Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική υτή λύση τη συμβολίζουμε με οgθ κι τη οομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση το. Είι δηλδή: θ og θ, 0, θ 0 Ισοδύμ υτό διτυπώετι ως εξής : O ogθ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουμε το γι βρούμε το θ. Πράδειγμ: og8 4 φού 4 8 og φού og 0, 00 φού 0 0, 00 0 Από το πιο πάω ορισμό του λογρίθμου προκύπτει μέσως ότι 0 τότε γι κάθε R κι γι κάθε θ 0 ισχύει: og κι Αφού είι τότε og Αφού είι 0 τότε og 0 Ιδιότητες λογρίθμω θ og θ. Α 0 τότε γι οποιουσδήποτε θ, θ, θ 0 κι κ R ισχύου : og θ θ og θ og θ.. og θ og θ og θ. og θκ κ og θ θ
6. Λογάριθμοι Πρτήρηση Επειδή γι κάθε θ 0 ισχύει θ θ έχουμε : og θ ogθ ogθ. Πρτήρηση Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθμούς θ, θ,..., θ. og θ θ θ og θ og θ og θ Δηλδή: Πρτήρηση Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: og ogθ θ. Δεκδικοί λογάριθμοι Οι λογάριθμοι με βάση το 0 οομάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθμοι. Είι δηλδή 0 θ ogθ, θ 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής :. og0 κι 0 ogθ θ. og0 κι og 0. og θ θ ogθ ogθ θ 4. og ogθ ogθ θ. ogθκ κ ogθ 6. og θ ogθ ogθ όπου θ,θ,θ 0 κι κ R. Φυσικοί λογάριθμοι Στ μθημτικά είι πολύ χρήσιμοι κι οι λογάριθμοι με βάση το ριθμό e. Οι λογάριθμοι υτοί οομάζοτι φυσικοί ή επέρειοι λογάριθμοι. Ο επέριος λογάριθμος εός θετικού ριθμού θ, συμβολίζετι με lnθ κι όχι με Είι δηλδή: e θ ln θ, θ 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής:. ne nθ κι e θ. ne κι n 0 θ n θ θ nθ nθ 4. n nθ nθ θ. ogeθ.
Λογάριθμοι 7. κ. nθ κ nθ 6. n θ nθ nθ όπου θ,θ,θ 0 κι κ R Αλλγή Βάσης og Α 0 θ κι β 0 τότε γι κάθε θ 0 ισχύει: ogβθ og β Πρτήρηση 4 nθ Είι ogθ n0 κι ogθ nθ oge B. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί Μέθοδος Στις σκήσεις όπου ζητείτι υπολογίσουμε έ λογάριθμο εός ριθμού ή τη βάση εός λογρίθμου χρησιμοποιούμε τη ισοδυμί: Πράδειγμ θ ogθ. Ν υπολογίσετε το πό τη ισότητ: og8 β. Ν υπολογίσετε τη βάση με 0 πό τη ισότητ: 6 og γ. Ν υπολογίσετε το og 7. Είι: og 8 8 8 4 8 6 β. Είι: 6 4 4 og γ. Είι og 7 7
8. Λογάριθμοι Κτηγορί Μέθοδος Γι υπολογίσουμε πράστση με λογάριθμους εφρμόζουμε τις ιδιότητες τους κθώς κι το τύπο λλγής βάσης. Πράδειγμ Ν δείξετε ότι : og49 og7 og8 og6 4 Είι og49 og7 og8 og49 og7 og84 4 4 og 49 og 7 og 8 og7 og og og 7 og6 Πράδειγμ 4 Ν δειχθεί ότι: Είι ogθ ogβ og θ β ogθ ogθ og β og ogβ ogβ og og βθ θ og β Κτηγορί Μέθοδος Στις σκήσεις που μς ζητού βρούμε έχει έοι πργμτικού ές λογάριθμος χρησιμοποιούμε το ορισμό του λογρίθμου με τους τίστοιχους περιορισμούς. Δηλδή η πράστση ogθ ορίζετι ότ 0 κι θ 0 Πράδειγμ Γι ποιες τιμές του έχει όημ η πράστση: og Πρέπει 0 0 0,,. Άρ 0,,
Λογάριθμοι 9. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Ν υπολογίσετε τους ριθμούς: Είι:. og00 0 00 og β. 6 γ. og 64 64 6 δ. n e e e e e Άσκηση Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι :. og00, β. og, γ. og 64, δ. n e. og0,00 β.. og0, 00 og0 og 8 γ. og δ. og 4 β. 4 8 og 8 og og 8 γ. og og og og δ. og og og 4 Άσκηση Ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης : og og0, 0,0 og0,000 A og og 4og6 6 8
0. Λογάριθμοι Είι 4 0, 0, 6 4 6 og og 0, 0 og0, 000 og og 0, og0 A og og 4og 6 og og 4og 6 8 4 4 9 9 4 4 4 Άσκηση 4 Ν δειχθεί ότι:. og og0 og6 β. ne n n4. og og 4 og 4 γ. 60 og og0 og6 og 0 og6 og60 og6 og og0 6 β. ne n n4 ne n4 n n e 4 n ne n e n ne γ. og og 4 og og og 4 og og 4 og 4 og 7 og 4 og 4 08 og 7 4 og4 og08 og4 og og 4 og og og4 Άσκηση Α ισχύει og ogy ogz y z z y og ogy ogz Θέτουμε k κι έχουμε: y z z y og k og k y z y z, δειχθεί ότι yy zz og k y z, y, z 0, y z.
Λογάριθμοι. ogy k ogy k z y ogy y k z z ogz y κι k ogz k y z ogz z k y Προσθέτοτς τις (), (),() κτά μέλη έχουμε: og yogy z og k y z y k z zk y og yy zz 0 yy zz Άσκηση 6 Ν πλοποιηθεί η πράστση: β γ og 4β β γ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 β γ β γ og og og β 4 γ 4 4β β γ 4β β γ 7 7 7 7 7 7 og β 0 γ 0 og og ogβ 0 ogγ 0 7 7 7 og og og ogβ ogγ 0 0 7 7 7 og og ogβ ogγ 0 0 Άσκηση 7 Ν υπολογιστού οι ριθμοί:. 0 og β. e n γ.. og og og 00 0 0 0 00 0 00, 8 n n n e β. e e e e e e og 8 og 8 og 8 γ. 8 8 4 Άσκηση 8 Α og k υπολογίσετε τους ριθμούς:. og0 κι β. og6 40 og 8
. Λογάριθμοι og0. og0 og k og40 og4 og0 og k og6 og 4og 4k β. og6 40 4 Άσκηση 9 Α,β 0 κι β β 7β δειχθεί ότι: n nβ n Είι: β β 7β β β 9β β 9β β 9 β β β β n n β n n nβ Άσκηση 0 Ν λυθού οι εξισώσεις:. β. 7 n. n n n n n β. (ή og ) 7 og og7 og og7 og og og7 9 og 9 og og og7 og og9 og7 og og 7 7 og Άσκηση n n n... n n k n, k Ν 4 k Ν δείξετε ότι: Είι n n n n 4 k 4 k 4 k n n n n n 4 k 4 k k n n k n *
Λογάριθμοι. Άσκηση Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε,β, γ, 0 με,β, γ, ισχύει : og ogβ ogγ og ogβ ogβ og γ ogγ og og og og og og og og Είι β β γ γ og og og og og og og β og β og γ og γ og ogβ ogβ ogγ ogγ og γ og og β og β γ og og ogβ ogγ ogβ ogγ βγ Είι og og β γ og og og og og β og γ og og βγ og β γ og og β γ og β γ og og og β og γ og β og γ Από τη () κι τη () ισχύει το ζητούμεο. Άσκηση Ν υπολογιστεί ο ριθμός: κ 7 6 og og og og og Είι: 6 og 6 og 6 6 og κ 7 7 7 Άσκηση 4 Σε μι ριθμητική πρόοδο με πρώτω όρω της δίετι πό το τύπο: n κι S n6 δειχθεί ότι το άθροισμ τω n
4. Λογάριθμοι Η διφορά ω της προόδου είι: ω n6 n n4 n 4n n n S ω n n Oπότε έχουμε: Άσκηση n n n n n n n R t Α nio ni δειχθεί ότι: L Io I e Rt L R t R t I Είι o R t Io nio ni nio ni n e L L L I L I Io Άσκηση 6 I e Rt L To ρδιεεργό ιώδιο έχει χρόο υποδιπλσισμού περίπου 7 ημέρες. Α είι Q 0 η ρχική ποσότητ του ρδιεεργού ιωδίου, τότε η ποσότητ που έχει πομείει μετά πό t ημέρες Q t Q e. δίετι πό τη σχέση: k t o n. Ν βρεθεί η στθερά k. (Δίετι ότι: 0,) 7 β. Γι Q0 000gr, βρείτε σε πόσες ημέρες θ έχου μείει gr ρδιεεργού ιωδίου.. Μετά πό 7 ημέρες θ έχει πομείει η μισή ποσότητ του ρδιεεργού ιωδίου. 0 Επομέως γι t = 7 κι γι Q7 η σχέση Q k t t Q e Q γίετι: k 7 0 Q 7 Q Q 7k 7k 7k 0e Q0e e ne n 7k n n n 7k n k k 0, 7 β. Γι Qt, Q0 000 κι k 0, η σχέση Q k t t Q e 0 0 γίετι: n00 00 00 0, 000e 0,t e 0,t ne 0,t n 0,t n00 t Rt
Λογάριθμοι. Άσκηση 7 Ότ το φως του ήλιου περάει μέσ πό έ γυλί εός πρθύρου, η έτσή του μειώετι σύμφω με τη σχέση E E e 0 0, όπου Ε 0 η έτση που έχει το ηλικό φως ότ πέφτει στο γιλί κι το πάχος του γιλιού σε mm.. Πόση θ είι η έτση του φωτός ότ περάσει πό έ γυλί που έχει πάχος mm ; β. Ποιο το πάχος εός γυλιού ώστε η έτση του φωτός που το περά είι ίση με το 60% της ρχικής τιμής; (Δίετι: n, 0, n, 60 ) Είι:. Η E E 0 0e γι β. Έχουμε ότι E 0, 6E 0. Άρ: 0 0 E E e E E e γίετι: 0 0 0 0 o 6 0,6Eo E e 0,6 e n0,6 ne n n 0 0 0 0, n n, 0, 60 0, 9 9, mm 0 0 0 Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι: i. og 7 ii. og 64 iii. og (Απ.: i., ii. 0, iii. /). N υπολογιστεί ο στις πρκάτω ισότητες: i. og ii. og iii. og iv. n (Απ.: i., ii. 7, iii.,, iv. 8 e ). Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og 8 ii. og 9 iii. og 0, 0 (Απ.: i. 6, ii., iii. 0.000 )
6. Λογάριθμοι 4. Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og ii. og 64. N υπολογιστού οι λογάριθμοι: (Απ.: i., ii. ) i. og 0, 000 ii. n e e (Απ.: i. 4, ii. 7 ) 6. Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι: π π π i. og4συ ii. ogπημ iii. og εφ 6 (Απ.: i., ii. 0, iii. ) 7. Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og ημ ii. og εφ (Απ.: i. π κπ, κ Ζ 6, ii. π κπ, κ Ζ 6 κπ π, κ Ζ ) 8. N υπολογιστού οι πρστάσεις: i. og8 og og4 ii. n n n9 (Απ.: i. og, ii. n8 ) 9. Ν ποδειχθού οι ισότητες: i. og4 og og og ii. n6 n7 n n64 n n 4 (Υπ.: Εφρμόστε τις ιδιότητες τω λογρίθμω) 0. Ν δειχθεί ότι: og og7 ogog7 (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης)
Λογάριθμοι 7.. N εφρμοστού όλες οι δυτές ιδιότητες τω λογρίθμω στις πρκάτω πρστάσεις: y yz yz i. n ii. og iii. n e y 4 y 4y z z (Απ.: i. 7 n 7 4 ny, ii. og ogy og og og4, 4 4 iii. og ogy og og ) 6. Α og κι ogy β υπολογιστεί η πράστση: A og y (Απ.: A β ) 6 6. Α n κ κι ny λ υπολογιστεί η πράστση: y Α n y (Απ.: 4 7 Α κ λ ) 4. N υπολογιστεί η πράστση: A n 7 e e e 9 e (Απ.: Α ). N υπολογιστεί η πράστση: A og og. 6 6. N υπολογιστού οι ριθμοί: i. e n og6 ii. 0 iii. og 7 (Απ.: Α ) 40 (Απ.: i. e 4, ii. 0 4, iii. 7 ) og 7. N υπολογιστού οι ριθμοί: 9 κι β og (Απ.: 6, β ) 8
8. Λογάριθμοι 8. N υπολογιστεί ο ριθμός: og (Απ.:.00 ) 9. Γι ποιες τιμές του ορίζοτι οι ριθμοί: i. n ii. og iii. og 4 (Απ.: i.,,, ii.,,, iii.,0, ) 0. Γι ποιες τιμές του έχου όημ οι πρστάσεις: i. og ii. n 4 (Απ.: i.,0,, ii., 4, ). Γι ποιες τιμές του έχου όημ οι πρστάσεις: i. A n ii. B n n Γι ποιες τιμές του είι A = B ; (Απ.: i.,0,, ii.,, ). Γι ποιες τιμές του έχει όημ η πράστση: A og. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος της όρος είι: S (Απ.:,0 0,,, ) og κι ο δεύτερος είι og8. Ν δειχθεί ότι το άθροισμ τω πρώτω της όρω δίετι πό το τύπο: og δειχθεί ότι: og β β 4. Α β 0 0 (Υπ.: Ν θέσετε (Υπ.: og8 λ ) og 0 y κι μετά βρείτε το y κι λογριθμίσετε)
Λογάριθμοι 9.. Δίετι η f e e. Ν υπολογιστού οι τιμές : f n κι f n 6. Ά,β 0 κι β β 6 6β δειχθεί ότι: og β og og ogβ (Απ.: f n, f n ) (Υπ.: Ν δείξετε ότι β β ) 7. Ν δειχθεί ότι : ogβ ogγδ og γβ og δ,β,δ 0 κι, γ 0 8. N δειχθεί ότι: og 4og 6 og (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) (Υπ.: Είι 6 ) 9. Α y 0 og κι z 0 ogy δειχθεί ότι: 0 ogz όπου 0, y,z 0. (Υπ.: Είι ogy, ogz ) og ogy 0. Ν δειχθεί ότι: og og og *. Α,β, γ R κι ogβ, y ogβγ, z ogγ. y z Ν δειχθεί ότι: β γ (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) (Υπ.: Είι y z β, β γ, γ ). N υπολογιστεί η πράστση: A n n (Απ.: Α n7 n8 n n ). Α og κι og β υπολογιστού συρτήσει τω, β ο λογάριθμος: og6 48 β 8 ) (Απ.: β
40. Λογάριθμοι 4. N υπολογιστεί η πράστση : A ogεφο ogεφ ο... ogεφ89ο (Απ.: Α 0 ). Α ogβ ogβ, 0, β, β δειχθεί ότι : β 6. Α 0,,β, γ δειχθεί ότι: (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) β γ ή β γ og ogβ ogγ og ogβ ogγ 7. N δειχθεί ότι : ogkβ ogβ, k 0, 0, β 0. Στη συέχει υπολογι- k ρ στεί η πράστση β og y μ y, μρ 0, 0 y. 8. Α 0,β, γ (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) κι og βγ, y og γ, z og β βy γz δειχθεί ότι: β γ (Υπ.: Είι y z γ, β γ, γ β ) k k k 9. Ν δειχθεί ότι: n n n... knk n 6 (Υπ.: Είι... ) 6 ogog 40. Ν δειχθεί ότι: og og, 0, (Υπ.: ogog og og ogog 0 ) E. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Ν βρείτε τη τιμή του που ληθεύει τη og 6 9 og 6 9 4 (Απ.: 0 )