Fibonacciho postupnosť a zlatý rez Marta Mlynarčíková, Gymnázium P. O. Hviezdoslava, Kežmarok Úvod Fibonacciho postupnosť ani zlatý rez nie sú zaradené do učebných osnov gymnázia. Napriek tomu je ich vhodné zakomponovať do stredoškolského učiva, pretože sú to témy so silným motivačným nábojom a pritom nenáročné na matematické vedomosti a zručnosti žiakov. Tému som zaradila v oktáve na záver tematického celku Postupnosti, s cieľom ukázať v závere štúdia na gymnáziu aj trochu netradičné využitie matematiky v rôznych oblastiach vedy a umenia. Inšpirovala ma k tomu kniha Dana Browna: Da Vinciho kód, v ktorej som našla na beletriu celkom ojedinelú súvislú časť venovanú danej matematickej téme, pri čítaní ktorej som sama objavila doteraz netušené súvislosti. Priebeh vyučovacej hodiny Začali sme známym príkladom o rozmnožovaní králikov (obr. 1) a na základe neho sme sa dopracovali k rekurentnému vzťahu pre Fibonacciho postupnosť. Táto úvodná motivácia trvala cca 8-10 minút. obr. 1 obr. 2 Potom nasledovalo komentované čítanie celej kapitoly knihy, v ktorej jeden z hlavných hrdinov profesor Langdon spomína na svoju prednášku na Harvarde na tému Symbolika v umení. Niťou celej prednášky je číslo ϕ = 1,618, ktoré sa vo všeobecnosti považuje za najkrajšie číslo vo vesmíre a najohromujúcejšou vlastnosťou tohto čísla je, že predstavuje základný stavebný kameň v prírode. Rozmerové vlastnosti rastlín, zvierat, ba aj ľudí sa so záhadnou presnosťou pridŕžajú pomeru ϕ k 1. Číslo ϕ bolo odvodené z Fibonacciho postupnosti slávnej nielen preto, že súčet dvoch susediacich čísel sa rovnal nasledujúcemu číslu, ale aj preto, že podiel dvoch susediacich čísel sa prekvapujúco rovnal približne číslu ϕ. Túto vlastnosť Fibonacciho postupnosti sme so žiakmi overili.(obr. 2) Pojem zlatého rezu sme ukázali na rozdelení úsečky v pomere 1: φ. Ak rozdelíme úsečku AB dĺžky a bodom C na dve časti dĺžky x a (a - x) tak, aby sa pomer dĺžok väčšej časti x k menšej x a = časti (a - x) rovnal pomeru dĺžky úsečky a k väčšej časti x, teda aby platilo a x x, potom a x hovoríme, že sme zostrojili zlatý rez (bod C) úsečky AB (obr. 3) a pomer x, resp. a x, nazveme zlatým pomerom. Tento pomer označil americký matematik Mark Barr písmenom φ podľa počiatočného písmena mena najslávnejšieho starovekého gréckeho sochára Feidia, ktorý vo svojich dielach 64
zlatý rez používal. Hodnotu môžeme veľmi jednoducho určiť. Zvoľme veľkosť úsečky a = 1 a dosaďme do rovnice zlatého rezu: x 1 a = 1 = 1 x x + x 1 = 0 obr. 3 Ďalšie časti prednášky profesora Langdona sú venované ukážkam toho, že číslo ϕ možno nájsť v biológii, maliarstve, architektúre,... Takmer všetky obrázky, ktoré sú v prednáške spomínané sa dajú nájsť na internete. Z obrázkov som zostavila prezentáciu a cez dataprojektor som ju premietala počas čítania knihy. Na ilustráciu ukážeme niekoľko snímok zo spomínanej prezentácie (obr.4-7) x 2 1 ϕ = = 1,618 x 1 1+ x1 = 2 5 Zlatý rez v prírode Kvety slnečnice Nautilus africký kudu obr. 4 obr. 5 Zlatý rez v umení Zlatý rez v architektúre Cheopsova pyramída Dizajn obsahujúci pentagonálne a hexagonálne tvary používané v mešitách, ktoré boli odvodené zo spojitosti s Fibonacciho postupnosťou a zlatým pomerom Parthenón na Akropole obr. 6 obr. 7 Teraz uvedieme presný prepis časti spomínanej kapitoly knihy, ktorá súvisí s nasledujúcou aktivitou žiakov. 65
Bingo. Na plátne sa začali objavovať obrázky v rýchlom slede borovicové šišky, listy na stonkách rastlín, bunkové delenie hmyzu a na všetkých sa prejavoval rovnaký zákon zlatého rezu. To je úžasné! vykríkol ktosi. Hej, ozval sa iný, ale ako to súvisí s umením? Aha! spomenul si Langdon. Dobre, že ste mi to pripomenuli. Ukázal ďalší obrázok bledý, zažltnutý pergamen so slávnou da Vinciho kresbou nahého muža Vitruviovho muža pomenovaného podľa Marca Vitruvia, vynikajúceho rímskeho architekta, ktorý chválil zlatý rez vo svojom diele De architectura. Nikto neporozumel božskej stavbe ľudského tela lepšie než Leonardo da Vinci. V snahe zmerať presný pomer ľudských kostí exhumoval mŕtvoly. Ako prvý dokázal, že ľudské telo je doslova stvorené zo stavebných kameňov, ktorých vzájomný pomer sa vždy rovná PHI. Študenti sa naňho pochybovačne pozreli. Neveríte? spýtal sa Langdon. Keď sa pôjdete najbližšie sprchovať, vezmite si so sebou meter. Niekoľko študentov, ktorí sa venovali futbalu, sa rozrehotalo. A nielen športovci, pokračoval Langdon, ale všetci. Chlapci i dievčatá. Skúste to. Zmerajte si vzdialenosť od temena hlavy po zem. Potom ju vydeľte vzdialenosťou od pupku po zem. Môžete trikrát hádať, aké číslo vám vyjde. Hádam len nie PHI! vykríkol neveriacky jeden zo športovcov. Presne tak, odvetil Langdon. Jedna celá šesťstoosemnásť tisícin. Mám vám dať ešte jeden príklad? Zmerajte vzdialenosť od pleca po končeky prstov na rukách a vydeľte ju vzdialenosťou od lakťa po končeky tých istých prstov. PHI. Mám pokračovať? Vydeľte vzdialenosť od bokov po zem vzdialenosťou od kolien po zem. Zase PHI. Nech meriate ako meriate, vždy dostanete PHI. Priatelia, my všetci predstavujeme živý hold, ktorý vzdávame zlatému rezu. Langdon aj potme videl, akí sú všetci ohúrení. Pocítil dôverne známe teplo, ktoré sa mu rozlievalo po tele. Kvôli tomu učil. Hodinu sme ukončili tým, že žiaci dostali za úlohu overiť na sebe, či sa pomery dĺžok časti ľudského tela spomínané v knihe naozaj rovnajú číslu ϕ. Namerané hodnoty a ich pomery žiaci doniesli na nasledujúcu hodinu a jedna žiačka sa prihlásila, že tieto údaje spracuje. Aj ďalších žiakov som vyzvala, že pokiaľ ich téma zaujala môžu si pripraviť referáty na tému zlatý rez a číslo ϕ v rôznych oblastiach umenia a vedy a že ak zistia o tejto téme niečo zaujímavé, budeme jej ešte venovať jednu vyučovaciu hodinu asi o dva týždne. Téma žiakov zaujala, čo sa prejavilo už v priebehu 1. hodiny, keď sme čítali ukážku z knihy a záujem o tému potvrdilo aj to, že v priebehu dvoch týždňov si až 11 žiakov pripravilo referát. Týmto referátom bola venovaná ďalšia vyučovacia hodina. Nakoľko referátov bolo veľa a obsahom boli niektoré veľmi podobné nedostali sa všetci žiaci k slovu vybrala som len tie referáty, ktoré obsahovali nové veci, ktoré neboli už na 1. hodine. Pochopiteľne najviac žiakov zaujímalo ako dopadli v triede merania proporcií vlastných tiel, ale zaujímavé boli aj rýdzo geometrické referáty o konštrukcii zlatého rezu na úsečke, o zlatom obdĺžniku, trojuholníku, špirále. Odzneli aj referáty o zlatom reze v hudbe a architektúre. Do aktivity sa zapojili aj žiaci, ktorí v matematike nedosahujú najlepšie výsledky, čo bolo aj jedným z cieľov celej aktivity. Problémy, ktoré sa pri aktivite vyskytli boli spôsobené najmä nedostatkom času v 1. i 2. časti aktivity. Na 1. hodine sme chceli úryvok dočítať, takže v jeho poslednej časti už nebol čas na komentár a diskusiu so žiakmi. V 2. časti by bolo vhodné, aby svoj referát mohli prezentovať všetci žiaci, ktorí si ho pripravili. Plánujem materiály, ktoré som si pripravila použiť aj na matematickom krúžku so žiakmi 1. a 2. ročníka, kde časový problém nebude a môžeme sa problematikou zaoberať tak dlho ako to bude žiakov baviť. 66
Ukážky zo žiackych referátov Oktáva a zlatý rez (Spracovala: Tamara Kurilová, oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006) Najmä v renesancii sa pestovala a udržovala mienka, že najkrajšie sú útvary, v ktorých možno nájsť zlatý rez. Učitelia radili svojim maliarskym učňom konštruovať telo podľa zlatého rezu. Filozofovia zaoberajúci sa estetikou našli na ľudskom tele zlatý rez v pomere dĺžok nad pásom a pod pásom. A tieto časti tela môžeme znovu rozdeliť na dve časti v pomere 0,618 : 1. Hranicami sú ďalšie dve zúženia na ľudskom tele - krk a noha tesne pod kolenom. Zlatý rez je však statická hodnota. Je to akýsi ideálny priemer a každý človek s ním nie je na milimeter totožný. A navyše platí pre akéhosi obojpohlavného človeka, pretože je priemerom hodnôt nameraných u žien i mužov. V skutočnosti je hodnota 0,618 u mužov trochu menšia a u žien väčšia. Dievčatá by mali mať dlhšie nohy a chlapci v pomere k svojej výške viac vyvinutú hornú, hrudnú časť. Stupeň krásy určitej postavy je v tom, ako veľmi sa jej proporcie priblížili k priemerným, resp. normálnym proporciám. Indivíduí s priemernými proporciami je však pomerne málo a u väčšiny ľudí kolíšu okolo tohto priemeru. Priemerné proporcie sú teda základom, z ktorého umelec pri svojej tvorbe musí vychádzať. Pokiaľ si konštruuje alebo používa kánon (vzorové rozmery), musí si uvedomiť, že ide len o jednoduché pravidlo, resp. pomôcku, a to že kánon vyjadruje hodnoty iba blízke priemeru, a že i dobrý kánon sa nehodí na všetky prípady, obzvlášť nie na extrémne. Prakticky sa proporcie skôr cítia, než merajú. Značný význam má štúdium proporcií a použitia správneho kánonu najmä v sochárstve, menej v maliarstve, kde záleží viac na bezprosrednom postrehu umelca, pretože maliar sa stretáva vždy s perspektívnym skreslením tela, čím sa aplikácia kánonu stáva niekedy nemožnou. V historickom slede bolo konštruované veľké množstvo kánonov, z ktorých niektoré mnohé umelecké školy doposiaľ používajú. "Ondrejov kríž" je kánonom rímskeho staviteľa Vitruvia. Podľa neho sa dĺžka rozpätých horných končatín rovná výške tela a je teda možné ľudské telo zakresliť do štvorca. Okolo tejto figúry opísal kružnicu - stred je v pupku - ktorý sa tým stal prirodzeným stredom, nie však poliacim bodom tela. Túto tzv. Vitruviovu figúru používal v renesancii Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer. obr. 8 obr. 9 67
Leonardo da Vinci si tento kánon upravil. Na obrázku proporčnej štúdie Ondrejovho kríža majú obdĺžniky strany v pomere zlatého pomeru. V rovnakom pomere sú umiestnené na ľudskej ruke zápästné kĺby. Adolf Zeissing prehlásil pravidlo zlatého rezu za zákon proporcionality. Podľa neho je vzdialenosť od temena k pupku ku vzdialenosti pupku od podložky v rovnakom pomere ako táto vzdialenosť k výške tela. Zlatý rez platí podľa neho pre všetky časti tela (aj pre končatiny), preto dĺžka predlaktia s rukou je k dĺžke paže v tom istom pomere ako dĺžka celej hornej končatiny k predlaktiu s rukou. Čo sa týka dolnej končatiny, pomer by mal platiť pre dĺžku celej nohy a dĺžku predkolenia... V snahe zistiť, či my, žiaci oktávy, sme tiež proporcionálne krásni, vzali sme do ruky meter a odmerali sme všetky veličiny potrebné na výpočet nižšie uvedených pomerov. Došli sme k záveru, že zistené hodnoty ( po výpočte aritmetického priemeru ) síce nie sú veľmi vzdialené od zlatého pomeru, no zaujímavý je poznatok, že najviac sa vymyká hodnota týkajúca sa dolných končatín. Ešte možno hádam spomenúť, že u chlapcov sa priemerná hodnota pomeru pre ruku odchýlila o dosť viac ako u dievčat. Výsledky však môžu byť ovplyvnené aj tým, že sme nepreskúmali väčšiu vzorku. Všetky hodnoty sú uvedené v tabuľkách. Číslo žiaka DIEVČATÁ pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,66 1,79 1,64 2 1,68 1,62 1,81 3 1,6 1,71 1,57 4 1,7 1,68 1,84 5 1,52 1,35 1,95 6 1,58 1,80 1,90 7 1,66 1,58 1,70 aritmetický priemer 1,628 1,646 1,771 Číslo žiaka CHLAPCI pomer 1 pomer 2 pomer 3 1 1,65 1,61 1,70 2 1,56 1,86 1,88 3 1,66 1,69 1,70 4 1,67 1,70 1,65 5 1,73 1,65 1,91 6 1,53 1,56 1,71 7 1,62 1,63 1,67 8 1,51 1,63 1,98 9 1,60 1,77 1,73 10 1,67 1,59 1,96 11 1,64 1,78 1,61 12 1,60 1,68 1,74 13 1,66 1,71 1,87 14 1,545 1,55 1,72 15 1,8 1,58 1,80 16 1,59 1,91 1,94 aritmetický priemer 1,627 1,681 1,785 Pomer 1 je pomer vzdialenosti od temena po zem ku vzdialenosti od pupku po zem. Pomer 2 je pomer vzdialenosti ramena a koncov prstov ku vzdialenosti od lakťa po konce prstov. Pomer 3 je pomer vzdialenosti bokov po zem a vzdialenosti kolena po zem. Uvediem ešte aritmetické priemery priemerných hodnôt chlapcov a dievčat(p ): P (1)=1,627 P (2)=1,663 P (3)=1,778 Aj keď naše telesné proporcie nespĺňajú úplne ideál, nemusíme zúfať, veď knihy sa neposudzujú podľa obalu a na ľudské vedomosti a povahu zlatý rez hádam žiaden vplyv nemá... =) 68
Zlatý rez v hudbe a staroindickom literárnom jazyku (Spracoval: Michal Gurník. Oktáva, Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku, január 2006) Zlatý rez má v hudbe dosť veľké využitie. Používali ho výrobcovia hudobných nástrojov aj skladatelia. Analýzami Mozartových sonát vedci zistili, že skoro všetky sú rozdelené na dve časti presne podľa zlatého rezu. Je to úmyselné (Mozartova sestra potvrdila, že sa často hral s číslami) alebo to urobil intuitívne? Beethovenova piata symfónia v sebe tiež obsahuje zlatý rez. Slávne motto sa opakuje nielen na začiatku a na konci (takt 601 pred Codou), ale aj v zlatom reze, teda v 372. takte (0,618 diela) a aj na začiatku opakovania, čo je 0,382 tisícin diela. Na klávesnici klavíra je v oktáve 5 čiernych klávesov a 8 bielych, teda spolu 13. Ak vydelíte 13/8 a 8/5, vyjde vám 1,625 a 1,6. Má to však háčik, v oktáve (C, D, E, F, G, A, H, C) sa C opakuje dvakrát. Je to možno kvôli tomu, že C a C sú od seba o oktávu vyššie a možno len preto, že oktáva krajšie znie. Slávny výrobca huslí Stradivari používal zlatý rez pri ich konštrukcii a na umiestnenie f- otvorov, vďaka čomu majú tieto husle taký výnimočný zvuk. Zlatý rez v Sanskrite Sanskrit je staroindický literárny jazyk založený na časomiere. Slová môžu obsahovať krátke (K) a dlhé (D) slabiky. Ak predpokladáme, že jedna dlhá trvá tak dlho ako dve krátke dve doby, môžeme si vytvoriť postupnosť: jedna doba K máme 1 možnosť ako usporiadať slabiky dve doby KK, D 2 možnosti tri doby KKK, DK, KD 3 možnosti štyri doby KKKK, KKD, KDK, DKK, DD 5 možností a ďalej to už asi poznáte Tento objav urobil(a) Acarya Hemacandra v roku 1150 n. l., teda 70 rokov predtým, ako Fibonacci vydal svoju prvú knihu Liber Abaci (1220). Záver Spomínaná kapitola knihy je príkladom toho ako možno aj starším žiakom spestriť vyučovanie beletrizovaným príbehom, ktorý žiaci zvyčajne privítajú - najmä ak boli v mladšom veku odchovaní na matematických rozprávkach. Učiteľ pri vyučovaní často bojuje sám so sebou, či si môže dovoliť zaradiť do vyučovania aj niečo zaujímavé, čo priamo nemá predpísané osnovami a vzdelávacími štandardami, hlavne keď má zvyčajne problém stihnúť prebrať a precvičiť aj základné učivo. Skúsenosti z tejto i podobných aktivít však ukazujú, že je to vhodné a niekedy i dôležitejšie a užitočnejšie ako vypočítať niekoľko typových príkladov na precvičenie učiva. Použité zdroje (vrátane žiackych referátov): 1. Dan Brown: Da Vinciho kód, Slovak Edition Vydavateľstvo SLOVART, s. r. o., Bratislava 2004, str. 101 105 2. http://alife.tuke.sk/index.php?clanok=81 3. http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/fibnat.html 4. http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/p.knott/fibonacci/fibinart.html 5. http://maven.smith.edu/~phyllo/assets/movies/pineapple3.mov 6. http://www.moonstar.com/~nedmay/chromat/fibonaci.htm 69