Reálna funkcia reálnej premennej

Transcript

1 (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD

2 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od iných. Napr. cena lístka závisí od precestovaných kilometrov; plocha štvorca od veľkosti strany štvorca; veľkosť dane od veľkosti príjmu atď. Objektívne zákonitosti, ktoré existujú medzi veličinami, viedli prostredníctvom abstrakcie ku vzniku základného pojmu matematickej analýzy reálna funkcia reálnej premennej. Tento pojem, ako aj ostatné pojmy matematickej analýzy, prešiel svojim historickým vývojom. Prvé stopy nachádzame u LEIBNITZA ( ), neskôr u BERNOULLIOVCOV. EULER ( ) podal prvú presnejšiu definíciu pojmu funkcia je to výraz vyjadrujúci istú závislosť medzi číslami, veličinami. V súčasnej matematike pri zavádzaní pojmu funkcia vychádzame z pojmu množina.

3 Základné pojmy Definícia Nech sú dané dve neprázdne množiny X, Y. Ak ku každému prvku x X je určitým spôsobom priradený práve jeden prvok y Y hovoríme, že na množine X je definované zobrazenie f z množiny X do množiny Y, čo zapisujeme f : y = f(x), x X. Poznámky: V definícii môžu byť množiny X, Y akékoľvek. Ak sú množiny X, Y podmnožinami množiny reálnych čísel R, tak dané zobrazenie f nazývame reálnou funkciou reálnej premennej. Stručne budeme hovoriť len funkcia. Množinu X nazývame definičným oborom zobrazenia (funkcie) f a označujeme ho D(f). Prvky množiny X nazývame argumentami, vzormi alebo nezávislými premennými.

4 Základné pojmy Prvok y 0 Y, ktorý je priradený argumentu x 0 X, nazývame hodnotou zobrazenia (funkcie) f v bode x 0 a označujeme ho y 0 = f(x 0 ) alebo y 0 = f(x) x=x0. Množinu všetkých hodnôt, ktoré sú priradené prvkom množiny X nazývame oborom hodnôt zobrazenia (funkcie) f a označujeme ho H(f). Teda H(f) = {y Y : ex. x X také, že f(x) = y} Y. To znamená, že ak y 0 H(f), potom existuje aspoň jeden prvok x 0 X taký, že f(x 0 ) = y 0. Prvky z oboru hodnôt zobrazenia (funkcie) f často nazývame funkčnými hodnotami, obrazmi alebo závislými premennými. Pre označenie zobrazenia (funkcie) budeme tiež používať symboliku: f : x y = f(x), x X (obrazom prvku x je prvok y = f(x)); f : X Y (f označuje zobrazenie z množiny X do množiny Y). Určiť funkciu v zmysle definície znamená: a) zadať množinu X (definičný obor funkcie), b) zadať pravidlo priradenia.

5 Základné pojmy V ďalšom budeme vždy (ak nebudeme povedané inak) uvažovať X, Y R, t.j. budeme pracovať s funkciami (f : X Y). Definícia Grafom funkcie f definovanej na množine X nazývame množinu G = {[x, y] : x X, y = f(x)}. Ak máme v rovine zvolený pravouhlý súradnicový systém, môžeme znázorniť množinu G v tejto rovine. Aj túto množinu (geometrickú interpretáciu grafu G) nazývame grafom funkcie f. Poznámky: Priamka x = a, a X pretne graf funkcie práve v jednom bode A = [a, f(a)]. Hodnota x = a, pri ktorej f(a) = 0 sa nazýva nulovým bodom funkcie f. Ak x = a je nulový bod funkcie f, tak graf funkcie f pretína os x v bode B = [a, 0] alebo sa dotýka osi x v tomto bode.

6 Základné pojmy Funkcia môže byť daná rôznymi spôsobmi: a) analyticky, t.j. { vzorcom. Napr. y = x, x R, y = [x], 0, x I, x R, χ(x) = x R (Dirichletova funkcia), 1, x Q, y = sgn x, x R, atď. ak je funkcia f daná analyticky a nie je stanovený definičný obor, tak jej definičným oborom sa rozumie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré má formula, vzorec zmysel! b) tabuľkou, t.j. vypíšeme si čísla z množiny X a im odpovedajúce funkčné hodnoty (iba pre konečné množiny X), používa sa to pri experimentoch. c) grafom, napr. EKG elektrokardiogram srdca.

7 Operácie s funkciami Rovnosť funkcií Definícia Dve funkcie f, g sa rovnajú, ak majú ten istý definičný obor X a pre každé x X platí f(x) = g(x). dve funkcie definované na rôznych množinách, aj keď majú rovnaké pravidlo priradenia, budeme považovať za rôzne! Parciálna funkcia (zúženie funkcie) Často sa stáva, že funkciu vyšetrujeme nie na celom definičnom obore, ale len na nejakej jeho podmnožine. Preto zavádzame nasledujúce. Definícia Nech funkcia f je definovaná na množine M a M 1 M. Potom funkciu ϕ definovanú na množine M 1 takým spôsobom, že ϕ(x) = f(x) pre x M 1 nazývame parciálnou funkciou k funkcii f alebo zúžením funkcie f na množine M 1.

8 Operácie s funkciami Súčet, rozdiel, súčin, podiel funkcií, absolútna hodnota funkcie Definícia Nech f, g sú funkcie, ktorých definičné obory sú D(f), D(g). Potom súčet f + g, rozdiel f g, súčin f g sú funkcie definované na množine D(f) D(g), pričom pre každé x D(f) D(g) platí (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). Podiel f g je funkcia definovaná na množine D(f) {x D(g) : g(x) 0}, pričom pre každé x z tejto množiny platí ( f ) g (x) = f(x) g(x). Absolútna hodnota f je funkcia definovaná na D(f), pričom pre každé x D(f) platí f (x) = f(x). Poznámky: funkciu, ktorú môžeme vyjadriť pomocou funkcie f(x) = x a konečného počtu konštatných funkcií pomocou operácií sčítania a násobenia nazývame polynóm (mnohočlen, polynomická funkcia), je to funkcia P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, kde a 0,..., a n R, n N, x R

9 Operácie s funkciami funkciu, ktorú môžeme vyjadriť ako podiel dvoch polynómov nazývame racionálna funkcia, je to funkcia R(x) = P (x) Q(x) = a 0+a 1 x+a 2 x 2 + +a nx n b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b mx, kde m a 0,..., a n, b 0,..., b m R, n, m N, x R {x R : Q(x) = 0} Porovnávanie funkcií Tak ako reálne čísla, aj funkcie vieme navzájom porovnávať na danej množine. Teda zavádzame nasledujúce nerovnosti medzi funkciami. Definícia Nech funkcie f, g sú definované na množine A. Ak pre všetky x A platí f(x) g(x) [f(x) < g(x), f(x) g(x), f(x) > g(x)] hovoríme, že na množine A je funkcia f menšia alebo rovná funkcii g [funkcia f je menšia ako funkcia g, funkcia f je väčšia alebo rovná funkcii g, funkcia f je väčšia ako funkcia g ] a píšeme f g, [f < g, f g, f > g].

10 Operácie s funkciami Skladanie funkcií (zložená funkcia) Nech sú dané dve funkcie: u = ϕ(x), x A, y = f(u), u B. Otázka: Kedy je možné z týchto funkcií vytvoriť zloženú funkciu, kedy ich je možné zložiť? Ľubovoľnému x A takému, že ϕ(x) B vieme priradiť prvok (hodnotu) y = f(ϕ(x)) a to nasledujúcim postupním priradením x A ϕ u = ϕ(x) f y = f(u) = f(ϕ(x)). Dostali sme sa ku pojmu zložená funkcia. Definícia Nech funkcia ϕ je definovaná na množine A a funkcia f je definovaná na množine B. Funkcia so zákonom priradenia y = f(ϕ(x)) (x u = ϕ(x) y = f(u) = f(ϕ(x))), ktorej definičným oborom je množina všetkých hodnôt x A, pre ktoré hodnota u = ϕ(x) B sa nazýva zložená funkcia. Označenie: y = f(ϕ(x)) = (f ϕ)(x), kde funkcia f je vonkajšia zložka a funkcia ϕ je vnútorná zložka.

11 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Ohraničené a neohraničené funkcie Uvažujme napr. funkciu f(x) = 1 x, x (0, 4) a g(x) = [x], x (0, 4). Sú tieto funkcie na danom intervale ohraničené? Funkcia g áno a funkcia f nie. Dôvody sa nachádzajú v nasledujúcej definícii a vete. Definícia Funkcia f sa nazýva ohraničenou zdola (zhora) na množine A D(f), ak množina {y R : y = f(x), x A} je ohraničená zdola (zhora). Funkcia f sa nazýva ohraničenou na množine A D(f), ak je ohraničená zhora aj zdola na množine A D(f).

12 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Vzhľadom na definíciu ohraničenej množiny, resp. ohraničenej množiny zhora (zdola) platí veta: Veta a) Funkcia f je ohraničená zdola (zhora) na množine A D(f) práve vtedy, ak existuje c 1 R (c 2 R) také, že pre všetky x A platí f(x) c 1 (f(x) c 2 ). b) Funkcia f je ohraničená na množine A D(f) práve vtedy, keď existuje c R, c > 0 také, že pre všetky x A platí f(x) c. ak v predchádzajúcej definícii a vete množina A = D(f) hovoríme skrátene, že funkcia f je ohraničená zhora (zdola), resp. ohraničená Ľahko sa dá ukázať, že platí: Veta Nech funkcie f, g sú ohraničené na množine A D(f) D(g). Potom aj funkcie f + g, f g, f g sú ohraničené na množine A.

13 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) S ohraničenosťou množiny súvisia pojmy infimum, suprémum, minimum, maximum funkcie f na množine. Nech B je množina všetkých hodnôt, ktoré funkcia f nadobúda na množine A D(f), t.j. B = {y R : y = f(x), x A}. Potom supremum množiny B nazývame supremom funkcie f na množine A a označujeme sup f(x), x A infimum množiny B nazývame infimom funkcie f na množine A a označujeme inf f(x), x A nech existuje bod x 0 A taký, že pre všetky x A platí f(x) f(x 0 ). Potom hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode x 0 najväčšiu hodnotu (maximum) na množine A a píšeme f(x 0 ) = max f(x), x A

14 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) nech existuje bod x 1 A taký, že pre všetky x A platí f(x) f(x 1 ) hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode x 1 najmenšiu hodnotu (minimum) na množine A a píšeme f(x 1 ) = min x A f(x), maximum a minimum funkcie na množine A nazývame extrémami tejto funkcie na množine A. Párne a nepárne funkcie Definícia Funkcia f definovaná na množine A sa nazýva a) párna na množine A, ak pre každé x A aj x A a platí f( x) = f(x), b) nepárna na množine A, ak pre každé x A aj x A a platí f( x) = f(x).

15 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Poznámky: naša dohoda, ak sa nepovie, na akej množine daná vlastnosť funkcie f platí alebo na akej množine máme vyšetrovať danú vlastnosť funkcie f, tak sa myslí celý definičný obor funkcie f!!! pri vyšetrovaní párnosti, nepárnosti funkcie f musí byť množina A, resp. D(f) symetrický vzhľadom na nulu (1.vlastnosť) graf párnej funkcie je symetrický vzhľadom na os y a graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok súradnicového systému, t.j. na bod [0, 0] Periodické funkcie Definícia Funkciu f nazývame periodickou, ak existuje kladné číslo p také, že pre každé x D(f) aj x + p D(f), x p D(f) a platí rovnosť f(x p) = f(x) = f(x + p). Najmenšie kladné číslo z tých p, pre ktoré platí uvedená rovnosť nazývame periódou funkcie f. Uvažujme konštantnú funkciu f(x) = c, c R, x R. Je periodická, má periódu? Je periodická, ale nemá periódu!

16 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Monotónne funkcie Definícia Funkciu f nazývame neklesajúcou (nerastúcou) na množine A D(f), ak pre ľubovoľné dva body x 1, x 2 A také, že x 1 < x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Funkciu f nazývame rastúcou (klesajúcou) na množine A D(f), ak pre ľubovoľné dva body x 1, x 2 A také, že x 1 < x 2 platí f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )). Prosté funkcie Definícia Funkciu f nazývame prostou na množine A D(f), ak pre ľubovoľné dva body x 1, x 2 A také, že x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ).

17 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Prosté a rýdzomonotónne funkcie spája nasledujúca veta. Veta Nech funkcia f je rýdzomonotónna na množine A D(f). Potom je f prostá na množine A. Obrátená { veta k tejto vete neplatí. Uvažujme napr. funkciu 4 x, x 0, 2) g(x) = Funkciu g uvažujeme teda na x 2, x 2, 3. množine A = 0, 3. Funkcia g je na množine A prostá, ale nie je tam monotónna. Avšak, ak pridáme ďalšiu vlastnosť funkcie g na množine A, presnejšie spojitosť funkcie na množine A, tak bude platiť aj obrátená veta. Spojité funkcie tvoria špeciálnu triedu funkcií, s ktorými sa budeme zaoberať neskôr.

18 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Inverzné funkcie Nech je daná funkcia y = f(x), x D(f). Potom vieme, že každému číslu x 0 D(f) odpovedá jediné číslo y 0 = f(x 0 ) H(f). Úloha: Na základe hodnoty y 0 H(f) nájsť odpovedajúcu hodnotu argumentu x 0 D(f), t.j. riešiť vzhľadom na x rovnicu f(x) = y 0, pre dané y 0 H(f). Táto rovnica môže mať jedno (jedno riešenie má vždy, prečo?), ale aj niekoľko riešení (aj nekonečne veľa riešení). V grafickej interpretácií riešeniami tejto rovnice sú x-ové súradnice bodov, v ktorých priamka y = y 0 pretína graf funkcie f. My chceme, aby pre ľubovoľné y 0 H(f) mala táto rovnica jediné riešenie x 0 D(f) (aby sme mohli definovať inverznú funkciu). Otázky: Kedy táto situácia nastane? Akú vlastnosť musí mať daná funkcia f? Odpoveď: Rovnica y 0 = f(x) má pre každé y 0 H(f) jediné riešenie x 0 D(f), ak funkcia f je prostá na svojom definičnom obore. Pre tieto funkcie môžeme definovať inverznú funkciu nasledovne.

19 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Definícia Nech funkcia f je prostá s definičným oborom D(f), oborom hodnôt H(f). Inverznou funkciou k funkcii f nazývame funkciu f definovanú na množine H(f), ktorá každému číslu y H(f) priradí jediné číslo x D(f) také, v ktorom hodnota funkcie f sa rovná číslu y, t.j. y = f(x). na označenie inverznej funkcie k funkcii f sa pužívajú tiež symboly: f 1 ; f 1 Nasledujúca veta popisuje vzťah medzi f a f. Veta Nech funkcia f je prostá s definičným oborom D(f) a oborom hodnôt H(f). Nech f je inverzná funkcia k funkcii f. Potom pre každé x D(f) platí f(f(x)) = x a pre každé y H(f) platí f(f(y)) = y. táto veta hovorí, že vzťah "byť inverzný" je vzájomný

20 Niektoré špeciálne triedy funkcií (vlastnosti funkcií) Geometrická interpretácia inverznej funkcie Nech f je inverzná funkcia k funkcii f. Grafmi týchto funkcií sú nasledujúce množiny: grafom funkcie f je množina G f = {[x, y] : x D(f), y = f(x)} grafom funkcie f je množina G f = {[y, x] : y H(f), x = f(y)} Teda je zrejmé, že ak bod [a, b] leží na grafe funkcie f, tak bod [b, a] leží na grafe funkcie f. Z toho vyplýva, že graf funkcie f je symetrický s grafom funkcie f vzhľadom na priamku y = x. Nasledujúce vety popisujú vzťah medzi vlastnosťami danej funkcie f a k nej inverznej funkcie f. Veta Ak je funkcia f rastúca (klesajúca), potom k nej existuje inverzná funkcia f, ktorá je tiež rastúca (klesajúca). Veta Ak f je nepárna a prostá funkcia, potom k nej inverzná funkcia f je tiež nepárna.

21 Limita funkcie Pojem limita funkcie v bode má dôležitú úlohu v matematickej analýze, pomocou neho sa definujú pojmy ako spojitosť, derivácia funkcie v bode a ďalšie. Tento pojem limity funkcie v bode a predstavuje lokálnu vlastnosť funkcie hovorí o správaní sa funkcie na okolí tohto bodu a. V nasledujúcom budeme potrebovať nasledujúce pojmy (označenia): okolie bodu a O(a) = {x R : x a < δ} = (a δ, a + δ), kde δ > 0 δ okolie bodu a (keď chceme zvýrazniť hodnotu δ) O δ (a) = {x R : x a < δ}, kde δ > 0 prstencové okolie bodu a O (a) = O(a) {a} = {x R : 0 < x a < δ}, kde δ > 0 prstencové δ okolie bodu a (keď chceme zvýrazniť hodnotu δ) O δ (a) = O δ(a) {a} = {x R : 0 < x a < δ}, kde δ > 0

22 Limita funkcie Motivácia (intuitívna cesta) k pojmu limita funkcie v bode Pozrime sa na nasledujúce situácie: a) f(x) = x 2, D(f) = R; ak hodnoty x sa málo líšia od 2, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa málo líšia od 0; f(2) = 0 b) f(x) = (x 2)2 x 2 +(x 2) = 2 x 2, D(f) = (2, + ); ak hodnoty x sa blížia k 2 z pravej strany (zľava nemôžu, prečo?), tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia k 0; funkcia f nie je definovaná v 2 c) f(x) = (x 1) 2 + 2, D(f) = R; ak hodnoty x sa blížia k 1, tak hodnoty funkcie f v týchto { bodoch x sa blížia k 2; f(1) = 2 d) f(x) = x 1 x 1 f(x) = 1, x > 1 D(f) = R {1}; ak 1, x < 1, hodnoty x sa blížia k 1 sprava, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia k 1; ak hodnoty x sa blížia k 1 zľava, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia k 1; ak hodnoty x sa blížia k 1, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia "nikam"; f nie je definovaná v 1

23 Limita funkcie 1, x > 0 e) f(x) = sgn x f(x) = 0, x = 0 D(f) = R; ak hodnoty x 1, x < 0, sa blížia k 0 sprava, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia k 1; ak hodnoty x sa blížia k 0 zľava, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia k 1; ak hodnoty x sa blížia k 0, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa blížia "nikam"; f(0) = 0 Vráťme sa ku príkladu a), kde f(x) = x 2, D(f) = R. Tam sme mali situáciu "ak hodnoty x sa málo líšia od 2, tak hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sa málo líšia od 0". Skúsme túto skutočnosť presne matematicky popísať. Ak si zoberieme nejaké číslo ε > 0 ("mieru presnosti"), potom pre všetky x D(f), ktoré sa málo líšia od 2 (sú dostatočne blízko k 2), t.j. existuje δ > 0 také, že pre každé x D(f) (2 δ, 2 + δ) {2}, platí, že hodnoty f(x) sa líšia od čísla 0 o menej ako ε, t.j. ε < f(x) 0 < ε f(x) 0 < ε.

24 Limita funkcie Ak pre ľubovoľné ε > 0, vieme nájsť prstencové δ okolie bodu 2 také, že pre každé x D(f) Oδ (2) platí f(x) 0 < ε, t.j. hodnoty funkcie f v týchto bodoch x sú blízke číslu 0 (ležia v páse ε < f(x) < ε), tak potom môžeme povedať, že číslo 0 je limitou funkcie f v bode 2. V našom príklade je to možne, stačí položiť δ = ε. Treba si uvedomiť, že hodnota čísla δ závisí od hodnoty ε. Dostali sme sa k presnej definícii pojmu limita funkcie v bode. Definícia (Cauchyho definícia limity) Číslo b nazývame limitou funkcie f v bode a, ak funkcia f je definovaná na nejakom prstencovom okolí bodu a a pre každé číslo ε > 0 existuje číslo δ > 0 také, že pre všetky x D(f), pre ktoré 0 < x a < δ platí nerovnosť f(x) b < ε, čo zapisujeme lim f(x) = b alebo f(x) b pre x a.

25 Limita funkcie Pomocou kvantifikátorov môžeme túto definíciu limity funkcie f v bode a zapísať takto: lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D(f))(0 < x a < δ f(x) b < ε) alebo taktiež pomocou okolí nasledujúcim spôsobom: lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D(f))(x Oδ (a) f(x) O ε(b)) Poznámky: veličiny δ, ε sú malé kladné čísla (predstavujú veľkostí okolí) funkcia f nemusí byť definová v bode a. Hodnota funkcie f v bode a, aj ak existuje, nemá s vyšetrovaním daného pojmu nič spoločné. Či limita existuje alebo nie, závisí od správania sa funkcie f na prstencovom okol bodu a (viď definíciu)! Pozri naše úvodné príklady a) e).

26 Limita funkcie Ak v definícii limity funkcie f v bode a nahradíme prstencové δ okolie bodu a len jednostranným prstencovým δ okolím bodu a, t.j. množinou {x R : a < x < a + δ}, resp. {x R : a δ < x < a}, dostaneme definíciu jednostranných limít funkcie f v bode a. Definícia Číslo b 1 (b 2 ) nazývame limitou sprava (zľava) funkcie f v bode a, ak funkcia f je definovaná na nejakom pravom (ľavom) prstencovom okolí bodu a a pre každé číslo ε > 0 existuje číslo δ > 0 také, že pre všetky x D(f), pre ktoré a < x < a + δ (a δ < x < a) platí nerovnosť f(x) b 1 < ε ( f(x) b 2 < ε), čo zapisujeme lim f(x) = b 1 ( lim f(x) = b 2). +

27 Limita funkcie Pomocou kvantifikátorov to môžeme zapísať nasledovne: lim f(x) = b 1 + ( ε > 0)( δ > 0)( x D(f))(a < x < a + δ f(x) b 1 < ε) lim f(x) = b 2 ( ε > 0)( δ > 0)( x D(f))(a δ < x < a f(x) b 2 < ε) tieto limity nazývame jednostranné limity funkcie f v bode a Pozrime sa ešte raz na naše príklady a) e). a) lim f(x) = 0, f(2) = 0; x 2 b) lim f(x) = 0, f(2) = neex.; x 2 + c) lim f(x) = 2, f(1) = 2; x 1 d) lim f(x) = 1, lim f(x) = 1, f(1) = neex.; x 1 + x 1 e) lim f(x) = 1, lim f(x) = 1, f(0) = 0. x 0 + x 0

28 Limita funkcie Nasledujúca veta hovorí o vzťahu medzi limitou funkcie f v bode a a jej jednostrannými limitami v danom bode a. Veta Funkcia f má v bode a limitu číslo b, t.j. lim f(x) = b práve vtedy, keď existujú lim f(x), lim f(x) také, že + lim f(x) = lim f(x) = b. + Rovnako ako pri postupnostiach, funkcia f môže mať v bode a najviac jednu limitu. Veta Funkcia f má v bode a najviac jednu limitu. veta platí aj pre jednostranné limity!

29 Vety o limitách Určiť limitu funkcie z definície nie je vždy jednoduché. Preto uvedieme vety, ktoré nám ju pomôžu vypočítať a taktiež vety, ktoré predstavia niektoré lokálne vlastnosti (t.j. vlastnosti, ktoré platia na nejakom okolí daného bodu) funkcií majúcich limitu. Veta Nech funkcia f má v bode a limitu. Potom existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom je funkcia f ohraničená. Táto veta je dôležitá v tomto zmysle. Obmenená veta k nej hovorí: ak funkcia f je neohraničená na každom prstencovom okolí bodu a, potom lim f(x) neexistuje. POZOR však, obrátená{ veta k nej neplatí. Uvažujme napr. funkciu f(x) = x x f(x) = 1, x > 0 D(f) = R {0}. Táto funkcia 1, x < 0, je ohraničená dokonca na každom prstencovom okolí bodu 0 (lebo x R, x 0 je f(x) = 1), ale lim f(x) neexistuje, lebo x 0 lim f(x) = 1 1 = lim f(x). x 0 + x 0

30 Vety o limitách Operácie s funkciami majúcich limitu spojené s nerovnosťami Veta Nech existuje lim f(x) = b a r R a) Ak r < b, potom existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom f(x) > r. b) Ak r > b, potom existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom f(x) < r. v prípade ak r = 0, veta hovorí, že funkcia f zachováva znamienko svojej limity na nejakom prstencovom okolí bodu a Zovšeobecnením tejto vety je nasledujúce: Veta Nech existuje lim f(x) = A, lim g(x) = B a A < B. Potom existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom f(x) < g(x).

31 Vety o limitách "vzťah medzi limitami funkcií vzťah medzi ich funkčnými hodnotami" Veta Nech existuje lim f(x) = A, lim g(x) = B a existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom f(x) g(x). Potom A B. "vzťah medzi funkčnými hodnotami funkcií vzťah medzi ich limitami" predchádzajúca veta hovorí, že limitný prechod zachováva neostrú nerovnosť, ostrá nerovnosť sa limitným prechodom NEMUSÍ zachovávať. Napr. nech f(x) = x 4, g(x) = x 2, potom x O 1 (0) je x 2 > x 4, ale lim x 0 x 2 = 0 0 = lim x 0 x 4. Veta (Veta o policajtoch) Nech existuje lim f(x) = A, lim g(x) = A a existuje prstencové okolie bodu a, na ktorom f(x) h(x) g(x). Potom existuje aj lim h(x) a platí, že lim h(x) = A.

32 Heineho definícia limity funkcie Limita funkcie sa dá definovať aj pomocou postupností. Táto skutočnosť sa dá využiť v tom zmysle, že pri dôkazoch tvrdení pre funkcie vieme prejsť ku postupnostiam a následne využiť pre nich už dokázané tvrdenia. Definícia (Heineho definícia limity) Číslo b nazývame limitou funkcie f v bode a, ak funkcia f je definovaná na nejakom prstencovom okolí bodu a a pre ľubovoľnú postupnosť {x n } n=1, pričom x n D(f) konvergujúcu k číslu a, postupnosť funkčných hodnôt {f(x n )} n=1 konverguje k číslu b. túto definíciu vieme použiť na dôkaz neexistencie limity funkcie Vzniká otázka: Určujú obidve definície limity funkcie to isté číslo? Odpoveď je ÁNO, lebo platí nasledujúca veta. Veta Cauchyho a Heineho definície limity funkcie sú ekvivalentné.

33 Vety o limitách Algebraické operácie s funkciami majúcich limitu Veta Nech existuje lim f(x) = A a lim g(x) = B. Potom existuje limita súčtu f + g, súčinu f g v bode a a ak B 0 aj limita podielu f g v bode a, pričom platí a) lim (f(x) + g(x)) = A + B, b) lim (f(x) g(x)) = A B, c) lim f(x) g(x) = A B.

34 Vety o limitách Z tejto vety okamžite máme nasledujúce tvrdenia. Dôsledok Nech existuje lim f(x) = A a lim g(x) = B. Potom platí a) lim(c f(x)) = c A, kde c R, b) lim(f(x) g(x)) = A B, c) lim(f(x)) n = A n, kde n N. Taktiež platí nasledujúca veta. Veta Ak lim f(x) = b, potom lim f(x) = b. Obrátená veta neplatí. Uvažujme napr. f(x) = x x, x D(f) = R {0}. Vidíme, že lim f(x) = lim x 0 x 0 x = 1, ale lim x 0 x f(x) neexistuje, lebo lim x 0 + x = 1 a lim x x 0 x = 1.

35 Vety o limitách Avšak pre b = 0 platí aj obrátená veta, t.j. platí: Veta lim f(x) = 0 práve vtedy, keď lim f(x) = 0. V špeciálnom prípade pre limitu súčinu funkcií platí veta. Veta Nech lim f(x) = 0 a funkcia g je ohraničená na nejakom prstencovom okolí bodu a. Potom lim (f(x) g(x)) = 0. Príklad Vypočítajte limitu funkcie lim x 5 x Zatiaľ nevieme, nemáme na to matematický aparát (ide o limitu zloženej funkcie).

36 Vety o limitách Limita zloženej funkcie Veta Nech existuje lim ϕ(x) = b a lim f(y) = A, pričom pre všetky x z y b nejakého prstencového okolia bodu a platí ϕ(x) b. Potom v bode a existuje limita zloženej funkcie f(ϕ) a platí lim f(ϕ(x)) = lim y b f(y) = A. Predpoklad, že ϕ(x) b na nejakom prstencovom okolí bodu a je dôležitý { a nedá sa vynechať! Uvažujme napr. ϕ(x) = 1, x R a 2, y = 1 f(y) = D(f) = R. Keďže lim ϕ(x) = 1 pre ľubovoľné 3, y 1, a R a lim f(y) = 3, podľa predchádzajúcej vety (bez splnenia y 1 predpokladu, že ϕ(x) b na O (a)) máme, že lim f(ϕ(x)) = lim f(y) = 3. Avšak na druhej strane, pre každé y 1 x R je f(ϕ(x)) = f(1) = 2 a teda lim f(ϕ(x)) = 2, čo je spor.

37 Rôzne typy limít funkcie Dôvodom tohto sporu je nesplnenie predpokladu, že ϕ(x) 1 na nejakom prstencovom okolí bodu a. Doteraz sme uvažovali, že funkcia f má v čísle a limitu číslo b, t.j. lim f(x) = b, kde a, b R. Ide o vlastnú limitu funkcie vo vlastnom bode, ktorá ako vieme, popisuje správanie sa funkcie f na nejakom prstencovom okolí bodu a. Niekedy je však dôležité vedieť ako sa správa funkcia f, ak hodnoty argumentu x alebo x rastú neobmedzene, resp. hodnoty argumentu x sa blížia do + alebo. Napr. hodnoty funkcie f(x) = 1 x sa blížia k nule, ak hodnoty argumentu x sa blížia do + alebo. Teraz zavedieme pojem vlastnej limity funkcie v nevlastnom bode +, resp..

38 Rôzne typy limít funkcie Definícia Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí bodu + ( ). Hovoríme, že číslo A (B) je limitou funkcie f v bode + ( ), ak pre ľubovoľné číslo ε > 0 existuje číslo L > 0 také, že pre všetky x D(f), pre ktoré x > L (x < L) platí nerovnosť f(x) A < ε ( f(x) B < ε). Zapisujeme to ( lim f(x) = B). x Pomocou kvantifikátorov to môžeme zapísať nasledovne: lim f(x) = A x + lim f(x) = A x + ( ε > 0)( L > 0)( x D(f))(x > L f(x) A < ε) lim f(x) = B x ( ε > 0)( L > 0)( x D(f))(x < L f(x) B < ε)

39 Rôzne typy limít funkcie Nasledujúca veta je užitočná pri výpočte limít funkcie v nevlastnom bode +, resp.. Veta a) lim f(x) = A práve vtedy, ak lim f( 1 x + x) = A. x 0 + b) lim f(x) = B práve vtedy, ak lim f( 1 x x) = B. x 0 Poznámka: Vety, ktoré sme doteraz uviedli pre vlastné limity funkcie vo vlastnom bode a platia aj pre vlastné limity v nevlastnom bode +, resp..

40 Rôzne typy limít funkcie Už vieme, že ak funkcia f má v bode a (pričom a R {+, }) vlastnú limitu, potom funkcia f je na nejakom prstencovom okolí bodu a ohraničená. Uvažujme teraz funkciu f(x) = 1 x 2, x 0. Táto funkcia je neohraničená na každom prstencovom okolí bodu a = 0, teda nemá v tomto bode a = 0 vlastnú limitu. Avšak, keď sa argument x blíži k nule, odpovedajúce funkčné hodnoty funkcie f neobmedzene rastú. Budeme tomu hovoriť, že funkcia f má v bode a = 0 nevlastnú limitu +. Vyslovme si definíciu nevlastnej limity funkcie vo vlastnom bode. Definícia Nech funkcia f je definovaná na nejakom prstencovom okolí bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a nevlastnú limitu + ( ), ak ku každému číslu K > 0 existuje číslo δ > 0 také, že pre všetky x D(f), pre ktoré 0 < x a < δ platí nerovnosť f(x) > K (f(x) < K). Označujeme to lim f(x) = + (lim f(x) = ).

41 Rôzne typy limít funkcie Ak v predchádzajúcej definícii si namiesto prstencového δ okolia bodu a zoberieme: pravé (ľavé) prstencové δ okolie bodu a dostaneme definíciu nevlastnej limity v bode a sprava (zľava), t.j. definujeme si f(x) = + ( ); lim f(x) = + ( ) + lim okolie bodu + ( ) dostaneme definíciu nevlastnej limity v nevlastnom bode + ( ), t.j. definujeme si f(x) = + ( ); lim f(x) = + ( ) lim x + x

42 Rôzne typy limít funkcie Pomocou kvantifikátorov si zapíšme nasledujúce: lim f(x) = + (a R) ( K > 0)( δ > 0)( x D(f))(0 < x a < δ f(x) > K) lim f(x) = (a R) + ( K > 0)( δ > 0)( x D(f))(a < x < a + δ f(x) < K) lim f(x) = + x + ( K > 0)( L > 0)( x D(f))(x > L f(x) > K) lim f(x) = x ( K > 0)( L > 0)( x D(f))(x < L f(x) < K) ostatné situácie + geometrická interpretácia domáca úloha

43 Rôzne typy limít funkcie Operácie s nevlastnými limitami Pri práci s nevlastnými limitami funkcií vo vlastnom aj nevlastnom bode budeme používať nasledujúce tvrdenia. Veta Nech lim f(x) = +, lim g(x) = + a funkcia h je zdola ohraničená na nejakom prstencovom okolí bodu a, pričom a R {+, }. Potom platí a) lim(f(x) + g(x)) = +, b) lim(f(x) g(x)) = +, c) lim(f(x) + h(x)) = +, d) ak funkcia h je zdola ohraničená kladnou konštantou na nejakom prstencovom okolí bodu a, tak lim (f(x) h(x)) = +.

44 Rôzne typy limít funkcie Taktiež platia aj alternatívne tvrdenia k tvrdeniam c), d). Ak funkcia h je zhora ohraničená na nejakom prstencovom okolí bodu a a lim f(x) =, tak lim(f(x) + h(x)) =. Ak funkcia h je zdola ohraničená kladnou konštantou na nejakom prstencovom okolí bodu a a lim lim(f(x) h(x)) =. Užitočná je aj nasledujúca veta. Veta lim f(x) =, tak a) Ak lim f(x) = + (a R {+, }), potom 1 f(x) = 0. b) Ak lim f(x) = 0 (a R {+, }) a na nejakom prstencovom okolí bodu a je f(x) > 0 (f(x) < 0), potom lim 1 f(x) = + (lim 1 f(x) = ).

45 Rôzne typy limít funkcie Ostali nám ešte prípady, kedy nevieme z limít jednotlivých funkcií rozhodnúť o limite funkcie vytvorenej nejakou aritmetickou operáciou. Hovoríme o tzv. neurčitých výrazoch. Sú to napr. " ", "0 ", " ", " 0 0 ", "1 ", "0 ", " 0 ".

46 Spojitosť funkcie v bode Motivácia: Pri výpočte hodnoty danej funkcie v bode a s predpísanou presnosťou sa častokrát zamení hodnota argumentu a nejakou jeho približnou hodnotou a pre túto hodnotu sa vypočíta funkčná hodnota. Napr. uvažujme f(x) = x, x 0 a chceme vypočítať f(9, 1). Teda môžeme tvrdiť, že f(9, 1). = f(9) = 3, samozrejme dopúšťame sa istej chyby. Ďalej, keď máme vypočítať hodnotu danej funkcie v iracionálnom čísle zameníme ho za jeho približnú racionálnu hodnotu a v nej počítame funkčnú hodnotu. Čím chceme presnejšie vypočítať hodnotu funkcie v danom bode a, tým "bližšie" k číslu a berieme jeho približnú hodnotu. Toto všetko je v poriadku a dá sa to použiť, iba ak vopred vieme, že zmena funkčnej hodnoty danej funkcie (t.j. prípustná chyba) môže byť urobená dostatočne malou pre malé zmeny argumentu. Inak povedané, musí byť garantované, že malej zmene argumentu odpovedá malá zmena funkčnej hodnoty. Túto vlastnosť funkcie nazývame spojitosť funkcie v danom bode.

47 Spojitosť funkcie v bode Fenomén spojitosti je všade okolo nás. Mnoho skutočností, udalostí, javov v bežnom živote ako aj vo vedeckom by sa bez neho nedalo interpretovať. Napr. malá zmena soli v jedle málo zmení jeho chuť malá zmena veľkosti strany kocky málo zmení jej objem nemohli by sme šoférovať, ak by malá zmena v ovládaní auta (točenie volantu, ubratie, resp. pridávanie plynu) mala veľký vplyv na šoférovanie Nespojité javy (je tam nejaká príčina). Napr. fúkanie balóna; po prekročení kritickej hodnoty praskne; teda závislosť objemu balóna od tlaku vzduchu v jeho vnútri je nespojitá pád vajíčka z určitej výšky; po prekročení kritickej výšky rozbije sa; teda závislosť objemu vajíčka ("celistvosti") od výšky, z ktorej ho púšťame je nespojitá Intuícia: Spojité funkcie sú tie, ktorých graf vieme nakresliť jediným ťahom.

48 Spojitosť funkcie v bode Pojem spojitosti funkcie v bode teda definujeme pomocou pojmu limita funkcie v bode. Definícia Funkciu f definovanú na nejakom okolí bodu a nazývame spojitou v bode a, ak lim f(x) = f(a). Funkciu f definovanú na nejakom intervale a, a + δ) ((a δ, a ), kde δ > 0 nazývame spojitou sprava (zľava) v bode a, ak lim f(x) = f(a) ( lim f(x) = f(a)). + Poznámky: Bod a nazývame bodom nespojitosti funkcie f, ak funkcia f nie je spojitá v tomto bode. Ak funkcia f nie je spojitá v bode a, ale existuje vlastná lim f(x) = A R, tak bod a nazývame bodom odstrániteľnej nespojitosti funkcie f a vtedy funkciu f vieme dodefinovať, resp. predefinovať { na spojitú v tomto bode a f(x), x a nasledovne f 1 (x) = A, x = a. Inak, bod a nazývame bodom neodstrániteľnej nespojitosti funkcie.

49 Spojitosť funkcie v bode Priamo z definície vyplýva, že ak funkcia f je spojitá v bode a, potom platí: a) a D(f); b) funkcia f je definovaná na nejakom okolí bodu a, t.j. existuje číslo δ > 0 také, že (a δ, a + δ) D(f); c) existuje vlastná limita funkcie f v bode a taká, že f(x) = f(a). lim Ak nie je splnená aspoň jedna z podmienok a) c), potom bod a je bodom nespojitosti funkcie f. Podmienku spojitosti funkcie f v bode a môžeme sformulovať pomocou logických symbolov nasledovne: funkcia f je spojitá v bode a ( ε > 0)( δ > 0)( x D(f))( x a < δ f(x) f(a) < ε) Pozor, bod a z nerovnosti nevylučujeme!

50 Spojitosť funkcie v bode Z viet o limitách funkcií v bode a a definície spojitosti funkcie v bode a okamžite dostávame tieto tvrdenia. Veta Funkcia f je spojitá v bode a práve vtedy, keď je v bode a spojitá sprava i zľava. Operácie so spojitými funkciami Veta Nech funkcie f, g sú spojité v bode a. Potom aj funkcie f + g, f g, f g, f sú spojité v bode a. Naviac, ak g(a) 0 je aj funkcia f g spojitá v bode a. Príklady: funkcia f(x) = x n, kde n N je spojitá v každom bode a R polynomická funkcia P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, kde n N, a i R, i = 0, 1, 2,..., n je spojitá v každom bode a R

51 Spojitosť funkcie v bode racionálna funkcia R(x) = P (x) Q(x), kde P, Q sú polynomické funkcie je spojitá v každom bode a R, pre ktorý Q(a) 0 Limita zloženej funkcie Na výpočet limity zloženej funkcie už máme nasledujúce: Veta Nech existuje lim ϕ(x) = b a lim f(y) = A, pričom pre všetky x z y b nejakého prstencového okolia bodu a platí ϕ(x) b. Potom v bode a existuje limita zloženej funkcie f(ϕ) a platí lim f(ϕ(x)) = lim y b f(y) = A. Teraz si predstavíme ďalšiu možnosť ("jednoduchšiu") výpočtu limity zloženej funkcie. Platí veta. Veta Nech existuje lim ϕ(x) = b a funkcia f je spojitá v bode b. Potom v bode a existuje limita zloženej funkcie f(ϕ) a platí lim f(ϕ(x)) = f(b).

52 Spojitosť funkcie v bode Poznámky: z predchádzajúcej vety máme, že limitou vieme vojsť do funkcie, ktorá je spojitá v bode b, pričom b = lim ϕ(x), t.j. lim f(ϕ(x)) = f(lim ϕ(x)) predpoklad ϕ(x) b na O (a) je v predchádzajúcej vete nahradený spojitosťou vonkajšej zložky zloženej funkcie f(ϕ), t.j. spojitosťou funkcie f v bode b Spojitosť zloženej funkcie Veta Nech funkcia ϕ je spojitá v bode a, funkcia f je spojitá v bode b = ϕ(a). Potom zložená funkcia f(ϕ) je spojitá v bode a.

53 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Definícia Funkciu f definovanú na množine M nazývame spojitou na M, ak je spojitá v každom bode množiny M. Funkciu f definovanú na intervale a, b nazývame spojitou na a, b, ak je spojitá v každom bode intervalu (a, b), spojitá sprava v bode a a spojitá zľava v bode b. Spojitosť funkcie f na množine bude zárukou "dobrých" vlastností funkcie f na tejto množine, predovšetkým ak pôjde o uzavretý interval a, b. Platia nasledujúce tvrdenia. Veta (Bolzanova veta) Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b a f(a) f(b) < 0. Potom existuje aspoň jeden bod c (a, b) taký, že f(c) = 0.

54 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Poznámky: Táto veta (presnejšie jej dôkaz) dáva návod akým spôsobom vieme nájsť nulový bod funkcie, resp. koreň polynómu, riešenie rovnice. Najčastejšie je úlohou nájsť nulový bod funkcie, resp. riešenie rovnice s danou presnosťou. Niekedy môže byť užitočné nasledujúce tvrdenie: Nech P (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde a i R, i = 0, 1, 2,..., n 1, x R. Potom všetky nulové body polynómu (polynomickej funkcie) ležia v intervale ( M, M), ak existujú, pričom M = 1 + max{ a n 1,..., a 1, a 0 }. Veta (Weierstrassova o ohraničenosti) Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b. Potom funkcia f je ohraničená na intervale a, b.

55 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Veta (Weierstrassova o minime a maxime) Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a, b. Potom funkcia f nadobúda na a, b svoje maximum a minimum (t.j. existujú body c, d a, b také, že pre každé x a, b platí f(c) f(x) f(d)). Obidva predpoklady Weierstrassovych viet spojitosť funkcie f a uzavretosť intervalu a, b sú dôležité, viď nasledujúce príklady: a) f(x) = 1 x je spojitá na intervale (0, 1), ale nie je tam ohraničená. Problém otvorený interval. x, x 0, 1) b) f(x) = 2, x = 1 nie je spojitá na 0, 2 (lebo nie je 1 x 1, x (1, 2 spojitá v bode x = 1) a nie je tam ohraničená. Problém nespojitosť funkcie.

56 Spojitosť funkcie na intervale (množine) c) f(x) = x je spojitá na intervale (0, 1), ale nemá tam maximum, ani minimum. Problém otvorený interval. x, x 0, 1) d) f(x) = 0, x = 1 nie je spojitá na 0, 2 (lebo nie je x 2, x (1, 2 spojitá v bode x = 1) a nemá tam maximum, ani minimum. Problém nespojitosť funkcie. Pozrime sa teraz na vlastnosti spojitej funkcie na ľubovoľnom intervale I, nie nutne uzavretom! Veta (Darbouxova veta o medzihodnote) Nech funkcia f je spojitá na intervale I (akýkoľvek interval!) a nech a, b I, a b. Potom pre každé číslo d ležiacemu medzi hodnotami f(a) a f(b) existuje aspoň jedno číslo c ležiace medzi a a b také, že f(c) = d.

57 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Dôležitým dôsledkom Darbouxovej vety je nasledujúce tvrdenie. Veta Množina hodnôt, ktoré spojitá funkcia nadobúda na intervale I (ľubovoľného typu) je opäť interval alebo jednoprvková množina. Weierstrassova a Darbouxova veta nám dávajú ďalší výsledok. Dôsledok Množina hodnôt, ktoré spojitá funkcia nadobúda na uzavretom intervale je opäť uzavretý interval alebo jednoprvková množina.

58 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Pri hľadaní oboru hodnôt funkcie je užitočné vedieť: Veta Nech funkcia f je definovaná a neklesajúca na intervale (a, b). a) Ak f je zhora ohraničená na (a, b), potom existuje lim f(x) = f(x). x b sup x (a,b) b) Ak f je zdola ohraničená na (a, b) potom existuje lim f(x) = inf f(x). + x (a,b) c) Ak f nie je zhora ohraničená na (a, b), potom existuje lim f(x) = +. x b d) Ak f nie je zdola ohraničená na (a, b), potom existuje lim f(x) =. + Analogická veta platí aj pre nerastúce funkcie na intervale (a, b).

59 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Všimnime si, že vlastnosť "nadobúdať ľubovoľnú hodnotu medzi dvoma hodnotami" nie je charakteristickým znakom spojitých funkcií. Inak povedané, ak množina hodnôt, ktoré funkcia f nadobúda na intervale I tvoria opäť interval alebo jednoprvkovú množinu, tak funkcia f nemusí byť spojitá na intervale I, viď príklad. { x, x 0, 1 Uvažujme funkciu f(x) = D(f) = 0, 2 a 1 x, x (1, 2, H(f) = 1, 1 (teda interval), ale funkcia f nie je spojitá na 0, 2 (lebo nie je spojitá v bode x = 1). Pre monotóne funkcie na intervale I však platí veta. Veta Nech funkcia f je definovaná a monotónna na intervale I a nech obor hodnôt funkcie f na intervale I je interval alebo jednoprvková množina. Potom funkcia f je spojitá na intervale I.

60 Spojitosť funkcie na intervale (množine) Nasledujúce vety sa týkajú existencie a spojitosti inverznej funkcie. Sú dôležitým východiskom k zavedeniu celého radu funkcií a ku štúdiu ich vlastností. Veta Nech funkcia f je spojitá na intervale I. Funkcia f má inverznú funkciu f na intervale I práve vtedy, ak f je rýdzomonotónna na intervale I. Veta (O spojitosti inverznej funkcie) Nech funkcia f : I J je spojitá a rýdzomonotónna na intervale I. Potom k nej inverzná funkcia f je spojitá na intervale J.

61 Elementárne funkcie Teraz sa oboznámime s najčastejšie používanými funkciami a ich základnými vlastnosťami, ako sú definičný obor, spojitosť, monotónnosť, párnosť/nepárnosť, periodičnosť a niektoré asymptotické vlastnosti. Tieto funkcie zvyčajne nazývame základnými elementárnymi funkciami. Sú to napr. c, x a, a x, sin x, cos x, tg x, cotg x a k nim inverzné funkcie. a) Konštantná funkcia f(x) = c, c R D(f) = R, H(f) = {c}, spojitá, párna, periodická na R (ale nemá periódu!) b) Mocninná (mocninová) funkcia s prirodzených exponentom f(x) = x n, n N pre n párne D(f) = R, H(f) = 0, + ), spojitá, párna na R, rastúca na 0, + ), klesajúca na (, 0 ; pre n nepárne D(f) = R, H(f) = R, spojitá, nepárna, rastúca na R.

62 Elementárne funkcie c) Polynomická funkcia (polynóm) P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, n N {0},a i R, i = 0, 1,..., n D(f) = R, spojitá na R; číslo c R je nulovým bodom (koreňom) P, ak P (c) = 0; hovoríme o polynomickej funkcii (polynóme) stupňa n, ak a n 0; P má najviac n navzájom rôznych nulových bodov (koreňov); dva polynómy sa rovnajú, ak sú toho istého stupňa a koeficienty pri rovnakých mocninách x sa v oboch polynómoch rovnajú. d) Racionálna funkcia Q(x) = P (x) S(x), kde P, S sú polynómy (polynomick funkcie) D(Q) = R {x R : S(x) = 0}, spojitá na D(Q)

63 Elementárne funkcie e) Odmocnina Uvažujme funkciu f(x) = x n, n N, n párne. Už vieme, že f : D(f) = 0, ) H(f) = 0, ) a tiež vieme, že f je rastúca, spojitá na 0, ). Teda, existuje k nej inverzná funkcia f definovaná predpisom f(x) = n x, x 0, ), n N, n párne a jej H(f) = 0, ). Z viet o inverznej funkcii, ďalej vieme, že je tiež rastúca a spojitá na 0, ). Túto funkciu nazývame n tou odmocninou. Uvažujme funkciu f(x) = x n, n N, n nepárne. Už vieme, že f : D(f) = R H(f) = R a tiež vieme, že f je rastúca, spojitá na R. Teda, existuje k nej inverzná funkcia f definovaná predpisom f(x) = n x, x R, n N, n nepárne a jej H(f) = R. Z viet o inverznej funkcii, ďalej vieme, že je tiež rastúca a spojitá na R. Túto funkciu nazývame n tou odmocninou.

64 Elementárne funkcie f) Mocninná funkcia s celočíselným a racionálnym exponentom f(x) = x α, α Z pre α Z + 0 je D(f) = R, spojitá na R; pre α Z je D(f) = R {0}, spojitá na R {0}. f(x) = x r, kde r = m n, m Z, n N Potom môžeme písať, že f(x) = x r = x m n = ( x 1 n ) m. Ide vlastne o zloženú funkciu n tej odmnocniny a mocninnej funkcie s celočíselným exponentom, t.j. f(x) = (F ϕ)(x) = F (ϕ(x)), kde F (t) = t m a t = ϕ(x) = x 1 n. Vlastnosti tejto funkcie môžeme získať z jednotlivých definícií a viet pre zloženú funkciu (nebudeme to robiť).

65 Elementárne funkcie g) Exponenciálna funkcia Definovali sme si ju nasledovne: ( ) x R : lim 1 + x n n n = e x = n=0 Pre túto funkciu platí: x 1, x 2 R : e x1 e x 2 = e x 1+x 2 ; x R : e x e x = 1; x R : e x > 0; x n n! x 0, ) : e x 1 + x; x 0, 1) : e x 1 1 x ; x ( 1, 1) : 1 + x e x 1 1 x ; je rastúca a spojitá na R; H(f) = (0, ).

66 Elementárne funkcie h) Logaritmická funkcia s prirodzeným základom Uvažujme funkciu f(x) = e x. Už vieme, že f : D(f) = R H(f) = (0, ) a tiež vieme, že f je rastúca, spojitá na R. Teda, existuje k nej inverzná funkcia a označme si ju ako f(x) = ln x, x (0, ). Túto funkciu nazývame logaritmickou funkciou s prirodzeným základom. H(f) = R a z viet o inverznej funkcii, ďalej vieme, že je tiež rastúca a spojitá na (0, ). Ďalšie jej vlastnosti: x (0, ) : e ln x = x; x R : ln e x = x; x 1, x 2 (0, ) : ln(x 1 x 2 ) = ln x 1 + ln x 2 ; x 1, x 2 (0, ) : ln x 1 x 2 = ln x 1 ln x 2 ; x 1 (0, ), r R : ln x r 1 = r ln x 1.

67 Elementárne funkcie h) Všeobecná exponeciálna funkcia f(x) = a x = e x ln a, a > 0, x R Ide vlastne o zloženú funkciu lineárnej (polynomickej) a exponenciálnej funkcie, t.j. f(x) = (F ϕ)(x) = F (ϕ(x)), kde F (t) = e t a t = ϕ(x) = x ln a. Táto funkcia má tieto vlastnosti: je spojitá na R; pre a > 1 je rastúca na R, pre a (0, 1) je klesajúca na R a pre a = 1 je konštantná na R; pre a (0, 1) (1, ) je H(f) = (0, ) a pre a = 1 je H(f) = {1}; x 1, x 2 R, a (0, ) : a x1 a x 2 = a x 1+x 2 ; x 1, x 2 R, a (0, ) : a x 1 a x 2 = ax 1 x 2 ; x 1, x 2 R, a (0, ) : (a x 1 ) x 2 = a x 1 x 2 ; x R, a, b (0, ) : a x b x = (a b) x.

68 Elementárne funkcie i) Všeobecná logaritmická funkcia Uvažujme funkciu f(x) = a x, kde a (0, 1) (1, ). Už vieme, že f : D(f) = R H(f) = (0, ) a tiež vieme, že f je rastúca pre a > 1 a klesajúca pre a (0, 1), spojitá na R. Teda, existuje k nej inverzná funkcia a označme si ju ako f(x) = log a x, x (0, ). Túto funkciu nazývame logaritmickou funkciou so základom a. H(f) = R a z viet o inverznej funkcii, ďalej vieme, že je tiež rastúca pre a > 1, klesajúca pre a (0, 1) a spojitá na (0, ). Ďalšie jej vlastnosti pre ľubovoľné a, b (0, 1) (1, ): x (0, ) : a log a x = x; x R : log a a x = x; x 1, x 2 (0, ) : log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2 ; x 1, x 2 (0, ) : log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 ; x (0, ), y R : log a x y = y log a x; x (0, ) : log a x = log b x log b a.

69 Elementárne funkcie j) Mocninná funkcia s ľubovoľným reálnym exponentom f(x) = x a = e a ln x, a R, x > 0 Ide vlastne o zloženú funkciu logaritmickej funkcie s prirodzeným základom (násobenej konštantou) a exponenciálnej funkcie, t.j. f(x) = (F ϕ)(x) = F (ϕ(x)), kde F (t) = e t a t = ϕ(x) = a ln x. Táto funkcia má tieto vlastnosti: je spojitá na (0, ); pre a > 0 je rastúca na (0, ), pre a < 0 je klesajúca na (0, ) a pre a = 0 je konštantná na R; pre a 0 je H(f) = (0, ) a pre a = 0 je H(f) = {1}. Keďže pre a > 0 je 0 a = 0 a platí, že lim x 0 xa = 0 a = 0, tak + funkciu f vieme dodefinovať { tak, aby bola spojitá v bode 0 sprava a f(x), x > 0 to nasledovne f 1 (x) = Teda v prípade, ak a > 0 je 0, x = 0. mocninná funkcia definovaná, spojitá, rastúca na 0, ) a H(f 1 ) = 0, ).

70 Elementárne funkcie k) Goniometrické funkcie Základnými goniometrickými funkciami sú f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = cos x, f 3 (x) = tg x a f 4 (x) = cotg x. Na základe podobnosti trojuholníkov vieme v pravouhlom trojuholníku definovať tieto funkcie pre ľubovoľný uhol α (0, 90 ) (uhol α je meraný v stupňoch, t.j. v stupňovej miere) nasledovne: sin α = a c, cos α = b c, tg α = a b, cotg α = b a, kde a je veľkosť protiľahlej odvesny, b je veľkosť priľahlej odvesny a c je veľkosť prepony pravouhlého trojuholníka. Taktiež definitoricky máme, že sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 90 = 1, cos 90 = 0. Z definície a vlastností pravouhlého trojuholníka máme, že pre ľubovoľné uhly α, β 0, 90 platí: cos α = sin β = sin(90 α); cos β = cos(90 α) = sin α; sin 2 α + cos 2 α = 1.

71 Elementárne funkcie Teraz, zovšeobecníme predchádzajúcu definíciu tak, aby uvedené funkcie ľubovoľnému reálnemu číslu t R priradili reálne číslo. Pomôžeme si jednotkovou kružnicou. Nech S = [0, 0] a A = [1, 0]. Každému reálnemu číslu priradíme bod na kružnici nasledovne: ak t R, t > 0, bod P (t) dostaneme tak, že prejdeme po kružnici od bodu A proti smeru hodinových ručičiek dráhu veľkosti t; ak t R, t < 0, bod P (t) dostaneme tak, že prejdeme po kružnici od bodu A v smere hodinových ručičiek dráhu veľkosti t. Takýmto spôsobom vieme každému číslu t R priradiť bod na jednotkovej kružnici (všetky reálne čísla "namotáme", znázorníme na jednotkovú kružnicu) a teda aj orientovaný uhol ASP (t.j. uhol α), ktorému jednoznačne odpovedá oblúk ÂP. Tento uhol môžeme merať v stupňoch (stupňová miera) alebo v radiánoch (oblúková miera) ako dĺžku oblúka ÂP, pričom vieme, že veľkosť (dĺžka) oblúka je rovná t. Vieme, že 1 = π 180 rad, t.j. uhlu α = 1 prislúcha na kružnici oblúk veľkosti π/180 radiánov.

72 Elementárne funkcie Teraz sa už môžeme pozrieť na tieto funkcie ako na funkcie, ktoré ľubovoľnému reálnemu číslu t (veľkosti ľubovoľného orientovaného uhla, ktorý prislúcha číslu t na jednotkovej kružnici) priradia reálne číslo. Nech t je ľubovoľné reálne číslo. Od bodu A podľa horeuvedených pravidiel nanesieme na jednotkovú kružnicu oblúk veľkosti t, teda takýmto spôsobom reálnemu číslu t priradíme bod P (t) = [u 1, v 1 ]. Vzhľadom na definíciu v pravouhlom trojuholníku môžeme funkcie sínus a kosínus definovať nasledovne: Definícia Sínus (kosínus) je funkcia definovaná na celom R, ktorej hodnota v reálnom čísle t je druhá (prvá) súradnica bodu P (t), ktorý je obrazom čísla t na jednotkovej kružnici, t.j. ak P (t) = [u 1, v 1 ], tak u 1 = cos t a v 1 = sin t. malá nekorektnosť úvahy (definície) nevieme, čo je dĺžka oblúka (bude to neskôr)

73 Elementárne funkcie pre t 0, π 2 je bod P (t) v 1. kvadrante a funkcie sínus, kosínus majú ten istý význam ako bol uvedený v pravouhlom trojuholníku Pomocou tejto definície, ktorej výhodou je názornosť a geometrických úvah sa pomerne jednoducho dajú dokázať niektoré z nasledujúcich vlastností uvedených funkcií: sin 0 = 0, cos 0 = 1, cos π 2 = 0, sin π 2 = 1; x (0, π) : sin x > 0, x (π, 2π) : sin x < 0; x ( π 2, π ) ( 2 : cos x > 0, x π 2, 3 2 π) : cos x < 0; funkcia sínus je nepárna na R a funkcia kosínus je párna na R; x R : sin x = cos ( π 2 x), cos x = sin ( π 2 x) ; x ( π 2, π ) 2 : sin x x tg x ; funkcie sínus a kosínus sú periodické s periódou 2π (obrazy reálnych čísel vzdialených o hodnotu 2π sú na jednotkovej kružnici totožné); x R : sin 2 x + cos 2 x = 1; funkcie sínus a kosínus sú ohraničené na R;

74 Elementárne funkcie x, y R : sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x; x, y R : sin(x y) = sin x cos y sin y cos x; x, y R : cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y; x, y R : cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y; x, y R : sin x sin y = 2 sin x y 2 cos x+y 2 ; x, y R : cos x cos y = 2 sin x y 2 sin x+y x, y R : sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos x y 2 ; 2 ; 2 ; x, y R : cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x y funkcie sínus a kosínus sú spojité na R; funkcia sínus je rastúca na intervaloch ( π 2 + 2kπ, π 2 + 2kπ), kde k Z a je klesajúca na intervaloch ( π 2 + (2k + 1)π, π 2 + (2k + 1)π), kde k Z; funkcia kosínus je rastúca na intervaloch ((2k + 1)π, (2k + 2)π), kde k Z a je klesajúca na intervaloch (2kπ, (2k + 1)π), kde k Z; H(sin x) = H(cos x) = 1, 1.

75 Elementárne funkcie Pomocou funkcií sínus a kosínus definujeme funkcie f 3 (x) = tg x a f 4 (x) = cotg x nasledovne: tg x = sin x cos x, D(f 3) = R { x = (2k + 1) π 2, k Z} ; cotg x = cos x sin x, D(f 4) = R {x = kπ, k Z}. Z definície týchto funkcií a vlastností funkcií sínus a kosínus platí: funkcie f 3, f 4 sú spojité na svojich definičných oboroch; sú periodické s periódou π; funkcie f 3, f 4 sú nepárne; funkcia f 3 je rastúca na intervaloch ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), kde k Z a funkcia f 4 je klesajúca na intervaloch (kπ, π + kπ), kde k Z; lim tg x = +, lim x π 2 lim cotg x = +, lim x 0 + H(f 3 ) = R, H(f 4 ) = R. tg x = ; x π + 2 cotg x = ; x π

76 Elementárne funkcie l) Cyklometrické funkcie Sú to funkcie inverzné ku goniometrickým funkciám. Keďže goniometrické funkcie nie sú prosté na celých svojich definičných oboroch (lebo sú periodické), tak na nich neexistujú k ním inverzné funkcie. Preto, aby sme mohli definovať tieto cyklometrické funkcie ako inverzné funkcie ku goniometrickým, musíme urobiť zúženie ich definičných oborov (budeme uvažovať tzv. parciálne funkcie goniometrických funkcií). Podľa všeobecne platnej konvencie (dohody) postupujme takto: Uvažujme funkciu f 1 (x) = sin x na intervale π 2, π 2, t.j. f 1 : D(f 1 ) = π 2, π 2 H(f 1) = 1, 1. Už vieme, že f 1 je rastúca, spojitá a nepárna na π 2, π 2. Teda, na intervale π 2, π 2 existuje k nej inverzná funkcia a označme si ju ako f 1 (x) = arcsin x, x 1, 1. Z viet o inverznej funkcii, vieme, že je tiež rastúca, spojitá, nepárna na intervale 1, 1 a tiež, že H(f 1 ) = π 2, π 2.

77 Elementárne funkcie Uvažujme funkciu f 2 (x) = cos x na intervale 0, π, t.j. f 2 : D(f 2 ) = 0, π H(f 2 ) = 1, 1. Už vieme, že f 2 je klesajúca a spojitá na 0, π. Teda, na intervale 0, π existuje k nej inverzná funkcia a označme si ju ako f 2 (x) = arccos x, x 1, 1. Z viet o inverznej funkcii, vieme, že je tiež klesajúca, spojitá na intervale 1, 1 a tiež, že H(f 2 ) = 0, π. Uvažujme funkciu f 3 (x) = tg x na intervale ( π 2, π 2 ), t.j. f 3 : D(f 3 ) = ( π 2, π 2 ) H(f3 ) = R. Už vieme, že f 3 je rastúca, spojitá a nepárna na ( π 2, π 2 ). Teda, na intervale ( π 2, π 2 ) existuje k nej inverzná funkcia a označme si ju ako f 3 (x) = arctg x, x R. Z viet o inverznej funkcii, vieme, že je tiež rastúca, spojitá, nepárna na intervale R a tiež, že H(f 3 ) = ( π 2, π 2 ).