Μέθοδοι Γραμμικοποίησης Πολυωνυμικών Πινάκων. Επέκταση της Μεθόδου Μεταβλητών Παραγόντων

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Μέθοδοι Γραμμικοποίησης Πολυωνυμικών Πινάκων. Επέκταση της Μεθόδου Μεταβλητών Παραγόντων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΖΑΧΑΡΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Καθηγητής Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2020 1

2

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Μέθοδοι Γραμμικοποίησης Πολυωνυμικών Πινάκων. Επέκταση της Μεθόδου Μεταβλητών Παραγόντων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΖΑΧΑΡΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Καθηγητής Α.Π.Θ Εγκρίθηκε από την τριμέλή εξεταστική επιτροπή την... Καραμπετάκης Νικόλαος Αντωνίου Ευστάθιος Α.Ι.Γ. Βαρδουλάκης Καθηγητής Α.Π.Θ Αναπλ. Καθηγητής ΔΙΠΑΕ 3 Ομότιμος Καθηγητής Α.Π.Θ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Γραμμικοποίηση Πολυωνυμικών Πινάκων είναι ένα πρόβλημα που έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές. Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζονται οι τρόποι γραμμικοποίησης πολυωνυμικών πινάκων. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζονται η Προσθετική Μέθοδος, η Πολλαπλασιαστική Μέθοδος και τέλος η Μέθοδος Μεταθέσεων όπου παρουσιάζεται και μια επέκταση αυτής της μεθόδου από την έρευνα του Σ. Βολογιαννίδη και Ν. Αντωνίου A permuted factors approach for the linearization of polynomial metrices. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Πολυωνυμικός Πίνακας, Γραμμικοποίηση, Προσθετική Μέθοδος Γραμμικοποίησης, Πολλαπλασιαστική Μέθοδος Γραμμικοποίησης, Μέθοδος Μεταθέσεων 4

ABSTRACT The linearization of polynomial matrices is a problem that has preoccupied many researchers. This master s thesis present the methods linearization of polynomial matrices. More specifically the Additive method, the Multiplicative Method and finally the Permuted Factors Method where also presented an extension of this method from the paper of S. Vologiannidis and N. Antoniou A permuted factor approach for the linearization of polynomial matrices. KEY WORDS Polynomial matrices, Linearization, Additive Method of Linearization, Multiplicative Method of Linearization, Permuted Factors Method of Linearization 5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 4 ABSTRACT 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΟΔΕΥΟΥΣΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 8 1.1 Εισαγωγή..8 1.2 Ορισμοί.8 1.3 Συνοδεύουσες Μορφές (Companion Forms).14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 18 2.1 Εισαγωγή 18 2.2 Ο διανυσματικός χώρος L 1 (P)...18 2.3 Ο διανυσματικός χώρος L 2 (P)..23 2.4 Γραμμικοποίηση στον L 1 (P).24 2.5 Συμπεράσματα 31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 32 3.1 Εισαγωγή 32 3.2 Η Πολλαπλασιαστική Μέθοδος Γραμμικοποίησης...34 3.3 Συμπεράσματα 40 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΩΝ 41 4.1 Εισαγωγή 41 4.2 Μια νέα οικογένεια συνοδεύουσων μορφών.41 4.3 Η προσέγγιση της μεθόδου μεταβλητών παραγόντων..48 4.3.1 Operation free γινόμενα στοιχειωδών πινάκων..48 4.3.2 Η νέα μορφή γραμμικοποίησης...58 4.4 Συμπεράσματα 66 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ- ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ 67 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 68 7

Κεφάλαιο 1 ΣΥΝΟΔΕΥΟΥΣΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 1.1 Εισαγωγή Το θέμα της εργασίας είναι οι τεχνικές γραμμικοποίησης πολυωνυμικών πινάκων. Αυτές οι γραμμικοποιήσεις έχουν πολλές εφαρμογές στα πολυωνυμικά προβλήματα των ιδιοτιμών όπως στην ανάλυση κραδασμών, θεωρία ελέγχου, ανάλυση κυκλώματος, ανάλυση ταλαντώσεων κτιρίων, μηχανών, οχημάτων κ.τ.λ.. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών είναι το πρόβλημα της μορφής P(λ)x=0, όπου P(λ) = Α k λ k + Α k 1 λ k 1 + + Α 0, Α i Ϝ pxp όπου F είναι το σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών. Σκοπός είναι να μετασχηματιστεί το αρχικό πρόβλημα ιδιοτιμών σε ένα γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών της μορφής L(λ)z=(λX+Y)z=0 με τις ίδιες ιδιοτιμές. Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε τις κλασικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών προβλημάτων ιδιοτιμών για να λύσουμε το πρόβλημα. Αναπτύχθηκαν πολλές μέθοδοι γραμμικοποίησης πολυωνυμικών πινάκων με την πιο διαδεδομένη την πρώτη και δεύτερη συνοδεύουσα μορφή (first and second Companion form). Λόγω όμως πολλών μειονεκτημάτων μας οδήγησαν στην δημιουργία νέων μεθόδων γραμμικοποιήσεων πολυωνυμικών πινάκων με τις ίδιες ιδιότητες των συνοδεύουσων μορφών. Οι τρεις τεχνικές γραμμικοποίησης των πολυωνυμικών πινάκων είναι η προσθετική μέθοδος, η πολλαπλασιαστική μέθοδος και η μέθοδος των μεταθέσεων όπου στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε και μια επέκταση αυτής της μεθόδου. Θα παρουσιάσουμε πρώτα κάποιους σημαντικούς ορισμούς τους οποίους θα χρειαστούμε στην συνέχεια. 1.2 Ορισμοί Μελετάμε τους τετραγωνικούς πολυωνυμικούς πίνακες της μορφής P(λ) = A k λ k + A k 1 λ k 1 + + A 0, A i Ϝ pxp, (1.1) όπου F είναι το σώμα των μιγαδικών ή πραγματικών αριθμών και k είναι ο βαθμός του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). Ορισμός 1. [13] Βαθμός ενός πολυωνυμικού πίνακα P(λ) R[λ] nxn ονομάζεται ο μέγιστος βαθμός των πολυωνύμων του πίνακα και συμβολίζεται με deg(p(λ)). Ορισμός 2. [13] Ένας πολυωνυμικός πίνακας P(λ) R[ λ] nxn ονομάζεται κανονικός (regular) αν-ν det(p(λ)) 0 για κάθε λ C. Διαφορετικά λέγεται μη κανονικός ή ιδιάζων (singular) Ορισμός 3. [13] Ένας πόλυωνυμικός πίνακας P(λ) R[λ] nxn έχει αντίστοφο αν det(p(λ)) 0 R[λ] nxn. Τότε ο αντίστροφος του θα είναι: P(λ) 1 = 1 det(p(λ)) AdjP(λ) R[λ]nxn (1.2) 8

Παρατήρηση: Ο αντίστροφος του P(λ) δεν είναι πάντα πολυωνυμικός πίνακας. Ορισμός 4. [13] Ένας κανονικός πολυωνυμικός πίνακας P(λ) R[λ] nxn ονομάζεται μονομετρικός (unimodular) στον δακτύλιο των πολυωνυμικών πινάκων, αν-ν ο αντίστροφος του είναι επίσης πολυωνυμικός πίνακας ή ισοδύναμα αν-ν ή ισοδύναμα αν det(p(λ)) 0 (1.3) rank(p(λ)) = n (1.4) για κάθε λ C. Τότε υπάρχει P (λ) R[λ] nxn τέτοιος ώστε P(λ)P (λ) = Ι n (1.5) Ορισμός 5. [13] Ας είναι P(λ) R[λ] nxn ένας κανονικός πίνακας. Αν υπάρχει τιμή λ 0 C τέτοιο ώστε det(p(λ 0 ))=0 τότε θα ονομάζεται ιδιοτιμή (eigenvalue) του πίνακα P(λ). Παράδειγμα 1. Έστω Α(s)=[ s3 3s + 5 s + 2 s 2 1 ], B(s) = [s3 + 2s 2 + 5 s + 2 s 2 1 ] Τότε det(a(s))= 2s 2 3s + 5, det(a(s))=0 s 1 = 1, s 2 = 5 2 Α(s). που είναι οι ιδιοτιμές του Ενώ det(b(s))=5 οπότε ο B(s) δεν έχει ιδιοτιμές και είναι ένας unimodular πίνακας. Οπότε στους κανονικούς πολυωνυμικούς πίνακες, οι ιδιοτιμές είναι οι ρίζες του πολυωνύμου det(p(λ)). Έστω l i οι ρίζες της det(p(l i ))=0 με πολλαπλότητες αντίστοιχα m i όπου i=1,2,,l, l i=1 m i = k. Οι δείκτες m i ονομάζονται αλγεβρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών l i για i=1,2,.,l. Το σύνολο U li = {x C k : P(l i )x = 0} ονομάζεται ιδιοχώρος του P(λ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή l i και η διάσταση του χώρου ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής l i. Ορισμός 6. [13] Ας είναι ένας πολυωνυμικός πίνακας P(λ) R[λ] nxn, l C μια ιδιοτιμή του P(λ) και ένα διάνυσμα x C n τέτοιο ώστε P(l)x = 0. Το διάνυσμα x ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα του P(λ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή l. Ενώ αν υπάρχει y C n τέτοιο ώστε yp(l) = 0 ονομάζεται αριστερό ιδιοδιάνυσμα του P(λ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή l. Θα παρουσιάσουμε σε αυτό το σημείο τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σ ένα πολυωνυμικού πίνακα P(λ). [20] Αυτές είναι: 1. Πολλαπλασιασμός της γραμμής με έναν αριθμό α 0. 2. Πρόσθεση στην γραμμή μιας άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένη με ένα αυθαίρετο πολυώνυμο b(s). 3. Ανταλλαγή δύο γραμμών. 9

Αυτές οι λειτουργίες ισοδυναμούν με τον πολλαπλασιασμό του P(λ) στα αριστερά των πινάκων S 1, S 2, S 3 αντίστοιχα 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 b(s) 0 S 1 = 0 α 0, S 2 = 0 0, 0 0 0 0 [ 0 1] 0 0 [ 0 1] 1 0 0 0 0 0 1 0 S 3 = 0 0 0 1 0 0 0 0 [ 0 1] Οι παραπάνω λειτουργίες ονομάζονται δεξιές στοιχειώδεις λειτουργίες. Ομοίως οι δεξιές στοιχειώδεις λειτουργίες είναι: 1. Πολλαπλασιασμός της στήλης με έναν αριθμό α 0. 2. Πρόσθεση στην στήλη μιας άλλης στήλης πολλαπλασιασμένη με ένα αυθαίρετο πολυώνυμο b(s). 3. Ανταλλαγή δύο στηλών. Τώρα οι πίνακες θα είναι: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 S 1 = 0 a 0, S 2 = 0 0, 0 0 0 b(s) 0 [ 0 1] 0 0 [ 0 1] 1 0 0 0 0 0 1 0 S 3 = 0 0 0 1 0 0 0 0 [ 0 1] Οι πίνακες S 1, S 2, S 3 ονομάζονται στοιχειώδεις πίνακες και είναι όλοι unimodular. Ορισμός 7. [13] Δύο πολυωνυμικοί πίνακες P 1 (λ), P 2 (λ) R[λ] nxm ονομάζονται ισοδύναμοι στο C αν υπάρχει ένας unimodular πίνακας U L (λ) R[λ] nxn και U R (λ) R[λ] mxn έτσι ώστε U L (λ)p 1 (λ)u R (λ) = P 2 (λ) (1.6) 10

Η παραπάνω σχέση ισοδυναμίας συμβολίζεται με Ε C. Έτσι όταν δύο πίνακες P 1 (λ), P 2 (λ) είναι ισοδύναμοι στο C θα γράφουμε [P 1 (λ), P 2 (λ)] Ε C. Η κλάση ισοδυναμίας Ε C του πίνακα P(λ) συμβολίζεται με [P(λ)] Ε C. Ορισμός 8.[13] Έστω P(λ) R[λ] nxm με rank P(λ)=r, r min{n,m}. Τότε ο P(λ) είναι C ισοδύναμος με ένα διαγώνιο πίνακα S P(λ) (λ) R[λ] nxm που έχει την μορφή: C S P(λ) (λ) = diag[ε 1 (λ), ε 2 (λ),, ε r (λ), 0 m r,n r ] (1.7) και ονομάζεται Smith μορφή στο C του P(λ), όπου ε i (λ) R[λ], έχουν μεγιστοβάθμιο συντελεστή την μονάδα, είναι πρώτα μεταξύ τους και ικανοποιούν τις σχέσεις ε i (λ)/ε i+1 (λ). Τα πολυώνυμα ε i (λ) αποτελούν τα αναλλοίωτα πολυώνυμα του P(λ). Ορισμός 9.[13] Έστω P(λ) R[λ] nxm. Τότε τα μηδενικά του πολυωνυμικού πίνακα P(λ) ορίζονται ως τα μηδενικά των πολυωνύμων ε i (λ), i r, που ορίστηκαν από την σχέση (1.7). Παράδειγμα 2. Έστω Α(s)=( s2 + s s 2 1 ) θα υπολογίσουμε την Smith μορφή του. s + 1 s + 1 Μεταξύ των στοιχείων του A(s) διαλέγουμε αυτό με την ελάχιστη τάξη και με εναλλαγές γραμμών το πηγαίνουμε στην θέση (1,1) α 11 (s). Στο παράδειγμα μας αυτό είναι το s+1 οπότε θα αλλάξουμε την πρώτη με την δεύτερη γραμμή. Έτσι έχουμε: ( 0 1 1 0 ) U 1 ( s 2 + s s 2 1 s + 1 s + 1 ) = ( s + 1 s + 1 s 2 + s s 2 1 ) Βρίσκουμε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των πολυωνύμων α 21 (s), α 12 (s) με το α 11 (s). Άρα α 21 (s)= s 2 + s = (s + 1)s και α 12 (s)=s+1=(s+1) 1. Όλα τα υπόλοιπα είναι μηδέν και αφαιρούμε την δεύτερη γραμμή από την πρώτη πολλαπλασιασμένη με το s. ( 1 0 s 1 ) U 2 ( s + 1 s + 1 + 1 s + 1 s 2 + s s 2 ) = (s 1 0 s 1 ) Αφαιρούμε την δεύτερη στήλη από την πρώτη πολλαπλασιασμένη με 1. s + 1 s + 1 ( 0 s 1 ) (1 1 0 1 ) s + 1 0 = ( 0 s 1 ) V 1 Πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη γραμμή με -1. ( 1 0 0 1 ) U 3 ( s + 1 0 0 s 1 ) = (s + 1 0 0 s + 1 ) = S C A(s) C S A(s) (s) = U L (s)a(s)u R (s), όπου U L (s)= U 3 U 2 U 1 = ( 0 1 1 s ) και U R (s) = V 1 = ( 1 1 0 1 ). 11

Ορισμός 10.[13] Αν λ j C, j = 1,2,, v είναι διαφορετικά μεταξύ τους μηδενικά του πολυωνυμικού πίνακα P(λ), τότε τα αναλλοίωτα πολυώνυμα ε i (λ) μπορούν να γραφούν ως ε i (λ) = v j=1 (λ λ j ) m ij (1.8) και οι όροι (λ λ j ) m ij ονομάζονται πεπερασμένοι στοιχειώδεις διαιρέτες (finite elementary divisors) του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). Ορισμός 11. [13] Για τον πολυωνυμικό πίνακα P(λ) όπως περιγράφεται στην σχέση (1.1), ο δυϊκός του (dual) θα είναι ο πολυωνυμικός πίνακας της μορφής k revp(λ) λ k P ( 1 ) = λ i=0 λi P k i (1.9) Οι μη μηδενικές ιδιοτιμές του revp(λ) είναι οι αντίστροφες των ιδιοτιμών του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). Ορισμός 12.[13] Οι στοιχειώδεις διαιρέτες στο άπειρο του πολυωνυμικού πίνακα P(λ), ορίζονται ως οι στοιχειώδεις διαιρέτες του δυϊκού του revp(λ) όταν λ=0. Οι πεπερασμένοι στοιχειώδεις διαιρέτες του revp(λ) είναι της μορφής λ σ i, 0 σ 1 σ n. (1.10) Ο συνολικός αριθμός των άπειρων στοιχειωδών διαιρετών είναι p= n i=1 σ ι. Πρόταση 1. Έστω ο κανονικός πολυωνυμικός πίνακας P(λ) της μορφής (1.1). Τότε ο συνολικός αριθμός των στοιχειώδων διαιρετών ( πεπερασμένων και άπειρων ) είναι ίσος με kn, δηλαδή r+q=kn, όπου r είναι το πλήθος των πεπερασμένων στοιχειωδών διαιρετών του πολυωνυμικού πίνακα μετρώντας την πολλαπλότητα (order accounted form) και q είναι το πλήθος των στοιχειωδών διαιρετών στο άπειρο. Στόχος μας λοιπόν είναι η επίλυση του προβλήματος των ιδιοτιμών του P(λ). Ο κλασικός τρόπος για να λύσεις το πολυωνυμικό πρόβλημα ιδιοτιμής είναι η μέθοδος γραμμικοποίησης του P(λ) σε ένα πρωτοβάθμιο πολυωνυμικό πίνακα L(λ)=λX+Y C knxkn, λύνοντας το γενικό πρόβλημα ιδιοτιμής L(λ)x=0 και την εύρεση ιδιοδιανυσμάτων του P(λ) από αυτά του L(λ). Ορισμός 13. [2] Ο L(λ)=λX+Y C knxkn είναι γραμμικοποίηση του P(λ) αν υπάρχουν οι unimodular U(λ) και V(λ) τέτοιοι ώστε U(λ)L(λ)V(λ) = [ P(λ) 0 0 I (k 1)n ] (1.11) Ως εκ τούτου η det(l(λ)) συμφωνεί με την det(p(λ)) μέχρι ένα μη μηδενικό σταθερό πολλαπλασιαστή, έτσι οι L(λ) και P(λ) έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές και τα ίδια ιδιοδιανύσματα. Ορισμός 14. [2] Ο πίνακας L(λ)=λX+Y C knxkn ονομάζεται πρωτοβάθμιος πίνακας (Pencil Matrix) και είναι χρήσιμος στα προβλήματα ιδιοτιμής. 12

Ορισμός 15[4] (Γινόμενο Kronecker). Έστω Α ένας n x m πίνακας και Β ένας p x q πίνακας, τότε το γινόμενο Kronecker A B είναι ο mp x nq block πίνακας α 11 Β α 1n B Α Β = [ ]. a m1 B a mm B Παράδειγμα 3: [ 1 2 3 4 ] [0 5 1 [ 0 5 6 7 ] = [ 6 7 ] 2 [0 5 6 7 ] 3 [ 0 5 6 7 ] 4 [0 5 ] = 6 7 ] 1 0 1 5 2 0 2 5 1 6 1 7 2 6 2 7 = [ ] 3 0 3 5 4 0 4 5 3 6 3 7 4 6 4 7 0 5 0 10 6 7 12 14 = [ ] 0 15 0 20 18 21 24 28 Ακόμα I = I n είναι ο ταυτοτικός πίνακας, R = R k συμβολίζει τον k x k αντίστροφο ταυτοτικό και N = N k είναι ο σταθερός k x k Jordan block πίνακας. R = R k = [ 1 1 ] και Ν = Ν k = [ 0 1 0 1 0 ]. (1.12) Το διάνυσμα [λ k 1 λ k 2 λ 1 ] Τ F k των φθίνουσων δυνάμεων του λ συμβολίζεται με Λ. Έτσι Λ(r) = [r k 1 r k 2 r 1] T. (1.13) Συμβολίζουμε το γινόμενο Kronecker με, και οι unimodular πολυωνυμικοί πίνακες Τ(λ) = 1 λ λ 2 λ k 1 1 λ 1 λ k 1 1 λ 2 Ι και G(λ) = [ ] Ι. (1.14) 1 λ λ [ 1 ] 1 Παρατηρούμε ότι η τελευταία block στήλη του G(λ) είναι Λ Ι και ότι το P(λ) μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως P(λ) = [ Ι λι Ι Ι Ι ] [ Ι Ι λι Ι Ι ] [ Ι Ι λι Ι Ι ]. (1.15) Υπάρχουν πολλές δυνατότητες επιλογής των πινάκων X και Y έτσι ώστε ο L(λ) να είναι μια γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). Οι γραμμικοποιήσεις μοιράζονται την ίδια 13

δομή πεπερασμένου διαιρέτη με τον πολυωνυμικό πίνακα P(λ). Στην βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές γραμμικοποίσεις με τις πιο συνηθισμενες να είναι οι συνοδεύουσες μορφές (companion forms) και ιδιαίτερα την πρώτη και την δεύτερη συνοδεύουσα μορφή (first and second companion forms). Οι μορφές αυτές των γραμμικοποίησεων χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη λόγω της απλής κατασκευής τους και των πολλών εφαρμογών που έχουν. 1.3 Συνοδεύουσες Μορφές (Companion Forms) Θεωρούμε τον πολυωνυμικό πίνακα της μορφής P(λ) = A k λ k + A k 1 λ k 1 + + A 0, P i C pxp. Ο πολυωνυμικός πίνακας P(λ) είναι κανονικός και τότε θα ισχύει det(p(λ)) 0 για κάθε λ C. Ο πολυωνιμικός πίνακας P(λ) σχετίζεται με έναν σημειακό πίνακα (pencil matrix) C 1 (λ) = λx 1 + Y 1, όπου X 1 = Α 0 0 0 0 I p 0 [ 0 0 I p] και Y 1 = Α k 1 Α k 2 Α 0 I p 0 0 [ 0 I p 0 ] (1.16) είναι γνωστή ως πρώτη συνοδεύουσα μορφή του P(λ). Η πρώτη συνοδεύουσα μορφή είναι μια γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ), όταν υπάρχουν οι unimodular πίνακες U(λ), V(λ) τέτοιοι ώστε C 1 (λ) = U(λ)diag{P(λ), I p(n 1) }V(λ). (1.17) Το συμπέρασμα που βγαίνει από την παραπάνω σχέση είναι ότι η πρώτη συνοδεύουσα μορφή έχεις τους ίδιους πεπερασμένους και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες με τον P(λ). Επιπλέον προκύπτει και ο ακόλουθος ορισμός. Ορισμός 16.[21] Ένας πολυωνυμικός πίνακας θα λέγεται ότι είναι αυστηρά ισοδύναμος με έναν πρωτοβάθμιο πίνακα αν-ν έχουν τους ίδιους άπειρους και πεπερασμένους στοιχειώδεις διαιρέτες. Αντίστοιχα αποτελέσματα προκύπτουν και με την δεύτερη συνοδεύουσα μορφή του P(λ) η οποία ορίζεται ως εξής Α 0 0 0 0 I C 2 (λ) p = λx 2 + Y 2, όπου X 2 = και 0 [ 0 0 I p] Y 2 = Α κ 1 I p 0 Α κ 2 0. I p [ Α 0 0 0 ] Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι det P(λ) = det C 1 (λ) = det C 2 (λ), οπότε οι σημειακοί πίνακες C 1 (λ), C 2 (λ) είναι κανονικοί αν-ν ο P(λ) είναι κανονικός. 14

Παράδειγμα 4. Έστω P(λ) = [ 1 λ 2 1 λ 1 λ 3 1 ] = [0 0 0 1 ] λ3 + [ 0 1 0 0 ] λ2 + [ 0 0 1 0 ] λ + [ 1 1 1 1 ] = Α 3λ 3 + Α 2 λ 2 + Α 1 λ + Α 0. Αρχικά θα βρούμε τις ιδιοτιμές του P(λ). Άρα οι ιδιοτιμές είναι λ 1 = 1, λ 2 = 2. Θα βρούμε τα δεξιά ιδιοδιανύσματα του P(λ). det P(λ) = λ 2 + λ 2 P(λ)x = 0 [ 1 λ 2 1 λ 1 λ 3 1 ] [x 1 x ] = [ 0 2 0 ] x 1 + (λ 2 1)x 2 = 0 (λ 1)x 1 + (λ 3 1)x 2 = 0 Δεξιά ιδιοδιανύσματα για λ=1 τότε από το σύστημα βγαίνει x 1 = 0. Έτσι θέτοντας x 2 = t, t R προκύπτουν x 1 = [ 0 t ], t R Δεξιά ιδιοδιανύσματα για λ=-2 τότε από το σύστημα προκύπτει x 1 = 3x 2. Έτσι θέτοντας x 2 = t προκύπτει x 2 = [ 3t t ], t R Θα βρούμε τα αριστερά ιδιοδιανύσματα του P(λ). yp(λ) = 0 [y 1 y 2] [ 1 λ 2 1 λ 1 λ 3 ] = [0 0] 1 y 1 + (λ 2 1)y 2 = 0 (λ 1)y 1 + (λ 3 1)y 2 = 0 Αριστερά ιδιοδιανύσματα για λ=1 τότε από το σύστημα βγαίνει y 1 = 0. Έτσι θέτοντας y 2 = t, t R προκύπτουν y 1 = [0 t], t R Αριστερά ιδιοδιανύσματα για λ=-2 τότε από το σύστημα βγαίνει y 1 = 5 0 = 0. Έτσι θέτοντας y 2 = t, t R προκύπτουν y 2 = [0 t], t R Θα βρούμε την Smith μορφή του P(λ). S P(λ) (λ) = [ 1 0 0 λ 2 + λ 2 ]. Άρα ο P(λ) έχει δύο μηδενικά 1,-2 και δύο πεπερασμένους στοιχειώδεις διαιρέτες τους (λ-1) και (λ+2). Επειδή det A 3 = 0 δηλαδή ο μεγιστοβάθμιος πίνακας Α 3 είναι ιδιάζων, τότε ο P(λ) θα έχει άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες στο άπειρο. Για να τους βρούμε θα πρεπει πρώτα να βρούμε το δϋικό πίνακα του P(λ). revp(λ) = [ 1 1 1 1 ] λ3 + [ 0 0 1 0 ] λ2 + [ 0 1 0 ] λ + [0 0 0 0 1 ] = 15

[ λ 3 + λ λ 3 + λ 2 λ 3 + 1 ]. λ 3 Τότε η Smith του revp(λ) για λ=0 θα είναι S revp(λ) (λ) = [ 1 0 0 λ 4 /2 ]. Βρίσκουμε την πρώτη συνοδεύουσα μορφή του P(λ) η οποία είναι C 1 (λ) = λχ 1 + Υ 1 = λα 3 + Α 2 Α 1 Α 0 Α 3 0 0 Α 2 Α 1 Α 0 [ Ι 2 λι 2 0 ] = λ [ 0 Ι 2 0 ] + [ Ι 2 0 0 0 Ι 2 λι 2 0 0 Ι 2 0 Ι 2 0 Ιδιοτιμές: 1,-2. = λ = Η Smith μορφή του C 1 (λ) είναι [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 [ 0 0 0 0 0 1] + 0 1 0 0 1 1 0 λ 1 0 1 1 1 0 λ 0 0 0 0 1 0 λ 0 0 0 0 1 0 λ 0 0 0 0 1 0 λ ] detc 1 (λ) = λ 2 + λ 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 S C1 (λ)(λ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 [ 0 0 0 0 0 λ 2 + λ 2] ] 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [ 0 0 0 1 0 0 ] Παρατηρούμε ότι η πρώτη συνοδεύουσα μορφή C 1 (λ) έχει δύο μηδενικά τα 1, -2 και δύο πεπερασμένους στοιχειώδεις διαιρέτες τους (λ-1), (λ+2). Επειδή detx 1 = 0 δηλαδή ο μεγιστοβάθμιος πίνακας της C 1 (λ) είναι ιδιάζων θα έχει και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες. Η δεύτερη συνοδεύουσα μορφή του P(λ) θα είναι C 2 (λ) = λχ 2 + Υ 2 = λα 3 + Α 2 Ι 2 0 [ Α 1 λι 2 Ι 2 ] = Α 0 0 λι 2 Α 3 0 0 Α 2 Ι 2 0 λ [ 0 Ι 2 0 ] + [ Α 1 0 Ι 2 ] = 0 0 Ι 2 Α 0 0 0 16

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 λ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 + 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 1] [ 1 1 0 0 0 0 ] 0 1 1 0 0 0 0 λ 0 1 0 0 0 0 λ 0 1 0 1 0 0 λ 0 1 1 1 0 0 λ 0 [ 1 1 0 0 0 λ ] detc 2 (λ) = λ 2 + λ 2 Ιδιοτιμές: 1,-2 Η Smith μορφή του C 2 (λ) είναι 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 S C2 (λ)(λ) = 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 1 0 [ 0 0 0 0 0 λ 2 + λ 2] Παρατηρούμε ότι η C 2 (λ) έχει δυο μηδενικά τα 1,-2 και δύο πεπερασμένους στοιχειώδεις διαιρέτες τους (λ 1), (λ + 2). Επειδή detx 2 = 0 δηλαδή ο μεγιστοβάθμιος πίνακας της C 2 (λ) είναι ιδιάζων θα έχει και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες. Από το προηγούμενο παράδειγμα παρατηρούμε ότι ο πολυωνυμικός πίνακας P(λ), η πρώτη και η δεύτερη συνοδεύουσα μορφή έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, τα ίδια ιδιοδιανύσματα, τα ίδια πεπερασμένα μηδενικά και τους ίδιους πεπερασμένους και άπειρους στοιχειώδεις διαιρέτες. 17

Κεφάλαιο 2 ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 2.1 Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι για την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών της μορφής P(λ)x=0 επιλέγουμε την μέθοδο της γραμμικοποίησης όπου μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα της μορφής L(λ)z = (λχ + Υ)z = 0 και χρησιμοποιούμε τις κλασικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών προβλημάτων ιδιοτιμών. Οι πιο διαδεδομένες μέθοδοι γραμμικοποίησης όπως είδαμε είναι η 1 η και 2 η συνοδεύουσα μορφή. Λόγω της ευκολίας κατασκευής τους οι συνοδεύουσες μορφές χρησιμοποιούνται πιο συχνά όμως έχουν και ένα σημαντικό μειονέκτημα. Αυτό είναι ότι δεν διατηρούν τις δομικές ιδιότητες του πίνακα P όπως είναι για παράδειγμα η συμμετρία. Έτσι χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους μπορούμε να εξάγουμε κάποια αποτελέσματα τα οποία δεν έχουν κάποια φυσική σημασία ή δεν μπορούν να ερμηνευτούν. Είναι πολύ σημαντικό λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους οι οποίες θα διατηρούν την δομή του αρχικού πολυωνυμικού πίνακα και θα έχουν όσες περισσότερες ιδιότητες των συνοδεύουσων μορφών. Έτσι έχοντας σαν πρότυπο τις δύο αυτές μεθόδους συσχετίζουμε τον αρχικό πολυωνυμικό πίνακα με δύο μεγάλους διανυσματικούς χώρους δεσμών που συμβολίζονται με L 1 (P), L 2 (P). Θα ορίσουμε δύο νέες πράξεις, το μετατοπισμένο κατά στήλη άθροισμα και το μετατοπισμένο κατά γραμμή άθροισμα. Αυτές οι πράξεις στηρίζονται στην πρόσθεση πινάκων γι αυτόν το λόγο ονομάστηκε έτσι και αυτή η μέθοδος. 2.2 Ο διανυσματικός χώρος L 1 (P) Θυμόμαστε ξανά τον ορισμό της πρώτης συνοδεύουσας μορφής. Η πρώτη συνοδεύουσα μορφή είναι ένας πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας της μορφής C 1 (λ) = λχ 1 + Y 1, όπου A k 1 A k 2 A 0 I X 1 = diag(a k, I (k 1)n ) και Y 1 = [ n 0 0 ]. 0 I n 0 Τότε εισάγουμε τις διανυσματικές μεταβλητές: x 1 = λ k 1 x, x 2 = λ k 2 x,, x k 1 = λx, x k = x (2.1) k στο n x n πολυωνυμικό πρόβλημα ιδιοτιμών P(λ)x = ( i=0 λ i A i )x = 0 προκύπτει Α k (λx 1 ) + A k 1 x 1 + A k 2 x 2 + + A 1 x k 1 + A 0 x k = 0. 18

Τότε με τις σχέσεις (2.1) μεταξύ διαδοχικών μεταβλητών, μπορεί να εκφραστεί σαν το kn x kn γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών: λ [ ( Α k 0 0 0 I n ] + [ 0 0 0 I n Έτσι η λύση της (2.1) μπορεί να έχει την μορφή: Α k 1 A k 2 A 0 I n 0 0 0 I n 0 C 1 (λ) ) x 1 λ k 1 x [ x ] = [ ] = Λ x k 1 λx x k x ] x 1 [ x k 1 ] = 0. (2.2) x k για κάποιο x F n. Για να λύσουμε την (2.2) θα επικεντρωθούμε στα γινόμενα της μορφής C 1 (λ) (Λ x). Όμως C 1 (λ) (Λ x) = [(P(λ)x) T 0 0 ] T για όλα τα x F n (2.3) Έτσι κάθε λύση της (2.2) οδηγεί στην λύση του αρχικού προβλήματος P(λ)x = 0. Η (2.3) αφού ισχύει για όλα τα x ισοδυναμεί με : λ k 1 Ι n P(λ) C 1 (λ) (Λ Ι n ) = C 1 (λ) [ ] = [ 0 ] = e λi n 1 P(λ) (2.4) I n 0 Έτσι για να γενικεύσουμε την πρώτη συνοδεύουσα μορφή θεωρούμε τους kn x kn πρωτοβάθμιους πολυωνυμικούς πίνακες L(λ) = λχ + Υ που ικανοποιούν: λ k 1 Ι n υ 1 P(λ) L(λ) (Λ Ι n ) = L(λ) [ ] = [ ] = υ P(λ) (2.5) λi n υ k 1 P(λ) I n υ k P(λ) για κάποιο διάνυσμα υ = [υ 1,, υ k ] T F n. Θεωρούμε το σύνολο: V p = {υ P(λ): υ F k } (2.6) όλων των πιθανών δεξιών μελών της σχέσης (2.5). Έτσι έχουμε τους ορισμούς: Ορισμός 17.[11] L 1 (P) { L(λ) = λχ + Y: X, Y F knxkn, L(λ) (Λ Ι n ) V p }. Ορισμός 18. [11] Θα λέμε ότι το υ είναι το δεξί ansatz διάνυσμα για τον L(λ) όταν L(λ) L 1 (P) και το υ είναι όπως στην σχέση (2.6). Χρησιμοποιούμε τον όρο δεξί ansatz γιατί ο L(λ) πολλαπλασιάζεται από δεξιά με την block στήλη Λ Ι n. Από τις ιδιότητες του Kronecker βλέπουμε ότι ο V p είναι ένας διανυσματικός χώρος ισομορφικός με τον F k και συνεπώς ο L 1 (P) είναι και αυτός διανυσματικός χώρος. Πρόταση 2. [11]Για κάθε πολυωνυμικό πίνακα P(λ), ο L 1 (P) είναι ένας διανυσματικός χώρος στο F. 19

Στην συνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε τους πρωτοβάθμιους πολυωνυμικούς πίνακες του διανυσματικού χώρου L 1 (P) από τον αρχικό πολυωνυμικό πίνακα P(λ). Για να το δείξουμε αυτό θα πρέπει να ορίσουμε μια νέα πράξη στον διανυσματικό χώρο L 1 (P). Ορισμός 19 (Μετατοπισμένο κατά στήλη άθροισμα)[11]. Έστω X και Y τετραγωνικοί k x k block πίνακες X 11 X 1k Y 11 Y 1k X = [ ], Y = [ ], X k1 X kk Y k1 Y kk με X ij, Y ij F nxn. Τότε το μετατοπισμένο κατά στήλη άθροισμα (column shifted sum) των X και Y ορίζεται ως: X 11 X 1k 0 0 Y 11 Y 1k Χ Y = [ ] + [ ], X k1 X kk 0 0 Y k1 Y kk όπου τα μηδενικά blocks είναι επίσης n x n. Σαν παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε την πρώτη συνοδεύουσα μορφή C 1 (λ) = λx 1 + Y 1 του P(λ) = k i=0 λ i Α i το άθροισμα X 1 Y 1 είναι: Α k 0 0 Α k 1 A k 2 A 0 0 I X 1 Y 1 = [ n I ] [ n 0 0 ] 0 0 I n 0 I n 0 Α k 0 0 0 0 Α k 1 A k 2 A 0 0 I = [ n 0 I ] + [ n 0 0 ] 0 0 0 I n 0 0 0 I n 0 Α k A k 1 A 0 0 0 0 = [ ]. 0 0 0 0 Παρατηρούμε επίσης ότι ισχύει Α k A k 1 A 0 1 X 1 Y 1 = [ 0 0 0 0 ] = [ ] [Α 0 k A k 1 A 0 ] 0 0 0 0 το οποίο μοιάζει πολύ με την σχέση που είδαμε προηγουμένως C 1 (λ) (Λ Ι n ) = e 1 P(λ). Έχουμε το επόμενο λήμμα. k Λήμμα 1 [11]. Έστω P(λ) = i=0 λ i Α i ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας και L(λ) = λχ + Y μια kn x kn δέσμη. Τότε για υ F k, (λx + Y) (Λ Ι n ) = υ P(λ) Χ Y = υ [Α k 1 Α 1 Α 0 ] (2.7) και έτσι ο χώρος L 1 (P) μπορεί να χαρακτηριστεί ως L 1 (P) = {λx + Y: Χ Y = υ [Α k 1 Α 1 Α 0 ], υ F k }. (2.8) Η απόδειξη προκύπτει από απευθείας υπολογισμό για αυτό και παραλείπεται. 20

Προκύπτει επίσης και το ακόλουθο θεώρημα. k Θεώρημα 1. [11] Έστω P(λ) = i=0 λ i Α i ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας και υ F k κάποιο διάνυσμα. Τότε το σύνολο των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων στον L 1 (P) με δεξιά ansatz διανύσματα υ αποτελείται από όλες τις L(λ) = λχ + Y, έτσι ώστε: n Χ=[υ A k (k 1)n W] και (k 1)n n Y=[W+(υ [Α k 1 A 1 ] ) υ Α 0 ] με W F kn x (k 1)n το οποίο επιλέγεται τυχαία. Απόδειξη. Θεωρούμε την απεικόνιση M με L 1 (P) M V p η οποία προκύπτει από τον ορισμό του διανυσματικού χώρου L 1 (P) και ορίζεται ως εξής: L 1 (P) M V p L(λ) L(λ)(Λ Ι n ) (2.9) Η απεικόνιση M είναι γραμμική. Για να δείξουμε ότι η Mείναι επί, θεωρούμε ότι υ P(λ) είναι ένα τυχαίο στοιχείο του διανυσματικού χώρου V p και κατασκευάζουμε τα n (k 1)n Χ υ =[υ A k 0] τότε ισχύει ότι και (k 1)n n Y υ =[υ [Α k 1 A 1 ] υ Α 0 ] X υ Y υ = [υ A k 0] [υ [Α k 1 A 1 ] υ Α 0 ] υ 1 Α k 0 0 0 υ 1 Α k 1 υ 1 Α 1 υ 1 Α 0 = [ ] + [ ] υ k A k 0 0 0 υ k A k υ k Α k υ k A 0 υ 1 Α k υ 1 Α k 1 υ 1 Α 1 υ 1 Α 0 υ 1 = [ ] = [ ] [A k A k 1 A 0 ] υ k A k υ k A k 1 υ k Α 1 υ k A 0 υ k = υ [A k A k 1 A 0 ] και από το λήμμα 1 ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας L υ (λ) λχ υ + Y υ είναι μια αντίστροφη εικόνα του υ P(λ) μέσω της απεικόνισης M. Το σύνολο όλων των αντίστροφων εικόνων του υ P(λ) είναι τότε L υ (λ) + kerm. Από το (2.7),ο πυρήνας του M αποτελείται από όλους τους πρωτοβάθμιους πολυωνυμικούς πίνακες λx + Y για τους οποίους ισχύει X Y = 0. Από τον ορισμό όμως του μετατοπισμένου αθροίσματος συνεπάγεται ότι τα X και τα Y θα πρέπει να είναι της μορφής n Χ=[0 (k 1)n W] και (k 1) n n Y=[W 0] όπου W F kn x (k 1)n τυχαίο. Πόρισμα 1. [11] diml 1 (P) = k(k 1)n 2 + k Απόδειξη. Εφόσον M είναι επί, diml 1 (P) = dim KerM + dimv p = k(k 1)n 2 + k Έτσι παρατηρούμε ότι ο L 1 (P) είναι ένας σχετικά μεγάλος υπόχωρος του πλήρους χώρου των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων. Το επόμενο πόρισμα μας δίνει μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος 1 το οποίο παίζει σημαντικό ρόλο στην συνέχεια. 21

Πόρισμα 2. [11] Υποθέτουμε ότι L(λ) = λx + Y L 1 (P) έχει δεξιό ansatz διάνυσμα υ = αe 1. Τότε για κάποια Ζ F (k 1)n x (k 1)n. Χ = [ αα k X 12 0 Z ] και Y = [Y 11 aa 0 Z 0 ] (2.10) Παρατηρούμε ότι η C 1 (λ) ταιριάζει με το μοντέλο του πορίσματος 2 με υ = e 1 και Ζ = I (k 1)n. Μια δεύτερη σημαντική ιδιότητα της συνοδεύουσας μορφής είναι η σχέση μεταξύ των ιδιοδιανυσμάτων της και των πολυωνυμικών πινάκων P που την γραμμικοποιούν. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως στην πρόταση 2 κάθε ιδιοδιάνυσμα της C 1 (λ) έχει την μορφή Λ x, όπου x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του P. Άρα μπορούμε να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα του P παίρνοντας τις τελευταίες n συντεταγμένες των ιδιοδιανυσμάτων της πρώτης συνοδεύουσας μορφής. Άρα στόχος μας είναι να δείξουμε ότι και τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου L 1 (P) έχουν την ίδια ιδιότητα. Θεώρημα 2 (Ιδιότητα ανάκτησης ιδιοδιανύσματος για τον L 1 (P)). [11] Έστω P(λ) ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας βαθμού k και L(λ) μια δέσμη στον L 1 (P) με μημηδενικό δεξιό ansatz διάνυσμα υ. Τότε x C n k είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του P(λ)= i=0 λ i A i με πεπερασμένη ιδιοτιμή λ C εάν και μόνο εάν Λ x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της δέσμης L(λ) με ιδιοτιμή λ. Αν επιπλέον ο πολυωνυμικός πίνακας P(λ) είναι κανονικός και L L 1 (P) είναι μια γραμμικοποίηση του P, τότε κάθε ιδιοδιάνυσμα του L με πεπερασμένη ιδιοτιμή λ είναι της μορφής Λ x για κάποιο ιδιοδιάνυσμα x του P. Απόδειξη. Η πρώτη πρόταση προκύπτει άμεσα από το : L(λ)(Λ x) = L(λ)(Λ I n )(1 x) = (υ P(λ))(1 x) = υ (P(λ)x). Για την δεύτερη πρόταση ας υποθέσουμε ότι λ C είναι πεπερασμένη ιδιοτιμή του L(λ) με γεωμετρική πολλαπλότητα m, και έστω y C kn ένα ιδιοδιάνυσμα του L(λ) το οποίο αναφέρεται στην ιδιοτιμή λ. Αφού το L(λ) είναι μια γραμμικοποίηση του P(λ), η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ του P(λ) είναι επίσης m. Έστω x 1,, x m γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του P(λ) τα οποία αναφέρονται στην ιδιοτιμή λ και ορίζουν y i = Λ x i για i = 1,, m. Τότε τα y 1,, y m είναι γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του L(λ) με ιδιοτιμή λ και επομένως το y πρέπει να είναι γραμμικός συνδυασμός των y 1,, y m. Άρα το y θα είναι της μορφής y = Λ x για κάποιο ιδιοδιάνυσμα x C n του P. Στην παράγραφο αυτή δημιουργήσαμε τον διανυσματικό χώρο L 1 (P) χρησιμοποιώντας την πρώτη συνοδεύουσα μορφή. Ο διανυσματικός αυτός χώρος αποτελεί την γενίκευση της και επιπλέον έχει την σημαντική ιδιότητα να έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον αρχικό πολυωνυμικό πίνακα P(λ). Στην συνέχεια ασχολούμαστε με την δεύτερη συνοδεύουσα μορφή και θα βγάλουμε αντίστοιχα συμπεράσματα. 22

2.3 Ο διανυσματικός χώρος L 2 (P) Η δεύτερη συνοδεύουσα μορφή είναι ένας πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας της μορφής C 2 (λ) = λx 2 + Y 2. Ανάλογα με την (2.4) εκφρασμένο καλύτερα : [λ k 1 I n λi n I n ] C 2 (λ) = [P(λ) 0 0], (Λ I n ) C 2 (λ) = e 1 T P(λ). Έτσι γενικεύοντας την δεύτερη συνοδεύουσα μορφή θεωρούμε το σύνολο όλων των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων L(λ) = λx + Y τα οποία ικανοποιούν την ιδιότητα (Λ Τ I n ) L(λ) = [λ k 1 I n λi n I n ] L(λ) = [w 1 P(λ) w k 1 P(λ) w k P(λ)] = w T P(λ) (2.11) για κάποιο w = [w 1 w k ] T F k. Θεωρούμε τώρα το σύνολο W p = {w T P(λ) w F k } Ορισμός 20. [11] L 2 (P) = {L(λ) = λx + Y: X, Y F kn x kn, (Λ Τ Ι n ) L(λ) W p } Παρατηρούμε ότι και για την δεύτερη συνοδεύουσα μορφή δουλεύουμε όπως και στην πρώτη. Οπότε τα συμπεράσματα θα είναι ανάλογα. Οι αποδείξεις των θεωρημάτων και των λημμάτων είναι ανάλογες με αυτές της πρώτης συνοδεύουσας μορφής. Ορισμός 21 (Αριστερό ansatz διάνυσμα). [11] Θα λέμε ότι το w είναι αριστερό ansatz διάνυσμα για τον L(λ) όταν L(λ) L 2 (P) και για το w ισχύει ότι (Λ Τ Ι n )L(λ) = w P(λ). Ονομάζεται αριστερό γιατί ο L(λ) πολλαπλασιάζεται αριστερά με τον Λ Τ Ι n. Ορισμός 22(Μετατοπισμένο κατά γραμμές άθροισμα). [11] Έστω X και Y πίνακες : X 11 X 1k Y 11 Y 1k X = [ ], Y = [ ], X k1 X kk Y k1 Y kk με blocksx ij, Y ij F n x n. Τότε το μετατοπισμένο κατά γραμμές άθροισμα των X και Y ορίζεται ως: όπου τα μηδενικά blocks είναι επίσης n x n. X 11 X 1k 0 0 X Y = [ Y ] + [ 11 Y 1k ], X k1 X kk 0 0 Y k1 Y kk k Λήμμα 2. [11] Έστω P(λ) = i=0 λ i A i ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας και L(λ) = λx + Y ένας πρωτοβαθμιος πολυωνυμικός πίνακας. Τότε για κάθε w F k ισχύει 23

A k (Λ Τ Ι n ) (λχ + Y) = w T P(λ) X Y = wt [ ] (2.12) A 0 Θεώρημα 3. [11] Θεωρούμε n x n πολυωνυμικό πίνακα P(λ) = i=0 λ i A i και w F k τυχαίο διάνυσμα. Τότε το σύνολο των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων του L 2 (P) με αριστερό ansatz διάνυσμα w αποτελείται από όλα τα L(λ) = λx + Y για τα οποία ισχύει Χ = [ wt A k V ] n (k 1)n και Y = [V + (wt [A k 1 A 1 ]) w T A 0 όπου V F (k 1)n x kn τυχαίο διάνυσμα. k ] (k 1)n n Πόρισμα 3. [11] dim(l 2 (P)) = dim(l 1 (P)) = k(k 1)n 2 + k. Θεώρημα 4 (Ιδιότητα ανάκτησης ιδιοδιανύσματος για τον L 2 (P)). [11] Έστω P(λ) ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας βαθμού k και L(λ) ένας πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας του L 2 (P) με μη-μηδενικό αριστερό ansatz διάνυσμα w. Τότε y C n είναι ένα αριστερό ιδιοδιάνυσμα του P(λ) με πεπερασμένη ιδιοτιμή λ C, εάν και μόνο εάν Λ y είναι ένα αριστερό ιδιοδιάνυσμα της L(λ) με ιδιοτιμή λ. Αν επιπλέον P(λ) είναι κανονικός και L(λ) L 2 (P) είναι μια γραμμικοποίηση του P, τότε κάθε αριστερό ιδιοδιάνυσμα της L με πεπερασμένη ιδιοτιμή λ είναι της μορφής Λ y για κάποιο αριστερό ιδιοδιάνυσμα y του P. Στην παράγραφο αυτή ασχοληθήκαμε με τους δυο διανυσματικούς χώρους L 1 (P)και L 2 (P) και είδαμε ότι αποτελούν μια γενίκευση της πρώτης και της δεύτερης συνοδεύουσας μορφής. Ορίσαμε στους χώρους αυτούς από μια πράξη, το μετατοπισμένο κατά στήλη άθροισμα και τον μετατοπισμένο κατά γραμμή άθροισμα αντίστοιχα. Παρατηρήσαμε ότι οι δύο αυτοί χώροι έχουν την ίδια διάσταση και ακόμη κάποια από τα στοιχεία τους αποτελούν γραμμικοποιήσεις του αρχικού πολυωνυμικού πίνακα P(λ) με τις ίδιες ιδιοτιμές. Στην συνέχεια θα δούμε τις καλύτερες δυνατές επιλογές γραμμικοποίησης. 2.4 Γραμμικοποίηση στον L 1 (P) Δεν είναι όλοι οι πρωτοβάθμιοι πολυωνυμικοί πίνακες στους χώρους L 1 (P) και L 2 (P) γραμμικοποίηση του P(λ). Σε αυτήν την παράγραφο θα ασχοληθούμε με τον L 1 (P) και θα προτείνουμε κριτήρια αν ένας πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας είναι γραμμικοποίηση του P(λ) ή όχι. 2.4.1 Το θεώρημα της ισχυρής γραμμικοποίησης Ξεκινάμε με το αποτέλεσμα που αφορά την ειδική περίπτωση του δεξιού ansatz που αναφέρεται στο πόρισμα 2. Ο πίνακας P δεν είναι απαραίτητα κανονικός. 24

Θεώρημα 5. [11] Υποθέτουμε ότι P(λ) = i=0 λ i A i με Α k 0 ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας και L(λ) = λx + Y L 1 (P) έχει μη-μηδενικό δεξιό ansatz διάνυσμα υ = αe 1 τέτοιο ώστε: Διαμέριση Χ και Y όπως στην (2.10) έτσι ώστε k L(λ) (Λ I n ) = ae 1 P(λ) (2.13) L(λ) = λx + Y = [ αα k X 12 0 Z ] +[Y 11 aa 0 Z 0 ] (2.14) όπου Z F (k 1)n x (k 1)n. Τότε Ζ αντιστρέψιμος συνεπάγεται ότι η L(λ) είναι μία ισχυρή γραμμικοποίηση του P(λ). Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι ο L(λ) είναι γραμμικοποίηση του P(λ). Θεωρούμε τους πίνακες R = R k διάστασης n x n και N = N k διάστασης k x k R = R k = [ 1 1 ] και Ν = Ν k = [ Θεωρούμε επίσης τους αντιστρέψιμους πολυωνυμικούς πίνακες Τ(λ) = 0 1 0 1 0 1 λ λ 2 λ k 1 1 λ 1 λ k 1 1 λ 2 Ι n και G(λ) = [ ] Ι n. 1 λ λ [ 1 ] 1 Παρατηρούμε ότι η τελευταία block στήλη του G(λ) είναι Λ Ι n και ότι ο T(λ) μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως ]. Τ(λ) = G(λ) = [ Ι n λi n I n I n I n ] [ I n I n λi n I n I n ] [ I n I n λι n I n I n ] (2.15) Θα μετατρέψουμε τον L(λ) σε diag(p(λ),ι (k 1)n ), χρησιμοποιώντας τους αντιστρέψιμους πολυωνυμικούς πίνακες Τ(λ) και G(λ). Στο γινόμενο L(λ) G(λ) οι πρώτες k-1 block στήλες είναι ίδιες με του L(λ) γιατί οι τελευταίες block στήλες του G(λ) είναι Λ Ι n και επομένως από την σχέση L(λ) (Λ I n ) = υ P(λ) έχουμε a ap(λ) 0 L(λ) G(λ) = L(λ) (Λ I n ) = υ P(λ) = αe 1 P(λ) = [ ] P(λ) = [ 0 ] 0 0 δηλαδή οι τελευταίες block στήλες του γινομένου L(λ) G(λ) είναι αe 1 P(λ). Χωρίζοντας το Ζ της σχέσης (2.14) σε block στήλες [Ζ 1 Ζ 2 Ζ k 1 ] όπου Ζ i F (k 1)nx n προκύπτει: L(λ) G(λ) = [ Z 1 (Z 2 λζ 1 ) (Ζ κ 1 λζ k 2 ) λζ k 1 ] G(λ) = [ ap(λ) ]. (2.16) Z 1 (Z 2 λζ 1 ) (Ζ κ 1 λζ k 2 ) 0 25

Ακόμη έχουμε = L(λ) G(λ) [ Ι n λi n I n I n I n ] [ L(λ) Τ(λ) I n I n λi n = [ ap(λ) Z 1 (Z 2 λζ 1 ) (Ζ κ 1 λζ k 2 ) 0 ] [ I n Ι n I n ] λi n I n [ I n I n I n I n ] [ λι n I n I n ] I n I n λi n I n I n ] [ I n I n λι n = [ αp(λ) Ζ 0 ]. I n I n ] Πραγματοποιώντας block μεταθέσεις στο L(λ) Τ(λ) δείχνουν ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πολυωνυμικός πίνακας F(λ) τέτοιος ώστε L(λ) F(λ) = [ P(λ) W(λ) 0 Ζ ] για κάποιον πολυωνυμικό πίνακα W(λ). Τώρα αν Ζ είναι αντιστρέψιμος, τότε L(λ) είναι μια γραμμικοποίηση του P(λ), έτσι Ι W(λ)Ζ 1 [ 0 Ζ 1 ] L(λ)F(λ) = [ P(λ) 0 0 Ι ]. (k 1)n Για να δείξουμε ότι L(λ) είναι επίσης μια ισχυρή γραμμικοποίηση του P(λ), απομένει να δείξουμε ότι revl(λ) = λχ + Y είναι μια γραμμικοποίηση του revp(λ). Παρατηρούμε ότι 1/λ k 1 1 λ k 1 Λ ( 1 ) = 1/λ k 2 λ λ λk 1 = = [ 1/λ 1/λ k 2 1 [ 1 ] [ 1/λ k 1 ] 1 ] λ k 1 λ k 2 [ λ 1 ] = R k Λ(λ) (2.17) όπου R k όπως έχουμε δει είναι διάστασης n x n. Στην συνέχεια αντικαθιστούμε το λ με το 1 λ στην σχέση (2.13) και πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη με λ k έχουμε λl ( 1 λ ) (λk 1 Λ ( 1 λ ) Ι n) = ae 1 λ k P( 1 λ ) ή ισοδύναμα από την σχέση (2.17) και τον ορισμό του δυικού πολυωνυμικού πίνακα έχουμε, revl(λ) (R k Λ Ι n ) = ae 1 revp(λ) (2.18) Έτσι θέτουμε L (λ) revl(λ) (R k I n ) και η προηγούμενη σχέση γίνεται L (λ) (Λ Ι n ) = ae 1 revp(λ) (2.19) 26

αυτό σημαίνει ότι L L 1 (revp) από τον ορισμό του διανυσματικού χώρου L 1. Σημειώνουμε ότι ο L (λ) είναι στην ουσία ο revl(λ) = λx + Y με block στήλες των X και Y διατεταγμένα σε αντίστροφη σειρά. Αφού ο L και ο revl είναι ισοδύναμοι πρωτοβάθμιοι πολυωνυμικοί πίνακες η απόδειξη θα ολοκληρωθεί αν δείξουμε ότι λχ + Y L (λ) είναι γραμμικοποίηση για τον revp(λ). Αλλά Χ = Y (R k Ι n ) και Y = X (R k Ι n ) και επομένως από την σχέση (2.14) έχουμε Χ = Y (R k Ι n ) = [ Y 1 11 aa 0 Z 0 ] [ 1 και ] Ι n = [ aa 0 Y 11 (R k 1 Ι n ) 0 Z (R k 1 Ι n ) ] = [aa 0 Χ 12 0 Z ] Y = X (R k Ι n ) = [ aa 1 k X 12 0 Z ] [ ] Ι n = [ X 12 (R k 1 Ι n ) aa k Z (R 1 k 1 Ι n ) 0 ] = [ Y 11 aa k Z 0 ] όπου Χ 12 = Y 11 (R k 1 Ι n ), Y 11 = X 12 (R k 1 Ι n ) και Z = Z (R k 1 Ι n ). Προφανώς ο Z είναι κανονικός αν ο Ζ είναι κανονικός. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που κάναμε στην αρχή της απόδειξης αποδεικνύεται ότι ο L και επομένως και ο revl είναι μια γραμμικοποίηση του revp(λ). Το γεγονός ότι η πρώτη συνοδεύουσα μορφή κάθε πολυωνυμικού πίνακα είναι πάντα μια ισχυρή γραμμικοποίηση, αποτελεί μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου θεωρήματος. Όταν ένας πολυωνυμικός πίνακας P(λ) είναι κανονικός τότε από τον ορισμό της γραμμικοποίησης μπορούμε να πούμε ότι κάθε γραμμικοποίηση του είναι ένας κανονικός πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας. Με το επόμενο θα δείξουμε ότι αρκεί η υπόθεση της κανονικότητας για την γραμμικοποίηση αλλά και την ισχυρή γραμμικοποίηση του P. Θεώρημα 6 (Θεώρημα ισχυρής γραμμικοποίησης). [11] Έστω L L 1 (P) για έναν κανονικό πολυωνυμικό πίνακα P(λ). Τότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (i) (ii) (iii) L(λ) είναι μία γραμμικοποίηση του P(λ). L(λ) είναι ένας κανονικός πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας. L(λ) είναι μια ισχυρή γραμμικοποίηση του P(λ). Απόδειξη. (i) (ii): Αν L(λ) είναι μια γραμμικοποίηση του P(λ) τότε υπάρχουν unimodular πολυωνυμικοί πίνακες Ε(λ), F(λ) τέτοιοι ώστε: Ε(λ)L(λ)F(λ) = [ P(λ) 0 0 Ι (k 1)n ]. Έτσι η κανονικότητα του P(λ) συνεπάγεται τη κανονικότητα του L(λ). (ii) (iii): Αφού L(λ) L 1 (P), γνωρίζουμε ότι L(λ) (Λ I n ) = υ P(λ) για κάποιο υ F k. Όμως L(λ) είναι κανονικός και έτσι υ είναι μη-μηδενικό. Έστω Μ F k x k ένας κανονικός πίνακας τέτοιος ώστε Μυ = αe 1. Τότε ο κανονικός πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας L (λ) = (Μ Ι n )L(λ) ανήκει στον L 1 (P) με δεξιό ansatz διάνυσμα αe 1, αφού 27

L (λ)(λ Ι n ) = ((Μ Ι n )L(λ))(Λ Ι n ) = (Μ Ι n )(υ P(λ)) = Μ υ P(λ) = αe 1 P(λ) Επομένως από το πόρισμα 2 οι πίνακες Χ και Y στην L (λ) λχ + Y έχουν τις μορφές n (k 1)n (k 1)n n Χ = [ αα k X 12 n 0 Z ] (k 1)n και Y = [ Y 12 aa 0 Z 0 ] n (k 1)n Τώρα αν Z ήταν μη αντιστρέψιμος θα υπήρχε ένα μη μηδενικό διάνυσμα w F (k 1)n τέτοιο ώστε w T Z = 0. Όμως αυτό συνεπάγεται ότι [0 w T ](λχ + Y ) = 0 για όλα τα λ F το οποίο έρχεται σε αντίθεση ότι ο L(λ) είναι κανονικός. Έτσι Z είναι αντιστρέψιμος και από το θεώρημα 5 γνωρίζουμε ότι L (λ)και κατά συνέπεια ο L(λ) είναι μια ισχυρή γραμμικοποίηση του P(λ). (iii) (i) Προκύπτει από τον ορισμό της ισχυρής γραμμικοποίησης. Θεώρημα 7 (Ανάκτηση ιδιοδιανύσματος στο ). [11] Έστω P(λ) ένας n x n πολυωνυμικός πίνακας βαθμού k και L(λ) ένας πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας στον L 1 (P) με μη μηδενικό δεξιό ansatz διάνυσμα υ. Τότε x C n είναι ένα δεξιό ιδιοδιάνυσμα του P(λ) με ιδιοτιμή, εάν και μόνο εάν e 1 x είναι δεξιό ιδιοδιάνυσμα της L(λ) με ιδιοτιμή. Εάν επιπλέον P είναι κανονικός και L L 1 (P) είναι μια γραμμικοποίηση του P, τότε κάθε δεξιό ιδιοδιάνυσμα του L με ιδιοτιμή είναι της μορφής e 1 x, για κάποιο δεξιό ιδιοδιάνυσμα x του P με ιδιοτιμή. Απόδειξη. Για κάθε L L 1 (P) ορίζουμε L (λ) revl(λ) (R k I). Τότε ο συλλογισμός που χρησιμοποιήθηκε στο θεώρημα 5 για να πάρουμε την (2.19) μας δείχνει ότι L L 1 (P) L (λ) L 1 (revp) με το ίδιο μη μηδενικό ansatz διάνυσμα υ. Από το θεώρημα 4 γνωρίζουμε ότι x είναι ένα δεξιό ιδιοδιάνυσμα του revp με ιδιοτιμή 0 εάν και μόνο εάν Λ x = e k x είναι ένα δεξιό ιδιοδιάνυσμα του L (λ) εάν και μόνο εάν e 1 x = (R k I)(e k x) είναι ένα δεξιό ιδιοδιάνυσμα του revp. Αυτό αποδεικνύει το πρώτο μέρος του θεωρήματος. Εάν P κανονικός και L L 1 (P) μια γραμμικοποίηση του P, τότε από το θεώρημα 6 L (λ) L 1 (revp) είναι μια γραμμικοποίηση του revp. Το θεώρημα 5 συνεπάγεται ότι κάθε δεξιό ιδιοδιάνυσμα του L με ιδιοτιμή 0 είναι της μορφής e k x, όπου x ένα δεξιό ιδιοδιάνυσμα του revp με ιδιοτιμή 0. Ισοδύναμα κάθε δεξιό ιδιοδιάνυσμα του revp με ιδιοτιμή 0 είναι της μορφής e 1 x για κάποιο δεξιό ιδιοδιάνυσμα x του revp με ιδιοτιμή 0. Αυτό αποδεικνύει και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος. 2.4.2 Συνθήκες γραμμικοποίησης Μέθοδος προσδιορισμού συνθήκης γραμμικοποίησης για έναν πρωτοβάθμιο πολυωνυμικό πίνακα στον L 1 (P). 1) Υποθέτουμε ότι P(λ) είναι κανονικός πολυωνυμικός πίνακας και L(λ)= X + λy L 1 (P) έχει μη μηδενικό δεξιό ansatz διάνυσμα υ F k, δηλαδή L(λ) (Λ Ι n ) = υ P(λ) 2) Επιλέγουμε κάποιο αντιστρέψιμο πίνακα Μ τέτοιο ώστε Μυ = αe 1. 3) Εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο block μετασχηματισμό Μ I n στην L(λ) για να παράγουμε L (λ) (Μ Ι n )L(λ) που πρέπει να έχει την μορφή: 28

L (λ) = λx + Y = λ [ X 11 0 Z ] + [Y 11 Y 12 Z 0 ] (2.20) Όπου X 11 και Y 12 είναι n x n. 4) Βρίσκουμε detz 0, η συνθήκη γραμμικοποίησης για το L(λ). Αξίζει να σημειωθεί ότι η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί ως ένας αριθμητικός αλγόριθμος ελέγχου, εάν ο πολυωνυμικός πίνακας στον L 1 (P) είναι γραμμικοποίηση. X 12 Παράδειγμα 5. Θεωρούμε τον γενικό τετραγωνικό πολυωνυμικό πίνακα P(λ) = λ 2 Α + λβ + C και τους ακόλουθους πρωτοβαθμιους πολυωνυμικούς πίνακες στον L 1 (P): L 1 (λ) = λ [ Α Β + C C C ] + [ A 2B A A B C ], L 2 (λ) Β = λ [0 Α Β C ] + [B 0 C C ]. Εφόσον [ Α Β + C C C Β C ] [ ] = [Α A 2B A A B C A B C ] έχουμε L 1 (λ) L 1 (P) με δεξιό ansatz διάνυσμα υ = [1 1] Τ. Αφαιρώντας το πρώτο στοιχείο από το δεύτερο ανάγεται το υ σε e 1 και η αντίστοιχη γραμμή block πράξη στο Y συνεπάγεται C C Y = [ A B + C 0 ]. Συνεπώς Ζ = A B + C και det(a B + C) = det P( 1) 0 είναι η συνθήκη γραμμικοποίησης. Έτσι L 1 (λ) είναι μια γραμμικοποίηση του P εάν και μόνο εάν λ=-1 δεν είναι μια ιδιοτιμή του P. Από την άλλη για τον L 2 (λ) έχουμε [ 0 Β 0 ] [B Α Β C C C ] = [0 0 0 Α Β C ], Έτσι L 2 (λ) L 1 (P) με υ = [0 1] Τ. Μεταθέτοντας τα στοιχεία του υ προκύπτει το e 1 και εφαρμόζοντας την ανάλογη μετάθεση σε block γραμμές στο Y προκύπτει Y = [ C C B 0 ]. Συνεπώς Ζ = Y 21 = B και έτσι detb 0 είναι η συνθήκη γραμμικοποίησης για τον L 2 (λ). Παράδειγμα 6: Έστω P(λ) = [ λ λ 3 λ λ 1 λ 2 + 1 ] = λ3 [ 0 1 0 0 ] + λ2 [ 0 0 1 ] + λ [1 0 1 1 0 ] + [ 0 0 1 1 ] = λ3 Α 3 + λ 2 Α 2 + λα 1 + Α 0. 1 Τότε L(λ) = λχ + Y, v = [ 0], W = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1] [ και 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 Χ = [v A 3 W] = 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 [ 0 0 0 1 0 1] 29

Y = [W + [v (A 2 A 1 ) v A 0 ] = Άρα L(λ) = λ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 [ 0 0 0 1 0 1] [ 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0. 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 [ 0 1 0 1 0 0] + 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 [ 0 1 0 1 0 0] 0 λ + 1 1 λ 1 0 0 0 1 2 1 λ 1 λ + 1 1 0 λ 1 0 λ 0 0 0 1 0 λ 0 0 1 0 λ 0 λ 0 1 0 λ + 1 0 λ ] Έτσι επιλέγουμε ένα πίνακα Μ τέτοιος ώστε Μυ = αe 1, a = 1 1 1 M [ 0] = 1 [ 0] 0 0 1 0 0 άρα Μ=[ 0 1 0]. 0 0 1 Οπότε Y = (M I n )Y = [ Y 11 Y 12 Z 0 ] άρα Y = Άρα L(λ) είναι γραμμικοποίηση του P(λ). 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 [ 0 1 0 1 0 0] 1 0 1 0 0 0 1 0 Άρα Ζ = [ ] 0 1 0 1 0 1 0 1 det(z) = 2 0 Θεώρημα 8 [11]. Για κάθε κανονικό n x n πολυωνυμικό πίνακα P(λ) βαθμού k, σχεδόν κάθε πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας στον L 1 (P) είναι γραμμικοποίηση του P(λ). Απόδειξη. Έστω d = diml 1 (P) = k + (k 1)kn 2 και έστω L 1 (λ), L 2 (λ),, L d (λ) κάποια σταθερή βάση του L 1 (P). Εφόσον κάθε L(λ) L 1 (P) μπορεί να εκφραστεί μοναδικά σαν ένας γραμμικός συνδιασμός L(λ) = β 1 L 1 (λ) + β 2 L 2 (λ) + + β d L d (λ) μπορούμε να δούμε την det L(λ) σαν έναν πολυωνυμικό πίνακα του οποίου οι συντελεστές c 0, c 1, c 2,, c kn είναι συναρτήσεις των β 1,, β d έτσι ώστε c i = c i (β 1,, β d ). = 30

Από το θεώρημα 6 γνωρίζουμε ότι L(λ) L 1 (P) αποτυγχάνει σαν γραμμικοποίηση του P(λ) εάν και μόνο εάν det L(λ) 0, ισοδύναμα εάν όλοι οι συντελεστές c i είναι μηδέν. Έτσι το υποσύνολο των δεσμών στον L 1 (P), που δεν είναι γραμμικοποιήσεις του P(λ), μπορεί να χαρακτηριστεί σαν το κοινό μηδενικό σύνολο Ζ των πολυωνυμικών πινάκων {c i (β 1,, β d ): 0 i kn}, δηλαδή σαν ένα αλγεβρικό υποσύνολο του F d. Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί αν δείξουμε ότι Ζ είναι κατάλληλο υποσύνολο του F d ή ισοδύναμα ότι υπάρχει κάποιος πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας στον L 1 (P) ο οποίος είναι γραμμικοποίηση του P(λ). Άμεσα φαίνεται ότι η πρώτη συνοδεύουσα μορφή C 1 (λ) του P(λ) ανήκει στον L 1 (P) και είναι πάντα μια γραμμικοποίηση του P(λ). 2.5 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό ασχοληθήκαμε με την προσθετική μέθοδο γραμμικοποίησης. Ορίσαμε δυο διανυσματικούς χώρους τον L 1 (P) και τον L 2 (P) και μια πράξη στον καθένα, το μετατοπισμένο κατά στήλη άθροισμα και το μετατοπισμένο κατά γραμμή άθροισμα αντίστοιχα. Με την βοήθεια των δύο αυτών πράξεων ορίσαμε το σύνολο των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων L(λ) L 1 (P) τα οποία αποδείξαμε ότι είναι μια γραμμικοποίηση και μάλιστα ισχυρή του P(λ). Ακόμη αν ο πολυωνυμικός πίνακας P(λ) είναι κανονικός τότε ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας L(λ) είναι μια ισχυρή γραμμικοποίηση του P(λ). Τέλος δώσαμε τα βήματα της μεθόδου για την εύρεση του πρωτοβάθμιου πολυωνυμικού πίνακα L(λ) ο οποίος αποτελεί γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). 31

Κεφάλαιο 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την πολλαπλασιαστική μέθοδο γραμμικοποίησης πολυωνυμικών πινάκων. Η πολλαπλασιαστική μέθοδος βασίζεται στον διαδοχικό πολλαπλασιασμό πινάκων γι αυτό το λόγο πήρε και το όνομα της. Αρχικά θα ορίσουμε τους δύο πίνακες Α και C. Ο πολλαπλασιασμός τους θα μας δώσει μια ακολουθία πινάκων, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε για να δημιουργήσουμε μια νέα οικογένεια πινάκων. Αυτή θα αποτελεί και την γραμμικοποίηση και του αρχικού πολυωνυμικού πίνακα P(λ). Υποθέτουμε πάντα ότι ο αρχικός πολυωνυμικός πίνακας P(λ) είναι κανονικός. Ακόμα υποθέτουμε ότι ο μεγιστοβάθμιος πίνακας συντελεστής A k του πολυωνυμικού πίνακα P(λ) είναι και αυτός κανονικός. Ορίζουμε Α 1 Α 2 Α k A Α = [ 2 A 3 0 ] και Β: = A k 0 0 [ Α 0 0 0 0 0 Α 2 Α 3 Α k 0 A 3 A 4 0 0 A k 0 0 ] όπου Α 1,, Α k είναι πίνακες συντελεστές του πολυωνυμικού πίνακα P(λ) = k i=0 A i λ i. Θεωρούμε ότι A k είναι κανονικός, δηλαδή detα k 0 και ορίζουμε τον πίνακα 0 I n 0 0 0 0 0 I n 0 0 C 0 0 0 0 I n [ A 1 k A 0 A 1 k A 1 A 1 k A 2 A 1 k A k 2 A 1 k A k 1 ] Θεώρημα 9. [19] Ο πίνακας λi n C είναι γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ) = k i=0 A i λ i, όπου A k 0 και detα k 0. Απόδειξη. Σύμφωνα με τον ορισμό της γραμμικοποίησης για να είναι ο πίνακας λi n C γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ) θα πρέπει να υπάρχουν μονομετρικοί πίνακες E(λ) και F(λ) τέτοιοι ώστε Θεωρούμε τους kn x kn πίνακες E(λ) (λi n C) F(λ) = [ P(λ) 0 0 Ι (k 1)n ] 32

και Ε(λ) = λ k 1 A k + + λα 2 + Α 1 λ k 2 A k + + λα 3 + Α 2 λα k + A k 1 A k I n 0 0 0 0 I n 0 0 [ 0 0 I n 0 ] F(λ) = Ι n 0 0 0 λi n Ι n 0 0 0 0 I n 0 [ 0 0 λi n Ι n ] Οι πίνακες Ε(λ) και F(λ) είναι μονομετρικοί γιατί dete(λ) = ±deta k 0 και detf(λ) = 1. Έχουμε Ε(λ) (λi n C) = λ k 1 A k + + λα 2 + Α 1 λ k 2 A k + + λα 3 + Α 2 λα k + A k 1 A k I n 0 0 0 0 I n 0 0 [ 0 0 I n 0 ] λι n I n 0 0 0 0 λι n I n 0 0 = 0 0 0 λι n I n [ A 1 k A 0 A 1 k A 1 A 1 k A 2 A 1 k A k 2 λi n + A 1 k A k 1 ] P(λ) 0 0 0 λi n Ι n 0 0 0 0 I n 0 [ 0 0 λi n Ι n ] (3.1) Και επίσης έχουμε [ P(λ) 0 0 Ι (k 1)n ] F(λ) = [ λk A k + + A 0 0 0 Ι (k 1)n ] Από τις σχέσεις (3.1) και (3.2) έχουμε ότι P(λ) 0 0 0 λi n Ι n 0 0 0 0 I n 0 [ 0 0 λi n Ι n ] E(λ) (λi n C) = [ P(λ) 0 0 Ι (k 1)n ] F(λ) 33 Ι n 0 0 0 λi n Ι n 0 0 [ 0 0 I n 0 0 0 λi n Ι n ] Επειδή detf(λ) = 1 ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος δηλαδή υπάρχει ο F 1 (λ). Έτσι θα ισχύει = (3.2)

E(λ) (λi n C) F 1 (λ) = [ P(λ) 0 0 Ι (k 1)n ] όπου Ε(λ) και F 1 (λ) είναι μονομετρικοί πίνακες. Άρα ο πρωτοβάθμιος πολυωνυμικός πίνακας (λi n C) είναι γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). 3.2 Η πολλαπλασιαστική μέθοδος γραμμικοποίησης Θεωρούμε τον πολυωνυμικό πίνακα P(λ) = k i=0 A i λ i όπου deta k 0 και τους πίνακες S i = AC i όπου και Α 1 Α 2 Α k A Α = [ 2 A 3 0 ] A k 0 0 0 I n 0 0 0 0 0 I n 0 0 C 0 0 0 0 I n [ A 1 k A 0 A 1 k A 1 A 1 k A 2 A 1 k A k 2 A 1 k A k 1 ] Η μορφή των πινάκων S i = AC i είναι: Για i = 0: Α 1 Α 2 Α k S 0 = AC 0 A = A = [ 2 A 3 0 ] A k 0 0 Για i = 1: S 1 = AC 0 I Α 1 Α 2 Α n 0 0 0 k 0 0 I A = [ 2 A 3 0 n 0 0 ] 0 0 0 0 I n A k 0 0 [ A 1 k A 0 A 1 k A 1 A 1 k A 2 A 1 k A k 2 A 1 k A k 1 ] Α 0 0 0 0 A = [ 2 A k ] = B 0 A k 0 Για i = k 1 Για i = k 0 A 0 0 S k 1 = [ ] A 0 A k 2 0 0 0 A k 34

= [ 0 A 0 0 ] A 0 A k 2 0 0 0 A k 0 0 0 = [ ] A 0 A k 2 A k 1 S k = AC k = S k 1 C 0 I n 0 0 0 0 0 I n 0 0 0 0 0 0 I n [ A 1 k A 0 A 1 k A 1 A 1 k A 2 A 1 k A k 2 A 1 k A k 1 ] Παρατηρούμε ότι για όλα τα S i, i = 0,1,2,, k οι πίνακες S i είναι ανεξάρτητοι από τους πίνακες Α i. Επίσης όλοι οι S i είναι κανονικοί αν και μόνο αν οι πίνακες A k και Α 0 είναι κανονικοί. Ακόμη, όταν οι πίνακες A k και Α 0 είναι κανονικοί τότε και ο πίνακας C είναι κανονικός γιατί η ορίζουσα του δεν θα είναι μηδέν. Για έναν τυχαίο δείκτη m, 0 m k ισχύει: λs m 1 S m = λαc m 1 AC m = AC m 1 (λi n C) = S m 1 (λι n C). Όταν οι πίνακες Α 0 και Α k είναι κανονικοί τότε ο πίνακας S m 1 θα είναι κανονικός και επίσης επειδή είναι ανεξάρτητος του λ θα είναι μονομετρικός πίνακας. Γι αυτό θα έχουμε: λs m 1 S m = S m 1 (λι n C) (λi n C) = S 1 m 1 (λs m 1 S m ). Ο πίνακας όμως λi n C έχουμε δείξει ότι είναι μια γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακα P(λ), δηλαδή υπάρχουν μονομετρικοί πίνακες E(λ) και F(λ) τέτοι ώστε να ισχύει: [ P(λ) 0 ] 0 Ι = Ε(λ)(λΙ n C)F(λ) = Ε(λ)S 1 m 1 (λs m 1 S m )F(λ) (k 1)n 1 όπου οι πίνακες Ε(λ)S m 1 και F(λ) είναι μονομετρικοί. Άρα ο πίνακας λs m 1 S m είναι μια γραμμικοποίηση του πολυωνυμικού πίνακας P(λ) όταν οι συντελεστές Α 0 και Α k είναι κανονικοί. Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο όλων των kn x kn των πρωτοβάθμιων πολυωνυμικών πινάκων της μορφής λμ Ν ο οποίος συμβολίζεται με V. Λήμμα 3. [19] Αν Α k 0 τότε οι πρωτοβάθμιοι πολυωνυμικοί πίνακες L j (λ) λs j 1 S j, j = 1,2,, k δημιουργούν ένα k-διάστατο υπόχωρο V 0 του διανυσματικού χώρου V. Απόδειξη. Αν Α k 0 τότε όλα τα S i 0, για κάθε i = 0,1,2,, k 1 γιατί όλα τα S i περιέχουν τον πίνακα A k 0. Οπότε και οι πίνακες L i (λ) 0, για κάθε i = 1,, k γιατί για i = 0,1,, k 1 τα S i 0 και ακόμα και αν είχαμε S i = 0 τότε θα έχουμε L k (λ) = λs k 1 S k = λ S k 1 0. Έτσι ο γραμμικός συνδιασμός k i 0 c i L i (λ) είναι ο μηδενικός πίνακας αν και μόνο αν c i = 0. Άρα οι πίνακες L 1 (λ), L 2 (λ),, L k (λ) είναι k σε πλήθος γραμμικά ανεξάρτητοι πίνακες. Έτσι αποτελούν βάση και δημιουργούν ένα k-διάστατο διανυσματικό χώρο V 0, υποχώρο του διανυσματικού χώρου V. Αυτός ο διανυσματικός χώρος V 0 είναι στην ουσία ο διανυσματικός χώρος L 1 που είχαμε ορίσει στην προσθετική μέθοδο στο προηγούμενο κεφάλαιο. Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου V 0 είναι γραμμικοποιήσεις του πολυωνυμικού πίνακα P(λ). 35