiky. To znamená, že časť daní je vrátená určitej skupine občanov skrz stavebné sporenie, čím podľa môjho názoru je umelo zvyšovaný dopyt po tomto produkte a demotivuje ľudí investovať prostriedky do iných produktov, ktoré by mohli mať vyššiu skutočnú výnosnosť. Tým v podstate podporuje rast dopytu po nehnuteľnostiach, čím ženie ich cenu nahor. Možno aj tu by sme mohli nájsť korene dnešnej krízy. Podpora je poskytovaná formou ročných záloh fyzickým osobám, ktoré splnia podmienky. Záloha tvorí 15% z nasporenej čiastky za kalendárny rok, vrátane úrokov a bez štátnej podpory, ale maximálne z čiastky 20000. Oproti minulej úprave zákona, môže jeden účastník mať naraz viac zmlúv, na ktorých uplatňuje štátnu podporu, avšak celková suma podpôr nesmie presiahnuť stanovenú hranicu. Podpora sa uplatňuje najskôr u skôr uzavretých zmlúv. Čiastka úspor presahujúca 20000 Kč v jednom roku sa z hľadiska posudzovania nárokov na štátnu podporu prevádza do nasledujúceho roku sporenia v prípade, že uzatvorená zmluva bude obsahovať prehlásenie účastníka, že v rámci tejto zmluvy žiada o priznanie štátnej podpory. Toto prehlásenie nesmie byť počas trvania zmluvy zmenené. Do doby vyplatenia podpory sú zálohy štátnej podpory len evidované. Zálohy sú vyplatené účastníkovi, ak po dobu 6 rokov od uzavretia zmluvy nehýbal s nasporenou čiastkou alebo ak v období do 6 rokov odo dňa uzavretia zmluvy uzavrel zmluvu o úvere zo stavebného sporenia a prostriedky použije adekvátne. V ostatných prípadoch vracia stavebná sporiteľňa zálohy ministerstvu do dvoch mesiacov od straty nároku účastníka na podporu. V prípade vrátenia štátnej podpory ministerstvu sa úroky zo štátnej podpory ponechávajú účastníkovi. Účastník je povinný vrátiť stavebnej sporiteľni štátnu podporu, ktorá mu vyplatená v rozpore s podmienkami stanovenými zákonom v stanovenej lehote. Uložiť 6 zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření 7 zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření

28 KAPITOLA 3. STAVEBNÉ SPORENIE vrátenie podpory môže sporiteľňa do 3 rokov od zistenia porušenia podmienok čerpania štátnej podpory, ale najneskôr do piatich rokov od porušenia podmienok. 8 8 zákon č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření

Kapitola 4 Praktická časť V tejto časti som sa konkrétne zameral na určitú problematiku finančnej matematiky a jej praktického využitia. Upriamil som sa hlavne na spôsob výpočtu stavebného sporenia, úveru zo stavebného sporenia a preklenovacieho úveru na základe spôsobov, ktoré používajú stavebné sporiteľne na českom trhu. Na týchto základoch som vytvoril v programe Excel kalkulačku, ktorá simuluje priebeh týchto produktov. Na českom finančnom trhu sa vyskytuje týchto päť stavebných sporiteľní: 1. Stavební spořitelna České spořitelny 2. Wüstenrot stavení spořitelna 3. Českomoravská stavební spořitelna 4. Reiffeisen stavební spořitelna 5. Modrá pyramida stavební spořitelna 4.1 Stavebné sporenie Pri výpočtoch stavebného sporenia sa využíva najmä jednoduché a zložené úročenie. Aplikovanie klasických vzorcov pre sporenie komplikujú hlavne štátne prémie, ktoré sa vypočítavajú z nasporenej čiastky na konci kalendárneho roka, ale na účet sporiteľa sa pripisujú až v apríli nasledujúceho roka. Ďalšou komplikáciou môže byť obmedzenie štátnej prémie. Takže by sa dalo povedať, že sporiteľne respektíve štát ochudobňuje sporiteľov o úroky zo štátnej prémie za štyri mesiace. Problém taktiež môžu tvoriť poplatky. Ročné poplatky sa však dajú jednoducho ošetriť ak od samotného sporenia odpočítame rovnako dlhé sporenie, ktorého vkladmi budú práve ročné poplatky. Je však potrebné správne zvoliť predlehotné sporenie (2.8), ak sa poplatok platí v januári a polehotné sporenie (2.10), ak sa platí v decembri. 1 S inými ročnými poplatkami som sa nestretol, okrem 1 Stavební spořitelna České spořitelny a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.burinka.cz/cs/obchodni-podminky/sazebnik-uhrad/sazebnik-fyzicke.shtml, Wüstenrot stavení spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.wuestenrot.cz/cz/cz/produkty/stavebni-sporeni/zakladni-informace/sazebnik/sazebnikuhrad-za-poskytovane-sluzby-platny-od-1-5-2009/ Českomoravská stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.cmss.cz/produkty/sazebnik/sazebnik Modrá pyramida stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.modrapyramida.cz/sazebniky/sluzby-pro-obcany/ 29

30 KAPITOLA 4. PRAKTICKÁ ČASŤ Reiffeisen stavebnej sporiteľne, kde sa platí štvrťročne. 2 Vstupný poplatok, ktorý býva v mnohých prípadoch znížený pre mladistvých sporiteľov, sa dá ošetriť zloženým úročením tohto poplatku po dobu sporenia. V mojej kalkulačke som ako vstupný údaj použil úrokovú mieru, ktorá sa dá určiť na základe zvoleného produktu jednotlivých stavebných sporiteľní. Produkty sú viacmenej podobné a ich základná úroková miera je 2% 3, okrem produktu Wüstenrot stavebnej sporiteľne, kde je najbližšia úroková miera 2,2%. 4 Ďalším vstupným údajom je cieľová čiastka. Je veľmi dôležité, aby bola cieľová čiastka vhodne nastavená. Nesmie byť príliš vysoká, pretože vstupný poplatok za zmluvu o stavebnom sporení sa väčšinou počíta ako 1% cieľovej čiastky. 5 Niektoré sporiteľne majú pre tento prípad stanovené limity vstupného poplatku, niektoré však nie. Na druhej strane je potrebné dávať si pozor, aby nebola cieľová čiastka príliš nízka, lebo v tomto prípade môže dôjsť k presporeniu, za ktoré si stavebné sporiteľne účtujú poplatok (alebo sporenie predčasne ukončia). Poplatky za presporenie sa väčšinou pohybujú okolo niekoľkých percent z presporenej čiastky. Osobne by som tieto poplatky zaradil medzi tie bizardnejšie a silne pochybujem, že sú s nimi klienti stavebných sporiteľní oboznámený. Pre vhodné zvolenie cieľovej čiastky som vytvoril pár optimalizácií. Podľa nich sa dá určiť cieľová čiastka, ak chceme maximalizovať mieru výnosu alebo ako nastaviť cieľovú čiastku, ak vieme aké budú naše maximálne ročné vklady. Pre maximalizáciu výnosu za šesť rokov sporenia, čiže pre také vklady aby sme presne dosiahli na konci každého roku maximálny základ pre štátnu prémiu, je vhodné zvoliť cieľovú čiastku medzi 140 000 a 150 000. 6 Nasledujúcim parametrom je ročný vklad, od ktorého sa odvíja cieľová čiastka, respektíve opačne. Záleží na postupe. Na prvom hárku kalkulačky sa dá nastaviť frekvencia vkladov. Môže sa vkladať jedenkrát za rok, štyrikrát za rok alebo vkladanie každý mesiac. Pri ročnom a štvrťročnom sporení sa dajú nastaviť mesiace vkladov. Podľa toho je potrebné zvážiť veľkosť vkladu. Určite, ak chceme vkladať raz za rok, bude vhodné vklad nastaviť aspoň 12 krát väčší ako je mesačný. Podľa mňa najbežnejším typom je ročné vkladanie na účet, pretože ľudia si odkladajú vklad na poslednú chvíľu a vkladajú celkovú ročnú splátku. Každá sporiteľňa má nastavené minimálne mesačné vklady. Môj názor je, že sporiteľne musia veľmi opatrne voliť tieto obmedzenia vkladov. Nemôžu byť príliš nízke, aby sa neznížila likvidita spoločnosti a tým sa znížili prostriedky pre poskytovanie úverov. Stavebné sporiteľne však nesmú nastavovať ani príliš vysoké limity, aby sporitelia nenasporili príliš, čo by ich mohlo v krajnom ptípade demotivovať od čerpania úveru alebo od samotného sporenia, pretože nebudú schopný 2 Reiffeisen stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http://www.rsts.cz/novinky-a-dokumenty/dokumenty-ke-stazeni/dokumenty-a-sazebniky/ 3 Penize.cz [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http://www.penize.cz/stavebni-sporeni 4 Wüstenrot stavení spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http://www.wuestenrot.cz/cz/cz/produkty/stavebni-sporeni/nase-nabidka/ 5 Stavební spořitelna České spořitelny a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.burinka.cz/cs/obchodni-podminky/sazebnik-uhrad/sazebnik-fyzicke.shtml, Wüstenrot stavení spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.wuestenrot.cz/cz/cz/produkty/stavebni-sporeni/zakladni-informace/sazebnik/sazebnikuhrad-za-poskytovane-sluzby-platny-od-1-5-2009/ Českomoravská stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.cmss.cz/produkty/sazebnik/sazebnik Reiffeisen stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-15] http://www.rsts.cz/novinky-a-dokumenty/dokumenty-ke-stazeni/dokumenty-a-sazebniky/ Modrá pyramida stavební spořitelna a.s. [online]. Praha.2009. [cit. 2009-05-28] http://www.modrapyramida.cz/sazebniky/sluzby-pro-obcany/ 6 zdroj: autor