1.2 Βασικές έννοιες. Στοχαστική διαδικασία

.2 Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγµατα αυτά η τρέχουσα τιµή µιας οικονοµικής µεταβλητής, εκφράζεται ως συνάρτηση των προηγούµενων τιµών της. Η ανάπτυξη τέτοιων υποδειγµάτων υπήρξε ραγδαία τα τελευταία χρόνια. Η χρησιµοποίηση της προσέγγισης των τεχνικών αναλύσεων των χρονικών σειρών έδωσε νέα διάσταση στο πρόβληµα της κίβδηλης (νόθου) παλινδρόµησης (spurious regressio). Η συνέπεια των εξελίξεων αυτών, ήταν να υπάρξει µια σύνθεση (πάντρεµα) της οικονοµετρικής θεωρίας µε την τεχνική ανάλυση των χρονικών αυτών σειρών. Στη συνέχεια δίνουµε ορισµένες βασικές έννοιες που χρησιµοποιούνται για την κατανόηση των θεµάτων που αναπτύσσονται. Στοχαστική διαδικασία Μια χρονική σειρά είναι ένα δείγµα µε ισαπέχοντα χρονικά σηµεία (έτη, τρίµηνα, µήνες, κ.λ.π), ή ισαπέχοντα χρονικά διαστήµατα. Αν οι παρατηρήσεις είναι συγκεκριµένες τιµές των τυχαίων µεταβλητών Χ, Χ 2,.Χ η και οι τυχαίες αυτές µεταβλητές είναι υποσύνολο µιας άπειρης σειράς τυχαίων µεταβλητών (ακολουθία τυχαίων µεταβλητών), τότε λέµε ότι η άπειρη αυτή ακολουθία των τυχαίων µεταβλητών ονοµάζεται στοχαστική (stochastic process) και παριστάνεται ως Χ t. Στασιµότητα Τα χαρακτηριστικά µιας κατανοµής πιθανότητας περιορίζονται στο µέσο και στη διακύµανση. Σε µια συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας εκτός από το µέσο και τη διακύµανση έχουµε και τη συνδυακύµανση. Εποµένως από ένα µόνο δείγµα ( παρατηρήσεων) δεν µπορούµε να εκτιµήσουµε τις παραπάνω παραµέτρους. Το πρόβληµα που δηµιουργείτε µπορεί να απλοποιηθεί µε την υπόθεση της στασιµότητας (statioarity). Εποµένως µια στοχαστική διαδικασία είναι στάσιµη όταν οι ιδιότητές της δεν επηρεάζονται από µία αλλαγή µέτρησης της χρονικής περιόδου, δηλαδή η συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας µε αρχή τη χρονική περίοδο t είναι ακριβώς ίδια µε τη συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας µε αρχή τη χρονική περίοδο t +. Όπου είναι µια τυχαία χρονική περίοδος κατά µήκος του άξονα του χρόνου. Άρα

σύµφωνα µε τα παραπάνω λέµε ότι σε µια συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας ο µέσος και η διακύµανση δε µεταβάλλονται, ενώ η συνδυακύµανση είναι συνάρτηση µόνο χρονικών υστερήσεων ή προηγήσεων Mills (99). Λευκός θόρυβος Όταν σε µία τυχαία διαδικασία {ε t } ισχύουν οι παρακάτω τρεις υποθέσεις Ε (ε t ) = 0 V (ε t ) = σ 2 Cov (ε t, ε t+ ) = 0 για όλα τα t και για κάθε 0 τότε λέµε η διαδικασία αυτή είναι διαδικασία λευκού θορύβου (white oise process). Τυχαίος περίπατος Έστω µία απλή στοχαστική διαδικασία που ορίζεται από µία αυτοπαλίνδροµη διαδικασία πρώτης τάξης ως εξής: X t = βχ t- + ε t Όπου η ε t ακολουθεί τη διαδικασία λευκού θορύβου (βλέπε λευκό θόρυβο). Αν β = το παραπάνω υπόδειγµα γίνεται: X t = Χ t- + ε t Το παραπάνω υπόδειγµα είναι γνωστό ως τυχαίος περίπατος (radom wal). Όταν στο παραπάνω υπόδειγµα υπάρχει σταθερό όρος δηλαδή είναι της µορφής X t = α + Χ t- + ε t Τότε λέµε ότι το υπόδειγµα είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση. (radom wal with drift). Μια στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί τον τυχαίο περίπατο δεν είναι στάσιµη Hamilto (994).

Χρονική τάση Χρονική τάση λέµε τη µακροχρόνια µεταβολή (αύξηση ή µείωση) που παρατηρείται σε µια µεταβλητή κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου, δηλαδή την τάση που έχει µία µη στάσιµη χρονική σειρά Έστω το υπόδειγµα X t = α + βt + γχ t- + ε t Όπου ε t είναι λευκός θόρυβος και t ο χρόνος ως µία ανεξάρτητη µεταβλητή.. Αν β = 0 και γ = τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + Χ t- + ε t ή Χ t = α + ε t Στην τελευταία αυτή συνάρτηση η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανά-λογα µε το πρόσηµο του α. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι έχουµε στοχαστική τάση (stochastic tred) και η συνάρτηση ονοµάζεται στάσιµη διαδικασία των διαφορών, διότι η µη στασιµότητα στη X t µπορεί να απαλειφθεί όταν πάρουµε τις πρώτες (ή δεύ-τερες) διαφορές αυτής της χρονικής σειράς. Nelso ad Plosser (982). 2. Αν β 0 και γ = 0 τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt + ε t Στην περίπτωση αυτή η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα µε το πρόσηµο του β οπότε λέµε ότι έχουµε προσδιοριστική τάση (determiistic tred) και η συνάρτηση ονοµάζεται στάσιµη διαδικασία τάσεως, διότι η µη στασιµότητα στη X t µπορεί να απαλειφθεί αν αφαιρέσουµε την τάση (α + βt) από τη χρονική αυτή σειρά. Οι δύο παραπάνω µορφές (στοχαστική και προσδιοριστική) έχουν ουσιαστικές διαφορές, οι οποίες έχουν να κάνουν κυρίως µε τις επιπτώσεις που ασκούν οι βραχυ-

χρόνιες τυχαίες διαταραχές στη µακροχρόνια πορείας τους. Έτσι, η στοχαστική µορφή τάσης συνεπάγεται ότι σε µία τυχαία διαταραχή θα υπάρξουν µόνιµες επιπτώσεις στο µακροχρόνιο επίπεδο της χρονικής σειράς, ενώ στην προσδιοριστική µορφή τάσης θα υπάρξουν παροδικές µόνο επιπτώσεις. Άρα και οι δύο αυτές µορφές τάσης είναι σηµαντικές στην άσκηση µιας οικονοµικής πολιτικής από τα στελέχη των οικονοµι-κών επιτελείων των κυβερνήσεων. 3. Αν β 0 και γ = τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt + γχ t- + ε t Στην περίπτωση αυτή η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα µε το συνδυασµένο αποτέλεσµα και των δύο προσήµων (α και β) οπότε λέµε ότι έχουµε στοχαστική και προσδιοριστική τάση. Για την περίπτωση αυτή δηλαδή της στοχαστικής και προσδιοριστικής τάσης χρησιµοποιούµε διάφορους ελέγχους όπως είναι και ο έλεγχος των Dicey ad Fuller (979). Η τάση που παρουσιάζουν πολλές χρονικές σειρές, κυρίως µακρο-οικονοµικές συνεπάγεται τη µη στασιµότητα των χρονικών αυτών σειρών. Ανάλογα µε τη µορφή της τάσης που έχουν οι µακρο-οικονοµικές σειρές (στοχαστική, προσδιοριστική) επιβάλλεται και η κατάλληλη µέθοδος µετατροπής της µακρο-οικονοµικής σειράς σε στάσιµη. Η µη χρησιµοποίηση της κατάλληλης µεθόδου για την επίτευξη στασιµότητας συνεπάγεται λανθασµένα συµπεράσµατα αναφορικά µε τη µακροχρόνια συµπεριφορά της σειράς αυτής. Εποµένως είναι ιδιαίτερα σηµαντικό το θέµα της σωστής επιλογής της καταλληλότερης µεθόδου απαλοιφής της τάσης των µακρο-οικονοµικών σειρών. Σύµφωνα µε τους Nelso ad Plosser (982) καθορίστηκαν δύο κατηγορίες µετατροπής των χρονικών σειρών σε στάσιµες. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν αυτές που µετατρέπονται σε στάσιµες αν αφαιρέσουµε την τάση (tred statioary), για τις χρονικές σειρές που παρουσιάζουν προσδιοριστική τάση και στη δεύτερη κατηγορία που ανήκουν οι χρονικές σειρές που γίνονται στάσιµες κατόπιν λήψης των διαφορών (differece statioary) για τις χρονικές σειρές που παρου-σιάζουν στοχαστική τάση. Πρέπει εδώ να επισηµάνουµε ότι και οι δύο κατηγορίες αναφέρονται στη µη στασι- µότητα εκείνων των χρονικών σειρών ως προς το µέσο. Για την εξάλειψη τυχόν µη

στασιµότητας ως προς τη διακύµανση συνιστάται να µετασχη-µατιστούν οι αρχικές χρονικές σειρές σε λογαρίθµους και µετά να γίνουν στάσιµες. Ολοκληρωµένη χρονική σειρά Οι περισσότερες οικονοµικές χρονικές σειρές είναι µη στάσιµες διαδικασίες. Μπορούν όµως να µετατραπούν σε στάσιµες παίρνοντας τις πρώτες ή ακόµη και τις δεύτερες διαφορές τους. Όταν εποµένως µετατρέπουµε σε στάσιµη διαδικασία µία χρονική σειρά παίρνοντας τις πρώτες διαφορές τότε λέµε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωµένη πρώτης τάξης (itegrated first order) και συµβολίζεται ως Ι(). Φαίνεται ότι αρκετές οικονοµικές χρονικές σειρές όπως η κατανάλωση, το εισόδηµα, το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν, οι ιδιωτικές και δηµόσιες επενδύσεις, ο πληθωρισµός, οι δηµόσιες δαπάνες και η προσφορά του χρήµατος είναι ολοκληρωµένες πρώτης τάξης Ι(). Αν µετατρέπουµε σε στάσιµη διαδικασία µία χρονική σειρά παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές τότε λέµε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωµένη δεύτερης τάξης και συµβολίζεται ως Ι(2) κ.ο.κ. Στην έρευνα που κάνουµε για τις χρονικές σει-ρές µας ενδιαφέρει οι χρονικές σειρές να είναι στάσιµες διότι µε αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης που αναφέρεται αµέσως µετά..3 Χρονικές σειρές και προβλέψεις Αντικειµενικός σκοπός της µελέτης των χρονικών σειρών είναι η χρησιµοποίησή τους στη διενέργεια προβλέψεων. Η πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών µιας χρονικής σειράς µπορεί να γίνει µε διάφορες µεθόδους. Οι πιο διαδεδοµένες µέθοδοι πρό-βλεψης είναι αυτές που αναφέρονται σε ποιοτικά δεδοµένα και αυτές που αναφέρονται σε ποσοτικά δεδοµένα. Η πρώτη κατηγορία πρόβλεψης γίνεται συνήθως από επιστήµονες που χρησιµοποιούν κυρίως την προσωπική τους εµπειρία, ενώ η δεύτερη κατηγορία πρόβλεψης στηρίζεται σε κάποιο µαθηµατικό υπόδειγµα. Τα υποδείγµατα που αναφέρονται σε ποσοτικά δεδοµένα διακρίνονται σε αιτιατά (causal) και µη αιτιατά (o causal).

Αιτιατά υποδείγµατα πρόβλεψης (υποδείγµατα παλινδροµήσεων) Με τα υποδείγµατα αυτά κάνουµε προβλέψεις σε µία χρονική σειρά µε βάση την οικονοµική σχέση που συνδέει τη µεταβλητή αυτή µε άλλες µεταβλητές που σχετίζονται µε τη χρονική αυτή σειρά. Τέτοια υποδείγµατα είναι τα οικονοµετρικά. Για τη διενέργεια προβλέψεων σε οικονοµετρικά υποδείγµατα θα πρέπει: ) Να προσδιοριστεί το υπόδειγµα µε βάση την οικονοµική θεωρία. 2) Να γίνει η σωστή εξειδίκευση του υποδείγµατος µε τις κατάλληλες στατιστικές και οικονοµετρικές µεθόδους. 3) Να γίνει η εκτίµηση του υποδείγµατος χρησιµοποιώντας ένα δείγµα παρατηρήσεων και στη συνέχεια να γίνουν οι προβλέψεις µε βάση τις εκτιµήσεις αυτές. Μη αιτιατά υποδείγµατα πρόβλεψης (υποδείγµατα χρονικών σειρών) Στα υποδείγµατα αυτά η πρόβλεψη στηρίζεται σε προηγούµενες τιµές της ίδιας χρονικής σειράς. ηλαδή, προβλέπουµε τη µελλοντική συµπεριφορά µιας χρονικής σειράς, όχι σε συνάρτηση µε άλλες που τυχόν την επηρεάζουν (όπως τα υποδείγµατα των παλινδροµήσεων), αλλά εξετάζοντας µόνο την προηγούµενη δική της συµπεριφορά. Οι µέθοδοι πρόβλεψης για τις µελλοντικές τιµές µιας χρονικής σειράς µε βάση τις προηγούµενες τιµές εξαρτώνται από τα υποδείγµατα των χρονικών σειρών. Τα υποδείγµατα αυτά διακρίνονται σε καθοριστικά (determiistic) και σε στοχαστικά (stochastic). Τα καθοριστικά υποδείγµατα των χρονικών σειρών στηρίζονται σε µαθη-µατικές µορφές και ο τυχαίος παράγοντας προστίθεται σαν κατάλοιπο λάθους σε κάθε χρονική περίοδο, τέτοια υποδείγµατα είναι τα υποδείγµατα κινητών µέσων, τα υπο-δείγµατα τάσης, τα υποδείγµατα εξοµάλυνσης κ.α, ενώ στα στοχαστικά υποδείγµατα ο τυχαίος παράγοντας αποτελεί το µηχανισµό µέσα από τον οποίο δηµιουργείται η χρονική σειρά. Στα υποδείγµατα αυτά µπορούµε να κατατάξουµε τα υποδείγµατα Box Jeis (976). Το πλεονέκτηµα των υποδειγµάτων των χρονικών σειρών έναντι των οικονοµετρικών στη διενέργεια των προβλέψεων είναι ότι τα πρώτα είναι λιγότερο πολύπλοκα. Αντίθετα το βασικό µειονέκτηµά τους είναι ότι δε στηρίζονται σε κάποια θεωρία που να εξηγεί πως διαµορφώνονται οι τιµές της χρονικής σειράς. ηλαδή θεωρούν ότι

αυτό που συνέβαινε στο παρελθόν θα εξακολουθήσει να συµβαίνει και στο µέλλον. Για τους λόγους αυτούς λέµε ότι οι µέθοδοι των χρονικών σειρών είναι συνήθως πιο κατάλληλες για βραχυχρόνιες προβλέψεις, ενώ οι οικονοµετρικές για µακροχρόνιες προβλέψεις, χωρίς η διάκριση αυτή να ισχύει απόλυτα..4 Κίβδηλες παλινδροµήσεις Μία από τις υποθέσεις που χρησιµοποιούµε στην ανάλυση της παλινδρόµησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιµοποιούµε για τις εφαρµογές της µεθόδου της παλινδρόµησης είναι πως οι χρονικές αυτές σειρές είναι στάσιµες (statioary). Αν οι χρονικές αυτές σειρές δεν είναι στάσιµες τότε οι στατιστικοί έλεγχοι που εφαρµόζονται στα υποδείγµατα των παλινδροµήσεων δίνουν αναξιόπιστα αποτελέσµατα. Άρα όταν οι µεταβλητές δεν είναι στάσιµες, τα στατιστικά αποτελέσµατα µπορεί να είναι ικανοποιητικά, δηλαδή υψηλή τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R 2 και σηµαντικές τιµές στους συντελεστές της παλινδρόµησης (κατανοµές t, και F), αλλά να µην έχουν καµιά οικονοµική σηµασία. Στην περίπτωση αυτή έχουµε το πρόβληµα των κίβδηλων παλινδροµήσεων (spurious regressios) Phillips (986). Στις κίβδηλες παλινδροµήσεις ο συντελεστής προσδιορισµού R 2 είναι πολύ υψηλός (τείνει στη µονάδα) ενώ η τιµή του στατιστικού των Durbi Watso (950, 95) είναι πολύ χαµηλή R 2 > DW, υποδηλώνοντας την παρουσία υψηλής αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα, πράγµα που σηµαίνει αναποτελεσµατικές εκτιµήσεις των συντελεστών παλινδρόµησης καθώς και µη έγκυρες τιµές των κριτηρίων της κατάνοµής t. Το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης µπορεί να συµβεί επίσης και όταν δύο χρονικές σειρές σε µια παλινδρόµηση έχουν σε µεγάλο βαθµό υψηλή συσχέ-τιση, ενώ δεν έχουν καµιά πραγµατική σχέση µεταξύ τους (π.χ η συσχέτιση µεταξύ πληθωρισµού και της βροχόπτωσης). Η υψηλή συσχέτιση οφείλεται στην ύπαρξη χρονικών τάσεων και στις δύο χρονικές σειρές, αντιπροσωπεύει δηλαδή µία καθαρά µαθηµατική και όχι µία αιτιολογική σχέση, Grager ad Newbold (974). Για να εξαλείψουµε το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης εκτιµούµε τις πρώτες διαφορές των χρονικών σειρών και όχι τα επίπεδά τους. Ο λόγος που µας οδηγεί στην χρησι- µοποίηση των πρώτων διαφορών είναι ότι πολλές οικονοµικές χρονικές σειρές έχουν τα χαρακτηριστικά του τυχαίου περιπάτου. Έτσι είναι ασφαλέστερο σύµφωνα µε τους Grager ad Newbold να εκτιµηθεί η σχέση µε τις ίδιες µεταβλητές σε πρώτες διαφορές αντί για τα αρχικά επίπεδα.

Παράδειγµα. Στον πίνακα. παρουσιάζονται στοιχεία σχετικά µε την οικονοµία της Ελλάδος. Ας υποθέσουµε ότι ενδιαφερόµαστε να µάθουµε αν η ποιότητα των αποτελεσµάτων µεταξύ της εθνικής ιδιωτικής κατανάλωσης και του εισοδήµατος είναι ικανοποιητική. Πίνακας. Εθνική ιδιωτική κατανάλωση και καθαρό εθνικό εισόδηµα της Ελλάδος σε σταθερές τιµές από το 96-980. ισ. δρχ. σταθερές τιµές (970) ΕΤΗ ΕΘΝΙΚΗ Ι ΙΩΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (C) ΚΑΘΑΡΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟ ΗΜΑ (Y) (t) 96 5.47 53.855 962 20.050 56.59 963 26.5 72.349 964 37.92 86.572 965 47.707 203.982 966 57.687 26.35 967 67.528 227.87 968 79.025 243.228 969 90.089 266.739 970 206.83 287.560 97 27.22 309.283 972 232.32 336.686 973 250.057 36.538 974 25.650 345.436 975 266.884 364.805 976 28.066 388.79 977 293.928 402.894 978 30.640 428.685 979 38.87 444.054 980 39.34 45.347 Πηγή: Η Ελληνική Οικονοµία σε Αριθµούς, Electra Press 990. Τα αποτελέσµατα από το υπόδειγµα της παλινδρόµησης C t = α + βy t + u t µε τη χρησιµοποίηση των οικονοµετρικών πακέτων MFIT και EVIEWS δίνονται παρακάτω: Πίνακας.2 Εκτιµήσεις της συνάρτησης C t = α + βy t + u t µε το οικονοµετρικό πακέτο MFIT Depedet variable is C 20 observatios used for estimatio from 96 to 980 ********************************************************************* Regressor Coefficiet Stadard Error T-Ratio[Prob] A 6.4235 3.2364.9848[.063] Y.69953.00349 67.597[.000]

********************************************************************* R-Squared.99608 R-Bar-Squared.99586 S.E. of Regressio 4.4773 F-stat. F(, 8) 4569.4[.000] Mea of Depedet Variable 24.4630 S.D. of Depedet Variable 69.5696 Residual Sum of Squares 360.8284 Equatio Log-lielihood -57.3055 Aaie Ifo. Criterio -59.3055 Schwarz Bayesia Criterio -60.302 DW-statistic.92704 Πίνακας.3 Εκτιµήσεις της συνάρτησης C t = α + βy t + u t µε το οικονοµετρικό πακέτο EVIEWS Depedet Variable: C Method: Least Squares Date: /04/04 Time: :04 Sample: 96 980 Icluded observatios: 20 Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. CONST 6423.452 3236.380.984765 0.0626 Y 0.69953 0.00349 67.5975 0.0000 R-squared 0.996076 Mea depedet var 24463.0 Adjusted R-squared 0.995858 S.D. depedet var 69569.59 S.E. of regressio 4477.279 Aaie ifo criterio 9.74606 Sum squared resid 3.6E+08 Schwarz criterio 9.84563 Log lielihood -95.4606 F-statistic 4569.375 Durbi-Watso stat 0.927044 Prob(F-statistic) 0.000000 Τα αποτελέσµατα από την εκτίµηση της παλινδρόµηση ανάµεσα στις δύο µεταβλητές µε βάση τα στατιστικά κριτήρια R 2, t και F είναι ικανοποιητικά. Επειδή, η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι υψηλή και η τιµή της στατιστικής των Durbi-Watso είναι χαµηλή και µάλιστα έχω R 2 > DW είναι πολύ πιθανόν η παλινδρόµηση να είναι κίβδηλη..5 Στασιµότητα των χρονικών σειρών Για να εφαρµόσουµε την ανάλυση της παλινδρόµησης στις χρονικές σειρές θα πρέπει τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται να προέρχονται από στάσιµες διαδικασίες. Οι περισσότερες οικονοµικές σειρές είναι µη στάσιµες. Άρα πριν εφαρµόσουµε την παλινδρόµηση σ αυτές τις χρονικές σειρές θα πρέπει να κάνουµε τους ελέγχους για τη στασιµότητα των χρονικών αυτών σειρών.

Μια χρονική σειρά λέγεται στάσιµη όταν η τιµή της ταλαντεύεται γύρω από το µέσο, δηλαδή οι τιµές που αυτή παίρνει στα διάφορα χρονικά διαστήµατα έχουν τον ίδιο µέσο, την ίδια διακύµανση και η τιµή της συνδιακύµανσής της µεταξύ δύο χρονικών περιόδων εξαρτάται µόνον από την υστέρηση µεταξύ των δύο χρονικών περιόδων δηλαδή από την απόσταση ανάµεσα στα δύο αυτά χρονικά σηµεία και όχι από την πραγµατική χρονική περίοδο που υπολογίζεται η συνδιακύµανση. Άρα µια χρονική σειρά χαρακτηρίζεται ως στάσιµη αν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο. Μια χρονική σειρά Y t είναι στάσιµη όταν: Μέσος: Ε(Y t ) = µ ιακύµανση: Var(Y t ) = E(Y t - µ) 2 = σ 2 Συνδιακύµανση: Cov(Y t, Y t+ ) = E[(Y t - µ) (Y t+ - µ)] = γ κ Αν µία τουλάχιστον από τις παραπάνω σχέσεις δεν ισχύει, τότε η χρονική σειρά Y t χαρακτηρίζεται µη στάσιµη. ηλαδή σε µία µη στάσιµη χρονική σειρά τόσο ο µέσος, όσο και η διακύµανση είναι συνάρτηση του χρόνου. Στην πράξη είναι πολύ δύσκολο να βρούµε στάσιµες χρονικές σειρές ιδιαίτερα δε στην οικονοµική επιστήµη, γιατί οι περισσότερες µεγεθύνονται ή µειώνονται µακροχρόνια. Αυτό δείχνει ότι οι χρονικές αυτές σειρές δεν έχουν ένα σταθερό µακροχρόνιο µέσο, καθόσον τείνουν να αποµακρύνονται συνεχώς από ένα δεδοµένο αρχικό επίπε-δο. Μια χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη όταν παρουσιάζει τάση (ανοδική ή καθοδική), όταν µεταβάλλεται η µεταβλητότητά της σε συνάρτηση µε τον χρόνο ή όταν παρουσιάζει εποχικότητα..6 Έλεγχοι της στασιµότητας Τους ελέγχους της στασιµότητας µπορούµε να τους χωρίσουµε σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία αναφέρονται οι έλεγχοι των γραφικών παραστάσεων και των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης, ενώ στη δεύτερη κατηγορία αναφέρονται όλοι οι έλεγ-χοι των µοναδιαίων ριζών.

.6. Γραφικές παραστάσεις Για να διαπιστώσουµε αν µια χρονική σειρά παρουσιάζει στασιµότητα κάνου- µε τη γραφική παράσταση των µεταβλητών της. Η γραφική παράσταση είναι συνήθως το πρώτο βήµα για την ανάλυση οποιασδήποτε χρονικής σειράς. Η απεικόνιση µιας χρονικής σειράς ως προς το χρόνο ονοµάζεται χρονοδιάγραµµα (time plot). Η µελέτη του χρονοδιαγράµµατος µιας χρονικής σειράς είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για να προσδι-ορίσουµε βασικά χαρακτηριστικά της όπως την ύπαρξη τάσης, εποχικότητας ή άλλων συνιστώσεων. Άρα αν διαπιστώσουµε την εµφάνιση κάποιας από τις συνιστώσες που αναφέρονται πιο πάνω, δηλαδή τάση, εποχική µεταβολή, κυκλική διακύµανση ή ακα-νόνιστη µεταβολή, τότε λέµε ότι η χρονική σειρά δεν παρουσιάζει στασιµότητα. Στα διαγράµµατα.,.2 και.3 παρουσιάζονται χρονικές σειρές που αναφέρονται σε βασικά µακρο-οικονοµικά µεγέθη της ελληνικής οικονοµίας, όπως, την ιδιωτική κα-τανάλωση, τις ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου και το δείκτη της βιοµηχα-νικής παραγωγής. Η υπόθεση της µη στασιµότητας µπορεί να διαπιστωθεί επίσης και από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της αυτοσυσχέτισης (autocorrelatio fuctio) η οποία συµβολίζεται µε τα γράµµατα ACF µε το κορελόγραµµα (correlogram) της αντίστοιχης χρονικής σειράς, ως και της µερικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (partial autocorrelatio fuctio) η οποία συµβολίζεται µε τα γράµµατα PACF και του αντίστοιχου κορελογράµµατος (correlogram). Στη γραφική αυτή παράσταση ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης αρχίζει από πολύ υψηλές τιµές και φθίνει αργά, πράγµα που υποδηλώνει ότι η αντίστοιχη µεταβλητή δεν είναι στάσιµη (βλέπε διαγράµµατα.4 και.5), ενώ δεν συµβαίνει το ίδιο όταν οι χρονικές σειρές είναι στάσιµες όπου οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν σχετικά γρήγορα προς το µηδέν καθώς ο αριθ- µός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει.

ιάγραµµα. Ιδιωτική κατανάλωση της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του 995. 24000 20000 6000 2000 8000 4000 960 965 970 975 980 985 990 995 CPV Το διάγραµµα. δείχνει την πορεία της ιδιωτικής κατανάλωσης της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του 995, για την περίοδο από 960 µέχρι το 999. Η πορεία αυτή είναι γενικά ανοδική µε ελάχιστες περιόδους µείωσης. Το διάγραµµα αυτό δείχνει ότι η χρονική σειρά της µεταβλητής αυτής παρουσιάζει έντονα ανοδική τάση που καθιστά τη χρονική αυτή σειρά µη στάσιµη. Πρόκειται δηλαδή για µία σειρά της οποίας ο µέσος και η διακύµανση µεταβάλλονται µέσα στη δειγµατική περίοδο που εξετάζουµε µε αποτέλεσµα η κατανοµή της να µην είναι σταθερή. Άρα δεν µπορούµε να χρησι-µοποιήσουµε µια τέτοια χρονική σειρά για διενέργεια προβλέψεων στη µορφή που βρίσκεται. Θα πρέπει εποµένως να τη µετατρέψουµε σε στάσιµη χρονική σειρά και µε βάση τα χαρακτηριστικά της να επιλέξουµε την κατάλληλη µορφή του υποδείγµατος που θα εξηγεί καλύτερα τα δεδοµένα της.

ιάγραµµα.2 Ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του 995. 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 000 960 965 970 975 980 985 990 995 ITV Το διάγραµµα.2 δείχνει την πορεία των ακαθάριστων επενδύσεων παγίου κεφαλαίου στην Ελλάδα σε σταθερές τιµές του 995. Η πορεία αυτή είναι επίσης ανο-δική, αλλά όχι τόσο οµαλή όσο αυτή της ιδιωτικής κατανάλωσης στο προηγούµενο διάγραµµα. Όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα στη διάρκεια της δεκαετίας του 970 υπάρχουν έντονες διακυµάνσεις στις ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου σε αντίθεση µε τη δεκαετία του 960 όπου παρατηρείται µία οµαλότητα. Στην αλλαγή αυτής της πορείας συνετέλεσαν κυρίως οι πετρελαικές κρίσεις στα έτη 974 και 979, οι οποίες επηρέασαν αρνητικά το επενδυτικό κλίµα και οδήγησαν σε πληθωριστικές πιέσεις και υψηλά επιτόκια. Στη συνέχεια κατά τη δεκαετία του 980 παρατηρείται πτώση των ακαθάριστων επενδύσεων παγίου κεφαλαίου, γεγονός που οφείλεται στα προγράµµατα λιτότητας που εφαρµόστηκαν από την τότε κυβέρνηση για την καταπο-λέµηση του πληθωρισµού και των δηµόσιων ελλειµµάτων. Και το διάγραµµα αυτό δείχνει ότι η χρονική σειρά της µεταβλητής αυτής παρουσιάζει ανοδική τάση που κα-θιστά τη χρονική αυτή σειρά µη στάσιµη.

ιάγραµµα.3 είκτης βιοµηχανικής παραγωγής στην Ελλάδα 5 0 05 00 95 90 85 90 9 92 93 94 95 96 97 98 99 Q Το διάγραµµα.3 απεικονίζει το δείκτη της βιοµηχανικής παραγωγής στην Ελλάδα µε τριµηνιαία στοιχεία της περιόδου 990 999. Στα στοιχεία αυτά εµφανίζεται κάποιο εποχικό πρότυπο. Οι τιµές του δευτέρου και τετάρτου τριµήνου κάθε έτους είναι αυξηµένες σε σχέση µε τα άλλα τρίµηνα. Παράλληλα η χρονική σειρά της βιοµηχανικής παραγωγής έχει διαχρονικά µία αυξητική πορεία και εποµένως εµφανίζει σηµαντική τάση. Η ύπαρξη τόσο της εποχικότητας όσο και της τάσης σε µία χρονική σειρά αποτελεί παράγοντα µη στασιµότητας.

ιάγραµµα.4 Στάσιµη χρονική σειρά.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2 3 4 5 6 7 8 Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για µία στάσιµη χρονική σειρά φθίνει σχετικά γρήγορα προς το µηδέν καθώς ο αριθµός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει. PK ιάγραµµα.5 Μη στάσιµη χρονική σειρά 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 2 3 4 5 6 7 8 PPK Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για µία µη στάσιµη χρονική σειρά µειώνονται αργά προς το µηδέν καθώς ο αριθµός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει.

.6.2 ιαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ως συντελεστή αυτοσυσχέτισης ορίζεται ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ δύο παρατηρήσεων που απέχουν χρονικές περιόδους. Ο συντελεστής αυτόσυσχέτισης του δείγµατος δίνεται από την παρακάτω σχέση: ) ) γ ρ ) ( Y Y )( Y t t+ t= = = γ 0 2 ( Y Y ) t= Y ) όπου γˆ είναι η συνδιακύµανση του δείγµατος (χρονικής σειράς) που εξετάζουµε. γ ˆ0 είναι η διακύµανση του δείγµατος. Όπως είναι γνωστό ο εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρˆ παίρνει τιµές από έως + και επειδή η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι συµµετρική, εξετάζουµε µόνο τις θετικές τιµές του. Οι έλεγχοι που κάνουµε στην περίπτωση αυτή είναι: Ηο: Ηα: εν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ των διαταρακτικών όρων (λευκών θορύβων) ή εν υπάρχει σειριακή συσχέτιση ή ρ = 0 ή Η χρονική σειρά είναι στάσιµη. εν ισχύει η Ηο. Ο στατιστικός έλεγχος σηµαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης γίνεται µε το στατιστικό t test. Σύµφωνα µε τον Bartlett (946) αν µία χρονική σειρά προέλθει από µία τυχαία στοχαστική διαδικασία, οι δειγµατικοί συντελεστές αυτόσυσχέτισης κατανέµονται περίπου κανονικά µε µέσο το µηδέν και διακύµανση / όπου είναι το µέγεθος του δείγµατος. Στις παραπάνω υποθέσεις ο συντελεστής ρ αναφέρεται στο συντελεστή αυτόσυσχέτισης του πληθυσµού. Οι στατιστικοί δείκτες (στατιστικοί έλεγχοι) που χρησι- µοποιούµε για τον έλεγχο του συντελεστού αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων (έλεγχος σηµαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης) των παραπάνω υποθέσεων, κα-θώς και για το διαγνωστικό έλεγχο καταλληλότητας ενός εκτιµηµένου υποδείγµατος είναι οι παρακάτω:

Παράδειγµα.2 Τα στοιχεία του πίνακα.4 αναφέρονται στις καταναλωτικές δαπάνες και στο διαθέσιµο εισόδηµα για τη χρονική περίοδο 983 992 (υποθετικά στοιχεία). Πίνακας.4 Καταναλωτικές δαπάνες και διαθέσιµο εισόδηµα Καταναλωτικές απάνες ιαθέσιµο εισόδηµα Έτος Υ Χ 983 70 80 984 65 00 985 90 20 986 95 40 987 0 60 988 5 80 989 20 200 990 40 220 99 55 240 992 50 260 Πηγή:Gujarati Να βρεθούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης των µεταβλητών αυτών. Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης του δείγµατος δίνεται από την παρακάτω σχέση: ) ) γ ρ ) ( Y Y )( Y t t+ t= = = γ 0 2 ( Y Y ) t= Y ) όπου γˆ είναι η συνδιακύµανση του δείγµατος (χρονικής σειράς) που εξετάζουµε. γ ˆ0 είναι η διακύµανση του δείγµατος. Όπως είναι γνωστό ο εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης έως +. ρˆ παίρνει τιµές από

Άρα θα πρέπει να βρω πρώτα τη διακύµανση και τη συνδυακύµανση για κάθε µεταβλητή και στη συνέχεια να υπολογίσω τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης. Για το σκοπό αυτό δηµιουργώ τον παρακάτω πίνακα. Πίνακας.5 εδοµένα για τις καταναλωτικές δαπάνες Έτος Υ t Y t -Y Y t+ -Y Y t+2 -Y Y t+3 -Y Y t+4 -Y Y t+5 -Y 983() 70-4 - 46-2 -6-4 984(2) 65-46 -2-6 - 4 9 985(3) 90-2 - 6-4 9 29 986(4) 95-6 - 4 9 29 44 987(5) 0-4 9 29 44 39 988(6) 5 4 9 29 44 39 989(7) 20 9 29 44 39 990(8) 40 29 44 39 99(9) 55 44 39 992(0) 50 39 Άθροισµα 0 2 8890 γ ˆ0 = ( Y t Y ) = = 889 0 t= γ ˆ 6497 = ( Yt Y )( Yt + Y ) = = 649. 7 t= 0 γ ˆ 38.8 = ( Yt Y )( Yt + 2 Y ) = = 38. 2 8 t= 0 γ ˆ 972 = ( Yt Y )( Yt + 3 Y ) = = 97. 3 2 t= 0 γ ˆ 684 = ( Yt Y )( Yt + 4 Y ) = = 68. 4 4 t= 0 930 γ ˆ5 = 93 ( Yt Y )( Yt + 5 Y ) = = t= 0 Άρα οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης θα είναι:

ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ γˆ = γ ˆ 649.7 = 889 = 0 γˆ = γ ˆ 38.8 = 889 2 2 = 0 γˆ = γ ˆ 97.2 = 889 3 3 = 0 γˆ = γ ˆ 68.4 = = 889 0.730 0.359 0.09 4 4 0 γˆ = γ ˆ 93 = = 889 5 5 0 0.077 0.27 Από τα αποτελέσµατα των συντελεστών αυτών παρατηρώ ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης βρίσκονται εντός των ορίων και +. Με ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκω και τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ. ιάγραµµα.6 Εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Υ 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0-0.2-0.4-0.6 83 84 85 86 87 88 89 90 9 92 P

.6.2. Box - Pierce Ο προηγούµενος έλεγχος αφορά τον έλεγχο µεµονωµένα καθενός συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Για να ελέγξουµε την υπόθεση ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών διαφέρει ή όχι από το µηδέν χρησιµοποιούµε τα στατιστικά κριτήρια των Box ad Pierce (970) και Ljug Box (978). Έτσι για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης. Ηο: ρ = ρ 2 =..ρ m = 0 Έναντι της εναλλακτικής Ηα: όχι όλα τα ρ m =0 Χρησιµοποιούµε τα παραπάνω κριτήρια που αναφέραµε. Η στατιστική αυτή των Box ad Pierce (970) η οποία χρησιµοποιείται για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών αυτοσυσχέτισης είναι µηδέν ορίζεται ως εξής: m ) 2 Q = ρ χ 2 m = όπου: Q = Η στατιστική των Box - Pierce m = Βαθµοί ελευθερίας. = Αριθµός παρατηρήσεων. ρ ) = Τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Η στατιστική Q ακολουθεί την Χ 2 κατανοµή µε m βαθµούς ελευθερίας και α επίπεδο σηµαντικότητας. Αν Q > Χ 2 (α, m) τότε απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0 ότι οι συντελεστές είναι µηδενικοί από κοινού ή αλλιώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η χρονική σειρά προέρχεται από µία τυχαία διαδικασία ή η χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη. Επειδή η στατιστική αυτή των Box ad Pierce δεν είναι αξιόπιστη για µικρά

δείγµατα οι Ljug Box πρότειναν µια παραλλαγή της παραπάνω στατιστικής, την οποία αναφέρουµε παρακάτω..6.2.2 Ljug - Box Η στατιστική των Ljug Box (978) αν και ακολουθεί την ίδια κατανοµή Χ 2 µε αυτή της Q δίνει καλύτερα αποτελέσµατα από την Q όταν εφαρµόζεται κυρίως σε µικρά δείγµατα Harvey (98), Kedal et. al. (983). Η στατιστική αυτή ορίζεται ως εξής: Q* = ( + 2) ) m 2 ρ = χ 2 m όπου: Q* = Η στατιστική των Ljug Box. m = Βαθµοί ελευθερίας = Αριθµός παρατηρήσεων. ρ ) = Τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Αν Q* > Χ 2 (α, m) τότε απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0 ότι οι συντελεστές είναι µηδενικοί από κοινού ή αλλιώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η χρονική σειρά προέρχεται από µία τυχαία διαδικασία ή η χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη. Ο αριθµός των αυτοσυσχετίσεων των καταλοίπων που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των παραπάνω στατιστικών ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του αριθµού των παρατηρήσεων m = /2.6.2.3 Bartlett test Ο έλεγχος του Bartlett (946) βασίζεται στην υπόθεση ότι αν η χρονική σειρά είναι στάσιµη τότε οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης του δείγµατος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανοµή µε µέσο µηδέν και διακύµανση /η ( = µέγεθος

του δείγµατος). Άρα σύµφωνα µε την υπόθεση αυτή οι συντελεστές συσχέτισης µε χρονική υστέρηση s πρέπει να βρίσκονται στο παρακάτω διάστηµα εµπιστοσύνης:.96 ρˆ.96 Τόσο οι γραφικές παραστάσεις όσο και η διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης δεν είναι αξιόπιστες. Για το λόγο χρησιµοποιούµε την διαδικασία µοναδιαίων ριζών. Παράδειγµα.3 Χρησιµοποιώντας τα στοιχεία του πίνακα. να ελεγχθεί η υπόθεση ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών αυτοσυσχέτισης διαφέρει ή όχι από το µη-δέν χρησιµοποιούµε τα στατιστικά κριτήρια των Box ad Pierce και Ljug Box. Η υπόθεση που εξετάζουµε είναι η ακόλουθη: Ηο: ρ = ρ 2 =..ρ m = 0 Έναντι της εναλλακτικής Ηα: όχι όλα τα ρ m = 0 Πίνακας.6 Συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής C και στατιστικά των Box ad Pierce και Ljug Box (MFIT) ********************************************************************* Order Autocorrelatio Stadard Box-Pierce Ljug-Box Coefficiet Error Statistic Statistic *********************************************************************.87230.2236 5.28[.000] 7.6209[.000] 2.72605.35509 25.760[.000] 30.5067[.000] 3.5724.42285 32.3079[.000] 38.9792[.000] 4.42646.45993 35.9452[.000] 43.9805[.000] 5.28747.47930 37.5980[.000] 46.4046[.000] 6.5582.48784 38.0836[.000] 47.677[.000] *********************************************************************

Από τον πίνακα.6 του οικονοµετρικού πακέτου MFIT παρατηρούµε ότι από το µέγεθος του δείγµατος που είναι = 20 οι εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζονται αναφέρονται µέχρι και την 6 χρονική υστέρηση ( = 6). Στο ίδιο πίνακα παρουσιάζονται επίσης, εκτός από τα σφάλµατα των συντελεστών αυτόσυσχέτισης και οι στατιστικές των Box-Pierce και Ljug-Box για το συγκεκριµένο αριθµό χρονικών υστερήσεων, καθώς και τα αντίστοιχα επίπεδα πιθανοτήτων για τη σηµαντικότητα των παραπάνω στατιστικών. Από τον ίδιο πίνακα παρατηρούµε ότι όλα τα επίπεδα των πιθανοτήτων είναι µικρότερα του 5%, εποµένως απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0, άρα λέµε ότι και οι 6 συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Επίσης, χρησιµοποιώντας την Χ 2 κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας m = 20 ½ 4.47 5 και επίπεδο σηµαντικότητας 5% παρατηρούµε ότι όλες οι τιµές Q της στατιστικής των Box-Pierce, καθώς και όλες οι τιµές Q* της στατιστικής των Ljug-Box είναι µεγαλύτερες από την κρίσιµη (Χ 2 =.07) και εποµένως απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0. Θα πρέπει εδώ να υπενθυµίσουµε ότι η στατιστική των Ljug-Box αν και ακολουθεί την ίδια κατανοµή Χ 2 µε αυτή της στατιστικής των Box-Pierce δίνει καλύτερα αποτελέσµατα, όταν εφαρµόζεται σε µικρά δείγµατα. Πίνακας.7 Συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής C και στατιστικά των Box ad Pierce και Ljug Box (EVIEWS) Autocorrelatio Partial Correlatio AC PAC Q-Stat Prob. *******. ******* 0.872 0.872 7.62 0.000. ******. *. 2 0.726-0.46 30.507 0.000. ****. *. 3 0.572-0.3 38.979 0.000. ***. *. 4 0.426-0.059 43.980 0.000. **.. *. 5 0.287-0.077 46.405 0.000. *.. *. 6 0.56-0.08 47.68 0.000... *. 7 0.034-0.077 47.206 0.000. *.. *. 8-0.090-0.33 47.505 0.000.**.. *. 9-0.97-0.058 49.05 0.000.**... 0-0.280-0.040 52.499 0.000 ***.. *. -0.350-0.088 58.492 0.000 ***... 2-0.394-0.022 67.06 0.000 Από τον πίνακα.7 του οικονοµετρικού πακέτου EVIEWS παρατηρούµε ότι από το µέγεθος του δείγµατος που είναι = 20 οι εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζονται αναφέρονται µέχρι και την 2 χρονική υστέρηση ( = 2). Στο ίδιο πίνακα παρουσιάζονται επίσης, εκτός από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης και οι συντελεστές µερικής αυτοσυσχέτισης καθώς και τα διαγράµµατά

τους. Η στατιστική των Ljug-Box για το συγκεκριµένο αριθµό χρονικών υστερήσεων, καθώς και τα αντίστοιχα επίπεδα πιθανοτήτων για τη σηµαντικότητα των παρα-πάνω στατιστικών, µας δίνουν αποτελέσµατα που απορρίπτουµε την υπόθεση Ηο άρα λέµε ότι και οι 2 συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Παίρνοντας τα όρια του διαστήµατος των συντελεστών αυτοσυσχέτισης τα οποία είναι σύµφωνα µε τον έλεγχο του Bartlett τα εξής:.96 ρˆ.96-0.438 ρˆ 0.438 Από τους πίνακες.6 και.7 παρατηρούµε ότι µέχρι και την υστέρηση = 3 οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης είναι µεγαλύτεροι από την κρίσιµη τιµή 0.438 (δεν βρίσκονται εντός του διαστήµατος). Άρα και εδώ απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0, λέ- µε δηλαδή ότι και οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι όλοι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόµαστε για την µεταβλητή Υ.7 Μοναδιαία ρίζα Είδαµε προηγουµένως πως ο έλεγχος της στασιµότητας µιας χρονικής σειράς µπορεί να γίνει µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιµοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση των χρονικών σειρών είναι οι έλεγχοι µοναδιαίας ρίζας (uit root tests). Με τον όρο µοναδιαία ρίζα στις µακροοικονοµικές σειρές εννοούµε ότι κάποια ρίζα του πολυωνύµου f(x) = - ρ x - ρ 2 x 2 - ρ 3 x 3 -...- ρ x = 0 ισούται µε τη µονάδα, βρίσκεται δηλαδή πάνω στο µοναδιαίο κύκλο. Στην περίπτωση αυτή κάθε εξωγενής µεταβολή πάνω σε µια ενδογενή µακρο-οικονοµική µεταβλητή µπορεί να έχει µόνιµη επίδραση σ αυτή. Αυτό το αποτέλεσµα µπορούµε να το λάβουµε από ένα αυτοπαλινδροµούµενο υπόδειγµα πρώτης τάξης (first order autoregressive model)

AR() µε συντελεστή αυτοσυσχέτισης κοντά στη µονάδα και το λευκό θόρυβο u t να παίζει το ρόλο της τυχαίας µεταβλητής. Y t = ρ Y t- + u t (.6.) όπου u t η διαδικασία λευκού θορύβου (white oise) µε µέσο µηδέν και σταθερή διακύµανση. Σ αυτό το αυτοπαλινδροµούµενο υπόδειγµα έχει αποδειχθεί ότι ο εκτιµητής ) ρ είναι µεροληπτικός και υποεκτιµά την παράµετρο ρ. Στην περίπτωση όµως για ρ < ο εκτιµητής ) ρ είναι συνεπής. Στην περίπτωση που ο συντελεστής αυτοπαλινδρόµησης ισούται µε τη µονάδα (ρ = ) έχει δηλαδή µοναδιαία ρίζα (uit root) το υπόδειγµα είναι µια διαδικασία µη στα-τική. Τότε η παραπάνω συνάρτηση () γράφεται: Y t = Y t- + u t (.6.2) Η συνάρτηση αυτή λέγεται τυχαίος περίπατος (radom wal) και η χρονική σειρά χαρακτηρίζεται ως µη στάσιµη. Στην περίπτωση που ο συντελεστής αυτοπαλινδρόµησης είναι µικρότερος της µονάδος ρ < το υπόδειγµα είναι µια διαδικασία στάσιµη. Άρα έχουµε τις δύο παρακάτω υποθέσεις: Ηο: ρ = η διαδικασία Y t είναι µη στάσιµη (υπάρχει µοναδιαία ρίζα). Ηα: ρ < η διαδικασία Y t είναι στάσιµη (δεν υπάρχει µοναδιαία ρίζα). Στην περίπτωση που ισχύει η Η 0 δηλαδή έχουµε µοναδιαία ρίζα τότε έχουµε τη διαδικασία του τυχαίου περιπάτου, δηλαδή έχουµε µία µη στάσιµη διαδικασία. Οι πιο συνήθεις έλεγχοι για την εξέταση της µοναδιαίας ρίζας είναι ο έλεγχος των Dicey Fuller και ο έλεγχος των Phillips Perro (988).

.8 Έλεγχοι για µοναδιαία ρίζα Οι έλεγχοι αυτοί που καλούνται έλεγχοι µοναδιαίας ρίζας (uit root tests) αντι-στοιχούν στην υπόθεση Ηο: ρ = για την εξίσωση αυτοπαλινδρόµησης. Εύλογο είναι να σκεφτεί κανείς ότι εκτιµώντας την εξίσωση Y t = ρy t- + u t µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων να κάνουµε τον έλεγχο της Ηο: ρ = µε την κατανοµή t - ) Studet. Ο εκτιµητής ρ όµως µπορεί να είναι µεροληπτικός οπότε η κατανοµή t - Studet (λόγω συµµετρίας) να µην είναι η κατάλληλη για τον έλεγχο της µεταβλητής αυτής που χρησιµοποιούµε πολύ δε περισσότερο όταν η διαδικασία είναι και µη στατική. Οι Dicey - Fuller µέσω των πειραµάτων Mote - Carlo βρήκαν µια κατάλληλη ασύµµετρη κατανοµή που χρησιµοποίησαν για τον έλεγχο της υπόθεσης Ηο: ρ =. Την κατανοµή αυτή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να ξεχωρίσουµε ένα ΑR() υπόδειγµα από µια ολοκληρωµένη σειρά, δηλαδή την ύπαρξη µοναδιαίας ρίζας Ι(). Ο έλεγχος των Dicey - Fuller (DF) γίνεται µε την κατανοµή t - Studet αλλά η σύγκριση για την αποδοχή ή όχι της Ηο γίνεται από τις κριτικές τιµές του MacKio (99). Οι γνωστοί έλεγχοι των Dicey - Fuller (DF) για µοναδιαία ρίζα γίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις. Y t = ρy t- + u t (.7.) Αν αφαιρέσω το Y t- από τα δύο µέλη της προηγούµενης συνάρτησης θα έχω: Y t - Y t- = ρ Y t- - Y t- + u t (.7.2) ή Y t - Y t- = (ρ )Y t- + u t (.7.3) ή Y t = δy t- + u t (.7.4) όπου δ = ρ -

ηλαδή αν οι εξισώσεις αυτές έχουν µοναδιαία ρίζα Ηο: ρ = ή δ = 0 παίρνω τις πρώτες διαφορές και ελέγχω αν οι διαφορές αυτές βοήθησαν στην αποµάκρυνση της ρίζας αυτής. όπου Y t = Y t - Y t- είναι η πρώτη διαφορά και u t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία. Άρα οι δύο παρακάτω υποθέσεις της παραγράφου.6 µπορούν να γραφούν και ως εξής: Ηο: δ = 0 η διαδικασία Y t είναι µη στάσιµη. (υπάρχει µοναδιαία ρίζα) Ηα: δ < 0 η διαδικασία Y t είναι στάσιµη. (δεν υπάρχει µοναδιαία ρίζα) Εποµένως θα µπορούσαµε εδώ να πούµε ότι το πρόβληµα της µοναδιαίας ρίζας µπορεί να εκφραστεί είτε µε ρ = (από τη συνάρτηση.6.) είτε µε δ = 0 (από τη συνάρτηση.7.4) Βέβαια οι έλεγχοι των εκτιµηµένων συντελεστών δεν µπορούν να ελεγχθούν µε τη συνηθισµένη κατανοµή της κατανοµής t Studet, αλλά µε µία µη τυπική και µη συµµετρική κατανοµή που προτάθηκε από τον MacKio (99)..8. Έλεγχος των Dicey - Fuller (DF) Ο έλεγχος Dicey - Fuller (DF) εξετάζει: ) Την συνθήκη κατά την οποία µια διαδικασία έχει µοναδιαία ρίζα. 2) Κατά πόσο οι πρώτες διαφορές βοηθούν στην αποµάκρυνση της ρίζας αυτής. Έστω το υπόδειγµα Χ t = δ 2 Χ t- + e t (.7..) όπου: e t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..) είναι: Ηο: δ 2 = 0 (η χρονική σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη).

Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ). Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t - studet του συντελεστή δ 2 είναι µικρότερο (t δ2 < τ ) από την κριτική τιµή τ του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller (979). Η σύγκριση της τιµής t - studet του συντελεστή δ 2 γίνεται µε την τιµή τ που έχουµε από τους πίνακες των Dicey - Fuller και όχι µε τη γνωστή κατανοµή t - studet. Σε πολλές περιπτώσεις είναι πιθανόν η χρονική σειρά που εξετάζουµε να έχει και κάποιο σταθερό όρο, δηλαδή να συµπεριφέρεται σαν ένα υπόδειγµα τυχαίου περιπάτου µε περιπλάνηση (drift). Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγµα είναι: Χ t = δ 0 + δ 2 Χ t- + e t (.7..2) Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..2) είναι: Ηo: δ 2 = 0 (η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση, δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη). Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ). Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t studet του συντελεστή δ 2 είναι µικρότερο (t δ2 < τ 2 ) από την κρίσιµη τιµή τ 2 του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller. Επίσης υπάρχουν περιπτώσεις που στη χρονική σειρά που εξετάζουµε να υπάρχει εκτός του σταθερού όρου και η χρονική τάση. Τότε λέµε ότι η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση γύρω από µια στοχαστική τάση. Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγµα είναι: Χ t = δ 0 + δ t + δ 2 Χ t- + e t (.7..3) Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..3) είναι: Η 0 : δ 2 = 0 (η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση γύρω από µια στοχαστική τάση, δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη). Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ).

Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t - studet του συντελε-στή δ 2 είναι είναι µικρότερο (t δ2 < τ 3 ) από την κρίσιµη τιµή τ 3 του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller. Στους τρεις ελέγχους που εξετάζουµε, έχουµε την υπόθεση ότι η µεταβλητή e t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία.