ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ

Θα ήθελα να ευχαριτήω τον κ Χρήτο Νικολόπουλο για την εκπόνηη αυτής της διπλωματικής και για την βοήθεια του και τους κ Νίκο Καραχάλιο και κ Ευτράτιο Ιωαννίδη για την καλή διάθεη τους να υμμετάχουν την εξετατική επιτροπή Επίης θα ήθελα να ευχαριτήω όλους τους δικούς μου ανθρώπους που μου υμπαρατάθηκαν με τον δικό τους τρόπο

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Κεφάλαιο : Eιαγωγή Aναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις Michaelis Menton Κανονικοποίηη Κεφάλαιο : Eξιώεις μοντέλου για τον κύκλο του άνθρακα Κανονικοποίηη μοντέλου Κεφάλαιο : Αριθμητική επίλυη του μοντέλου για τον κύκλο του άνθρακα Μέθοδος Euler Μέθοδος Runge-Kutta Αριθμητικά αποτελέματα Συμπεράματα Κεφάλαιο 4: 4 Μια επέκταη του διευρυμένου μοντέλου 4 Κανονικοποίηη μοντέλου Κεφάλαιο 5: 5 Αριθμητική επίλυη του μοντέλου Μέθοδος πεπεραμένων διαφορών 5 Αριθμητικά αποτελέματα 5 Συμπεράματα Παράρτημα Βιβλιογραφία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Eιαγωγή: Οι άνθρωποι ήταν ανέκαθεν ε ένταη με το περιβάλλον καθώς αναζητούν καλύτερες υνθήκες επιβίωης Η γη έχει καθαριτεί λόγω της γεωργίας ή του εμπορίου και πολλές οικογένειες ζώων έχουν εξαφανιτεί Η διαφορά την κατάταη την οποία βρικόματε ήμερα αντικατοπτρίζεται το μέγεθος των υγκρούεων μας Είματε πολύ πιο πολυάριθμοι: 57 διεκατομμύρια άνθρωποι αγωνίζονται για επιβίωη και πολλαπλαιάζονται Κάθε έξι μήνες γεννιέται πληθυμός ιοδύναμος με αυτόν της Γαλλίας περίπου 5 εκατομμύρια Φαντατείτε κάθε έξι μήνες ακόμη μία Γαλλία να ψάχνει να προμηθευτεί φαί τέγη δουλειά Κάθε δέκα χρόνια δημιουργείται πληθυμός ιάξιος το μέγεθος της Κίνας Η δραματική αύξηη του πληθυμού της γης αλλά και η αύξηη της κατά κεφαλής κατανάλωης πόρων ειδικά τις βιομηχανοποιημένες κοινωνίες έχει άμεες επιπτώεις το περιβάλλον Η πιο ημαντική ίως είναι αυτή που έχει να κάνει με την αλλαγή του κλίματος της γης Η απελευθέρωη μεγάλων ποοτήτων αερίων CO CH4 NO κτλ την ατμόφαιρα λόγω ανθρωπίνων δρατηριοτήτων (πχ εξατμίεις λιπάματα κτλ) προκαλεί μεταβολή της θερμοχωρητικότητας της ατμόφαιρας (εγκλωβίζεται θερμότητα) πράγμα που έχει αν αναμενόμενο αποτέλεμα την αύξηη της μέης θερμοκραίας της γης Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο του θερμοκηπίου Ένα χετικά ακριβές μοντέλο χετικά με το φαινόμενο του θερμοκηπίου είναι ένα μοντέλο που θα προδιορίζει τη υγκέντρωη του CO την ατμόφαιρα Το CO είναι το πιο βαικό από τα αέρια του θερμοκηπίου και γι αυτό και θα μελετήουμε τον κύκλο του Προδιορίζοντας τη υγκέντρωη του CO την ατμόφαιρα μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηη για την αύξηη της θερμότητας που εγκλωβίζεται την ατμόφαιρα και με μεγαλύτερη ακρίβεια να υπολογίουμε την επιφανειακή θερμοκραία της γης Ένα τέτοιο μοντέλο είναι το μοντέλο που παρουιάζεται το [] το μοντέλο δηλαδή που εξετάζει ο JLSchnoor και είναι αυτό που θα εξετάουμε κι εμείς (Μια χηματική αναπαράταη του μοντέλου είναι το Σχήμα ) Σε αυτό το μοντέλο θεωρούμε τρείς μεγάλες δεξαμενές άνθρακα την ατμόφαιρα τη γήινη βιόφαιρα και τον ωκεανό Η γήινη βιόφαιρα αποτελείται από τα έμβια όντα τη γη το έδαφος και τη βλάτηη Ο ωκεανός χωρίζεται τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (ΘΕΥ) Κρύα Επιφανειακά Υδατα (ΚΕΥ) Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους (ΥΜΕΒ) και τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων (ΕΘΕΥ) και Εμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων (ΕΚΕΥ) Ανάμεα ε αυτές τις υνιτώες θεωρούμε ότι υπάρχει ροή του άνθρακα ή των 4

ενώεων του (κυρίως του CO ) Οι υνιτώες αυτές χηματικά υμβολίζονται με κιβώτια και οι ροές ανάμεα τους με βέλη που δείχνουν τη κατεύθυνη της ροής του άνθρακα Οι ροές κατά βάη είναι χημικές αντιδράεις πρώτης τάξης αλλά όον αφορά την αναπνοή έμβιων όντων της γης ή τη φωτούνθεη είναι αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton Σχήμα Αυτή είναι μια χηματική αναπαράταη του μοντέλου που εξετάζουμε Τα κιβώτια αναπαρατούν τις υνιτώες του μοντέλου και οι ροές ανάμεα τους με βέλη δείχνουν τη κατεύθυνη της ροής του άνθρακα Οι μονάδες τα κιβώτια είναι γιγατόνοι άνθρακα (GT C) και τις ροές γιγατόνοι άνθρακα ανά χρόνο ( GT C / yr ) Σε αυτό το ημείο θα γίνει μια μικρή αναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton: 5

Χημικές αντιδράεις: Ο βαικός νόμος που διέπει μια χημική αντίδραη είναι ο ακόλουθος : Ο ρυθμός μιας χημικής αντίδραης είναι ανάλογος με τη υγκέντρωη των αντιδρόντων που λαμβάνουν μέρος την αντίδραη υψωμένη ε δύναμη ίη με τη τοιχειωμετρική ταθερά τους Αν για παράδειγμα έχoυμε τη χημική αντίδραη: aa + bb cc + dd όπου A B C D είναι οι χημικές ενώεις ή τοιχεία που μετέχουν την αντίδραη και a b c d οι τοιχειωμετρικές ταθερές τους αντίτοιχα τότε ο ρυθμός της ευθείας a b αντίδραης ( ) είναι : k [ A] [ B ] p c και ο ρυθμός της αντίτροφης αντίδραης ( ) είναι: k [ C] [ D] a b c d O υνολικός ρυθμός της αντίδραης είναι: k [ A] [ B] k [ C] [ D] όπου k k είναι ταθερές αναλογίας p r a b c d Σε υνθήκες χημικής ιορροπίας ιχύει: k p[ A] [ B] = kr[ C] [ D] Θα αναφέρουμε κάποια παραδείγματα χημικών αντιδράεων Στοιχειώδης χημικές αντιδράεις είναι οι εξής: (α) A B : Σε αυτή την περίπτωη mole του A κατά την αντίδραη παράγει mole του B Ο ρυθμός της αντίδραης είναι k[ A] και η εξίωη για τη υγκέντρωη του A d[ A] = k[ A] όπου k η ταθερά της αντίδραης (β) A B : Σε αυτή την περίπτωη mole του A παράγουν mole του B d[ A] Η εξίωη για τη υγκέντρωη του A είναι: = k[ A] d[ A] (γ) Για την αντίδραη A + B C έχουμε: = k[ A][ B] Επίης η ταθερά k εξαρτάται από τη θερμοκραία Ο λόγος γι αυτό είναι ότι ύμφωνα με τη θεωρία αλλαγής φάης του Eyring [] μια χημική αντίδραη πρέπει να υπερβεί ένα ποό ενέργειας για να εξελιχθεί Έτι ύμφωνα με το νόμο του Arrhenious έχουμε E RT ότι k = Ae όπου E η ενέργεια ενεργοποίηης της αντίδραης R η παγκόμια E ταθερά αναλογίας A ταθερά και T η θερμοκραία Στην περίπτωη που >> RT για T μια θερμοκραία αναφοράς πράγμα που υμβαίνει υχνά ε περιβαλλοντικά υτήματα έχουμε για T = T ( + ε θ E ) k ; ce θ ε = όπου c ταθερά RT Για μια αντίδραη της μορφής: aa + bb + cc + Ύ Ύ προιόντα a b c o ρυθμός της αντίδραης είναι : k[ A] [ B] [ C] ΧΧΧ και η τάξη της a + b + c + d[ A] Μια αντίδραη της οποίας η εξίωη είναι της μορφής: = k είναι μηδενικής τάξης p r r d 6

d[ A] d[ B] k Η αντίδραη A Ύ Ύ B είναι πρώτης τάξης και = k[ A] = k[ A] όπου { k} = T όπου T : μονάδα χρόνου (με {Μ}υμβολίζουμε τις μονάδες του μεγέθους Μ) Λύνοντας τις εξιώεις έχουμε: kt d[ B] [ A] = [ A ] e kt kt και = k[ A ] e ή [ B] = [ A ]( e ) όπου[ A ] = [ A]() δηλαδή η υγκέντρωη για t = Παραδείγματα τέτοιων αντιδράεων έχουμε τη περίπτωη της μείωης ραδιοιοτόπων τη βιοχημική κατανάλωη οξυγόνου από ένα ρεύμα αέρα την αναπνοή βακτηριδίων άλγης κτλ d[ A] k ' Η αντίδραη A + A Ύ Ύ B είναι δεύτερης τάξης Έχουμε = k[ A] = k[ A] [ A ' ] k = k και [ A]( t) = [ A ] kt + Όμοια η αντίδραη A + B D είναι δεύτερης τάξης Παραδείγματα αντιδράεων δεύτερης τάξης έχουμε τη διαδικαία χηματιμού κρυτάλλων τον χηματιμό πυρήνων ωματιδίων την κινητική βακτηριδίων κτλ Η αντίδραη Michaelis-Menton είναι ένα παράδειγμα αντίδραης που η τάξη της είναι μεταξύ ένα και δύο Αυτή η αντίδραη ακολουθεί ένα μηχανιμό δύο βημάτων: k k k E + S Ύ Ύ [ ES] Ύ Ύ E + P όπου k k k οι ταθερές της αντίδραης και επιπλέον έχουμε ότι η αντίδραη k [ ES] Ύ Ύ E + P γίνεται αργά ε χέη με την E + S Ύ k Ύ [ ES] και την k E + S Ύ Ύ [ ES] όπου E : ένζυμο S : αντιδρών P : προιόν Ο ρόλος του ενζύμου είναι ότι μειώνει την ενέργεια της αντίδραης ενώ αυξάνει τον ρυθμό της Για τη υγκέντρωη της ένωης ES έχουμε: d[ ES] d[ P] = k[ E][ S] k[ ES] k[ ES] ενώ για το προιόν P ιχύει : = k[ ES] Επειδή η πρώτη αντίδραη E + S Ύ [ ES] γίνεται με πολύ πιο γρήγορο ρυθμό ε k χέη με τη δεύτερη [ ES] Ύ Ύ E + P ( k << k ) μπορούμε να υποθέουμε ότι η αντίδραη E + S Ύ Ύ ES βρίκεται ε ιορροπία ενώ εξελίεται η δεύτερη d[ ES] Δηλαδή για = και k << k έχουμε: ( k + k )[ ES] = k [ E][ S] ή k [ E][ S] km = = k [ ES] Επίης αν E T : η υνολική ποότητα ενζύμου που μετέχει την αντίδραη έχουμε: ET = E + ES [ ET ][ S] d[ P] [ ET ][ S] Άρα [ ES] = και = k k + [ S] k + [ S] M M 7

Ο όρος [ E T ] αυξάνει τον ρυθμό της αντίδραης και ο όρος k[ ET ] = µ max[ P] που είναι ο μέγιτος ρυθμός αύξηης του προιόντος και θεωρούμε ότι είναι ανάλογος του [ P ] και έτι η εξίωη γίνεται: d[ P] [ P][ S] = µ max [ S ] = [ S ] [ P ] k + [ S] M Στην περίπτωη όπου [ S ] << k M η εξίωη παίρνει τη μορφή: d[ P] µ max = [ P][ S]: η οποία είναι αντίδραη δεύτερης τάξης k M ενώ για [ S ] >> k M η εξίωη γίνεται: d[ P] = µ max[ P]: η οποία είναι αντίδραη πρώτης τάξης Επίης ο ρυθμός αύξηης της αντίδραης µ δίνεται από τη χέη: d[ P] µ max[ S] µ = = [ P] k + [ S] M Αυτή ήταν μια μικρή αναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton Κανονικοποίηη: Για την αριθμητική επίλυη και γενικότερα τη διερεύνηη του μοντέλου θα χρηιμοποιήουμε τη μέθοδο της κανονικοποίηης για την οποία θα πούμε λίγα λόγια Κανονικοποίηη είναι η επιλογή νέων υνήθως αδιάτατων μεταβλητών και η επαναδιατύπωη του προβλήματος μέω αυτών των νέων μεταβλητών Έτι μπορούμε να υγκρίνουμε την τάξη μεγέθους διαφόρων όρων ε μια εξίωη για να δούμε τα χετικά μεγέθη των όρων της εξίωης να απλοποιήουμε το ύτημα των εξίώεων και πιθανά να παραλείψουμε αν χρειάζεται μικρούς όρους Αυτό βοηθάει τη ωτή εφαρμογή των μεθόδων διαταραχών Για παράδειγμα έτω ο χρόνος t μια μεταβλητή ε δευτερόλεπτα Τότε για την κίνηη του παγετώνα ο χρόνος t είναι γρήγορη μονάδα ενώ για μια πυρηνική αντίδραη είναι πολύ μεγάλη μονάδα Κάθε πρόβλημα έχει μια εγγενή κλίμακα χρόνου ή χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t c Η ποότητα t c μπορεί να οριθεί το μικρότερο χρονικό διάτημα που απαιτείται για να παρατηρηθούν αναγνωρίιμες μεταβολές τα φυικά μεγέθη του προβλήματος Αν γνωρίζουμε τον χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t c τότε αλλάζουμε την κλίμακα τ = t / t c και ο τ αδιάτατος χρόνος είναι της τάξης του ένα Οι χαρακτηριτικές ποότητες αναφοράς προδιορίζονται από υνδιαμούς διαφόρων διατατικών μεγεθών του προβλήματος και πρέπει χονδρικά να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με την ποότητα που χαρακτηρίζουν Αναλυτικότερα θα εξετάουμε την κανονικοποίηη το επόμενο κεφάλαιο Θα πάρουμε λοιπόν το μοντέλο του Carbon Cycle που παρουιάζεται το [] που αποτελείται από οκτώ εξιώεις θα το κανονικοποιήουμε θα το επιλύουμε αριθμητικά και θα αναπαράγουμε τα αποτελέματα Στη υνέχεια θα αναπτύξουμε ένα 8

πιο ύνθετο μοντέλο με μερικές διαφορικές εξιώεις για να έχουμε ένα ακριβέτερο μοντέλο βαιμένο το [] δηλαδή τις μελέτες των Takashi Ikeda και Eiichi Tajika Έτι οι τρείς υνιτώες: Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους θα αντικαταταθούν από μια υνιτώα και αντίτοιχα οι υνιτώες: Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους θα αντικαταταθούν από μια άλλη υνιτώα τις οποίες θεωρούμε ότι έχουμε επιπλέον εκτός του χρόνου εξάρτηη και από τη χωρική μεταβλητή z δηλαδή το βάθος από την επιφάνεια της θάλαας Το αποτέλεμα θα είναι ένα καινούργιο μοντέλο που θα αποτελείται από τρείς υνήθεις διαφορικές εξιώεις και δύο μερικές διαφορικές εξιώεις Θα κανονικοποιήουμε και πάλι το καινούργιο μοντέλο θα το λύουμε αριθμητικά και θα ερμηνεύουμε τα αποτελέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξιώεις Μοντέλου: Όπως ήδη αναφέραμε ε αυτό το μοντέλο θεωρούμε τρείς μεγάλες δεξαμενές άνθρακα την ατμόφαιρα τη γήινη βιόφαιρα και τον ωκεανό Η γήινη βιόφαιρα αποτελείται από τα έμβια όντα τη γη το έδαφος και τη βλάτηη Ο ωκεανός χωρίζεται τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (ΘΕΥ) Κρύα Επιφανειακά Υδατα (ΚΕΥ) Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους (ΥΜΕΒ) και τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων (ΕΘΕΥ) και Εμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων (ΕΚΕΥ) Συνολικά έχουμε οκτώ υνιτώες και δεκαεννιά ροές και επιπλέον μια ροή προς το κιβώτιο της ατμόφαιρας που μοντελοποιεί τις ανθρωπογενείς εκπομπές Η μεταβολή αυτής της τελευταίας ροής είναι που θα μας δείξει πως αποκλίνει το ύτημα από τη φυική του ιορροπία λόγω της μόλυνης που προκαλείται από τον άνθρωπο Πιο υγκεκριμένα οι εξιώεις του μοντέλου παράγονται ως εξής: C : Η εξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης Έχουμε αν C η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια όντα της γης τότε η μεταβολή του άνθρακα είναι ανάλογη της απορρόφηης άνθρακα λόγω φωτούνθεης της αναπνοής των έμβιων όντων της μεταφοράς άνθρακα το έδαφος λόγω απούνθεης και της αποδάωης (βλ Σχήμα ) Τότε dc C Τ C Τ C A = [ k p C A θ p ] [ kbr C A θ br ] [ ke C A ] D( t) km + C km + C km + C Όπου: A : επιφάνεια γης ε L² L μονάδα μήκους k p : ταθερά μέγιτου ρυθμού φωτούνθεης ε T T μονάδα χρόνου 9

k m : ταχύτητα μέου κορεμού ε ML M μονάδα μάζας θ p : αδιάτατη ταθερά εξάρτηης από θερμοκραία ΔΤ: μεταβολή μέης θερμοκραίας γης από τη τάιμη κατάταη (Προβιομηχανική Εποχή) o C k : ταθερά αναπνοής έμβιων γης ε T br θ br : αδιάτατη ταθερά D( t ) : αποδάωη ε MT k e : ταθερά απούνθεης ε T C : η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα Η ροή r :[ k p ( C /( km + C )) C A θ Τ p ] που χετίζεται με τη φωτούνθεη ακολουθεί την αντίδραη Michaelis-Menton με εξάρτηη από τη θερμοκραία T θ p Ανάλογη μορφή έχει και η ροή r :[ kbr ( C /( km + C )) C A θ Τ br ] που χετίζεται με την αναπνοή έμβιων όντων πάνω τη γη Η ροή r 4 :[ ke( C /( km + C)) C A ] χετίζεται με τη μεταφορά άνθρακα το έδαφος λόγω απούνθεης Η ροή r : D( t ) έχει να κάνει με τη μείωη άνθρακα τα έμβια της γης λόγω αποδάωης C : Eξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα το έδαφος της γης Έχουμε ότι εάν C είναι η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έδαφος της γης τότε αυτή μεταβάλλεται ανάλογα με την αναπνοή μικροοργανιμών και τη διαφυγή άνθρακα από το έδαφος προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα και τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έτι dc C V [ k C A ] [ k C V ] [ k C V ] = e sr θ Τ sr w km + C Όπου: V : όγκος εδάφους ε L C : υγκέντρωη CΟ το έδαφος ε ML k sr : ταθερά ρυθμού αναπνοής εδάφους (από μικροοργανιμούς κτλ) ε T T θ sr w : αδιάτατη ταθερά k : ταθερά διαφυγής άνθρακα προς τους ωκεανούς ε T T Η ροή r 7 : ksr CV θ sr έχει να κάνει με τη διαδικαία αναπνοής μικροοργανιμών ενώ η ροή r 5 +r 6 : kw CV χετίζεται με τη διαφυγή άνθρακα από το έδαφος προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (κατά τα /) και προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα (κατά το /) C 4 : Εξίωη για την περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα

(ωκεανοί την τροπική και εύκρατη ζώνη) Έχουμε εάν C 4 η περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τότε αυτή μεταβάλλεται ανάλογα με τη διαφυγή άνθρακα την ατμόφαιρα την κίνηη υδάτων από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και από τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους λόγω θερμοκραίας τη διαδικαία αναπνοής φωτούνθεης και απούνθεης έμβιων τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Τότε dc4 V4 = M [ k pwoc4 V5 ] + [ krwoc5 V5 ] + [ kupc8 A4 ] [ Q46C4 ]+[(/) kwc V ] Όπου: V 4 : όγκος Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L V 5 : όγκος Έμβιων Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L C 4 : υγκέντρωη άνθρακα ε ML M : η ροή από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα πρός την ατμόφαιρα λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων ( M ; GT C / yr ) k up : ταχύτητα ανόδου προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδαταε LT C 8 : υγκέντρωη άνθρακα ε Υδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους ε ML A : επιφάνεια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L² 4 Q 46 : ταχύτητα κίνηης υδάτων (από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα) ε L T : ταθερά αναλογίας κατανάλωης άνθρακα από Έμβια Θερμών Επιφανειακών k pwo k rwo Υδάτων ε T : ταθερά αναλογίας χετίζεται με την αναπνοή έμβιων όντων ε Θερμά Επιφανειακά Ύδατα ε T Η ροή r : M χετίζεται με τη διαφυγή άνθρακα την ατμόφαιρα λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων (βλ Σχήμα ) Επίης από τους ωκεανούς λόγω διαφοράς θερμοκραίας έχουμε κίνηη υδάτων από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και κατόπιν από τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα προς τα Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους και πάλι προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Οι ροές r : [ Q46C 4] και r 5 :[ kupc8 A 4] χετίζονται με αυτές τις διαδικαίες Επίης λόγω αναπνοής φωτούνθεης και απούνθεης έμβιων όντων τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα έχουμε τις ροές r 8 : [ k pwoc4 V 5] και r 9 :[ krwoc5 V 5 ] C 6 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα (ωκεανοί την Ανταρκτική και τη Γροιλανδία) Έχουμε εάν C 6 είναι η υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα τότε η

μεταβολή της υγκέντρωης χετίζεται με την ανταλλαγή άνθρακα λόγω αναπνοής παραγωγής έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και με την κάθοδο υδάτων προς μεγαλύτερα βάθη Έτι dc6 V6 = M [ k pcoc6 V7 ] + [ krcoc7 V7 ] [ kdcc6 A6 ] + [ Q46 C4] + [(/ ) kw C V ] Όπου: V 6 : όγκος Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L V 7 : όγκος Έμβιων Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L M η ροή από την ατμόφαιρα προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα λόγω της διαφοράς : μερικών πιέεων ( M ; GT C / yr ) C 6 : υγκέντρωη άνθρακα ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ε ML k : ταθερά αναλογίας παραγωγής άνθρακα ε Έμβια Κρύων Επιφανειακών pco Υδάτων ε T k : ταθερά αναλογίας αναπνοής Έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ε T rco C 7 : υγκέντρωη άνθρακα ε Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε ML k : ταχύτητα καθόδου υδάτων ε LT dc A : επιφάνεια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L² 6 Η ροή r 4 : M έχει να κάνει με την ειροή CΟ τους ωκεανούς λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων (βλ Σχήμα ) Οι ροές r : [ k pcoc6 V 7 ] και r :[ krcoc7 V 7 ] χετίζονται με την ανταλλαγή άνθρακα λόγω αναπνοής παραγωγής έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Επίης η ροή r 6 : [ kdcc6 A 6] χετίζεται με τη κάθοδο υδάτων προς μεγαλύτερα βάθη C 5 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων Έχουμε ότι εάν C 5 είναι η υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων τότε η μεταβολή της είναι ανάλογη με την κάθοδο άνθρακα λόγω απούνθεης έμβιων όντων ε Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους Και τότε dc5 V5 = [ k pwoc4 V5 ] [ krwoc5 V5 ] [ kswoc5 A4 ] Όπου: k : ταθερά αναλογίας βύθιης έμβιων ε LT swo Η ροή r 7 :[ kswoc5 A 4] χετίζεται με τη κάθοδο άνθρακα λόγω απούνθεης Έμβιων Όντων ε Ύδατα Μεγάλου Βάθους

C 7 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων Έχουμε ότι εάν C 7 η περιεκτικότητα άνθρακα τα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων τότε η υγκέντρωη της μεταβάλλεται ε χέη με την απούνθεη-βύθιη έμβιων ε Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους Ετι dc7 V7 = [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kscoc7 A6 ] Όπου: k : ταθερά αναλογίας ε LT sco Η ροή r 8 : [ kscoc7 A 6] χετίζεται με την απούνθεη- βύθιη Έμβιων ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους C 8 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους Εάν C 8 είναι η υγκέντρωη του άνθρακα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους τότε αυτή μεταβάλλεται ε χέη με την απόθεη άνθρακα τον πάτο των ωκεανών και τότε: dc8 V8 = [ kdcc6 A6 ] [ kupc8 A4 ] + [ kswoc7 A6 ] + [ kscoc7a6 ] [ ksedc8 A8 ] Όπου: V 8 : όγκος Υδάτων Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους ε L A : Επιφάνεια Υδάτων Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους ε L² 8 k : ταθερά αναλογίας απόθεης άνθρακα ε T sed Η ροή r 9 :[ ksedc8 A 8] χετίζεται με την απόθεη άνθρακα τον πάτο των ωκεανών C : Εξίωη για τη υγκέντρωη διοξειδίου του άνθρακα την ατμόφαιρα Έχουμε ότι εάν C η υγκέντρωη διοξειδίου του άνθρακα την ατμόφαιρα τότε αυτή μεταβάλλεται και ε χέη με ανθρωπογενείς παράγοντες και την αποδάωη δύο παράγοντες που παίζουν ημαντικό ρόλο το μοντέλο Έτι dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] k + C k + C Τ + [ ksrc V θ sr ] + M M Όπου: V : όγκος της ατμόφαιρας ε L m m

F( t ) : ανθρωπογενείς παράγοντες ε MT D( t ) : αποδάωη Συνοπτικά το μοντέλο αποτελείται από τις παρακάτω οκτώ εξιώεις με τις αντίτοιχες αρχικές υνθήκες: dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] km + C km + C Τ + [ ksrc V θ sr ] + M M ( ) ) dc C C C A = [ k C A θ ] [ k C A θ ] [ k C A ] D( t) Τ Τ p p br br e km + C km + C km + C ( ) ) dc C V [ k C A ] [ k C V ] [ k C V ] = e sr θ Τ sr w km + C dc4 V4 = M [ k pwoc4 V5 ] + [ krwoc5 V5 ] + [ kupc8 A4 ] [ Q46C4 ]+[(/) kwc V ] dc 5 V5 k pwoc4 V5 krwoc5 V5 kswoc5 A4 ) = [ ] [ ] [ ] ( (4 (5 dc6 V6 = M [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kdcc6 A6 ] + [ Q46 C4] + [(/ ) kw C V ] (6) ) dc7 V7 = [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kscoc7 A6 ] dc8 V8 = [ kdcc6 A6 ] [ kupc8 A4 ] + [ kswoc7 A6 ] + [ kscoc7a6 ] [ ksedc8 A8 ] (7 (8) 4

με C () = C για i = 8 i i Οι αρχικές υνθήκες είναι προεγγιτικά η τάιμη λύη του υτήματος για F(t)= D(t)= (είναι τα νούμερα τα κουτιά του χήματος ) Το ύτημα των εξιώεων αποτελεί ένα μη-γραμμικό ύτημα από υνήθη διαφορικές εξιώεις και μπορεί να λυθεί αριθμητικά με μία μέθοδο Runge-Kutta για την οποία γίνεται αναφορά ε επόμενο κεφάλαιο παίρνοντας τιμές για τις διάφορες ταθερές από μετρήεις που υπάρχουν τη χετική βιβλιογραφία του JLSchnoor Enviromental modelling [] Στη υνέχεια τους πίνακες αναφέρουμε τις τιμές των παραμέτρων που θα χρηιμοποιήουμε για την επίλυη του μοντέλου Πίνακας : Tιμές παραμέτρων Παράμετροι: ΤΙΜΈΣ: F( t ) 5 4GTC yr D( t ) GTC yr k p 4486 yr k br 9 yr 5

k e 49 yr k 546 yr sr k 4 yr w k 4 ppm M k 75 myr l k 555856 myr up k dc 45 myr Q 46 46 6 m yr k pwo 448 yr k rwo 9 yr k 448 yr pco k rco 9 yr k myr swo k myr sco k 5 myr sed θ p θ 66 br θ 69 sr M GT C M GT C Πίνακας : Φυικά Μεγέθη: Επιφάνειες και Όγκοι του Μοντέλου του Άνθρακα: Μέγεθος: TIMH: Ογκος της ατμόφαιρας (V ) 8 99 m Επιφάνεια έμβιων γης ( A ) m 4 Όγκος εδάφους (V ) 6 65 m 4 Επιφάνεια ΘΕΥ ( A 4 ) 4 m 4 Όγκος ΘΕΥ (V 4 ) 4 m 6 6

4 Επιφάνεια ΚΕΥ ( A 6 ) m Όγκος ΚΕΥ (V 6 ) m Επιφάνεια ΥΜΕΒ ( A 8 ) 6 4 6 m Ογκος ΥΜΕΒ (V 8 ) 8 m 8 Ο όγκος της ατμόφαιρας προέκυψε από τη υνολική μάζα του άνθρακα διαιρούμενη με τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα Οι υπόλοιπες μετρήεις για την επιφάνεια της γης και τον ωκεανό πάρθηκαν από το Medalion World Atlas Hammond Incorporated (985)To βάθος της επιφάνειας του ωκεανού έχει τεθεί 75- μέτρα και το υνολικό μέο βάθος 8 μέτρα Πίνακας : Σταθερές κανονικοποίηης: Συγκέντρωη: ΤΙΜΗ: t 5 yrs C 74 GT C / V C 56 GT C / A C GT C / V C 6 GT C / V 4 4 C GT C / V 5 5 C GT C / V 6 6 C GT C / V 7 7 C 8 GT C / V 8 8 Οι αρχικές υγκεντρώεις είναι το πηλίκο της υγκέντρωης κάθε υνιτώας με τον αντίτοιχο όγκο ή εμβαδό της (βλ Σχήμα ) : Κανονικοποίηη: Για το C τη υγκέντρωη την ατμόφαιρα: Kάνουμε κανονικοποίηη επιλέγουμε δηλαδή νέες αδιάτατες μεταβλητές και επαναδιατυπώνουμε το πρόβλημα μέω αυτών των νέων μεταβλητών Θα μπορέουμε τότε να δούμε τα χετικά μεγέθη των υντελετών ε κάθε εξίωη να υγκρίνουμε την τάξη μεγέθους των όρων κάθε εξίωης να απλοποιήουμε το ύτημα των εξιώεων και πιθανά να παραλείψουμε αν χρειάζεται μικρούς όρους Αυτό θα μας βοηθήει τη ωτή εφαρμογή των μεθόδων διαταραχών και την πιο 7

οικονομική αριθμητική επίλυη του υτήματος Για την πρώτη εξίωη για τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα θα διαλέξουμε καινούργια αδιάτατη μεταβλητή για το C και τον χρόνο t Για παράδειγμα αν γνωρίζουμε τον χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t τότε αλλάζουμε την κλίμακα: τ = t / t ή t = tτ και τότε ο αδιάτατος χρόνος τ είναι της τάξης του Κάθε πρόβλημα έχει μια εγγενή κλίμακα χρόνου η χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t Η ποότητα t μπορεί να οριθεί ως το μικρότερο χρονικό διάτημα που απαιτείται για να παρατηρηθούν αναγνωρίιμες μεταβολές τα φυικά μεγέθη του προβλήματος Έτω C η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα ε χρόνο αναφοράς t η καινούργια αδιάτατη μεταβλητή για το C και τ η καινούργια αδιατατη μεταβλητή για τον χρόνο t Τότε κανονικοποιούμε το C με το C () = C την αρχική τιμή για τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα και τον χρόνο t με τον χρόνο αναφοράς t και έτι: C = C και t = tτ Συνεπώς dc d =( C /t ) Θέλουμε να δούμε τη υμπεριφορά του μοντέλου μετά από μία χρονική κλίμακα 5 χρόνων έτι παίρνουμε αν χρόνο αναφοράς t =5 χρόνια Άρα p ( m / ) + Τ Τ br br sr sr ( m / ) + V C d t t Τ = F( t) + D( t) ( t / V C )[ k C A θ p ] V C V C k C t t + [ k C A θ ] + [ k C V θ ] V C k C V C t + M V C t M Θεωρώντας ότι F( t) = F D( t) = D ταθερές (βλ Πίνακα ) θέτουμε: q = km / C ( όπου C μετριέται ε ppm C ; 8 ppm ) j = ( t / V C ) F j = ( t / V C ) D j = ( t / V C )[ k C A θ Τ ] p j 4 = ( t / V C )[ kbrc A θ Τ br ] j 5 = ( t / V C )[ ksr C V θ Τ sr ] j = ( t / V C ) M 6 p 8

j = ( t / V C ) M 7 και τότε η καινούργια αδιάτατη εξίωη για το C είναι: d = j + j - q + j + j 4 = j + j + j 5 + j 6 - j 7 -( j - j 4 ) q + q + + j 5 + j 6 - j 7 όπου τα j έως j 7 ταθερές και j είναι η αδιάτατη ταθερά για τις ανθρωπογενείς εκπομπές ενώ j η αντίτοιχη αδιάτατη ταθερά για την αποδάωη (Εν δυνάμει έχουμε ότι: j = j ( τ ) j = j ( τ ) ) Για το C την περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης C Κανονικοποιούμε το C με C και = C C = C και t = tτ Και τότε έχουμε: d t Τ t Τ = [ k p C A θ p ] [ k br C A θ br ] A C ( k / C ) + A C ( k / C ) + m m t t [ k e C A ] D A C ( km / C ) + A C Θέτουμε: a = t k θ p Τ p a = t k br θ Τ br a = t k e a 4 = ( t / A C ) D και παίρνουμε την αδιάτατη εξίωη: d = a - a - a q + q + q + =( a - a - a ) - a q + 4 όπου τα a a a a 4 ταθερές - a4 Για το C : Eξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα το έδαφος της γης Κανονικοποιούμε το C με C = C και t = tτ και υνεπώς dc d =( C /t ) C δηλαδή 9

Έτι d t t = [ k C A ] [ k C V θ ] V C k C V C Τ e sr sr ( m / ) + t V C [ k C V ] w Θέτουμε: b = ( t / V C ) k e C A b = t k sr θ Τ sr b = t k w Άρα έχουμε d = b q + όπου τα b b b ταθερές -( b + b ) Για το C 4 : Εξίωη για την περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 4 ως εξής: C 4 = C 4 4 t = tτ dc και άρα 4 d = (C 4 /t ) 4 Τότε: d 4 t t t = M [ k pwo 4 C4 V5 ] [ k rwo 5 C5 V5 ] V C V C V C 4 4 4 4 4 4 t t t + [ k C A ] [ Q C ] + [( / ) k C V ] V C V C V C up 8 8 4 46 4 4 w 4 4 4 4 4 4 Θέτουμε: d = ( t / V4 C4 ) M d = ( t / V 4 )[ k pwo V 5 ] d = ( t / V C )[ k C V ] 4 4 rwo 5 5 d = ( t / V C )[ k C A ] 4 4 4 up 8 4 d 5 = ( t / V 4 ) Q 46

d 6 = ( t / V4 C4 )[( / ) kw C V ] Επομένως: d 4 =- d - d 4 + d 5 + d4 8 - d5 4 + 6 d d d d d d ταθερές με 4 5 6 d Για το C 5 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 5 με C 5 C 5 = και t = tτ C5 5 dc και : 5 d = (t / C 5 ) 5 Άρα d 5 t t t = [ k pwo 4 C4 V5 ] [ k rwo 5 C5 V5 ] [ k swo 5 C5 A4 ] V5 C5 V5 C5 V5 C5 Θέτουμε: e = ( t / C )[ k C ] e = t k rwo 5 pwo 4 e = ( t / V 5 )[ kswo A 4 ] έτι προκύπτει ότι: d 5 = e 4 - e 5 - e 5 = e 4 -( e + e ) 5 όπου τα e e e ταθερές Για το C 6 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 6 με και έχουμε: dc 6 d = ( C 6 / t ) C 6 και τότε C 6 = 6 t = tτ C6 6 Και έτι d 6 t t t = M [ k pco 6 C6 V7 ] + [ k rco 7 C7 V7 ] V C V C V C 6 6 6 6 6 6 t t [ k dc 6C6 A6 ] + [ Q 46C4 4] + ( t / V6 C6 )[(/ ) kw C V ] V6 C6 V6 C6 Θέτουμε: f = ( t / V C ) M 6 6 f = ( t / V 6 )[ k pco V 7 ]

f = ( t / V6 C6 )[ krco C7 V 7 ] f 4 = ( t / V 6 )[ kdc A 6 ] f = ( t / V C )[ Q C ] 5 6 6 6 46 4 f = ( t / V C )[(/ ) k C V ] 6 6 w Και άρα η εξίωη είναι: d 6 = f - f 6 + f 7 - f 4 6 + f5 4 + 6 όπου τα f f f f4 f5 f 6 ταθερές f Για τη C 7 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα dc Κανονικοποιoύμε το C 7 με C 7 και C 7 = C 7 7 και τότε 7 d = ( C 7 /t ) Έχουμε d 7 t t t = [ k pco 6 C6 V7 ] [ k rco 7 C7 V7 ] [ k sco 7 C7 A6 ] V7 C7 V7 C7 V7 C7 Για: g = ( t / C )[ k C ] 7 pco 6 g = t k rco g = ( t / V 7 )[ ksco A 6 ] η εξίωη γίνεται: d 7 = g 6 - g 7 - g 7 όπου τα g g g ταθερές 7 Για το C 8 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους Όμοια έχουμε: C 8 =C 8 8 t = tτ dc και άρα: 8 d = (C 8 / t ) 8

Τότε: d 8 t t t = [ k dc 6 C6 A6 ] [ k up 8 C8 A4 ] + [ k swo 5 C5 A4 ] V C V C V C 8 8 8 8 8 8 t t + [ k sco 7 C7 A6 ] [ k sed 8 C8 A8 ] V8 C8 V8 C8 Θέτουμε: h = ( t / V C )[ k C A ] 8 8 dc 6 6 h = ( t / V 8 )[ kup A 4 ] h = ( t / V C )[ k C A ] 8 8 swo 5 4 h = ( t / V C )[ k C A ] 4 8 8 sco 7 6 h 5 = ( t / V8 )[ ksed A 8] και έχουμε: d 8 = h 6 - h 8 + h 5 + h 4 7-5 όπου τα h h h h4 h 5 ταθερές h 8 Συνοψίζοντας έχουμε τις οκτώ πιο κάτω εξιώεις: d =( j + j + j 6 - j 7 )+ j 5 -( j - j 4 ) q + με ( τ ) = τ : αρχικός χρόνος () d = ( a - a - a ) - a q + 4 με ( τ ) = () d = b -( b q + + b ) με ( τ ) = () d 4 = - d - ( d - 5 d ) 4 + d 5 + d4 8 + d6 με 4( τ ) = (4) d 5 = e 4 -( e + e ) 5 με 5( τ ) = (5) d 6 = f - ( f + f 4 ) 6 + f 7 + f5 4 + f 6 με 6( τ ) = (6) d 7 = g 6 - (g + g ) 7 με ( τ ) = (7) 7

d 8 = h 6 - ( h 5 + h ) 8 + h 5 + h 4 7 με ( τ ) = (8) 8 Παρατηρώντας το ύτημα με τις οκτώ εξιώεις βλέπουμε ότι οι τρεις πρώτες εξιώεις αποτελούν ένα αυτόνομο ύτημα δηλαδή η λύη των τριών πρώτων εξιώεων δεν εξαρτάται από τη μεταβολή των C4 C5 C6 C7 C 8 και ουιατικά έχουμε δύο υτήματα εξιώεων μια παρατήρηη που θα μας βοηθήει την αριθμητική επίλυη του υτήματος Επίης μπορούμε να υμπεράνουμε ότι η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης το έδαφος και την ατμόφαιρα δεν επηρεάζεται από τις μεταβολές της περιεκτικότητας του άνθρακα τα κρύα και θερμά ύδατα τα έμβια των υδάτων αυτών και τα ύδατα ενδιάμεου ή μεγάλου βάθους Επιπλέον το ύτημα των εξιώεων για τα 4 5 6 7 8 είναι γραμμικό με όρους εξαναγκαμού εξαρτώμενοι από τα Παίρνωντας τιμές από το [] προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας για τις αδιάτατες μεταβλητές που εμφανίζονται το μοντέλο των εξιώεων ()-(8) Πίνακας 4: Tιμές αδιάτατων ταθερών κανονικοποίηης: 4

ταθερε: time: ταθερε: time: q f 4 65 a 9 f 5 4 a 9646 f 6 8 a 4555 g 57 a 4 8 g 45 b 586 g 5 b 59 h 49 b h 5 d 8 h 6 d 74 h 4 d 5 h 5 7 d 4 9 j 66 e 57 j 88 e 45 j 6897 e 5 j 4 76 f 667 j 5 44 f 74 j 6 6757 f 5 j 7 8784 Παρατηρώντας τις τιμές των παραμέτρων βλέπουμε ότι μπορούμε να κάνουμε κάποιες προεγγίεις Αρχικά όων αφορά την εξίωη για το 8 έχουμε ότι hi << για i = 7 επομένως έχουμε d 8 ; και η μεταβλητή 8 δεν περιμένουμε να μεταβάλλεται αιθητά ε χέη με τις υπόλοιπες Επιπλέον g i >> για i = και g άρα από την εξίωη για το 7 έχουμε: g 6 g 7 g 7 ; ή 7 ; 6 g + g επομένως η μορφή της 7 ( τ ) αναμένεται να είναι παρόμοια με αυτή της 6 ( τ ) Επίης e e >> e και e e >> άρα d e 5 ; e 4 e 5 ή e 4 : e 5 και τότε 5 : 4 e δηλαδή η μορφή της 5 ( τ ) θα είναι παρόμοια με τη μορφή της 4 ( τ ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθμητική Επίλυη: Σε αυτή την παράγραφο θα πούμε λίγα λόγια για τις δύο αριθμητικές μεθόδους που 5

θα χρηιμοποιήουμε για την επίλυη του υτήματος τη μέθοδο Euler και τη μέθοδο Runge-Kutta Μέθοδος Euler Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο αν έχoυμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών της μορφής: d ψ = f (ψ t) α t b () ψ ( α ) = ψ υποθέτουμε ότι το πρόβλημα αυτό λύνεται μονοήμαντα και θεωρούμε μια διαμέριη: α= t < t < < t N =b του [α b] Οι αριθμητικοί μέθοδοι για την επίλυη του () i υνήθως δίνουν προεγγίεις ψ των τιμών ψ ( t i ) i = N Πολλές φορές χρηιμοποιείται μια ομοιόμορφη διαμέριη δηλαδή με N Ξ θέτουμε : h :=(b-α)/ N και t i = α + i Χ h i = N Οι προεγγίεις N ψ ψ τις οποίες δίνει η μέθοδος του Εuler για ομοιόμορφη διαμέριη με βήμα h προδιορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο: n ψ + n = ψ + h f (t n n ψ ) n= N - με ψ = ψ δεδομένο Μια δυνατότητα για να κατακευάουμε τη μέθοδο Euler είναι η εξής: dψ Η ΔΕ δίνει n = f ( t n ψ ( t n )) dψ Προεγγίζουμε την παράγωγο n με το πηλίκο διαφορών: h [ n+ n ψ ( t ) ψ ( t ) ] n και υποθέτοντας ότι το ψ είναι μια καλή προέγγιη του ψ ( t n ) προεγγίζουμε το n+ n ψ ( t ) με τον αριθμό ψ + όπου n+ n ψ ψ n n = f ( t ψ ) h Όπως και ε κάθε άλλη αριθμητική μέθοδο έτι και τη μέθοδο Euler μας ενδιαφέρει κατ αρχήν η ακρίβεια της την προκειμένη περίπτωη το να δίνει μικρά φάλματα: n n n ε : = ψ ψ ( t ) και το κότος της δηλαδή το πλήθος των απαιτούμενων πράξεων για τον προδιοριμό προεγγίεων μιας οριμένης ακρίβειας Η μέθοδος του Euler είναι απλούτατο να εφαρμοθεί Σε κάθε βήμα απαιτείται ένας υπολογιμός της f υγκεκριμένα το n n ημείο ( t ψ ) ένας πολλαπλαιαμός και μια πρόθεη Κατά κανόνα η υνάρτηη f είναι αρκετά πολύπλοκη και το κότος υπολογιμού της τιμής της ένα ημείο είναι πολύ μεγαλύτερο από ένα πολλαπλαιαμό και μια πρόθεη Έχει λοιπόν επικρατήει να μετράμε ως κότος μιας αριθμητικής μεθόδου ανά βήμα μόνο το πλήθος υπολογιμών της f Το κότος της μεθόδου του Euler είναι υνεπώς πολύ χαμηλό ένας υπολογιμός της f ανά βήμα 6

Επιτρέφοντας τώρα το μοντέλο μας και χρηιμοποιώντας τη μέθοδο Euler για την αριθμητική επίλυη με χρονικό βήμα έχουμε: i + i i i i = + [ j + j + j + j j ( j j )( /( q + )) ] () 5 6 7 4 i + i i i i = + [( a a a )( /( q + )) a ] () 4 i + i i i i i = + [ b ( /( q + )) ( b + b ) ] () i + i i i i i i = + [ d d + d + d d + d ] (4) 4 4 4 5 4 8 5 4 6 i + i i i = + [ e ( e + e ) ] (5) 5 5 4 5 i + i i i i i = + [ f ( f + f ) f + f + f ] (6) 6 6 4 6 7 5 4 6 i + i i i 7 = 7 + ( g 6 -( g + g ) 7 (7) i + i i i i i = + [ h ( h + h ) + h + h ] (8) 8 8 6 5 8 5 4 7 i όπου = ( t ) και j j i j = () για j = 8 j Μια πιο ακριβής μέθοδος για την επίλυη υνήθων διαφορικών εξιώεων αριθμητικά είναι η μέθοδος Runge-Kutta την οποία παρουιάζουμε τη υνέχεια Μέθοδος Runge-Kutta: Οι πιο γνωτοί μεθόδοι που χρηιμοποιούνται για ολοκλήρωη υνήθεις διαφορικών εξιώεων είναι οι μεθόδοι Runge-Kutta πρώτης δεύτερης τρίτης και τέταρτης τάξης Πιο γενικά ο τύπος ολοκλήρωης (the forward marching integration formula) για τη διαφορική εξίωη dy dx = f (ψ χ) δίνεται από την επαναληπτική εξίωη: ψ i + = ψ i + w k + w k + w k + +w m k m όπου κάθε μια από τις τροχιές k i υπολογίζονται από τις : k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k +α k ) k m = h f (χ i +c m h ψ i +α m k +α m k + +α m m κ m ) Αυτές οι εξιώεις μπορούν να γραφτούν ως εξής: i + = ψ i + ε wjk j () ψ m j = 7

j k j = h f (χ i +c j h ψ i + ε a jlkl ) όπου c = και α j = l = Η τιμή του m που καθορίζει την πολυπλοκότητα και την ακρίβεια της μεθόδου τίθεται όταν οι m+ όροι διατηρούνται την άπειρη ειρά επέκταης του ψ i + : ψ i + = ψ i + h ψ ' + h ψ '' /!+h ψ ''' /!+ (n) n και αν υμβολίουμε με ψ = D ( ψ ) τότε: ψ i + = ψ i + hdψ i + h D ψ i /!+h D ψ i /!+ Η διαδικαία για την παραγωγή των Runge-Kutta μεθόδων μπορεί να χωριτεί ε πέντε βήματα που παρουιάζονται πιο κάτω για την παραγωγή της δεύτερης τάξης μεθόδου Runge-Kutta : Βήμα o : Διαλέγουμε την τιμή του m που ορίζει την ακρίβεια του τύπου που θα πάρουμε Για δεύτερης τάξης Runge-Kutta m= Απαλείφουμε τους όρους μετά τον ο όρο (m+) και: ψ i + = ψ i + hdψ i + h D ψ i /!+O(h ) () Βήμα o : Αντικαθιτούμε κάθε παράγωγο του ψ την () με τα αντίτοιχα την f έχοντας υπ όψην ότι η f είναι υνάρτηη των χ και ψ(χ): Dψ i = f i () D ψ i = df dx = ( f dx x dx + f dψ ) ψ i =( f x + f f ψ ) i dx (4) Συνδιάζοντας τις εξιώεις () και (4) έχουμε: ψ i + = ψ i + h f i + h f x /!+ h i fi f ψ /!+O(h ) (5) i Βήμα o : Γράφουμε την () με τους m όρους την άθροιη (αναλυτικά): ψ i + = ψ i + w k + w k (6) όπου : k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k ) Βήμα 4 o : Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα Taylor της υνάρτηης f : f (χ i +c h ψ i +α k ) = f i + c h f x + α i h f ψ i f i +O(h ) (7) Συνδιάζοντας τις εξιώεις (6) και (7) έχουμε: 8

ψ i + = ψ i + (w + w )h f i +(w c )h f x +(w i α )h fi f ψ +O(h ) (8) i Bήμα 5 o : Για να είναι οι εξιώεις (5) και (8) ίδιες πρέπει οι υντελετές των αντίτοιχων όρων να είναι ίοι μεταξύ τους Αυτό έχει αν αποτέλεμα ένα ύτημα μη-γραμμικών εξιώεων με αγνώτους τα w j c j α jl Για αυτήν της δεύτερης τάξης μέθοδο Runge-Kutta έχουμε τρείς εξιώεις με τέερις αγνώτους: w + w = w c =5 (9) w α =5 Πάντα έχουμε περιότερους αγνώτους από ότι εξιώεις Οι βαθμοί ελευθερίας μας επιτρέπουν να επιλέξουμε κάποιες από τις παραμέτρους Για δεύτερης τάξης Runge-Kutta έχουμε ένα βαθμό ελευθερίας για τρίτης και τέταρτης τάξης Runge- Kutta έχουμε δύο βαθμούς ελευθερίας και για πέμπτης τάξης Runge-Kutta έχουμε τουλάχιτον πέντε βαθμούς ελευθερίας Αυτή η ελευθερία επιλογής παραμέτρου αυξάνει τον αριθμό των διαφορετικών μορφών μεθόδων Runge-Kutta Συνήθως είναι προτιμότερο να επιλέγουμε πρώτα τις τιμές των υντελετών c j ταιριάζοντας έτι τις θέεις από τις ανεξάρτητες μεταβλητές όπου οι υναρτήεις f (χ i +c j h ψ i + j ε l = a k jl l ) θα υπολογιτούν Μια ημαντική κέψη τη διαλογή των ελεύθερων παραμέτρων είναι να ελαχιτοποιήουμε το φάλμα αποκοπής (roundoff error) του υπολογιμού Για της δεύτερης τάξης μέθοδο Runge-Kutta που θα παράξουμε διαλέγουμε c = Οι υπόλοιπες παράμετροι υπολογίζονται από την (9): w = w =/ και α = Με αυτές τις τιμές τις παραμέτρους η δεύτερης τάξης Runge-Kutta είναι: ψ i + = ψ i + (/)(k + k ) k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +h ψ i + k ) Mια διαφορετική μορφή δεύτερης τάξης Runge-Kutta παράγεται αν διαλέξουμε να υπολογίουμε τη υνάρτηη τα ενδιάμεα ημεία (midpoints) (όπου c =/) Τότε: ψ i + = ψ i + k k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +(/)h ψ i + (/)k ) 9

Υψηλότερης τάξης μέθοδοι Runge-Kutta παράγονται με ανάλογο τρόπο Στο Παράρτημα παρουιάζεται ένας πίνακας για κάποιες από αυτές Η τέταρτης τάξης Runge-Kutta που έχει ένα φάλμα τάξης Ο(h 5 ) είναι ίως αυτή που χρηιμοποιείται πιο πολύ τις Συνήθεις Διαφορικές Εξιώεις Αριθμητικά αποτελέματα: Στην προηγούμενη παράγραφο παρουιάαμε τις αριθμητικές μεθόδους Euler και Runge-Kutta Για την επίλυη του μοντέλου μας χρηιμοποιήαμε τη μέθοδο Runge- Kutta επειδή είναι δεύτερης τάξης Η μέθοδος Euler (πρώτης τάξης) θα χρηιμοποιηθεί ε επόμενο κεφάλαιο την επέκταη του μοντέλου το οποίο θα υμπεριλάβουμε μερικές διαφορικές εξιώεις τις οποίες θα λύουμε με άμεη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών Σχήμα Στο γράφημα παρουιάζουμε το γράφημα των C C C ε χέη με το χρόνο που υπολογίτηκαν από την αριθμητική επίλυη των εξιώεων () έως (8) με τη μέθοδο Runge-Kutta Το χρονικό βήμα που χρηιμοποιήθηκε ήταν = και ο χρόνος Τ = που αντιτοιχεί ε 5 χρόνια Βλέπουμε ότι η C δηλαδή η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα παρουιάζει χεδόν γραμμική αύξηη ενώ υγκριτικά τα C C η υγκέντρωη του άνθρακα τα έμβια και το έδαφος της γης παρουιάζουν μια χετική γραμμική μείωη

Σχήμα Στο χήμα βλέπουμε τη μεταβολή των C4 C 5 ε χέη με το χρόνο Βλέπουμε ότι η υγκέντρωη του άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Θερμών Επιφανειακών Υδάτων αρχικά μειώνεται και μετά ταθεροποιείται Σχήμα

Στο γράφημα παρουιάζουμε τη μεταβολή των C6 C 7 ε χέη με το χρόνο Αρχικά η υγκέντρωη του άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Κρύων Επιφανειακών Υδάτων αυξάνεται πολύ μετά μειώνεται και το τέλος χεδόν ταθεροποιείται παρουιάζοντας πολύ μικρή αύξηη Σχήμα 4 Στο γράφημα 4 παρουιάζουμε τη γραφική παράταη του C 8 ε χέη με το χρόνο Παρατηρώντας την βλέπουμε ότι και η υγκέντρωη του άνθρακα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους παρουιάζει αύξηη

Σχήμα 5 Στο χήμα αυτό έχουμε το γράφημα των C έως C 8 ε χέη με το χρόνο Εάν το παρατηρήουμε βλέπουμε ότι τη μεγαλύτερη αύξηη υγκριτικά παρουιάζουν τα C6 C 7 το οποίο ημαίνει ότι έχουμε μεγαλύτερη αύξηη τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Κρύων Επιφανειακών Υδάτων Συμπεράματα: Παρατηρώντας τις πιο πάνω γραφικές παρατάεις βλέπουμε ότι για την ατμόφαιρα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Ενδιάμεου και Μεγάλου Βάθους Ύδατα η υγκέντρωη του άνθρακα διπλαιάζεται Όων αφορά τα Έμβια της Γης και το Έδαφος η υγκέντρωη ε άνθρακα αρχικά μειώνεται μετά αυξάνεται και κατόπιν μειώνεται απότομα Η δρατική μείωη του άνθρακα τα Έμβια της Γης οφείλεται το ότι ο όρος D( t ) κατά την εξέλιξη της διαδικαίας αυξάνει την εκροή άνθρακα από αυτή τη υνιτώα Το υμπέραμα είναι ότι χωρίς ταθεροποίηη ή μείωη ανθρωπογενών εκπομπών CO την ατμόφαιρα η ποότητα CO αυξάνεται με αποτέλεμα να έχουμε αντίτοιχη αύξηη τη μέη θερμοκραία της Γης Επιπλέον αξίζει να ημειωθεί ότι ε αυτή την προομείωη έχουμε θεωρήει την ροή των ανθρωπογενών εκπομπών F ταθερή Μια ρεαλιτική ετήια αύξηη αυτών πχ της μορφής F = F + 5 % F t αναμένεται να δώει ακόμη μεγαλύτερη αύξηη του CO την ατμόφαιρα και άρα και μεγαλύτερη αύξηη τη μέη θερμοκραία της γης Ένας τρόπος εκτίμηης χετικά απλός της αύξηης της μέης

θερμοκραίας της γης δίνεται από τον τύπο ([]) : T ( t) ; 4 + [ C ( t) C()] β όπου η υγκέντρωη του CO την προβιομηχανική εποχή εκτιμάται να είναι C () και η θερμοκραία 4 ο C ε χέη με τη ημερινή Επιπλέον β είναι μια ταθερά o o αναλογίας η οποία εκτιμάται β ; C /( GT / m )(; C ppm ) Στο παράδειγμα μας για διπλαιαμό του CO την ατμόφαιρα τα επόμενα 5 χρόνια αναμένουμε μια αύξηη της θερμοκραίας κατά 6 o C 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: 4:Επέκταη του μοντέλου (θεώρηη διακύμανης άνθρακα τους ωκεανούς κατά βάθος): Για να έχουμε καλύτερη και πιο ακριβή ανάλυη του μοντέλου και πιο υγκεκριμένα γιατί θέλουμε μια καλύτερη θεώρηη της διακύμανης του άνθρακα τα ύδατα ε χέη με το βάθος παίρνουμε τις τρεις υνιτώες Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μεγάλου και Ενδιάμεου Βάθους και τις ενωποιούμε ε μια υνιτώα C w η οποία εξαρτάται και από το βάθος δηλαδή Cw = Cw( x t) Αντίτοιχα παίρνουμε τις υνιτώες: Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μεγάλου και Ενδιάμεου Βάθους και τις ενωποιούμε ε μια υνιτώα C c Cc = Cc ( x t) Επιπλέον προθέτουμε μια ροή r Q από τα Κρύα Ύδατα ( C c ) τα Θερμά ( C w ) που εκφράζει τη μεταφορά υλικού το βάθος των ωκεανών Μια τέτοια θεώρηη θα ήταν χρήιμη δεδομένου ότι η αύξηη της ποότητας του άνθρακα τους ωκεανούς είναι δυνατόν να διαταράξει το οικολογικό ύτημα Παρόμοιες προεγγίεις έχουν γίνει τις εργαίες [] και [5] για να διερευνηθεί η θερμική ιτορία της γης 5

Σχήμα 4 Έτι έχουμε τώρα ένα ύτημα εξιώεων που αποτελείται από τρεις υνήθεις διαφορικές εξιώεις και δύο μερικές διαφορικές εξιώεις: Έχουμε για τα C C C όπως προηγουμένως: dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] km + C km + C Τ + [ k C V θ ] + M M sr sr dc Τ Τ A = [ k p ( C /( km + C )) C A θ p ] [ kbr ( C /( km + C)) C A θ br ] [ ke( C /( km + C)) C A ] D( t) dc V = [ ke( C /( km + C )) C A ] [ ksrc V θ Τ sr ] [ kwc V ] Όων αφορά τη διακύμανη του άνθρακα τα θερμά ύδατα ε χέη με το βάθος θεωρούμε ότι έχουμε την εξίωη της διάχυης με έναν όρο μεταφοράς υδάτων από το βάθος ( z = ) προς την επιφάνεια ( z = h) Έτι η εξίωη γίνεται: Cw Cw Cw Vw = Vw k V w kx t z z < z < h t > όπου k ο υντελετής διάχυης και k x η ταχύτητα ανύψωης ( k = 8 m / yr kx = m / sec) Επιπλέον θεωρούμε ότι h = 8m (το μέο βάθος των ωκεανών) και θα θεωρήουμε το πρόβλημα για μια χρονική κλίμακα t = 5 έτη Όων αφορά τη υνοριακή υνθήκη για z = έχουμε ότι η ροή C w ( t) z θα είναι ίη με την καταβύθιη υλικού τον πάτο των ωκεανών R p / υν την ειροή άνθρακα από τα Κρύα Ύδατα Δηλαδή C R w p A4 k = + kβ Cc ( t) z όπου k β είναι ταθερά αναλογίας ( kβ = 9e + 4 ) και R p η ροή άνθρακα από τα Ύδατα Ενδιάμεου και Μεγάλου Βάθους ( Rp = 5 GT C / yr ) Cw Στο ημείο z = h (επιφάνεια) έχουμε ότι η ροή ( h t ) z είναι ανάλογη με τη ροή προς την ατμόφαιρα ' r ' τη ροή από τα έμβια της γης '( / ) kwc ' και τη ροή προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ' Q C w ' (το Q εκτιμάται να είναι: 4 46 m / yr []) Επομένως η εξίωη γίνεται: Cw A4 k = Q Cw + kwv C r z Αξίζει να ημειωθεί ότι οι ταθερές Q k kx k β εκτιμήθηκαν με βάη τις εργαίες [] 6

[4] [5] αλλά περαιτέρω διερεύνηη θα χρειαζόταν προκειμένου να έχουμε ένα πιο ακριβές μοντέλο Όων αφορά την αντίτοιχη εξίωη για το C c τη διακύμανη του άνθρακα τα Κρύα Ύδατα παρόμοια προκύπτει ότι: Cc Cc Cc Vc = Vc k + V < z < c kx h t z z όπου εδώ η μεταφορά υλικού γίνεται προς τα κάτω (προς το z = ) και γι αυτό ο όρος μεταφοράς έχει πρόημο θετικό Επιπλέον για z = h έχουμε ότι η ροή ε αυτό το ημείο είναι: Cc A6 k = kwv C + Q Cw( h t) + r4 t Όπου ο όρος ' k V C ' υποδηλώνει τη μεταφορά υλικού από τα έμβια της γης ο όρος w r 4 ' τη μεταφορά άνθρακα από την ατμόφαιρα 4 ' ( r = GT C / yr) και ο όρος ' Q Cw( h t )' τη μεταφορά άνθρακα από την επιφάνεια των θερμών υδάτων τα Κρύα Ύδατα Τέλος για το ημείο z = (το μέο βάθος των ωκεανών) θεωρούμε ότι η ροή C c ( t) είναι ανάλογη του μέρους του άνθρακα που αποτίθεται τον πάτο των z ωκεανών ' R p / ' και την εκροή άνθρακα τα Θερμά Ύδατα C R c p A6 k = kβ Cc ( t) z Έχουμε δηλαδή τις εξιώεις της διάχυης για τα Cw C c με επιπλέον έναν όρο μεταφοράς C w και C z c που εκφράζει τη μεταφορά υλικού μέω υδάτων από z ρεύματα που κινούνται από την επιφάνεια προς το βάθος των ωκεανών 4: Κανονικοποίηη: Οι τρεις υνήθεις διαφορικές έχουν κανονικοποιηθεί πιο πριν έτι τώρα θα κανονικοποιήουμε τις δύο μερικές διαφορικές εξιώεις Η μερική διαφορική για τα ζετά ύδατα είναι: Cw Cw Cw Vw = Vw k V w kx t z z και αν απλοποιήουμε την εξίωη τότε έχουμε ότι: C w w w = k C C k x t z z Κανονικοποιούμε το C w με C w η υγκέντρωη του άνθρακα τα ζετά ύδατα ε τ ζ οι καινούργιες αδιάτατες μεταβλητές για τη χρόνο αναφοράς t και w υγκέντρωη το χρόνο και το βάθος αντίτοιχα Έτι 7

Cw t z w = ή C w = Cw w t t z h C τ = ή = w t τ ζ = ή = ζ Αντικαθιτώντας την αρχική εξίωη προκύπτει η ακόλουθη εξίωη: Cw w kcw w kxcw w = t τ h ζ h ζ Ϋ k t k t τ h ζ h ζ w w x w = Θέτουμε: tk kxt w = w = h h και τότε: C kc k C = t τ h ζ h ζ Ϋ w w w w x w w τ ζ ζ w w w = w w Συνοριακές υνθήκες: Για z = h η υνοριακή υνθήκη είναι: Cw A4 k = Q Cw + kwv C r z όπου r = M Κάνοντας την ίδια κανονικοποίηη όπως και πριν και αντικαθιτώντας την υνοριακή εξίωη για ζ = έχουμε ότι: A4 kcw w = Q Cw w + kwv C r h ζ Ϋ ζ w Q h k V C h = + A k A k C A k C w r h w 4 4 w 4 w Θέτουμε: Q h kwv C h r h w = w4 = w 5 = A k A k C A k C 4 4 w 4 w έτι ζ w = w + w w w 4 5 Για z = η υνοριακή υνθήκη είναι : 8

C R w p A4 k = + kβ Cc ( t) z Kανονικοποιούμε το C w και τότε η υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι η εξής: A4 k Cw R w p = + kβ Cc c h ζ Ϋ ζ w R h h k C = + A k C p β c c 4 w A4 k Cw Θέτουμε: h R h k w = w = p β 6 7 A4 kcw A4 k w Έτι = w6 + w7 c η αδιάτατη εξίωη το ζ = ζ Η δεύτερη μερική διαφορική για τα κρύα ύδατα είναι η παρακάτω: Cc Cc Cc Vc = Vc k + V < z < c kx h t z z και αν απλοποιήουμε έχουμε ότι : C c c c = k C C + k x t z z Κανονικοποιούμε το C c με C c τη υγκέντρωη του άνθρακα τα Κρύα Ύδατα και c τ ζ οι αδιάτατες μεταβλητές για τη υγκέντρωη το χρόνο και το βάθος αντίτοιχα και προκύπτει ότι: Cc w kcc c kxcc c = + t τ h ζ h ζ c kt c kxt c Ϋ = + τ h ζ h ζ Θέτουμε: kt kxt t = t = h h και τότε η αδιάτατη εξίωη για τα κρύα ύδατα είναι : c c c t = + t τ ζ ζ Συνοριακές υνθήκες: Η υνοριακή υνθήκη το z = h είναι η εξής: Cc A6 k = kwv C + Q Cw( h t) + r4 t 9

Κανονικοποιούμε και τότε η καινούργια αδιάτατη υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι: A6 kc h c ζ c kwv C = + Q Cw w( h t) + r h kwv C c hq Cw h r4 Ϋ = + w + ζ A6 kcc A6 kcc A6 kcc Θέτoυμε: h kwv C hq h r4 t = t 4 = t5 = A6 kcc A6 k A6 kcc και έτι c = t + t4 w + t5 ζ Επιπλέον η υνοριακή υνθήκη το z = είναι: C R c p A6 k = kβ Cc ( t) z και με την ίδια κανονικοποίηη που κάναμε και πριν προκύπτει η αδιάτατη υνοριακή υνθήκη: A6 kcc R c p = kβ Cc c h ζ h R c p h kβ Ϋ = c ζ A6 kcc A6 k Θέτω: h Rp h kβ t6 = t 7 = A6 kcc A6 k c και τελικά η αδιάτατη υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι: = t6 t7 c ζ 4 Πίνακας 4: Σταθερές Κανονικοποίηης: Συγκέντρωη: ΤΙΜΉ: t 5 yrs h 8 m C 876 GTC / m c w 4 C 869 GTC / m 4 4

Συνοψίζοντας και χρηιμοποιώντας τις τρεις κανονικοποιημένες εξιώεις από το προηγούμενο μοντέλο με τις υνήθεις διαφορικές εξιώεις έχουμε το ακόλουθο κανονικοποιημένο ύτημα εξιώεων: d = ( j + j + j6 j7) + j5 ( j j4 ) q + με ( τ ) = τ : αρχικός χρόνος (4) d = ( a - a - a ) - a q + 4 με ( τ ) = (4) d = b -( b q + + b ) ( τ ) = (4) με w w w w = w < ζ < τ > τ ζ ζ w με υνοριακές υνθήκες: = w w + w4 w5 ζ w = w6 + w7 c ζ το ζ = και το ζ = (44) t = + t τ ζ ζ c c c < ζ < τ > c με υνοριακές υνθήκες: = t + t4 w + t5 ζ c = t6 t7 c ζ το ζ = και το ζ = (45) 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5: Αριθμητική επίλυη: Χρηιμοποιώντας τη μέθοδο Euler και τη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών μπορούμε να επιλύουμε αριθμητικά το μοντέλο Σε αυτό το ημείο θα κάνουμε μια μικρή αναφορά για τη μέθοδο των πεπεραμένων διαφορών Μέθοδος πεπεραμένων διαφορών: Θεωρούμε μια χαρακτηριτική γραμμική παραβολική εξίωη την εξίωη της θερμότητας την αρχική διατατική μορφή: UT = ku XX όπου: U : θερμοκραία ε o C T : χρόνος ε λεπτά min X : απόταη ε μέτρα m k : υντελετής διάχυης ε m / min U ( X ) : γνωτή αρχική θερμοκραία U ( O T ) U ( L T ) : γνωτές υνοριακές υνθήκες Μεταχηματίζουμε το πρόβλημα ε ένα πρόβλημα με αδιάτατες ποότητες k Θέτουμε: x = X / L X L x και: = άρα U T = U xx για X L x L T t = L / k οπότε k = και έτι προκύπτει ότι: U T L t = U xx Τέλος διαλέγουμε μια t U χαρακτηριτική τιμή για την U έτω u και για u = η εξίωη γίνεται: ut = uxx u Αυτή είναι η αδιάτατη μορφή για την εξίωη της θερμότητας Τότε το πλήρες πρόβλημα είναι: ut = uxx u( x ) : δομένη αρχική υνθήκη u( t) = u( x) u( t): δομένες υνοριακές υνθήκες < x < t > Θα εξετάουμε την αριθμητική επίλυη του προβλήματος με τη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών: Διαιρούμε το x t επίπεδο χρηιμοποιώντας ορθογώνιο πλέγμα με διαμέριη πλάτους k τον t άξονα και πλάτους h τον x άξονα Η προέγγιη με πεπεραμένες n διαφορές την ακριβή λύη u( xm t n ) το ( xm tn) υμβολίζεται με: u m Θέλουμε να προεγγίουμε τη λύη της εξίωης ut = uxx χρηιμοποιώντας μόνο τις n προεγγιτικές τιμές u m τα ημεία του πλέγματος Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να γίνει αυτό και ο απλούτερος τρόπος είναι ο ακόλουθος: Παίρνουμε το ανάπτυγμα της ακριβούς λύης κοντά το ημείο του πλέγματος ( xm t n) κατά Taylor: 4

h h u( xm + h tn) = u( xm tn) + hux ( xm tn) + uxx ( xm tn ) + uxxx ( xm tn ) +!! h h u( xm h tn ) = u( xm tn) hux ( xm tn ) + uxx ( xm tn ) uxxx ( xm tn) +!! Προθέτουμε αυτές τις εκφράεις και έχουμε: 4 h u( xm + h tn) + u( xm h tn) = u( xm tn ) + h uxx ( xm tn ) + uxxx x ( xm tn ) + Λύνουμε ως προς: uxx ( xm t n ) : h uxx ( xm tn ) = [ u( x m+ tn) u( xm tn ) + u( xm tn)] uxxxx ( xm tn) + h Εάν απαλείψουμε τον όρο uxxxx ( xm t n) και τους όρους υψηλότερης τάξης έχουμε μια προέγγιη για το uxx ( xm tn ) ε χέη με την ακριβή λύη τα ημεία του πλέγματος: uxx ( xm tn ) ; [ u( x m+ tn ) u( xm tn) + u( xm tn)] () h Προεγγίζουμε την παράγωγο u t με παρόμοιο τρόπο Παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor για την u( x t + k) : m n k u( xm tn + k) = u( xm tn + ) = u( xm tn) + k ut ( xm tn) + utt ( xm tn) +! Λύνουμε ως προς ut ( xm t n ) : k ut ( xm tn ) = [ u( xm tn + ) u( xm tn )] utt ( xm tn) + k! Απαλείφουμε τον όρο utt ( xm t n) και του όρους ανώτερης τάξης και έχουμε: ut ( xm tn ) ; [ u( xm tn + ) u( xm tn )] () k Χρηιμοποιώντας τις προεγγίεις () και () για την εξίωη της θερμότητας έχουμε: n+ n n n n ut = uxx Ϋ ( um um ) = ( u m+ um + um ) ή k h n+ n k ( n n n u ) m = um + u m+ um + um h Για r = k / h έχουμε το χήμα: n + u n ( ) n n m = rum+ + r um + rum Αυτό είναι ένα απλό άμεο χήμα (forward difference scheme) για την εξίωη της θερμότητας Για το υγκεκριμένο πρόβλημα της εξίωης της θερμότητας έχουμε ότι: n n u = u( x ) u = u( t ) u = u( t ) είναι γνωτά εάν θεωρήουμε Dirichlet m m n M n n υνοριακές υνθήκες Για τον υπολογιμό των u m ακολουθούμε μια εγκάρια κίνηη ε κάθε χρονικό επίπεδο Δηλαδή οι τιμές για n = υπολογίζονται ως εξής: u = r u + ( r) u + r u για m = M m m + m m 4

Επαναλαμβάνουμε το ίδιο για το επόμενο χρονικό βήμα για m = M u = r u + ( r) u + r u m m + m m um = r um + + ( r) um + r um κτλ Εάν r = k / h >5 το χήμα δεν υγκλίνει Έχουμε ύγκλιη για r = k / h 5 γι αυτό το απλό άμεο χήμα [6] Για να διερευνήουμε τη ύγκλιη του χήματος ταθεροποιούμε τον χρόνο t έτω t = T και αλλάζουμε τα h και k έτι ώτε το r = k / h να είναι ταθερό Διερευνούμε το αριθμητικό φάλμα το t = T (θέτουμε N τέτοιο ώτε kn = T ) Εάν αυτό τείνει το μηδέν για h k r : ταθερό λέμε ότι το χήμα υγκλίνει για αυτή την τιμή του r Επιτρέφοντας την αριθμητική επίλυη του μοντέλου εφαρμόζουμε τη μέθοδο Euler τις τρεις υνήθεις διαφορικές εξιώεις και προκύπτει ότι: i + i i i i = + [ j + j + j5 + j6 j7 ( j j4)( /( q + )) ] (5) i + i i i i = + [( a a a)( /( q + )) a4] (5) i + i i i i i = + [ b ( /( q + )) ( b + b ) ] (5) Χρηιμοποιώντας την άμεη μέθοδο που αναπτύξαμε για την εξίωη της t θερμότητας με χρονικό βήμα t και χωρικό βήμα z έτι ώτε = r οι z εξιώεις (44) και (45) γίνονται: Για τα Θερμά Ύδατα: Όων αφορά τις υνοριακές υνθήκες οι οποίες το μοντέλο μας είναι Robin χρηιμοποιούμε την ακόλουθη θεώρηη Για παράδειγμα για την εξίωη των Θερμών Υδάτων το ζ = παίρνουμε το ημείο xm + = xm + dx το οποίο ονομάζουμε ψευδοημείο γιατί είναι εκτός του χωρίου μας Προεγγίζουμε την παράγωγο ως εξής: i i sm + sm i i = w4 w sm w5 οπότε παίρνουμε τη χέη: z s i s i z( w i = + w s i w ) (54) M + M 4 M 5 i Kατόπιν έχουμε ότι η εξίωη για το ημείο s M είναι η ακόλουθη: i i t i i i t i i sm = sm + w [ sm sm + sm + ] w ( sm + sm ) (55) z dz 44