Ακολουθίες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των α- κολουθιών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Ακολουθίες Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Οριο ακολουθίας 3 2.1 Ορισµός.............................. 3 2.2 Ιδιότητες............................. 3 2.3 Άπειρο.............................. 4 3 Μονοτονία - Φράγµα 4 4 lim sup και lim inf 5 5 Κιβωτισµένα ιαστήµατα 5 6 Θεωρήµατα Σύγκλισης 5 7 Κριτήρια Συγκλισης 6 7.1 Κριτήριο Cauchy......................... 6 7.2 Κριτήριο παρεµβολής....................... 6 7.3 Κριτήριο Λόγου.......................... 6 7.4 Κριτήριο Ρίζας.......................... 7 7.5 Κριτήριο Stolz.......................... 7
Κ. Κυρίτσης 3 Ακολουθίες 1 Ορισµός Μια απεικόνιση ή αλλιώς συνάρτηση από τους ϕυσικούς αριθµούς N στους πραγµατικούς R, f : N R, (1) λέγεται ακολουθία. Κάθε αριθµός της ακολουθίας λέγεται όρος της ακολουθίας. Συνήθως γράφουµε f(n) = a n, n = 1, 2,..., N για τον γενικό όρο της ακολουθίας. Αν N +, τότε λέµε ότι έχουµε µια ακολουθία απείρων όρων. ιαφο- ϱετικά έχουµε µια ακολουθία πεπερασµένων όρων. Ας ϑεωρήσουµε ότι έχουµε την ακολουθία a n. Αν επιλέξουµε ένα υποσύνολο των δεικτών n σε αύξουσα σειρά, µπορούµε να σχηµατίσουµε µια άλλη ακολουθία a ni. Αυτή η καινούργια ακολουθία λέγεται υποακολουθία της a n. 2 Οριο ακολουθίας 2.1 Ορισµός Ο αριθµός L ϑα λέγεται όριο της άπειρης ακολουθίας a n εάν για κάθε ǫ > 0 µπορούµε να ϐρούµε N > 0, που να εξαρτάται από το ǫ, N = N(ǫ), τέτοιο ώστε a n L < ǫ για κάθε n > N. Σ αυτή την περίπτωση γράφουµε lim a n = L. Εάν το όριο υπάρχει, η ακολουθία λέγεται συγκλίνουσα. ιαφορετικά λέγεται αποκλίνουσα. Το όριο µιας ακολουθίας, εφόσων υπάρχει, είναι µοναδικό. 2.2 Ιδιότητες Εστω ότι τα όρια των ακολουθιών a n, b n υπάρχουν και είναι lim a n = A και lim b n = B. Ισχύει ότι lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = A ± B, (2) lim (a n b n ) = lim a n lim b n = A B, (3) a n lim = lim a n = A b n lim b n B, (4)
Κ. Κυρίτσης 4 Ακολουθίες µε την προϋπόθεση ότι B 0. Στην περίπτωση που B = 0 και A 0, το όριο του παραπάνω κλάσµατος δεν υπάρχει. Στην δε περίπτωση που A = B = 0, µπορεί να υπάρχει ή να µην υπάρχει. όπου p πραγµατικός αριθµός. όπου p πραγµατικός αριθµός. 2.3 Απειρο lim a n p = ( lim a n ) p = A p, (5) lim = p lim pan a n = p A, (6) Εάν για κάθε M > 0 µπορούµε να ϐρούµε N > 0, που να εξαρτάται από τον M, τέτοιον ώστε a n > M για κάθε n > N, τότε λέµε ότι το όριο της ακολουθίας είναι άπειρο και γράφουµε lim a n =. (7) Οµοίως, εάν για κάθε M > 0 µπορούµε να ϐρούµε N > 0, που να εξαρτάται από τον M, τέτοιον ώστε a n < M για κάθε n > N, τότε λέµε ότι το όριο της ακολουθίας είναι µείον άπειρο και γράφουµε lim a n =. (8) Ακολουθίες που έχουν άπειρο όριο χαρακτηρίζονται αποκλίνουσες. Η διαφορά µε εκείνες που δεν έχουν όριο είναι ότι αποκλίνουν µε συγκεκριµένο τρόπο. Σηµειώνουµε ότι τα σύµβολα και δεν είναι αριθµοί. 3 Μονοτονία - Φράγµα Εάν για κάθε n, a n+1 a n αύξουσα a n+1 > a n γνησίως αύξουσα a n+1 a n ϕθίνουσα a n+1 < a n γνησίως ϕθίνουσα. Σ όλες αυτές τις περιπτώσεις η ακολουθία χαρακτιρίζεται µονότονη. Σε κάθε άλλη περίπτωση, η ακολουθία δεν είναι µονότονη.
Κ. Κυρίτσης 5 Ακολουθίες Αν M είναι σταθερός αιρθµός, ανεξάρτητος του n και ισχύει ότι a n M, τότε λέµε ότι η ακολουθία είναι άνω ϕραγµένη και ότι ο M είναι το άνω ϕράγµα. Αντίστοιχα αν a n m, όπου m σταθερός αριθµός και ανεξάρτητος του n, λέµε ότι η ακολουθία είναι κάτω ϕραγµένη και ο m είναι το κάτω ϕράγµα. Αν για την ακολουθία µας ισχύει ότι m a n M, τότε λέµε απλά ότι είναι ϕραγµένη. Συνήθως γράφουµε σ αυτή την περίπτωση a n p, για κατάλληλο αριθµό p και λέµε ότι είναι απολύτως ϕραγµένη. Ο αριθµός M λέγεται ελάχιστο άνω ϕράγµα εάν a n M για κάθε n και υπάρχει τουλάχιστον ένας όρος της ακολουθίας οπου είναι µεγαλύτερος του M ǫ, ǫ > 0. Αντίστοιχα ο αριθµός m λέγεται µέγιστο κάτω ϕράγµα εάν a n m για κάθε n και υπάρχει τουλάχιστον ένας όρος της ακολουθίας οπου είναι µικρότερος του m + ǫ, ǫ > 0. 4 lim sup και lim inf Ενας αριθµός L ϑα λέγεται limit superior ή µέγιστο όριο ή άνω όριο µιας ακολουθίας a n εάν άπειροι όροι της ακολουθίας είναι µεγαλύτεροι του L ǫ, ενώ πεπερασµένο πλήθος είναι µεγαλύτερο του L + ǫ, όπου ǫ > 0. Αντίστοιχα ένας l ϑα λέγεται limit inferior ή ελάχιστο όριο ή κάτω όριο µιας ακολουθίας a n εάν άπειροι όροι της ακολουθίας είναι µικρότεροι του l + ǫ, ενώ πεπερασµένο πλήθος είναι µικρότερο του l ǫ, όπου ǫ > 0. Το lim sup και το lim inf µπορούνε να είναι και άπειρα. Κάθε ϕραγµένη ακολουθία, χωρίς να είναι απαραίτητα συγκλίνουσα, έχει πεπερασµένα lim sup και το lim inf. Μια ακολουθία συγκλίνει αν και µόνο αν lim sup a n = lim inf a n = lim a n. 5 Κιβωτισµένα ιαστήµατα Ας ϑεωρήσουµε τα διαστήµατα [a n, b n ], όπου το καθένα περιέχεται στο προηγούµενο και έστω ότι lim (a n b n ) = 0. Τα διαστήµατα λέγονται κυβωτισµένα. Αποδεικνύεται ότι σε κάθε σύνολο κιβωτισµένων διαστηµάτων αντιστοιχεί ένας και µόνο ένας πραγµατικός αριθµός. 6 Θεωρήµατα Σύγκλισης Για την σύγκλιση των ακολουθιών ισχύουν τα εξής ϑεωρήµατα.
Κ. Κυρίτσης 6 Ακολουθίες Θεώρηµα 1 Κάθε ϕραγµένη και µονότονη ακολουθία συγκλίνει. ( εν ισχύει το αντίστροφο). Θεώρηµα 2 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ϕραγµένη. Θεώρηµα 3 Κάθε ϕραγµένη ακολουθία περιέχει µια συγκλίνουσα υποακολουθία. Θεώρηµα 4 Το όριο µιας υποακολουθίας είναι το ίδιο µε το όριο της ακολου- ϑίας από την οποία προέρχεται. 7 Κριτήρια Συγκλισης 7.1 Κριτήριο Cauchy Μια ακολουθία a n συγκλίνει αν και µόνο αν για κάθε ǫ > 0 µπορούµε να ϐρούµε έναν αριθµό N, τέτοιον ώστε a p a q < ǫ για κάθε p, q > N. Μία ακολουθία που συγκλίνει κατά Cauchy λέγεται ϐασική. Το πλεονέκτηµα αυτού του κριτηρίου είναι ότι δεν χρειάζεται κανείς να ξέρει (ή να µαντέψει) το όριο L της ακολουθίας. 7.2 Κριτήριο παρεµβολής Αν για κάθε n ισχύει a n b n c n και τότε αναγκαστικά ϑα είναι και 7.3 Κριτήριο Λόγου lim a n = L = lim c n, (9) lim b n = L. (10) Αν για κάθε n είναι a n 0 και lim a n+1 a n = λ < 1, (11) τότε lim a n = 0. (12)
Κ. Κυρίτσης 7 Ακολουθίες 7.4 Κριτήριο Ρίζας Αν τότε 7.5 Κριτήριο Stolz Είναι lim a n+1 a n = d, (13) lim (a n) 1/n = lim n a n = d. (14) lim a n a n+1 a n = lim. (15) b n b n+1 b n Εφαρµόζεται όταν ψάχνουµε το όριο του λόγου δυο ακολουθιών.
Κ. Κυρίτσης 8 Ακολουθίες ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 9 Ακολουθίες Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 10 Ακολουθίες Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ