MANUÁL EXPERIMENTŮ TATIANA HIKOVÁ LUDMILA POTOČÁKOVÁ PETR PUPÍK LUCIA RUMANOVÁ KITTI VIDERMANOVÁ
INTERAKTIVNÍ EXPERIMENTÁLNÍ WORKSHOP ŽILINA 4. 5. 9. 04 Interaktivní experimentální workshop je realizovaný v rámci projektu Podpora talentů v přírodovědných a technických oborech v slovensko-českém příhraničí (ITMS 403004), který je financován z Operačního programu přeshraniční spolupráce SR-ČR 007-03.
Lektorský tým Petr Pupík vystudoval učitelství matematiky a deskriptivní geometrie na Přírodovědecké fakultě MU v Brně a nyní učí na matematickém gymnáziu zvaném Jaroška. Organizoval několik matematických soutěží pro středoškolské i základoškolské studenty (Brněnský korespondenční seminář, Kurz pro maturanty, Mathrace) a nyní organizuje logickou hru BRLOH a věnuje se dalším aktivitám spojených s talentovanými studenty. Ve volném čase se věnuje agility. Kitti Vidermanová vyštudovala odbor matematika informatika na Fakulte prírodných vied UKF v Nitre. Po úspešnej obhajobe dizertačnej práce s názvom Výučba stereometrie a rozvoj priestorovej predstavivosti začala svoju akademickú cestu na Katedre matematiky FPV UKF v Nitre. V rámci pedagogickej činnosti sa zaoberá využívaním IKT a manipulačných pomôcok vo vyučovaní matematiky. Jej vedecko výskumná činnosť je tiež zameraná na teóriu vyučovania matematiky. Vo voľnom čase najradšej číta, lúšti hlavolamy a krížovky a pravidelne športuje. Lucia Rumanová vyštudovala FMFI UK v Bratislave, odbor matematika deskriptívna geometria. V súčasnosti pôsobí na Katedre matematiky FPV UKF v Nitre. Jej pedagogická činnosť je zameraná na výučbu konštrukčnej geometrie a jej vedecko-výskumná činnosť je v oblasti teórie vyučovania matematiky a geometrie. Najradšej trávi voľný čas so svojou rodinou, pričom aktivity jej vymýšľajú hlavne jej dve deti. Tatiana Hiková ukončila štúdium na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici aprobáciu matematika zemepis. Pracuje ako učiteľ na Gymnáziu, Hlinská 9 v Žiline. Žiakov motivuje k účasti na súťažiach geografická olympiáda, strojárska olympiáda, festival vedy a techniky a pod. Vo voľnom čase sa venuje krasokorčuľovaniu ako rozhodkyňa, v lete rada cestuje po Slovensku alebo sa venuje záhrade. Ľudmila Potočáková vyštudovala na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici, odbor matematika a branná výchova. Štvrťstoročie pracuje na Gymnáziu na Hlinskej ulici v Žiline. Vo voľnom čase hráva bedminton, bicykluje, v zime rada lyžuje a pozerá romantické filmy. Jej obľúbená farba je zelená. 3
Úvod Existuje lepší cesta, jak se něco naučit, než si to vyzkoušet? Věda je nejlepším způsobem poznání světa a experiment je její nedílnou součástí. Praktické ukázky a řešení problémů ze všedního života žáků v matematice pomáhá si danou problematiku představit a je pro ně uchopitelnější. Zároveň praktické příklady probouzejí vrozenou zvídavost a žáky pozitivně motivují. Nepříznivá finanční situace na většině škol experimentování bohužel nepřeje, takže tato nenahraditelná část výuky často trpí. Učitelé se potýkají s nedostatkem pomůcek a prostředků k jejich koupi. Alternativním řešením jsou jednoduché experimenty nenáročné na materiály a přístupné pro všechny. V této příručce naleznete soubor takových pokusů s přehledným návodem. Některé z nich jsou snadné a nekladou velké požadavky na přípravu, jiné jsou pojaty jako otevřené úlohy a svou povahou si vyžadují čas a soustředění jak učitele, tak žáků. Doufáme, že všechny bez výjimky se stanou základem pro nové experimentování, podnětem k novému bádání a sdílení nápadů. Rádi bychom, abyste v nich našli povzbuzení ke své práci, a žáci prostředek, jak je může matematika bavit. Tým projektu 4
Keď sa niečo opakuje Tatiana Hiková Typ učiva: Vlastnosti funkcie sínus Časová náročnosť: 0 minút Forma: práca vo dvojici/diskusia Pomôcky a materiál: Pracovný list (príloha), kalkulačka, počítač Metodické pokyny: Pri goniometrických funkciách sa žiaci stretávajú s novou vlastnosťou periodickosť. Čo znamená táto vlastnosť a ako sa prejavuje si môžu odvodiť žiaci sami. Sledovaním údajov pomocou tabuliek č. a č. o vzťahoch medzi veľkosťou uhla a hodnotami funkcie sínus žiaci objavia vlastnosť - periodickosť. Učiteľ môže žiakom úlohu doplniť o ďalšie veľkosti uhlov (napr. 655,...) tak, aby sami zovšeobecnili, že daná vlastnosť platí pre ľubovoľné hodnoty uhla, ktoré sa líšia o celočíselné násobky 360. Žiaci prečítajú svoje formulácie v bode 5 a spolu s učiteľom upravia do správnej podoby. Riešenie: α (stupne) -35-0 -05-90 -75-60 -45-30 0 30 45 60 75 90 sin α -0,7-0,87-0,97 -,00-0,97-0,87-0,7-0,50 0,00 0,50 0,7 0,87 0,97,00 α (stupne) 05 35 50 80 0 5 40 70 35 330 360 390 405 450 sin α 0,97 0,7 0,50 0,00-0,50-0,7-0,87 -,00-0,7-0,50 0,00 0,50 0,7,00 Tabuľka č. 35 - (-45 ) = 360... sin α α sin α α sin α α sin α α 40 - (-0 ) = 360... -35-0 45 405-45 = 360... -45-60 35 0,7-0,87 0,7... 5 40 405 sin 45 360 sin 45 35 Tabuľka č.......... 5
Tatiana Hiková Zovšeobecnenie: Periódou funkcie nazývame rozdiel medzi dvomi veľkosťami uhlov, ktorých funkčné hodnoty sa rovnajú. Pre funkciu sínus má perióda veľkosť 360 stupňov a platí: sin 0 k. 360 sin k Z 0 Poznámka: Pri sledovaní hodnôt v tabuľke, rozdelením tabuľky na kvadranty, zobrazením uhlov na jednotkovej kružnicu si môžu žiaci odvodiť kvadrantové vzťahy a pod.. Celé zadanie úlohy môže učiteľ upraviť aj pre uhly v oblúkovej miere. Zdroj: obrázok http://tr.clipartlogo.com/premium/detail/sea-wave-and-dolphin-on-blue_4776077.html 6
Tatiana Hiková Pracovný list Téma: VLASTNOSTI GONIOMETRICKÝCH FUNKCIÍ Pracujte podľa pokynov, svoje výsledky konzultujte so susedom.. Pomocou kalkulačky alebo vhodného matematického softvéru vypočítajte hodnoty goniometrickej funkcie sínus (hodnoty zaokrúhlite na desatinné miesta) pre dané veľkosti uhlov a vpíšte do tabuľky. α (stupne) -35-0 -05-90 -75-60 -45-30 0 30 45 60 75 90 sin α α (stupne) 05 35 50 80 0 5 40 70 35 330 360 390 405 450 sin α Tabuľka č.. Vyberte hodnotu funkcie sínus z tabuľky č., ktorá sa opakuje. Priraďte k nej všetky veľkosti uhlov a doplňte do tabuľky č.. Chýbajúcu veľkosť uhla pre vybranú hodnotu funkcie sa pokúste správne doplniť. Sin α α sin α α sin α α sin α α -35-0,7 Tabuľka č. 3. Vyznačte veľkosti uhlov z tabuľky č. pre vybranú hodnotu funkcie do jednotkovej kružnice. 4. Ak sa zobrazili uhly do toho istého bodu na kružnici, vypočítajte medzi nimi rozdiel zapíšte vzťah medzi funkčnými hodnotami. sin405 sin 45... sin45...... 5. Pokúste sa sformulovať vlastnosť funkcie periodickosť (opakovanie) a matematicky ju zapísať.... 7
Goniometrické domino Tatiana Hiková Typ učiva: Funkcie/Hodnoty goniometrických funkcií Časová náročnosť: 0 minút Forma: práca v skupine 3-4 Pomôcky a materiál: Obdĺžniky 3cm x 6cm (30 kusov) rozdelené na štvorce, ktoré vystrihneme z kartónu alebo iného pevného materiálu (kocky hry DOMINO), písacie potreby, tabuľka hodnôt goniometrických funkcií, kalkulačka, pomocný papier. x = 0 0 rad 30 6 45 4 60 3 90 80 70 3 sin x 0 0 3 cos x 3 0 0 Pracovný postup:. Vytvorte 30 dvojíc pre funkcie sínus a kosínus použitím všetkých hodnôt z tabuľky a využitím kvadrantových vzťahov: funkcia uhla = hodnota funkcie (napr. cos 570 3 ).. Do obdĺžnika vpíšte na ľavú stranu (do ľavého štvorca) funkciu uhla a na pravú stranu (do pravého štvorca) hodnotu funkcie. Na jednej kocke by nemali byť zodpovedajúce si výsledky (viď ukážka). sin 485 3 cos 570 3. Hra sa môže začať. 8
Tatiana Hiková Metodické pokyny: Žiaci veľmi neradi drilujú nové poznatky aj napriek tomu, že im umožňujú zrýchliť ich činnosť. Hra je jeden zo spôsobov, ako môžeme žiakov nenásilnou formou naviesť na túto činnosť. Hru môžeme so žiakmi tvoriť, ak nadobudli poznatky o veľkosti uhla, jednotkovej kružnici a hodnotách funkcií sínus a kosínus. Učiteľ plní úlohu pozorovateľa a koordinátora činnosti žiakov. Keďže počet kociek je dosť veľký a výpočty by mohli zabrať veľa času, učiteľ môže skupine pomôcť nápovedou ako využiť jednotkovú kružnicu. Pri tvorbe kociek hry DOMINO si žiaci overia, že funkčné hodnoty pre funkcie sínus a kosínus sa opakujú a môžu ich priradiť niekoľkokrát. Vytvorenú hru môžeme na vyučovaní používať v rámci rozcvičky, pri skúšaní (na rýchlosť a správnosť), pričom vytvorené zadania vymeníme medzi dvojicami. Poznámka: pravidlá pre hru DOMINO http://voltik.cz/domino_navod.pdf 9
Obraz plný matematických funkcií Tatiana Hiková Typ učiva: Grafy funkcií Forma: individuálna práca ukážka + domáca príprava Pomôcky a materiál: Priesvitné fólie so základnými grafmi matematických funkcií, fólia so sústavou súradníc, papier, farbičky (resp. iné pomôcky pre použitie rôznych výtvarných techník), podľa možností počítač s vhodným softvérom napr. Cabri geometry. Pracovný postup:. Uložte fólie s grafmi matematických funkcií na fóliu so sústavou súradníc tak, aby vznikol obrázok.. Z polohy grafu určte predpisy použitých funkcií (využite vedomosti o zmene predpisu funkcie pri posúvaní grafu). 3. Obrázok prekreslite na papier a umelecky dotvorte. 0
Tatiana Hiková Metodické pokyny: Pojem funkcia a jej graf je pre žiakov abstraktný aj napriek tomu, že sa každodenne stretávajú s množstvom obrázkov napr. reklamných plagátov či upútaviek, kde môžu nájsť grafy funkcií. Tvorbu obrázku je vhodné zaradiť do vyučovacieho procesu, keď žiaci poznajú niekoľko typov funkcií. Učiteľ na hodine vystupuje v úlohe poradcu konzultanta. Žiaci posunom grafov sledujú zmeny súradníc bodov zvolenej funkcie na grafe a zapisujú si zmeny koeficientov v predpise funkcie.. d y a. f bx c Práca s fóliami umožní žiakom rýchle upraviť alebo meniť vzhľad obrázku, vytvárať v krátkom čase nové obrázky pomocou tých istých grafov funkcií a uvedomiť si zmenu predpisu funkcie. Tvorba obrázku je vhodným spestrením vyučovacieho procesu, ktorá rozvíja predstavivosť a kreativitu žiakov. Motiváciou pre tvorbu obrázka môžu byť rôzne udalosti: -Obrázok pre učiteľa (Deň učiteľov) - Obrázok pre moju mamu, otca (Deň matiek, otcov) - Logo školy - Logo mojej budúcej firmy a pod. Súradnice a grafy
Tatiana Hiková
Tatiana Hiková 3
Tatiana Hiková 4
Tatiana Hiková 5
Tatiana Hiková 6
Tatiana Hiková 7
Tatiana Hiková 8
Pojmová mapa Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 5-30 minút Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kartičky s pojmami, kancelársky papier, obyčajná ceruzka, pero, farbičky, pravítko A Š 3 4 Pracovný postup:. Štatistické pojmy, vzorce, grafy uvedené v tabuľke pomocou kartičiek usporiadajte do pojmovej mapy na tému ŠTATISTICKÝ SÚBOR: štatistický súbor pohlavie variačné rozpätie medián charakteristika variability výška žiaka smerodajná odchýlka modus charakteristika polohy farba očí spojnicový diagram rozptyl štatistický znak známka z písomky polygón početnosti histogram kvantitatívny znak harmonický priemer stĺpcový diagram kvalitatívny znak aritmetický priemer výsekový diagram xmax x min n x.x... x n dĺžka chodidla geometrický priemer kruhový diagram x n i x x i x n n... x n n xi x i n x x x3... xn n n n x i i n n i xi n x i n i 40000 35000 30000 5000 0000 5000 0000 5000 0 Január Február Marec Apríl Máj Jún Sever Juh Východ Západ 4% 4% 6% 0% 36% 40000 0000 00000 80000 60000 40000 0000 0 Január Február Marec Apríl Máj Jún Západ Východ Juh Sever. Schému vytvorenú z kartičiek prekreslite na kancelársky papier a výtvarne dotvorte. 9
Ludmila Potočáková Metodické pokyny: (teórie, pozorovaní.). Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá dvojiciam zadanie úlohy, kartičky s pojmami, kancelársky papier a stanoví časový limit.. Žiaci pracujú vo dvojiciach. Najskôr kartičky poukladajú na lavicu tak, aby jednotlivé pojmy navzájom súviseli. Vzniknutú pojmovú mapu prekreslia na kancelársky papier a výtvarne ju dotvoria. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na vzťahy medzi jednotlivými pojmami. Prostredníctvom interaktívnej tabule premietne svoju pojmovú mapu, aby si ju žiaci mohli porovnať so svojim riešením. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Originálne pojmové mapy vystaví na matematickej nástenke. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na systematizáciu a utvrdzovanie pojmov v danom tematickom celku. Pojmové mapy možno vytvárať v ktoromkoľvek tematickom celku. Umožňujú aj slabším žiakom získať pozitívne hodnotenie v matematike. Ukážka žiackej práce: Pojmová mapa (M. Strýčková, III.E, Gymnázium, Žilina): TELESÁ Mnohosteny Rotačné telesá Hranol y Ihlany Bez podstá vy Jedna podstava Dve podstav y Podstava v tvare Podstava v tvare Podstav a v tvare Podstava v tvare Podstava v tvare Podstava v tvare Guľa Guľový odsek Povrch v tvare guľovéh o Guľová vrstva Zrezaný kužeľ Kužeľ Rôzna veľkosť podstáv Pravidelné Nepravidelné Šikmé (Kosé) Kolmé 0 Plášť v tvare kruhové ho výseku Valec Rovnaká veľkosť podstáv
Obsah rovinného útvaru Pomôcky a materiál: Ludmila Potočáková Typ učiva: Planimetria Časová náročnosť: 40min Forma: práca vo dvojiciach pracovný list č., kancelársky papier, ceruzka, pravítko, farbičky, pero, kalkulačka Pracovný postup:. Vypočítajte obsah obrazca zobrazeného na obrázku č... Zostrojte obrazec zmenšený v pomere :. 3. Vypočítajte obsah zmenšeného obrazca a porovnajte jeho hodnotu s obsahom pôvodného. Zdôvodnite svoje zistenie. Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovný list č... Žiaci pracujú vo dvojiciach a riešia jednotlivé čiastkové úlohy. Obrázok č. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na hodnotu obsahu daného obrazca, hodnotu obsahu zmenšeného obrazca a vzájomný vzťah medzi nimi. Spoločne so žiakmi zhrnie získané poznatky a vyvodí pravidlo, že pomer obsahov dvoch podobných útvarov sa rovná druhej mocnine koeficienta podobnosti. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre expozičnú etapu vyučovacieho procesu. Aktivizuje žiakov k objavovaniu súvislostí medzi dĺžkami strán, obvodmi a obsahmi podobných útvarov.
Ludmila Potočáková Typ učiva: Planimetria Doplňovačka Časová náročnosť: 30min Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: pracovné listy č.3a, č.3b, ceruzka, pravítko, farbičky, pero Pracovný postup:. K pojmom uvedeným v pracovnom liste č.3a priraďte ich správnu charakteristiku označenú A. až CC a vytvorte z nich doplňovačku s tajničkou: GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINE.. Do pracovného listu č.3b nakreslite schému vlastnej doplňovačky. Ku každému použitému pojmu uveďte do stĺpca CH jeho charakteristiku označenú písmenami A. až CC. Pojmy: planimetria, Eulerova veta, Pythagorova veta, stredová súmernosť, osová súmernosť, otočenie, posunutie, rovnobežné priamky, rôznobežné priamky, totožné priamky, štvoruholník, kružnica, štvorec, trojuholník, kosoštvorec, kosodĺžnik, lichobežník, obdĺžnik, konvexný útvar, nekonvexný útvar, dĺžka úsečky, ortocentrum, ťažnica, výška, ťažisko, vpísaná kružnica, opísaná kružnica, Thalesova kružnica, ostrouhlý, tupouhlý, pravouhlý, rovnoramenný, rovnostranný, všeobecný, pravidelný, nepravidelný Charakteristiky pojmov: G E 3 O 4 M 5 E 6 T 7 R 8 I 9 C 0 K É A. Dve priamky v rovine, ktoré nemajú spoločný bod, sú navzájom... B. Dve priamky v rovine, ktoré majú všetky body spoločné, sú navzájom... C. Dve priamky v rovine, ktoré majú práve jeden spoločný bod, sú navzájom... D. Útvar, v ktorom každá úsečka vytvorená z ľubovoľných dvoch bodov útvaru patrí do daného útvaru, sa nazýva... E. Vzdialenosť krajných bodov úsečky. F. Spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany trojuholníka. G. Množina bodov, z ktorých vidno danú úsečku pod pravým uhlom. H. Rovinný útvar vytvorený prienikom troch rôznobežných polovín. I. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť menšiu ako 90 stupňov, sa nazýva... J. Trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú veľkosť, sa nazýva... K. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť 60 stupňov, sa nazýva... L. Kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka, sa nazýva... Ú 3 T 4 V 5 A 6 R 7 Y 8 V 9 R 0 O V I 3 N 4 E
Ludmila Potočáková M. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka, sa nazýva... N. Bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice trojuholníka. O. N-uholník so štyrmi vrcholmi. P. Pravouholník, ktorý nie je štvorec. Q. Rovnobežník, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé, ale nie sú na seba kolmé. R. Rovnobežník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné, ale nie sú rovnako dlhé. S. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané bodom a uhlom. T. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané smerom a veľkosťou. U. Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevne zvoleného bodu konštantnú vzdialenosť. V. N-uholník, ktorého všetky strany a vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť. W. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu úsekov na prepone vytvorených výškou. X. Bod, v ktorom sa pretínajú výšky trojuholníka. Y. Bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka. Z. Bod, v ktorom sa pretínajú osi vnútorných uhlov trojuholníka. AA. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. BB. Geometria v rovine. CC. Geometria v priestore. Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovné listy.. Žiaci pracujú vo dvojiciach a z daných pojmov vytvárajú doplňovačku. 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na použité pojmy a ich charakteristiky. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na systematizáciu a utvrdzovanie pojmov v akomkoľvek tematickom celku, napr. Planimetria, Postupnosti,... Tvorbu doplňovačky môžeme zadať aj náročnejším spôsobom. Žiakom oznámime len názov tematického celku, z ktorého majú použiť jednotlivé pojmy a počet riadkov doplňovačky. Pojmy a ich charakteristiky si žiaci z daného tematického celku vyberú sami. 3
Ludmila Potočáková Ukážka žiackej práce: Doplňovačka na tému KUŽEĽOSEČKY (P. Seidl, III.F, Gymnázium, Žilina):. Priamka, ku ktorej sa hyperbola približuje.. Priamka, ktorá má s kužeľosečkou dva rôzne spoločné body. 3. Spoločný bod priamky a kužeľosečky nájdeme pomocou.. rovníc. 4. Množina bodov, ktorá má v rovine od dvoch rôznych bodov F, F stály súčet vzdialeností a. 5. V elipse vzťah medzi dĺžkami polosí a, b vyjadruje..veta... 6. Ako sa volá priamka, ktorá má s kužeľosečkou práve jeden spoločný bod? 7. V bode [m, n] sú premenné m, n stredové... 8. Premennými F, F označujeme... 9. Vyjadrenie geometrických útvarov pomocou rovníc nazývame..vyjadrenie. 0. Písmenami A,B,C,D označujeme hlavné a vedľajšie.... Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych pevne stanovených bodov stály rozdiel vzdialeností a.. V parabole vzdialenosť ohniska a riadiacej priamky voláme... 3. Zápisom {X E ; Xd=XF, Fd} označujeme množinu bodov nazývanú... 4. Ako sa v elipse nazýva vzdialenosť ohniska od jej stredu? 5. Priamka, ktorá obsahuje iba vonkajšie body kužeľosečky sa nazýva.... a s y m p t o t a. s e č n i c a 3 s ú s t a v a 4 e l i p s a 5 p y t a g o r o v a 6 d o t y č n i c e 7 s ú r a d n i c e 8 o h n i s k á 9 a n a l y t i c k é 0 v r ch o l y h y p e r b o l a p a r a m e t e r 3 p a r a b o l a 4 e x c e n t r i c i t a 5 n e s e č n i c a 4
Ludmila Potočáková Typ učiva: Stereometria Výrobná cena Časová náročnosť: 40 min Forma: práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: pracovný list č.4, hárky papiera A4, kalkulačka, pero Pracovný postup: Na obrázku č. je zobrazený robot, ktorý bol zhotovený z viacerých materiálov. Hlava je vyrobená z plastovej loptičky, telo v tvare zrezaného kužeľa a chodidlá sú z mäkkého dreva, končatiny z kovovej ohybnej rúrky. Jednotlivé časti sú pospájané L-kovými plieškami (6 kusov) a skrutkami (3 kusov). Obrázok č. (M. Baránková, III.E, Gymnázium, Žilina) Zistite, za koľko eur sa dá vyrobiť robot na obrázku č.. Za vykonanú prácu účtujte 5 eur na hodinu. Ceny jednotlivých materiálov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Názov materiálu množstvo cena Plastová loptička kus,50 eur Kovová ohybná rúrka... Φ 4 cm m 6 eur Kovová ohybná rúrka... Φ 3 m m 4 eurá Mäkké drevo m 3 00 eur Spojovacie L-kové pliešky ks 0,0 eur Skrutky ks 0,0 Strieborná farba (spotreba m 0, litra) liter 8 eur Metodické pokyny:. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc, rozdá im zadanie úlohy a pracovný list č. 4.. Žiaci pracujú vo dvojiciach. Z údajov uvedených v pracovnom liste vypočítajú objem alebo povrch jednotlivých častí robota a na základe uvedených cien v tabuľke navrhnú jeho výrobnú cenu. 5
Ludmila Potočáková 3. Po uplynutí časového limitu učiteľ vedie so žiakmi rozhovor o riešení úlohy. Pýta sa na postup výpočtu ceny robota a jej výslednú hodnotu. Spoločne so žiakmi zhrnie získané poznatky o tvorbe ceny akéhokoľvek výrobku. 4. Učiteľ pozbiera žiacke riešenia, ohodnotí ich známkou alebo bodovou hodnotou. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na spájanie matematických poznatkov s reálnym životom a rozvoj matematickej gramotnosti. Riešenie vzorovej úlohy z praxe je prípravnou fázou pre riešenie komplexnejšej projektovej úlohy zameranej na výrobu vlastného predmetu (bábky, kresla,...) a výpočtu jeho ceny. Ukážka žiackej práce: Rozpočet na výrobu a návrh ceny darčeka (M. Strýčková, III.E, Gymnázium, Žilina) farebné fixky červená a modrá... fixka zatrie cca m (0000cm )... zatrela som cca 50 cm... fixky...0,075 = 0,5 žltá... fixka zatrie cca m (0000cm ) t.j. 40 hodnoty fixky... 3,00... 3:40 =0,075... zatrela som cca 0 cm t.j. hodnoty fixky... 3,00...3:000 = 0,003 000 lepiaca páska dĺžka... 0 m (000cm)/,50 použitých cca 5 cm... 80 hodnoty pásky...,50 :80 = 0,03 tvrdý papier 0 ks (A3)...,00 použité výkresy...cena ks... :0 = 0,... cena ks....0,= 0, kúrenie 333 /rok (vykurovacia sezóna 7 mesiacov = rok)...00 m izba...0m...333:00 = 6,67.0 = 33,4 6 hodín práce...33,4:7 = 9, :30 = 0,64 :4 = 0,07. 6 = 0,6 amortizácia počítača cena PC...670...prac. dní...7...priemerne 8h práce/deň el. energia spotrebovaná počítačom PC vydrží asi 3 roky... cena el. energie za kwh...0.7., 670 3 = 3,33 7 spotreba PC...0.,7 = 374 Wh 374 000 = 0,98 8 = 0,3 = 0,374 kwh...0,374. 0,04 = 0,076 celková suma použitých materiálov a energií...0,749 rabat ručná práca...40%...0,749.,4 =,0486 -> celková suma darčeka 6
Tvorba matematickej úlohy Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 40min/ vyuč. hod. Forma: práca vo dvojici Pomôcky a materiál: počítač, kancelársky papier, pero, kalkulačka Pracovný postup:. Nájdite štatistický súbor vhodný na vytvorenie matematickej úlohy zameranej na využitie vzťahov pre aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. Vybraný štatistický súbor (jednu tabuľku) odfoťte pomocou klávesy PRINT SCREEN a uveďte adresu webovej stránky, z ktorej ste ho získali.. Pre nájdený štatistický súbor vymyslite zadanie matematickej úlohy zameranej na využitie vzťahov pre aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. 3. Vytvorenú úlohu vzorovo vyriešte. Metodické pokyny:. vyučovacia hodina. Učiteľ rozdelí žiakov do dvojíc. Na stôl rozloží lístočky so zadaniami úloh.. Jeden z dvojice žiakov vylosuje zadanie, v ktorom bude uvedené, či dvojica vytvorí úlohu zameranú na aritmetický alebo geometrický alebo harmonický priemer. 3. Dvojice žiakov prostredníctvom počítačov prezerajú webové stránky a hľadajú vhodný štatistický súbor pre vytvorenie vlastnej úlohy, ktorý odfotia a vložia do riešenia vlastnej úlohy. Zostavia zadanie matematickej úlohy a vyriešia ju. 4. Učiteľ chodí pomedzi žiakov, sleduje ich činnosť a konzultuje s nimi vzniknuté problémy.. vyučovacia hodina. Jednotlivé dvojice prostredníctvom interaktívnej tabule prezentujú pred ostatnými spolužiakmi vytvorené úlohy.. Ostatní žiaci sledujú prezentácie a prideľujú im body od po 5 podľa toho, ako ich úloha zaujala (originalita, spracovanie, náročnosť). 3. Učiteľ vyhodnotí prácu dvojíc na základe žiackeho i vlastného bodovania. 7
Ludmila Potočáková Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu, zameranú na porozumenie vzorcom pre výpočet rôznych matematických hodnôt, napr. v Planimetrii výpočet obsahov, objemov, v Trigonometrii použitie sínusovej, kosínusovej vety, v Stereometrii výpočet objem, povrchov,... Pre urýchlenie práce žiakov na vyučovacej hodine môžeme štatistické súbory vhodné na spracovanie pripraviť dopredu sami, žiaci si ich vylosujú a spracujú do matematickej úlohy. Z vytvorených úloh môžeme zostaviť Zbierku úloh, ktorú budú žiaci využívať na opakovanie tematického celku Štatistika. Ukážky žiackych prác: A) Zadanie úlohy na aritmetický priemer (B. Marčanová, IV.A, Gymnázium Žilina): V päťčlennej rodine zvyknú každé ráno raňajkovať nejaký druh pečiva. Otec zje 3 krajce bieleho chleba, z ktorých každý má hmotnosť 50g. Mame stačia krajce celozrnného chleba, z ktorých má každý takisto 50 gramov. Syn zje jednu 00 gramovú bielu bagetu a dve dcéry po 5 gramové grahamové rožky. Vypočítajte podľa pridanej tabuľky (Obrázok č.), akú priemernú kalorickú hodnotu skonzumuje táto päťčlenná rodina za jedno ráno. B) Zadanie úlohy na geometrický priemer (D. Kordovaníková, IV.A, Gymnázium Žilina): Obrázok č. Inflácia je jedným z najzávažnejších problémov, s ktorými bojujú vyspelé trhové ekonomiky. Pod pojmom inflácia rozumieme zníženie kúpnej sily peňažnej jednotky, ktoré sprevádza zvýšenie cenovej hladiny trvalého charakteru. Medzimesačná inflácia hovorí, o koľko sa zmenila cenová hladina v krajine v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom, t.j. ak v vo februári 0 dosiahla medzimesačná inflácia hodnotu 0,3 %, znamená to, že ceny oproti januáru 0 stúpli o 0,5 %. 8
Ludmila Potočáková V nasledujúcej tabuľke (Obrázok č. ) je uvedený vývoj medzimesačnej inflácie na Slovensku v roku 0. Vypočítajte priemernú medzimesačnú infláciu v roku 0. Obrázok č. Zadanie úlohy na harmonický priemer (A. Jakub, IV.A, Gymnázium Žilina): Firma Alphacool vyrába 3 modely vodných púmp. Model EheimCompact prečerpá l vody za 6 sekúnd, model Laing D5 V Vario prečerpá l vody za,4 sekundy a model Eheim AGB Station taktiež prečerpá l vody za 6 sekúnd (Obrázok č. 3). A) Vypočítajte, aký je priemerný čas potrebný na prečerpanie jedného litra vody. B) Určte, koľko vody prečerpajú všetky 3 pumpy spolu za 4 hodín. Obrázok č.3 9
Spracovanie štatistického súboru Ludmila Potočáková Typ učiva: Štatistika Časová náročnosť: 40min/ vyuč. hod. Forma: skupinová práca Pomôcky a materiál: počítač, kancelársky papier, pero, kalkulačka, krajčírsky meter, váha Pracovný postup:. Zvoľte dva kvantitatívne štatistické znaky a zistite ich hodnoty v danom štatistickom súbore (žiaci vlastnej triedy).. Zostrojte štatistický diagram pre obidva zvolené znaky. 3. Vypočítajte koeficient korelácie pre zvolené znaky. 4. Vyhodnoťte svoje zistenie. Metodické pokyny:. vyučovacia hodina. Učiteľ rozdelí žiakov do štvorčlenných skupín a oznámi zadanie úlohy.. Žiaci v každej skupine si rozdelia čiastkové úlohy, ktoré budú plniť: zistiť hodnoty zvolených znakov u jednotlivých žiakov (meranie, váženie), vyplniť tabuľky početnosti, vypočítať koeficient korelácie, zostrojiť grafy pomocou počítača, sumarizovať riešenie projektovej úlohy. 3. Učiteľ chodí pomedzi žiakov, sleduje ich činnosť a usmerňuje prácu jednotlivých skupín.. vyučovacia hodina. Každá skupina prostredníctvom interaktívnej tabule prezentuje pred ostatnými spolužiakmi výsledky riešenia projektovej úlohy.. Učiteľ vyhodnotí prácu skupín, upozorní na pozitíva i negatíva. Riešenia skupín ohodnotí. Poznámka: Aktivita vhodná pre fixačnú etapu vyučovacieho procesu zameranú na porozumenie vzorcom a výsledkom štatistických výpočtov. Žiakov opísaná aktivita baví, dokážu byť tvoriví a obohatiť i učiteľa o nové poznatky. 30
Ludmila Potočáková Pracovný list č. Pojmová mapa štatistický súbor pohlavie variačné rozpätie medián Charakteristika variability výška žiaka smerodajná odchýlka modus charakteristika polohy farba očí spojnicový diagram rozptyl štatistický znak známka z písomky polygón početnosti histogram kvantitatívny znak harmonický priemer stĺpcový diagram xmax x min kvalitatívny znak aritmetický priemer výsekový diagram n x.x...x n dĺžka chodidla geometrický priemer kruhový diagram n i x i x n n i x i x n n n x i i n x i n i x x n... x n x x x3 n... x n n i n x i 40000 35000 4% 6% 40000 30000 5000 0000 5000 0000 Sever Juh Východ Západ 4% 0% 0000 00000 80000 60000 40000 Západ Východ Juh Sever 5000 0 Január Február Marec Apríl Máj Jún 36% 0000 0 Január Február Marec Apríl Máj Jún 3
Ludmila Potočáková Pracovný list č. Obsah rovinného útvaru 3
Ludmila Potočáková Pracovný list č. 3a Doplňovačka Pojmy: planimetria rôznobežné priamky lichobežník Eulerova veta totožné priamky obdĺžnik Pythagorova veta štvoruholník konvexný útvar stredová súmernosť kružnica nekonvexný útvar osová súmernosť štvorec dĺžka úsečky otočenie trojuholník ortocentrum posunutie kosoštvorec ťažnica rovnobežné priamky kosodĺžnik výška ostrouhlý rovnostranný ťažisko tupouhlý všeobecný vpísaná kružnica pravouhlý pravidelný opísaná kružnica rovnoramenný nepravidelný Thalesova kružnica Charakteristiky pojmov: DD. Dve priamky v rovine, ktoré nemajú spoločný bod, sú navzájom... EE. Dve priamky v rovine, ktoré majú všetky body spoločné, sú navzájom... FF. Dve priamky v rovine, ktoré majú práve jeden spoločný bod, sú navzájom... GG. Útvar, v ktorom každá úsečka vytvorená z ľubovoľných dvoch bodov útvaru patrí do daného útvaru, sa nazýva... HH. Vzdialenosť krajných bodov úsečky. II. Spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany trojuholníka. JJ. Množina bodov, z ktorých vidno danú úsečku pod pravým uhlom. KK. Rovinný útvar vytvorený prienikom troch rôznobežných polovín. 33
Ludmila Potočáková LL. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť menšiu ako 90 stupňov, sa nazýva... MM. Trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú veľkosť, sa nazýva... NN. Trojuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť 60 stupňov, sa nazýva... OO. Kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka, sa nazýva... PP. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka, sa nazýva... QQ. Bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice trojuholníka. RR. N-uholník so štyrmi vrcholmi. SS. Pravouholník, ktorý nie je štvorec. TT. Rovnobežník, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé, ale nie sú na seba kolmé. UU. Rovnobežník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné, ale nie sú rovnako dlhé. VV. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané bodom a uhlom. WW. Zhodné zobrazenie jednoznačne dané smerom a veľkosťou. XX. Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevne zvoleného bodu konštantnú vzdialenosť. YY. N-uholník, ktorého všetky strany a vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť. ZZ. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu úsekov na prepone vytvorených výškou. AAA. Bod, v ktorom sa pretínajú výšky trojuholníka. BBB. Bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka. CCC. Bod, v ktorom sa pretínajú osi vnútorných uhlov trojuholníka. DDD. Veta, ktorá znie: Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. EEE. Geometria v rovine. FFF. Geometria v priestore. 34
Ludmila Potočáková Pracovný list č. 3b Doplňovačka Č T CH G E 3 O 4 M 5 E 6 T 7 R 8 I 9 C 0 K É Ú 3 T 4 V 5 A 6 R 7 Y 8 V 9 R 0 O V I 3 N 4 E 35
Ludmila Potočáková Pracovný list č. 4 Výrobná cena 36
3D zrcadla Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj prostorové představivosti Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Je dána krychle 5 5 5 krychliček, na obrázku ji máte zobrazenou po jednotlivých vrstvách. To, jak jsou jednotlivé vrstvy uspořádány, vidíte na modelu krychle. V některých krychličkách jsou oboustranná obdélníková zrcadla, jejichž jedna strana má délku stěnové úhlopříčky a druhá strana má délku strany krychličky. Zrcadlo je znázorněno tak, že bílá část je vždy blíže k nám než černá část. Z červeného bodu vyšleme parsek směrem od nás. Určete, v jakém místě vyletí parsek ven. 37
Barevné dělení Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Rozdělte následující pole složené z 4 čtverců na čtyři shodné části tak, aby každá část obsahovala právě jednu bublinu každé barvy. 38
Dělení obrazců Typ učiva: Úvod geometrie Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Petr Pupík Dané obrazce rozdělte na n shodných částí. 39
Nápisy Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj prostorové představivosti Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Dokážete přečíst nápisy? 40
Netradiční křížovka Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Do každého políčka doplňte jedno z písmen z nabídky tak, aby slova čtená po řádcích dávala smysl. a) písmena ASKLLMOPSSTT b) písmena ABDEJKLNOTVZ c) písmena ACDEIKLORTUV 4
Řady Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Doplňte následující či poslední člen řady: 4
Zrcadla Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Je daná soustava zrcadel, paprsek (směr šipky) a terč. Přidejte do soustavy jedno zrcadlo a dvě zrcadla otočte, aby paprsek prošel přes všechna zrcadla do terče. 43
Šifry Petr Pupík Typ učiva: Rozvoj logického myšlení Časová náročnost: 5 minut Forma: Pro jednotlivce Dokážete přečíst uvedené nápisy? 44
K. Vidermannová, L. Rumanová Zápis kockových telies Typ učiva: Stavby telies zo stavebnicových kociek Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kocky (plastové alebo drevené), papier, písacie potreby. Pracovný postup: V úvode hodiny si so žiakmi vysvetlíme, aké telesá považujeme za kockové telesá, a aké nie. Pod označením kockové teleso budeme rozumieť teleso zložené z konečného počtu zhodných kociek tak, že každá kocka je spojená s aspoň jednou ďalšou kockou celou stenou. Žiakom ukážeme dve stavby jedna stavba je kockové teleso, druhá stavba nie je kockové teleso. kockové teleso teleso, ktoré nenazývame kockové teleso Žiakom postupne na úlohách vysvetlíme rôzne záznamy kockových stavieb:. Obrázok zobrazený vo voľnom rovnobežnom premietaní. (Nebudeme ich učiť presné pravidlá voľného rovnobežného premietania). Plán a úplný plán. 3. Kódovaný zápis. 4. Zobrazením pohľadov spredu nárys, zhora pôdorys, zboku - bokorys. Úloha Postavte teleso dané na obrázku. Najprv spočítajte, koľko kociek budete na stavbu potrebovať. 45
K. Vidermannová, L. Rumanová Problémová situácia Všetci žiaci majú postavenú budovu. Nechajme ich porozmýšľať, ako by danú budovu popísali tak, aby ju bez videnia predlohy mohli spolužiaci nakresliť očakávané odpovede sú: má tri poschodia; prvé a druhé je rovnaké, ale tretie má už o šesť kociek menej; je široká šesť kociek; atď... Žiakov navedieme správnymi otázkami na plán stavby akoby sme obkreslili kockové teleso, a vyznačíme v ňom kocky prvého poschodia. Potom do každého štvorčeka napíšeme, koľko kociek sa nachádza v stĺpci nad ním. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a) obkreslíme kockové teleso b) vyznačíme štvorčeky na základe kociek v prvom poschodí telesa c) do jednotlivých štvorčekov vyznačíme, koľko kociek je v stĺpci nad ním Úloha Sú dané telesá a plány. Priraď k plánom farbu telesa, ktoré popisuje. 3 3 3 3 Zelené teleso 3 plán č., 3 3 Ružové teleso plán č., 3 Modré 3 teleso Žlté teleso Červené teleso 3 plán č. 3, 3 3 plán č. 4, 3 3 3 3 3 3 plán č. 5, farba farba farba farba farba 46
K. Vidermannová, L. Rumanová Riešenie plán č. modrá, plán č. červená, plán č. 3 ružová, plán č. 4 zelená, plán č. 5 žltá. Úloha Podľa daného plánu postavte stavbu. 3 Riešenie Úloha Postavte teleso podľa predlohy. Je táto stavba správne zapísaná nasledovným plánom? Ak nie, aký plán priradíme tejto stavbe? 3 3 Riešenie Nie je správne zapísaná. Učiteľ prediskutuje so žiakmi, prečo daný plán nie je správny. Pri stavbách takéhoto typu vidíme, že je veľmi vhodné využiť program, keďže stavať stavebnicové kocky vo vzduchu nie je možné bez zlepenia jednotlivých kociek. Pre stavby takéhoto typu zavedieme úplný plán - plán podľa poschodia. Pre jednotlivé stĺpce namiesto počtu kociek v stĺpci zapíšeme, na ktorom poschodí máme kocku. Plán telesa bude,,3,3,,3 47
K. Vidermannová, L. Rumanová Stavebný diktát Učiteľ diktuje žiakom pokyny na stavbu telies, a žiaci stavajú podľa jeho pokynov: Polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď doprava, polož kocku, choď dozadu, polož kocku, choď o poschodie vyššie, polož kocku. Na skrátenie zápisu budeme používať kódovaný zápis telesa, pričom jednotlivé kódy sú: polož kocku choď dozadu ( od seba) choď dopredu ( k sebe) choď doľava choď doprava choď hore ( o poschodie vyššie) # choď dole ( o poschodie nižšie) Úloha Postavte kockové teleso dané kódovaným zápisom a zapíšte jeho plán. Riešenie Plán telesa: Vidíme, že je to teleso zadané v diktáte. Pri tvorbe diktátu učiteľ nesmie zabúdať, že žiaci nemôžu pridávať kocku pod plán, ani mimo plánu. Je vhodné žiakom presne určiť pozíciu na pláne, kde majú začať stavať. Úloha K danému kockovému telesu priraďte jeho kódový zápis. Riešenie Existuje veľa riešení tejto úlohy, jedným z nich je napr. zápis ##. 48
K. Vidermannová, L. Rumanová Úloha Ktorý z kódovaných zápisov a) d) nepopisuje teleso, ktorého úplný plán je,3, a) c) b) # # d) # Riešenie: Zápis c) nepopisuje teleso dané plánom. Úloha Niektoré z nasledujúcich zápisov popisujú rovnaké telesá. Zistite, ktoré sú to: a), d), b), e), c), f). Riešenie: Zápisy a) a b) popisujú rovnaké teleso, zápisy d) a e) popisujú rovnaké teleso, Úloha Postavte teleso dané úplným plánom. Nakreslite jeho pôdorys pohľad zhora na teleso, nárys pohľad spredu na teleso a bokorys pohľad sprava na teleso. Riešenie,, Nakreslíme jednotlivé pohľady na teleso: pôdorys nárys bokorys 49
K. Vidermannová, L. Rumanová Úloha Postavte teleso dané nárysom, pôdorysom, bokorysom. Načrtnite toto teleso. Riešenie nárys pôdorys bokorys Úloha Postavte teleso podľa daných pohľadov. Koľko najmenej kociek potrebujete? Koľko najviac kociek môžete použiť? nárys pôdorys bokorys 50
Soma kocka K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Stavby telies zo stavebnicových kociek Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: kocky (plastové alebo drevené), papier, písacie potreby, lepiaca páska, nožnice. Pracovný postup: Úloha Nájdite všetky rôzne kockové telesá zložené z troch zhodných kociek. Teleso zložené z troch kociek budeme nazývať trikub. Riešenie: Trikuby existujú dva, sú zobrazené na obrázku. Poznámka: Žiakov musíme upozorniť na zhodné telesá. To znamená, že ak jedno z telies vieme otočiť do takej polohy, že je totožné s druhým telesom, považujeme ich za zhodné. Napr. trikuby na obrázku považujeme za zhodné. Úloha Nájdite všetky rôzne kockové telesá zložené zo štyroch zhodných kociek. Teleso zložené zo štyroch kociek budeme nazývať tetrakub. Riešenie: Tetrakubov je osem. Jednotlivé telesá sa nazývajú: O, I4, L4, N, T, trojnožka (tripod), pravá veža, ľavá veža (názvy prevzaté z angličtiny, preklad autora). Poznámka: Často robí žiakom problém dvojica tetrakubov ľavá a pravá veža tieto dve telesá sú iba nepriamo zhodné, teda ich považujeme za dva rôzne tetrakuby. Pri určovaní, ktorá z veží je pravá a ľavá, pozorujte obrázok 5. Vychádzame z trikubu L3, pričom ho máme otočený v tvare v smerom k nám a prikladáme štvrtú kocku dostávame ľavú vežu, trojnožku a pravú vežu. 5
K. Vidermannová, L. Rumanová Otázka Koľko zhodných kociek je vo všetkých trikuboch a tetrakuboch? Odpoveď: Máme dva trikuby, spolu majú. 3 = 6 kociek. Tetrakubov je spolu osem, obsahujú 8. 4 = kociek. Teda vo všetkých trikuboch a tetrakuboch je 38 kociek. Poznámka: Zo skúseností môžeme povedať, že žiaci a študenti odpovedajú na túto otázku vždy správne. Otázka Akú najväčšiu kocku z týchto trikubov a tetrakubov vieme poskladať, ak každý diel môžeme použiť najviac raz? Odpoveď: Spolu máme 38 kociek, uvažujme dĺžku hľadanej veľkej kocky 4 malé kocky (označíme pojmom 4-kocka, obrázok vľavo). S touto možnosťou začíname ako prvou, keďže najdlhší tetrakub I4 má dĺžku 4 kocky. Na stavbu 4-kocky potrebujeme 4. 4. 4 = 64 malých kociek. Toľko však nemáme, uvažujme teda dĺžku hľadanej kocky 3 malé kocky (analogicky označíme pojmom 3-kocka, obr.6 vpravo) na jej stavbu potrebujeme 3. 3. 3 = 7 malých kociek. Poznámka: Vo väčšine prípadov žiaci najskôr začnú stavať hľadanú veľkú kocku, bez predchádzajúceho počítania. Je na učiteľoch, či ich upozornia vopred na veľkosť hľadanej kocky, alebo to ponechajú na svojich žiakov. Skôr či neskôr všetci žiaci začnú počítať, akú najväčšiu kocku môžu zložiť zo svojich trikubov a tetrakubov. Túto otázku je možné v tomto poradí aj preskočiť a vrátiť sa k nej až v rámci riešenia úlohy 3. Úloha Postavte kocku z otázky. Ktoré trikuby a tetrakuby nepoužijete pri jej skladaní? Poznámka Najskôr nechajte samostatne pracovať žiakov. Zo skúseností vieme, že každý žiak objaví aspoň polovicu možností vynechania niektorých dielov z trikubov a tetrakubov. Potom odporúčame prejsť so žiakmi výpočet všetkých možností. Riešenie Tetrakub I4 má dĺžku 4 jednotkové kocky, preto nemôže byť súčasťou hľadanej 3- kocky, teda ďalej už o tomto tetrakube neuvažujeme. Zostávajúce trikuby a tetrakuby obsahujú spolu 34 kociek. Hľadaná 3-kocka musí obsahovať 7 kociek, musíme teda vynechať ešte 7 kociek - pri jej skladaní teda nepoužijeme jeden trikub a jeden tetrakub.. 5
K. Vidermannová, L. Rumanová a) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub L4 b) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub trojnožka c) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub L4 d) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub T e) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub O f) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub N g) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub ľavá veža h) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub pravá veža i) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub ľavá veža j) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub pravá veža k) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub trojnožka l) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub O (Soma kocka) Nedá sa! m) nepoužijeme trikub I3 a tetrakub N n) nepoužijeme trikub L3 a tetrakub T 53
Pravidelné telesá K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Úvod do stereometrie Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: Úloha Skúmajte, ktoré pravidelné mnohouholníky môžu tvoriť steny pravidelných mnohostenov? Koľko mnohouholníkov môže byť spojených v jednom vrchole? Od čoho závisí tento počet? Riešenie Steny pravidelných mnohostenov môžu tvoriť pravidelný trojuholník, štvorec a pravidelný päťuholník. Počet stien pri jednom vrchole od súčtu uhlov mnohouholníkov, ktoré sa tam stretnú. Máme 5 možností pri jednom vrchole: Úloha Vymodelujte všetky pravidelné telesá. Riešenie 54
Eulerova veta K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Úvod do stereometrie Časová náročnosť: x 45 minút Forma: skupinová práca/práca vo dvojiciach Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: V úvode aktivity necháme žiakov poskladať ľubovoľný priestorový útvar teleso (napr. využijeme Platónove telesá z predchádzajúcej aktivity). Každé teleso, ktoré žiaci poskladajú, nerozoberáme, budeme neskôr študovať jeho vlastnosti. Poznámka: Zo skúsenosti môžeme povedať, že žiaci takmer vždy poskladajú kocku; kváder; ihlany - najčastejšie trojboký a štvorboký, niekedy aj päťboký a šesťboký; hranol s rôznymi podstavami; často sa objaví aj pravidelný -sten, ktorý žiaci často zamieňajú za model futbalovej lopty. Úloha Zistite, či existuje vzťah medzi počtom vrcholov, stien a hrán poskladaných mnohostenov. 55
K. Vidermannová, L. Rumanová Pri skúmaní vzťahu medzi danými počtami žiaci najskôr vypočítajú súčet zo zistených údajov, potom vyskúšajú odpočítať vhodné hodnoty tak, aby dosiahli konštantný výsledok. Niektorí z nich i odhalia vzťah, ktorý poznáme ako Eulerovu vetu: Súčet počtu vrcholov a stien konvexného telesa je o dva väčší ako počet jeho hrán. 56
Siete kocky K. Vidermannová, L. Rumanová Typ učiva: Kocka siete kocky Časová náročnosť: x 45 minút Forma: práca vo dvojiciach, samostatná práca Pomôcky a materiál: stavebnica Polydron, papier, písacie potreby. Pracovný postup: Úloha Nájdite všetky siete kocky. Riešenie Uvažujme o dĺžke siete ako o najdlhšom páse štvorcov spojených za sebou. Potom najdlhší pás môže byť tvorený zo štyroch štvorcov. Musíme k tomuto pásu pridať ešte dva štvorce jeden štvorec na jednu z pozícií P až P4, druhý štvorec na jednu z pozícií P5 až P8. Spolu máme 4. 4 = 6 možností. Uvažujme, či všetkých 6 možností sú navzájom rôzne siete. Položme druhý štvorec na pozíciu P5. Potom máme štyri možnosti pre sieť kocky (sieť,,3,4). Tieto možnosti sú však zhodné s tými, ktoré dostaneme pri pozícii druhého štvorca na P8. To isté platí o pozíciách P6 a P7 pre druhý štvorec vzniknú zhodné riešenia. Uvažujeme iba o umiestnení druhého štvorca na pozíciách P5 a P6. Takto sme 6 možností zúžili iba na 8, z ktorých máme 6 rôznych sietí kocky: 57
K. Vidermannová, L. Rumanová Uvažujem ďalej o sieti dĺžky 3. Máme jedinú možnosť umiestnenia dvoch štvorcov spolu a posúvame iba jeden štvorec dostaneme tri možnosti (sieť 7,8,9). Ďalšia sieť vznikne priložením troch štvorcov spolu (sieť 0). Poslednú sieť dostaneme pre dĺžku. 58