5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο Ζ είναι παραλληλόγραµµο ii ν Θ είναι το σηµείο τοµής των Ζ και τότε α) Το Θ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου Ζ β) Θ = 3 Μ = Μ, ˆω = ˆφ, ɵ = i ίναι // Ζ και από το ( Ζ = = άρα =// Ζ οπότε Ζ παραλληλόγραµµο ii Κ κέντρο του παραλληλόγραµµου Ζ άρα Κ µέσο του συνεπώς ΖΚ διάµεσος του τριγώνου Ζ () επίσης από το ( EM = MZ άρα και Μ διάµεσος του τριγώνου Ζ () από τις () και () Θ κέντρο βάρους του Ζ πό το (ii Θ = 3 Μ και Μ = άρα Θ = 3 = 3 Κ Θ φ ω Μ Ζ

4. ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και µία διάµετρος του. Φέρουµε την µεσοκάθετο στην Ο Που τέµνει την Ο στο Μ και τον κύκλο στο. είξτε ότι Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο i Η Ο είναι διχοτόµος της γωνίας Μ ii = Μ Μ µεσοκάθετος στο Ο = Ο = ρ = Ο άρα το Ο ισόπλευρο Μ ω φ i Ο ισόπλευρο και Μ µεσοκάθετος άρα και διχοτόµος οπότε ˆω= 30 ο Ο = Ο οπότε ˆφ = ˆκαι επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ( ˆ εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο) µε ˆ = 60 ο θα είναι ˆ = 30 ο = ˆφ φού ˆω= 30 ο = ˆφ η Ο διχοτόµος ii Στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ ˆ = 30 ο άρα Μ = Ο = Μ

43. Σε τραπέζιο η βάση είναι διπλάσια από την βάση. Έστω Ζ, Η τα µέσα των και αντίστοιχα. είξτε ότι ZH = 3 i ν µέσο του τότε το είναι παραλληλόγραµµο ii ν η ΖΗ τέµνει τα και στα Θ, Ι αντίστοιχα τότε ΘΙ = ΘΗ Τα τµήµατα, ΖΙ, συντρέχουν και Ι µέσο του 4 ΖΗ διάµεσος άρα ΖΗ = i + + = = = 3 = // άρα παραλληλόγραµµο ii Ζ µέσο του και ΖΘ // άρα Θ µέσο του και οµοίως Ι µέσο του οπότε ΘΙ = = = οµοίως ΙΗ = = = άρα ΘΙ= ΙΗ 4 4 Το παραλληλόγραµµο και Θ µέσο της διαγωνίου του άρα Θ κέντρο αυτού από το οποίο διέρχεται και η διαγώνιος Ζ Θ Ι Η

44. Σε ισοσκελές τρίγωνο στις ίσες πλευρές του και παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα έτσι ώστε = 3 και = και ονοµάζουµε Μ το µέσο 3 του τµήµατος. είξτε ότι Το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές i Η Μ είναι διχοτόµος της γωνίας ii Το είναι ισοσκελές τραπέζιο = = = και = 3 = 3 Μ = ˆ = ˆ άρα και ˆ = ˆ = Μ=Μ ɵ = i Μ =Μ άρα Μ = Μ Μ ισοσκελές = Μ=Μ Μ από ( Μ=Μ =Μ άρα Μ = Μ Μ διχοτόµος ii Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή µε κοινή την γωνία της κορυφής τους ˆ οπότε θα έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες άρα ˆ Μ = ˆ // συνεπώς το τραπέζιο και µάλιστα ισοσκελές διότι =

45. Σε τρίγωνο είναι =, = ɵ.η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο.πό το φέρω την. είξτε ότι Το τρίγωνο είναι ισοσκελές i Τα τρίγωνα και είναι ίσα ii Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ν) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ν Aν Ρ τυχαίο σηµείο του τότε το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές = ɵ = ɵ = άρα ɵ ισοσκελές µε = i ισοσκελές µε = και ύψος του άρα διάµεσος οπότε = =, = και = άρα τα τρίγωνα και είναι ίσα ii πό το (i έχουµε = ɵ = 90 ο συνεπώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι + ɵ = 90 ο ɵ + ɵ = 90 ο ɵ = 30 ο οπότε = 60 ο και = 90 ο ν) Στο ισοσκελές τρίγωνο είναι = 60 ο οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο v Στο ισοπλευρο τρίγωνο η είναι διχοτόµος άρα και µεσοκάθετος στο Ρ οπότε Ρ = Ρ το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές

46. Σε παραλληλόγραµµο φέρνουµε τµήµα Ρ και στην προέκταση του Ρ παίρνουµε τµήµα Ρ = Ρ. είξτε ότι Το τρίγωνο είναι ισοσκελές i // ii Το είναι ισοσκελές τραπέζιο Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ν) ν ΚΛ είναι η διάµεσος του τραπεζίου τότε Ρ = ΚΛ Στο τρίγωνο η Ρ είναι διάµεσος και ύψος άρα το είναι ισοσκελές µε = i Φέρω την διαγώνιο τότε Ρ µέσο του και Ο µέσο του αρα ΡΟ // συνεπώς // ii πειδή // το είναι τραπέζιο όµως = = άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές Eπειδή ΡΟ και // ΡΟ θα είναι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ν) Ρ µέσο του και Κ µέσο του άρα ΡΚ = // το ΛΚΡ παραλληλόγραµµο άρα Ρ = ΚΛ Κ Ρ Ο Λ = // = // Λ εποµένως

47. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) και η διχοτόµος αυτού.φέρω την. Η προέκταση της τέµνει την προέκταση της στο Ζ.είξτε ότι Τα τρίγωνα και είναι ίσα i Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές ii Ζ Το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο Ορθογώνια µε κοινή και ˆ = ˆ i Τα τρίγωνα Ζ και είναι ίσα διότι ˆ = Ê = 90 ο, = από το ( και ˆω= ˆφ Άρα Ζ = επειδή όµως από το ( προκύπτει ότι = θα είναι + Ζ = + Ζ = ω φ Ζ ισοσκελές Ζ ii Στο ισοσελές τρίγωνο Ζ η είναι διχοτόµος της γωνίας της κορυφής άρα και ύψος δηλαδή Ζ ˆ + Ê = 80ο άρα το εγγράψιµο

48. Σε παραλληλόγραµµο είναι = 0 ο και η διχοτόµος της γωνίας διέρχεται από το µέσο της. Φέρω τµήµα Η είξτε ότι = i Η = 4 ii Η = Ê = 90ο ˆ = ˆ και ˆ = Ê άρα 0 ο ˆ = Ê ισοσκελές οπότε Κ = = Η Μ i φού = 0 ο και ˆ = Ê θα είναι ˆ = 30 ο οπότε ˆΗ = 60 ο συνεπώς ˆΗ = 30 ο Άρα Η = = = = 4 4 ii Φέρω Κ στο ισοσκελές τρίγωνο η Κ ύψος άρα και διάµεσος τα ορθογώνια τρίγωνα Κ και Η έχουν την κοινή και Κ = 60 ο = Η άρα είναι ίσα οπότε Η = Κ = Έστω Μ το µέσο της τότε = // Μ Μ παραλληλόγραµµο Μ = Στο τρίγωνο η διάµεσος Μ = = = άρα ορθογώνιο στο

49. Σε τραπέζιο είναι = = 90 ο, = ɵ, = 3α, = 4α και, Ζ µέσα των και αντίστοιχα Να υπολογιστεί το µήκος του Ζ συναρτήση του α i ν Η είναι ύψος του τραπεζίου να υπολογιστούν τα µήκη των και ΗΖ συναρτήσει του α ii ν η προέκταση της Ζ τέµνει την ευθεία στο Κ α) Να αποδείξετε ότι = Κ β) Το ΚΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο Ζ = i + 7α = ω Ζ Κ + ɵ = 80 ο και Λόγω της υπόθεσης Η ɵ + ɵ = 80 ο ɵ = 60 ο Οπότε ω= 30 ο συνεπώς Η = = Η όµως = 3α και από το ορθογώνιο Η θα είναι Η = = 3α εποµένως Η = Η = 4α 3α = α άρα = α και ΗΖ = = α ii Ζ = Ζ, ɵ = και ΖΚ = Ζ ότι τα τρίγωνα ΖΚ και Ζ είναι ίσα εποµένως Κ = και αφού επιπλέον είναι Κ // το Κ είναι παραλληλόγραµµο οπότε = Κ Το ΚΗ είναι τραπέζιο και επειδή Κ = = Η (οι διαγώνιες ορθογωνίου είναι ίσες) το τραπέζιο είναι ισοσκελές

50. Σε τετράγωνο προεκτείνουµε την διαγώνιο κατά τµήµα =, έστω Ζ το µέσο της πλευράς και Η το σηµείο τοµής των και. είξτε ότι Η = i Ζ = Η ii Ζ, Η µέσα των, άρα Η = i AB = = ω Τ Ζ Η Τα ορθογώνια τρίγωνα Η και Ζ έχουν = και Η = Ζ Άρα είναι ίσα οπότε Ζ = Η ii φ φού τα τρίγωνα Η και Ζ είναι ίσα θα είναι ˆφ = ˆω όµως και ˆΖ = ˆΖ ως κατακορυφήν συνεπώς και οι τρίτες γωνίες των τριγώνων ΤΖ και Ζ είναι ίσες άρα ˆΤ = Ζ ˆ = 90 ο συνεπώς Ζ