ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΥΝ ΕΣΜΟ http://users.sch.gr/apappas/askhseis.files/lyseis/makahm.pdf Pappas Ath...page

1 1 : : (4) 1o A.1. µ µ z 1, z. : z 1 z = z 1 z. 7,5.., µµ. µ µ z :. z z z.. z z - z z. z z. i z z 5.1. z1 3 4i z 1-3 i, µ µ µµ,. 1 Pappas Ath...page 3

1. z. 4 z1. z 1. 3. z. 5 4. z1. 5 5. i z.. 5. 1 7,5.. µ µ z z 1, 1 z. z 5 f µ µ µ :, 3 f() -3 1- e, 3 3. f, = 1/9. 9. µ C f f µ (4, f(4)). 7 Pappas Ath...page 4

3. µ f, =1 =. 9 3 µ f, µ µ µ R, : f 3 () + f () + f() = 3 + 6 1 R,, µ µ µ < 3.. f. 1. f. 8. µ f() = µ (,1). 7 4 µ µ f, µ µ R, o : i) f(), R ii) f() = 1-1 t f (t) dt, R. µ g 1 g() -, R. f() 3 Pappas Ath...page 5

4 f() - f. 1. g. 4. f : 1 f(). 1 4. lim ( f() µ). () 7 ( µ) 1. µ (µµ,, µ µµ). µ µ. µ µ, µ µ µ.. µµ µ µ. µ µ. µ µ, µ. 3. µ. 4. µ µµ. 5. : (3) µ µ. 6. : (1) µ µ. K 4 Pappas Ath...page 6

1 3 : : (4) 1o A. f µ ' µ [, ]. G µ f [, ], f(t) dt G() G(). 1.1. f() = µ. f µ R f() =. 8.., µµ.. f µ [,] (,], f [,] µ µ µ. 1., 1-1 µ, µ. 1 1 Pappas Ath...page 7

. f lim f(), lim f(). 1. f µ R, f()d f() f()d. 1. lim f(), f() >. 1 z µ µ f() = i z,. f(3) + f(8) + f(13) + f(18) =.. z= Arg(z) =, IN*. 7 f(13) = iµ. 8. z= Arg(z) =, µ 3 µ µ µ µ µ, z f(13). 1 Pappas Ath...page 8

3 3 f, g µ µ R. fog 1-1.. g 1-1. 7. : g(f() + 3 - ) = g(f() + -1) µ. 18 4. h, g [, ]. h() > g() [, ], h()d g()d.. µ R f, : f() e f () 1, R f() =. ) f f. 5 ) f() f(), >. 1 ) µ f, =, = 1, 1 1 E f(1). 4 6 3 Pappas Ath...page 9

1 9 3 : : 1o A., µ f µ µ, µ. 8. µ µ µ µ µ; 7., µµ.. z µ µ z z z. _ z,. µ f µ µ. f()> µ, f. 1 Pappas Ath...page 1

. f, µ µ, f()d f() c, c IR.. µ f µ, µ f µ.. µ f µ µ µ. f µ f( )=, f. µ µ z=+i,,ir w=3z i _ z +4, _ z z.. Re(w)=3 +4 m(w)=3. 6., w µ µ y= 1, z µ y=. 9 Pappas Ath...page 11

3. µ µ z, µ y=, µ. 1 3 f() = 5 + 3 +.. µ f µ f.. f(e )f(1+) IR. 6 6. µ f µ (,) µµ f f 1. 5. µ f 1, µ =3. 8 4 µ f µ [,] (,). f() = f() = µ (,), (,), f() f()<, : 3 Pappas Ath...page 1

4. µ f()= µ (,). 8. µ 1, (,) f( 1 )< f( )>. 9. µ µ f. 8 ( µ) 1. µ (µµ,, µ µµ). µ.. µµ µ µ µ. µ µ. µ µ. 3. µ. 4. µ µµ. 5. : (3) µ µ. 6. : 1.3. K 4 Pappas Ath...page 13

1 1o 8 3 : : (4) A. f µ µ µ. F µ f, :. µ G() = F() c, c R f. G f µ G() = F() c, c R. 1., µµ.. z 1, z µ µ, z z z z z. z1 1 1. µ f µ ' µ (, ), µ µ, µ f. f () > (, ) f () < (, ), f ( ) f. 1 Pappas Ath...page 14

. f : R 1 1, µ 1, A : 1 =, f( 1 ) = f( ).. f, g µ, : f() g () d f() g() f () g() d.. µ = µ µ f ; 7. µ () µ µ z : z m (z). 1., µ µ z (), µ 1 4 µ w z µµ µµ z. 13 Pappas Ath...page 15

3 3 f() 1.. lim f(). 5. µ f,.. f () 1 f(). 1 1. d ln 1 1 6 6. 8 4 µ f µ IR µ, : f() = f( ) f () IR.. f µ. 8. f() = µ.. f() g(). f () 8 µ g µ µ, µ µ 45. 9 3 Pappas Ath...page 16

1 7 4 : : TE (4) 1o A. µ f µ ' µ µ. f µ µ, f( )=.. 1 µ f µ µ µ µ 5 µµ... µ µ µ µ µ µ. lim f(), µ lim f() lim f(). f, g µ, fg µ : (fg)( ) = f( ) g( ) 1 Pappas Ath...page 17

.. µ f, µ. f() µ, f. f µ µ [,]. G µ f [,], f(t)dt G() G() f µ f()= ln... µ f, µ µ. 1 µ f µ µ. 8. µ f. 7 3 g()=e f(), f µ IR f()=f( 3 )=.. (, 3 ) f()=f(). 8 Pappas Ath...page 18

3. f()= 3, µ I()=. lim I() g() d, IR - 8 9 4 f: IR IR f(1)=1. IR, 3 1 g()= z f(t)dt 3 z (1), 1 z z=+ic, µ, IR *, :. g µ IR g. 5. N z z 1 z 8.. µ µ Re(z 1 ) = 6 A f()=>, f(3)= >, (,3) f( )=. 6 3 Pappas Ath...page 19

1 5 4 : : (4) 1o A. µ f µ µ. f f() = µ, f µ. 9., µµ.. µ f µ µ, µ µ.. µ µ µ.. f, g µ µ IR fog gof,. 1 Pappas Ath...page

. C C f f 1 µµ y = µ Oy Oy.. f, lim k f() k lim f(), µ k k., f(). µ µ f µ (, ) µ [, ]. 6 µ f: IR IR µ f() = + m 4 5, m IR, m >.. m f() IR.. 13 m = 1, µ f, = = 1. 1 3 µ f: [, ] IR µ [, ] µ f() [, ] µ µ z µ Re(z), m(z) Re(z) >Im(z). Pappas Ath...page 1

3 1 z = f() z. z= 1 1 z = f (), : z 11.. f () < f () 5 3 f() + f() = µ µ ( 1, 1). 9 4 f [, +) IR, 1 f() f(t) dt.. f µ (, +). 7. f() = e ( + 1). 7. f() µ [, +). 5. lim f() lim f(). 6 3 Pappas Ath...page

1 31 5 : : (4) 1 o A.1 f, [, ]. f [, ] f() f() f() f(), (, ), f( ) =. 9. y = + f +; 4 B.,.. f [, ] f() < (, ) f() =, f() >.. lim f() g() lim f(), lim g(). 1 Pappas Ath...page 3

. f f 1 f y =, f 1.. lim 1 lim f() f(). f() >,. f, f(t)dt f() - f().. f,,.. z 1, z, z 3 z 1 =z =z 3 = 3.. : z1 9 z1 7. z z z z1. 9. : z 1 + z + z 3 = 1 z1 z + z z 3 + z 3 z 1. 3 9 Pappas Ath...page 4

3 3 f f() = e, >.. f. 3. f,, y = e.. 7. (), f, yy, e - () =.. 4 lim (). 8 7 f IR, f() = e f() IR f() =.. : 1 e f() ln. 6. N : lim f( - t) dt. 6 3 Pappas Ath...page 5

4. : h() = 5 t f(t)dt g() = 7. 7 h() = g() IR. 7. (, 1). 5 1 t f(t)dt 8 6 ( ) 1. (,, )...,..,. 3.. 4.. 5. : (3). 6. : 1:3. K 4 Pappas Ath...page 6

1 1 o 6 5 : : (4) A.1 f f(). f (,+) : 1 f(). 9. f:a IR 1-1 ; 4 B.,.., f, f.. f (,) o. f (, o ) ( o,),,f( ) o o f. 1 Pappas Ath...page 7

... f,g fog gof, fog gof... z, z. f IR *, : f ()d f() d.. z 1, z z 1 +z =4+4i z z 5 5i, 1 z 1, z. 1. A z,w z 1 3i w 3 i : i. z, w, z=w 1 ii. z w. 5 Pappas Ath...page 8

3 3 f, IR f() IR.. f 1-1. 7. C f f (1,5) (-,1), 1 f 4 f( 8). 9. C f, C f 1 (): y 5. 668 9 4 f: IR IR, f() lim 5.. : i. f()= ii. f()=1. 4 4 3 Pappas Ath...page 9

4. IR, : f() f() lim 3. 7. f IR f()>f() IR, : i. f()>. 1 ii. f()d f(1). 6 4 ( ) 1. (,, )...,..,. 3.. 4.. 5. : (3). 6. : 1.3. K 4 Pappas Ath...page 3

1 7 6 : : (4) 1 o A.1 f,. : f()>, f. f()<, f. 1. f. f ; 5 B.,.. z. lim f(),. z z. f () 1 Pappas Ath...page 31

. H f() f. -1. ( 3 ) 3, IR.. f ()g()d=[f()g()] f ()g()d, f,g [,]. f() =+(-).. f 1-1. 6. f -1 f. 8. i. f f -1 y=. 4 ii. f f -1. 7 Pappas Ath...page 3

3 3 z1,z,z3 z1 z z3 1 z z.. z1 3 : i. z1 z z3 z1 z z3. 1 ( 1 ii. z z 4 Re z z ) 1. 9 8. z 1,z,z 3,. 8 4 f()= 1 ln. 1. f. 8. N f()=. 5. g()=ln (,ln) > h()=e (,e ) IR, f()=. 9. g h. 3 3 Pappas Ath...page 33

1 5 6 : : (4) 1o A.1 : ()=, IR. 1. f. f ; 5 B.,.. z 1, z, : z. 1 z z1 z. f, g o g( o ), g f o : f g ( o ) f( o ) g (. n o ) f ( g( ) o 1. o ) g( o ). 1 Pappas Ath...page 34

. f: IR 1 1, y f()=y.. f [,]. G f [,], f(t)dt G() G(). 1 e f(), IR. 1 1 e. f IR. 9. 1 d. f(). < : f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ). 9 7 3 z, (4 z) 1 = z 1 f f() = ++, IR.. z =. 7 Pappas Ath...page 35

3. () f = yy y o = 3, i. (). 9 ii. f, (), 3. 5 9 4 f() = n( 1) ( 1) n >. 1. i. : n( 1) n,. ii. f (,+). 1 1. lim n(1 ). 5. (,+) (+1) = +1. 8 3 Pappas Ath...page 36

1 4 7 : : (5) 1 o A.1 z 1, z, : z. 1 z z1 z 8. f, g ; 4.3 y = f +; 3 B.,,,,,.. f [,] [, ] f() f() d.. f. f f() >. 1 Pappas Ath...page 37

. f g, gof.. f, g() f(t) dt fg() g ().. > 1 lim. i z IR. i. z (,) =1. 9. z 1, z z i i = =. i. z 1 z. 8 Pappas Ath...page 38

3 ii. : (z 1) ( z ). 8 3 : f() = 3 3 IR +, Z.. f,. 7. f() =. 8. 1, 3 f, ( 1, f( 1 )), B(, f( )) ( 3, f( 3 )) y =. 3. f y =. 7 3 Pappas Ath...page 39

4 4 f [, 1] f() >. g [, 1] g() > [, 1]. : F() = f(t) g(t) dt, [, 1], G() = g(t) dt, [, 1].. F() > (, 1]. 8. N : f()g() > F() (, 1].. N : F() F(1) G() G(1) (, 1]. 6 4. : lim f(t) g(t) dt g(t) dt t 5 dt. 7 4 Pappas Ath...page 4

1 3 7 : : (4) 1o A.1 f,. 1. Rolle ; 5 B.,,,,,.. f() f.. f, g, g [,], f ()g()d f ()d g () d.. f, f (t)dt f(). 1 Pappas Ath...page 41

. f (,), (,) = lim f () = lim f ().. f, g. f, g f() = g(), f() = g(). 3, f (),. lim f () 3.. 8. f f =, = = 3. 9. = = 3, f ()d. 8 Pappas Ath...page 4

3 3 f() = e e ln, >.. f() (1, +).. f() e >.. 4 1 3 f (t)dt f (t)dt f (t)dt (, +). 1 7 8 4 z 1 = +i, IR. z z 1 IR. z z1 z1,. z z 1 = 1. 9. z 1. 6. z1 z 1 >, 1 (z1 1 i) (z 1 i). 1 3 Pappas Ath...page 43

1 4 8 : : (5) 1 o A.1 f() = ln * : ln 1, * 1. f [,]; 5 B.,,,,,.. f:a 11, f 1 : 1 1 f ( f ( ) ), A f ( f ( y )) y, yf ( A ). f f. 1 5 Pappas Ath...page 44

. z +z+=,,,.. f, f( ) >.. A f,, f()d f()d f()d z w : ( i )z 6 w (1 i) w (3 3i). z. 6. w.. w 7 6. z w 6 5 Pappas Ath...page 45

3 3 f() ln,,. f. 3. f. 9.. e. 6 f(+1)>f(+1)f(), >. 7 4 f f() (1 3 3). f()= 3 +645 f(t)dt 45 8 3 5 Pappas Ath...page 46

4. g. g () g ( h) g() lim h h 4. f () g () g( h) g() g( h) lim h h f() 45 g()=g()=1, i. g()= 5 + 3 ++1 1 ii. g 11 3 ( ) 1. (,, )...,... 3.. 4 5 Pappas Ath...page 47

1 3 8 : : (4) 1o A. [, ]. G f [, ], f (t)dt G( ) G( ) 1.. ; 5,,,,.. 1 1,.. f, f,.. f ()d 1 4 Pappas Ath...page 48

..,, : +i= = =. (, )(, ). : lim f() o o lim (f() ) 1 i 3 z 1 z +z+=,.. = 1 =1.. z1 3 1. 9 8. w, : w z1 z 1 8 4 Pappas Ath...page 49

3 3 f() ln,.. : f()1 >. 6. f.. g() ln f () k,, 6 i. k g. 6 1 ii. k, g,, (, e). 7 4 f [, +) f() >. : F() = f(t) dt, [, +), h() F() t f (t) dt, (, +). 3 4 Pappas Ath...page 5

.. 4 1 e t 1 [f (t) F(t)]dt F(1) 6 h (, +).. h(1)=, : i. f(t) dt 1 1 ii. F(t)dt F( 1) tf(t)dt 8 6 5 1. (,, )...,... 3.. 4..,. 5.. 6. : (3). 7. : 1.. K 4 4 Pappas Ath...page 51

1 ( ) 9 : : (5) 1 o. f. f f (), f. 1. f ; 5.,,,,.. z 1, z, z 1z z1 z. f () A, f()f( ) A 1 5 Pappas Ath...page 5

1. lim 1. f.. f [, ] f()< [, ], f, =, = ( ) f () d z=(+1)+(1)i,.. z, 9. z 1 i. 8 5 Pappas Ath...page 53

3. w w w 1 z z. 8 3 f () 1 ln(1), 1, A. f () 1 1, =e. =e,. f. 8 5. f ( 1, ] [, ) 6., ( 1, ) (, ), f ( ) 1 f ( ) 1 1 (1, ) 6 3 5 Pappas Ath...page 54

4 4 f [, ] H () t f (t)dt, H() G() 1 6 lim t t f (t)dt 1 t t [, ], f (t)dt3,, (,. G [, ]. ] 5. G (, ) G () H(), 6. (, ) ()=. 7. (, ) t f (t)dt f (t)dt 7 4 5 Pappas Ath...page 55

1 9 9 : : (5) 1 o A. f() =. f (, +) : f () 1 9 B. f o. f o ; 6.,,,,.. z ( z ) z. f 11, f. 1 5 Pappas Ath...page 56

. lim o f() = f() < o f () lim o 1 = +. f() =. H f 1 = f () 1. f,, f () d = f() + c, c. z : i z i z 8. N z = +yi. 1 5 Pappas Ath...page 57

3. N z 1 z. 8. z 1, z z z z 4 3 z1 1 f() ln[(+1) ++1] ln(+), 1 1 7., lim f().. = 1 5. f. 1. f 6. f() + = 4 3 5 Pappas Ath...page 58

4 4 f:, f () 4f() 4f () k e, f () f (), f() = f()+1 e 4, f(1) = e k... g() = 3 f() f () e, Rolle [,]. 4 (,), f ( ) 4f ( ) = 6 e + 4 f ( ) 6. k = 6 g() = [,]. 6. f () e, 3 5. f () d 1 4 4 5 Pappas Ath...page 59

1 ( ) 19 1 : : (4) A1. f. F f, : G()=F()+c, c f G f G()=F()+c, c 6 A. = f ; 4 A3. f. f ; 5 4.,,,,. ) +i +i. 1 4 Pappas Ath...page 6

) f. f,. ) f (,), (,), A lim f () B lim f () ) ()=, ) lim f (), f()< z zc z z B1. z 1 z. B. z 1 1 1 z B3. w w 4 3i z 1 z 1 7 6 w. 7 B4. w 3, 3 w 7 5 4 Pappas Ath...page 61

3 f()=+ln( +1), 1. f.. : (3 ) 1 3 ln 4 1 5 7 3. f f. 4. I 1 1 f ()d 6 7 f: : f() t f() =3+ dt f (t) t 1. f f()= f () f (), 5. g()=f () f(),,. 7 3 4 Pappas Ath...page 6

3. 4 4. 1 f()=+ 9, f (t)dt f (t)dt, 1 6 7 1. (,, )...,... 3.. 4.. 5.. 6.. 7. : (3). 8. : 1... K 4 4 Pappas Ath...page 63

1 7 1 : : (5) A1. f() =,, ( ) = 8 A. f [,] ; 4 A3. f A (), f( ); 3 4.,,,,. ) f() = 1, >, ) fog gof, ) fog = gof lim f() 1, lim f() 1 5 Pappas Ath...page 64

) f [,] f() [,], f()d ) zc z zz 1 z 1, z z 1 +z = z 1 z = 5 B1. z 1, z 5 B. w w z 1 wz z1z w (+1) + y = 4 8 B3. w Re(w) + Im(w) = 6 5 Pappas Ath...page 65

3 B4. w 1, w w w w 4, w w 1 1 6 f() = ( )ln + 3, > 1. f 5. f (,1] [1, + ) 5 3. f() =. 6 4. 1, 3 1 <, ( 1, ), f() f() = f, f( ). 9 3 5 Pappas Ath...page 66

4 f: f() = 1 f() = 1. f() 1 4 1 f(t)dt 3. lim 3 6 f() + = f(),, : 3. f() = e, 8 4. h() = f (t)dt, 3 f(t)dt 1 4 6 f(t)dt 7 4 5 Pappas Ath...page 67

1 ( ) 16 11 : : (4) A1. f. f, : f ( ) = 1 A. f. y=+ f ; 5 A3.,,,,. ) z z =1 ) f:a 1-1, 1, A : 1, f( 1 ) f( ) ) 1 = {=} : 1 ( ) ) : lim 1 1 4 Pappas Ath...page 68

) C C f f 1 y= Oy Oy. z w : z 3i z 3i w z 3i 1 z 3i, 1 z 3i B1. z B. z 3i 1 z 3i 7 4 B3. w w B4. : z w z 8 6 f :, f f (), :,. e f () f () 1 f () f () 4 Pappas Ath...page 69

3 1. : f () ln(e ), 8. f. 3 3. f. 7 4. ln( e ) =, 7 f, g :, : i) f()> g()> ii) iii) 1 f () e 1 g() e t e dt g( t) t e dt f ( t) 1. f g f() = g().. : f() = e, 9 4 3 4 Pappas Ath...page 7

4 3. : lim ln f () f 1 5 4. F() 1 f (t yy =1. )dt 7 ( ) 1. (, )...... 3.. 4..,. 5.. 6.. 7. : (3). 8. : 1... 4 4 Pappas Ath...page 71

1 6 11 : : (5) A1. f()= ( ) = 1 A. f,. f. 5 3.,,,,. ) z=+i,, z z= ) f A () f( ), f() f() A ) f, 1-1. 1 5 Pappas Ath...page 7

) lim f () f()>, 1 lim f () ) f. 1 z, w, : z i =1+Im(z) (1) w( w +3i)=i(3 w +i) () B1. z y= 4 1 7 B. w (,3) =. 7 B3., z, w z =w. 5 B4. N,, u, 5 Pappas Ath...page 73

3,,,. 6 y=,. (,1) y,. y (4,) y (,1) O t, t (t) 16m/min 1., t, t : (t)=16t 5. (4,),,. 6 3 5 Pappas Ath...page 74

4 3.. 6 4. t (, 4 1 ), d=(). 8 y. f:, 3, : f () i) lim 1 f () ii) f() < f(1)-f() iii) f () 1. f =. 3. f. 5 g()=f(),, : 3. g lim g() 6 4 5 Pappas Ath...page 75

5 4. f ()d > 5 5. g, = =1 ()=e 5, 1 f ()d (1,), f (t)dt = 6 ( ) 1. (, )...... 3.. 4..,. 5.. 6.. 7. : (3). 8. : 18. K 5 5 Pappas Ath...page 76