ΑΣΚΗΣΗ (γραμμικός προγραμματισμός) Μια εταιρεία χρησιμοποιεί δύο διαφορετικούς τύπους ζωοτροφών (τον τύπο Ι και τον τύπο ΙΙ), ως πρώτες ύλες, τις οποίες αναμιγνύει για την εκτροφή γαλοπούλων ώστε να πετύχει την παροχή μιας διατροφικά επιθυμητής και χαμηλού κόστους διατροφής για τις γαλοπούλες που εκτρέφει. Κάθε τύπος ζωοτροφής περιέχει, σε ποικίλες αναλογίες, κάποια ή όλα από τρία θρεπτικά συστατικά Α, Β και Γ, που είναι απαραίτητα για την πάχυνση των γαλοπούλων. Κάθε γαλοπούλα πρέπει να προσλαμβάνει μηνιαίως κατ' ελάχιστον 90 γραμμάρια από το συστατικό Α, 48 γραμμάρια από το συστατικό Β και,5 γραμμάρια από το συστατικό Γ. Στον Πίνακα που ακολουθεί, παρατίθενται οι περιεκτικότητες σε γραμμάρια από τα συστατικά Α, Β και Γ ανά κιλό ζωοτροφής τύπου Ι και ζωοτροφής τύπου ΙΙ, όπως επίσης και το κόστος αγοράς (ευρώ) ανά κιλό ζωοτροφής κάθε τύπου. Θρεπτικά Συστατικά Περιεκτικότητα σε γραμμάρια ανά κιλό ζωοτροφής Ζωοτροφή τύπου Ι Ζωοτροφή τύπου ΙΙ Α 5 0 Β 4 3 Γ 0,5 0 Κόστος αγοράς ανά κιλό ζωοτροφής (ευρώ) 20 30 Έτσι για παράδειγμα, ένα κιλό ζωοτροφής τύπου Ι περιέχει 5 γραμμάρια από το συστατικό Α, 4 γραμμάρια από το συστατικό Β και 0,5 γραμμάρια από το συστατικό Γ, ενώ το κόστος αγοράς είναι 20 ευρώ ανά κιλό. Υποθέστε ότι κάθε γαλοπούλα τρώει όλη την τροφή που της δίνεται. Ερώτημα : μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Διατυπώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού η λύση του οποίου θα βοηθήσει την εταιρεία να αποφασίσει πως θα αναμείξει τους δύο τύπους ζωοτροφών για την μηνιαία εκτροφή μιας γαλοπούλας έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η ελάχιστη μηνιαία απαιτούμενη ποσότητα για κάθε συστατικό με το ελάχιστο δυνατό συνολικό κόστος. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιείτε, την αντικειμενική συνάρτηση και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. (5 μονάδες) Πρόκειται για ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους. Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση κόστους είναι z = 20 x + 30 x 2 όπου x είναι η ζωοτροφή τύπου Ι και x 2 είναι η ζωοτροφή τύπου ΙΙ

Οι περιορισμοί που προκύπτουν είναι οι παρακάτω ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Α) : 5x + 0x 2 90 2 ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Β) : 4x + 3x 2 48 3 ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Γ) : 0,5x,5 www.onlineclassroom.gr Τέλος υπάρχει και ο περιορισμός μη αρνητικότητας, x, x 2 0 Ερώτημα 2 : γραφική επίλυση Σε σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων να κατασκευάσετε το χώρο των εφικτών λύσεων. Να επεξηγήσετε πώς αυτός προκύπτει, να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του και να τον σκιαγραφήσετε. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις γνωστές τεχνικές να βρείτε τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τι πρέπει να κάνει τελικά η εταιρεία; (5 μονάδες). Για τη γραφική επίλυση του γραμμικού περιορισμού απαιτείται οι παραπάνω περιορισμοί να απεικονιστούν σε διάγραμμα. Για να σχηματίσουμε τις αντίστοιχες ευθείες θα πρέπει πρώτα να βρούμε τα σημεία τομής τους με τους άξονες. Έτσι έχουμε Για τον ο περιορισμό : 5x + 0 x 2 = 90 Αν x = 0 τότε 0x 2 = 90 x 2 = 9 και Αν x 2 = 0 τότε 5x = 90 x = 8 Άρα ο περιορισμός ( θρεπτικό συστατικό Α) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο ( 8,0) και τον κάθετο στο σημείο (0,9) Για το 2 ο περιορισμό : 4x + 3x 2 = 48 Αν x = 0 τότε 3x 2 = 48 x 2 = 6 και Αν x 2 = 0 τότε 4x = 48 x = 2 Άρα ο περιορισμός 2 ( θρεπτικό συστατικό Β) τέμνει τον κάθετο άξονα στο σημείο ( 0,6) και τον οριζόντιο στο σημείο (2,0) Για τον 3 ο περιορισμό : 0,5x =,5 0,5x =,5 x = 3 Άρα ο περιορισμός 3 (θρεπτικό συστατικό Γ) τέμνει μόνο τον οριζόντιο άξονα στο σημείο (3,0).

Γραφικά όλα τα παραπάνω απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα Σημείωση : Το γράφημα πρέπει να είναι όσο γίνεται πιο ακριβές γι αυτό συνίσταται η χρήση χάρακα. X 2 6 Α 9 2 ος 3 ος Β ος 3 2 8 Γ Χ Η βέλτιστη λύση, δηλαδή η ελαχιστοποίηση του κόστους βρίσκεται σε μια από τις κορυφές Α Β Γ. Δηλαδή η εφικτή περιοχή είναι το τμήμα που εκτίνεται δεξιά των κορυφών Α Β Γ.

Για να βρούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου και να τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση z = 20 x + 30 x 2 o Έτσι από την κορυφή Α διέρχονται οι ευθείες του έχουμε 2 ου περιορισμού 4x + 3x 2 = 48 και του 3 ου περιορισμού 0,5x =,5. 3x2 36 4x Άρα 3x2 48 4 3 3x2 48 3x2 48 2 x2 2 0,5x x 3 x,5 x 3 x 3 3 Δηλαδή η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Α είναι z 20x 30x2 z 20 3 30 2 z 60 360 z 420 o Από την κορυφή Β διέρχονται οι ευθείες του έχουμε ου περιορισμού 5x + 0x 2 = 90 και του 2 ου περιορισμού 4x + 3x 2 = 48. Επομένως 5x 0x2 90 5x 0x2 90 x x 2x 2 +8 2x 2 +8 5 5 5 4x 3x 48 4x 3x 48 4 2x +8 3x 48 2 2 2 2 4x 3x2 48 x 2x 2 +8 x 2x 2 +8 2x x 2 +8 X -5x2 24 2*4,889,688,4 8x2 72 3x2 48 5x2 48 72 24 X2 4,8 5 5 Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Β είναι z 20x 30x2 z 20 8,4 30 4,8 z 32 o Από την κορυφή Γ διέρχεται μόνο η ευθεία του έχουμε ου περιορισμού 5x + 0x 2 = 90. Επομένως x = 8 και x 2 = 0. Άρα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην κορυφή Γ είναι z 20x 30x2 z 20 8 30 0 z 360 Καταλήγοντας συμπεραίνουμε ότι η βέλτιστη λύση βρίσκεται στην κορυφή Β με x = 8,4 και x 2 = 4,8, που σημαίνει ότι η ελάχιστη μηνιαία ποσότητα από τη ζωοτροφή τύπου Ι πρέπει να είναι 8,4 κιλά και από τη ζωοτροφή τύπου ΙΙ 4,8 κιλά με συνολικό κόστος 32 χρηματικές μονάδες. Ερώτημα 3 : λύση με SOLVER Επιλύστε το μοντέλο σας στο Excel, όπου θα πρέπει να ετοιμάσετε τρία φύλλα εργασίας στο ίδιο αρχείο: α) τα δεδομένα με την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (answer report) και γ) την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report). Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με εκείνα της γραφικής επίλυσης. Μεταφέρετε στο κείμενο της εργασίας σας ως εικόνες το μοντέλο, την αναφορά απάντησης και την αναφορά ευαισθησίας. (5 μονάδες)

Δεδομένα μετά την επίλυση ΛΥΣΗ ΜΕ SOLVER Ζωοτροφή Ι Ζωοτροφή ΙΙ 8,40 4,8 Κόστος αγοράς ανά κιλό ζωοτροφής 20 30 Περιορισμοί Συνολικό Κόστος Τιμή Αντικειμενικής 32 Θρεπτικό συστατικό Α 5 0 90,00? 90 Θρεπτικό συστατικό Β 4 3 48,00? 48 Θρεπτικό συστατικό Γ 0,5 0 4,20?,5 M icros oft Ex ce l 2.0 Αναφ ορ ά ευ αισ θ ησ ίας Φ ύλ λο ε ργ ασ ίας: [4 η Ερ γασ ία - Άσ κ ησ η.xls] Θ έμ α - Ε ρώ τ ημα 3 Η με ρομη νία δημιο υρ γίας α ναφ ορά ς: 9 /4 /20 6 5: 4 :2 μμ Ρ υ θμ ιζ όμ ε να κελι ά Τε λ ική Ε λ αττ ωμ έ νη Κελί Ό νομ α τιμή π αράγ ω γος $ B$ 5 Ζω οτ ρο φή Ι 8,4 0 0,0 0 $ C$5 Ζω οτ ρο φή ΙΙ 4,8 0 Π ερ ιο ρ ισμ οί Τε λ ική Τε λε σ τ ής Κελί Ό νομ α τιμή La gran ge $ D$9 Θ ρε π τικό συ στα τικό Α 9 0,0 0 2,4 0 $ D$ 0 Θ ρε π τικό συ στα τικό Β 4 8,0 0 2,0 0 $ D$ Θ ρε π τικό συ στα τικό Γ 4,2 0 0,0 0 M icros oft Ex ce l 2.0 Α ναφ ορ ά απ άντ ησ ης Φ ύλ λο ε ργ ασ ίας: [4 η Ερ γασ ία - Ά σ κ ησ η.xls] Θ έμ α - Ε ρώ τ ημα 3 Η με ρομη νία δ ημιο υρ γίας α ναφ ορά ς: 9 /4 /20 6 5: 4 :2 μμ Κ ε λί π ρ οο ρι σμ ού (Ε λά χιστο) Κ ε λί Ό νομ α Α ρ χικ ή τιμ ή Τε λικ ή τιμ ή $ G $7 Τιμ ή Αν τικε ιμ ε νική ς 0 3 2 Ρ υ θμ ιζ όμ ε να κελι ά Κ ε λί Ό νομ α Α ρ χικ ή τιμ ή Τε λικ ή τιμ ή $ B$ 5 Ζω οτ ρο φή Ι 0,0 0 8,40 $ C $5 Ζω οτ ρο φή ΙΙ 0 4,8 Π ερ ιο ρ ισμ οί Κ ε λί Ό νομ α Τιμ ή κε λιο ύ Τ ύπ ος Κ ατ άσ τα ση Α π όκλ ισ η $ D $9 Θ ρε π τικό συ στα τικό Α 9 0,0 0 $ D $9 > = $F$ 9 Υ π ο χρ εω τι κός 0,0 0 $ D $ 0 Θ ρε π τικό συ στα τικό Β 4 8,0 0 $ D $ 0> = $ F$ 0 Υ π ο χρ εω τι κός 0,0 0 $ D $ Θ ρε π τικό συ στα τικό Γ 4,2 0 $ D $ > = $ F$ Μ η υ π οχρ ε ω τικό ς 2,7 0 Όπως βλέπουμε το σημείο ισορροπίας της γραφικής επίλυσης ταυτίζεται με το σημείο ισορροπίας της επίλυσης με το excel και αντιστοιχεί σε 8,40 κιλά ζωοτροφής τύπου Ι και 4,80 κιλά ζωοτροφής τύπου ΙΙ. Ενώ το ελάχιστο κόστος που επιτυγχάνεται είναι 32.

Ερώτημα 4 Να ελέγξετε αν με την εφαρμογή της βέλτιστης λύσης από την εταιρεία οι γαλοπούλες τρέφονται με τις ελάχιστες απαιτούμενες μηνιαίες ποσότητες των τριών συστατικών ή όχι. (2 μονάδες) ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Α) : 5x + 0x 2 90 => 5*8,4+0*4,8 = 42+48=90 ελάχιστη μηνιαία ποσότητα θρεπτικού συστατικού Α 2 ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Β) : 4x + 3x 2 48 => 4*8,4+3*4,8 = 33,6+4,4=48 ελάχιστη μηνιαία ποσότητα θρεπτικού συστατικού Β 3 ος (αφορά το θρεπτικό συστατικό Γ) : 0,5x,5 => 0,5* 8,4 = 4,2 >,5 παραπάνω από την ελάχιστη ποσότητα του θρεπτικού συστατικού Γ. Οι γαλοπούλες τρέφονται με τις ελάχιστες απαιτούμενες ποσότητες των θρεπτικών συστατικών Α και Β ενώ όσον αφορά το θρεπτικό συστατικό Γ υπάρχει επιπλέον πρόσληψη καθώς οι γαλοπούλες προσλαμβάνουν 4,20 γραμμάρια ενώ απαιτούνται μόλις,50. Ερώτημα 5 Αν υποθέσουμε ότι η ελάχιστη μηνιαία ποσότητα του συστατικού Β μεταβάλλεται, είτε θετικά είτε αρνητικά, τότε μπορεί να επιτευχθεί χαμηλότερο κόστος;(2 μονάδες) Για να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα χρησιμοποιήστε την αναφορά ευαισθησίας του Excel χωρίς να λύσετε εκ νέου το πρόβλημα. Εφόσον ο περιορισμός του θρεπτικού συστατικού Β εξαντλείται κατάσταση: υποχρεωτικός και θετικός τελεστής Lagrange =2 άρα κάθε μεταβολή στην απαιτούμενη ποσότητα του μεταβάλλει το κόστος κατά 2 προς την ίδια κατεύθυνση. Αν λοιπόν μειωθεί η ελάχιστη μηνιαία ποσότητα κατά γραμμάριο το κόστος θα μειωθεί κατά 2 ενώ αν αυξηθεί κατά γραμμάριο το κόστος θα αυξηθεί κατά 2. Ερώτημα 6 Η μείωση κατά ένα γραμμάριο της ελάχιστης απαιτούμενης μηνιαίας ποσότητας του συστατικού Β, αυξάνει ή μειώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και αν ναι, κατά πόσα ευρώ; Όπως αναφέρθηκε και στο ερώτημα 5 η μείωση κατά ένα γραμμάριο της ελάχιστης απαιτούμενης μηνιαίας ποσότητας του συστατικού Β θα μειώσει την τιμή του ελάχιστου κόστους κατά 2. Ερώτημα 7 Αν μπορούσατε να μειώσετε κατά ένα γραμμάριο την ελάχιστη απαιτούμενη μηνιαία ποσότητα ενός μόνο εκ των τριών θρεπτικών συστατικών, σε ποιο από τα τρία θα το κάνατε και γιατί; (2 μονάδες) Θα το έκανα στο θρεπτικό συστατικό Α που έχει τον υψηλότερο τελεστή Lagrange διότι σημαίνει ότι η μείωση της ελάχιστης μηνιαίας ποσότητας κατά γραμμάριο εξοικονομεί κόστος 2,40. 6

Ερώτημα 8 Πόσο μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί το μηνιαίο κόστος αγοράς ενός κιλού ζωοτροφής τύπου ΙΙ από την τρέχουσα τιμή των 30, χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα ; (2 μονάδες) Εάν το μηνιαίο κόστος αγοράς της ζωοτροφής τύπου ΙΙ αυξηθεί κατά 0 δηλαδή ανέλθει στα 40 τότε βέλτιστη λύση θα γίνει η κορυφή Γ και θα συμφέρει η αγορά μόνο ζωοτροφής τύπου Ι. Ζ β = 20 * 8,4 + 40 * 4,8 = 68 + 92 = 360 ενώ Ζ γ = 20 * 8 = 360 Εάν από την άλλη μειωθεί κατά 5 στα 5 θα συμφέρει ο συνδυασμός Α που περιέχει 3 κιλά ζωοτροφής τύπου Ι και 2 κιλά ζωοτροφής τύπου ΙΙ καθώς: Ζ α = 20*3 +2 *5 = 60+80 = 240 ενώ Ζ β = 20 * 8,4 + 5 * 4,8 = 68 + 72 = 240 E-mail: info@onlineclassroom.gr 7