Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους με τον χρόνο. Ειδική περίπτωη αποτελούν τα δυναμικά εκείνα φορτία που μεταβάλλουν την ένταη τους μεταξύ μιας μέγιτης και μιας ελάχιτης τιμής προκαλώντας το δομικό εξάρτημα μέγιτες τάεις ax και ελάχιτες τάεις in, όπως παριτάνεται χηματικά το χήμα 1. Μέγιτη ταη ax Eλάχιτη ταη in χρόνος Σχ. 1 Eναλλαόμενες καταπονήεις Στην απλή περίπτωη ημιτονοειδούς φορτίεως οι τάεις εναλλάονται με βάη την μέη τιμή μεταξύ της ελάχιτης in και μέγιτης ax τιμής ως εξής: ax + in =, και 2 = ax 2 in Όπου Α το πλάτος τάης. Επίης ορίζουμε ως χαρακτηριτικά μεγέθη το εύρος και τον λόγο των τάεων: Eύρος τάεων: Λόγος τάεων: = ax R = ax in in
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης τάη ax Δ in χρόνος Σχήμα 2 Παράμετροι ημιτονοειδούς εναλλαόμενης καταπόνηης Εναλλαόμενες καταπονήεις οδηγούν με τον χρόνο ε κόπωη του υλικού, δηλαδή ε ατοχία παρόλο που η μέγιτη τάη μπορεί να είναι πολύ μικρότερη από την αντοχή του. Στον χεδιαμό των Στοιχείων Μηχανών δεν ενδιαφέρει το είδος του κυματιμού παρά μόνον οι μέγιτες και οι ελάχιτες τιμές. Για τον λόγο αυτό όλες οι εναλλαόμενες καταπονήεις περιγράφονται ως ημιτονοειδείς ή υνημιτονοειδείς υναρτήεις. 3.1 Κόπωη Κατά την εναλλαγή της τάης υωρεύεται βλάβη το υλικό υπό την μορφή πλατικής παραμόρφωης ε τοπική κλίμακα. H βλάβη οδηγεί ε δημιουργία μικρορωγμών, οι οποίες με τον χρόνο εξελίονται, δημιουργούν μεγαλύτερες ρωγμές και τέλος οδηγούν την τελική ατοχία του δομικού εξαρτήματος. Τα μηχανικά χαρακτηριτικά κόπωης ενός υλικού, ή δομικού εξαρτήματος προδιορίζονται από πειράματα κόπωης ε δοκίμια μικρής κλίμακας. Για τον κοπό αυτό κατακευάζονται διαγράμματα κόπωης, γνωτά ως διαγράμματα S-N.
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης uts Τάη (ax ή Α) y oλιγοκ. κόπωη πολυκυκλική κόπωη διαρκής αντοχή e Όριο διαρκούς αντοχής e 10 3-10 4 10 6 κύκλοι ατοχίας Ν f Σχήμα 3 Διάγραμμα S-N (λογαριθμική κλίμακα) Στο διάγραμμα διακρίνουμε τις εξής περιοχές: 1. Την περιοχή ολιγοκυκλικής κόπωης 2. Την περιοχή της πολυκυκλικής κόπωης και 3. Την περιοχή της διαρκούς αντοχής Η εκτίμηη της διάρκειας ζωής την περιοχή πολυκυκλικής κόπωης γίνεται με χρήη του εμπειρικόυ νόμου Basquin: = Α b f ' (2N f ) όπου με f και b πειραματικές ταθερές. Η εμπειρική εξίωη ιχύει για μηδενική μέη τιμή ( =0). Για κυκλική φόρτιη με 0 χρηιμοποιείται ο νόμος Goodan που αναλύεται παρακάτω. Παράγοντες που επηρεάζουν το όριο διαρκούς αντοχής Το όριο διαρκούς αντοχής e που προκύπτει από τα πειράματα δεν μπορεί να χρηιμοποιηθεί τον χεδιαμό μηχανών, γιατί τα δοκίμια που χρηιμοποιούνται πρέπει να πληρούν υγκεκριμένες προδιαγραφές που είναι αδύνατο να παρουιαθούν το δομικό εξάρτημα μια μηχανής. Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το όριο αυτό επηρεάζεται από την επιφανειακή κατεργαία, το μέγεθος του δοκιμίου, την μεταβολή της γεωμετρίας (φαινόμενα υγκέντρωης τάεων), την θερμοκραία κ.α. Για να χρηιμοποιηθεί η εργατηριακή τιμή του e τον χεδιαμό ενός δομικού τοιχείου πρέπει να τροποποιηθεί, χρηιμοποιώντας
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης κατάλληλους διορθωτικούς υντελετές, οι οποίοι εξαρτώνται από τις πραγματικές υνθήκες τις οποίες θα κλιθεί αυτό να λειτουργήει. Για τους τόχους του χεδιαμού διατυπώνεται η εξίωη: = C e F C S C c C T ( 1/ K f ) e' Όπου: e = το πραγματικό όριο διαρκούς αντοχής (του μηχ. τοιχείου) e = το πειραματικό όριο διαρκούς αντοχής (καμπύλη S-N) C F = διορθωτικός υντελετής επιφανειακής κατεργαίας C s = διορθωτικός υντελετής μεγέθους C c = διορθωτικός υντελετής είδους φόρτιης C T = διορθωτικός υντελετής θερμοκραίας Κ f = υντελετής εγκοπής ε κόπωη (επίδραη από υγκέντρωη τάεων ε κόπωη) Οι διορθωτικοί υντελετές παίρνονται από πίνακες και γραφήματα που ιχύουν για κάθε υλικό. Στα παρακάτω χήματα δίνονται χετικοί πίνακες (από Στοιχεία Μηχανών, Χ. Παπαδόπουλος, Τόμος Α, Εκδόεις Τζιόλα) για τον υπολογιμό υντελετών που επιδρούν το όριο διαρκούς αντοχής ε κόπωη. Συντελετής επιφανειακής κατεργαίας Σχήμα 4 Συντελετής επιφανειακής κατεργαίας C F
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Συντελετής μεγέθους Για τοιχεία με κυκλική επιφάνεια διατομής ο υντελετής μεγέθους υπολογίζεται ως εξής: Για διάμετρο διατομής d 7.6 Για διάμετρο διατομής 7.6<d 50μμ Για διάμετρο διατομής d>50 Cs=1 Cs=0.85 Cs=0.75 Συντελετής Θερμοκραίας Πίνακας 1 Συντελετής θερμοκραίας C Τ Θερμοκραία o C C T =S Τ /S RΤ Θερμοκραία o C C T =S Τ /S RΤ 20 1.000 350 0.943 50 1.01 400 0.9 100 1.02 450 0.84 150 1.025 500 0.766 200 1.02 550 0.67 250 1.000 600 0.546 300 0.975 (Πηγή: E. Brandes Ed. Sithells Metals Reference Book, 6 th Edition, Butterworth, London, 1983, pp 22-128 to 22-131) όπου ST η εφελκυτική αντοχή ε θερμοκραία λειτουργίας και SRT η εφελκυτική αντοχή ε θερμοκραία δωματίου Συγκεντρώεις τάεων Τα δομικά εξαρτήματα είτε για κατακευατικούς λόγους, είτε για λόγους αφάλειας της κατακευής τις υνθήκες λειτουργίας της, παρουιάζουν απότομες ή όχι μεταβολές τη γεωμετρία, π.χ. απότομη μεταβολή διατάεων, εγκοπές, οπές κ.α. Όταν το εξάρτημα ενεργούν φορτία οι μεταβολές αυτές οδηγούν ε μεταβολές του τοπικού πεδίου των τάεων και υνήθως αποτελούν πηγές εκκίνηης και δημιουργίας βλαβών και ατοχίας
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχήμα 5 Γεωμετρικές αυνέχειες που δηνιουργούς περιοχές υγκέντρωης τάεων Για τον χεδιαμό έχει ειαχθεί μια παράμετρος η οποία λαμβάνει υπόψη την μεταβολή αυτή του εντατικού πεδίου που ονομάζεται υντελετής υγκέντρωης τάεων: K = t ax = aναφορας µ έγιτη τάη το δοµικό τοιχείο τάη αναφορας ο y 3 ο ο x ο Σχήμα 6 Συντελετής υγκέντρωης τάεων ε δίκο με οπή: Κt=3 Ως τάη αναφοράς εννοείται η τάη το ίδιο ημείο, αν δεν υπήρχε η γεωμετρική ανωμαλία. Για παράδειγμα τον δίκο του χήματος που καταπονείται ε εφελκυμό με ομοιόμορφο φορτίο, οι ορθές τάεις την διεύθυνη του φορτίου είναι ίη με την εφαρμομένη τάη ο. Αν τον δίκο κάνουμε μια τρύπα οι τάεις τον δίκο παύει να είναι ομοιόμορφες. Γύρω από τη οπή και ιδιαίτερα κατά μήκος της περιμέτρου οι τάεις αυξάνουν έντονα. Η θεωρία ελατικότητας μας δίνει την λύη που παριτάνεται γραφικά το χήμα. Από την λύη αυτή προκύπτει ότι την περίμετρο τα ημεία 1 και 2 η τάη είναι τριπλάια από την τάη αναφοράς και επομένως ο υντελετής υγκέντρωης είναι Κt=3. Ο υντελετής υγκέντρωης τάεων προδιορίζεται με την βοήθεια της θεωρίας ελατικότητας
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης της αριθμητικής ανάλυης (πεπεραμένων τοιχείων) πειραματικά (φωτοελατικότητα) Σχήμα 7 Συντελετής υγκέντρωης τάεων K t για διαφορετικές περιπτώεις φόρτιης ε άξονες με εγκοπή
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Συντελετές εγκοπής (K f ) και ευαιθηίας (q) ε κόπωη H επίδραη της υγκέντρωης τάεων την κόπωη έχει πειραματικά παρατηρηθεί ότι δεν είναι ανάλογη του ελατικού υντελετή υγκέντρωης τάεων K t. Συγκεκριμένα εαν ληφθεί υπόψη ότι οι το τοιχείο λειτουργεί με τάεις K t επί Α αντί για Α γίνεται υπερεκτίμηη της υποβάθμιης της διάρκειας ζωής ε κόπωη. Πειράματα έχουν δείξει ότι προκληθεία υποβάθμιη περιγράφεται καλύτερα από τον υντελετή εγκοπής ε κόπωη ύμφωνα με την χέη: K f e ( χωρίςεγκοπή) = ( µεεγκοπή) e Όπου K f ο υντελετής εγκοπής ε κόπωη. Η τιμή του K f είναι γενικά μικρότερη από αυτήν του K t εκτός από περιπτώεις ψαθυρών μετάλλων (χαλύβων) υψηλής αντοχής. Οι υντελετές K f και K t χετίζονται μεταξύ τους μέω του υντελετή ευαιθηίας ε κόπωη q με την χέη: K q = K f t 1 1 Εάν K f =K t τότε q=1 και υπάρχει πλήρης επίδραη της εγκοπής την υμπεριφορά κόπωης του υλικού. Εάν K f <K t τότε q<1 και η επίδραη της εγκοπής την κόπωη είναι μικρότερη αυτής που αντιτοιχεί τον υντελετή K t Ακτίνα καμπυλότητας r (inch) Σχήμα 8 Συντελετής ευαιθηίας ε κόπωη q για χάλυβες
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Επίδραη μέης τάης την κόπωη - προέγγιη κατά Goodan Κατά Goodan ο χεδιαμός ενός δομικού τοιχείου, το οποίο υπόκειται ε εναλλαόμενες καταπονήεις μπορεί να γίνει ακολουθώντας την παρακάτω διαδικαία (βλ. χ. 4): 1. Προδιορίζουμε το όριο διαρκούς αντοχής για το δομικό τοιχείο ύμφωνα με την εξ. (3-3) 2. Επιλέγουμε τον υντελετή αφάλειας η και υπολογίζουμε τις επιτρεπόμενες τάεις e /n και UTS /n 3. Σε ένα διάγραμμα τάης μέης τιμής ημειώνουμε το ημείο που αντιτοιχεί την επιτρεπόμενη τάη διαρροής y /n και το ημείο που αντιτοιχεί την επιτρεπόμενη τάη ορίου διαρκούς αντοχής e /n. 4. Ενώνουμε τα ημεία Α, Β με μια ευθεία γραμμή (γραμμή Goodan) 5. Κάθε ημείο επάνω την ευθεία Goodan καθορίζει τις επιτρεπόμενες τάεις χεδιαμού ( Α και ) ε υνθήκες κόπωης. Κανόνας Goodan: + = 1 ιοδ uts τάη e /η γραμμή Goodan uts /η Μέη τάη Σχήμα 9 Ευθεία Goodan Προέγγιη κατά Soderberg Η προέγγιη κατά Soderberg είναι ίδια με αυτήν του Goodan με μόνη διαφορά, αντί της αντοχής θραύης παίρνεται το όριο διαρροής του υλικού.
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης τάη e /η γραμμή Soderberg y /η Μέη τάη Σχήμα 10 Ευθεία Soderberg Κανόνας Soderberg: ιοδ + y = 1 Τα παραπάνω κριτήρια ατοχίας ε εναλλαόμενες καταπονήεις Soderberg και Goodan περιγράφονται με ευθείες γραμμές και χαρακτηρίζονται ως γραμμικές θεωρίες. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν και μη γραμμικές θεωρίες, οι οποίες περιγράφονται με παραβολική καμπύλη ή με έλλειψη κλπ. Ιδιαίτερη θέη κατέχει η παραβολική καμπύλη Gerber (θεωρία Gerber) Κανόνας Gerber: ιοδ + uts 2 = 1 Στο παρακάτω διάγραμμα παριτάνοντια για ύγκριη και οι τρείς αυτές θεωρίες
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης y /η γραμμή διαρροής e /η γραμμή Soderberg γραμμή Gerber ευθεία Goodan Σχήμα 11 Σύγκριη Soderberg/Goodan/Gerber y /η UTS /η μέη τάη Ο χεδιαμός που τηρίζεται τις θεωρίες Soderberg/Goodan είναι υντηρητικός, οδηγεί δηλαδή ε δομικά εξαρτήματα με μεγαλύτερες διατάεις από εκείνα που χεδιάζονται με βάη τη θεωρία Gerber. Η θεωρία Gerber οδηγεί ε καλύτερες εκτιμήεις όον αφορά την εκτίμηη της διάρκειας ζωής. Στο διάγραμμα του Σχ. 12 παριτάνεται το ολοκληρωμένο διάγραμμα Goodan, το οποίο δείχνει την αντοχή κόπωης τόο την ελατική, όο και τη θλιπτική ή και την ελατική-θλιπτική περιοχή. Αν η μέη τάη είναι θλιπτική τα όρια ατοχίας προεγγίζονται με δύο παράλληλες γραμμές, οι οποίες διέρχονται από τα ημεία (+ e, - e ). Το διάγραμμα αυτό είναι πολύ χρήιμο για έλεγχο, δηλαδή αν είναι γνωτές οι διατάεις, του δομικού εξαρτήματος, οπότε είναι γνωτές οι τάεις και υνάμα οι διορθωτικοί υντελετές. Για τον χεδιαμό δομικών εξαρτημάτων δεν ενδείκνυται γιατί οι τάεις δεν είναι γνωτές.
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Μέγιτη τάη ax UTS y e Α in 0 y Μεη τάη UΤS Μέη τάη - e Σχήμα 12 πλήρες διάγραμμα Goodan Παράδειγμα Άξονας διαμέτρου 60 και μήκους 500 καταπονείται με υγκεντρωμένη εγκάρια δύναμη, οποία μεταβάλλεται μεταξύ Ρ και 4Ρ. Ο άξονας είναι από χάλυβα με όριο διαρροής 500 MPa και έχει πειραματικό όριο αντοχής ε κόπωη 330MPa. Να εκτιμηθεί με τον νόμο Soderberg η μέγιτη δύναμη Ρ για υντελετή αφάλειας η=1.3. α χρηιμοποιηθούν οι τιμές (C s = C c = k f =1) και C F =0.78, Cs =0.8 250 250 Ρ Μ ax =PL/4 Σχήμα 13 Άξονας ε εναλλαόμενη φόρτιη
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Λύη H μέγιτη ροπή κάμψης τη δοκό μεταβάλλεται μεταξύ Μ ax =PL/4 και PL. Επομένως η μέη ροπή είναι ίη με PL + PL M in + M ax 5 M = = 4 = PL = 312. 5 N 2 2 8 Το εύρος της ροπής είναι PL PL M ax M in 3 M = = 4 = PL = 187. 5 N 2 2 8 Άρα M 32 32 312. 5 = = P = 0. 0147P 3 3 πd π 60 32M a 32 187. 5 = = P = 0. 00884P 3 3 πd π 60 Με την βοήθεια της εξ. 3-3 υπολογίζουμε κατ εκτίμηη το όριο της πραγματικής διαρκούς αντοχής = C e F C S C c C T ( 1/ k f ) e ' ( 0.78) ( 0.8) ( 1) ( 1) 330 = 201. MPa e = 45 Εφαρμόζουμε τον κανόνα Soderberg: ιοδ 0.00884 0.0147 + = P + P = 201.45 500 y 1 1.3 201. 45 500 1 100725 1 P = = = 10. 5 N 1. 3 [ 0. 00884 500 + 0. 0147 201. 45] 1. 3 [ 4. 42 + 2. 96] Άρα Ρ ax =10.5N Παρατήρηη: Με τον κανόνα Goodan αντί για y θα χρηιμοποιούαμε το όριο θραύης UTS. Μεταβαλλόμενο Εύρος τάης Η εκτίμηη της διάρκειας ζωής την περίπτωη που το ιτορικό κόπωης αποτελείται από k τμήματα (μπλοκ) φόρτιης (βλέπε Σχ) λαμβάνεται υπόψη ο γραμμικός κανόνας υώρευης λάβης του Miner την μορφή:
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης k 1 n N i f i = 1 τάη πλάτος τάης Αi 1 o μπλοκ 1 o μπλοκ κ o μπλοκ χρόνος Σχήμα 14 Ιτορικό εναλαόμενης φόρτιης με τμήματα (μπλοκ) διαφορετικού εύρους τάης όπου n i ο αριθμός κύκλων φόρτιης ε κάθε μπλοκ N fi ο αριθμός κύκλων φόρτιης για ατοχία το υγκεκριμένο μπλοκ Σχεδιαμός ε ύνθετες καταπονήεις Τα δομικά τοιχεία μιας μηχανής υπόκεινται υνήθως ε ύνθετες καταπονήεις, τις περιπτώεις αυτές υνιτάται να προδιοριτούν πρώτα οι ιοδύναμες τάεις, όπως γνωρίαμε το Κεφ. 2, και τη υνέχεια να εφαρμοτεί ένας κανόνας ατοχίας ε κόπωη. Για παράδειγμα, αν ένας άξονας καταπονείται υγχρόνως με ροπή κάμψης και ροπή τρέψης, πρώτα υπολογίζονται οι μέες τάεις και το πλάτος τάεων Α, και τη υνέχεια με βάη τις θεωρίες ατοχίας (Θεωρία μέγιτης ενέργειας παραμόρφωης), οι ιοδύναμες τάεις. Δηλαδή υπολογίζουμε: την μέη τιμή των καμπτικών τάεων Α το πλάτος εναλλαγής των καμτικών τάεων τ την μέη τιμή των διατμητικών τάεων τ Α το πλάτος εναλλαγής των διατμητικών τάεων και την υνέχεια υπολογίζουμε με την βοήθεια του κριτηρίου Von Mises την μέη υγκριτική ιοδύναμη τάη και την μέη τιμή του εύρους εναλλαγής των τάεων. Για την περίπτωη της επίπεδης εντατικής κατάταης, όπου ( y = z = τ yz = τ xz =0)
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης τ xy τxy τ xy x x τ xy υπολογίζουμε τις ιοδύναμες υγκριτικές τάεις με την βοήθεια των χέεων: 2 2 2 2 ( ) + 3( τ ), = ( ) 3( τ ), = + 3-8 Οι τιμές αυτές χρηιμοποιούνται ε ένα κριτήριο χεδιαμού π.χ το κριτήριο Goodan y y = (, ) η 2 2 2 2 ( ) + 3( τ ), + ( ) + 3( τ ) e 3-9